CULTIVAREA CREATIVITII LA ELEVII DIN CICLUL PRIMAR PRIN COMPUNERI DE PROBLEME

1

MOTIVAREA ALEGERII TEMEIDirijarea influenelor i controlul efectelor nvmntului matematic asupra modului de a gndi sistematic, profund, eficient i original ocup astzi un loc prioritar n cadrul reformei, programelor de inovare i modernizare n sfera nvmntului i educaiei din mai multe ri, dar mai ales a colii romneti contemporane. Acestea fac tot mai necesar stpnirea de ctre nvtori a materialului ce se pred la un nivel superior celui propus la clas, cu scopul de a nelege perfect ideile matematice i a le putea adapta corect la nivelul prevzut de programele i manualele n vigoare n momentul predrii. Este cunoscut faptul c micul colar se caracterizeaz printr-o receptivitate deosebit i l putem modela dup dorinele noastre. Datorit acestei particulariti a micului colar, ntre copii i nvtor se stabilesc relaii afective, puternice care se pstreaz toat viaa n aceste clase se formeaz noiunile matematice de baz cu care copilul va lucra pe tot parcursul vieii, iar pe acest fundament se cldete ntregul sistem al nvmntului matematic de mai trziu. Deprinderile matematice formate n primele clase sunt att de puternice nct rezista, uneori, chiar toat viaa. Se poate observa importana acestor noiuni matematice, nelegnd c ele constituie temelia nvmntului matematic de mai trziu. De aceea, nc de la primele noiuni matematice se caut s se fundamenteze tiinific, la nivelul de nelegere al elevilor. Se poate constata c predarea i nvarea matematicii prin problematizare necesit utilizarea unor tehnici care s produc n gndirea elevilor contientizarea conflictului dintre informaia acumulat i o nou informaie ntre diferite niveluri de cunoatere i rezolvarea acestui conflict care s duc la descoperirea a noi proprieti ale obiectului studiat. Este necesar s fim receptivi la ce intereseaz i place copiilor, la ceea ce vor i pot realiza. n lucrarea de fa voi cuta s prezint aspecte din activitatea de compunere a problemelor la orele de matematic, activitate care contribuie la formarea i dezvoltarea gndirii creatoare a elevilor.

2

Capitolul 1

CREATIVITATEA CA DIMENSIUNE A PERSONALITII

1.1Conceptul de creativitateTermenul creativitate deriv din cuvntul de origine latin creare, care nseamn zmislire, furire natere. Creativitatea poate nsemna fie o facultate sau o capacitate a persoanei, aceea de a produce idei sau lucruri originale i utile, fie micarea sau procesul care duce la produsul original, acesta din urm fiind adeseori luat la rndul lui drept criteriu obiectiv al creativitii.1,p 45 Mai adugm ideea c prin creativitate se neleg adeseori factorii psihologici ai unor performane creatoare viitoare, ntr-un domeniu sau altul al activitii omeneti spune Al. Roca.2,p.9. A.D.Moore ne atrage atenia c nu va exista vreodat un ghid al creativitii astfel alctuit i indexat nct s-l putem deschide la un anumit capitol pentru a ti ce avem de fcut sau de gndit n etapa urmtoare. Exist totui anumite metode i priceperi cluzitoare cu caracter general ce se pot aplica n multe sau poate n majoritatea problemelor legate de creativitate 3,p.156. ntr-o accepiune foarte larg, creativitatea constituie un fenomen general uman, forma cea mai nalt a activitii omeneti. Privit dintr-o perspectiv mai ngust i specific psihologic, creativitatea apare n patru accepiuni importante produs, disponibilitate, potenialitate general-uman, capacitate i abilitate creativ dimensiune complex de personalitate. Conceptul de creativitate admite o mare contribuie a factorilor de mediu i de educaie n formarea creativ a fiecrui individ uman. S.Parnes afirm c cercetrile noastre precum i altele demonstreaz c pot fi folosite metode deliberate pentru a dezvolta puterea creatoare latent din interiorul individului 4,p239 Ca i cea mai mare parte a comportamentului, reia ideea J.P.Guilford ...activitatea creatoare reprezint probabil ntr-o anumit msur multe abiliti nvate. Trebuie s existe limitri impuse acestor abiliti de ereditare, dar eu sunt convins c prin nvare se pot extinde abilitile n cadrul acestor limite . 5,p 33 .

3

La natere, copilul posed doar o anumit potenialitate creativ evideniat de o anumit flexibilitate, fluen i senzitivitate a scoarei cerebrale. Ulterior, n procesul educaiei i activitii, al rezolvrii unor probleme legate de via, sporete potenialitatea menionat (flexibilitatea, fluena, senzivitatea), desigur, n funcie de dezvoltarea si manifestarea factorilor intelectuali, aptitudinali, caracteriali i de mediu, dezvoltndu-se alte niveluri ale creativitii cum sunt: originalitatea i inventivitatea. Potenialul creator pe care l gsim la toi oamenii, deci i la elevi nu trebuie identificat cu creaia propriu-zis ntre ele fiind o deosebire esenial. Potenialul creator este capacitatea de a produce noul, originalul, pe cnd creaia este desfurarea propriu-zis a actului creator. La nivelul copiilor din ciclul primar, orice rezolvare de situaii problematice constituie n acelai timp o manifestare a creativitii gndirii lor. Principala caracteristic a gndirii creative la elevi este noutatea sau originalitatea soluiei gsite, a ideii emise. Nu se poate vorbi n ciclul primar de existena unei creativiti deosebite a gndirii colarului,ci mai degrab despre formarea unor premise pentru dezvoltarea ulterioar a creativitii.

1.2 Modelarea potenialului creativ prin strategii specificeEste tiut faptul c n organizarea operaiilor intelectuale intervin formule i strategii diferite: algoritmice i euristice.Exersarea algoritmic este necesar pentru optimizarea nvrii i antrenarea n rezolvarea de probleme. Prin formularea de probleme dezvoltm creativitatea ncurajnd la elevi utilizarea de procedee euristice, ca sisteme operaionale plastice i deschise de tipul ntrebrii i punerii de noi probleme; a explorrii i ipotezei. Se d elevilor posibilitatea s formuleze probleme pornind de la contexte diferite,s emit ct mai multe ipoteze de lucru, s propun ct mai multe variante de rezolvare. i toate acestea pentru c mprtesc punctual de vedere al celor care susin c abilitile creatoare se construiesc i se dezvolt n ontogenez, c, creativitatea este o dimensiune a personalitii care se nva, care se dezvolt n sistemul educaional. Orice individ are disponibiliti creatoare, care se cer doar descoperite i modelate. S. I. Shapiro, E. P. Torrance i alii au constatat ns c uneori sistemele educaionale nu ncurajeaz ci, dimpotriv, descurajeaz dezvoltarea abilitilor creative. Sunt i ali autori, cercettori care cred c nvmntul actual nu stimuleaz n suficient msur creativitatea ci, cultiv mai ales o gndire conformist, o gndire ablon, frnnd dezvoltarea spiritului critic. n mare msur aa este, pentru c accentul cade pe stocarea de informaii, pe reproducerea textual a materialului, ceea ce mpiedic dezvoltarea capacitii elevului de a judeca, de a opera original, independent. Dac elevii 4

manifest un comportament stereotip, intuitiv, este pentru c aa au fost deprini. Dac colarii nu creeaz, nseamn c le lipsesc modelele i deprinderile necesare acestui tip de activitate. Manifestarea conduitei creatoare depinde n cea mai mare msur de educaie. Dac se pune accentul pe formularea de probleme va crete gradul de activare a potenialului creativ individual. Se creeaz un climat propice pentru a da fru liber imaginaiei creative, ca principal factor de care depinde originalitatea i noutatea ideilor, soluiilor, produselor, dar se ndrum elevii i spre gndirea logic (mecanismele i operaiile necesare definirii problemelor, verificrii ipotezelor i selectrii soluiilor de rezolvare). Pentru copii nu este uor de formulat probleme. Ei pot face foarte uor acest lucru, dar la modul fantezist. Le-am cere elevilor s formuleze probleme pornind de la situaii cunoscute, dar s relaioneze astfel datele nct s se ntrevad o rezolvare. Pentru ei bucuria creaiei este mare, dar se ncearc s se ntrein acest sentiment i s se ncurajeze asemenea demersuri, astfel ca potenialul lor creativ s se manifeste cu pregnan. n orice formulare a unei probleme exist deja un anumit rspuns (mcar sub forma dorinei anticiprii unui rezultat). Fiecare om poate fi creativ, dar pentru asta trebuie s i dea seama. Se mai spune, pe drept cuvnt, c nu exist vrst pentru creativitate. Aadar primii pai se fac nc din copilrie. Se poate pleca de la premisa c orice copil poate fi activat pentru a-i manifesta abilitile creative, ntr-un domeniu sau altul, la nivelul lor. Creativitatea ncepe cu ideile mici; activitatea cele mari vor veni de la sine. Dac se fac mereu aceleai lucruri i n acelai fel, nvtorii pot deveni din ce n ce mai plictisii i mai plictisitori. n realitate, toi copiii prezint potene creatoare, dar faptul c natura i gradul dotrii creative variaz n funcie de diferitele domenii de manifestare i de anumite trsturi personale, se impune o difereniere mult mai mare a colilor destinate copiilor normali i a tehnicilor pedagogice de influenare formativ. Creativitatea, privit din punct de vedere pedagogic, este o chestiune de intens individualizare a procesului educaiei, menit s asigure dezvoltarea acestei vocaii umane ce evolueaz de la reflectarea spontan prin imagini-simbol, la reflectarea conceptualizat. Dominat afectiv, ca n copilrie, sau cerebral, ca n maturitate, creativitatea poate fi stimulat att n condiia de neinstruire (creaia artistic), ct i n cea de cultivare intelectiv (creaia tiinifico-tehnic). Dup multiple opinii (Turkin, Okon, Tihomirov, Olero) a construi creativ nvarea nseamn a recurge la strategia problematizrii. Dintre metodele de nvmnt care dezvolt creativitatea sunt cele activ-participative: nvarea prin problematizare i descoperire semi-dirijat, metoda modelrii i exerciiile creative. n cadrul disciplinelor opionale i al cursurilor de dezvoltare a creativitii se folosesc i metode

5

specifice, cum sunt metodele logice i procedeele euristice,prin care se asigur o nvare creativ, participativ i anticipativ. n nvarea anticipativ se folosesc metode logice de abordare a problemelor, metode i procedee euristice i de imaginare. Printre metodele logice, Marin Stoica menioneaz: definirea i analiza problemei (descompunerea ei n subprobleme), evaluarea i selecia soluiilor, luarea deciziilor de rezolvare i aplicarea soluiilor. 8, p.47 Metodele i procedeele euristice mai importante sunt. extrapolarea i aplicarea unei teorii n alte domenii, fuzionarea a dou teorii, emiterea de ipoteze, testarea i verificarea lor, clasificarea i ordonarea datelor experimentale, a faptelor, a ideilor i prezentarea acestora sub form de grafice, scheme i coduri, anticiparea unor elemente sau fenomene cunoscute i interpolarea lor n tabele cunoscute, metoda contradiciei i metoda critic, folosite pentru nlocuirea unui concept vechi cu altul nou. Metodele i procedeele de imaginare sunt: brainstormingul, sinectica i inventica. n activitatea sa practic sau de cunoatere, omul ntlnete probleme noi crora trebuie s le fac fa, dar ntlnete i situaii sau probleme pe care le-a mai ntlnit i a nvat, prin practic sau n coal, cum s le rezolve. n cazul situaiilor i problemelor noi este solicitat gndirea creatoare (divergent, productiv) cu strategiile ei euristice, iar n cazul situaiilor i problemelor pentru care are elaborai anumii algoritmi de rezolvare este solicitat gndirea reproductiv (convergent) cu strategiile ei sistematice. Algoritmii reprezint prescripii sau reguli precise, care pot fi nvate i reproduse i care, dac sunt urmate pas cu pas, duc automat la soluie. Punerea n eviden i exersarea unor algoritmi este necesar pentru optimizarea nvrii i antrenarea n rezolvarea de probleme. Regulile generale sau strategiile euristice nu garanteaz gsirea soluiei, aa cum o garanteaz strategiile riguroase sau algoritmice, dar n multe cazuri duc la rezolvare i aceasta cu mai puin pierdere de timp i energie. Att structurile euristice ct i cele algoritmice au valoarea lor adaptativ i sunt strns mbinate. Niciodat gndirea nu este pur euristic sau pur algoritmic, cele dou aspecte sunt complementare. Ion Moraru menioneaz c metodele euristice vizeaz optimizarea activitilor n vederea obinerii de idei noi, originale i valoroase, a formulrii i rezolvrii de probleme ce ridic un anumit grad de dificultate .[9, p. 115] Metodele euristice vizeaz optimizarea activitilor n vederea obinerii de idei noi, originale i valoroase, a formulrii i rezolvrii de probleme ce ridic un anumit grad de dificultate. Ele i propun s organizeze de aa natur ambiana acional-practic micro i macro grupal, nct s realizeze o anumit stare de spirit (relaxat, antrenant, competitiv) s descopere anumite procedee spre a pune agentul n condiii ct mai favorabile producerii de idei i lucruri noi, originale i valoroase, formulrii i rezolvrii de probleme. 6

