043_Matematica Tema 2 Bac M2

7/28/2019 043_Matematica Tema 2 Bac M2

1/18

1

LECII DE SINTEZn vederea pregtirii sesiunii iulie-august a examenului de

BACALAUREAT 2012 - M2pentru candidaii absolveni ai liceelor din filiera tehnologic,

profil: servicii, resurse naturale i protecia mediului, tehnic; toate specializrile/calificrileMATEMATIC

TEMA 2. Algebr clasa a XI-a (3h/spt.), clasa a XII-a (3h/spt.)

Argument:Prezentul breviar teoretic are ca scop orientarea activitilor de recapitulare a materiei la matematic, nvederea asigurrii atingerii nivelului minim / mediu de competen i nu reprezint o list exhaustiv.De asemenea, la aplicarea formulelor prezentate se va ine cont de nsoirea acestora de condiii deexisten n funcie de mulimile de numere pe care se aplic.

TEMA 1. Algebr - Geometrie Trigonometrie clasa a IX-a (2h/spt.), clasa a X-a (3h/spt.)TEMA 2. Algebr clasa a XI-a (3h/spt.), clasa a XII-a (3h/spt.)TEMA 3. Analiz matematic clasaa XI-a (3h/spt.), clasa a XII-a (3h/spt.)

TEMA 2. Algebr clasa a XI-a (3h/spt.), clasa a XII-a (3h/spt.)2.1. Algebr clasa a XI-a

2.1.1. Matrice - clasa a XI-a (3h/spt.)2.1.2. Determinani - clasaa XI-a (3h/spt.)2.1.3.Sisteme de ecuaii liniare - clasa a XI-a (3h/spt.)

2.1.1. Matrice - clasa a XI-a (3h/spt.)

Matrice, mulimi de matrice: , ( ), , 1,3m n m n =M ;11 12

221 22

( ) | , 1,2, 1,2ija a

a i ja a

= = =

M , mulimea

matricelor ptratice de ordinul 2, cu elemente numere reale;

11 12 13

3 21 22 23

31 32 33

( ) | , 1,3, 1,3ij

a a a

a a a a i j

a a a

= = =

M , mulimea matricelor ptratice de ordinul 3, cu elemente

numere reale.Elementele unei matrice , 1, , 1,( ), ( )m n ij i m j nA A a = = =M , ija este elementul de pe linia i i de pe coloana j .

Identificarea unui element dintr-o matrice cnd se cunoate poziia acestuia (perechea de indici).Exemplificarea de matrice; obinerea unor matrice particulare dintr-o mulime de matrice ce verific condiii

date, de exemplu, pentru 2 222

| ( ), 2 1a b

A A a bb a

= = =

M M se pot identifica

1 0

0 1A

=

sau

3 4

2 3A

=

.

Transpusa unei matrice (liniile devin coloane i coloanele devin linii); de exemplu, matricea2 3 1

0 1 5

A

=

are transpusa

2 0

3 1

1 5

tA

=

.

Matricea nul este matricea cu toate elementele egale cu 0.

Matricea unitate (pentru matrice ptratice): 21 0

0 1I

=

, 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

=

.


2/18

2

Alte tipuri de matrice: matrice linie, matrice coloan.

Operaii cu matrice din mulimea , ( ), , 1,3m n m n =M

adunarea: dac ,, ( )m nA B M , ( )ijA a= , ( )ijB b= , atunci A B C+ = , unde , ( )m nC M i

ij ij ijc a b= + , oricare ar fi 1,i m= i 1,j n= (se adun elementele de pe poziii identice din cele dou matrice,

termeni ai adunrii); proprieti ale adunrii de matrice : asociativitate, comutativitate, element neutru (matriceanul, opusa unei matrice)

nmulirea unei matrice cu un scalar: dac , ( ),m nA M , ( )ijA a= , atunci A C = , unde

, ( ), ( )m n ijC C c =M i ij ijc a= , oricare ar fi 1, , 1,i m j n= = (se nmulete fiecare element al matricei cu

scalarul ); se poate utiliza i pentru scoaterea unui factor comun (forat); proprieti:( ) A A A + = + ; ( ) ( )A A = , unde ,

nmulirea matricelor n cazurile bine definite: dac , ,( ), ( )m n n pA B M M , ( )ijA a= , ( )ijB b= ,

atunci A B C = , unde , ( ), ( )m p ijC C c =M i1

n

ij ik kjk

c a b=

= , oricare ar fi 1, , 1,i m j p= =

Observaii.nmulirea matricelor ptratice de acelai ordin; proprieti: asociativitate, element neutru, matricea unitate.Exist perechi de matrice pentru care nmulirea lor este comutativ.Efectuarea de calcule matriceale, cu utilizarea de proprieti; rezolvarea de ecuaii matriceale care implic

adunarea matricelor i nmulirea cu scalari a matricelor.

