ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE BUCUREŞTI

MODULUL

SERII DE TIMP ŞI REGRESII

Dr. SILVIA SPĂTARU

2012

2

INTRODUCERE ÎN ECONOMETRIA

SERIILOR DE TIMP

Toate procesele economice se desfăşoară în timp şi evoluŃia lor este interpretată în raport cu timpul. ProiecŃia variabilelor economice pe axa timpului crează un mijloc de analiză a dinamicii. Studiul şi analiza unor astfel de procese se face cu ajutorul seriilor de timp, numite şi serii cronologice sau dinamice. În economie, datele sunt colectate în mod frecvent sub forma seriilor de timp.

Datele de tip serii de timp reprezintă informaŃii obŃinute prin măsurători de natură dinamică, efectuate asupra caracteristicilor unei unităŃi a populaŃiei studiate, la momente succesive ale evoluŃiei acesteia sau la anumite intervale de timp.

O serie de timp este o mulŃime de observaŃii ordonate în raport cu succesiunea momentelor sau perioadelor de timp. Deci fiecare observaŃie va fi indexată prin data înregistrării sale. Deoarece observaŃiile seriei sunt ordonate în timp, valoarea unei variabile la un moment de timp reflectă istoria trecută a seriei.

Termenul de serii de timp se referă atât la seriile cronologice reale cât şi la un şir teoretic de variabile aleatoare indexate prin timp şi care servesc pentru a le modela pe primele.

Un proces stochastic este un model care descrie structura probabilistă a unui şir de observaŃii în timp. Orice serie de timp poate fi gândită ca fiind generată printr-un proces aleator sau stochastic, iar o mulŃime de date concrete poate fi privită ca o realizare a procesului stochastic de bază, proces care este observat numai pentru un număr finit de perioade.

DistincŃia dintre procesul stochastic şi o realizare a sa este asemănătoare cu distincŃia dintre întreaga populaŃie şi un eşantion extras din acea populaŃie. Aşa cum este utilizat eşantionul pentru a extrage inferenŃe despre populaŃie, folosim o realizare a procesului stochastic pentru a extrage inferenŃe despre procesul stochastic de bază.

Caracteristica intrinsecă a unei serii de timp este că observaŃiile adiacente sunt dependente. Natura acestei dependenŃe dintre observaŃiile unei serii de timp este de un considerabil interes practic. Analiza seriilor de timp constă într-o mulŃime de tehnici utilizate pentru studiul acestei dependenŃe. Prin aceste tehnici, seriile cronologice pot fi caracterizate din perspectiva componentelor sistematice sau aleatoare, în vederea determinării intensităŃii şi continuităŃii acestora, pentru ca procesele analizate să devină predictibile în perspectivă temporală.

Există o clasificare a seriilor de timp în funcŃie de existenŃa sau inexistenŃa unei tendinŃe generale în evoluŃia unei serii cronologice: - Seriile staŃionare sunt caracterizate prin oscilaŃii relativ regulate în jurul unui nivel de referinŃă. În termeni generali, o serie cronologică este considerată staŃionară dacă nu prezintă nici o modificare sistematică în medie (nu prezintă tendinŃă pe termen lung) şi nici o modificare sistematică în varianŃă. Din punct de vedere economic, o serie este staŃionară dacă un şoc asupra seriei se diminuează în timp şi nu devine permanent. Este necesar ca ceea ce am observat cu privire la seria de date să fie stabil, într-un anumit sens, pentru a putea face afirmaŃii despre viitor. Procesele stochastice staŃionare au proprietăŃi convenabile analizei, oferind posibilitatea de a determina, pe baza datelor dintr-un eşantion, media, dispersia şi covarianŃa. - Seriile nestaŃionare sunt caracterizate de faptul că prezintă o tendinŃă de creştere sau de scădere, odată cu trecerea timpului. Media şi dispersia pot fi funcŃii dependente de timp. TendinŃa unei serii nestaŃionare poate fi de tip determinist sau de

3

tip stochastic, după cum este invariabilă ca direcŃie şi pantă pe un interval mare de timp, sau prezintă modificări ale pantei, pentru diferite perioade de timp.

Principalul instrument în analiza seriilor de timp este modelul. Se caută şi se foloseşte un model de un anumit tip, capabil să reproducă comportamentul trecut al unei serii, pe baza structurii sale de autocorelaŃie.

Principalele obiective ale analizei seriilor de timp sunt acelea de a găsi modele de regularitate comportamentală pentru datele de observaŃie şi de a prognoza observaŃiile viitoare.

