„ Matematica Este Ceea Ce Începe ,

8/14/2019 Matematica Este Ceea Ce ncepe ,

1/54


2/54


3/54

Plecnd de la o singur pereche de iepuri i tiind cfiecare pereche de iepuri produce n fiecare lun o noupereche de iepuri, care devine productiv la vrsta de olun, calculai cte perechi de iepuri vor fi dup n luni (seconsider c iepurii nu mor n decursul respectiveiperioade de n luni).Soluie. Din datele problemei rezult c numrulperechilor de iepuri din fiecare lun este un termen alirului lui Fibonacci.ntr-adevr, s presupunem c la 1ianuarie exista o singur pereche fertil de iepuri. Notm

cu 1 perechea respectiv. Ea corespunde numrului 2f

din irul lui Fibonacci:

102 fff += = 110 =+ .La 1 februarie, mai exist o pereche pe care o notm1.1.Deci n acest moment sunt dou perechi , ceea cecorespunde termenului:

3f = 21 ff + =1+1=2.

La 1 martie sunt 3 perechi, dou care existau n februariei una nou care provine de la perechea numrul 1(se ineseama c o pereche devine fertil dup dou luni).Notmcu 1.2 aceast nou pereche. Numrul perechilor dinaceast lun corespunde termenului:

321324 =+=+= fff .La 1 aprilie exist 5 perechi i anume:trei perechiexistente n luna martie , o pereche nou care provine dela perechea 1 i o pereche nou care provine de laperechea 1.1 care la 1 martie a devenit fertil (pereche pecare o notm cu 1.1.1).Numrul perechilor din aceastlun corespunde termenului:

435 fff += =2+3=5.

Termenii din aceast relaie se interpreteaz astfel:

4f =numrul perechilor existente n luna precedent ;

3f =numrul perechilor noi(provin de la perechile

existente n luna anteprecedent).Procednd n continuare n acest fel, vom deduce c ladata de 1 decembrie numrul perechilor este dattermenul:

23314489121113 =+=+= fff ,iar la 1 ianuarie anul urmtor exist:

377233144131214 =+=+= fff perechi deiepuri.

Concluzia este urmtoarea :

Dac notm cu nf numrul de perechi de iepuri dup n

luni , numrul de perechi de iepuri dup 1+n luni, notatcu 1+nf , va fi nf (iepurii nu mor niciodat !), la care se

adaug iepurii nou-nscui. Dar iepuraii se nasc doar dinperechi de iepuri care au cel puin o lun, deci vor fi

1nf perechi de iepuri nou-nscui.

Obinem astfel o relaie de recuren:

00 =f , 11 =f , 11 + += nnn fff , care genereaztermenii irului lui Fibonacci.Observaie. Acest ir exprim ntr-un mod naiv cretereapopulaiei de iepuri. Se presupune c iepurii au cte doipui o dat la fiecare lun dup ce mplinesc vrsta dedou luni. De asemenea, puii nu mor niciodat i suntunul de sex masculin i unul de sex feminin.

Bibliografie:

[ ].1 Gazeta matematic 1895 2007 (ediia electronic)

Prof. ,Grup colar de Meserii i Servicii, Buzu

tiai c.....

FibonacciFibonacciFibonacciFibonacci (Leonardo Pisano) a perfecionat regula de adunarea fraciilor prin aducerea lor la cel mai mic multiplu comun i adat criterii de divizibilitate pentru numerele 2, 3, 5, 9.

Sistemul zecimal de scriere arab a fost fcut cunoscut nEuropa ndeosebi de lucrarea sa, Liber Abaci(1202), prin care a

transpus din arab n latin cunotinele nvate de lamatematicienii arabi n perioada ct a stat n nordul Africii. Tot el

a introdus noiunea de algoritm i denumirea pentru numrulzero.

Pagin din manuscrisul Liber Abaci


4/54


5/54

2.2.2. 2. ArticoleArticoleArticoleArticole i note matematicei note matematicei note matematicei note matematice

Cteva probleme de minim n geometrie

de prof. Adrian Stan1. Definiie: Distana dintre dou puncte din plan A i B estedat de lungimea segmentului AB. (notm AB sau d(A,B)).Proprieti:a). ,0),( BAd pentru orice A i B din plan.b). BABAd == 0),( .c). Pentru orice trei puncte din plan A, B, C,exist relaia: ),(),(),( CAdCBdBAd + .2. Definiie: Distana de la un punct la o dreapt este lungimeasegmentului determinat de punct i de piciorul perpendicularei dusdin punct pe dreapta respectiv.

