Rezolvari Bac 2009 a M2 - Subiectul II

5/12/2018 Rezolvari Bac 2009 a M2 - Subiectul II

1/100

J / ()OJMinisterul Educatiei. Cereetirii! Inovirii

Centrul Natiomtl pentru Curriculum si Evaluare inuvitim.intul PreuniversitarI, SUBIECTUL II (30p) .. .

xl Xl x31 . Se c on si de ra d et erm in an tu l d = X2 X J X I Iunde Xl'x2 , X3 E IR sunt solu t ii le ecuat ie i : : ? - 3x + 2 = 0 .

5p I a) S a se ca lculeze X l + . : t 2 + X " J . .5p' b) Sa se arate ca xl +x~+4 =-6.5p 0) Si i s e cal cu le ze va loa rea de te rminaatului d.

2. Pe multimea numerelor reale defi nim opera ti a x'" y = xy + 4x + 4 y + 12 .5p a) Sa se verif ies ca X 0y = (x + 4 )(y + 4) - 4 pen tr u o ri ce X, y E IR .5p I b ) S ii s e c alc ule ze x e (-4) , unde x e st e n1 lt lWrrealSp. c ) S ti ln d di operatia 1,0.. este asociativa, s 1 i se calculeze (-2009) 0(-2008) 0 02008 e 2009 .

.(>-3K-f-t-zO . a=-1" t~O' C;::-3 d=2.! J_ I / .IX t: -fK;z_ t-x'3 z : ~ ~ ::: 0 V' ..LY .i:V' ~ a0- A.. . l l '\2-( '\; -, 2. . f- J(lx3


2/100

Voo ,cMinistern Eduatiei, Cenetarn y IuovarUCentrul Nationalpentru Curriulum si Evaluare in~nviitimintul PreuniveTsitar

, SUBIECTUL II (lOp)abc

1 . S e con sid e ra det enn in an tu l d = cab unde b Da, ,eE J[% b c a

5p a) Pentru a = 2, b = I ! I i c = -1, sA se calculeze detenninantul d .5p b) Sil se verifice ca d = ~(a +b + c)a _b)2 + (b - e)2+ (0- a)2) , oricare ar fi a,b,ce lR.

2 .t 3 '" 5 '"Sp c) Sa s e r ezol ve inmuljimea numer elo r reale ecnatia 5'" 2'" 3'" = o.

3 '" 5 '" 2 '"1. Pe multimea numerelor reale det'inim operapa x 0y = 2xy - 6x - 6y + 21.

5p a) Slise arate dl X" Y = 2(x - 3)(}'- 3)+3, pentru orice x , ye I !t .5p b) SAse rezolve in multimea numerelor reale ecuatia X" x = 11.Sp c) Stiind c a operapa "" "este asociativs, s a se calculeze l"..fi 0. F 3 e e "/2009 .

c )

Xo 3= - 3 ( Vk: & /2:::3


3/100

V a 03Ministerul Edueatieb Cercetirii s - i Inovirii.

Centro) National Beom Curri.culum si EvaJuare inlnviitimiotul Preuniver.sitarSUBIECTUL U(30p)

X I xl x31.Se consider! detenninantuld '" Xl X} X I Iunde X l' Xl 'X3 E lRsunt solutiile ecuapei xl - 2x = O.

x3 xI x25p a) Sii lie calculeze X 1 +Xz + X 3 .5p b) SAse calculeze X ll + X 22 + X J2 . 5p c) SAse ealculeze determinantul d.

2. Se c on sid er a p olin oamele c u c oe fic ie nti re ali f => X4 + aX 3 - 28 X 2 +bX + 96, g = X2 +2X - 24 $ih = (X2 +2X -24)(Xl-4).

Sp I .5pSp I

a) Sa se serie fonna algebrica a polinomului h.b) Sii se determine a.b E lR astfel ineat polinoamele f ~i h sii fie egale,c ) S a. se re zo lv e inmu lj:im e a n ume re lo r re ale e cu atia 1 6:\"+ 2 8x - 28 4x - 8 2x +96 = o .

f J )

- & )t:)

BACALAUREAT 20Q9-MATEMATIc:A - Proba D, MTl, program. M2t._ L - 0 - -, -I-~ (_ - -.., t ~#J7..._ - / A . . . - - 7 ~ /' 3, 4 - ~ ~ . . ( . . .) y { ~2~ > < 'L ~ 4

< t3=-:z.


4/100

Ministerul Educatiei. Cercetirii si InovilriiCeotnJl National pentruCurriculum sJ EvaJuare iotnviitamintul Preuniversitar, SUBIECTUL U(30p)

1.inmulpmea.A4.z (JR) s e e on si de ra ma tr ic el e h= ( 1 0 ) , A = ( 4 ~ ) ~i X(a) = 12+aA, unde ae l R ! .o 1 2 -35p a) Sli se caleuleze AI ,unde A 3 = A . A . A .Sp b) Sa se verifice daca X(a) 'X(b) = X(a +h+ab), o ri ca re a r finumerele a,he R.Sp c) Sii se caleuleze suma X(1)+X(2)+X(3)+ ....+X(2009).

2.Seconsideril.inelul (Z6,+,),unde z 6 = { b , i, 2 . 3 , 4 . 5 } .Sp a) Sa se rezolve in Z 6 ecu atia 2x + 5 = I .

123Sp b) Sa se calculeze detenninantul 2 3 1 InZ 6 .

3 i i

~ b )= - 4 -~3


5/100

Ministerul Educatiei, Cercetarii tbtOViriiCentrol Nationaleentru Curri.culnm si Evalnare in vatimilntnJ PreunivenitarV Oo!)

SUBIECTUL n (JOp)1.S e c on sid er ! m a trio ea A = ( X ; 3 X ~ 3 ] , XE a. Se note az a A2 =A A, h= ( ~ ~ }

Sp a) She determine x real, ~tiind ca det (A ) = 0 .Sp b) Sa se verifice egalitatea A2 = (2x-6)A -( x2 -6x+8). 12,

c) S a . se de te rmine XE R pentru care A~= = 2A.2. P e m ulnm ea num erelor reaIe se consid era legea de compozitie X" Y = xy - 2 ( x + y) +6.a) Sa se arate ca xc y =(x- 2)(y - 2)+ 2, oricare ar fi x,ye T I t .b) Sii se demonstreze ca x o 2 = 2 , oricare at fi x E R . .c ) S tiin d ca le gea d e c om po zitie ,,


6/100

V O O GMinisterol Educatiei. Cercetirii y;_Inovaru

CentruJ National pentru. Curriculum si Evaluare in~ vatimaotuI Preuniversitar, SUBIECTVL II (lOp) 1.l'nreperul cartezian xOy se coasidera punctete 0(0,0) ,i A, , (n ,2 n ), .nE N.

5p. a) Sa Bedemonstreze eli punctele 0,Al ,A2 Bunt coliniare,5p b) Sa Bedetermine numArul de drepte care tree prin eel putin dona dintre punctele 0, A o ,Al.A2 5p c) S!'iBecalculeze aria triunghiului determinat de punctele A I}' A n+ I, ~+2. n EN.

2. Se considera multimea G = = { Ax I XE Z} , unde matricea Ax =:; [.~ ~ ~ J 'E Z.X 0 1

a) S!'ise verifice c1l.Ax ' Ay "" ACHY' unde :t,ye Z.b) Stiind eli mulpmea G impreuna en operatia de inmultire a matrieelor formeaza 0 structurii de grup, s a Bedetermine eJementul neutru al grupului (G. ) .c) S 1 I :se arate ca functia f:71. -Y G , f(x) = Ax este morfism intre grupurile ( Z , + ) ~i (G ,). /

, ) j 0 0 - 1 / / 0 0 { =000 [ 0 .0I ' ; 1 - I()1 z . ) A -z { 2 _ J ? -1 Q_ j ~_ I A ,f1')1 / ,i_ t,;( - Z 2 . _ {

=-) 0 I A - " 4 - 2 . - C~cJr..eI ,f )

5p5p

5p

- f r ) 1 + 0 ( 0 ; I )o : , 4 - I ; ! f - z _ -O A - -Q; 4 - 0 A - . l ;

a _ ) I ~ " " i l - J - : ;d~)

< Y ) j_ J c s I2 . . ..~AA


7/100

5pSp5p

5pSpSp

(j) ~}. / r )

V O O f . -MinisteruiEducatiei. Cercetirii t_mOVirii

Centrul National pentN Curriculum IiEvaluare in~-vatami.ntul PreuniversitarSUBlECTVL n(30p)1 . Se c on sid er a ma tr io el e A = ( ~ ~ } B = G ~ ) ~i 12 = ( ~ ~ }a) S it s e c al cu le ze ma tr ic ea B2, tmde 02 =B . B .b) Sa se verifice ca. A-I = ( 3 - 4 J .-2 3c) Sa se arate C R c4 =64 .12, unde C=B2 +A-1 ~iC4 =CCCC.

2. Fie pelinoamele J=X3+aX2+X+i ~ig=X+3 dininelul Zs[X].a) Sa s e de te rmine aE Zs astfel m e a t polinomul J sa f ie div iz ib i l ellpolinomul g.b) Pentru a= 1 s a se a ra te o ! J = (X +1)(X2 + i) .

c) ) = =

( 1 )

BACALAUREAT l009-MATEMATICA - Probll D, MIl, program. M2


8/100

Ministerul Educatiei. Cercetiirii 1;Inovii.riiCentrul National pentru Curriculum 5i Evaluare in vitimintuJ Prcnon.ersitarV'~oo~

Sp

5p5p

5pSpSpo ~)

, SUBIECTUL n(30p)1.Se con sid er a ma tr ic ele X = m y = U J Ii 1 3 = ( ~ ~ n Definim matr icel e A = X . yl IiB(a) = aA+ IJ, unde aE lR ~iyl este transpusa matricei Y.

a) SA se a ra te cli. matricea A = [ ~ ~ = ~ ) .3 6 -9

b) Sa s e c alc ule ze dete rm inan tu l ma tri ce i A ..c) Sa s e a ra te c a matric ea B(a) e ste in ve rs ab ila , o ric are a r fi a E IR \ { } .

2 . S e c on sid ers p olin oame le l,gE Z5[X] , f=(3a+3b)X2 +2 x +2a+3b . ! } i g=2x2 +2 x +3a+2b.a) SAse determine a.b Z~ astfel ind.t cele doua polinoame s a fie egale,b) Pentru a=b = i she calculeze in 1 . : 5 suma l(rJ) + !(i)+1(2)+ !(3)+1(4).c)Pentru .a=b=2 sa se rezolve in Z5 e ou atia !(x)=o.f r ~ ( i r ( 1

=0

4 2 _ -3~6 -9

-b- 5

2 .3

o 0 ) ( a f - 1.,( 0 :::. l . . _ _a) 3L.1. -3a.. . )-~a..-5a. 1 -4


9/100

MinisteruJ EdoeatieL Cercetirli Y;_InOVirliCentral National pentrn Curriculum 5i Evaluate in~vatimintul PreuniversitarSUBIECTUL n(30p)1. inmultimea M 2 ( Z) seconsidera rnatricele A = ( : : ) , A' = ( : ~ ) . h= ( ~ i ) ~i O2 = ( ~ ~ ) .

5p a) s a se determine numerele intregi a, b, C, d astfel i n e a t A + 212 = O2 5p b) S~ se calculeze determinantul matricei B =A - A' .5p c) S~ se arate c a , . daca A +At =2h , atunci determinantul matricei A - A t este un numir divizibil cu 4.

2. Pe multimea numerelor reale se consider! legea de compozitie X" y = (x-4)(y-4)+4.5p a) s a se determine elementul neutru al legii de compozitie,Sp I b) Sii se rezolve in multimea numerelor reale ecuajia x 0X" x = x .5pl c) Sa se determine douRnumere a,be Q \Z astfel m e a t aabe N.

BACALAUREA:T 2009-MATEMA TICA - Proba D, MTl, progrtl.llUl Ml


10/100

Ministerul Edue ti . C v ' O)_ .oCeotrul Natioo. al De. otru Coni .a~eJ, ercetarii j;htovarii_ . euJumsiEvaluareto - ""'"

, SUBIECTVL U(3Op) v.tlimllntuJPreu.iversitar

- 6 )3 t, Se noteaza O z " " "0 0) . . . . . n _O 0 ljt.no -AAA .. ~,oncarede nor!

G ) =--A3

BACALAUREAT 200!J..MATEMA TIcl.. - Proba D MT2 programa M2


11/100

V O A 1 _Ministerul Educatiei. CercetarU 1;_Inovarii

Centrul National pentru Curriculum si Evaluare in v8timintul PreuniversitarSUBmcTUL II (30p)l.Seconsidernmatricele U=(O O),X=(x r) ~iV = { ; ~ ) ell v,x,yelR.

5p a) Sa se arate di daea X' V =U ,atunci X (v2 -9) = O.5p b) Sa se determine valorile reale ale numirului v pentru care detenninantuI matricei V este nenul.Sp c) S~ se determine trei solutii distincte ale sistemului de ecuatii { 3 X +y = 0 .9x+3y=O,----2. Pe multimea nwnerelor reale se considera legea de compozitie x 0y = V x3 +i-1 .Sp a) SA se d em onstreze ca x 0(-x) = -1 , oricare ar fix real.Sp b) Sa se arate ca legea de compozitie "0"este asociativa.Sp c) Sase calculeze (-4) 0(-3) c ... 0304.

(11 - 9 ) ( x 11 f~ 9 K + 1 1 " ; j ) = = ( 0 ; 0)C D a - ) X V~ C >( ~) A {r = - .

) X !(j-+ y -=..0 _ ) ~ - = - - X1r I. tL 9 J(-j ' l i ~ ) {=0 -x ( 1 1 -3) ~O ~?xl'lr -9/ z: ot} c ld v = - J ~ - ~ 1 - = (}-~.J i 11~ J t- 0=> 4 r * 1: '5 ; 'lrei


12/100

Ministerul Edacatiei, Cereetirii ~ InoviliriiCentrul National pentru Curriculum si Evalaare in nvitimintul Preuniversitar

, SUBIECTUL n(JOp)1. Se consider! matricele A '" [ .~ . ~o 0

Sp a) Sase verifice eli A '" h+ B .1 ] [ 1 0 0 ] [ 0 1 1 ], h= 0 1 0 ~i B = = 0 0 1 . Se noteazacu X .X '" X2 .1 0 0 1 0 0 0

5p b) Sa se caJculeze suma A2 +B2 .Sp c) Sa se calculeze inverse matricei A2.2. Pe multimea numerelorreale se defineste legea de compozitie xo y = xy + 7(x+ y) + 42.5p a) Sa se calcaleze .fi" (- . J2 ) .5p b) Sa se veri:fice ca X" y::::(x + 7Xy +7) -7 , oricare ar fi x,ye R. .5p c) Stiind ~ legea de compozitie ..o " este asociativa, sa se resolve i n mult imea numerelor reale ecuatis

c ) X o X o ) ( - : : : : - X 2......_( ; 1 . 0 < ) D \ " , , { I t -t-'f )(JU-'f)- f - ] u X = [(Hi)- 'f + i J ( K+ ' f ) - f -- = - C ! _ + '1) - ~


13/100

V O A _ 3Ministerul EdncatieL Cercetirii tInovlriiCentrol National pentru Curriculum 5i Eninare in vAS;!mintuJ Pteuniversitar

, SUBmCTUL II (lOp)1 I 1

1. Se consider a detenninantul D C a) "" I 3 9, unde a este numar real.I a a2Sp a) S a se calculeze determinantul D(9).Sp b) S I!.se r ez olv e in mu ltim e a numerelor reale ecuatia D Ca) "'"O .Sp c ) S I! .s e rezolve inmultimea numerelor r ea le ecuat ia D ( Y ' ) =0 .