2.1.2. Determinani - clasa a XI-a (3h/spt.)

Determinantul unei matrice ptratice de ordin cel mult 3; calculul unui determinant de ordin cel mult 3 curegula triunghiului i/sau cu regula lui Sarrus:

- dac 2 ( ),a b

A Ac d

=

M , atunci det

a bA ad bc

c d= = ;

- regula de calcul a determinailor de ordinul 3 (Sarus), de exemplu:

1

0 3 1 (3 0 ) (3 4 0) 0

1 4 11

0 3 1

x y

x y x

x y

= + + + + =

Proprieti ale determinanilor(selecie):- dac ntr-un determinant dou linii (coloane) sunt identice, atunci determinantul este nul;- dac ntr-un determinant elementele unei linii (coloane) sunt nule, atunci determinantul este nul;- dac ntr-un determinant se adun la elementele unei linii (coloane) elementele altei linii (coloane),

atunci valoarea determinantului nu se schimb;

- det det( )tA A= , oricare ar fi A matrice ptratic;- det( ) det detAB A B= , oricare ar fi ,A B matrice ptratice de acelai ordin;

Aplicaii ale determinanilor n geometrie:

- ecuaia unei drepte determinate de dou puncte distincte 1 1( , )A x y i 2 2( , )B x y este 1 1

2 2

1

1 0

1

x y

x y

x y

=

- condiia de coliniaritate a trei puncte 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y i 3 3( , )C x y este1 1

2 2

3 3

1

1 0

1

x y

x y

x y

=


3/18

3

- aria S unui triunghi ABC cu vrfurile 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y i 3 3( , )C x y 1

2S= , unde

1 1

2 2

3 3

1

1

1

x y

x y

x y

= .

2.1.3.Sisteme de ecuaii liniare - clasa a XI-a (3h/spt.)

Matrice inversabile n { }( ), 2,3n n M :

- definiia matricei inversabile: ( )nA M este inversabil exist ( )nB M astfel nct

nA B B A I = =

- condiia pentru ca o matrice { }( ), 2,3nA n M s fie inversabil este det 0A

- calculul inversei unei matrice din { }( ), 2,3n n M : calculul determinantului (i impunerea condiieica acesta s fie diferit de 0), scrierea transpusei, calculul complemenilor algebrici i determinarea matricei

adjuncte, 11

detA A

A =

- caz particular pentru matricele de ordin 2: dac 2 ( ),a b

A Ac d

=

M i det 0

a bA ad bc

c d= = ,

atunci

1 1

det

d b

A c aA

=

- determinarea inversei unei matrice inversabile prin utilizarea de proprieti algebrice ale calculului

matriceal; de exemplu, dac 3( )A M i din ipoteza unei probleme obinem o relaie de tipul2

33A A I = ,

relaia se poate rescrie 3 3 3( 3 ) ( 3 )A A I A I A I = = , de unde1

33A A I =

- proprieti: ( )11A A

= ; ( )1 1 1AB B A

= , undeA i B sunt matrice inversabile.

Ecuaii matriceale de tip:

a) AX B= cu soluia 1X A B= (n cazul n care A este o matrice ptratic i inversabil)

b) XA B= cu soluia 1X BA= (n cazul n care A este o matrice ptratic i inversabil)

c) AXB C= cu soluia 1 1X A CB = (n cazul A , B matrice ptratice i inversabile).

Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; caracterizare: din punct de vedere al existenei soluiei: compatibil (sistemul admite soluie/soluii); incompatibil(sistemul nu admite soluii);

din punct de vedere al unicitii soluiei unui sistem compatibil: sisteme cu soluie unic (compatibildeterminate) sau cu soluii care depind de un parametru (simplu nedeterminate), de doi parametri (dublunedeterminate),...

Metode de rezolvare:metoda substituiei; metoda reducerii (metoda lui Gauss, cu pivotare)

metoda matriceal: aducerea sistemului la forma matriceal, AX B= 1X A B = , unde A este o matriceptratic i inversabil aplicarea metodei lui Cramerpentru rezolvarea sistemelor liniare (numrul ecuaiilor este egal cu numrulnecunoscutelor i det 0A , unde A este matricea sistemului): calcularea determinanilor obinui dindeterminantul matricei A prin nlocuirea, pe rnd, a cte unei coloane corespunztoare fiecrei necunoscute cucoloana termenilor liberi; determinarea soluiei.

TEMA 2. Algebr - clasa a XI-a (3h/spt.), clasa. a XII-a (3h/spt.)2.2.1. Grupuri - clasa a XII-a (3h/spt.)2.2.2. Inele i corpuri - clasaa XII-a (3h/spt.)2.2.3. Inele de polinoame cu coeficieni ntr-un corp comutativ ( , , p , unde p prim) - clasa a XII-a

(3h/spt.)