N.I.Kuliutkin spune c : Strategiile moderne de tip euristic sporesc posibilitile pentru educarea creativitii la toate nivelurile. Modalitile didactice prin care elevul este pus n situaia de a descoperi, de a rezolva situaii noi, nenvate anterior, sunt denumite de multe ori metode euristice . [6, p.53] Tot N.I. Kaliutkin definete metodele euristice drept acele metode cu ajutorul crora omul descoper noi mijloace de rezolvare, construiete planuri i programe nestereotipe [6, p.54]. De fapt nu este vorba de metode euristice , ci de atitudine euristic (a gndi prin punere i rezolvare de probleme), de strategii euristice, tehnici mintale de mobilizare a intelectului n rezolvarea unor situaii necunoscute, nestereotipe. n raport de modul cum sunt utilizate strategiile euristice, putem avea i modaliti practice cu valene creative de grade diferite. Astfel o bogat gam de activiti solicit elevului recunoaterea i reproducerea. O alt gam de activiti solicit continuarea de ctre elevi a construciei sistemului sau structurii dup modelul dat de nvtor i lucrat pn la un anumit punct sub conducerea lui: continuarea rezolvrii exerciiilor, a problemelor. O alt gam de activiti se refer la elaborarea sau transformarea unui sistem sau structuri pe baza modelului dat. s compun exerciii, probleme care s ntruneasc condiiile prescrise de nvtor. O a patra categorie de activiti creatoare se refer la elaborarea variantelor. O a cincea categorie de activiti creatoare se refer la lsarea unei independene depline a elevilor n compunerea pe ci diferite a exerciiilor i problemelor. ntre euristic i algoritmic nu se pot trasa granie precise. Cu dezvoltarea tiinei, multe metode euristice de rezolvare se formalizeaz i trec n categoria celor riguroase. Relaia nu este numai de succesiune, ci i de ntreptrunderea operaional, n sensul c transformrile algoritmice conin n sine posibilitatea dezvoltrii n transformri euristice, dup cum transformarea euristic poate include, ca secvene componente, subordonate, anumite transformri de tip algoritmic. Gndirea convergent a fost apreciat ca gndire n alb-negru, cu o desfurare riguros organizat care nu vizeaz i nu admite dect o singur soluie pentru o singur problem. Producia divergent multiplic variantele de abordare i rezolvare a problemelor, evolueaz radiar, de la unitate la diversitate, accept ambiguitatea i coexistena contrariilor, nu este rigid ci urmrete ct mai multe soluii sau posibiliti pentru unul i acelai termen ca n testul utilitilor. Explorrile euristice presupun uneori o nou combinare de algoritmi. n alte cazuri presupun chiar o nlturare a algoritmilor acreditai i o elaborare de noi produse. A proceda euristic nseamn s invii pe elev la inovare de procedee, la cercetare i descoperire n zone ce aparineau anterior necunoscutului. Paula Constantinescu (1974) ocupndu-se de trecerea de la algoritmic la euristic n 7

nvarea matematicii a afirmat

c nu este vorba att de rezolvarea problemelor date ct de

construirea unor noi metode de rezolvare i mai ales de punerea sau generarea problemelor. nvarea creativ se apropie maximal de modelul cunoaterii active prin explorare, ipotez, deducie, punere i rezolvare de probleme i realizare practic de proiecte transformative. nvarea creativ se distinge prin implicarea unei motivaii i a unor montaje atitudinale specifice: curiozitate, comportament de cutare, interes care trece de la nelegere la explicare, independen n opinii, ncredere n forele proprii, receptivitate la nou, nclinaie la originalitate. Marcela Pene arat c pretenia pe care o are nvtorul ca elevul s foloseasc n rspuns numai anumite cuvinte pe care le-a folosit el n ntrebarea formulat face ca rspunsul elevului s reprezinte o reluare mecanic a ntrebrii . Astfel de ntrebri - spune Marcela Pene l conduc pe elev aa de bine nct poate merge cu ochii nchii. Ele nu-i permit s adauge o vorb n plus, nu - i stimuleaz gndirea creatoare, nici interesul . [7, p.25]

8

NOTE I REFERINE BIBLIOGRAFICE1.Constantin Cojocaru 2.Alexandru Roca 3.B. F. Skinner 4.S. Parnes 5.Apud Parnes S. 6.I .N. Kuliutkin - Creativitate i inovaie, Editura tiinific i Enciclopedic, Bucureti,1975 - Creativitatea, Editura Enciclopedic Romn, Bucureti, 1972 - Revoluia tiinific a nvmntului (traducere), Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1971 - Imagination: Developed and Disciplined n volumul: Instructional Media and Creativity red de C. W. Taylor Education and Creativity n volumul Creativity. Its Educational Implication, red de Gowan - Metode euristice n structura rezolvrii de probleme (traducere) n nvmntul primar nr. 1/2001, Editura Didactic i Pedagogic Bucureti,1974 7.Marcela Pene 8.Marin Stoica - colarul mic n faa ntrebrilor n Revista de pedagogie , nr. 1/1974 - Pedagogie i psihologie pentru examenele de definitivare i grade didactice: profesori, institutori/nvtori, studeni, Editura Gheorghe Alexandru, 2001 9.Ion Moraru - Psihologia creativitii, Editura Victor, Bucureti, 1998

9

Capitolul 2

ACTIVITILE MATEMATICE I PROCESUL CREATIV2.1.Problema i problematizarea a) Definirea problemeiNoiunea de problem are un coninut larg, cuprinznd o gam variat de preocupri i aciuni n domenii foarte diferite. n general, orice chestiune de natur practic sau teoretic ce reclam o rezolvare, o soluionare, poart numele de problem. O problem de gndire apare atunci cnd n calea activitii practice sau teoretice apare un obstacol. Cnd un astfel de obstacol nu exist i situaia poate fi rezolvat pe baza deprinderilor anterior formate, atunci gndirea nu mai este confruntat cu o nou problem, deci nu exist o problem de rezolvat [1, p. 148]. Etimologic pro-ballein nseamn ceea ce i se arunc n fa ca barier obstacol i, prin extensie, ceea ce constituie o dificultate teoretic sau practic, a crei nlturare este pus sub semnul ntrebrii. Problema reprezint un sistem de ntrebri asupra unei necunoscute, pentru c dificultatea se prezint direct ca o lacun a cunoaterii. nainte de problem apare situaia problematic, o structur generativ de probleme (Chomsky) cnd subiectul constat c procedeele obinuite, uzuale nu sunt suficiente pentru a acoperi lacuna din gndire. Situaia problematic se manifest ca o neconcordan ntre mijloace i scopuri, ntre cerinele situaiei pe de o parte i posibilitile subiectului pe de alt parte. Problema apare, deci ca un obstacol cognitive n relaiile dintre subiect i lumea sa, iar asumarea sarcinii de a depi obstacolul, ca i demersurile cognitive i tehnice ntreprinse n acest scop, contureaz domeniul rezolvrii problemelor. Nu orice chestiune, orice nedumerire, ntrebare sau dilem poate fi socotit o problem creativ , n sensul c apeleaz la creativitatea rezolvitorilor i se preteaz la soluionri originale. O problem creativ correct formulat trebuie s fie: divergent, unic i unitar, dar s evite a fi: convergent, o problem de alegere sau o soluie la o alt problem. Problemele divergente, n sensul dat de J. P. Guilford, sunt acelea care pot avea mai multe rspunsuri, care se pot rezolva n fel i chip, pentru care putem mbria o metod sau alta, cu alte 10

cuvinte, din punctul de plecare (respective problema) atenia i rezultatele obinute se pot dispersa ntr-un evantai ct mai deschis, mai divergent. Caracterul divergent este aproape definitoriu pentru tema dat spre soluionri originale. Cerinele ca ntrebarea s fie unic (i nu dubl sau tripl) i unitar (iar nu arborescent) sunt mai puin specifice, dar nu mai puin necesare. O problem arborescent poate fi rezolvat eficient numai prin fracionarea ei n mai multe probleme de-sine-stttoare. O formulare corect a problemei creative asigur un avans chiar din start i nu fr temei, unele manuale acord o atenie deosebit recunoaterii problemei reale i tehnicilor de exprimare i reexprimare n diferite feluri a aceleiai chestiuni. La matematic, prin problem se nelege o situaie a crei soluionare se poate obine esenial prin procese de gndire i calcul. Problema de matematic reprezint transpunerea unei situaii practice sau a unui complex de situaii practice n relaii cantitative i n care, pe baza valorilor numerice date i aflate ntr-o anumit dependen unele fa de altele i fa de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori necunoscute. n activitatea teoretic i practic omul ntlnete att situaii identice, n a cror rezolvare aplic metode i procedee standardizate de tip algoritmic, dar i situaii noi pentru care nu gsete soluii n experiena dobndit sau ntre mijloacele deja nvate. Cnd situaia poate fi rezolvat pe baza cunotinelor sau deprinderilor anterior formate, deci a unor soluii existente n experiena ctigat, elevul nu este confruntat cu o problem nou. n cazul situaiilor problem este nevoie de explorarea situaiei prin aplicarea creatoare a cunotinelor i tehnicilor de care dispune rezolvitorul n momentul respectiv, scopul fiind acela al descoperirii implicaiei ascunse, a necunoscutei, a elaborrii raionale a soluiei. Problema nu trebuie confundat cu exerciiul de aplicare a unor reguli sau principii cunoscute, dar nici cu situaia-problem care este de o complexitate mai mare. Dificultatea pe care o ridic o problem se prezint ca o lacun a cunoaterii, o necunoscut care trebuie s fie descoperit, un spaiu gol ntre ceea ce elevul cunoate n prezent i ceea ce i se cere s descopere. n general, ntre un exerciiu i o problem distincia se face n funcie de prezena sau absena textului prin care se dau date i corelaii ntre ele i se cere gsirea unei necunoscute. Newell i Simon (1961) clasific problemele dup gradul lor de structurare n: probleme bine definite i probleme slab definite.Veritabile sunt problemele slab definite i slab specificate i care nu pot fi rezolvate prin metode uzuale. Guilford le mparte n: -probleme convergente, cu multe restricii i specificaii, ce ofer un cmp de cutare ngust i o singur soluie;

11

-probleme divergente, cu mai puine restricii i un camp larg de explorri, ce permit mai multe soluii. J.P. van de Geer (1957) distinge: -probleme de fixaie, ce permit un grad mai mare de libertate, mai multe metode de rezolvare, mai multe soluii; -probleme de gndire discursiv, pentru care rezolvarea urmeaz un program precis ordonat, prin pai secveniali. Punerea problemei i progresele n rezolvare, reprezint pai n structurarea problemei i n programarea rezolvrii ei. n problemele euristic-creative se specific doar natura general a soluiei i n mod vag unele cerine pe care aceasta trebuie s le satisfac. Rezolvarea acestor probleme nu se poate dispensa de explorare, cercetare, inspiraie, descoperire, invenie. Sunt problemele cu cel mai mare indice de libertate. Problemele inventive-creative se aseamn cu cele euristic-creative de care se deosebesc prin mai nalt specificitate a strii iniiale. n problemele de optimizare sau reproiectare creativ starea iniial este perfect specificicat pornindu-se de la un element dat, bine cunoscut, iar starea final este deloc sau slab specificat, posednd cel mult unele vagi indicaii generale asupra proprietilor soluiei. Avnd n vedere analiza criterial clasificatoare, problemele de matematic n ciclul primar sar putea grupa astfel: a) dup finalitate i dup sfera de aplicabilitate, le structurm n probleme teoretice i aplicaii practice ale noiunilor nvate; b) dup coninutul lor, problemele matematice pot fi: geometrice, de micare, de aflarea densitii unui amestec sau aliaj; c) dup numrul operaiilor, vom identifica probleme simple i probleme compuse. Problemele simple sunt cele care, de regul, se rezolv printr-o singur operaie aritmetic i care se ntlnesc, cu precdere la clasa I. Problemele compuse sunt acelea care n irul de raionamente i operaii de rezolvare includ,ntr-o dependen logic, mai multe probleme simple. d) dup gradul de generalitate al metodei folosite n rezolvare, avem probleme generale (n rezolvarea crora vom folosi fie metoda analitic, fie metoda sintetic) i probleme tipice (particulare) rezolvabile printr-o metod specific: grafic, reducere la unitate, a falsei ipoteze, a comparaiei. e) o categorie aparte de probleme, de multe ori neglijate n nvmntul primar, dar cu