2. Se considera multimea M = [ k ;+


14/100

Ministerul Educatiei, Cercetlrii t;_lnoviiriiCentrul National peotru Curriculum si EvalDare in dtlmintul Preuniversitar

SUBIECTUL Il (30p)1. Se considera matricea A = (5 0) EM 2 ( R.) . Se noteaza A 1 I = A -A - ... -A _o 1 '-.---:-'de 1 1 on

5p a) Sa se ealeuleze A2 + A _5p b) Stiind eli A 1 I = [ 5; ~) , p entru oricaren EN, n ; ; 0 : 2 , s a se rezolve ecuatia det (A" ) = 2 -511 -125 .Sp c) Sii.se determine transpusa matricei B = A + A2 + + A 2OO9 _

. 2. Se considers polinomul f = X4 +mX2 +n, unde m,n E R RAdacinile polinomului sunt X I ,Xz ,x3 ,x4 .5p a) Sa se determine m, n E R stiind e.ii.polinomul f admite rii..dacinile Xl = 0 si x2 = 1.5p b) Sii se determine mER. astfel incat nldacinile polinomului sii verifice relatia x l +x i + x ; + x S = 2 .5p c) Pentru m = I ~i n;; I ~ se descompuna polinomul fin produs de factori ireductibiIi inR[ X ] .a J 1 420c ~'If = 0 ( ; ~ ) ( ;~ ) _ ( ~ 2 ~/{~s-:)It2+ A - ~ G / - ~ ) 1-C ; ~ ) o c C o0 ~). f r ) o l J ;- C i t" ) = - / s-"'-O 1 : : 0 s - " " , s - I k _ i'!:J-II{_A:lS-=':T~"2S-=-:;>

z, 0, A 2JC)03. ( ) ' - l - 5 ~ - - 1 'f--,j._~C9 0 ~d~) /l.. _ If -+4 T- - f- IT - - ' - :if- -t: - () A+1...f----r~,._,

~

0 ( : ; 3 1 ) ~:9)~L~' ;~~~l~ :)) t U . ~O~> 1rUt~-j

BACALAUREA T 2009~MATEMATICA - Proba D,MT2. programa M2


15/100

MinisterulEducatiei. Cercetirii! Inovi.riiCentruJ Nanonal penUu. Curriculum i Evaluare in~nviti.mantuI Preuniversitar, SUBIECTUL II (30p)

1 . S e c on sid er ! m atr ic ele k = G ! ) . B = ( _ : ~2 ) ~ilz = ( ~ ~ ) in M2 (JR) .Sp a) Sa se verifice cli.AD = BA .5p b)Sasecalcu1eze A2+B2,uode A2=AA ~iB2""BB ..5P. c) She arate eli. C4 =54 ,/2, unde C = A + B ~i C4 =C.C .C. C ,

2. Se considerii polinoamele co coef ic ien ti r at ional i f = X4 + aX3 +bX2 - 5X +6 ~ig= X3 + X - 2 ..5p a) Sa s e de te rmine a,be Q astfel incat polinomul f sa fi e divizibil eu polinomuI g.5p b) Pentm a = -3 ~ib =1 sa s e d es eemp un a p olin omul f inp rodu s d e f ac to ri ir ed uc ti bil i inlQ[X].5p

@L )~} :: :_; ~A (~~~) (; : )~( : : r~~:~)~~ )o~~ _

'l{ - Z J (4 - ' l ) 1 / b - 1 - 1 - - . . r - . 2 . ) t ):::.8/'J'L", , , = > 'f ? - = - ( - 2 _ ~ l : - 2_ 4 - z : l ; S ' - ~ 0 C ' ~ : - < ) ~ \ ~ O z ) t i- { s- S o ) = j - YA - ~6 '2 .=- Eilt1-:;-13 = - S-(Jt--fl?) =' 5 Ll2.- 4 t - l : : : ! f . 4 U 1 1 s.

" 4 ~ ~ ~"C ) C -z : 4+-6-= 0-L I ) _ . j C ~ \ ? r~)= 5' ~L& . ) l+-12X3{-BK2-5""'Hfx3~x - < - (j(f=>A =-0- x " - x2.+ ;(.K )(_ e -a . ~ - : - L ) x ' l . - { a I - V K + - 2 . . a tb =-0 =;>

Ia .x . : +(R r - A ) : _ ~ , 3 K . . -t-b I ' f 3 - ~j ;:::0 l a = -3- -G L x . - Q_ _ ) ( r:_ a_ = - ') . = - >F r r= . "- - I -3::...0 . . e - =1-1/ ( 1 3 ~ ; I } x 2._ ( a t-3)X ~;UZ-f-b fLo.. . +f:, =0

e) # = t / , } _ + J L ~3 I'c'-"(' ,,(0: f - ~ e x : . - ' ? J ) (x s+K - 2) = = A 0 {_ - .2= - (X.~ 3) e x : . -,t) (x L-{- J(e) _;( -1 A z, [QJ.'t -=-(x. -,f) (X - ~ K . - I - z )

32. .~a r :tlr_3t:-+t-~Sf:+(;~O/ @ -.3)C t-i) ( t ' - - t - t +2 / =-0BACALAUREAT 2009~MATEMATICA. Proba D, ~. prngrama M2 C o L . t : M . e , . ). . t - ' ; ) -:::-0 =- " > f.( = - - 3 =- 3.s: 3-:;;, X c= '/L -,( -;:-0 - > k 2 . . - = 1 . =-) 3)( z: - 1 =:::'> X 2...-:::.-0.6 2 . + k+ - 2 -= - 0 ; .(J :::-..( -~ = = - -7- co~-,x 3 1 1 c i e .


16/100

Ministerul Edues .ei Cercetirii . InoviiriiCentrul National pentru Curriculum si Evaluare in nvltimlntul Preunive.rsitBr, SUBIECTUL II (30p)

{m x +y + z =m1 - 3

1 . S e con sid e r! sistemul 5x - 2y + z = -2 , unde m este u n p aram etru rea l.(m+l)x+2y+3z=-2

mIlSp a) She determinemE IR.~tiindc6 5 -2 1 . = -12.

m+l 2 3Sp b) She determine mE lR astfel m c a t sistemul s11admit! solutia (1,2,-3).Sp e) Pentru m = -1 sa se rezolve sistem ul de ecuatii .

.2 . S e con si de ra po li nomu l I>X3 - 9X1 - X +9 c are a re riid iic in iIe xL,x1,x3 E J R .Sp B) S it s e d ete rm in e c atu l $i restul imp3.rtirii polinomului f la X2 -1.Sp b) Saseverificedi. x{ +x~ +x; =9(4 + xi + xi ) -18.Sp c) Sii se rezolve in m ultimea numerelor reale eeuatia /(3 :% ) - = 0 ..

L t] ,j,. 1./} _/) ,fI' - ~ s - = = = - J f l a . . . . ) _ b /l..t.t.. + A . J J . . t-,( +10 -r < . . .. , " '" ( . T "-- A. . , ,, .. ..~ I) _ S "I"" ::;:-10 - = - > fU.L -::..2 -- 5 ;1..(".( - 2 _ . = - - 4A.. ~ '> TV'.... >. C J { - x . - f : It.+1:.-== -2 _ /--:._ 4 4 / _ b +/0 +2-fs-=3' ' ' ' } 4 . . . . . "l /i _ v -2..) -S -x . - 2 _ ' o f - z :; . : :; : -oG ~ -.J1 0 : < - : , .; Z _ ~ + 3 2 - :::-2 ~ (-2 ..(I- S--2 A : = 1 ! . / r

Ii ) -.2 f 1 / _ j2. -1.. -1- ~+- '1 +-c" =Ifl; LJ (f -. -2,3l . . . l ; < . . . - : = . -.2. -2. 1 - (J 0 . X = T- 2 1 2 { 3" - 2 . / , ( " " % ; = ~:;;~ J : r = J 'L1 b - = s: -2. -2. ~ -).8 "1:; 0 . '" ~ = - s > . ( 2 - ~--0o .t -2 J Ll _l~ :=; .-b

r .de-=:--.3t J { ' f . . . - : " I i . w . +~.-:)::.t{)..t.. L_j t: ~~,uL-l.-=-O = /l


17/100

MinistenalEducatiei, Cen:etiirii ;;InovariiCentru) National pentru.Curriculum siEvaluare in viitilmintul Preuniversitar

, SUBIECTUL IT (30p)1. in reperuJ cartezian .:tOy se considers punctele 0(0,0) ,i A" (n, 2n + 1) , n E N.

5p a) Sa se determine ecuatia dreptei A1Al.Sp b) Sil.se calculeze aria triunghiului OA1Az 5p c) Sa se arate ea toate punctele A n (n, 2n +1), n EN sunt coliniare.

2. S, eonsideramultimea M = { A ( a ) = ( ~ ~ n aeR}Sp a) Sa se verifice daca A(a) A(b) ""A(2ab), oricare ar finumerele reale a ,ib.Sp b) Sa searate c! A(~J este element neutru f a l A de operatia de inmulfire a matricelor pe M.5p c} Sa se determine simetricul elementului A(t) EM in raport ell operatia de inmultire a matricelor pe

multimea M.

0 ) a)

~ ) I 1 - (A ) A-[x) - A - { i)I i - ( Q _ rA ' X ) = - ; 1 - - [ { ) -= :>ix = = - = / X ~ f

BACALAUREAT l009-MATEMATICA.- Proba D,MT2, progrllma Ml/+( d . . ) -Ihht.Le:tkWd I'M.-~ !4-(I)H-~e

ty, ~~ ~c.ek o - U . MI


18/100

V O A - fMioisterul Educatiei. Cercetiirii i;_lnOVAriiCentrul National pentru Curriculum 51Evaluare in ~ vAtimantui Preuniversitar

, SUBlECTUL U (30p)1.Seconsidera multirnea G= {A = ( (J:b a ~ b ) 1 a,be Z, a2 =+a) SA s e v er if ic e d ac a ma tr ic ele 12 = ( 0 1 0 ) i respectiv 02 = (0 . 0 ) apartin nmltimii G.10 05p

Sp5p

5p5p5p


19/100

V O , , { ! JMinisterul Educatiei. Cercetiirii si InoviiriiCentrul National pentru Curriculum si Evaluare in Inviitamintul Preuniversitar

I SUBIECTUL II (30p)1. In reperul cartezian x()y '" considera punctele A . ( log, G J . log, 9' J IiB , (-n, 2.) , nEN'.

Sp I a) Sa se determine ecuatia dreptei care trece prin punctele B 1 ~i B 2 .Sp I b) Sa se arate ca A n =En' oricare at fi nE N* .Sp I c) Sa se demonstreze ca pentru orice nE W*,punctul An apartine dreptei Al A2 .I 2. Inmultimea ffi.[X] se considera polinoamele f = X4+ X3 +X2 +X +1 si g = X2 - X -1 .5p I a) Sa se determine catul si restul impartirii polinomului f la polinomul g.5p I5p I b) S a se arate ca daca y este radacina a polinomului g , atunci i=2y +1 .

@ 0 0 )

2_2 _ ~ K +Zx+ 7 -tl- - : : - ' f . x - + J-


20/100

Ministerul Educatiei, Cercetiirii si InovariiCentrul National Dentm Curriculum si Eva.uare in invatimsQqll Preu. ...i:yersiQir

I SUBIECTUL n(30p)1 1 . in reperul cartezian xOy se considers punctele 0(0,0) i An(n +2,3n - 2) , n EN .Sp I a) Sa se serie ecuatia dreptei determinate de punctele A I si A 2 .Sp I b) Sa se calculeze aria triunghiului DAoA ] .Sp c) Sa se demonstreze ca pentm orice nE N , n 2 3, punctele AI, A2 ~i An sunt coliniare.

I 2. Se considers polinoamele f = 3 X 5 +3 X 3 +3 X + 4 . E Z 5[X ] si g"'" 3x 3 + iK 2+ 2 X -l- 3 E' J : : . 5[X ] .5p I a) Sa se ealculeze J(O)+J(I) .5p b) Sa se rezolve in multimea Zs ecuatia J(x) =O.

c) Sa se determine catul impartirii polinomului J la polinomul g.t 4 , f (3 ; "J ) I t : l - (4 /~4J

' / j K ! : f A (_ r1 '. - < t 1 - ~ , ~ : 41. __0);:::0

5p

BACALAUREAt 2oo9-M6EMAhcA - tr:ba D,MT2, programa M2


21/100

V o t JMiDisterul Educatiei. Cercetirii , InoviiriiCentml National pentru Curriculum. sl Evaluare in~nvi@mtntul Preuniversitar

I SUBIECTUL U(30p)

1. Se con sid er s ma tr ic el e A =.[~ ~ ~), B =(.~o 0 3 0!(X)=X2-3X+13, unde Xl =XX.Sp a) Sli se calculeze det(13 +B) .

5p b) Sa se d emon stre ze e li. f(A) = 13 +B.Sp c) Sii se arate 0 . 1 1 . (I(A)3 = 13 +3B+3B2, unde (l(A))3 = feA) f(A)' feA).


22/100

Vo~tMinisterul Edoc_dei, CercetlUii ~ Inoviirii

Centro. National pentru Curriculum . i Evalu_" in nVitimAntul Preuniyenitar


23/100

MinisteruJ Educa 'e' Cercetirli . InoviriiCentrol NationaJpenlru Curri.culum si Evaluare in.....itimbtul Preuniversitar

, SUBmCTUL n (30p)1. In repeml cartezian xOy seconsidera punctele A(7,4), B(a,a) ~i C (3. -2) unde aE lR .

5p a) Pentru a= 0 sa se calculeze aria triunghiului ABC.5p b) Pentru a"" -2 sa se determine ecuatia dreptei care trece prin punctele B ~iC,5p c) Sase determine a ElR, astfel inct punctele B, . C ~iM(x, -2) sun! coliniare, pentru orice IE lR . ,

2. Se considera polinomul f e R[XJ . I=X4 +aX3 +(a+3)X2 +6X -4 care are radacinile Xt,X2,X),x4'5p a) Sa se de te rmine a E IR astfel incat xl +~ +X3 + X4 = 3 .5p b) S1 se de te rmine aE R . astfel ineat polinomul s1 fie divizibil cu X - .fi.5p c) Pentru a3 sa se deseompuna polinomul Iinprodus de f ac to ri i re duc ti bi li i n R [ X ] .

c J ) ( i l ) IH'I-;~); &0,"0) / C (3;- : 1 . . ) viA /H',e - : o ; _ kd. A =-1.!lG=l3At1-t7 e . . Q . _

) t3 (-- 2 ._ /' - z , ) ) ' " C (:) ; . _ y tje; -2_ - 2_ 1::::-fr 3 _Z_ -{_!J - _ .he" . f . t - l -Z-ot ? C : -2;( +3'j + - Y N, + - z._H~ 0 : - 0 ; ;:Jc::r fJO=O_;' ~ ~

c . ) I 0- a. ..( I ~(f. "". -:zi[ ~,IX x -bf-:(.;( +2-t - t -X ~ : : : ' ~a..l =-7 a . . . - = - - 3x . l -tK'2- tx.ytK't =: ::, j -1(,'-)-- _ 4 1- 2_q_V'i_ + (o.+3)2 +0 r J i -? ,-0- l ) . , l x - v r z / I = - " ) T cz: --0 - '7 II ' G 'c: -0~ : < _ a _ ( t f 2 _ + 1 . ) z:: G (Vi ri) ; .(~t-A)2_ Q_ ~ - f - 2 . . a: f" ~r t: v 2. y


24/100

Mimsterul Educatiei. Cercetirii ~iInowriiCentrol National pentru Curriculum siEvaJuarein inviitimiotn.l Preoniversitar

, SUBffiCTUL II (30p)

{X-2Y+3Z=-3

1.Se con sid e ra s is temu l de ecuatii 2 _ X + y + z = 4 , WIde me J R .mx- y+4z=1

Sp a) Sii se de te rmine me Jl( astfel m c a t (2.1.-I)sUie 0 solujie sistemuJui.I -2 3

Sp b) Sa s e r ezol ve e cuat ia 2 I I =m2 - 3m , unde me 11(.m -1 4

Sp c ) Pent ru m = -5 sa se rezolve sistem ul de ecuatii .. 2. Seconsiderlipolinomul I=X3 -(m+l)X2 -3X +3, f e Ql[X].