4/18

4

2.2.1. Grupuri - clasa a XII-a (3h/spt.)

Lege de compoziie intern: : , ( , )M M x y x y , unde este o mulime nevid.Tabla unei legide compoziie intern pe o mulime M

Clase de resturi mod n , { } | restul mpririi lui la este egal cuk t t n k = , unde { }0,1, 2,..., 1k n ;

mulimea claselor de resturi { }{ } | 0,1,2,..., 1n k k n= , *n .

Operaia de adunare pe n : a b c+ = , unde clasa c se determin calculnd restul mpririi sumei ( )a b+ lan ; proprieti: asociativitate, comutativitate, element neutru 0 ; opusul clasei , {1,2,..., 1}k k n este clasa lui

n k .

Operaia de nmulire pe n : a b c = , unde clasa c se determin calculnd restul mpririi produsului ( )a b

la n ; proprieti: asociativitate, comutativitate, element neutru 1 ; exist inversul clasei , {1,2,..., 1}k k n

numai n cazul n care ( , ) 1k n = (numere prime ntre ele); exemplu, n { }6 0,1,2,3,4,5= , clasele 1 i 5 suntinversabile i inversul clasei 1 este clasa 1 , iar inversul clasei 5 este clasa 5 , iar clasele 0, 2, 3, 4 nu sunt

inversabile; dac ,p p prim, atunci toate clasele, cu excepia clasei 0 , sunt inversabile.Parte stabil n raport cu o lege de compoziie definit pe o mulime nevid M : oricare ar fi

,x y M x y M Grup, notaie ( , )G , G mulime nevid i :G G G (lege de compoziie intern); axiomele grupului:

asociativitate: ( ) ( )x y z x y z = , oricare ar fi , ,x y z G

existena elementului neutru: exist e G astfel nct x e e x x = = , oricare ar fi x G ; (dac exist,elementul neutru este unic); determinarea elementului neutru revine la rezolvarea unui sistem de ecuaiin care necunoscuta este e , soluia obinut fiind element neutru doar dac nu depinde de alegerea luix

orice element este simetrizabil: oricare ar fi x G , exist 'x G astfel nct ' 'x x x x e = = ; (dacexist, inversul unui element este unic); determinarea inversului unui element revine la rezolvarea unuisistem de ecuaii n care necunoscuta este 'x .

Grup comutativ (abelian) este un grup n care legea de compoziie intern este i comutativ.Este util verificarea comutativitii nainte de verificarea axiomelor privind elementul neutru / elementele

simetrizabile, pentru a uurasimplifica verificarea acestor axiome.Exemple de:- grupuri numerice- grupuri de matrice; n verificarea structurii de grup pentru submulimi ale unei mulimi de matrice, se

poate invoca faptul c asociativitatea este o proprietate valabil pe toate mulimile de matrice cuelemente numere sau clase de resturi; exist grupuri de matrice, n raport cu operaia de nmulire, caresunt comutative; utilizarea elementelor de algebr matriceal, prin utilizarea proprietilor rezultate dincondiia de parte stabil (de exemplu, dac se evideniaz o proprietate de tipul ( ) ( ) ( )A x A y A x y = + ,aceasta poate fi utilizat n rezolvarea unor cerine ulterioare, fr a apela mereu la calculul efectiv cutablourile matriceale)

- ( , )n + este grup comutativ, oricare ar fi n ; ( \{0}, )p este grup comutativ (unde ,p p

prim).

Acestui capitol i se pot asocia cerine de tip rezolvarea de ecuaii ntr-un grup sau calcularea unor relaii ntreelemente ale grupului, situaii care nu necesit verificarea axiomelor grupului ci doar utilizarea lor pentruefectuarea calculelor.Morfism i izomorfism de grupuri:Se consider 1( , )G i 2( , )G grupuri.

Funcia 1 2:f G G se numete morfism de grupuri dac 1( ) ( ) ( ), ,f x y f x f y x y G = .

Funcia 1 2:f G G se numete izomorfism de grupuri dac este morfism i este bijectiv.Proprieti: dac f este izomorfism, atunci:

( ) 'f e e= , unde e i 'e sunt elementele neutre ale grupurilor 1( , )G i, respectiv, 2( , )G


5/18

5

( ') ( ( )) 'f x f x= , oricare ar fi 1x G (imaginea simetricului lui x este egal cu simetricul imaginii lui

x )Pot fi formulate enunuri n care se cere s demonstrm c nu exist izomorfism ntre dou grupuri date; n acestcaz, trebuie identificat o proprietate a izomorfismului, care nu este verificat;

2.2.2. Inele i corpuri - clasa a XII-a (3h/spt.)

Definiia inelului; verificarea axiomelor inelului; exemple de inele numerice: , , , n , inele de matrice,

inele de funcii reale.Divizori ai lui 0, cu aplicaii la rezolvarea de ecuaii n n .