Cum se poate explica atenŃia care se acordă dezvoltării econometriei seriilor de timp? De ce nu mai sunt mulŃumitoare metodele econometrice uzuale, cum ar fi metoda celor mai mici pătrate sau alte generalizări ale acestei metode?

Se poate răspunde la aceste întrebări din două puncte de vedere. Mai întâi, dezvoltarea macrodinamicii teoretice s-a datorat apariŃiei unor probleme empirice specifice, care necesită punerea la punct a unor instrumente de analiză potrivite. Pe lângă aceasta, într-un anumit număr de cazuri, nu se poate aplica metoda celor mai mici pătrate, ca metodă de estimare.

Există o multitudine de probleme specifice ale seriilor de timp cunoscute practicienilor statisticii descriptive şi care necesită punerea la punct a unui anumit număr de tehnici pentru o tratare econometrică. Acesta reprezintă motivul principal al dezvoltării seriilor temporale. Printre aceste probleme specifice se numără previziunea, identificarea şi extragerea tendinŃei pe termen lung, corectarea variaŃiilor sezoniere, detectarea de rupturi, separarea tendinŃei pe termen scurt şi a celei pe termen lung, studiul anticipărilor agenŃilor economici, ş.a.

Utilizarea seriilor de timp în analiza de regresie ridică mai multe probleme: - Mai întâi, analiza empirică bazată pe date serii de timp presupune că seria de timp este staŃionară. - În al doilea rând, în regresia unei variabile serie cronologică în raport cu altă variabilă serie cronologică, de cele mai multe ori se obŃine un coeficient de determinaŃie foarte apropiat de unu, chiar şi în cazul când nu există nici o legătură între cele două variabile. Este o problemă de regresie aparentă sau îndoielnică. Această problemă apare pentru că, atunci când ambele serii cronologice prezintă tendinŃă, coeficientul de determinaŃie mare se datorează prezenŃei trendului şi nu unei legături reale între cele două variabile. - În al treilea rând, se ştie că modelele care utilizează serii de timp sunt folosite pentru prognoză. Nu se poate şti dacă prognoza este validă în situaŃia în care seriile cronologice nu sunt staŃionare.

Abordări şi modelări ale seriilor de timp Modelarea seriilor de timp se bazează pe metodologia Box-Jenkins şi face apel

la modele autoregresive (AR), modele de medie mobilă (MA), modele ARMA şi modele ARIMA (modele ARMA integrate). Această metodologie se aplică în cazul unor abordări diferite, deci folosirea ei nu este exclusivă.

O abordare, cu rezultate foarte bune, a seriilor cronologice, este analiza temporală propriu-zisă, care constă în studiul direct al corelaŃiilor dintre valoarea curentă tY şi valorile din trecut ale unei anumite variabile Y . Pentru modelare se

utilizează procesele ARMA şi ARIMA. Modelele liniare ARMA sunt capabile să aproximeze cele mai multe procese staŃionare. Deoarece foarte puŃine serii de timp din economie sunt staŃionare, sunt utilizate modele capabile să reproducă comportamentul nestaŃionar. Astfel de modele sunt modelele ARIMA, obŃinute prin presupunerea că o serie poate fi reprezentată printr-un model staŃionar ARMA, după o operaŃiune de diferenŃiere.

4

Dacă se consideră o singură variabilă în studiu, se obŃine un model de serie de timp univariat. Dacă există mai multe variabile disponibile, sunt foarte importante interacŃiunile dinamice dintre ele. Pentru a lua în calcul relaŃiile dintre variabile, pot fi construite modele multivariate cu serii de timp. Acestea sunt foarte utile pentru economişti, deoarece ele permit să se studieze impactul unui şoc asupra unui proces economic, ca şi relaŃiile de cauzalitate între diferite variabile. Ele sunt o generalizare a reprezentărilor precedente, deoarece este vorba de a explica o variabilă nu numai prin valorile sale din trecut, dar şi prin valorile curente şi din trecut ale altor variabile.

Modelele ARMA se fundamentează pe considerente economice şi

statistice foarte importante. Prognoza evoluŃiei unui proces economic se poate baza exclusiv pe

comportamentul procesului de-a lungul timpului, comportament descris de valorile unei serii de timp. S-a constatat că o serie de timp economică oferă suficiente informaŃii prin reprezentarea grafică a valorilor sale sau prin calcularea coeficienŃilor de autocorelaŃie, pentru a obŃine prognoze de calitate. Deci, nu se consideră ca absolut necesară cunoaşterea evoluŃiei factorilor care influenŃează procesul economic de studiat.