. c ; , n~ _ : !s~ I- I

a) ~~ se determine m FQ astfel incit suma r l idac in i ]or pol inomului Ili fie egali cu I .... , .'~'- _ -- -~_ _ .e- - '"' s tf cl ~mc"' t po li n omul t - ~ : . .dmi+x radacina - r;;3>; r :""::- '1.. . :: ' L.~": ' 'Ulo.I~""'L~.I. I. I."" r,;; t : " ' " ' (.i.~li.l_ j;1 i : :N1 'l4. ~,4U4 " ~~l - ~ j ~.)Pe.nim m =0 sa S o C ; : descompuna polinomul t in factori ireductibiliin Q[ X ] .: 2 A).,! - ~ - ~ -::;../ = - 7 .i,.(_.{.t 'z: t; : = : : . - - > j\A..L :::. : 5

')j --

BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D,_MTI, programa Ml


25/100

Ministerul Edllcatiei,CercetirH , & _ I n O V i l r i iCentrul National (!eD.tnl CurriculUIII. siEvalll8re in~ vAtimintli.l Preuniversitar

, .. SUBIECTUL U (30p)

1. Se consider! sistemul deecuatii { X : : ~ : ~ = ~ 1 ~imatricea A ( a ) = ( : ~ :Je M 3(R)x+4y+a2z=1 I 4 a2

5p a) S! se caleuleze det(A( 4.5p b) S a se determine a e lR pentrucare matricea A ( a) este inversabila,5p c) Pentru aE lR \ {J ,2} s a se rezolve sistemul.

2. Fie polinomul I=X3 +aX2 -aX -4, Ie J R [ X ] .5p a) SAse determine ae IR astfel incat Xl + X2 + x3 = -2 , unde Xl' x2 , ~ sunt radacinile reale ale

polincmului I.5p b) S a se determine ae IRastfel m c a t polinomnl Is! fie divizibil cu polinomul X' - 2.5p c) S! se determine a e Z pentru care polinomul f are 0 radiicinii rationalS. pozitiva

g) a _ ) M~)= n ~ ~ . o Id - { A I ~ ) ) = ! i ~ ~ / - . : : .If:-itff -2. -I' - 1 " z: (;\ ; ( 4 if, A 4 . Jf,.e ) 1 1 - ( (L ) _~(fq_ - ~) oki-(l1-( a)) = F 0 zc k J : - 0 - C 0 - ) ) = = - / ~ ~ ~ i: ' Q.2 . +- Cl . -t-l( -:2. - 4 C ? _ -12Z - a . . . -3~+ -~ = =A . " (L2- = :: [a -A)(a.. -2) *0 = - > a. eT tA \ 1 I z}

~)6= J.d;-(Ma- J ) x: a _ L-3aJZ I-(1 j _ 0/i _ / 1 'r .,( . 1 . - CL L_3a. -a .: ~ y : : : : : - j . ( 4 a : . . . . .+ - .( 2 .. CL . - J q z,1 a.1.- ',,( .,( G k . .-1 L ~( n-2..._6.2:--

(11 { I I . L],( - a . -3a 1 - 2 - =-1" 1 . . ; = - ~ J: .....Lr .::0~ C' ~ 1 z . 1 ~o I X - = - - Z - - - Q _ _ l - J a . t2. ) q L J .A ' - r A .. / _ _ , f r y . . . - o ~ 2-;::.0f'.-1/(j ......c D ~ ) X l -f- )(Z':-(-.(3 t: -a } - : ; : : . . : > a _ - = - - 2x ( -t - K1-- e /"3:::: -:2._ _ ) f J ( Ji)':..- _ p {c} .jJ( - i fz_) 0~) i'-- z( t='7 0 - U i - ) C K - l - ~ J ( # _ 7 1 ~ ( -U2- ) - = - 7 T 2- =t:


26/100

V02GMmisterul Edncatiei. Cercetirii si InovariiCentrul National pentruCorricumm si Evaluare inInviitimi ntu IPrcuniversitllr

, SUBIECTIJL II (30p)1. Se considera marricele 02 = ( ~ ~ J .12= ( ~ ~)!ji A " "(~ ~ J .undea,be Z. Senoteaza A2 = A-A,

5p a) S1 \ se calculeze A2 .5p b) Sa se ve ri fi ce C~ Al = alz +bA .5~ I . c) . ' j ' l t i inddi Xe fo1i ( IE) !ji AX ;:;o XA , sa se arate ciiexista m, n e IE astfel weat X =ml2 +nA ._ I I . 1. ~ ccnsidera polinomuJ f =X4 + aX 3_ X -1,unde ae IE.;:II} a) Sa s c de te rmine a stiind ell x =1 este radiicinll a pol inomului f .5p! b) Pentru a= I s li s e det ermine : :- 5. d: i: :: i: :: :: ii ;:.":::"c~~~zl;: [>olmi.!ffil'li!!: _,f


27/100

V02__'f-Ministernl Educatiei, cercetiriit; InoviriiCentrul NatiooailKotru Curriculum 5i Ev.aluare in~vitAmintul Preuniversitar

, SUBIECTUL II (JOp)1 . S e c on sid era matr ic ele A = ( : ~ ) , B = ( ~

Sp a) S A : se caleuleze A2 , unde A2 = A . A .Sp b) SA se v erifie e ea AB - 2B = O2

- 1 ) ( 0 0 )i02= .-1 0 0Sp c) SA s e a ra te cli dad! X e Mz ( R : ) ~iAX .B = 0], , atunci .SUIDa e lement elor ma tr iee i X esteeg ala c u ze ro .

2 . S e c on sid er s p olin oame le I.g E Z2 [X] f = X2 +ii g = X +1 ~imultimeaH ""{a+bX +cX21 a,b,ce Z2}.

Sp a) Sa se ver lf ice di g2 =f .b) Sa se determine catul ~irestul impAft i r i i polinomului f + g ill polinomul f :

BACALAUREAT 2009.MATEMATICA - Froba D,. MTl, programa M2


28/100

.. .Ministerul ~dDeatiei, Cercetirii ti Inoviirii .Centro. Nationa'.l!entru CurneD'om si Evalosre in Invitiimllntul Pnmnlversitar

, SUBIECTUL n(lOp)1. Se considers multimea M:::: {ah +bV I a,be R), unde 12 = ( ~ ~ ) i V = C = ~ l

5p I . a) Sa se veri :f ice ca 12EM.5p b) Siise arate eli dad A EM!ii A estc rnatricc invcrsabilj, atunci a;< : 05p I c) ~tiind eli A,BeM) sa se arate eli ARrH .

I ~ , ~ " n rlllt:'J IL 1e il numerelor rea le se considera I eg ea d e c ompoz it ie X" Y =.:go' -.5 ( x +Y) + 30 .5t' i 1 1 : ) 811.e demonstrezeca x * y = (x - 5 )( .1 ' - 5) + 5, oricare ar fi x. vE R. .5!11 b\ ~li ~edeterrnineelementnl nentru 3 1 I"",ii de .,,tmu).ri'i" --,." -5p I c) i)f1LT\dll. tegea de compozitie ,,*" este asoelat!va. Si t Sf;rezotve in rmutuuea nnmerelor reate

j ccuatia :...,.~~;"=- '~: i:.: ~ -r J ) t 0:- G O ) -:0 ,[ iz -I - o- V E M Y o ._ ~ { " ; - {j~- 01 ; i f - : ( ~ : ~ A- ~ a_i2_+~ V = C ; ; ; _ ) - ( t - ~ _ )=(~~-t ! ~ )4 - ~iA-UI,;~- =->o&i-I f- : i -o ==- / 0+fb-)(a_--r)+-& ?.-:FO ~/= > cz _ 2,_ - 6 - ~ e ?_~ 0 -=-? a.L=f-0 => a.. - : i = - 0

C ) A - - 0E I V ( j' A- : : . . . CLLz_+&V J. !3= - . e . r; f-d V; Q, , a t .de- f l 7 .1/'


29/100

MinisterulEducatiei. Cercetirii l;novAriiCentrul National Dentm Curriculum 51Evaluare in~ viitAmintul Preuniversitar~ SUBIECTUL U(30p). 1.Inmultimea~ (R) notam ell At t ranspusa ma tr ic ei A.

Sp a) S a se calculeze h +(I2l ,unde [2 ",,(~ ~}Sp b) S a . se d emonstre ze c a p en tru o ric e A E foI2 ( J R . ) iimER . a re l oc r el at ia ( r n A ) ' = mAt Sp c) Sase determinematricele Ae M2(R) pentrucare A+A' " , , 2, unde 2 = ( ~ ~ J .

2. Pe multimea numerelor reale se considera legea de eompozitie x * y = ( x - .J 2 )( Y - .J 2 ) + . . / 2 .5 p I a) S a s e r ez ol ve e cu at ia X >I < x = X , unde x e I R .Sp I b) S a se demonstreze c a legea de compozitie " > I < " este aseeiativa,

e. e )g _ . ) I t - t; . u U _ ~ _ ( _ I K . ) J It- = c of - ~- at I ~ a - A ) A _ o L~~~(::::1) I ~~t(:~:~) /UurC

< 2 ) A - G J V ( ~ C Q ( ) i P r ~ ( ~ ~ ) ; 1 1 - 1 ; = ( : - d) / A - + I 1 - & = ( / + : t : d )b _ _ ) ( 2 . . . Q_ . . t t - c . . ) . ( 0 0 ) =) )a . = d. ~o - = - - >A - + A - - -02.. - . g f-c.- 2 . o / _ = - 0 C J 1 - 6 - +: 7:.-()_ .It - = : d < ::-0 ( 0 K ) ; 1 ,- '7 . ~ -=-X G -K ,4 ~ tA 0 c u V L , _ ( i K ) ; KEK

J . .c: "I,(l-~I- - r J 2 _ - . : : . .0 - = : : > x : . l - : : : . n j X - r.(i: -.{ :; 0=> >(2 . - :: .V2... " . i\z..z; v z : -f (. e r ) (Uj)H g ( - i / 2 _ ) { J - l IZ) + v z ] k-t: - [ f - l h ) { ~ - r / l _ ) f-I/Z- V ~ ] -,r s-c:


30/100

\/030Ministerul Edue.tieL Cercetlil'iiy InovArii .

CentrulNatiooal pentru Cunieulumsi Evaluarein ~nvitiimintul Preuniversitar SUBIECTUL II (30p)

{

x+ay+ a 2z : := '. 01. Se considera sistemul deecuatii x +by + b : Z =: . b ,unde a.b.ce J R , sunt distincte douAcate douli.

x+cy+c z eSp a) Sa s e re zo lv e s is te nru l p en tru a = 0, b::: I ~i c = 2 .Sp b) S6 s e v erific e e li. det ( A ) = ( a - b ) ( b - c ) ( c - a ) ,unde A este matricea asociata sistemului,5p e) Sa se d em on stre ze c li. so lu tia siste rn ulu i n u d ep in de d e nwn ere le re ale a, b ~ic.

2. Pe muljimea numerelor reale Be defineste legea deoompozitie x * y = x + y +m , unde m este numiir real. 'Sp a) Sa s e a ra te ea le ge a de compoz it ie "*" este asociativa,Sp b) Sa se determine m astfel incftt e = . . . .6 sa fie elernentul neutru al legii "*".5p c) Sii.se determine m a stf el me at ( - - 1 3 ) * ( -J2) * m * J 3 =3J i .

c D ~ ) h~~ ):; ' J ' ~ < - ~ fcC? )~ :~oof , -2_1 C ~2- 1 ' ( -t ' 2 : ( + , , ~ ~ 2 { z ' ; { - + 'r~ ~d.( )f . k i -t e z," / x . ~ ~I f 2., 'b = - -4 ~ ~~-. l :.-0 ( - ~ l't to)/ _ ' 2 : - -= 0 ::::-7~=u . a . . . . . a . . . z . . . ~ -0:- ~ -fA{ = = -A - _ . A .I f z, - 0 . 't L C -a....A -o .. r!);C -.fl- C -Qtt .c. -c . G e . )

I( t -f o ._ 1 - (-8 - C L ) C c -a) (C -(-G- -Q

z: f ! r - , ( 1 - ) (c _"'-) J c e-o: - = ( a _ - ~ ) ( . b - -.c) ( _ - e . -a.)c) AX - : : 1 : : ( , l ~ 1 : ; - 0 j tjJ ~ ( : ~ : ~ I z: r t - -(j){{;"-C)(,c - G - ) { ~ ~ ~, e. t'L,,( e, C .d&--O' qe ~_4r ~::::---/ t--~vr

- 1 a . . . 1 - " ;Z:: ~ -=-0 : r : ; : : . - /..6 .L . Jc 0::, 1 .e - k _0 6 I ~~&.u;u.u~,d._,{ c. e . . . . . 5 I 0 4 : _ Qr J . - . ( e : . 0 - ) (j ! I e ' ! ) H~+ t + 1 W - )i-c ~ K 2 - f " , - ; J _ I W . . ) - ?~ ~'jJ~~ ' 1 : , " " '-BACALAUREAT 2009-MATEMATICA Proba D,MTl,llrograma M2


31/100

V031Ministerul Educatiei, cercetirH1;lno\'ilrii

Centrul National(KDtru Curriculum siEva.uare invitimintul Preuniversitar, SUBIECTVL IT (30p)

1 . S e e on sid era multim ea M = { A( a ,b ) = ( _ : a ~ b ) I a,b E IR} ~imatricea I2 = (~ ~).5p a) Sa se calculeze detenninantuJ matricei A(l,I) .5p b) Sa sedemonstreze clidadi A, B eM, atunci A +Be M .

c) Sa se arate cae det(h - A ( O , b ) ) : F - 0, oricare ar fi be R. .2. Se consider! inelul de polinoame Z3 [Xl .

Sp


32/100

Va 3 2 . . .Ministerul Eduea ei Cercetirii . InoviriiCentru) National pentru Curri.culum si Eyaluare in. viltimAntul Pceunlversita.r


33/100

V03_ ),Ministeru} Educatiei, Cercetiirii Si InoviiriiCentruJ National pentru Curriculum si Evaluare ininviitiimantul Preuniversitar

I SUBIECTUL II (30p)1.Sec=i_~pmea M ; m ~ ~ Ja . b , C E +

5. aj Daca A = [ ~ ~ ~ ) ,iB = [ ~ ! ~ J " ~ C W C U I = A B5p I b) Sa se demonstreze ea pentru oricare X, YEM, rezulta ca .ITEM. ,5p c) Sa se demonstreze ca, daca U EM si vu =UV , pentru orice V EM, atunci existaP EZ astfel ineat

U = [ ~ ~ ~ J '0 11 2 . Se considers polinomul f = (X2 - 2X +1t -a2 , unde a E IR.

5p I a) Stiind ea a =0 sa se determine solutiile ecuatiei f ( x ) =0 .5p I bj Sa se verifice ca f={X2-2X+l+a)(X2-2X+I-a).5p I c) Sa se determine a E IRpentru care polinomul f are toate radacinile reale.

c D w) f i- . ~6'=:- (~ ~ ~ ) (; . t ' i ) ' : : : ;~ f ~)() 0 A ,0 0 ,{ C Q o ~{ ; ~ ) ' x l'( t;: , 1 1 ) ' X _ ( ' , 1 , ' a t C ' ) " Y ' _ ( A ,JI! - 0 .1 / J ' t I _' 0 ,{

,0 a -1 0 0X.V -:::: 1 Q{+Qz._ .C{+eLT G .A 8 , z . . . At ! ,1 -'-0 ~ ... .1../1 .( G v V ( " U L , : , ~2.) "_~'''L"L-rO A _ / t . . . -+ , tL J '- t Q c t ' 2 - ; l , ' , { + - t ' 2 _ _ t ; ; ' l _o Q A

~) U G - j,,{; U ,:;: ( '.~ ? ~ , t ; o ) ) V : : o ( , ~ ; - 1 - )o 0 A ~~ C) AV U = - U II~7 (' J Q. t;!.. c. + 1 " + G i j ( . I l Z +,t.y'_ C +{/ + e ~ t 1 A 4 . _o A . J 3 -t /k::::' 0 A )r t- rk = >o 0 ..1 . o 0 A~ ') a: f 1 . . t - : : : - e - f l:.vL ' V ctl . e - Eo~ , -=? (k_ - = - fVl-L =: . . '0; it e , ; r _ -==-)

(2) ~)' (J_-;::....O)" , . ' - -.) (+.0 { o (x->t Ito =)x _ _ ~) U ~(~ ~ ~)~ l ~ / l .__. z ~ X ,_X 0 0 , 1~) J ( ; C ' x ' 2 .