Proprieti.Cea mai mic distan de la un punct A la un punct oarecare B de pe o dreapt este dat de distana de la punct laproiecia lui ortogonal pe dreapt.

Pentru a calcula distana de la punctul A la dreapta BC se pot utiliza metodele:- cu ajutorul relaiilor metrice;- cu ajutorul relaiilor de congruen ntre triunghiuri;- cu ajutorul ariei triunghiului din care face parte distana, ca nlime;- cu ajutorul calculului minimului segmentului AM pentru M oarecare pe BC.

3. Definiie: Distana dintre un punct i un plan este lungimea segmentului determinat de punct i de plan peperpendiculara dus din acel punct pe plan.Proprieti.

Cea mai mic distan de la un punct A la un punct oarecare B din plan este dat de distana de la A la proiecia luiortogonal pe plan.

Pentru a calcula distana de la un punct A la un plan (BCD) se pot utiliza metodele:- cu ajutorul relaiilor metrice;- cu ajutorul relaiilor de congruen ntre triunghiuri;- cu ajutorul calculului nlimii n tetraedrul ABCD;- cu ajutorul calculului minimului segmentului AO pentru O oarecare pe planul (BCD).

4. Definiie: Distana dintre dou drepte(n plan respectiv spaiu) este dat de lungimea segmentului determinat peperpendiculara comun celor dou drepte.Proprieti:a)Dac dreptele d, g sunt paralele, atunci distana dintre ele este egal cu distana de la un punct de pe d la cealalt dreapt.b)Dac dreptele d,g sunt necoplanare, atunci distana dintre ele este egal cu distana de la d la un plan ce conine drepteleconcurente g i h astfel nct h este paralel cu d.c)Dac d(d,g)=0, atunci dreptele g i h sunt secante.Pentru a calcula distana dintre dou drepte necoplanare din spaiu se poate proceda :

- innd cont de proprietatea b);

- calculnd minimul distanei dintre un punct A de pe d i un punct B de pe g.5. Definiie: Distana de la o dreapt la un plan ,este distana de la un punct oarecare de pe dreapt la planul respectiv.Proprieti:a) problema distanei de la o dreapt d la planul se pune atunci cnd d este paralel cu planul;b) dac d( ,A )=0, atunci dreapta d este inclus n planul .Pentru a calcula distana de la o dreapt la un plan procedm la a calcula distana de la un punct oarecare de pe dreapt laplanul respectiv;6. Definiie: Distana dintre dou plane paralele, este distana dintre un punct aparinnd unui plan i cellalt plan;Proprieti:a) dac d( , )=0, atunci planele sunt confundate;


6/54

Pentru a calcula distana dintre planele paralele , , se ia un punct A pe planuli se calculeaz d(A, ).Aplicaii:

1. ntr-un paralelipiped dreptunghic ABCDABCD se cunosc AB=12, BC=6, AA=8. S sedetermine un punct P pe muchia CC i s se calculeze lungimea segmentului PC astfel nct perimetrultriunghiului BPD s fie minim.

Rezolvare:PBPD=BP+PD+BD e minim dac suma BP+PD eminim, caz ce se ntmpl cnd B, P, D suntcoliniare pe desfurarea lateral a paralelipipedului.Desfurnd feele laterale BCCB i CCDD seobserv c '' BDPDBP + (relaia de inegalitate ntrelaturile unui triunghi), cu egalitate BP+PD=BD dacpunctele B, P, D sunt coliniare.

==''

'~BCPCC

PC

BD

BP

BD

BCBDD

5

58

'8180

6== PC

PC .

2. n piramida regulat VABC se tie muchia lateral de 10 cm i muchia bazei de 12 cm. determinaiun punct P pe muchia VA astfel nct perimetrul triunghiului PBC s fie minim.Rezolvare:

Fie VAP . Cum triunghiul PBC este isoscel( PCBP ), are perimetrul minim, dac PB este minim.Triunghiul VAB este isoscel cu 10=VBVA i AB=12 ; BP este minim cnd VABP .Exprimnd aria triunghiului VAB n dou moduri obinem: VMABBPVA = , unde M este mijlocul lui AB.

Rezult VM=8 i5

48=BP , PPBC=PB+PC+BC=

5

15612

5

96=+ .