12

multiple valene formative sunt cele recreative, rebusistice de perspicacitate i ingeniozitate (numite i non standard)

b) Valene formative ale problematizriiLa clas se pot folosi la orele de matematic strategii: inductive, deductive, analogice, algoritmice i euristice. Se poate folosi problematizarea i la rezolvarea i compunerea problemelor. Problematizarea se bazeaz pe crearea unor stri conflictuale, contradictorii ce pot s rezulte din trirea simultan a dou realiti de cunoatere diferite. pe de o parte experien anterioar de care dispune elevul (informaii, deprinderi, impresii) iar pe de alt parte elemental de noutate i surpriz, de necunoscut (impus de o sarcin) n faa creia datele vechi se dovedesc cu totul insuficiente pentru a se ajunge la explicaia sau rezolvarea dorit. n confruntare cu aceast situaie, neobinuit, elevul triete un moment de tensiune, resimte o stare de curiozitate, de uimire i dorin de a iei din ncurctur, ceea ce incit la cutri, la investigaii, la enunarea unor ipoteze, presupuneri, soluii sau rspunsuri posibile. Aceasta este o situaie-problem. Conversaia euristic, problematizarea i descoperirea constituie strategii euristice cu o mare valoare formativ. Prin folosirea euristicii ca stil cognitiv operaional de munc intelectual, elevii particip prin efort propriu de gndire i de aciune la refacerea, n linii generale, a drumului sinuos parcurs de omul de tiin pentru descoperirea adevrului, i nsuesc creative noi cunotine i metode de investigare, i dezvolt capacitatea de a prelucra i combina n forme noi cunotinele. Euristica sporete caracterul formative al nvrii, dezvoltnd spiritul de observare, capacitatea de analiz i sintez, interesul cognitiv i motivaia intrinsec, mobiliznd energiile creatoare pentru rezolvarea de probleme i situaii-problematice. Folosirea euristicii n procesul de predare-nvare prin problematizare i descoperire presupune dou faze mai importante: pregtirea i desfurarea. Pe baza obiectivelor i a coninutului se structureaz logic ntrebrile-problem sau situaiileproblematice, astfel nct redescoperirea s fie semidirijat, pentru a oferi elevilor mai mult iniiativ i inventivitate. ntrebrile vor fi formulate clar, precis i la obiect i ntr-o succesiune logic. Situaia-problem are o sfer mai larg i poate cuprinde una sau mai multe probleme. n clas, nvtorul trebuie s creeze o atmosfer destins, astfel nct ntrebrile s circule, n toate sensurile. nvtor-elev, elev-nvtor i elev-elev. Problematizarea este o metod cu character activ-participativ, formative i euristic, capabil s determine activitatea independent, s antreneze i s dezvolte capacitile intelectuale imaginaia i gndirea logic, de investigaie i explorare, productive i creative, prin formularea de ipoteze, variate soluii de rezolvare. Ea contribuie la transformarea elevului n subiect al educaiei, n participant la 13

dobndirea noilor cunotine, crend posibilitatea de a mobiliza resursele personalitii i de a aduce satisfacii pe toate planurile ei: cognitiv, afectiv, estetic i acional.

2.2. Relaia dintre inteligen i comportamentul creativ n formularea de probleme

Numeroi cercettori psihologi i sociologi consider inteligena ca fiind identic cu creativitatea. Astfel, psihologul american Terman pe baza unor anchete efectuate cu teste de inteligen i creativitate, cunoscute n lumea psihologilor sub denumirea de neexistnd deosebiri. Unii psihologi apreciaz c existena corelaiei dintre inteligen i creativitate nu trebuie vzut ca linear, ci mai curnd discontinu sau variabil. Inteligena joac un rol nsemnat n activitatea creatoare, ea intervenind n decursul ntregului proces de creaie, dar cu pondere diferit ntre diferite etape. Ea este preponderent asupra altor factori n faza premergtoare, cnd analizeaz datele problemei pe care urmeaz s o resolve i cnd cerceteaz literatura de specialitate i face selecia acesteia. De asemenea, n faza final, n special, dar adesea i pe parcurs, ea verific datele obinute, le confrunt cu ipotezele, evalueaz rezultatele ei, trage concluziile. [2, p. 108] Inteligena nu se afl n condiii de egalitate cu creativitatea, ci de subordonare. Creativitatea este mai mult dect inteligen, deoarece n actul de creaie propriu-zis, chiar mprejurrile, problemele sau metodele de rezolvare sunt create,inventate. [3, p.142] Dei creativitatea este mai mult dect inteligen, prin faptul c se folosesc de nsuiri comune pentru realizare, iar prima o integreaz pe cea de-a doua intercondiionndu-se pe tot parcursul procesului creativ, nu se poate concepe o etap a creativitii n care inteligena s nu fie prezent. Putem afirma c mijlocul, instrumentul principal prin care se exprim creativitatea, beneficiind i de aciunea altor factori, este inteligena activ. Inteligena l ajut pe om s neleag i s opereze cu abstraciile, s gseasc soluia adecvat a anumitor probleme, dar n cazul n care restul aptitudinilor necesare pentru creaie vor fi slab dezvoltate, ea nu-i va fi suficient pentru activitatea creatoare. Terman Concept mastery test, susine c nivelul inteligenei i nivelul creativitii se coreleaz pe deplin, ntre ele

a)Valoarea stimulativ a factorilor cognitivi i noncognitivi ai creativitii14

coala contemporan, centrat pe elev are un rol bine precizat n dezvoltarea uriaului potenial intelectual, reprezentat de inteligen i creativitate, care, pus n valoare, va asigura nentrerupt progresul social-uman. Dintre factorii implicai n actul creator inteligena i imaginaia creatoare sunt cei mai importani, ntruct ei au i funcia de integrare a celorlali factori cognitive-operaionali ai creativitii. Marin Stoica menioneaz c: inteligena creatoare este forma superioar de organizare a comportamentului creativ, care presupune, n primul rnd, sensibilitate fa de probleme, apoi fluena gndirii, flexibilitatea i capacitatea de redefinire [9, p.39] Factorii psihici (individuali, nu psiho-sociali) ai creativitii se pot repartiza n trei grupe: a) b) c) factorii intelectuali (imaginaie, gndire, memorie, inteligen, stil cognitiv); factori aptitudinali; factori nonintelectuali i nonaptitudinali, sau de personalitate, n sensul larg al introducerea unor factori noi de

cuvntului (motivaii, atitudini, caracter, temperament, interese, aspiraii, voin). Paul Popescu-Neveanu i colaboratorii propun ns creativitate cum ar fi [4, p.113] 1) orientarea motivaional specific sau orientarea creativ; 2) experiena ca surs creativ; 3) capacitatea de sustragere a evoluiilor imaginaiei de sub controlul critic imediat. Creativitatea ca formaiune sintetic de personalitate dispune de o structur complex ce unific n ordinea importanei, i orientarea specific, imaginaia constructiv i inteligena . [4, p.114] Persoanele dotate pentru anumite activiti vor prezenta aranjamente strict personale ale verigilor intelectuale i ale aptitudinilor speciale. Toate procesele psihice sunt implicate n evoluia creatoare dar problema principal este aceea a modului n care ele sunt corelate i orientate, a modului n care sistemul devine emergent. [5, p.153] J. P. Guilford, V. Lowenfeld i K. Beittel au identificat opt factori de creativitate de factur intelectual: 1) sensibilitatea (fa de probleme, fa de atitudinile, trebuinele i sentimentele altora); 2) fluena (fluiditatea sau asociativitatea gndirii); 3) flexibilitatea; 4) originalitatea;

15

5) aptitudinea de a redefini, de a restructura de a transforma funcia unui obiect pentru a-l face util, ntr-o form nou, aptitudinea de a ne servi de gndire pentru a gsi lucrurilor noi valene n vederea unor noi ntrebuinri; 6) capacitatea analitic, aptitudinea de a abstractiza; 7) aptitudinea de a sintetiza (capacitatea de a combina mai multe elemente pentru a le da o nou semnificaie); 8) organizarea coerent (capacitatea de a organiza un proiect, de a exprima o idee, de a crea ceva n aa fel nct nimic s nu fie de prisos). Sensibilitatea fa de probleme sau receptivitatea fa de nou este punctul de plecare al creaiei, manifestndu-se n curiozitate tiinific i atitudine interogativ, n capacitatea de a sesiza cu uurin problemele eseniale i neobinuite, de a funcional, cu ajutorul spiritului de observaie. Principala component a gndirii creatoare este flexibilitatea, prin care nelegem modificarea rapid a mersului gndirii cnd situaia o cere, restructurarea uoar a vechilor legturi corticale n conformitate cu cerinele noii situaii, pe baz de analiz i sintez, realizarea uoar a transferului n compunerea problemelor. J.P.Guilford consider ca factori psihici asociai mai des cu creativitatea: fluiditatea, flexibilitatea i originalitatea. Aceti factori constituie aspecte ale gndirii divergente, prin care nelege acea gndire ce merge n direcii diferite, fcnd posibil schimbarea direciei n compunerea unei probleme i orientarea spre o diversitate de variante. n ceea ce privete fluiditatea (verbal, ideativ, asociativ i expresiv) prin care Guilford nelege bogia i uurina asociaiilor, este implicat att n gndirea reproductiv, este implicat att n gndirea reproductiv, ct i n gndirea creatoare. Fluena sau fluiditatea ideilor este capacitatea de a emite ntr- un timp limitat ct mai multe idei sau ipoteze de compunere a unor probleme. Skinner afirm c: Prin definiie, noi nu-l putem nva pe elev comportamentul original, pentru c prin nsui acest fapt el i-ar pierde originalitatea. [11, p 157] Originalitatea este expresia noutii, a inovaiei, previziunii, unicitii i capacitii de elaborare a detaliilor necesare trecerii de la idee la planul concret de realizare. Ingeniozitatea este capacitatea de a rezolva probleme cu o elegan neuzual, cu metode i procedee originale. Intuiia este un factor deosebit de important al imaginaiei creatoare care const n reorganizarea i sinteza rapid a experienei anterioare n anticiparea sau apariia brusc a soluiei problemei, ca urmare a jocului liber al imaginaiei sau al unui raionament prescurtat fr ncercri i erori. vedea relaiile de dependen cauzal sau

16

Plasticitatea sau flexibilitatea de transformare, pus n eviden de Guilford i identificat cu gndirea divergent este, dup unii autori cel mai important factor al creativitii. Gndirea divergent multidirecional permite jocul liber al imaginaiei prin plasarea lucrurilor ntr-o nou perspectiv, prin renunarea la vechile ipoteze i formularea altora pe baza combinrii, reorganizrii, restructurrii, sintetizrii transformrii i generalizrii informaiilor, descoperindu-se noi legturi i mai multe variante de compunere a problemelor. Factorii noncognitivi n sens creativ nsumeaz n principal temperamentul, motivele, afectivitatea, atitudinile. Motivaiile superioare, nivelul de aspiraie, voina, interesele, trsturile emoionale, sentimentele intelectuale i atitudinile, corelate cu aptitudinile complexe, orienteaz i dinamizeaz creativitatea, mrindu-i considerabil eficiena. Motivele mai importante ale creaiei sunt: dorina de a cunoate, de a descoperi i inventa, de a compune probleme, satisfacia descoperirii, nevoia de autorealizare. Motivaia poate fi un factor de dinamizare a creativitii. Motivele intrinseci, ndeosebi spiritul de nscocire, pasiunea pentru matematic dinamizeaz creativitatea. La fel i motivele extrinseci, recompensele au rol n dinamizarea creativitii. Paul Popescu-Neveanu (1977) consider c o suprem mplinire a analizei psihologice a motivelor i atitudinilor este descoperirea valorii lor creative. Atkinson arat c n contextul motivaiei umane un loc central revine trebuinei de performan . Murray i Berlyne au subliniat faptul c motivaia intrinsec posed o mai mare valen creativ dect cea extrinsec. Persoana creatoare manifest o deosebit pasiune fa de specificul activitii pe care o desfoar, caracterizndu-se prin interese generale de cunoatere. Elevul creativ se orienteaz spre compunerea unor probleme complexe. Motivaia susine efortul fizic i intelectual al elevilor creatori. Ei se caracterizeaz printr-un nivel ridicat de energie i persisten la nvtur, printr-o curiozitate intens, manifestat n dorina de a cunoate i a acumula informaii. V. Pavelcu socotete c actul creator implic n mod obligatoriu motivaia [6, p.151]. Creativitatea este o capacitate (aptitudine) a persoanei. Aptitudinile sunt acele nsuiri psihice ale persoanei care condiioneaz executarea izbutit a unei activiti [7, p.483]. Ideal este ca sistemul de cunotine i abiliti s nsoeasc aptitudinile i invers, sistemul respectiv de cunotine i abiliti s fie sprijinit de aptitudini. Un elev cu aptitudini va nva mult mai facil i mai bine matematica dect unul care nu posed aptitudini. n activitate aptitudinile nu se manifest n mod izolat, ci n grup formnd astfel o aptitudine complex. Aptitudinile pentru matematic sunt aptitudini complexe, care reunesc mai multe aptitudini simple.