Definiia corpului; verificare axiomelor corpului. Exemple de corpuri numerice: , i p cu prim.

2.2.3. Inele de polinoame cu coeficieni ntr-un corp comutativ ( , , p , unde p prim) - clasa a XII-a

(3h/spt.)

Forma algebric a unui polinom: 11 0...n n

n nP a X a X a

= + + + , unde 1 0, ,...,n na a a K , 0na unde K

poate fi , , p ,p prim; gradul unui polinom, calcularea unor valori ale polinomului; semnficaia unor

valori: (0)f este utilizat pentru determinarea termenului liber; (1)f este utilizat pentru determinarea sumeicoeficineilor polinomului

Operaii cu polinoame (adunarea, nmulirea, nmulirea cu un scalar); proprieti.Metoda identificrii coeficienilorTeorema mpririi cu rest: pentru orice dou polinoame , [ ], 0f g K X g , exist polinoamele , [ ]q r K X

unice astfel nct f g q r= + i grad gradr g< .mprirea polinoamelor: utilizarea algoritimilor specifici; schema lui Horner, utilizat pentru determinareactului i a restului rezultate la efectuarea mpririi la X a .Teorema mpririi la X a : restul mpririi polinomului [ ]f K X la X a este ( )f a .Divizibilitatea polinoamelor: fie polinoamele , [ ], 0f g K X g , atunci f se divide prin g dac exist

[ ]h K X astfel nct f gh= .Teorema lui Bezout: fie polinomul [ ], 0f K X f i a K , atunci a este rdcin a polinomului f dac i

numai dac f se divide prin X a ; consecin: n acest caz, exist [ ]g K X astfel nct ( )f X a g=

Rdcini ale polinoamelor: rdcini simple, rdcini multiple: a este rdcin de ordin de multiplicitate,p p a polinomului f dac ( ) |pX a f i 1( ) |pX a f+ / ; n cazul rdcinilor reale multiple pentru un

polinom cu coeficieni reali, se poate utiliza funcia polinomial ataat i proprieti de derivabilitate alefunciilor reale.Descompunerea unor polinoame n factori ireductibili: de exemplu, dac [ ]f X admite toate rdcinile

reale i grad 1f n= , atunci f se poate descompune n factori ireductibili 1 2( )( ) ... ( )n nf a x x x x x x= ,

unde 1 2, ... nx x x sunt rdcinile reale ale polinomului f ; descompunere peste corpul numerelor reale: un

polinom cu coeficieni reali admite ca factori ireductibili, peste corpul numerelor reale, cel mult factori degradul I sau de gradul al doilea, n acest caz, discriminantul asociat factorilor de gradul al doilea fiind negativ.Numrul de rdcini reale ale unui polinom nenul cu coeficieni reali este cel mult egal cu gradul polinomului.Relaiile lui Vitepentru polinoame de grad cel mult 3:

i)

dac

2 *

[ ], ,f K X f aX bX c a K = + + i 1 2,x x K sunt rdcinile lui f , atunci au loc relaiile:

1 2

1 2

bx x

ac

x xa

+ =

=


6/18

6

ii) dac 3 2 *[ ], ,f K X f aX bX cX d a K = + + + i 1 2 3, ,x x x K sunt rdcinile lui f , atunci au loc

relaiile:

1 2 3

1 2 1 3 2 3

1 2 3

bx x x

ac

x x x x x xa

dx x x

a

+ + =

+ + =

=

Rezolvarea ecuaiilor algebrice cu coeficieni n , , :- dac o ecuaie algebric cu coeficieni ntregi are rdcini ntregi, atunci ele se gsesc printre divizorii

termenului liber;

- dac o ecuaie algebric cu coeficieni ntregi, 11 0... 0n n

n na x a x a

+ + + = , are rdcini raionale,

atunci acestea sunt de forma ( ), , 1p

p qq

= , unde p este divizor al termenului 0a i q este un

divizor al termenului na ;

- dac o ecuaie cu coeficieni raionali are soluia 1 , , , ,x a b c a b c c= + , atunci are i

soluia 2x a b c= , cu acelai ordin de multiplicitate ca soluia 1x a b c= + ;

Ecuaii biptrate: 4 2 0, 0ax bx c a+ + = , se utilizeaz substituia 2x t= i se rezolv ecuaia 2 0at bt c+ + = .

Ecuaii binome: nx a= , unde ,a n ; cazuri particulare: 2x a= are soluii reale numai n cazul 0a ,

soluii egale cu a ; 3 ,x a a= are unica soluie real 3 a ; 4 1x = are soluiile reale 1 .Ecuaiile reciproce se clasific n:- ecuaii reciproce de grad impar, care admit ntotdeauna rdcina 1 ; se mparte expresia algebric asociatprin 1X+ i se continu cu rezolvarea unei ecuaii algebrice reciproce de grad par;

- ecuaii reciproce de grad par, care se rezolv utiliznd substituia1

t xx

= + , folosind relaia 2 22

12x t

x+ = ;

de exemplu, ecuaia de gradul al patrulea se mparte la 2x pentru a evidenia substituia.