34/100

Ministerul Educatiei. Cercetiirii si InoviiriiCentrul National pentrn Curriculum si Evaluare ininvatamintul PreuniversitarI SUBIECTUL II (30p)I.Se considera multimea M = { ( : ; ) I a.b.c.d E J R - } ,imatricea A = G ~ } Se noteaza ell X'transpusa matrieei X.

5p! a) Sa se calculeze A t . A .Sp b) Sa se arate ca, pentru oriee matriee X = ( : ;) din M , are loc egalitatea det (X .x t ) = (ad - be ) 2 .Sp I c) Sa se arate ca, pentru orice matriee X =(: ;) EM ell det (X .xt )=0 , are loc relatia ~ = ~ .

I 2. Pe multimea numerelor reale, se considera legea de compozitie definita prin x 0y = xy - x - y + 2 .Sp I a) Sa se arate ea legea " 0" este asociativa.5p j b) Sa se arate ca, pentro orieare x,y E (1,+00), rezulta ca x 0y E (1,+00)Sp Ie) Sa se determine aE Z eu proprietatea di x 0a = a , orieare ar fi x E Z .

c D ~ ) /rb, 4 : ( ~ a _ : ) / ~~ = 0 _ ~ J ~ z a ~ + ~ o ! )f r / X , X z: ( . e - o f. )(" ', ol)-~e-tJtd e - Tol. .d . s . / . . ' ' : ) (2_, 2 .) C 't- - E e l 2)- ( a .e T .e .cl.) (0.t - + - c . o L . ) . -C{Q;[ L X . r X j:::: ~. IC- . . ?~ Z e .

'> . ? 2 fi . 2 . ,9 2.., z . (/.'0Z_ I':L}r-- 2 aB cd_-. .z",J z:--:::..c~';.py~1;.:+Q.. CL -f"Y C-ry(?( .. ,~ . . '2- ~ .....: CLLoL 2.+~e.~ Z-_ 2. cJ;- eo! -= : C O d - ~ " ~ )

c ) j.M- 0 . ' x ; f J =-0 = > acf-yt e, ~O => ad7:c tc =?:;. "; ;c ~ '-'")r r 0'1). t: = -~ '! -X-J+t ) Q c- ~ X :i ~ - a-I ~. q 2 3 - -A~.{-X r+ _j>, _ l ! o d,= X ' I E o ,-u-r: -xj' ,+;(Y+~ < D1 ." , {~ ~_Il.p _ 2:; +.2 ..} .~ . ! C . y c - x It - J( & . r:ZX - AX 9C J 0c )= = - ; ; . . 0 (/ c. (j f '.(/ (/.,. . , .

: 2 0 - Tyt- &-4. + ~ -=,(' is -Jr. : r -a-~.+x -ry-t6 ' J .u: Q)~=_.> ?o7).~=-xo(~rb)1 tJA:L'I,Ui(j,ryfr) x G(~-t.00) =-/x> ~I =i: A -d ~0} -=-) -: d){ ~-J) >0

' 'If (,;,.{ Fry .,-::> 'V >-.( ~) Y . ->l;-- o. " X ' (j {'q . i ( j , . 4 f\ i f - ) ( - : r Tl.>0 +A. -=-:>? ...t\r-k'-'lP-r2_>.( - --. K' A"f ,if,~ . v V.,' .L . .:1 J ~l 1, 'f-:/ ( 7 ' . x 1 J " o- (tl t=)c.) X Q- X ~ Q - & - 2 = - a _ . . . . ; x. ( G_- A . ) - Q _ ( Q~,(_ '::'-0 ~. X -'2_ j C a-A.):::o V , t r ' ) : '~,,"/' '/ ~ct - (-.:::-0 ='> Q:::;_ a ;BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D,MT2, programa M2


35/100

.------------------------------- ---~~.. -.

Ministetul Educatiei, Cercetiirii \i InoviiriiCentrul Nationalpentru Curriculum siEvaluare in Invitamintul PreuniversitarI SUBIECTUL II (30p)1 1 . Fie functia J:M2 ( l R ) - - - + M2 ( R ) definita prin J(A}= A + At, unde At este transpusamatricei A.

5p I a) Sa se calculeze J(12)'Sp 1 b) Sa se demonstreze ca (A +B)t = At +B', orieare ar fi A,BE M2 (R).5p c) Sa se determine matricele AEM2 (R) pentru care det A =1 si f (A) =02 , unde 2 =(o o J .1 2 . Se considera ecuatia x 4 - ax3 - ax +1= 0 eu solutiile Xl' X2 , x3 , X4 , unde a E lR .Sp I a) Sa se determine aE lR astfel indit Xl+ X2 + X3 + X4 =5 .5p I b) Pentru a=1 , s a se determine solutiile reale ale ecuariei.5p e) Sa se determine valorile intregi ale lui a pentru care ecuatia admite eel putin osolutie mnnar intreg,

" " 6' . ( 2 . . . 0 )c f J a) f - C L ) : ; ; : - L + t: : = - ~r~~~ 2... .- & ~ / 1 + , r; ;,;lCR)'--; 1 + :G ~1 ); Ib -~ c ; - l J i /r & _ C ; ~5) _

/ . . . . - . g . . t - ' . .."6- ((LF .c~(f.)6b~a t); A - H7 = ( : : ; ~ :k) i (~:6)~0v ,+t ":t. - b - ( i I . . . +e.-. d 1:e) .. o le . .(t{S) ::.,.}.M11-4/.3 6- J tp< )* -t fb - = I t ' ' - t-t el1-it, .) C-t __ . ) I2Q e - t J - C - ) .c) IH.4i.JR) ; 4 = , ( ~ ~ ~ ) i . ! } O - ; c _ ( ; J) ; : f - r : = \ t - t < ! 2_c~(.2 c:L - 8 - . ~ C - - ) _ _ 0 ~ I ) . ( . 1 . . . . t ' . " ' " 0 1 ~ - ( ) ~ - - " A - - 1 . - 8 - C )

- e : t e A - -:L iIfc. 7---0 ~ .- ')


36/100

Mi.nisterul Educatiei. Cercetirn 1iInovariiCentrul National penim Curriculum si Evaluare in Invatamfintnl Preuniversitar

BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D,MT2, programa M2


37/100

Ministerul Educatiei, Cercetarii si InovariiCentrul National pentru Curriculum si Evaluare in Invatamantul Preuniversitar

5p

I SUBIECTUL II (30p)l.In multimea M3 (Z) se considers matricele F = ( ~ ~ . ~ J Ii A = ( ~ ~ n

- - [ 2 3 4 ]a) S a se determine numerele a, b si c astfel incar A + F '" () 2 5 .002b) Sa se arate ca pentru a =c 0= 0 si b =~1 rnatricea A este inversa matricei F.( 1 2 3 )c) Sa se rezolve ecuatia F -X = l 4 5 6 , unde X E )\.13 (Z)

7892. Pe multimea lR se considera legea de compozitie x'" y =2xy - x - y +1.

5p a) Sa se arate ca x* y = xy+(1-x)(l- y ), orieare ar fi x,yE J R _ .5p I b) S a se arate ca legea de compozitie ,,*" este asociativa,5p I c) Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia x * (1- x) = 0 .

. ~ ( ~ . 0 . . . A + 8 - j ( - ' 2 '6 ~) ) C ,t -:::- 3 ,< J ) = ) It+f '" 0 1_. -C = - ( ) ~ r = -- > ( - f fr:lt => -,,3a 0 : t , _ - _ " C 7 0 2 . J . _ .c ( - = - { - ~ 0 0)~ - ,..-.,..- h

f; ~O ~ :F-1 ~~_C~~ J ~-);,t:o (~ O J -~ )~ F-1 e J X ~ .~-!(} ~f)= 0 O ~ - ~ ) a J f )~ r i] A 1 ' )~_~ ) v~ C L X Y + (tt - x) ( J - ~ ) : : ; : x . J - F - ' - - X .- 'tfK ,Y ~ 2X~~ _A - y +~-::;:;i,*-'.&;d J . d d if t/AiJ' E - t ; < , -.t) C ! - f-J) ;c.20= ~~ J -x~:(~1) f.'. 2, =. . 4 1 : 1 & - tXb-2 ~g. 1-~ : 0 - ; x I +x f.f ~ -./ - ' . t : fl" ~7 6-- z d -2x (l,. - ?I ~ +K f- :- +.; 0. .x+ (~~c)~ X . . r U J " 2- -~}--~f-1= 1 r ; < ~ ~ , -hr2_f~1-2X- x-~i~'.~+ & -.U{ := . r . x : i ~-~ X ' l ~ 2 _ 1 ~ ~u_" : X + ! i + ~ .

e L i M - 1 9 ~ = '> (: ;f-y ) ' * - - c : : : - -x 'r(J ~ifp : - : J I (f-X, Y l 2 : - f: il(.c) :2.)((,( ~)[} _ x - - ct.-x) fl ~ 0; J ! . _ x -:()L~)c -4-+ X -t,1 -.:-.0

_ ,-_ :[ X L ..f-:Z X . ~ - - o - I L {-L)BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT2, program a M2 _ .x (X -;:.{1-= -0 =-"") J X t - ; : _ o1 X z_7;..{

5p I5p


38/100

V03~. Ministerul Educatiei, Cercetarii si Inovarii

Centrul National pentru Curriculum si Evaluare in invatamantul PreuniversitarI SUBIECTUL II (30p)

{X+3Y+2Z=b

1. Se considera s is te rnu l x - 2 Y +az =5 , unde a,b E 11kx+ y+4z=4

5p a) Sa se calculeze determinantul matrieei asoeiate sistemului.5p I b) Pentru a : : : ; -1 ~i b : ; ; ; : 2 sa se rezolve sistemul.5p I c) Sa se determine numarul real b, stiind eli (xo' Yo, zo) este solutie a sistemului. ~ica X o + Yo + Z o : : : ;4 .

2. Se considera polinoamele 1X2 -12X + 35 si g = (X - 6)2009 +X - 6. Polinomul g are forma1 bri ~ X2009 X2008 X 1 T I la ge Dca g=a2009 +a2008 +...+aj +ao, eu aO,al, ...,G2009E lJ\;..a) Sa se calculeze 1(5)+ g ( 5 ) .p I

5p I5p I

I ' 3 ~ I . .1 ~ -1 -z c :L z: ~R -f-3 a_ + - : 2 . _ + - r - - I 2 . _ - a .= ! l . _ o . _ ~A f ~ . < L C L - r ;A A 1 .( d :_._ ( - ~ ~ " f ) : : : : -deb) Sii se arate di numarul ao + aj +...+a2009 este negativ.c) Sa se determine restul impartirii polinomului g la polinomulf


39/100

. . , v a 3 9CentruJNationalp=~rul ~~ucatie.i,Cereetim t Inoviiriiurne um SI Evaluare in nvlitimintul Preuniversitar


40/100

Ministerul Educatiei, Cercetibii i!DOViriiCentrulNational pennru Curriculum si Evaluare in~ vitimintulPreunivenitar


41/100

I f 1inisterul Educatiei, Cercetirii si InoviriiCentru) National pentru Curriculum si EvaluaTe in invl1ttmilntnl PreunlversitarSUBIECTUL II (30p)

{X+Y+Z=2

1.Se considers sistemul 2x +Y - z ""3 , unde a E R .x- y+2z =a

5p a) Sa se calculeze determinantul matricei asociate sistemului.5p b) Pentru a=0 sa se rezolve sistemul.5p c) Sa se determine a E ![( astfel meat solutia sistemului s A verifice relatia x:= y + z .

2. Se considera polinomul J E lR[X]. f = X 3 - 2X 2 + aX - 8 .5p a) Sa se determine numarul real a astfel incat 0 rMlicma a polinomuluij'sa fie egala cu 2.5p b) Pentru a = 4 s a se determine catul ~irestul impi1rtirii polinomuluiJla polinomul g = X2 - 2X + 4.Sp c) SAse demonstreze cA , daca 11 (2, - ro o ) atunciJnu are toate rlidacinile reale,

< : )

K ( +K'L -f K} ~ Z.) ( , { X o z _ - { J( K S + X 1 - - K 3 : : : ; a_r.. ' 7 - J(b ~ l?


42/100

@

Ministerul Educatiei, Cercetiirii ji lnovariiCentru( National pentru Curriculum si Evaloare in nvilramAntul PreuniversitarSUBIECTUL II (JOp)1 . Se c on si de r! ma tr ic el e A = ( 1 I) ~ih= ( 1 O J .1 -1 I

Sp a) SiI:se verifice eli A2 = 2h , u nde A2 ::::A . A .Sp b) S a se de termine x r ea l a st fe l m e a t d et ( A - xl 2 ) = 0 .Sp c) S~ se demonstreze di A4 .X::: X .A4 , pentru orice X e M2 (IR), unde A4 :::A A A .A .

2. Se considera multimea G = { a + b - J 2 1 a , b e Z, a 2 - 2h2 = - I} .a) Sa se verifice ca 3+ 2J2 e G .b) Sa se demonstreze ea x ye G ,. pent ru o ri ea re x,y e G .c) S i I : se a ra te e li o ric e e leme nt d in multirn ea G a re inve rs ill G in rap ort eu lnmu ltirea n um erelo r reale.

e . . ( A A ) ( A . A ) d 1 . -+ I ,{-;() ( 2 . 0 ) - 2_ia - J I t- = - It-, A - z: A _,{ A . - ( A _ I f 11-_(. :::- a < . . - :2.-4 - > < ~7-::C C ~x -.~ x ) ; old- (4--X ~'-)::: ~-x)( -1->


43/100

V043 '-I,-inisterulEducatiei. Cercetirii InovAriiCentrul National pentru Curriculum si Evaluate in nvatiimintul PreuniversitarSUBmcTVL n (30p)

1.Se considera multimea M ~ { ( ~ ~ ~ } a , b , c , d e R} si matricea ~ ~(~ ~ n5p a) Sa s e a ra te ca O : J E .N t .5p b) S11se demonstreze c,produsul a douii matrice din M este 0matrice din M .Sp c) Stiind cil A E M ~idet(A) =0, sa se demonstreze C 1 ' 1 A3 =03, unde A3 =A AA.

2. Se considera polinomul f = X4 - X3 +aX2 + bX +c, unde a.b.c IR.Sp a) Pentru a = c = I ~i b = -1 s a se determine e a t u l ~irestul impMtirii polinomului f la X 2 +1 .Sp b) Sit se determine numerele a,b, c stiind ell restul impartirii polinomului f la X 2 + 1 este X. iar

restul impart;irii polinomului f la X-I este -1.Sp c) Sa se demonstreze ca daca. aE (~, +ee), atunci f nu are toate radacinile reale,

0 ) a ) a-:-_e . - - : : : . . c = - O ' { = - 0 r = - K < ; ; ( > ~ ~ ~ V ; ) ( Q . z. t'L e z:f r ) 4 ~ J A - L { : - j , { f / - { 4 2 . - - 0 a,{ ci, 0 a z . _ d z . -o 0 Q.( 0 0 C { _ z . ,a . c e 7 . . . . . .[ B - { a L a.. c c 2 . . - f- , e ' 1 { oL'_.f c{_' Z - 1,/

a ._ ta 1 _ Q.( d" t- d . ( . a 2- - : : : ; : : : . . ? k - L ~2. t; c/I/(-


44/100

V o 4 ~Ministerul Educatiei. CercetArii 1InovArii

Centrol National Rentro CurricUlum si Evaluare in nvatrunantul Preuniversitar

Sp5pSp

SpSpSpg a _ )

. f r )' C /

SUBIECTUL n(lOp)1. Se considera matrieele O2 = ( ~ ~ J . A =(: ~) din M2 ( R . ) . Se noteaza cu AI transpusa matricei A,a) Stiind ell ad := 4 si be = 3, sa se calculeze det (A )b) Sa se calculeze A A' ,c) Sa se demonstreze c a dacii suma elementelor matricei A . A ' este egaHi cu 0, arunci det (A ) =O.