3. Fie VABCD o piramid patrulater regulat cu VA=12 cm , avnd aria lateral de 144cm2. S sedetermine lungimea celui mai scurt drum ce pleac din A, parcurge toate feele laterale i ajunge tot nA.Rezolvare:

Pe desfurarea lateral a piramidei se poate evidenia cel mai scurt drum i anume, AA, cu A=A.

Lungimea acestuia se poate calcula din triunghiul isoscel VAA, VA=12 cm. Cum aria lateral este 144 atunciaria triunghiului VAB este 36 cm2. Exprimnd aria triunghiului VAB i n alt mod se poate scoate

=

=

=2

1

144

362)sin(

2

)sin()sin(

2

BVABVAVA

ABVA VAB

00 120)(4)'(,30)( === AVBmAVAmiarBVAm . Din V ducem nlimea VE, unde E este mijlocul lui AA.

312'362

31230cos12)'cos( 0 ===== AAAAVVAAE .


7/54


8/54

4. Dac n triunghiul ABC se cunosc aria sa i msura unghiului A s se determine ce valori pot lua AB

i AC astfel nct BC s fie minim.Rezolvare:Vom nota cu a, b, c, lungimile laturilor BC, AC, respectiv AB iar cu S aria triunghiului. Utiliznd Teorema cosinusului se

obine: Abccba cos2222 += )cos1(2)( 2 Abccb += .

ASbcAbcS

sin2sin

21 == ; Rezult

AAScba

sin)cos1(4)( 22 += ; aceast sum este minim cnd cb = .

Aadar BC este minim cndA

SACAB

sin

2== .

5. Se d un triunghi dreptunghic ABC cu 090)( =Am . Se ia un punct M pe BC i se duceACMFABME , , i se construiesc simetricele lui M fa de AB respectiv AC n punctele P respectiv

Q ca n figura de mai jos. S se determine poziia punctului M pe BC astfel nct perimetrulpatrulaterului PQCT s fie minim.Rezolvare:

Perimetrul patrulaterului PQCB este minim sumalungimilor PB+PQ+QC+BC este minim. Fie ADnlimea corespunztoarei ipotenuzei.

Cum PMABsiEPEM triunghiul BPM este isoscel, aadar BDBP .

Analog, QCMCMQACsiFQMF Prin urmare, PBPQC=BP+PQ+QC+BC=2BC+PQ. Dar

AQAMAP PQ=2AM. Cum BC este fix iar AMvariabil rezult c perimetrul lui BPQC este minim cnd PQeste minim adic AM este minim, ceeace se ntmpl atunci

cnd M este piciorul nlimii pe ipotenuz, adic atunci cndM coincide cu D.

Bibliografie:

[ ].1 Gazeta matematic 1895 2007 (ediia electronic)[2]. Petru, Alexandrescu (coord.), Matematic, clasa a VIII-a, Editura Paralela 45,2006.[3]. Adrian, Stan; Probleme alese de matematic pentru clasele V-VIII, Ed. Rafet, Rm. Srat, 2007.[4]. I.C. Drghicescu, V. Masgras, Probleme de geometrie, Editura tehnic Bucureti,1987.

Profesor, GR. C. TH. Sf. Mc. SAVA,BERCA, BUZU.

Mult Mult Mult Mult lumelumelumelume tie stie stie stie s citeascciteascciteascciteasc, dar nu, dar nu, dar nu, dar nu tie ce atie ce atie ce atie ce ar trebui sr trebui sr trebui sr trebui s citeascciteascciteascciteasc....M. TrevelyanM. TrevelyanM. TrevelyanM. Trevelyan


9/54


10/54

!

3.3.3. 3. ExameneExameneExameneExamene i concursurii concursurii concursurii concursuri

TABRA INTERJUDEEAN DE MATEMATICEdiia a XX-a, Bisoca, 22 28 august 2007

Domnului Profesor Constantin Apostol,

ca semn al stimei mai multor generaii

prezentare de Neculai Stanciu

A intrat n tradiia colii buzoiene, ca, n fiecare an, la sfritul vacanei de var, s seorganizeze Tabra de Matematic. Locul de desfurare este unul dintre centrele de agrement aleDireciei Judeene pentru Tineret Buzu, la Poiana Pinului, Arbnai , Monteoru, iar anul acesta nCampusul PC Pr. Prof. dr. Mihai Milea de la Bisoca.Aceste locuri sunt cu un pitoresc ieit din comun,avnd capaciti corespunztoare de cazare i de susinere a leciilor de matematic.