7/18

7

EXEMPLE DE ITEMI TIP EXAMEN DE BACALAUREAT PENTRU RECAPITULAREANOIUNILOR DIN TEMA 2

EXEMPLUL 13

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consider sistemul de ecuaii

2 1

2 3 3

2 4

mx y z

x my z

x y z

+ =

=

+ =

, unde m .

5p a) Artai csuma elementelor de pe diagonala principal a matricei sistemului este egal cu 2.5p b) Determinai valorile reale ale lui m pentru care matricea sistemului are determinantul diferit de zero.5p c) Pentru 1m = artai c 21 1 1x z= , unde ( )1 1 1, ,y z este soluia sistemului.

2. Se consider polinomul 3 2 1f X mX mX= + + + , unde m .5p a) Pentru 0m = , calculai restul mpririi polinomului f la 1X .

5p b) Artai c polinomul f este divizibil cu 1X+ , pentru orice numr real m .

5p c) Determinai valorile reale ale lui mpentru care polinomul f are trei rdcini reale.

Barem de evaluare i notare


1.a) Suma elementelor de pe diagonala principal a matricei este egal cu ( ) 2m m+ + Finalizare

3p2p

b) 2det 2 2 12A m m= +

{ }\ 3,2m

2p3p

c) Pentru 1m = 4x = , 2y = , 1= Finalizare

4p1p

2.a) Pentru 30 1m f X= = +

Restul este egal cu ( )1 2f = 2p3p

b) ( 1) 1 1 0f m m = + + =

1X f+

3p2p

c) ( ) ( )( )21 1 1f X X m X= + + + f are trei rdcini reale ( )2 1 1X m X + + are dou rdcini reale 2 2 3 0m m

( ] [ ), 1 3,m +

2p

2p

1p

EXEMPLUL 14


1. Se consider matricele ( )

1 0 0

0 1 ln

0 0 1

H x x

=

, cu ( )0.x + .

5p a) Artai c ( )( )det 1H x = , pentru orice ( )0,x + .5p b) Determinai numrul real a astfel nct ( ) ( ) ( )H x H a H x = , pentru orice 0x > .

5p c) Calculai determinantul matricei ( ) ( ) ( )1 2 2012H H H+ + + .

2. n [ ]X se consider polinomul 3 23 3 1f X X X= + , cu rdcinile 1 2 3, ,x x x .


8/18

8

5p a) Artai c polinomulfse divide prin 1X .

5p b) Calculai 2 2 21 2 3x x x+ + .

5p c) Verificai dac ( )( )( )1 2 32 2 2 13x x x = .



1.a) ( )( )det 1 0 0H x = + Finalizare

4p1p

b)

( ) ( )

1 0 0

0 1 ln ln

0 0 1

H x H a a x

= +

ln 0 1a a= =

2p

3pc)

( ) ( ) ( ) ( )

2012 0 0

1 2 2012 0 2012 ln 2012!

0 0 2012

H H H

+ + + =

( ) 32012 0 0

0 2012 ln 2012! 2012

0 0 2012

=

2p

3p

2.a) 3 2(1) 1 3 1 3 1 1f = +

(1) 0 1f X f= 3p2p

b) 1 2 3 3x x x+ + =

1 2 1 3 2 3 3x x x x x x+ + = 2 2 2

1 2 3 15x x x+ + =

1p1p3p

c) ( )( )( )3 2 1 2 33 3 1f X X X X x X x X x= + = ( )( )( )1 2 3(2) 2 2 2f x x x=

(2) 13f =

3p

2p

EXEMPLUL 15


1. Se consider sistemul de ecuaii

2 0

1

2

x y z

x y z

x y az

+ =

+ = + + =

, unde a .

5p a) Calculai determinantul matricei asociate sistemului.5p b) Determinai valorile reale ale lui a pentru care matricea asociat sistemului este inversabil.

5p c) Pentru 0a=

, rezolvai sistemul de ecuaii.2. Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie asociativ 1x y x y = + .

5p a) Artai c 1x x = , pentru orice x .5p b) Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia 4x x x = .

5p c) Determinai numrul natural n, 2n , pentru care 1 2 14n nC C = .


9/18

9



1.a) 1 1 2

det 1 1 1

1 1

A

a

= =

2 4a=

2p

3p

b) Matricea asociat sistemului este inversabil 2 4 0a

{ }\ 2a 3p

2p

c) 2 0

1

2

x y z

x y z

x y

+ =

+ = + =

1, 1, 1x y z= = =

2p

3p2.a) 1 1 1x x = + =

x= , pentru orice x 4p1p

b) 2 1x x x = ( ) 3 2x x x x =

2x =

2p

2p

1pc) ( )1 2 1,

2n nn n

C n C

= =

2 30 0n n+ = Finalizare: 5n =

2p

2p

1p

EXEMPLUL 16


1. Se consider matricea

1 0 0

0 1 01 0 1

A

=

.