17

Elevul cu aptitudini pentru matematic concureaz cu colegii si i curnd i d seama de locul pe care-l ocup printre ei. tie c-i poate nvinge pe unii dintre ei, dar c nici nu se poate apropia de performanele intelectuale ale altora. Ana Stoica menioneaz c: aptitudinile reprezint sistemul integrat al elementelor senzorio-motorii cognitive, afectiv-motivaionale i voliionale, care asigur efectuarea cu succes a unei activiti, avnd un cuvnt important de spus n creativitate; ele pot fi transformate n aptitudini speciale: artistice, matematice .[10, p.13] Gndirea creatoare este implicat ntr-o msur mai mare n talent, un nivel calitativ superior al aptitudinilor complexe. Talentul se difereniaz prin nivelul nalt de dezvoltare a aptitudinilor care l compun prin interaciunea strns a acestor aptitudini care conduc la crearea unor produse noi i originale. Gndirea creatoare este amplu implicat n structura psihic superioar denumit geniu. Gndirea creatoare a geniului determin obinerea unor idei sau opere caracterizate printr-un nalt nivel de noutate, originalitate i valoare social. Principala relaie ce intereseaz creativitatea este un specific al interaciunii dintre atitudini i aptitudini. Atitudinile sunt modaliti orientativ-reglatorii ale personalitii. Identificarea i cultivarea motivelor i atitudinilor creative a devenit magistrala pe care avanseaz teoria i practica creativitii. Atitudinile creative au un dublu aspect: unele favorizeaz creativitatea (integritatea moral, curajul, stpnirea de sine, onestitatea, omenia, ncrederea n forele proprii), iar altele sunt direct creative ca urmare a punerii n valoare a tuturor capacitilor personale i utilizrii lor optime n direcia producerii noului, originalului. n cadrul acestora mai importante sunt: autoexigena, autodepirea, receptivitatea fa de realizrile i experiena colegilor, atitudinea critic. Atitudinile se manifest printr-un gest, o reacie, o anumit poziie fa de un fenomen. Tipul de temperament i d activitii creatoare o anumit form de manifestare, un stil specific. De mare importan n procesul creativ sunt sentimentele, afectivitatea deoarece emoia pune n micare maina cerebral care obine astfel cldura necesar pentru forjarea intuiiilor norocoase i a ipotezelor plauzibile [8, p 161]. Nu orice avnt emoional favorizeaz ns activitatea creatoare. Adevrata inspiraie presupune mbinarea paradoxal a puternicei emoionaliti cu o anumit limpezime a minii. Avntul emoional d aripi imaginaiei. El ns nu trebuie s nceoeze gndirea .[2, p. 132] Caracterul reprezint totalitatea trsturilor psihocomportamentale, eseniale i stabile ale personalitii, prin care acestea se manifest ca o unitate bine conturat n contextul relaiilor i situaiilor sociale, direcionate spre binele altora, spre realizarea unor idealuri i deziderate de grup. El se manifest prin caliti ca: onestitate, entuziasm, curaj, spirit de independen care dinamizeaz creativitatea. 18

Un rol important n dezvoltarea creativitii elevilor l are efortul lor de pregtire. Elevii creativi dac vor rezolva i compune multe probleme vor ajunge la nivele ridicate de performan. Dac muli elevi nva bine la matematic, caut noi ci de rezolvare i compunere a problemelor, atunci mediul ambiant este favorabil creativitii. Fiecare elev posed un potenial creator susceptibil de a fi dezvoltat. Nici factorii intelectuali singuri, nici cei nonintelectuali singuri nu determin performana creatoare.

b)Influena climatului asupra formrii i afirmrii creativitiin coal sunt unele condiii i situaii specifice care pot duce la dezvoltarea spiritului investigative, a gndirii divergente, a atitudinii creative. Astfel de condiii i situaii pot fi: ncurajarea elevilor s pun ntrebri, s fie active prin operare cu idei i obiecte, s discute i s dezbat. nvtorii ar putea determina i stimula dezvoltarea gndirii creative, prin acceptarea unei atitudini divergente a elevilor fa de probleme. Ei i pot nva pe elevi cum s procedeze pentru a deveni creatori. Gndirea creativ i nvarea din proprie iniiativ trebuie ncurajate prin laud. Trebuie promovat modul variat de abordare a problemelor de manipulare a obiectelor i a ideilor. Elevii trebuie s fie ndrumai s dobndeasc: o gndire independent, nedeterminat de grup, toleran fa de ideile noi, capacitatea de a descoperi probleme noi i de a gsi modul de rezolvare. Disciplina se instaleaz de la sine atunci cnd elevului i se acord posibilitatea unui comportament creative. nvtorul trebuie s lase elevilor iniiativa de a gndi independent, deoarece, numai pe calea exerciiului, elevul va nva s gndeasc creative. Gndirea trebuie s se desfoare ntr-o form care s intereseze pe elev. Iniiativa se manifest prin curiozitate, uimire, punerea unor ntrebri. nvtorii care stimuleaz elevii s pun ntrebri i s caute metode inventive obin o dezvoltare a creativitii. nvtorii trebuie s-i fac contieni pe elevi de posibilitile pe care le au de a se manifesta creative i de a-i dezvolta aceast creativitate. Elevul nceteaz s mai fie creative cnd mediul nu reacioneaz la manifestrile sale de creativitate. Curajul elevilor de a realize ceva este condiionat de asigurarea unui success maxim. Se cer relaii destinse, democratice ntre elevi i profesori. Modul de predare trebuie s solicite participarea, iniiativa elevilor. Fantezia trebuie i ea apreciat corespunztor alturi de temeinicia cunotinelor, de raionamentul riguros i spiritul critic. nvtorii creativi determin avntul creativitii elevilor fr eforturi speciale.

19

nvtorul creative tie cum s foloseasc ntrebrile. Fiecare act creativ ncepe cu ntrebri, dar acestea trebuie s fie deschise, s aib sens, s nu aib rspunsuri predeterminate i ndeosebi s fie ntrebri care s nu reclame o expunere a faptelor. ntrebarea operaional provoac conduita creatoare, pentru c ea duce la explorare, dezvolt curiozitatea i stimuleaz tendinele implicate n acestea. O condiie principal ce trebuie realizat la lecie pentru nfptuirea cerinelor creativitii este instaurarea unui climat favorabil unei confruntri fructuoase ntre nvttori i elevi, climat caracterizat printr-o tonalitate afectiv-pozitiv, de exigen i nelegere, de responsabilitate. Nu mai puin important este stimularea efortului personal al elevului i stimularea tendinei acestuia de a aduce o contribuie proprie, de a fi original, inventive, creator. Cadrele didactice trebuie s cunoasc potenialul creativ al fiecrui elev, s tie s vad manifestrile creative ale elevilor nu numai n timpul orelor de clas, ci i n activitile extracurriculare, s le formeze obinuina autoaprecierii. Prin exerciii bine alese, nvtorul poate educa la elevi ncrederea c fiecare dintre ei posed capacitatea de a fi creativ, c aceasta se poate dezvolta prin nsuirea de noi tehnici de gndire. n clas trebuie format un climat de lucru definit prin urmtoarele: ntrebrile elevilor sunt tratate cu atenie, ideile noi sunt recepionate cu respect; nvtorul le ntrete constant convingerea c ideile sunt valoroase, nvndu-i criterii de evaluare; de fiecare dat, produciei deliberate de idei i se afecteaz un anumit timp. La orele de matematic sunt apreciate problemele compuse de ctre elevi. Cei care nu au compus correct probleme primesc indicaii i sunt ncurajai c vor reui. Se poate lucra cu clasa ntreag, pe grupe mici sau individual.

NOTE I REFERINE BIBLIOGRAFICE1.Nicolae Oprescu - Modernizarea nvmntului primar, Editura Didactic i 20

Pedagogic, Bucureti, 1974 2. M. Bejat 3. E. Fischbein 4. Paul Popescu-Neveanu 5. Paul Popescu-Neveanu 6. V. Pavelcu 7. N. T. Leites - Talent, inteligen, creativitate, Editura tiinific Bucureti,1971 - Arta de a gndi, Editura enciclopedic romn, Bucureti, 1975 - Cercetri privind factorii de creativitate n Mihaela Roco Analele Universitii Bucureti , seria psihologie, 1969 - Dicionar de psihologie, Editura Albatros, Bucureti, 1978 - Motivaia creaiei tiinifice n Revista de Psihologie numrul 2, 1972 - Aptitudinile n Psihologia sub redacia A. A. Smirnov, A. N. Leontiev, S.L. Rubinstein i B. M. Teplov traducerea V. Pavelcu, E. S. D. P., Bucureti 1959 8. S. Roman Y. Cajal 9. Marin Stoica - Drumul spre tiin, Editura politic, Bucureti 1967 - Pedagogie i psihologie pentru examenele de definitivare i grade didactice: profesori, institutori/nvtori, studeni, Editura Gheorghe Alexandru, 2001 10.Ana Stoica 11. B. F. Skinner - Creativitatea elevilor, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1983 - Revoluia tiinific a nvmntului (traducere), Editura Didactic i Pedagogic, 1971

Capitolul 3

21

COMPUNEREA DE PROBLEME - MODALITATE EFICIENT DE ANTRENAMENT CREATIV

Activitatea de compunere a problemelor constituie baza n domeniul activitilor matematice pentru cultivarea i educarea creativitii i a inventivitii. Compunerea problemelor este una dintre modalitile de a dezvolta gndirea independent i original a copiilor. Elevii pot compune probleme n urmtoarele forme: probleme dup tablouri i imagini; probleme dup modelul unei probleme rezolvate anterior; probleme aciune sau cu punere n scen; probleme cu indicarea operaiilor matematice ce trebuie efectuate; probleme dup un plan stabilit; probleme cu mai multe ntrebri posibile; probleme cu o ntrebare dat i cu mai multe coninuturi date, precum i relaii ntre date ale coninutului; probleme cu ntrebare probabilistic; probleme cu un nceput dat, cu sprijin de limbaj; probleme cu mrimi date, cu valori numerice date; probleme dup un exerciiu simplu sau compus; probleme dup un model simbolic; probleme cu modificarea coninutului i a datelor; liber; probleme de perspicacitate, rebusistice.

Aceste modaliti utilizate n activitatea de compunere a problemelor n scopul dezvoltrii creativitii gndirii sunt variate i difer de la o categorie de probleme la alta, adaptndu-se specificului acestora. Cele mai importante i mai frecvente sunt: Folosirea imaginii i a desenului; Folosirea algoritmilorde calcul; Compunere de probleme cu modificarea coninutului i a datelor; Folosirea schemelor logice; Alte procedee. 22

3.1. Folosirea imaginii i a desenuluiMetoda n care se folosete imaginea, desenul este metoda figurativ. Elevii pot compune probleme dup desene care reprezint aciunea problemei i prile ei componente, dup figuri geometrice diferite, dup elemente grafice simple. Pe baza unor desene frumos colorate elevii clasei I reuesc s compun probleme oral. Exemplu:

Dup acest desen elevii pot crea problemele: a) Maria are 3 maini roii i 4 maini albastre. Mai cumpr 2 maini verzi. Cte maini are Maria n total? b) Mihai are 3 maini roii. A primit de la fratele su, Andrei, 4 maini albastre i de la prietenul lui, Gigi, nc 2 maini verzi. Cte maini are acum Mihai? [1p. 181]

Dup desenul de mai jos elevii pot compune problemele:

23

a) Adrian are o minge, Dan are o minge iar Mircea are o mainu. Cte jucrii au cei trei copii? b) Ionu are o minge. A mai primit de la bunicul o minge, iar de la Petre o mainu. Cte jucrii are acum Ionu? Se pot prezenta n continuare probleme compuse de elevi dup alte desene:

ntr-un stol sunt 5 porumbei. Un porumbel zboar n alt direcie. Ci porumbei au mai rmas n stol?