Seriile de timp economice sunt caracterizate prin:

1) ExistenŃa unei tendinŃe generale, care are un rol important în efectuarea prognozelor. 2) PrezenŃa autodeterminării. Autodeterminarea trebuie înŃelesă ca: - un anumit grad de dependenŃă a valorii curente, de valorile anterioare. Ex: În comerŃul exterior, intrarea pe o piaŃă externă cu un anumit produs, este urmată de dezvoltarea exportului din acea perioadă cel puŃin 2-3 perioade succesive, după care poate urma o stagnare, urmată sau de câteva perioade de creştere, sau de câteva perioade de descreştere. Pe piaŃa valutară, o apreciere a monedei se menŃine, de regulă, mai multe zile la rând, după care apare o perioadă de depreciere a monedei. Un astfel de proces, caracterizat prin legături cu realizările sale anterioare, poate fi reprezentat printr-un model AR. - acŃiuni compensatorii în vederea contracarării unor factori din afara sistemului. De exemplu, absenŃa temporară, de pe piată, a unui anumit produs, poate fi urmată de o vânzare în exces în perioadele următoare. Scăderea producŃiei pentru un produs solicitat, într-o perioadă de timp, va fi urmată de o creştere a producŃiei în perioadele imediat următoare. Se consideră că nivelul procesului din perioada t depinde de erorile din trecut (erori în sensul de abateri de la medie) şi abaterea accidentală este urmată de o redresare. Un astfel de proces, în care inervin acŃiuni reparatorii, poate fi reprezentat printr-un model MA. 3) Posibilitatea de descriere a comportamentului seriei prin funcŃia sa de autocorelaŃie (ACF). Astfel, un model ARMA include impulsurile receptate cu întârzieri de 1,2,...,p intervale de timp, ca şi reacŃiile la abaterile accidentale )( tε de la evoluŃia liniară,

manifestate în urmă cu 1,2,...,q intervale de timp.

5

Tipuri de modele stochastice de prognoză

1) Modelele autoregresive (AR) descriu procese cu evoluŃii datorate propriilor realizări din trecut. Modelul autoregresiv de ordinul 1, notat AR(1): ttt yy εφµ ++= −11

Modelul autoregresiv de ordinul 2, notat AR(2): tttt yyy εφφµ +++= −− 2211

Modelul autoregresiv de ordinul p, notat AR(p): tptpttt yyyy εφφφµ +++++= −−− L2211

2) Modelele de medie mobilă (MA) descriu procese cu evoluŃii generate de o perturbare (abatere semnificativă de la medie) a procesului. Modelul de medie mobilă de ordinul 1, notat MA(1): 11 −++= ttty εθεµ

Modelul de medie mobilă de ordinul 2, notat MA(2): 2211 −− +++= tttty εθεθεµ

Modelul de medie mobilă de ordinul q, notat MA(q):

qtqtttty −−− +++++= εθεθεθεµ L2211

3) Modelele mixte descriu procese cu evoluŃii datorate ambelor categorii de factori

),( ktkty −− ε .

Modelul ARMA(p,q): în cazul absenŃei tendinŃei generale în valorile observate, avem:

qtqtttptpttt yyyy −−−−−− +++++++++= εθεθεθεφφφµ LL 22112211

Modelul ARIMA(p,d,q): în cazul prezenŃei tendinŃei generale în valorile observate. Modelul ARCH: include, pe lângă realizările anterioare, şi dispersia din realizările anterioare . Modelul SARIMA: include şi oscilaŃiile sistematice de natură sezonieră.

O altă abordare a seriilor cronologice este constituită de analiza spectrală, care a fost importată din fizică: se descompune un proces tY în componente periodice

adoptând criteriul frecvenŃelor. FrecvenŃa unei serii de timp reprezintă periodicitatea cu care este observată variabila corespunzătoare. FrecvenŃele mici corespund componentei de lungă durată, în timp ce frecvenŃele mari corespund componentei de scurtă durată, de tip sezonier.

Tipul de modelare folosit este practic mai ales pentru descrierea diferitelor componente ale procesului: tRtStTt YYYY ++= , unde tTY este componenta de trend

(evoluŃia pe termen lung); tSY este componenta sezonieră (pur periodică, evoluŃia pe

termen scurt sau pe termen mediu); tRY este componenta conjuncturală ( este partea

pur aleatoare a procesului, este rezultatul perturbaŃiilor). Se pot lua în considerare şi alte combinaŃii ale acestor componente, în afara formei aditive, cum ar fi modelele multiplicative sau modelele mixte. Se consideră că primele două componente explică media lui tY , în timp ce tRY explică variabilitatea sa. Această modelare se bazează pe

identificarea prealabilă a diferitelor componente ale seriei. Pentru aceasta există un număr mare de metode, descriptive sau teoretice.