2. Se considers polinomul f =X4 + 2X3 + aX2 + bX + CE lR[X] , eu radacinile xj,x2,x3,x4'a) Sa se calculeze suma xl + x2 + X3 + x4'b) Sa se determine radacinile polinomuloi f stiind di a = -1, b = -2 si e = 0 .c) Stiind cti radacinile polinomului f sunt in progresie aritmetica, sA se demonstreze ell b = a-I.clJ; C A -) ~ i ~ :1~ a .d -tc d-3 - = - 1)' 2 . L. e d )

f- ( C ( _ 6 - ) { CL C {1 - f- t QC+-A - < C - : : (!~) A - < ~ ~ \__~ o f . -& o f - a.c c t - o l F(. Z _w lL'2 ) 2 . .S :- (L.f:0 - 'Z - - r ,~ } - -f_- 0 1 L+ 2 _ e,C 1- 2 . _ e - o e := : ( a _ -+ c) +(jj - t e l

c. ) Q - t . - c. - = - 0 _ J a . . . : : : . - ~ . c . .J -::-0 - = - > 1 - 8 - + o J . : : . - 0 - / L - e - c : = - - o (

d e 1-( I1-) -: o._ol- t-c ::: a _ [ - &) - E - , t-) ~ -J+0$ :::_0c D a) )(_L+j(z._f'X.~+X:_'z :::--2 3 ~:3. f r J + - - : : . r : 1+1._J(_'-J(2--tx -: (U2.)-J([K+L)=,.f+:L) {ic-J C / : =

~ ;( i ? _ - , L I [ K . - f - Z ) ~ x . (K-l) (_K.+l)(K+V= f ! - ( K . J - = - 0 -= :> x _ (: -I.) (I( + 1 - ) (K s] ~ 0-=:> 1 1 ~~ ~K - s ' : - - (x~-=--2-c . ) O ). ~ x ( ~ K ~ ; x, i x,K l + > e f t ~ x : . ~ -f X . . >Kc+ K ' l . , + X 1. -f K C r - ; : : - 2 . _X ( X'l. , .T~.( X; , + x, X c , . + K?_.K,i, + - K 2 ,I(~ - t - x

3K ! ( ~ G L

X . ( K2..)(~ - + K . . { K'l k"t i + K ( x~X : ' z f xL K3~ - 4 -x ( XL )C~ K l z : ; : -c,J 0 ~ 1- K~)(_J(~ -fK,) + X, x~ + - X, A~ = - a_L tt J ( t : r e X 2 _ . -+K')) -{- ; K3 ( ~-+K It J c - e -BACALAUREAT 2009~MATEMATICA ~Proba D,MT2, programa M:2

~;> ) .(, x : ~ -f J(2 K~ =: ~-( 60)(-x, X~ - . { 2 , _ K3 --.t-


45/100

Ministerul Educa ei Cercetii.rii . InovliriiCeotrul National Deniro Curriculum si Eva'pare in nviitiimintul Preuniversitar

SUBIECTVLnoOp)1.Se considera matricele 12 = ( ~ ~ ) ~i A = ( : ~ ) din . A . 1 z (Ill) . Se noteaza A2 - = A- A .

Sp a) Sil se calculeze A2 .Sp b) Sa se veri fice ea A2=(a +d)A-(ad -bc)I2Sp c) Stiind ca a + d;!: 0 !? i ME M2 ( l R . ) cu A2M =MA 2, sa se dem onstreze ca AM =MA.

2 . S e c on sid era p olin omul f E R[ x] ,f = = X3 - 2X2 + aX +b eu ddacinile Xl,X2 ,x3 ..


46/100

Ministerul Educa'ei Cercetiirii iInovirii- -Centrul Nationsl pentru Curriculum ~i Evaluare in nvatl'imantul PreuniversitarSUBIECTUL II (30p)1 . S e c on sid era matric ele A := (2 - 1 ) , J 2 = (L 0), 02 = (0 0..) ~jmul t imea4 -2 0 1

G = { M (x , y ) I M ( x , y ) = x I 2 + yA, X,yE lR}cM2(lR).Sp a) Sa se verifice ell A2 := ~ , uncle A2 = A . A .5p b) Sa se determine inversa matricei M (},1) .5p I c) s a se determine matricele inversabile din multimea G.

2. Inmultimea R[X] se consider! polinomul f =X :J + pX 2 +1 cu radacinile Xl 'X2 'X3 ~ PER.5p a) She caJculeze I ( -p),5p b) S a se determine pER . pentru care polinomul f este divizibil cu X-I.S p c):. ' " i t ~ l n ) f u n c ( t i e ; e . : R . ) . ~ ( 4 ~ ;i~i~ ):::: 0

(j) 0 . - - ) 4 - : : - ~ L z . -2.- 1 -2... -- e-s --7 + ' z :L,fr) t-: (,; i)~A i;f,(,- z; G 5 ) i: (~ _~) : : o ( ~=~ ).IMMe,;I)= - [~ .: !",-3H ~No ='-')M-1

('1c= - ( 3 ' I ) . M


47/100

Ministerul Educatiej, Cercetiriisi IuoviiriiCentru) National DentmCurriculJlm si Ev!luare intnvatiimintul Preuniversitar

SUBIECTIJL U (JOp)

1. Se considers matricele J 3 =(~ ~ ~] ~i A = .( ~ ~ ~ ] .o 0 1 0 1 15p a) Sa se determine matricea A2 , unde A2 = A A .5p b) Sa se demonstreze cA A3 = 4A2 - SA +21) , unde A3 ee A2 . A.Sp c) Sa se determine numerele reale m,n,p astfel indit A-I =.mA2 +nA+pI3' unde A-I este inversa

matricei A.2. Se considera numerele reale X l' x2, x) eu proprietatea cs:

1 1 1 1X l +X2 +x3 =2;~+-+-=-; xlx2 +x2x3 +x3Xj =-2.X l X2 xJ 2a) Sa se ca lculeze XtX2x3'

. (-2.) z, -7-.4


48/100

Miliisterul Eduell 'ej Certetarii iInovAriiCentrul National pentru Curriculum si Evalu.are to Dvltamantul PreuniversitarSUBIECTUL II (30p)1. S. consider s matr ice le 1, =[~

5pSp5p

5p5pSp

C D 0 - )

o 0 ) [ J I 1 )1 0 ~ iX= 011 dinMg(lR ).Se no teaz li.X n=X X ... . Xo 1 0 0 1 den oripentru o n c eE N*.a) Sa se calculeze X2.b) Sa se determine inverse matricei X.c) S a se determine numarul real r astfel incat X J = 3X 2 + rX +13,

2 . P e m ultim ea n urn ere lo r re ale se d efin este le gea d e c om po zitie x 0 y = 2~'" .a) Sa se ca lcu leze 20090 (-2009) .b) Sa se rezolve in lR ecuatia X" x2 = 64.; ~ . : d ( e m T T : ) d a c ( . ( x t ~ = r ) ' , a ~ Q c T - ~ ~ )

001 ()OA o 0/( .,f--1 /l~: : : ) kf X = I - i - 0 - : : = - ? 3 - . K ~ o~ X. ~ K .~ A A 1 r ( . f - ) 0

- - _ ( . { - ~ 0 ) X - ::. l: .X : : : - 0 ;( ~jX - o I . . -I A Q 0 - 1X 3-::_./.~= c ( O ~ ~ ~ ) ( ~ : : ) =:. (~ ~ ~

C) o,( 0d . (j) 0 - 1 - : : : : - 2 . . . - (4 -f-lL b.f)Z _ . : i + J L )3)(+h.V+I'3~ 0 4f~ e - :

() 0 4-tlL.2.J!ltJ9-2..00 y 0z C J 0 g 0 c ~ 2-00 < J ) = = 2 - =- 2 . = - -1 .

' 2 . . i-+JC 2_ x+x e G 2.X 0 x . ~ G t/ - = = - : > 2 . = - C; f =-"/ Z = :: 2 _ - - . > X +A -6~o1 'lJ~- 2r~C ~ 1+ r- : - - _ < K { -= ...-56~-f 7._ j ((z_.-=-- _-- _

, X"t-~ 2. )( 2.. = - . .L( x 0 ' J ) O l ~ !+~~= l +~x.+'j,2.. +r .~tA ,(+11 . < =) 2. +~=6fA =-"/

~)

c)

c}

BACALAUREAT 2009-MATEMATICA Proba D, MT2, programa M2

t(TA -:::.G+!t-:: .3J+h - = - C

)(+ I . , j2 . _ =A-=,?X+,-=-o=-:>=--;X = - - J


49/100

va L r 9Ministerul Educatiei, Cercetirii y InoviiriiCentrul National pentruCurricuJum si Evalusrein nvatamilntul Preuniversitar

SUBIECTUL II (30p)1.Se considera matricele Ma :=: ( ~ ; ) , unde aE R _

5Pa) S a se calculeze det (M 1 +M2 ) ,5p b) Sa se ca lculeze M:, unde M; :=:Ma' Ma,5p c) Sa se determine matricele X E M2 (R.) pentru care M aX :=: XM {1 , oricare ar fi a E II( ,

2 . P e mu ltim ea R _ se defines te legea de compozitie X" Y = ~ x3 +i'

BACALAUREAT 2009MATEMATICA Probs D,MT2, programa M2


50/100

Ministerul ... V D ' S - osterul Educatielt C_er-ce!ariiinoviriiCentral National nentru Curriculum slEvaluare in x..x A._. ." nVA_ ! ! !m i lU tu l Preunlversitar


51/100

7 1Ministerul Educatiei, Cercetiiriiinoviirii

Centrol National DentruCurriculum siEvaloare in nviltitmilntulPreunlversitarSUBIECTUL n(JOp)1. Se considera matricele H (a) = ( ~ ~ a ~ J 'nde a > 0 .o 0 a

Sp a) Sa se caleuleze det(.H ( a )) , \ fa >O .5pSp

b) She arate cO.c ) S a s e c alc ule ze d ete rm in an tu l m atr ic ei H (1)+H (2)+ H (3) + . .. +H(2008).

2. Pe multimea G = ( 2 , 0 0 ) se considera operatia xo.y.= xy - 2(x+ y) + 6.8) s a se arste eli xo y= (x-2)(y - 2)+ 2, \:fx,ye G.

?. .5p5p b) Sa.se demonstreze ca xo ye G, pentru \fx,ye G.5p I c) Sl!.s e a ra te cd toate elementele multimii G sunt simetrizabile, inraport cu legea "0".r > - ) old U((Q)) = - J ~ ~ a_ ;' ( o o . Q / ~~> 0

1 r J u (a.). H e e l = = ( ~ 0~~ g o _ _ ) ( ~ ~ e ~!z: (~(J c ? CL a 0 - e r / 0_ C 1M _ (Q6) a ) J { ( a ._ _ e / (J-a. ( 6 - ; . . 0~ 0 A . a -'-; j(o a CLt- ( 2 0 0 J to . If-I" t : _ _. r - 8 . t . 200? 0. c . ) { - ( ( i f - + - f-{ (2) + -- 'f{-(2. oo c f ) z: 0 _-z o o s a

Ii a /~t_ -I- ~- - f-2..()(j t'(to 0 < I ' . t t f . ! . _ l - . 2 0 0 r ) C J . /_ o Lo 1 9 e 0 ) ( pJ )- 0 o ' -Do f { ';_ le o fJ j / !hkl.f{ - 2 - = .!Co,'j r : : ; G/ f/J;.< ~ GC i , - ) X 6Gr X ~e 'O-eok ~x; ~-


52/100

V052Ministerul Educatiei. Cercetiro f !nOVaTOCentrul Nadooal pentru Curriculum si Evaluare in nvitimantul Preuoiversltar]

5p a) Sa se demonstreze e a A 2 :o 3A .5p b) Sa se calculeze det] A IO ).

SUBIECTUL n(JOp)1. Inm ultim ea ~ ( lR) s e c on si de ra ma tr ic ea A : : o ( ~ ~ ) . Se noteaza An:o~ , nE N *.

de 1 1 ori

( 1 0 . 1 ) 'p c) Sa se determine inversa matricei B :: o A + 12 , unde 12 => 02. Pemultimea G=(O,,,,,,)\{I) se considera operatia xQ y =x3Iny

5p a) Sa se determine multimea sohniilor reale ale eeuatiei x 0e =8 , unde e este baza togaritmuluinatural,

==-? , X _ a i f c 61[f--tt t J E-G.

BACALAUREAT 2009-MATEMA TlCA - Proba D, MIl, program a M2


53/100

VO~3SUBIECTUL U(30p)1. In reperul cartezian xOy se considera punctele 0(0,0) ~i A ll (n, n +2), " i f nEN.

5p a} s a - se determine ecuatia dreptei A OA1 .5p b) SA se demonstreze cApunctele A 0 ,A I' A 2 sunt coliniare.5p I c) S a se arate cAaria triunghiului OAnAn +1 nu depinde de numarul natural n .

2. I n inelul R . [X] se eonsidera polinomul f =x3 -x-5, eu riidiicinile xl,x2'.\j.Sp a}Sase calculeze f ( - i ) .5p b) Sa se determine a E III pentru care restul impertirii polinomului f la X - a este -5.

XI x2 xJ5p c) Sii.se calculeze determinantuJ ~ Xl Xl'

c , ) 3 > X . ~ -f K'l,. -f:)(3 z: o~JC - .( - s-jr ' X ~ ) ( 3 / 1 K'+~LH3 X z . _ _ .(3d -::.-J( ~ )( -:::'-,.( '2.- f-K'3 -rt( X , : > K 1'1- 3J( 3 , )(2.- ,(~-+K(+K'2- X . ( ~L

BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D,MT2, programa M2

J. , ( K a, ) ( 3 /t{ K3 ;(1 -= - V

~ ~ . ( X 2 _ .


54/100

Ministerul Educa . Cercetirn iInoviriiCentTulNational Denn Curriculum siEvalDare in n'vitimAotul Preuniversitar

SUBmcTUL n (30p)

{X-2Y+3Z=-3

1. Se considera sistemul 2x + y + z =4 , unde m este un parametru realmx= y+4z=1

.5p a) S a se arate c a pentru orice m numar real tripletul (0; 3;1) este solatie a sistemului.5p b) Sase determine valorile parametrului real m pentru care sistemul admite solutie unica,.5p c) Pentru m '# . 3 s a se rezolve sistemul.