Tabra este deschis tuturor elevilor interesai de matematic din judeul Buzu , dar, n ultimiiani, am primit cu plcere, i elevi din judeele Galai, Brila, Ilfov i Bucureti. Nivelul de predare esten conformitate cu Programa Olimpiadei de Matematic pentru clasele V VIII.

Programul taberei este astfel ntocmit, nct s se realizeze maximum de eficien: cursurile sepredau dimineaa, n douedine a cte 90 de minute i pentru amiaz , elevii au de rezolvat cte otem.Soluia este notat de ctre profesorul propuntor, i astfel se realizeaz un clasament cu cei maibuni rezolvitori, sub genericul Problema Zilei, acetia primind diplome i premii. n timpul liber sefac drumeii, se organizeaz activiti sportive , iar seara discotec.

Activitatea desfurat de-a lungul a 6-7 zile, se finalizeaz printr-un test, n urma cruia,jumtate dintre elevi primesc premii. Focul de tbr, aprins n seara nchiderii, las amintiri plcutetuturor participanilor, cu gndul revenirii i la anu.

Eforturile mobilizatoare pentru organizarea i desfurarea exemplar a cursurilor de pregtireintensiv aparin domnului profesor Constantin Apostol.

Problemele date la concurs au fost urmtoarele:

Clasa a V-a,

1. Calculai valoarea lui x : [ ] 2370683)4:480( =++x .Marcela Marin

2. ntr-o livad sunt 207 pomi fructiferi: meri, peri i nuci.Dac n livad ar mai fi 3 nuci, atunci numrul merilor ar fide dou ori mai mare dect numrul nucilor.Numrul perilor este dublul numrului merilor.Ci pomi fructiferi din fiecare fel sunt n livad?

Marcela Marin

3. Produsul vrstelor a 3 frai este 18.Doi sunt gemeni .Cel mai mic are ochii verzi.Ce vrste au cei trei copii?Marcela Marin

4. O orchestra format din 6 instrumentiti cnt o melodie n 5 minute.n ct timp va cnta aceeai melodie oorchestr format din 12 instrumentiti, respectnd ritmul melodiei ?Marcela Marin

Clasa a VI-a,

1. S se afle suma primelor nou zecimale ale numrului:303030 5:)15( +=a .

Dumitru Mrgineanu


11/54


12/54

"

2. Ionel are o monedi un automat care returneaz, la fiecare moned introdus, alte nou monede.Ionel joacoricare moned pe care o are.Este posibil ca el s obin, la un moment dat, 2007 monede?

Gabriela Toader

3. Comparai numerele a si b , tiind c :606263 333 =a si 2117=b .

Simion Marin

Clasa a VII-a,

1. S se determine mulimea :

+

= Z

x

xZxA

2

92.

Neculai Stanciu

2. S se rezolve n NN ecuaia : 3073 =+ yx ; Luca Tu3. n triunghiul ABCmsura unghiului A este media aritmetic a msurilor unghiurilor B i C.Fie B i C

picioarele nlimilor din B , respectiv din C, iar M , mijlocul laturii [ ]BC .

a) Determinai msura unghiului A b) Artai ca MBCB = .Grigori Marin

Clasa a VIII-a,

1. S se determine lungimea maxim a razei cercului nscris n triunghiul ABC, cu )( Am = 090 i222+=BC cm.

Constantin Apostol

2. Artai c :3

1

27

1...

5

1

4

1

7

1222


13/54


14/54


15/54


16/54

$

Clasa a V-a

1. S se calculeze: ( ) ( ) ( ) 100225245715 2:9:3422:22 .

2. Artai c ,2513.......25725525325 +++++ este ptrat perfect.

3. Un numr este cu 84 mai mare dect altul. mprind suma celor dou numere la diferena lor, seobine ctul 15 i restul 14. Aflai cele dou numere.

4. Din egalitile 12 +== cbsicbcacab s se deduc:

a) o relaie ntre a i c;b) valoarea numeric a expresiei 2b-a-c;

Clasa a VI-a1. Fie mulimile

+

=3

5

4

2

6

5 nNnA ,

+= N

n

nnNnB

3

632;

S se determine: .; BABA

2. Elevii unei coli plecai n excursie au trebuit s se ncoloneze pentru a vizita un obiectiv turistic;Dac ei se aezau cte 4, sau cte 5 sau cte 6, rmneau de fiecare dat trei elevi pe dinafar. Cielevi erau n excursie dac se tie c numrul lor nu depea 300?3. Un unghi de msur 1650 este mprit n 15 unghiuri diferite n aa fel nct ncepnd cu al doilea,unghiurile cresc fiecare cu o msur de u0 fa de precedentul; Dac primul are msura de x0 , s seafle cele dou msuri x0i u0.