5p a) Calculai determinantul matriceiA.

5p b) Verificai dac 11 0 0

0 1 0

1 0 1

A

=

, unde 1A este inversa matriceiA.

5p c) Rezolvai ecuaia ( )3

1 1 1

2 2 2 ,

3 3 3

A X X

=

M .

2. Fie polinomul [ ] 3 23 , 2f X f X X = + i mulimea { }3 2 3, , ,G g aX bX cX d a b c d = = + + + .5p a) Calculai ( )1f .5p b) Determinai rdcinile polinomuluif.5p c) Determinai numrul elementelor mulimii G .


10/18

10


SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.a)

( )

1 0 0

det 0 1 0

1 0 1

A =

Calculul determinantului: ( )det 1A =

3p

2p

b) 1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 1 0 sau

1 0 1 1 0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 1 0

1 0 1 1 0 1 0 0 1

=

=

Deci 11 0 0

0 1 0

1 0 1

A =

2p

2p

1p

c)Prin nmulire cu 1A la stnga se obine

1 0 0 1 1 10 1 0 2 2 2

1 0 1 3 3 3

X

= =

1 1 1

2 2 2

2 2 2

=

3p

2p

2.a) ( ) 3 2 1 1 2 1 1 2 0

f = + =

= + =

2p

3pb) ( )2 2= +f X X

Rdcinile luif sunt 0, 0 i 1

2p

3pc) { }3 0,1,2 , , ,a b c d= pot lua cte trei valori fiecare

Deci G are 43 = 81elemente

3p

2p

EXEMPLUL 17


1. Pentru m se consider matricea1 1 1

1 3 1

0 2

A

m

=

i sistemul de ecuaii

2

3 2

2 4

x y z

x y z

mx z

=

+ = + =

, unde

, ,x y z .

5p a) Calculai determinantul matriceiA.5p b) Determinai m pentru care matriceaA este inversabil.5p c) Rezolvai sistemul pentru 1m = .

2. Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie 2 2 2 3x y xy x y= + .

5p a) Demonstrai c ( )( )2 1 1 1x y x y= + , pentru oricare ,x y .

5p b) Determinai elementul neutru al legii .


11/18

11

5p c) Dai exemplu de dou numere ,a b pentru care a b .



( )

1 1 1

det 1 3 1

0 2

6 0 3 0 2 8 4

A

m

m m m

= =

= + + + + + = +

3p

2p

b) A inversabil ( )det 0 8 4 0A m +

{ }2m

3p

2pc) Pentru 1m = rezult ( )det 4 0A =

Se obine 0, 2x y z= = = 2p3p

2.a)

( )( )

2 2 2 2 1

2 1 1 1

x y xy x y

x y

= + + =

= +

2p

3pb) ( )( ), 2 1 1 1x e x x x e x= + =

Finalizare: 32

e =

2p

3p

c)Un exemplu este

5 5,

2 3x y= =

5 5 3 22 1 3

2 3 2 3= + =

2p

3p

EXEMPLUL 18



1 1

1 0A

=

.5p a) Calculai 2A A .5p b) Determinai inversa matriceiA.

5p c) Rezolvai ecuaia2010 2010

2009 2010A X

=

, ( )2X M .

2. Se consider polinoamele [ ] 2 23 , , , 2f g X f X X g X X a = + = + + , cu 3a .5p a) Calculai ( ) ( ) 0 1f f+ .5p b) Determinai rdcinile polinomului f .

5p c) Demonstrai c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 0 1 2f f f g g g+ + = + + , pentru oricare 3a .



2 1 1 1 1 2 1

1 0 1 0 1 1A

= =

2 2 1 1 1 1 0

1 1 1 0 0 1A A

= =

3p

2p


12/18


13/18

13



( )

( )

2

2

1 0

det 1 1 1

1 1

1

1

m

A

m

m m m

m

= =

= + =

=

1p

3p1p

b) 1

3

0

1

1

3

y

x y z

x y

x

y

z

=

+ + = + =

=

= =

2p

3p

c) 1

3

0

x y

x y z

x y z

+ =

+ + = + + =

Scznd ultimele 2 ecuaii se obine 0 3= sistem incompatibil.