2. Pe multimea numerelor reale Be considera legea de compozitie x > I< y = 2xy - 6 x - 6Y + 21 ,5p a) Sa se arate ca x* y = 2(x-3)(y-3)+3 pentrn orice X , Y E R.5p b) Sase rez olv e in multimea n umere lo r re ale e cu atia 5x '"5x = 11,Sp c) Sa se determine elementele simetrizabile in raport cu legea "" II

rjI C L ) i t - -=.0 1 0 - G - + - 3-::.-3 a ._ dtu.r ( r f I) ~b ~~ll(SI .J ' - : : : : . . U +::,-fA::::. r () s - E: . Q .. . , { ~K f - = : . K (~K -:::.e

) ' 1 . C~-~)


55/100

Ministerul Educatiei, Cercetirii ilD.OViriiCentrul National Dentm Curriculum si Evaluare in nvitimantul Preuniversitar

5p

SUBIECTUL II (30p)I. Inmultimea matricelor pi\tratice M 2 ( R . ) se consider -a mat ri cea A = = ( ~ = : ) .Se noteaza A ll =~. n E rt.

de ona) Sa se arate eR A+ A2 = ZA',b) Sa s e de te rm i ne ma tr ie el e X e M z ( l R . ) , X = (~ ~ ) , astfel iDcAt det (X +A) = 2.c) Stiind ca A ll = A, "r:Ine N* , s a se demonstreze eil A + 2A 2 + ... + nAn = n( n 1=1)A, "r:InEN~.2

Z. Se considera polinomul I=X3 +X2 +mX +1 , Ie J R [ xl ell radacinile XI'X2'X)'Se no te az a Sn :::xi + x~ + X ; , pentru n E~t.

511' a) S! se de te rmine D U 1 1 l W u 1 real m a st fe l t nc at li= 2 .5p b) s a se arate cil S3 + S2 +mSI +3 = 0.5p c) Sa se arate ca pentru orice numar par me Z polinomul f n u a re r ad ac in i ra tio na le .

(f) a - ) A - \ { i ~~)(i= ~ ) = ( ' ~ = - ~ ~: : ; ~ ) { 1 - r ;3 ) = A -IH- '-:;: (~ = ; ) \ ~~~ ~ ) : : :HA- =.iA-- ,~ ) X -t A - - : : : : C K . . - I -Y - G ) o 1 e J (K- f l+ ) -(X+yCX-3) {-.( 1 ._ : : ; : X +~x.-31. -I .l + .12 =

2 . . : ( -3 I 2. X . - -2..~ X -+.( _( f-3 < t >)(..L-- l : X . - :; ;. .Q - = - ' / x . _ 2 _+ K -.2. - = - 0; L) = - 9/ X I (2.- ::: Z - = : - J('2_ - = j

_ (- 2.. 0 ). \/ _C J ( 0 ) - iX ~ - o - < . ( " 2 . ~ C ? 1- e.c) z . e . ~ + 2 . . . A - + _ - . i- t L i - [


56/100

Ministerul Edueatiei, Cercetiirii si InoviiriiCentru) National pentru Curriculum si Elaluare ininviitimintul PreuniversitarSUBIECTUL U (30p)1.Se con si de ra ma tr ic ea A "" (2 3 ) .1 -2

Sp a) Sa se ealeuleze det (A ) .5p b) Sa se demons tr eze di Al ""7A, uncle A

3=A A A.5p c) Sa se demonstreze eli A B '" A, unde B = A2 - 6/2 si A2 = A A .

2. Se considerapol inoamele I.s I R [X] , I=X 4 +X3 +X2 +X +1 :jig =X 3 +X2 +X +1.5p I a) Sa se demonstreze eaI x .. + I.Sp b) Sa se determine radlcinile reale ale polinomului g.5p c) sa se calculeze f (), stiind dt a este 0 rMAcinA a poiinomuiui g .

G .- ) JJ (1 1 - ) ~ !~_~: : -c, - 3 ~ -~ ) ( ' t ) ~/ 2 ...3 2 . . 3 ) ( 4 + 3 G-G _ r- o ::::-r~ } I / - ' Z _ _ ItIt ' O - ( ~ -2. )(1 _ 2 - '" 2 _ -e . 3 i-'r - 0 1 ' - ._'3 1 . . . . . : - "rA - - : : - A - . ~ ~ ' 1 - L2.: If = (.4 2._.~ 3. ~ ),_

'L"": A - . . A. - I'LlA- -GE: ) = : .A - - b;;-E' =4- -(:Jt+-J fl. - 4 - - G.L . ' '.;J - IT l ''2,... 2...-~ IJ -- 2- )"=- ' f - ~ - ( ; A - ::::.. -

BACALAUREA T 2009-MATEMA TIC! - Proba D, MTl, program a M2


57/100

MIDistornl Educa".;' em.tim i;InOVir;; V a s - - ; z -Centrul National eentru Curriculum si Evaluare in ,,".- A tul Preunl .iI...man. reUDIVersltar

I SUBIECTIJL II (30p)

5p

1. In M 2 ( l R . ) se conside rs matr ice le A ( x ) = ( 1 + , s . x - . 2 X . ) . nlOx 1-4x ~xe lI\..Sp a) S1I.se caleuleze A(t) A( -1) .

b) Sa se a ra te c i'i ( A ( x ) ) 2 = A U x + 1 ) 2 - I ) , p en trn o ric e x r ea l, u nd e ( A ( x ) ) 2 = ( A (x ) ) . ( A {x ) ) .c) S 1 1 se determine inverse matricei A ( 1 ) .2. Fie m ultim ea G = { a + b J3 la ,b E Z, a 2 - 3b2 = I } .a) Sa se verifice daca 0 ~i1 apartin m ultim ii G .b) Sa se demonstreze ca pentru arlee x,ye G avem x- ye G.

Sp

5p5p


58/100

MioisteruJ Edues 'ei. Cercetirii InoviriiCentrul National pentru Curriculum si Evaluare in Dviitimintul Preuniversltar

SUBIECTUL II (JOp)

{2X-5Y+4Z = 0

1. Se considers sistemul de ecuatii -3x + y + Z = -1,cu aE Z. Se noteaza cu A rnatricea sistemului.2x-z=a

5p a) Sa se calculeze determinantul matricei A.5p. b) Pentru a : : : : I s a s e re zo lv e s is temu l.5p c) Sli se determine cea mal midi valoare a numarului natural a pentru care solutia sistemului este

fermata din trei numere naturale.2 , P e]R se c on sid era le gea d e c om po zitie asoeiativa x 0 y= x + y + 1.

5p a) S a se calculeze 2008 a 2009.5p b) Sa se rezolve in lR inecuatia x 0x 2 s : 3 .5p c) Fie multimea A = { n E N* I n 2 : 2 !iii c , ; 0c! o . c ; = n +6} . Sli se determine numarul elementelor

(j) 0 . . . . ) I_ :U(l~)'~A~Q... -s- r I _2.. -10 -R +1.5:~-s-'! o(Q..{, rt: - ~ A _ ' " - : : ; . .Q_ 0 -,,( ) L J -r- L r I- } ) t. t_ -~'1H & _ =_~ 6 - = - - : ; - ; dA = - -J ,f 4 ~ - ~r 3 x : - r ' J - * " 6-- A 0 --/

X - lJx _ i ' 'It _ 0">. ' &:::-62- - 3 J ' - - : - 4 --6-S-1 r J ' - ' " , , 6 s - / LJ J c - ~ . : ;c . . ) 6,~-S; t J } ( : : : ( _ ~ - / } ! - = - - - 5 a+ - S -J ' L J Y ~ J - ~ _ ~ ; ! = - ~ a . f ' W

GL () ,( ~ z . CL -'"L J 2 : , - - : : : ( -~ -f-.~/:::.-J.3aflD X:::- ~K ::: -9 . a.fS '" ~ -4E:rNF ,,-_~L

. r . . . . 0 a _ _ 4 -s- t J ~"t z: 9 . ! t =:-~o~!i5 -ZeH V Q _ ~ ~. : . J - Q=. s - ( " . \ 4 -S- s - of.R_ .r .C 2 & . c . L f.~"'r! t: t::(r1 6 2- _ 6c- -t3a..f{o_ j]s -tEN /1-a.. ~~ v ~ .;- - _C J - ~ s- v~ o M . s20rjRO 2 . . . ( ) O C j z : 2 . . o 0 ~ + 2 _ O C J : J + 1 =. 40 ld ' I

2 . ' l_ - ( -r 3 -\1 ~-2.X -t)( -f-I S)" x _ +x--2-~O ,. ~ ~d + f - = - 9 I K . , z . ~ - : : .: - < . . . _ . ( / c z._ '\'2.--x . . J - 0)0 - 2 ._ f ( t-~ i Ji. J + 0 _ 0 I x . . e [ - t _ J lK +J( -2- \ . -r-.e ) C " '= ;( r C -1 _. r C e. _ o 1 A . . _ ( rk-lj _ t 1 A . L..- r1-L

,.10(,. . / M. - M. I 4 - '- 2.BACALAUREAT .2009-MATEMATlcA - Proba D,~2, prngrama M2C : _ ' a C~ 0 C : : = : ( , +~ f-A)o A . L ; - f 1 . L - = - G -{-fk fl)+


59/100

Ministerul Educatiei,Cerceti:irii si Inovi:iriiCentral National pentra Curriculum i Evalua.re in iIIvi:iil.mJ.ntul Preuniversitar

VO'03SUBIECTUL n(30p)1. Se considers matricele A = . [ ~ l ~l ~.)', [3= [ . ~o 1 0 0

Sp a) Sa se calculeze detenninantul matricei A .5p b) s.~secalculeze A2~tiindcii A2 = A A.Sp c) Sa . se calculeze inversa matricei [3A .

2. Se considers polinomul Ie J R [ z], f = X3 - pX2:. +qX - r , ell radiicinile x, ,x2.Xj E IR.Sp a) Sa se caleuleze 1(0)- f(I).5p b) She ca1culeze expresia (1- X l )(1- x ~ d(1- Xj ) infunctie de p . q , r .Sp c) Sa se arateca polinomuJ g = x3 +Xl + X -I nu are toate rada.cini1e reale .

(j) a _ ) Mri ::0 (-/ ~{)~ Z ( z; 02 .. C , ( ~ 1 0 : ) O ( . _ , r ~ A 0 ) f O - I 0Jf r I ,4::. A . r! J o t{ C > a ::::.'-~ ~ 0o 1 . 0 0 A . . 0 A c 9 0

c) B = J 3 + A - = (~ - ~ ~ ) i o I J ( " ) = - / ~ - ; ~/=JfV~7}~_10 & ~ ( - ; i I ) ~ ~ ~ { ; ~ ~ ) ; 0 - ~ ~ ~ 6 ~ ~ ( - ~ f)@a) I (O )= - k . - ; tC J }=:J-/ l+2-; '_; fJo)-f)=-h~ Hrl+L=f-1._-.fP r j ~ ~ ( x - x < ) c x - x~)(X -x,) => (A-X'J{'{_X2-)(A-Z'.)~!(


60/100

V0(00Ministerul Educatiei,Cercetirii , InovA..iiCentrol National pentm Curriculum 51Evaloare in nvlilamiintul Pteunlversltar

SUBIECTUL U (JOp)1. Se considera matricele A = G ~ ] . 12 = { ~ ~ ) ~imultimeaC( A) = {X E M2 ( IR ) I XA " '"AX }.

5p a) Si'ise determine numerele reale a i b astfel incAt A (~ o J = 12 .5p b) Sasedemonstreze cii AB=A, unde B=A2 ~2I2 ~i A2 =AA.

( a 3 a b ) .p c) Sase arate ca daca X EC(A), atunci exista a,be 1Rasrfel meat X =. b2. Pe rnultimea G= (~l,I) se defineste legea decompozitie x * y = x+ y .l+xy

_ : ( _ { K . . +~) :::; + - y- 2_ r i + , ( ! J j 4-+Af J(f-x, ~ GG


61/100

V06)Ministerul Educatiei. Cercetiirii !nOViriiCentrul National penina Currieu1um si Evaluare in~ vitimantul Prelllliversitar

5pSpSp

SUBIECTUL n(30p)1. S e cons idera matricele A = ( : : } 1 2 = ( ~ ~ ) ~imultimea G " " ' { X ( a ) j aE 1R~iX(a)=12 + a A } .a) S se v erifice d aea 1 2 a pa rt IDe mu lt im ii G .b) Sa s e a ra te eli X(a} X(b) = X(a +b+5ab), Tia,be lR,c) S!se arate cit pentru a 7 :. -.! inversa matricei X ( a ) este matricea X (~) ,5 1+5a

2 . Se c on sid er ! p ol in oamel e f ,ge-Z5[ X ] , f = 3 X 3 + 4 X 2 + 3 X + : 2 ~ig= X2 + 2 X ,a) Si l se calculeze J(i) , g ( 0 ) .b) Sa s e ve ri fi ce cit f = ( 3X +3} 'g+:2X + : 2 .c ) S a s e d ete rm in e n umar ul r ad ac in ilo r din Z5 a le polinomului f.

5p5p5p

(j) 0 -). f r )

BACALAUREA T 2009-MATEMATICA - Pmba D,MT2; programa M2


62/100

Vd6'Mimsterul Educatiei. CercetAriit;;InovliriiCentryl National pentru Curriculum si Evaluare in .viUiimantul PreunJversttar

I SUBIECTUL IT (30p){X+ y+3z""0

1. Se considera sistemul 2x - y +mz = 0 , cu m parametru real ~iA rnatricea sistemului.4x+ y+5z =0

Sp a) SA s e c al cu le ze d et enni na nt ul ma tr ic ei A pentru m = 1.Sp b) Sa se determine parametrul real m stiind cA determinantul matricei sistemului este nul5p c) Pentru m '" -1 sa se rezolve sistemul,

2. Se considera polinoamele f =X3 + 3X2 +3X +1,curadacinile X l , x2 ,x3 E lR ig = X2 - 2X + I, cu radac ini le Yl'Y2 E R . .

5p a) SAse calculeze diferenta S - S' , unde S = Xl + x2 + x3 i S' =" YI +Y2 .Sp b) Sa se determine c~tuJ i restul impartirii polinomului flag.5p c) Sa se calculeze produsul f(yd I(Y2).

(j) C L ) f W . - - = : _ ) ; o & J " (It-) = ( i _ ~, ~ ( " - -5 +-~ ~ + - G. 1"t12 - A M . -A 0 '" 3 : T3' l _ A ~ to .- ~ ,( -=- ) 0& . (11-) ~ 3 > . , ( - t- 3 . =

f t ) of_d (ft) - = 0 ="/ 3AM. +-3 ~O =-,:; -~ ~ c_


63/100

Ministerul Educatiei, Cercetirii si lnoviriiCentru) National pentru Curriculum 5i Evaluare ininvitiimiintul PreuniversitarSUBIECTUL D (30p)1. Se considera matricele A = ( = ~ ~ ~ J '3 = ( ~ ~ ~ J~iB = A -l) .-3 3 9 0 0 1

5p a) Sa se ca lcu1eze detenninantul matricei A.5p b) S a se calculeze A2 _B2, unde A2'= AA ~iB2 =BB5p c) S a se arate eli inversa matricei Beste B-1 = . ! . A - [3.9

2. Pe multimea numerelor reale definim legea de compozitie x 0y = xy +3x+3y +6 .a) Sa se arate ell. x 0 y = = ( x + 3)(y +3)'-3, orieare ar fi X,yE IR.


64/100

V O G yMinisterul Educatiei, Certetarii Inoviirii

Centrul National oentl1lCllrriculum si Eya)uare in Dvitamintul PreuniversitarSUBIECTUL IT(30p)

(21. Se considera matricele A = -1

XIl=XX ... X.'-v----"de n on

4 J ( 1 O J ( 0 0 )h= '02= . ~iB=I2+A.Senoteaza~ 01 0 0

7 t . , 1 ~ ~ V .: : K ( -f K z . . + X'~ + X C r : : : : .o -7 - = - 7 'I


65/100

VOG ' S -Ministerul Edueatiei Cercetlirii iIooviiriiCeotrul National Deotru CurriculuDl si Evaluare m u vlitamintul Preuniversitar

SUBIECTUL n(30p)1. in reperul cartesian xOy se considera dreptele AB: x + 2y - 4 =: 0 ~i BC: 3x + y - 2 = 0 .

5p' a) Sii.se determine coordonatele punctului B.5p b) Pentru A(4,O),B(O,2),C(I,-1) she sene eeuatia medianei triunghiului ABC, duse din vsrful C.Sp c) Pentru A( 4,O),.B(O,2),C(I,-I) .~ se calculeze aria triunghiului ABC .