Dup desenul de mai sus elevii pot compune problemele:

24

a) ntr-o parcare au fost 3 maini. oferul unei maini a plecat cu maina sa acas dup ce fcuse cumprturi. Cte maini au rmas n parcare? b) Tatl lui Radu are o main gri metalizat. Tatl lui Bogdan are o main de aceeai culoare.Tatl lui Adrian are i el o main. Ei au plecat cu mainile spre localitatea Craiova. Pe drum prima i a treia main au fcut pan i au rmas n Strehaia. Cte maini au sosit n Craiova? Dup ce elevii i nsuesc noiunile de: metru, litru, kilogram, leu, or se pot efectua exerciii cu aceste uniti de msur, se pot rezolva i se pot compune probleme. n continuare se pot prezenta probleme compuse folosind unitile de msur.

Folosind desenul anterior elevii pot crea problemele: a) Tatl lui Gelu are de fcut un gard de 20 m. A lucrat 14 m din acest gard, din scnduri, iar restul din srm. Ci metri de srm a folosit? b) Tatl lui Mihai i-a propus s fac un gard lung de 20 m. A lucrat 14 m de gard din scnduri mpreun cu fiul su. Restul de gard din srm l va lucra singur. Ci m de gard din srm va lucra tatl lui Mihai singur? Compunnd probleme pe baz de desen, elevii au libertatea de a alege singuri calea de rezolvare. Iat dou probleme compuse dup urmtorul desen:

25

a)Georgeta a cumprat un co cu 4 kg de mere i o ldi cu 10 kg de cpuni. Cte kg de fructe a cumprat Georgeta? b)Mariana a cumprat 10 kg de cpuni pentru gem i 4 kg de mere pentru compot. Cte kg de fructe a cumprat Mariana? Se pot prezenta n continuare probleme compuse de ctre elevi folosind plane i uniti de msurare a timpului:

a) Andrei ncepe antrenamentul la tenis la ora 7 50 i termin la ora 10 14. Cte ore i minute st Andrei la tenis? b) Mihai pleac la bunica la ora 7 50 i ajunge acolo la ora 10 14. Cte ore i minute a cltorit Mihai? Dup desen pot compune i probleme compuse. La clasele mai mari ( II-IV) li se pot prezenta elevilor desene nsoite de date numerice cerndu-li se s alctuiasc, cu ajutorul lor, o problem.

8 lalele

2 lalele

2

+

3 lalele

Dup desenul de mai sus elevii pot compune problemele: a) Maria are 8 lalele. Ea i d Oliverei 2 lalele i Andei cu 3 lalele mai mult. Cte lalele i-au rmas Mariei? 26

b) Monica are 8 lalele. Geta are 2 lalele, iar Marius are cu 3 lalele mai mult dect Geta. Cte lalele au cei trei copii n total? Elevii clasei a II-a pot s compun probleme la capitolul nmulirea numerelor naturale de la 0 la 10 i la capitolul mprirea numerelor naturale.

a) George a primit n 3 zile cte 2 mere. Cte mere a primit George n cele 3 zile? b) Ionica i-a propus s deseneze cte 2 mere n fiecare zi timp de 3 zile. Cte mere a desenat Ionica n cele 3 zile? Deosebit de interesante sunt problemele pe care le alctuiesc elevii dup figuri geometrice desenate fie pe plane, pe fie sau la tabl, folosindu-se de noiunile de geometrie pe care le cunosc. Astfel, la clasele a III-a i a IV-a, n special la capitolul Noiuni de geometrie elevii pot s primeasc sarcina s formuleze probleme.

124 m

62 m 186 m Iat problema alctuit de ctre un elev: ntr-o grdin de 186 m lungime i 124 m lime s-a construit un bazin sub form de ptrat cu lungimea laturii de 62 m. Care este suprafaa rmas liber?

27

Se poate prezenta elevilor urmtorul desen: 6m

6m

48 m

97 m

Se formuleaz cerina ca s alctuiasc o problem dup acest desen. Elevii pot alctui urmtoarea problem: Planul unei ferme cu cele 2 drumuri de acces late de 6 m este redat n figura de mai sus. ntreaga suprafa este cultivat cu gru. Producia la hectar este de 5 tone Cte tone de gru s-au obinut de pe ntreaga suprafat? De asemenea, reprezentarea grafic se folosete deseori la capitolul Probleme de micare. i n acest caz elevii pot compune probleme dup desene, ca de exemplu: 1) A 62 km/h C 66 km /h B t = 4 ore

2) 36 km/h A 72 km/h B 60 km/h C

n primul caz elevii pot observa c este vorba de dou mobile care pornesc din localiti diferite, n sens opus, avnd vitezele date i timpul de 4 ore dup care se ntlnesc. Se poate deci cere s se afle distana dintre cele dou localiti. Iat o problem ce poate fi compus dup primul desen:

28

Un automobil care are viteza de 62 km/h pleac din oraul A spre oraul B. Alt automobil care merge cu viteza de 66 km/h pleac din oraul B spre oraul A. Se ntlnesc dup 4 ore n oraul C. Care este distana dintre cele dou orae? n cel de-al doilea caz elevii i dau seama, privind desenul, c este vorba de dou mobile care pornesc din localiti diferite avnd distana de 36 km ntre ele. Cele dou mobile se deplaseaz n acelai sens. Iat o problem compus dup al doilea desen: Un autoturism care merge cu viteza de 72 km/h pleac din oraul A. Din oraul B pleac un autocar care merge cu viteza de 60 km/h. Distana dintre cele dou orae este de 36 km. Dup ct timp autoturismul va ajunge autocarul? La ce distan de oraul A autoturismul ajunge autocarul? Iat probleme de micare ce pot fi compuse dup urmtorul desen: M V1 = 45 km / h V2 = 60 km / h a)Un motociclist, mergnd cu viteza de 45 km/h pleac din oraul M spre oraul N. Dup 2 ore, tot din M n aceeai direcie, pleac un camion care se deplaseaz cu viteza de 60 km/h. n ct timp l va ajunge oferul care conduce camionul pe motociclist? La ce distan de oraul M? b) Un autovehicul care merge cu viteza de 45 km/h pleac din oraul M spre oraul N. Dup 2 ore pleac tot din oraul M spre oraul N un automobil care are viteza de 60 km/h. Dup ct timp ajunge automobilul, autovehiculul? n compunerea problemelor dup date desenate sau schie, imaginaia elevului i analiza situaiilor posibile l ajut la stabilirea corespondenei dintre datele desenului i realitate, i dezvolt imaginaia creatoare. N t1=2 ore I

3.2.Folosirea algoritmilor de calculAlgoritm dup numele matematicianului arab de la nceputul secolului al IX- lea Al. Horezmi una dintre cele mai generale metode de activitate fizic sau intelectual. 29

Termenul i-a pstrat semnificaia sa, de ansamblu, de reguli i operatori proprii oricrui tip de calcul matematic sau de construcie logic, prin care, pornind de la anumite date se ajunge la un rezultat. A.A. Markov a fundamentat teoria care stabilete un ir finit de operaii elementare ce se stabilete ntr-o ordine constant pentru a prelucra informaiile i a rezolva problemele de un anumit tip. n nvarea matematicii, nsuirea tehnicii de calcul a algoritmilor de calcul constituie a, b, cul. Matematica nu se poate nva dect pe baza unui dezvoltat i solid fundament algoritmic. Pe tot parcursul nvrii matematicii este necesar s se urmreasc stabilirea unui echilibru just ntre dezvoltarea gndirii elevilor i formarea deprinderilor matematice, ntre latura care privete automatizarea i cea care privete contientizarea acestora. n instruirea colar algoritmul ar putea fi denumit ca o succesiune riguroas de raionamente de la care, dac nu te abai rezolvi singur o situaie problematic. Algoritmul presupune un demers logic, riguros, fiecare verig fiind determinat de cea anterioar i determinn-o pe urmtoarea. Formarea algoritmilor necesari este o sarcin ce vizeaz fundamentarea corect a premiselor inerente unei gndiri creatoare. n procesualitatea activitilor creatoare se disting dou etape: a) b) asigurarea unei baze logice de nelegere a operaiilor; aplicarea lor ntr-un mod original n practic.

Algoritmii de calcul, aceste scheme mintale, automatisme intelectuale, instrumente de eficien practic duc spre o suplee a gndirii. Odat nsuii algoritmii utili, gndirea se elebereaz de eforturi i poate s-i canalizeze energia spre rezolvarea unor probleme ce nu se pot soluiona pe baz de algoritmi. Este vorba de un ansamblu de automatisme intelectuale supple ce sunt variat mobilizabile. Dac s-ar introduce algoritmii ca nite formule date de-a gata, n procesul de nvmnt, lucrul acesta n-ar putea duce la creativitate. Contientizarea fiecrui moment din lanul rationamentelor i al ansamblului de legturi reprezint o antrenare a proceselor de gndire creatoare. Ne punem ntrebarea dac algoritmul mpiedic sau dezvolt creativitatea. Rspunsul este evident c n nsuirea unor concepte fundamentale, creativitatea nu este mpiedicat dac n fiecare moment din succesiunea care-l alctuiete este contientizat. nsuindu-se pe baz raional, algoritmul devine operaional prin transfer i n alte situaii, iar efortul depus de elev pentru a nelege fiecare operaie a algoritmului constituie o surs de dezvoltare a gndirii creatoare. Elaborarea algoritmului se face cu ajutorul elevilor, printr-o nlnuire a raionamentelor, iar nsuirea acestuia se realizeaz prin exerciii concrete de fixare a celor nvate. Etapele de construcie a algoritmului trebuie s fie deduse cu participarea activ a elevilor. Aa cum am scos n eviden n faa elevilor legtura calculului cu numerele, cu corespondena lor pe baza mulimilor, tot aa am subliniat i legtura dintre calculul i rezolvarea 30

problemelor ajutndu-i s transforme exerciiile n probleme i invers, adic s construiasc probleme pe baza unui exerciiu luat ca principiul lor de dezvoltare sub forma unui exerciiu de calcul. a)Probleme de aflare a dou numere cunoscnd suma si diferena nc din clasa a II-a elevii pot compune probleme de aflare a dou numere cunoscnd suma i diferena lor. Iat o problem ce poate fi compus de ctre un elev innd seama de relatiile: a + b = 25 ab=5 Ileana i Maria au mpreun 25 de creioane. Ileana are cu 5 creioane mai mult dect Maria. Cte creioane are Ileana? Cte creioane are Maria? Dup exerciiile: a + b = 45 a b = 31 Elevii pot compune problema: Tatl i fiul au mpreuna 45 ani. Tatl este mai mare decit fiul cu 31 de ani. Ci ani are tatl? Dar fiul? Doi bicicliti au parcurs mpreun 16 km. Unul dintre ei a parcurs cu 4 km mai mult dect cellalt. Ci km a parcurs fiecare? Elevii pot compune problema de mai sus innd seama de relaiile: a + b = 16 ab=4 Se compune n continuare probleme compuse dup urmtoarele reprezentri grafice:

74 8 1. O frnghie de 74 de m a fost tiat n dou pri astfel nct a doua parte s fie cu 8 m mai mare dect prima parte. Ci m are fiecare parte? 31

2. Maria i Antoaneta au 74 de beioare. Antoaneta are cu 8 beioare mai mult dect Maria. Cte beioare are Maria? Cte beioare are Antoaneta? 3. Suma a dou numere este 74. Al doilea numr este cu 8 mai mare dect primul. Care sunt cele dou numere? Se poate prezenta elevilor o plan pe care s scrie: S = 90 D=3 Se poate cere elevilor s formuleze probleme cunoscnd suma di diferena. Iat cteva probleme create de elevi: a) Suma a trei numere consecutive este 90. S se afle numerele.? b) Maria Geta i Viorel au primit 90 de caise. Geta a primit cu o cais mai mult dect Maria, iar Viorel a primit cu o cais mai mult dect Geta. Cte caise a primit fiecare copil n alte ore de matematica se poate cere elevilor s compun probleme dup prezentri grafice: a) Trei frai au mpreun 60 lei. Primul are cu 20 mai mult dect al doilea, iar al treilea are cu 10 lei mai mult dect al doilea. S se afle ce sum are fiecare copil?