2p

3p2.a) ( ) ( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )( )( )( )

( )

4 4 4

4 4 4 4 4 4

4 4 4 4

4 4 4 4 4 4

4 4 4

x y z x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

= + =

+ + =

= + =

= + + =

= + =

=

1p

1p

1p

1p

1pb)

( )( )

( )( )

4 4 0 4 4 04 4 0

4 4 4 4, , 4

x x x yy y

x y x y

> > >> >

+ > >

3p

2p

c) 4 4 4,x x x = =

( ) ( )1 2 3 ... 2010 1 2 3 4 5 ... 2010

4

= =

=

2p

1p

2p

EXEMPLUL 20


1. Se consider determinantul ( )1 1 1

, 1

1 1 1

D x y x y

x y

=

+ +

, unde ,x y .

5p a) Calculai ( )1,1D .

5p b) Determinai x pentru care ( ),2010 1D x = .

5p c) Demonstrai c ( ) ( ) ( )2 2, , ,D x y D x y D x y = , oricare ar fi ,x y .2. Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie 2 6 6 21x y xy x y = + .


14/18

14

5p a) Artai c ( )( )2 3 3 3x y x y = + , oricare ar fi ,x y .5p b) Artai c legea este asociativ.5p c) Calculai 1 2 ... 2011 .


SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte

1.a)

( )1 1 1

1,1 1 1 1

1 0 2

= =D

2=

2p

3p

b)

( )

1 1 1

,2010 1 2010

1 1 2011

2010

2010 1 2011

= =

+

=

= =

D x x

x

x

x x

1p

2p

2pc) ( ), = D x y x y

( ), = +D x y x y i ( )2 2 2 2, = D x y x y Finalizare

2p

2p

1p

2.a) ( ) ( )2 6 6 21 2 3 6 3 3x y xy x y x y y = + = + =

( ) ( ) ( )( )3 2 6 3 2 3 3 3y x x y= + = + 3p

2p

b) ( ) ( )( )( )4 3 3 3 3x y z x y z = +

( ) ( )( )( )4 3 3 3 3x y z x y z = + Finalizare

2p

2p

1pc) 3 3 3 = =x x , pentru orice x

( ) ( )1 2 3 4 ... 2011 3 = 3p2p

EXEMPLUL 21



1 1

1 1

1 2 1

m

A m

=

i sistemul de ecuaii

0

0

2 0

mx y z

x my z

x y z

+ =

+ = + =

, unde m este

parametru real.5p a) Calculai determinantul matriceiA.5p b) Determinai valorile reale ale lui m pentru care tripletul ( )1,2,5 este o soluie a sistemului.

5p c) Determinai valorile reale ale lui m pentru care sistemul admite doar soluia ( )0,0,0 .

2. Pe mulimea se definete legea de compoziie x y xy x y = + + .

5p a) Artai c legea este asociativ.5p b) Determinai elementul neutru al legii .

5p c) Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia 2 2 4x x = .


15/18

15


SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte1.a)

2

2

1 1

det 1 1 2 1 2 1

1 2 1

3

= = + + =

=

m

A m m m m

m m

3p

2pb) 2 5 0

1 2 5 0

1 4 5 0

3

m

m

m

+ =

+ = + =

=

3p

2p

c)2

det 0

3 0

\{0,3}

A

m m

m

2p

1p

2p2.a) ( ) ( )

( ) ( )

x y z xy x y z xyz xz yz xy x y z

x y z x yz y z xyz xy xz x yz y z

= + + = + + + + + +

= + + = + + + + + +

( ) ( ) = x y z x y z , pentru orice , , x y z legea " " este asociativ

2p

2p

1pb) Exist e astfel nct , = =x e e x x oricare ar fi x

0; 0 = + = = + =x e x xe e e x x ex e 0= e

1p

2p

2pc) 2 2

2 2

2 3 2

4 5 4

2 4 3 5 2 0

= +

= +

= =

x x

x x

x x x x

1

3= x sau 2=x

1p

1p

1p

2p

EXEMPLUL 22


1. Se consider matricele 21 0

0 1

=

I ,

1 1

2 2A

=

i ( ) 2= +X a I aA , unde a .

5p a) Calculai 2 3A A .5p b) Demonstrai c ( ) ( ) ( )3X a X b X a b ab = + + , oricare ar fi , a b .

5p c) Artai c ( )X a este matrice inversabil, oricare ar fi a .

2. Polinomul 3 22 5f X X X m= + + , cu m are rdcinile 1x , 2x i 3x .

5p a) Calculai 2 2 21 2 3x x x+ + .

5p b) Determinai m pentru care 1 2 31 2 3

1 1 1x x x

x x x+ + = + + .

5p c) Artai c determinantul1 2 3

2 3 1

3 1 2

=

x x x

x x x

x x x

este numr natural, oricare ar fi m .