4. S se determine numerele naturale prime a,b,c astfel nct:256117

888 32=++

cba .

5. S se rezolve ecuaia: 361000

1:07.0

)6(1,4)2(,4

180018,00324,12:)6(,1

3

21

4

15 =

+ x .

Profesor, coala cu clasele I-VIII,nr. 8 Valeriu Sterian, Rm. Srat

Nu pot sNu pot sNu pot sNu pot s vvvv dau formula succesului. Dar pot sdau formula succesului. Dar pot sdau formula succesului. Dar pot sdau formula succesului. Dar pot s vvvv dau formudau formudau formudau formula ela ela ela eecului:ecului:ecului:ecului:ncercancercancercancercai si si si s----i muli muli muli mulumiumiumiumii pe toi pe toi pe toi pe toi.i.i.i.

Herbert Bayrd SwopeHerbert Bayrd SwopeHerbert Bayrd SwopeHerbert Bayrd Swope


17/54


18/54

%&%%

'

4444.... Probleme propuseProbleme propuseProbleme propuseProbleme propuse

Matematica se nva cu tenacitate icontinuitate, zi de zi, dup fiecare lecie, cu creionul nmn, rezolvnd exerciii i probleme, cutnd a lmurifiecare amnunt. Dar ce perspectiv nebnuit ofermatematica celui care a depus efortul iniial de a nelege iptrunde! Frumuseea i marea utilitate a matematicii odescoperi dup ce ai nvat cu adevrat matematica. Cine

nva n coal matematica, n-o va uita niciodat.

(Acad. Prof. Caius Iacob)

La nceput de drum v urm .

1.2.

3.4.5.6.

1. Numerele care au diferena 12. nlocuirea unui numr prin altul, prin lips sau adaos3. Sistem de numeraie n care numerele sunt grupate cte 104. Numrul a+1 este . numrului a5. Numere care pot fi scrise sub forma a+16.

Fiecare grup de 3 ordine consecutive ncepnd de la dreapta formeaz o

Inst. Lupan Nicoleta - Gabriela, Berca , Buzu

Dar nu uitai!

= MUNC + PERSEVEREN + INTELIGEN

nv. Avrigeanu Felicia , Berca , Buzu

NVMNT PRIMAR Clasa a III-a

P:1. Suma a trei numere este 843. Micorat cu 3, primul numr devine un sfert din al doilea, iar altreilea reprezint jumtate din suma primelor dou. S se afle numerele.

nv. Marcela Marin, Rm. Srat

P:2. Un alun are pe cele 6 crengi ale sale 432 de alune, numrul alunelor fiind acelai pe fiecare creang.Punei voi ntrebarea i rezolvai problema.

Inst. Anton Maria , Berca ,Buzu

P:3.Suma a dou numere diferite, dar care au cifrele egale, este 788. Care sunt numerele?nv. Avrigeanu Felicia, Berca ,Buzu


19/54


20/54

%&%%

P:4.Suma a dou numere este 24, iar diferena lor este 0. Care sunt cele dou numere?nv. Avrigeanu Felicia, Berca - Buzu

P:5.Sfritul lunii acesteia este o zi cu numr fr so, al lunii viitoare tot fr so.n ce lun ne aflm? a) ianuarie b) mai c) iulie d) iunie e) decembrie

nv. Avrigeanu Felicia, Berca ,Buzu

P:6.La un concurs de matematic Ana a obinut 7 puncte, Doru cu 3 mai multe, Vlad tot attea punctecte a obinut Doru, Mara de 10 ori mai multe dect Vlad, iar Irina ct Vlad i Mara la un loc.Cte puncte a obinut Irina?

nv. Ion Daniela, Berca ,BuzuP:7.Scrie ntrebarea potrivit astfel nct problema s se rezolve:a) prin 3 operaii; b) prin 4 operaii. Rezolv n fiecare caz problema.ntr-o parcare sunt 53 de maini albe, cu 13 mai multe maini roii, iar maini albastre cu 31 mai puinedect maini albe i roii la un loc.