I 20 II 10 III 60

b) 5 30 32

5

5

Iat o problem ce poate fi compus dup desenul de mai sus: Bunica d celor trei nepoi suma de 30 de lei. Mijlociul primete cu 5 lei mai mult decit mezinul, iar nepotul cel mare cu 5 lei mai mult dect cel mijlociu. Ci lei primete fiecare nepot? Elevii pot fi solicitai s compun problemele folosind relaiile: S = 23040 D = 2638 + 428 = 3066 Elevii din clasa a IV-a reuesc s compun probleme cu uurin dup aceste relaii: Trei coli dintr-un ora au primit de la depozitul de cri 23040 manuale colare pentru elevi. A doua coal a primit cu 2638 mai puin dect prima, iar a treia coal a primit cu 428 manuale mai mult dect a doua. Cte manuale a primit fiecare coal. Trei echipe au recoltat ntr-o zi 23040 kg cartofi. A doua echipa a recoltat cu 2638 kg mai puin dect prima echip, iar a treia echip a recoltat cu 428 kg mai mult dect a doua echip. Cte kg de cartofi a recoltat fiecare echip? b)Probleme de aflare a dou numere cunoscnd suma sau diferena lor i raportul dintre ele Se pot compune probleme cunoscnd: 1. a + b = 200 a/b=2/3 a) Suma a dou numere este 200. Raportul dintre primul i al doilea numr este 2 / 3 Aflai numerele b) Alina i Ana au adunat pentru coleciile lor ntr-o zi 200 de vederi. Raportul vederilor strnse de Alina i Ana este 2 / 3. S se determine cte vederi a strns n aceea zi fiecare feti? 2. c + d = 32 c/d=3/5 a) La concursul sportiv al clasei a II-a B particip 32 de elevi, unii la srituri alii la alergri. Ci elevi particip la srituri i ci particip la alergri, tiind ca raportul dintre numrul elevilor care particip la srituri i numrul elevilor care particip la alegri este 3 / 5 b) Doi frai rezolv n vacan 32 de probleme. Cte probleme rezolv fiecare, dac raportul dintre numrul problemelor rezolvate de al doilea copil i numrul problemelor rezolvate de primul copil este 3 / 5

33

Se poate cere elevilor s compun probleme cunoscnd diferena a dou numere i raportul dintre ele. a b = 45 a / b=3/5 a) ntr-o coal, numrul elevilor din clasele a II-a este mai mic cu 45 dect numrul elevilor din clasa I. Numrul elevilor din clasele I i a II-a este n raport de 4 / 3. Ci elevi sunt n clasa I i ci elevi sunt n clasa a II-a? b)La un magazin sportiv s-au adus cu 45 mai puine mingi de volei dect mingi de fotbal. Numrul mingilor de fotbal i volei este n raport de 4 / 3. Cte mingi de fotbal s-au adus? Cte mingi de volei s-au adus? c)La o librrie s-au adus cu 45 de pixuri mai puin dect creioane. Numrul creioanelor i al pixurilor este n raport de 4 / 3. Cte creioane s-au adus la librrie? Cte pixuri s-au adus la librrie? c) Compuneri de probleme cu indicarea operaiunilor matematice ce trebuie efectuate n scopul stimulrii creativitii se poate cere s alctuiasc probleme dup operaiile matematice ce trebuie efectuate. nc din clasa I, odat cu nvarea rezolvrii problemelor simple elevii pot formula oral i n scris, dac este posibil,, probleme simple n scopul dezvoltrii limbajului matematic: cu att mai mult, cu att mai puin, rest, n total, etc. Astfel de cerine pot fi : Formulai cte o problem care s se rezolve prin operaiile: a) 7 + 3 b) 10 4 c) 13 + 6 d) 48 25 multe variante a problemelor simple. Astfel, dup operaia 7 + 3, elevii pot fi dirijai s formuleze urmtoarele probleme: 1. Mihai are 7 cuburi, iar George 3 cuburi. Cte cuburi au mpreun? 2. Mihai are 7 cuburi, iar Gerorge cu 3 cuburi mai multe. Cte cuburi are George? 34 [4, p.25] Limbajul matematic al elevilor fiind destul de srac, se insist pe formularea n ct mai (clasa I)

3. Mihai are 7 cuburi. Primete de la George 3 cuburi. Cte cuburi are acum Mihai? Dup operaia 10 4 elevii pot fi dirijai s formuleze problemele: 1. Andra are 10 bomboane. i d Ginei 4 bomboane. Cte bomboane i-au rmas Andrei? 2. Cecilia are 10 bomboane, iar Margareta cu 4 mai puin. Cte bomboane are Margareta? Dup operaia 13 + 6, elevii pot formula problemele: 1. ntr-o poian erau 13 iepurai. Au mai venit 6 iepurai. Ci iepurai sunt acum n poian? 2. ntr-o poian erau 13 iepurai, iar in alt poian erau 6 iepurai. Ci iepurai erau n cele dou poienie? Dup operaia 48 25, elevii pot fi dirijai s formuleze urmtoarele probleme: 1. Mihi are 48 de timbre. i d lui rzvan 25 de timbre. Cu cte timbre a rmas Mihi? 2. Mihi are 48 de timbre, iar Rzvan are cu 25 de timbre mai puin. Cte timbre are Rzvan? Odat cu familiarizarea elevilor cu problemele compuse ei vor ncerca s compun astfel de probleme avnd dat rezolvarea lor. Este important i n acest caz, ca ei s foloseasc corect limbajul matematic i s formuleze probleme care s corespund realitii. Compunei probleme care se rezolv prin urmtoarele operaii: 17 5 = 12 17 + 12 = 29 271 + 473 = 744 744 x 2 = 1488 271 + 744 + 1488 = 2503 63 : 7 = 9 42 : 7 = 6 9 + 6 = 15 64121 + 11023 = 75144 889587 75144 = 814443 400 : 2 = 200 200 80 = 120 200 90 = 110 375 : 3 = 125 125 x 5 = 625 700 625 = 75

35

Exemplele pot continua cu altele asemntoare. n toate aceste cazuri, elevii trebuie s cuprind n enunul problemei datele din aceste operaii ajungnd la rezultatul final. Uneori li se poate specifica domeniul n care ii pot alege problema, alteori li se las independen total. Iat ce probleme se pot compune dup unele din aceste operaii: a) 1. ntr.un vas se afl 17 l lapte, iar n altul cu 5 l lapte mai puin. Ci l lapte se afl n cele dou vase? Cte castane au adunat cei doi copii? b) 1. ntr-o livad sunt 8 rnduri cu cte 7 peri i 9 rnduri cu cte 3 meri. Ci pomi sunt n livad? (clasa a III-a) 2. Ionel primete de la mama lui 7 nuci, iar sora lui Angela, primete de 8 ori mai mult. Marcel primete 3 nuci de la mama lui, iar sora lui Iriza primete de 9 ori mai mult Cte nuci primesc suzrorile celor doi biei? c) 1.Elevii clasei a II-a de la o coal au cules zmeur: fetiele au cules 42 de kg de zmeur, iar bieii au cules 63 kg zmeur pe care le-au asezat n coulee de cte 7 kg fiecare. Cte kg au strns elevii aceleli case? cei 42 biei. Cte rnduri de fete i biei au fost n total? d) .ntr-o bibliotec sunt 889587 volume. Din aceste 64121 sunt volume de poezii pentru copii, 11023 sunt volume de proz pentru copii, iar restul sunt volume pentru aduli. Cte volume pentru aduli sunt n bibliotec? (clasa a IV-a) e) 1.La pot s-au primit 271 scrisori simple, cu 473 mai mult scrisori recomandate, iar scrisori de felicitare dublul scrisorilor simple si recomandate. Cte scrisori s-au primit n total? (clasa a III-a) 2. La un spectacol au participat 271 brbai, femei cu 473 mai mult, iar copii de dou ori mai mult dect brbai i femei. Cte persoane au participat la spectacol? f) Diferena a dou numere este 65. care sunt numerele tiind c dac mprim numrul cel mare la cel mic obinem ctul 9 i restul 1. (clasele a III-a i a IV-a) g) 1.Doi frai au mpreun 40 lei, avnd sume egale. Ci lei mai rmn la fiecare, dac unul cheltuiete 10 lei, iar celalalt 20 lei? (clasele a III-a i a IV-a) 2.n dou couri sunt 400 de nuci. n fiecare co se afl un numr egal de nuci. 36 (clasa a III-a) 2. La un concurs sportiv 63 de fete s-au aezat cte 7 pe rnd. La fel s-au aezat i (clasa I) 2. Cornel a adunat 17 castane, iar Mirel a adunat cu 5 castane mai puin.

Cte nuci rmn n fiecare co, dac un copil ia din primul co 80 de nuci, iar din al doilea co ia 90 de nuci 3.n dou lzi sunt 400 de viine. n fiecare lad se afl un numr egal de viine. Cte viine rmn n fiecare lad, dac Andrei ia din prima lad 80 de viine, iar Marcela ia din a doua lad 90 de viine? h) Trei ciocolate cost 6 lei. Ce rest primete o persoan de la 10 lei dac va cumpra 4 ciocolate? (clasa a III-a) Acest mod de a compune probleme pare mai dificil pentru copii la nceput, ns, dup multe exerciii, ei vor nelege procedeul de lucru i vor fi atrai spre compunerea problemelor n acest mod. Pentru a-i exersa limbajul matematic i a-i activa vocabularul srac nc la aceast vrst este bine ca elevii s formuleze ct mai multe probleme dup acelai ir de operaii. Aceste sarcini se pot da ca munc independent n oricare moment al leciei sau se poate desfura ca activitate frontal, oral, activndu-se mai muli copii. d) Compuneri de probleme cu valori numerice date Aceast form de activitate este accesibil elevilor din toate clasele i astfel, gndirea copiilor este condus spre anumite rezultate prin eforturi proprii, avnd comun numai datele care le slujesc ca mijloc de control asupra exactitii calculelor. Comunicnd datele numerice se poate comunica i numrul de operaii prin care se rezolv problemele sau chiar felul operaiilor din rezolvarea problemei. Exemple: a) Compunei o problem cu numerele 3 i 5. (clasa I) b) Folosind adunarea i scderea compunei o problem cu numerele: 82, 17, 29. (clasa I) c) Compunei o problem n care s folosii numerele: 12, 8, 4, i semnele +, - . (clasa a II-a) d) Compunei o problem cu numerele 240, 4, 6 i operaii de adunare i nmulire. (clasa a III-a) e) Compunei o problem n care s folosii semnele +, -, i numerele 39, 14, 3. (clasa a II-a) f) Compunei o problem n care s folosii numerele 458 i 241 i dou operaii n rezolvarea ei. (clasa a III-a) g) Compunei o problem cu numerele 704, 269. 5 i cinci operaii. (clasa a IV-a) Este necesar ca cerinele formulate s fixeze subiectul leciei de matematica, s se integreze n capitolul respectiv. Iat variantele de probleme ce se pot crea dup cteva din cerinele formulate anterior. a) Florentin a cumprat 3 ascuitori, iar George 5 ascuitori. Cte ascuitori au cumprat cei doi elevi? 37

b) Pentru concursul anual al rezolvitorilor la Gazeta matematic un elev a rezolvat 82 de probleme. Un coleg al lui a rezolvat cu 17 probleme mai mult. Un alt coleg a rezolvat cu 29 de probleme mai puin dect al doilea elev. Cte probleme a rezolvat al treilea elev? c) Grigore a citit ntr-o zi 12 pagini dintr-o carte, a doua zi a citit cu 8 pagini mai mult dect n prima zi, iar a treia zi de 4 ori mai puin dect n a doua zi. Cu ct a citit mai mult n a doua zi dect n a treia zi? e) Compuneri de probleme dup un exerciiu numeric dat n vederea pregtirii elevului pentru dezvoltarea capacitilor sale creatoare se acord un spaiu larg compunerii de probleme dup exerciii bazate pe o singur operaie pn la exerciii complexe, chiar cu cele 4 operaii n clasele a III-a i a IV-a. Astfel de exemple sunt: La clasa I Compunei cte o problem dup exerciiile: 6 + (7 3) (7 + 2) + 1 9 (6 + 2) (5 + 4) 2 (8 2) + 4 (9 6) 2 2 + (4 + 3) 8 (5 4) 4+2+3 10 5 4 ?+5=8 ?7=3 10 - ? = 6 40 + 10 + 20 100 30 40 50 + 20 30 80 40 + 10 (20 + 30) + 40 (80 40) 10 (70 + 10) 50 (100 20) + 10 40 + (10 + 20) 90 (40 30) 24 + (24 + 30) 34 + (34 12) ? + (11 + 14) 21 = 17 13 + (15 12) 19 (14 + 3) (16 + 2) 11 (19 14) + 3 (13 + 2) + 4 (19 16) 1 14 + 6 8 12 + 3 + 4 20 9 1 17 3 2 49 24 13 26 + 31 14 25 + 33 +21 99 26 62 33 + (76 53) 97 (51 + 22) (32 + 44) 21 (75 52) + 65 98 (45 31) 23 + (32 +13)