2 '. Seeonsidera (2 :8.+,,) inelul claselor d e resturi modulo 8.a) Sii se calculeze in 2:8 suma S = j + : 2 + : 3 + 4 + . 5 + 6 + ' 7 .p

5p b) Sa se ealculeze in Z8 produsul elemeatelor inversabile ale inelului,. { i x + 5 y=ic) S 1 1 se rezolve in 2:s sistemul ~ A " 3 x + 2 y =5

J ;(-+2J-':;'~C :: > I- G X - 2 . '7 - : ;;- Y~s-x::: ( --.:..a

A;r.+ K.(7 - = : . i+0 -::.. Z_. 2 _ _ 2-h+ l~ ~ o+L =-!2.. 2--

Sp

eM -:

BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D,MD,programa M2


66/100

VOGGMinisterul Educatiei. Cercetiirii li Inoviirii

Centrul National pentru Curriculum si Evaluare in nvlitimintul Prenniversitar

5p5p5p

SUBlECTUL II (30p)1.Seconsideramatricele A=(-l 2), B = ( X Y ) , x,y,z,teQ, 0 : 2 =(01 0 z t 0a) Sa se calculeze det( A2), stiind cit A2 =A A.b) Sa se determine x,y,z,tE Q stiind cA A B =]2 .c) Stiind ell.A B = 12 sa se calculeze S = (B - 1 - A )< .

2. Pe multi-mea numerelor intregi definim legile deoompozitie x* y = x+ y -3 ~iX" Y =xy-3(x + y)+ 12.a) Sll.se rezolve in mul limea numerelor intregi ecuatia X" x = 12.b) Sa searate eli 1" (2 *3) = ( 1 0 2)*(103}.

. { ( X - 3 ) * y=2c) Sa se rezolve sistemul . ' unde x, Y EZ .(x-y}04=10

5p5p5p

BACALAUREAT 2009-MATEMA TICA - Proba D,MT2, programa M2


67/100

vaGI-Mioisterul Edueatiei. Cercetiiril si Ioovirii

Centrul National pentruCurriculum si Evaluare inlnviitimiotul PreuniversitarSUBIECTUL U (30p)

{ax+2Y"" , ,O ( .a1.Se considera sistemul cu .a E lR~iA = =4x+y=O 4Se noteaza A2 = A A .

~) man icea si st emu lui .2 = ( ~ ~ ) 12 = ( ~ ~ }5p a) Pentru a = = ~ 1 s a. s e re zo lv e sis temu l,S " p b) Sl s e ve ri fi ce egal it at ea A2 -(a + I) A + (a -8)12 = O 2 .5p c) Sa se determine aE IR stiind ca matrieea A verifies egalitatea A2 = 9[2 .

Z . Pe muitimea numerelor intregi se defineste legea de compozitiex 0y = x + y + II "5p5p

a) Sa s e a ra te e li le ge a de compozitie ,,0" es te asoc iat iva ,b) SAse rezolve inmultimea numerelor intregi ecuatia x 0x c o "".0x =1.'-v---'

de60rl x

i ! J ) K" .I( 0- - - 0 - r _ ( ; K i-S s - '~ /o - l e C ; d 1 . Z >(=-3C ) G{) ( x 0 J ) o ? :; 7: - X . 0( j a =), II X ( J I ~ G e : (~Q ) .G ' b ) KOJ ~ X .T 7 - + /1:=_ ~-fX+jd-= y O I C J {f-);:( ~ ce :G~) ; I . D e _ - ; : X ' I X + e {-!J.~K :::.? e -= -11 EL

. " 3 e z, -)! G / 2 a_ _1 X 0e - = e d:-:: . .X / / ; f ) ( 8 ; z _6l() )(E&:: Xc ) ( ( = - -,(1.; X+xf-fl{=-!! ::=-)Xl~ -X-22.6 I :_BACALAUREA{ZOO9-MATEMATICA - Proba D,MTI, programa M2(j K . E-e_/ ;j K(-= - - ->: (; l_ Q .L ,xo K (-=.X';;K= e

d w _ G { - G " =;> ~ ( 0) ' Y ' - ' P ' C_~


68/100

Ministerul Eduea ei Cercetiirii iInovariiCentro) National penM Curriculum ~iEvaluare in atjmintul PreuniversItar

S p5p5p

SUBIECTUL II (30p)1. Se considera matricele A = ( x - 3 I) cu X E Ii~ih= ( I1 x-3 0a ) SA se d ete rm in e n um iiru l real x p en tru care d et( A ) =O .b) Sa se verifice egalitatea A2 = (2x - 6) A - (x2 - 6x + 8 ) [2 ..c) SA se determine numarul real x pentru care A2 = 2A .

2 . P e mu ltim ea n umere lo r r ea le s e c on sid ers le ge a d ec otn pe zitie xo y = xy~ 2(x+ y)+6.a) Sa s e a ra te ca xo y = (x-2){y - 2)+ 2, '\fX,YE R .b ) S ti s e d emons tr ez e di x 0 2 = 2 oricare ar fi x E IR .c) Stiind c a le ge a d e compozitie ,,0" este asociativa, .s a s e c al cu le ze v al oa re a e xp re si ei

E = (-2009) o ( -2008)0 ... o ( -2) 0(-1) 000 {Q 20 020080 2009.ci.ctl;t.-}~ 1 ) ( ~ " 3 > ~ ( ( C _ o { : : - ' 0 ) " L _ ) ~X2_ GKf-R

If . X -:, . b z. _ ;(/.~ 2.x.2._G )C~r~O ; L' i::: 4; )((I'2-=-2-- - < )(-z_=::' ~! l- L::.. e x - : , - I ) ( X - 7 J 1 ' 1 . ) - = ( Y ~ ~ : : : i O x 2 2 : ~ ~ H 0 )

A . x.-) ,( J(-_;

(,'(-3 - 1 ) '2 (,( 0 ) _ ( X ~6x +.lO t-c ) . = 1 1 - z,G : y . -G j A . , ( _ , - ( y : _ -GK +-f') 0 J . . - ! 1...1--6 x : 'L_G~f-1o

2 .. J x 2._ r ; J ( + to ~ t.X.-b =- - ; > 2 x - = c P -=-"/ x - = : : YIt- ~ : L A - =-) 1 :


69/100

V063Ministerul Educatiei. Cercetirii O i Inovarii

Cenuul National pentru Curriculum 51EvaluareinuinviipimAntul Prelluivenitar

Sp

5p

SUBIECTUL II (30p)1.Se conside rs matricele A = ( a : 1 ~} ae iii ,X = ( ; ) cu x , y e R ~iB = ( : }a) Sa se determine aE R . astfel m e a t det ( A ) = 0 .

5pb ) Pentru a = J . sa Si l l ver if ic e c a A-I = ( 2 . - 1 ) .-3 2c) Pentru a "" 3 sa se rezolve ecuatia matrioiala A X = B .

2. Pe multimea G = (-l,l)se considera legea de compozitiex *y = I X +y .+xy1 1Sp a) S a se calculeze . .. , . -* ~ .2 2

Sp b) Fie functia f :(-1,1) ~(O,O(l) ,j(x) = I-x. Sti se verifice eli f(x* y)= f(x) f(y), pentrul+xoricarex,y E:G .

x + T : f i -1+ x ' ~+c-1+t,.l-~{[)j_

)( f- 7 . f - 2 : - 1- K ) tE_ c D,(f- ~ ( :: -1 :: ' /. - ' " C + K J

: : = : - : : > 0 _ *' ; ) : - 2 : - - : : X ,f- (J f-c)I I J K , J t ~ f= G.


70/100

Ministerul Eduea . Cereetiirii i InovarUCentru) National pentru Curriculum slEvaluare in nvat1imantul Preuniversitar

5pSp5p

SUBIECTUL IT (30p)

I. Se considers matricea A = [ : ~ n unde aE 1R. Se noteaza j!=A A.a) Pentru a= " 1 sa . se c alc ule ze matrie ea A2.b ) S a. s e ca le ule ze d et( A2), ae lR .c) Sa se demonstreze ca A 2 -;t, 1 3 ' pentru oriee a e R .

2. Pe multimea numerelor reale definim legile de compozitie x * Y = xy - 2x ~ 2y + 6 ~i x < > y = xy - 3( x + y ) + 12.5p a) Sase veri:fice ca ( x > I: 2) - ( 3 < > x ) =-1,11 xe lR.Sp b) Stiindcii. e l e ste eleme ntu l n eu tru inraport cu leg ea de com pozitie ..~"~i~ e ste e leme ntu l n eu tru in

raport eu legea d e com pozitie ,," ", s a se ea lcu leze (e j > I: e 2 ) + (e l "e2) '5p c) S e c on sid er! fu nc tia f :R -) R . , f () =ax + 1. Sa se de te rmine a E Rastfel incat

r : f 1 f (X 'Y) : f (X)oJ~) 'OGric;e : Y E ; . ) ( , ( , ( 1 .) ( 3 A ,,: .)\Y a..) 1 1 . . = A ; A - ~ , ( < 9 0 ,( '" 0 = A . A -tC)O .(


71/100

Ministerul Educa: ei Cel'Cetiirii Inovii riiCentrnl National pentru Curriculum si Evaluare in nVlitiimantDl Preuniversitar

V O i - - 1SUBmcTUL n (30p)1. Se cons ide ra matricea M = [ ; ~ ~ lll x ~iy nume re r ea le . in reperul cartezian xOy s e cons ide rso 3 1punctele A{I ,2 ) , B (O , 3), O ( O ,O ) ~i G n ( 1 ' 1 + 1,2-1'1) ell nE rt.5p a) S A se calculeze detenninantul matrieei M.

Sp b) s a se arate eli punctele A,S : ; ; i C2 sunt coliniare.5p c) S a se determine ntsnarul natural nenul n astfel m e a t aria triunghiului A oe ll s a fie minima

, 2. Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie x 1.y = ( x - 3) (y - 3) + 3.5p a) Sii se arate e a ( x + 3 ) . i ( ~ + 3 ) = 4 orieare ar fi XE R,*.Sp b) S1I.searate ca legea ".1" are elementul neutru e = 4 .Sp c) S a se determine elementele simetrizabile ale multimii lR in raport cu legea ".1".

0 - ) An~) ~)~c : ; . f 3; 0)t- ) i ~ ~ ~ )

~ 0)

1 : / = :L - X + '3 - 3 k' - ; ; : = ; - k - J ' +3~ ; ()I

- 0- I k - M

M. G tH ~ r . A ~ 4VU-iuA:I!-Ua_~ Pric ~ :t,(K+3-3)C~ +3- 3 ) + 3 : : - ) ( - j +3=~/(Jxr:;R_~a _ . ) {!-I :~ )_ L (" ~ . + J ) =

- t } X .1_ 7_-~r V - 3 J ) ( e ; - 3 )+ 3~ X ; 0-3){e - 3 ) - X i- 3 :::0(K-':J) (e -~) - ('>(-'3) - = - 0 ; 0-3) (e-4 /= 0 - e ~ ~J e - = : - 4 G - If( q _ , \ : ' L e= - e L:-. X.f f I - K_ G tR ,

c) 'f . J_ X (~ 4; r t - '1) { X . ( _ 3) - I- 3= ~ ; e x - 3) (x t.3) -= d_ .= -; > X ( - ) = - .L. 'x_ E: R \ 1 3 J .X-'? !

k(-.= _ j_ +3 >cEt;( \i3}x - , )

)

BACALA UREA T lOO9-MATEMA TIC..\. - Probs D, MT2, programa M2V - KE & < _ \ 2 3} d x (:= _1- +3 G R ct Z x _ j _ x ~ k'.i = ~.) ;(-'0


72/100

Ministerul Educatiei, Cercetirii \ i InovAriiCentrol National pealm Curriculum i Evaluare in nvitimantul PreuniversitarSUBIECTUL II (30p)

{2X-3Y + 4z=-5

1 . S o c on sid er a s is temul x+2y+az =O. unde a,pe R_ . A este matricea sistemului ~i5x-4y+7z=P

B=[~ ~ : ~ J 'Notam cu S(a.p) sumaelementelor ma,triceiB,5 -4 7 PSp a) Sase calculeze 8(0,0),5p b) Sa se determine nurnerele reale asi f J astfel inclt determinantul matricei A sa fie nul ~i

S(a,p)=-2,5p c) Pentru a= = 0 ~iP = 0 sa se rezolve sistemul.

2. in muljimeapolinoamelor R _ [ X J se considers polinoamele f = X 3+mX2 + nx + 6 ~ig ( X ) = X 2 -X -2,

5p a) S a se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia x ? - x - 2 = 0 ,5p b) 811se determine m, n e R astfel incat polinomul f sa se divida cu polinomul g .Sp c) Pentm m =-4 si n = 1 sa secalculeze produsul P = 1(0), 1 (1 ) , . . . ,1(2008), 1(2009).

(!J Q_) ri = j ? ~ < , {:, = -(~ -~ ; -:) I S ( O r 0 J ~ 1 . . -'3 + ~- j+A -f 2 f~~ _~ f- a +S"'-~ + + - = - 9

~) rkt{]+ -)::: f ~ ~ : : ; . c= - + t ! . - i - ; c 1 a . - t r II) =0='/- f - o < - f - - = - 0 =>s-~ 'l- =?rX=--{,SCdlt)~ 9+cf -

o+/' 'J -J f / ,=d"-r ; S { c L l ' ) ~ 2 - / : r ~ - 2 _K - = : - - A ; r _ - 1 0 ( ~ S -3 1)" ' - l c I . -I' -z: 0 ; o & J ( ' I ) = - f- -J 0 /


73/100

V O i - 3

1. Se considera determinantul 6. = cab eu a,b,c e lR .b c a

5p a) Stiind ea a = -1, b = 0 ~i c = I. sa se calcu1eze determinantul 6..Sp b) SAse arate eli 6. =(a+b+c)(a1 +bl+c1-ab-ac-bc), r/a,b,ce R.

2% 1 15p e) Sh~ rezolveecuatia 1 2x 1 = Q , X E ; _ J R .

1 1 2x2. Pe multimea 1 L a numerelor Yntregi se considera legile de compozitiex*y=x+y+3, xoy=ax+y-3,cu aeZ sifunctia j:Z-'tZ, j(x)=x+6.

S p 0) S a se calculeze ( 1 ) 1 1 0 ( .0 0 ) .Sp b) Sase determine numsrul intreg apentru care Jegea de eompozitie "0" este aseeiat iva,S p c) Pentru a := 1 s a se arate cAfunctiaf este rnorfism intre grupurile ( Z , > 1 < ) ~i ( Z , 0 ) .

SUBIECTUL II (30p)abc

( J _ ) ~ X- 2 - ) *(O 0'3 j = = Q . ; : 2 +3) ~(a-0r 3- 3) ::::6 . . - 0 c; G +0+3 ~ 9. e - ) (10 ( C L 4 @ C { _ J < h ~ .:=:) ~o J) 0 ~ ~ A 0( ~o 2 : : ) ( 1 . 1 AC 7 1 e ~~( _ o - y : { - J - t - ~ 0~ = = X 0 (c L r-f ~ + 3)

O . . . _ C a . _ x t - ~+'3)+ ';:-+3 = Q_Y-t ay+~+3+3 2CL'l X + & - _ : r + i o +-31H 3", RX + - d . . / j + ' Z ' f-6 = > ~~ ; :: : c =? a -,;i- c ) a _ _ ~ d .

BACALAUREAT 2009~MATEMATlet\. - Proba D, MTl. programa Ml: f ( ( , { - ) = ;{ ('i+ J ' + 3) = X f- i f + 3 - f - 6 z: K T : r +3 } _ ")' f C K } b r f C Y ) : : : " i l + r ; ) C l (y-f G ) = = > t + G + 1+b-3=X+;+S -~I + e x t. L !)~1(>(/0 f (y) / / I K i d ' e ~ -==-) I 0 M _ d > . J v ~ ( o L e - e ~r - - u _ r P - (7L /1f) ~ ~ ( ;Z(o)


74/100

Ministerul Educatiei, Cercetiru \ i InovaniCentru) Nationa) peotru Curriculum si Eva'uare in nvAtamintul PreuniversitarSUBIECTUL n(30p)1. inmultimea M2 (lR) se consider!matricele A = ( ~ ~ J ~i.~ = (~ ~J .