nv. Ion Daniela, Berca ,BuzuP:8.a) Identific datele care nu au legtur cu rezolvarea problemei, apoi rescrie i rezolv.b) Schimb ntrebarea, astfel nct s foloseti toate datele problemei i rezolv.ntr-o librrie erau 374 cri cu poezii i 150 cri cu poveti. S-au mai adus 3 cutii a cte 54 cri cu

poezii fiecare i cu 75 mai multe cri cu poveti dect dublul crilor cu poezii.Cte cri s-au adus n total la librrie?nv. Ion Daniela, Berca ,Buzu

P:9.Un numr este nmulit cu 10. La rezultat adunm dublul numrului15, din noul rezultat scdemsfertul numrului 800 i obinem treimea numrului 300. Aflai numrul.

nv. Lupan Ion, Plecoi ,BuzuP:10.Un copil are 200 de lei, el cumpr cu o ptrime din sum o geant, cu o cincime din suma rmascumpr o carte, iar cu jumtate din noul rest un tricou.Ci lei i-au rmas copilului?

nv. Lupan Ion, Plecoi - Buzu

Clasa a IV-a

P:11. Suma dintre sfertul unui numr i dublul altuia este 625. S se afle numerele, tiind cprimul este de dou ori mai mare dect al doilea.

nv. Marcela Marin, Rm. SratP:12. La un magazin s-au adus ntr-un transport 196 paltoane i rochii, n valoare de 26057190 lei. S seafle cte rochii i paltoane s-au adus, tiind c un palton cost ct ase rochii i c un palton i o rochiecost 308630 lei?

nv. Valeriu Marcu, BercaP:13. La un magazine alimentar s-au vndut ntr-o zi 84 litri de ulei. A doua zi s-au vndut 192 l i s-auncasat cu 453600 lei mai mult ca n prima zi. Ci lei s-au ncasat n total din vnzarea uleiului, n celedou zile?

nv. Valeriu Marcu, BercaP:14.Pentru hrana zilnic a 86 de vaci i 56 de viei sunt necesare 1488 kg nutre. O vac consumct 8 viei. Cte kg de nutre consum o vac pe zi? Ce cantitate de nutre este necesar pentru 100 devaci i 80 de viei pentru aproximativ 120 de zile?

nv. Rodica Ene, Berca

P:15.ntr-un coule sunt nuci. Mihi ia3

1 din numrul lor i nc dou nuci. Oana ia4

1 din nucile

rmase i nc dou. Doru ia2

1 din rest i nc dou nuci, iar n coule rmn nou nuci, Cte nuci au

fost la nceput n coulei cte a luat fiecare copil?nv. Rodica Ene, Berca


21/54


22/54

%&%%

P:16. Jumtate din numrul timbrelor lui Alexandru este egal cu o treime din numrul de timbre ale luiMircea i cu o cincime din numrul timbrelor lui Andrei.

Cte timbre are fiecare copil dac au n total 5500 de timbre?Inst. Lupan Nicoleta-Gabriela, Berca ,Buzu

P:17. Un numr este de 6 ori mai mare dect alt numr. Dac numrul cel mic se micoreaz cu 4 i cel marecu triplul numrului 4, atunci numrul mic este o zecime din numrul mare.Inst. Lupan Nicoleta-Gabriela, Berca ,Buzu

P:18. Mama le las celor 3 copii ai si o cutie cu bomboane, cerndu-le ca atunci cnd se ntorc de la coal smpart bomboanele n mod egal. Primul copil care ajunge acas mparte bomboanele n trei, lundu-i partealui, apoi pleac la joac. La fel procedeaz pe rnd i ceilali doi copii cu bomboanele pe care le gsesc,netiind c acestea au fost deja mprite. Cnd cei trei copii se ntorc de la joac se hotrsc s mpart nc odat bomboanele rmase, fiecruia revenindu-i 8 bomboane. Cte bomboane a avut cutia?

Inst. Lupan Nicoleta-Gabriela, Berca ,Buzu

P:19. Trei copii au mpreun 225 de lei. Ci lei are fiecare, tiind c al doilea are de dou ori ct are primul icu 25 de lei mai puin dect al treilea?

nv. Lupan Ion, Plecoi ,Buzu

P:20. Suma a trei numere consecutive impare este 783. Care sunt numerele?nv. Lupan Ion, Plecoi ,Buzu

GIMNAZIU Clasa a V-a

G:1.S se determine toate perechile de numere naturale, tiind c mprindu-l pe primul la al doilea i apoi peal doilea la primul, obinem de fiecare dat, aceeai sum dintre ct i rest, aceasta fiind egal cu 3.