Se cere elevilor buni s compun probleme dup exerciii mai complicate contribuind astfel la dezvoltarea creativitii gndirii elevilor. 6b+4=8 50 b + 10 = 30 5+a3=4 13 c + 4 = 16 m3+7=9 r 13 + 6 = 18 38 25 c + 11 = 23 4+a+2=7 82a=2

17 + b 8 = 11 20 + c 40 = 10 45 + d 34 = 21 50 + a + 30 = 90

o 20 + 40 = 70 e 24 + 31 = 56 13 + b + 22 = 79 98 43 c = 34

b53=1 c+32=8 d4+1=3 a + 4 3 4 = 10 [4, p.48]

La clasa a II-a Compunei cte o problem dup urmtoarele exerciii: 6+3+8 (14 5) + 14 8 + (8 + 9) 18 + (18 + 27) 90 (37 + 28) 224 + (224 + 131) 231 + (231 120) (56 + 27) 48 62 + (62 19) 26 + 37 + 49 40 + (40 17) 919 (361 + 188) 1000 (501 318) (50 36) + 18 (181 + 91) + (302 177)

Elevii buni au compus probleme dup exerciiile: a + 19 + 68 = 99 c 418 = 499 318 = 381 d 318 = b + 209 La clasa a III-a Compunei probleme ale cror rezolvri vor duce la exerciiile: 76 + 6 x 74 3 x 148 + 2 x 183 6 x 79 + 4 x 27 12 x 2 + 16 x 3 + 4 x 5 (12 +6) x (3 + 2) 903 (237 +5) : 2 150 (42 x 2) (20 x 5) : 4 100 + 100 : 10 100 : 2 895 : 5 + 238 : 2 + 37 x 4 1520 : 5 384 : 3 815348 (12934 9999) + 108 x 6 207 124 + (24 x 2) (2 x 33) + (34 x 2) 100 60 + d + 100 = 900 1000 (a 319) = x + 150 + 209 = 666 (x 129) 276 = 133

Se pot da elevilor buni exerciii mai dificile dup care s compun problemele. Elevii pot compune probleme i dup exerciii create de ei: 39

a (581 500) : 3 = 3 (700 236) : 4 + a = 200 (a + 128) : 5 20 = 9 (a 100) x 9 + 14 = 50 La clasa a IV-a Compunei probleme ale cror rezolvri vor duce la exerciiile: (3106 + 7229) x 12 : 18 718208 1076320 : 280 15086 + 409 x 376 (43532 37876) x 1347 5128454 : 28334 791252 : 308 + 98320 + (304 x 283 x 5280) 70809 + 708090 7080 708 (5700 700 x 3) : (200 x 18) Elevii buni pot primi exerciii mai dificile: Ei pot compune cu uurin probleme dup aceste exerciii: 3127 + (96 + b) = 3304 (4056 + c) 2072 = 3081 (11000 6000) + 200 x a = 5000 a x 2 : 14 + (64 + 36) : 10 = 17 (c + 128) 676 = 1835 (7318 a) + 608 = 5387 Dup capitolul Unitile de msur se poate cere elevilor s alctuiasc probleme dup urmtoarele exerciii: a) 23 l + (23 l + 11 l) = ? l (clasa I) Iat problema ce poate fi alctuit de unii elevi: O cantin a primit un bidon cu 23 l de lapte i un alt bidon avnd cu 11 l mai mult dect primul. Ci l de lapte sunt n cele dou bidoane? b) 28 kg + ( 28 kg : 4) + 17 kg = ? kg Cte kg de legume a cules Mihaela? c) (67 m 39 m) + (54 m 37 m) = ? m Un elev poate compune urmtoarea problem: (clasa a III-a) (clasa a II-a) Mihaela a cules din grdin 28 kg de roii, de 4 ori mai puine kg de fasole i 17 kg vinete.

40

Dou buci de stof au lungimile 67 m i 54 m. Din prima bucat se vnd 39 de m, iar din a doua 37 de m. Ci m de stof au cele dou buci mpreun, dup ce s-a vndut din ele? d) 18400 kg [7200 kg + (7200 kg : 10) + (7200 kg : 10 + 399 kg)] (clasa a IV-a) O elev poate alctui urmtoarea problem: La un chioc cu fructe s-au vndut 18400 kg fructe n 4 zile. n prima zi s-au vndut 7200 kg; a doua zi de 10 ori mai puin dect n prima zi, iar n a treia zi cu 399 mai mult dect n a doua zi. Cte kg de fructe s-au vndut n ziua a patra? f) Compuneri de probleme dup un model simbolic Deosebit de plcute i interesante sunt orele destinate compunerii de probleme dup exerciii literale date. De exemplu: Se pot compune probleme ale cror rezolvri vor duce la urmtoarele expresii literale: La clasa I a+b ab a+b+c a+bc abc msur i anumite numere. Creai probleme dup exerciiile date: a + (a b) = c a (b + c) = d La clasa a II-a (a + a) (b + c) (a x b) + (c + d) (a x b) (c x d) a (b x c) (d x e) (a : b) x c (a : b) : c (a : b) + (c : d) (a : b) x (c : d) (a + b) x c (a b) x c a x (b c) a : (b c) (a b) : c (a x b) x c (a x b ) : c (a : b) c a x (b x c) a : (b x c) unde a = 36 m, b = 15 m unde a = 9 lei, b = 4 lei, c = 2 lei abc a (b + c) a + (a + b) a + (a b) a (b c) a+b+c+d a (b + c + d) a + (b c) a+b+cd abc+d

La capitolul Uniti de msur se poate indica elevilor s foloseasc anumite uniti de

41

La clasa a III-a a:b+c a:bxc a (b : c) (d : e) a x (b + c) x (b + d) a + (a x b) + (a x b : c) + a x b : c d) axb+cxd a+a:b+a:c a:b+c:d+dxe La clasa a IV-a (a + b) : c + (a + b) x c a + (a b) + [a + (a b)] x 10 a : b + c : (b x d) + e : (b x d x f) a (b x c + d : e) Am folosit la clasa a IV-a pe lng formulele cu simboluri literale i formulele relaiei dintre distana (d), vitez (v) i timp (t): d=vxt t=d:v v=d:t t = d / v1 + v2 t = d / v1 v2 unde d = distana v1 = viteza primului mobil v2 = viteza celui de-al doilea mobil Acest gen de compuneri de probleme presupun un mai mare grad de generalitate. Elevii compun probleme cu uurin dup modelele simbolice, dac n prealabil au rezolvat probleme diverse la care au sintetizat la sfritul rezolvrii expresia literal. Exemplele trebuie s se ncadreze logic n tema leciei respective. Aceleai expresii literale se da la clase diferite, datele problemelor create fiind n funcie de nivelul de pregtire al elevilor. g) Compuneri de probleme dup modelul unei probleme rezolvate anterior Dup ce elevii au neles ce este o problem i au nvat s-o rezolve, ei vor compune cu uurin probleme asemntoare cu cele rezolvate anterior. n acest caz, compunerea problemelor este un mijloc eficace de a fixa procedeul de rezolvare a problemelor. La nceput, elevii compun probleme 42

cu aceleai date numerice ca ale problemei precedente. Ei au sarcina s schimbe nunami enunul problemei. Fie problema: ntr-o coala sunt n clasa I A 36 elevi, iar n clasa I B cu 7 elevi mai puin. Ci elevi sunt n cele dou clase I? Elevii au rezolvat aceast problem. Apoi au creat altele asemtoare. Au schimbat enunul problemei, datele numerice rmnnd aceleai. Un elev a creat urmtoarea problem: ntr-un vas sunt 36 l de ulei, iar n alt vas cu 7 l de ulei mai puin. Ci l de ulei sunt n cele dou vase? Am cerut elevilor s creeze probleme n care intervin toate operaiile nvate. De exemplu: am rezolvat problema urmtoare i apoi am ndrumat pe elevi s creeze probleme asemntoare. n corul colii sunt elevi din clasele a IV-a, a VII-a i a VIII-a din clasele a VI-a vin la cor 20 elevi, din clasele a VII-a vin de trei ori mai muli elevi dect cei din clasele a VI-a, iar numrul elevilor ce vin la cor din clasele a VIII-a este de dou ori mai mic dect numrul elevilor ce vin la cor din clasele a VI-a i a VII-a. Ci elevi vin la corul colii n total? (clasa a II-a) Iat o problem creat de un elev: ntr-o livad sunt 20 de pruni, caii de 3 ori mai muli dect pruni, iar cirei de 2 ori mai puin dect pruni i caii. Ci pomi sunt n total n livad? Dup rezolvarea unor probleme, am cerut elevilor s compun probleme asemntoare cu cele rezolvate lsnd enunul neschimbat, schimbnd ns toate datele numerice ale problemei. De exemplu, dup rezolvarea problemei: Mama a cumprat pentru dulcea 15 kg cpuni, iar viine cu 8 kg mai puin. Cte kg de fructe a cumprat mama? (clasa a II-a) Elevii au schimbat datele problemei i au creat o problem sub forma: Mama a cumprat 22 kg de cpuni, iar viine cu 7 kg mai puin. Cte kg de fructe a cumprat mama? n aceste cazuri se urmrete ca datele problemei s corespund realitii, de aceea nu se poate utiliza acest procedeu la o gam variat de probleme. Pentru dezvoltarea flexibilitii gndirii elevilor am folosit mai mult primul procedeu la orice fel de problem, aceasta contribuind i la dezvoltarea vocabularului elevilor. Dup ce elevii au rezolvat mai multe probleme folosind metoda reducerii la unitate au fost solicitai s creeze alte probleme asemntoare cu acestea schimbnd doar datele numerice. Exemplu: 43

10 saci de cartofi cntresc 400 kg. Ct cntresc 15 saci cu cartofi de aceeai capacitate? Dup ce elevii au aflat c un sac cntrete 40 de kg au formulat noua problem: 8 saci de cartofi cntresc 320 de kg. Ct cntresc 12 saci cu cartofi de aceeasi capacitate? nc din clasa a II-a, dup introducerea problemelor cu rezolvare prin metoda figurativ se poate cere elevilor s creeze probleme asemntoare. Dup rezolvarea urmtoarei probleme am dirijat elevii s creeze probleme asemntoare: Maria si Simona au mpreun 15 manuale colare. Maria are cu 5 manuale mai mult dect Simona. Cte manuale are fiecare elev? Iat problema creat de ctre un elev: n clasele a III-a i a IV-a am cerut elevilor s alctuiasc probleme dup urmtoarele reprezentri grafice: a) 1000 b) 250 100 c) 12 858 36 d) 346 2 ? 200 [4, p.73] (clasa a II-a)

e) 2 44

200

2 2

2 2 2

f) 174 1359 35 187 g) 8 48 [5, p. 216]

Formulai probleme cunoscnd urmtoarele relaii dintre datele lor: a) a + b + c = 640 b = a + 36 c=2xa b) a = c x 3 b=2xc a b = 12 c) a + b + c = 39 a : c = 4 rest 1 b : c = 2 rest 3 h) a + b + c = 418 a=2xc b = (a : 4) 2 i) b = a + 26 c=bx4 a + b + c = 79 j) a + b + c = 458 b = a 50 b=c:2