16/18

16


SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte1.a)

2

2

1 1 1 1 3 3

2 2 2 2 6 6

3 33

6 6

0 03

0 0

= =

=

=

A

A

A A

3p

1p

1p

b) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

22 2 2

2

2

3

3 3

X a X b I aA I bA I bA aA abA

I aA bA abA

I a b ab A X a b ab

= + + = + + + =

= + + + =

= + + + = + +

2p

1p

2p

c)( ) 2

1

2 1 2

+ = + =

+

a aX a I aA

a a

( )X a matrice inversabil ( )det 0 X a

1

1 3 0 3+ a a

Deoarece1

( )3

X a este matrice inversabil oricare ar fi a

2p

1p

1p

1p

2.a) Din relaiile lui Vite avem 1 2 3 2+ + = x x x i 1 2 1 3 2 3 5 + + = x x x x x x

( ) ( )22 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 32

14

+ + = + + + + =

=

x x x x x x x x x x x x

2p

2p

1pb) 1 2 3

1 2 1 3 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 1 1 5

1 1 1 5

2

=

+ + + + = =

+ + = + + =

x x x m

x x x x x x

x x x x x x m

x x x mx x x

1p

2p

2pc) ( )( )2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3

2( 5 14) 38

= + + + + =

= =

x x x x x x x x x x x x

3p

2p

EXEMPLUL 23


1. Se consider punctele ( )2 , 3n nnA , unde n .5p a) Scriei ecuaia dreptei 0 1A A .

5p b) Demonstrai c punctele 1 2,A A i 3A nu sunt coliniare.5p c) Determinai numrul natural npentru care aria triunghiului 1 2n n nA A A+ + este egal cu 216 .

2. Pe mulimea se definete legea de compoziie ( )1

32

= +x y x y x y .

5p a) Verificai dac elementul neutru al legii este 3=e .5p b) Determinai simetricul elementului 2 n raport cu legea .

5p c) Artai c mulimea { }2 1H k k= + este parte stabil a lui n raport cu legea de compoziie .


17/18

17


SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte1.a) ( ) ( )0 11,1 , 2,3A A

0 1

1

: 1 1 1 0

2 3 1

=

x y

A A

0 1 : 2 1= A A y x

1p

2p

2pb) ( ) ( ) ( )1 2 32,3 , 4,9 , 8,27A A A

Verificarea faptului c

2 3 1

4 9 1 0

8 27 1

2p

3p

c) 12

A =

1 12 2

2 3 1

2 3 1 2 62 3 1

n n

n n nn n

+ +

+ + = =

2 6216 3

2

n

n

= =

1p

3p

1p

2.a)( )

13 3 3 3

2x x x x= + =

( )1

3 3 3 32

x x x x= + =

Deci 3 3x x x= = , oricare ar fi x

2p

2p

1p

b) Cutm a astfel nct 2 2 3= = a a

2 2=

a a ( )

12 2 3 3

2 + =a a

1 6 5+ = =a a

1p

1p1p

2pc) Fie , 2 1, 2 1, ,x y H x k y p k p = + = +

( )1

4 2 2 1 2 1 2 1 32

x y kp k p k p= + + + +

2 1= + x y kp H

1p

2p

2p

EXEMPLUL 24


1. n reperul cartezianxOy se consider punctele ( )1, 2nA n n + , n .

5p a) Determinai ecuaia dreptei 1 2A A .

5p b) Demonstrai c punctele , ,m n pA A A sunt coliniare, oricare ar fi , ,m n p .

5p c) Pentru fiecare p notm { }2= p n pM n A A . Determinai elementele mulimii 2011M .

2. Se consider polinomul ( ) ( )3 23 17 2 7f X m X X m= + + + , cu m .

5p a) Pentru 4m = determinai ctul i restul mpririi polinomului f la 3X .


18/18

18

5p b) Determinai m pentru care polinomulf este divizibil cu 1X .

5p c) Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia 27 9 17 3 15 0x x x+ + = .


SUBIECTUL al II -lea (30 de puncte)1.a)

( )1 0,3A , ( )2 1,4A

1 2

1 2

1

: 0 3 1 0

1 4 1

: 3

x y

A A

A A y x

=

= +

2p

2p

1p

b)

Justificarea faptului c

1 2 1

1 2 1 0

1 2 1

+

+ =

+

m m

n n

p p

, ,m n pA A A coliniare

3p

2p

c)

( ) ( )

{ }

2011

2 2

2011

2

2011 2011 2

2011 2

2010,2011,2012

+

=

nA A

n n

n

M

1p

1p

1p

2p

2.a) 3 2

2

4 17 15

4 5

0

m f X X X

C X X

R

= = + +

= +

=

1p

3p1p

b) ( ) ( )1 1 0

(1) 1 3 17 2 7 3 12

3 12 0 4

=

= + + + =

= =

f X f

f m m m

m m

1p

2p

2pc) Cu notaia ( )( )( )3 23 0 17 15 0 1 3 5 0= > + + = + =x y y y y y y y

5 0

1 0

3 1

=

043_Matematica Tema 2 Bac M2

Documents

Transcript of 043_Matematica Tema 2 Bac M2