Prof. Constantin Apostol, Rm. Srat

G:2.Aflai numerele naturale scrise n baza 10, care mprite la 90 dau un rest egal cu cubul ctului.Prof. Marin Simion, Rm. Srat

G:3.a)S se determine cifra x astfel nct numrul 05201x s se divid cu 2008.b)S se arate c suma nnS n 111210......101010 232 ++++++= este divizibil cu 33.

Prof.Adrian Stan, Berca,Buzu

G:4. Artai c diferena bbbaaa este divizibil cu 3.Prof. Lupan Rodica,Berca

G:5. Aflai suma a + c tiind c a - b = 20 i b + c = 15.Prof. Lupan Rodica,Berca

G:6. Suma a trei numere naturale este 270. Dac din fiecare se scade acelai numr se obin numerele 10, 55

i respectiv 154.Prof. Lupan Rodica, Berca

G:7. S se arate c numrul numerelor naturale mai mici sau egale cu 2008 care nu sunt divizibilecu 3, nici cu 5 , nici cu 7 este multiplu de 17.

Prof. Neculai Stanciu, Berca, BuzuG:8. Determinai baza de numeraie x n care are loc egalitatea: 2 14x =33x .

Prof. Ana Panaitescu, Rm Srat


23/54


24/54

%&%%

Clasa a VI-a

G:9.Se d proporia3

2

234

32=

+

+

zyx

zyx . tiind c zy 2 , s se arate c:

zyx

zyx

zyx

zyx

1197

47

234

322

+

+=

+

+ .


G:10. S se calculeze suma a 20 de numere naturale consecutive tiind c primul i al patrulea sunt directproporionale cu numerele 11 i respective 12.

Prof. Marin Simion, Rm. SratG:11. S se determine numerele NyQx , , tiind c

211

13

112

+

+=

y

xxsix

.

Prof.Adrian Stan, Berca, Buzu

G:12. S se determine mulimea

+

=

N

abc

abNNNcbaA

1

13),,( .

Prof. Neculai Stanciu, Berca, BuzuG:13. S se gseasc cu ct se modifica produsul a 4 numere dac primul se mrete cu jumtatea lui, al

doilea se mrete cu a treia parte din el,al treilea se micoreaz cu a patra parte din el,iar al patrulea semicoreaz cu a treia parte din el.Prof. Ana Panaitescu,Rm. Srat

G:14.Determinai numerele x, y, z tiind ca :x+y+z=45;86

,32

zyyx== .

Prof. Ana Panaitescu, Rm. Srat

Clasa a VII-aG:15. S se determine numerele ntregi a, astfel nct numrul 1072 ++ aa s fie ptratul unui altnumr ntreg.

Prof.Adrian Stan, Berca, BuzuG:16. n triunghiul ABC, msurile unghiurilor BA, i, respectiv ,C sunt direct proporionale cu

numerele 3, 7 i 2. S se arate c unghiul dintre AB i nlimea din A este congruent cu unghiul dintreACi mediana din A .


G:17. n trapezul ABCD avnd bazele AB i CD avem:

7

2)( =BOCaria din [ ])()( CODariaAOBaria + , unde O este intersecia diagonalelor .tiind c

210)( cmBOCaria = , s se determine aria trapezului.Prof. Marin Simion, Rm. Srat

G:18.Fie ABCD un ptrat, AB=a, M(BC) i N(CD) astfel ca BM=DN=4

ai

3

1=

MC

BM

.Calculai sinusul msurii unghiului MAN.Prof.Tu Luca, Buzu

G:19. ABCD este un trapez dreptunghic (m(A

)=m(D

)=90 0 i DC||AB) n care [AD] [DC] i

[AB] [AC]. tiind c [CM este bisectoarea unghiului DCA

artai c:1. CM CB2. [CM] [CB]3.