Se urmrete ca problemele formulate de elevi s respecte cerinele date, s corespund realitii, iar exprimarea s fie corect din punct de vedere matematic i logic. Se ndrum elevii s formuleze probleme din toate domeniile. Un tip interesant de probleme l constituie problemele vrstelor. Dup ce se rezolv mai multe probleme de acest gen, sunt rugai elevii s creeze probleme asemntoare folosind vrstele reale ale prinilor lor, ale bunicilor, ale lor. Folosind compunerea problemelor prin analogie, elevii i pot fixa mai bine i metoda reducerii la acelai termen de comparaie. Se cere elevilor s rezolve problema:

45

17 saci cu fin i 26 saci cu cartofi cntresc 2764 kg. 35 saci cu cartofi i 17 saci cu fin cntresc 3250 kg. Ct cntrete un sac cu cartofi i ct cntrete un sac cu fin. [6, p.47] Dup rezolvarea acestei probleme elevii pot crea o problem asemntoare avnd acelai termen de comparaie numrul sacilor de cartofi. Un elev poate compune urmtoarea problem. 21 saci cu fin i 24 saci cu cartofi cntresc 2919 kg. 13 saci cu fin i 24 saci cu cartofi cntresc 2319 kg. Ct cntrete un sac cu fin i ct cntrete un sac cu cartofi? n cazul metodei ipotezelor, elevii pot fi iniiai n crearea problemelor de acest tip dup ce iau nsuit procedeul de rezolvare. Elevii pot folosi ca model problemele rezolvate anterior. Se poate cere elevilor s alctuiasc o problem care s se rezolve prin metoda falsei ipoteze folosind suma de 85 lei i bancnote de 2 i 5 lei . Un elev poate compune urmtoarea problem: S-a pltit suma de 85 lei cu bancnote de 2 i 5 lei. Cte bancnote de fiecare fel s-au pltit? (clasa a IV-a) [7, p.225] Alte cerine care se pot formula pentru stimularea creativitii elevilor la acest capitol sunt: Alctuii probleme prin metoda ipotezelor folosind: a) a capete i b picioare de iepuri i gini: b) x ldie cu fragi, de 8 kg i 6 kg care conin n total a kg: c) x apartamente cu 3 i 4 camere cunoscnd c sunt b camere n total: d) x ldie cu roii de 8 kg i 10 kg care conin n total b kg: e) x maini cu 2 i 4 ui cunoscnd c au n total a uu: f) x grinzi de brad de 28 kg i de stejar de 46 kg care cntresc b kg. Se poate introduce metoda retrograd sau a mersului invers nc din clasa I. Elevii pot rezolva mai multe probleme. Li se cere s formuleze o problem asemntoare cu problema care urmeaz: Mama a pregtit pentru iarn un numr de borcane cu dulcea de cpuni, dulcea de caise cu 8 borcane mai mult dect dulcea de cpuni , dulce de zmeur cu 3 borcane mai puin dect dulcea de caise, adica 17 borcane. Cte borcane cu dulcea de cpuni pregtit mama? Un elev poate formula o problem asemntoare cu cea anterioar pstrnd datele problemei. ntr-o gar era un numr de trenuri. De diminea au venit 8 trenuri i au plecat 3 trenuri, n gar fiind acum 17 trenuri. Cte trenuri au fost la nceput n gar? Deseori, la clasa I am formulat probleme. Exemplu: 46

M gndesc la un numr, adun 5 i obin 8. La ce numr m-am gndit? Li se cere elevilor s formuleze probleme asemntoare cu cea de mai inainte folosind alte numere. La clasa a II-a am formulat probleme mai dificile. Exemplu: M gndesc la un numr. Dac-l nmulesc cu 3 i adun la produs 28, obin 94. S se afle numrul? Li se cere elevilor s formuleze o problem asemntoare. Aici intervine ingeniozitatea elevilor prin modul de alegere al domeniului problemei. Iat o problem creat de un elev de clasa a II-a: Am avut un numr de ciree. Dup ctva timp am observat ca am de 3 ori mai multe ciree dect la inceput. Am primit de la un prieten 28 de ciree i am totalizat 94 de ciree. Cte ciree am avut la nceput? Am formulat apoi urmtoarea problem: M gndesc la un numr la care adaug mai nti 10 i apoi 15. din rezultatul obinut scad 12 i obin 26. La ce numr m-am gndit? Un elev poate compune urmtoarea problem asemntoare cu cea de mai sus: Am avut un numr de caise pe o tav. Mama aezat la prnz nc 10 caise pe tav, iar mai trziu nc 15 caise. Am mncat mpreun cu doi prieteni 12 caise i au mai rmas 26 caise pe tav. Cte caise au fost la nceput pe tav? n clasele a III-a i a IV-a problemele capt un grad sporit de dificultate. n aceast periioad problemele de rest din rest au un enun care le evideniaz denumirea. Dup ce elevii au rezolvat mai multe probleme de acest fel ei au alctuit probleme asemntoare cu cele rezolvate. Eu am formulat problema urmtoare: La o librrie se vnd caiete. n prima zi se vinde cu 1/9 din numrul de caiete existent. A doua zi se vinde 1/8din numrul de caiete rmase, iar a treia zi 1/7 din noul rest de caiete. n librrie rmn 522 caiete. Cte caiete au fost n librrie nainte de a ncepe vnzarea? Compunei probleme asemntoare cu aceast problem. [8, p. 156] Iulia a citit o carte n mai multe zile. n prima zi a citit 1/9 din numrul paginilor crii. A doua zi a citit 1/8 din restul paginilor, iar a treia zi a citit 1/7 din noul rest, urmnd ca n urmtoarele zile s citeasc 522 pagini i s termine cartea. Cte pagini a citit n fiecare zi Iulia? 47

Cte pagini avea cartea?

(clasele a III-a i a IV-a)

La capitolul Uniti de msur se poate formula urmtoarea problem: Un biciclist a parcurs un drum n mai multe etape: n prima etap 1/5din ntreg drumul, n a doua etap 1/9 din rest, iar n a treia etap 1/4 din noul rest i i-au mai rmas de parcurs 172 km. Ci km are tot drumul? Ci km a parcurs n fiecare etap? Elevii sunt solicitai s formuleze probleme utiliznd alte uniti de msur. La un aprozar s-a vndut 1/5 din cantitatea merelor aflate la vnzare. A doua zi s-a vndut 1/9 din rest, a treia zi 1/4 din cantitatea rmas, rmnnd n aprozar 72 de kg de mere. Cte kg de mere se aflau naintea ultimei vnzri? Ali elevi pot compune probleme n care s foloseasc i alte uniti de msur: l, m. De asemenea, se poate cere elevilor din clasa a IV-a sa formuleze probleme care s se rezolve prin aceast metod, folosind desenele: a) 1/4 1/3 1/2 50 b)

48

1 1 1/2 3 Se poate solicita elevilor s compun probleme asemntoare cu cele rezolvate i la capitolul Noiuni de geometrie. Elevii pot rezolva problema. Terenul proprietate personal al unui tran are forma de ptrat cu perimetrul de 240 m. Din ntraga arie 1/5 este grdin de zarzavat, restul fiind plantat, n mod egal cu vi de vie i pomi fructiferi. Ce arie ocup fiecare din ele? Se poate alctui problema: Un prcule de forma unui ptrat are perimetrul de 240 de m. Din ntreaga arie 1/5 este nsmnat cu iarb, iar restul parcului fiind ocupat n mod egal cu alei i locuri de joac. Ce arie ocupa fiecare din ele? Este suficient, ca s fie solicitai elevii s creeze probleme asemntoare cu cele rezolvate, chiar dac acestea nu pot fi scrise n mod independent de fiecare, oral, se pot formula ntr-un timp optim care nu este pierdut oricum.

3.3. Compunere de probleme cu modificarea coninutului i a datelorCompunerea de probleme cu modificarea coninutului i a datelor este una dintre modalitile principale ce dezvolt gndirea independent i original a copillor, le cultiv i le educ creativitatea gndirii. Se poate da elevilor enunul urmtoarei probleme: ntr-o livad sunt 18 gutui i de trei ori mai mult nuci. Ce se poate ntreba? Elevii pot da urmtoarele rspunsuri: -Ci nuci sunt ? -Ci pomi fructiferi sunt n livad ? -De cte ori sunt mai puini gutui dect nuci? -Cu ct sunt mai muli nuci dect gutui? -Cu ct sunt mai puini gutui dect nuci?

49

Dup epuizarea tuturor posibilitilor se pot solicita elevii ca s complice problema expunndo sub forma sumei i diferenei modificndu-i coninutul. Se poate cere elevilor s modifice ntrebrile unei probleme: ntr-un parc sunt zece brdui i de trei ori mai muli pini. Ci copaci sunt n parc? Se poate cere elevilor s modifice enunul ajungnd la urmtoarea formulare: ntr-un parc sunt zece brdui i de trei ori mai muli pini. A cincea parte din copaci s-au tiat. Ci copaci s-ai tiat? Se poate cere elevilor s formuleze alt ntrebare la aceas problem. Ei pot formula ntrebarea: Ci copaci au rmas n parc? Este necesar ca elevii s fie ateni la textul problemei.

3.4.

Folosirea schemelor logice

Schema se poate folosi n compunerea de probleme i la elevii care au o gndire mai lent deoarece i ajut s aleag acele mrimi ntre care pot stabili o relaie logic n funcie de ntrebarea problemei i s gseasc relaia matematic dintre ele. Se poate da elevilor urmtoarea schem: [9, p.111] mult.......? 40 lei ............................................... cu 21 lei mai puin.......?

?

? Dup aceast schem elevii pot compune problemele: Mihai are 40 lei. George are cu 21 lei mai mult. Ci lei au au cei doi copii in total? Maria are 40 de lei, iar Georgeta are cu 21 lei mai puin. Ci lei au cele dou fete n total? Se pot prezenta elevilor scheme care cuprind cele patru operaii aritmetice:

50

a U

x2

- 10

+ 16

36

Un elev poate compune urmtoarea problem: M gndesc la un numr. l nmulesc cu 2, din rezultat scad 10. La noul rezultat adun 16 i obin 36. Care a fost numrul la care m-am gndit? Folosind schemele se stimuleaz flexibilitatea i creativitatea gndirii elevilor li se educ voin n gsirea algoritmilor pe o cale mai uoar aprnd ca un joc didactic.

3.5.

Alte procedee

Diversele procedee ce pot fi folosite la clas exercit o influen deosebit asupra gndirii elevilor, ajungndu-se la un nalt nivel de generalizare i abstractizare. a) Compuneri de probleme cu un nceput dat cu sprijin de limbaj Pot fi solicitai elevii s compun o problem folosindu-se de struguri, gutui, pere. Exemple: Marcel are 5 struguri. Primete de la fratele su trei gutui i la sora sa dou pere. Cte fructe are Marcel n total? Ioana are dou gutui. Mihaela are de trei ori mai muli struguri, iar Ovidiu are cu 5 pere mai puin dect numrul strugurilor i al gutuilor celor dou colege. Cte pere are Ovidiu? Elevii pot gsi ntrebarea Cte fructe au cei trei copii n total? Se poate cere elevilor s compun o problem dup schema: 4 navete cu cte 30 de sticle / navet 4 rafturi cu cte 215 sticle / raft 728 sticle Elevii pot compune problema: La un magazin s-au adus ntr-o zi patru navete cu cte 30 de sticle n fiecare navet. Aceste sticle conineau Pepsi Cola. S-au adus i sticle cu ulei. Au fost aezate cte 215 sticle pe fiecare raft. Sticlele cu ulei au fost asezate pe 4 rafturi. n acea zi s-au mai adus 728 sticle cu vin. Cte sticle cu Pepsi Cola i cu vin s-au adus? Pentru a-i ajuta pe elevi mai mult n compunerea problemelor li se poate da nceputul problemei ca de exemplu: La un atelier de croitorie s-au adus 120 m stof. A doua oar s-a adus cu o ptrime mai mult

51

Se cere elevilor s completeze problema astfel nct s se resolve prin 5 operaii i s rspund la ntrebarea: Cte costume s-au confecionat? Elevii pot completa problema astfel: La un atelier de croitorie s-au adus 120 m stof. A doua oar s-a adus cu o ptrime mai mult stof. Jumtate din stof se ntrebuineaz pentru costume brbteti. tiind c pentru un costum sunt necesari 3 m de stof, cte costume s-au confecionat? b) Compuneri de probleme dup ntrebri Se cere elevilor s compun o problem care s se rezolve cu ajutorul a trei ntrebri, ntrebarea problemei fiind: Ci lei i d bunica lui Andrei? Unii elevi pot compune problema: Andrei a primit de la mama 10 lei,