5p a) Si t se c al cu le ze d et (A 2), WIde A2 = A . A5p b) Sa se arate ei'i daca X EM2 (lR) ~iX4 =AX , atunci existii. a,b E R . , astfel meat x = (~ : ) ,5p c) s a se arate cil d ad ! Y EM2 ( J R . ) , a tunci ecua ti a y 2 =A nu are solutie in .M 2 (lR ) ,

2. Se considers inelul (Z6' +,, ) ,5p a) Sa. se calculeze numarul elementelor inversabile in raport cu inmultirea din inelul (1:6' +,,) .5p. b) Se consider! S suma solutiilor ecuatiei 2x +i= 5 l j i P produsul solutiilor ecuatiei x ? = x unde

XE 1:6, Sit s e caIcu leze S+P.Sp c) Sa .se calculeze probabilitatea ca alegand un element din inelul (2 6,+,,), acesta s a fie solutie a

ecuatiei x3 = 6 'go-) 4-'--c C ~ n u : ) = c ( ~ ~ ) ~ ( ) < ~')~Oe - ) X ~ (~ :Z )( ; ) ; { J R ) X f l C : C ( t Q J J ( ~ t l=~:)/ I X - ( B 1 ) ( Q ~ ) . . . - G o { ! . c A . ) ) . ) l - ; : : . 0 1/"'1. - = - ? 0 c o L - 0 0 / X 4 - ::. A - X ~ >I :::0 ~ '/

(CL . e - )-:=-) X = = l L 9 o . _ _ . '1 2_ ~)~ :J VL' J l t (R) a_ ,(_ Y - : : : .4 -= / crhi{ V ) =.~f(Aj-c,) ? h -e J r i -- 'j F W IM _ , c _ CL . [c-" -~ 'l) -::=> o Id - (y ) = - 0 3 ~Y 'L _ _ 4 I , Y =-") Y ')= Y If - } 00 ? YA =AY . ~y 0= (; -t-)Y L - : = . - A - (~y - = - ' ) Y ::: A - 'i a J

ole):- C ' f ) : . = " ' - 2 _ =? ()._- - - = _ ( / ; : : ' " ) a_"" o=? 'Y = - ( ~ t)= > y ' ; :_ ,2 c i ,4 ,- , r (Q~Qrk_efL) 0 - - ) lL e - ~ , X - ~J_ = > K e A - f t t o - i A M . W t VL -~ !(~ + - d J ~ 1 J; ;;J '=-) ee~de MA-v~

G I / /\, '1 t1 -:'\- C - ) - ; : lL - I - 1: .= s . ; \ - =') 2 ' K = ~ =) X E-.if,",-}-= ') S = iL +r= - 1.J _XL_X~)(E- i c i J ~~) =1f'=B_j"I_f-f-:JJ ->

/ ) / -= == ? S-l- ? ; : = A/l .~) 7 ) f\ - : 1 < '1 /I '1 ~? _ ,_ / ' jJ~ G ::: 1 0 I J I 2 . I 3/ 7 I S 1 ~ >G eaavu / J o I h - {/CA..

BACALAUREAT 2009-MATEMATlCA - Proba D,MT2, programa J\.I2'3 - - 1 /I Ir.A~ IJ , '4X . = - a o L Q. c . a : K ~ 0 - - = - - " ; ( _ cc,_ v=-L~L.{/L{

?_.1-b


75/100

Ministerul Educatiei. Cercetirii i i InoviriiCentru. National nentru Curriculum si Evaluare in nvitimintul PreunlversitarSUBIECTUL n (30p)1 . S e c on sid er a ma tric ea A = (4 -7) EM2 ( 1 R ) .2 -4

5p a) Sa se calculeze A 2, unde A2 = A A .5p b) S a se demonstreze c a (A+12r ' = A-f2 unde [2 = ( ~ ~ ) .5p c) Sa se determine numerele reale x pentru care det] x2A ) =x2 det(A).

2. Pe lRse considera legea de compozitie x > II y ;; ;;y + 3x + ay + b, a, b E R .5p5p5p

~ ?_-= -">X :=X :;:-)

X'~c..,fX i( '=-~4) ( J - / - 3 ) ( - ( - ~7+t = 7 K + 3 7 - ( - O : a _ + ' , =?

~~) K * J _ " ' : : ' x l + 3 t~3J+bx*-e-=.)( I x e + 3K .f-3e 1--6 -:::.K / e{x+3).{-2(~-f3)=o =::>= -; > (Y.+3)(e - + ! 2 ) ~ O =) e : : : - 2 -;; e =: . -.2. GiK Q J'. X ' + e z: e *-K~x I 1 /X(?-rK.

C) f:3)~'(=:''-31 I fx.ER =") -3X--9rax+t =-3/ rJxGRX ( Q - '3 ) f 8 - - = 0 ( V K E ( (2 : = : - . - : : > ) a -3 :::'0 =; > ) ~ - = 3? - 8 -r; - : : : _ o 1 . . t = - b

BACALAUREAT 2009-MATEMATlCA - .Proba D,MD. programa M2


76/100

Mlnisternl Educatiei, Cercetirii T : Inovirii .Centrul National oentru Curriculum si Evaluare in nvltimintul Preuniversitar

5p5p

SUBIECTUL II (30p)

{

X - ay - Z =: 0 ( 11. Se considera sistemul x +4Y - 2z =:16 ,unde a E lR 1 ji matr icea s is temulu i A = 1

x-2y+2z=:-6 Ia) Sli se determine valorile reale ale lui a astfel incit matricea A sa fie inversabila.b) Sa se calculeze A 2, unde A2 = A A .

-a - l J 4 -2.-2 2

a_~A; L l : : : _ of.d-(4)~/- j~ 4- 0 / 1 0 ' _ ( I ) 1 - - { O !4 J C _ - = : / 1 . -~4 = 1 ~ U; I : J - . : ; 1 )_{; z ~ 4!l; de ~ 1 ., '~= -j{- c -2 t. 1 G l _ _ . 1v .6\( U -2 _ r ~ -- ~ -::; ~ z: 3 " l::;:. _6~-:;;-- f . 1 =~1 -~::- -.- -::::.---~! ~ ~ 17. / 6 r l - ' z~ ,tc , 0 - - ) e x : a1)~~h-l I c V - f 4 J -fa )o'C z; x'th~:": U/-I-fr:7 +Ail< f+A G ) +4g f- ~2- + 1 2 :: : X r 2 - + - ~ {K'~+ r 2 - f-K; )+/6 (Y'+t+~)TC'() r D

X 0(~ 0t-)~ X . 0(j ~+4_ Iffrg.frfz)~ X l C + ~'r:~2 - +12,( - I - - f ,(+-t(I2:--f-/6f f-+. ' - G ? : + #f+l2_:::_ ) ( 1 C -f 4{(7~K_6-T 7c)+;{ ' rK~7-/ - -2)+( jo Ci)

oL~~ Q~' ~""/ _ ( x 0})o c - ~ Xo ( y o r : ) ! (;I)Cl 7 t 2 : - Gf2f r ) ) ( 0(- ~) 6d ":= b 0 c - c,)J " 'I -.:;~H(-,/ 6+U)01 " + 4 J ' : ; -z; ~ t r ~ -16 + ~J +42 =-~ - = - - '> )(_o ( - -& / 0 : r = -7/ f T Xl 't c-R

c) .{o C - 2) 03 0C -1) 0 S;0(~ G - = = - A 0 C -2.) 0 [ ? : > 0(- t 7 ) 0r-] 0 C~c ) z:

5p c) Sa se rezolve sistemul pentru a= 1.2. Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie x 0y :::xy + 4 x +4Y +12 .

5p a) Sa searate c~ x (yo z) =(xo y)o Z, oricare ar fix,y,ze llL5p b) Sii se demonstreze ca x" (---4) 0 Y = ---4, oricare ar fi x,ye:JR.5p c) Sa se calculeze 1" (-2) e 3 " (---4) 05 o (-6).

c f ) ( J _ ) ~ ( _ I t ) = - - ) ~ - ~ ~ ~ ( = : , _ J > +2 tL .fQ _ + + - y -f Z a . . _ = - ~ a ._ + ,( 0A -Q__Q_ o \ J r - r JIt- _ ihv1J~- => o & . J ! (II) = f ( ) =:> ~a f-{0 r : f 0~) a.e. a : ? 9:

- f . 1 - ) I i - 2__ (~ -:- :;_)(~ - t .; ) = - ( ~ t - s : : : o ~ : ~ 3 ). . ~ 2 . . 2_ 1 . . ~ 2 . . z _ _ A _ .( ) ._,( . z t : -

c)

BACALAUREA T 2009-MATEMA TICA _Proba D, MT2, programs M2~ A ' @ ~ 2 _ ) 0H)a (- c ) J ' " A 0 (-") ~ - ~, ~ a) r r ; - (j) )


77/100

VOf'f-Mlnisternl Educa 'ei Cercetirii inoviriiCeotrul National pentru Curriculum s i Evaluare in .Dvitlmiotul Preuniversitar

SUBIECTUL II (30p)1.In reperul cartezian xO y se considera punctele A(2, 1),B(l, 2) : ; ; i en (n,-n), cu n e Z .

5p b) Sa se a ra te e 11o ric are ar fi nEZ' punctele a,c",Cn+!, sunt coliniare.Sp. c) Sli se calculeze aria triungbiuIui ABC).

2 . Se c on si de ra ma tr ic el e A x = [ 2 ~ 9 X ~ ~ J ell x E R $i multimea G ={ A x I x E Ir e. } C M 3 O R ) .o r 1

5p a) Sa se verifiee eil IE G , unde 1 3 = [ ~ ~ ~ . ) .001

Sp b) Sli se demonstreze eli A x . Ay = A . . - + y' oricare ar fix,yE RSp c) Sa se arate ca G = { A . . - I XE IR} este grup in raport eu inmultirea matricelor .

c D ~ ) C~ (~;-lz) j c, (:L;-2) c ; C 2 _ ,r I e : ~ ~ : / - - : : : : - - 0 / . t 4 . C 1 . _ : Xi:; = - 0::L ~ . Q _ _ 1{-) 0 C o ; 0 ) ; e M - (M . ; ,_f k ) ; C 41- ( ( { 1 ( f,( ; ~t.,l ""'J )

~ /f I~ !M_ - M ! : : : : : . . - - M- ' 2 _ ~ tU- + (!A._ 2 . f - (1..c:::-O - = - >At f-( - tU--.( J' ,~ J _j_ It - A A - rt ~;. 0 r C " C . - Q-cJ1.V1..U-aJte.(V.., -- (" i..(___/ ;!.t+,{

N (' 2.003 0 0(Y 0 - ) 13 ~ 0 /I 0 ::: A - t J r ; ; Go c J A & - 1 4 ) ( , 4 ' J -z : ( 2 0 ~ S X 5 ~ ) / ~ ~ M ~

o X - 1 \ 0 ~::::4x+~ ! If Kl 1r-K

o o

1_t)fYlXi~ () 0o - 1 o~ 1


78/100

Ministernl Educatiei. Cereetirii inovilriiCentrul National DentTn Curriculum s .i Evaluare in~ndtimBntul PreuniyersitarSUBIECTUL n(30p)1. Se censidera rnultimea matricelor G = { ( : : ] 1 a,be z } . .

5p a) Pentru A,Be G, sa se demonstreze ca A +Be G.5p b) Sa se arate eli matrieea C E G . obpouta pentru a= 5~i b = 3 .verifica relatia C1 = IOe -1612 ,

unde C2 =CC i 12 = G ~ }5p c ) Pen tru a,be- N sil se determ ine 0matrice IJ e G care a re p rop ri et at ea e a det (D ) = 2008 .

2. Se considera polinomul f e l R . [ X], f(X) =(X + 1)2009 -(X _1)2009 care are forma algebricaf = 02009X2OO9 + aiOO&X2OO8 +...+a1X + 00 .

5p a) S a se determine a o .5p b) Sa se araseca f(1) + f (-1) este numar :intreg par.

BACALAUREAT 2009MATEMATICA Prnba D, MT2, programa Ml


79/100

Ministerul Edue.dei. Cerc:e1irii f InoviriiCentrol National pentru Curriculum si Evaluare in Dviti.mintul PreuniversitarSUBIECTUL II (30p)1. S e c o n s i d e r a m a t r i c e l e A = ( 2 1 ) , B = ( 5 4 J , 02 " , , ( 0 0 ) i [2 = ( 1 0 ) . t n ~ (Ii).-1 2 3 1 0 0 0 1

Sp a) Sa se calculeze A B.Sp b) Sa s e r ezol ve e cuat ia ma tr ic ia la A X = B , unde X e~ (R) .S-p c) Sa s e d emons tre ze ca ma tric ea A veri fi es egal it at ea A2 - 4A + 512 = 02 , unde A2 = A . A .

2. Pe mu lt imea numerelor reale se co nsid ers legea d e compozitie x'" y = x + y -14 .5p a) Sa se rezolve inmultimea numerelor reale ecuatia x 0 x = 2 ..Sp b) Sa se demonstreze cA legea "0" este asociativa,Sp I c) Sa se demonsrreze ca ( ! R , o ) este grup comutativ.

c D a ) A - . 6 ~ ' ? i)({) ) ~ C 3 - ~ ) +- -1 I A -t J ..4.t(If/::; f _ ~ ~ { : : 4 -fi ~ 4 -a ='7 ~ tf- ~ ,

& - ( ' 2 . . . - I ) , ,tr _ l . 2 _ . - , ( ) ; L-~ ,(( 2 .. = - - . { )A - - - : : \! . I IT -( 4.2_ I rr - r .{ _ .A ( . f - ' : f - ) , X::. ~ . .} .

::: $,- u tJ.) . ! J ; - fL(t 1 ) ( Z ' ) (3 ~) s - l .: (3 ~)_/ ~)(-c .) 1 + : : l-A'Z -A 2. 1-~.3 ;' A - - ~ A -+ S L f2 . .= \ - ~ . ' ) , - Z ~+ (;- ~ ) ~(~ ~) ~ O ~

~) J < '} '" fLK ::.:..{ c O ~ ) J(:-:: Q '~ ' a . . j( _ -I: X -A ' 1 z: -c,/-t) ~ 0 J ) O t =(X+': j- i lr)Oi- z: Xf- J+~-.2_( e J

X 0('1 r:) ~ x . o (~+-:c -Ilt j - = = x f- l+~ -2rf olt;.~ Q ~'@ - = (x O J) 0 ~ z; x e( I' 0 & - ) , f /- ) ( { : r I C (2R .C - ) G~) 0 - 0.1) 0 ~ -=-):: Q f J 0 : c - ) I {f A-, l' c - t _ = : R (oLw. e)

G Z 2 . .) x " l - = - )(fY-A't::; i + X - /~ = - { 1 J X / (; I } ( t/ t6 l / e -=.1 'r;Je ~1C r. 6/72 q _ . 2 x


80/100

\ (DfOMinisterul Educati.ei, CercetArii li Inoviirii

Centru) Nationa) pentru Curriculum i Evaluare in nviitAIJl8.ntul Preunlversitar

1. Se considera determinantul D ( a) = 1 aI, unde a este un DllIIlM real,a I t

5p a) Sase calculeze va l 0area determinantului pentru a = -I .5p b) She demonstreze ca D(a) = -(a _1)2 (a+2), pentru orice a numar real.5p c) Sa se rezolve inmultimea numerelor reale ecuatia D(a ) =~ .

I 1 aSUBIECTUL II (30p)

2. Pe multimea numerelor reale se defineste legea de cornpozit

Rezolvari Bac 2009 a M2 - Subiectul II

Documents

Transcript of Rezolvari Bac 2009 a M2 - Subiectul II