AB

AN

MA

AD =1 Prof.Tu Luca, Buzu


25/54


26/54

%&%%

G:20. Msurile unghiurilor triunghiului ABC sunt direct proporionale cu numerele 5, 3 respectiv 4.

nlimea AD = 310 cm i intersecteaz bisectoarea CM n punctul N; ( ABMBCD , ). Din Mducem perpendiculara MP pe latura BC;( BCP ). Aflai :

a) perimetrul triunghiului ABC;

b) perimetrul patrulaterului MPDN;c) aria triunghiului ANC.Prof. Ana Panaitescu, Rm. Srat

Clasa a VIII-aG:21. S se determine funciile cu proprietatea: (x+1)f(x-1)-xf(x+2)=-4x+3 i s se determine n naturalastfel nct f(1)+f(2)+f(3)+....+f(n)=2010;

Prof. Adrian Stan, Berca,Buzu

G:22.Prin centrul triunghiului echilateral ABC ducem paralela la BC pe care lum, n interiorultriunghiului, punctul M . n M ridicm perpendiculara pe planul )(ABC pe care lum un punct Ni fie

11 ,BA i 1C picioarele perpendicularelor din N pe ,BC pe ACi, respectiv pe AB . S se arate c dac2

1NA este media aritmetic a numerelor2

1NB i2

1NC , atunci M coincide cu centrul triunghiului.


G:23. tiind c +Ryx, i yx < , s se compare numerele:x

ya

3

= i 222 yxyxb ++= .


G:24.Graficul unei funcii liniare care trece prin punctul )0;3(A intersecteaz paralela la Oy prin )0;2(B

n punctul C. tiind c aria triunghiului ABCeste 10 ..au (uniti de arie), s se determine funcia liniar.Prof. Marin Simion, Rm. Srat

G:25. Ptratele ABCD i ABMN sunt situate n plane perpendiculare .Calculai msura unghiului diedruformat de planele (MAD) i (MND).

Prof.Tu Luca, Buzu

G:26.Fie ABCDABCD un paralelipiped dreptunghic avnd muchiile bazei AB=2 6 cm i

BC=4 3 cm iar nlimea CC=8 2 cm. Fie M mijlocul lui BC i F mijlocul lui AA astfel nctDM AB={F}. Se cere:a) Msura unghiului format de planul FED cu planul bazei;b) Msura unghiului format de dreptele CC i EF;

Prof. Adrian Stan,Berca, Buzu

LICEUClasa a IX-a

L:1.Demonstrai c volumul unui tetraedru este mai mic sau egal cu a 162-a parte din cubul sumei muchiilorcare pornesc din acelai vrf.


L:2.Aflai numerele reale a i b astfel nct ecuaia:

02324 =++++ xxabxx s aib un numr maxim de soluii.Prof. Constantin Rusu, Rm. Srat

L:3.tiind c x,y,z,u reprezint numere ntregi i pozitive diferite, scrise n ordinea

,1 uzyx s se arate c: 124

31+++ xyzuyzuxzuxyuxyz

ProfDaniela Chiricioiu,Berca, Buzu


27/54


28/54

%&%%

L:4. Dac +Rxi , ni ,1= , cu 11

==

i

n

i

x , s se arate c:2

)1(

11

2 ++


29/54


30/54


31/54


32/54

%&()

"

5.5.5.5. Probleme rezolvateProbleme rezolvateProbleme rezolvateProbleme rezolvate

Clasa a III-a

P:21.Cte zile are azi un pui de arici tiind c ieri a mplinit 3 sptmni de la ziua n care el a mplinit 20

de zile.Rezolvare: 20 + 3 x 7 + 1 = 20 + 21 + 1 = 42 (de zile)Inst. Anton Maria , Berca, Buzu

P:22. O veveri a adunat pentru iarn 6000 de alune, pe care le-a depozitat n trei cmrue.Aflai cte alune se afl n fiecare cmru dac n primele dou sunt 3600 de alune, iar n ultimele

dou cmrue sunt 3630 de alune.Rezolvare:

1. Cte alune sunt n prima cmru? 6000 - 3630 = 2370 (de alune)2. Cte alune sunt n a treia cmru? 6000 - 3600 = 2400 (de alune)3. Cte alune sunt n a doua cmru? 3600 - 2370 = 1230 (de alune)

Inst. Anton Maria ,Berca ,BuzuP:23. Aflai suma dintre zece zeci, zece sute i zece uniti. Verificai dac suma obinut se mparte exact la

3 i la 5.Rezolvare:

zece zeci - 100 100 + 1000 + 10 = 1110zece sute - 1000 1110 : 3 = 370zece uniti - 10 1110 : 5 = 222Rspuns: Suma este 1110. 1110 se mparte exact i la 3 i la 5.

nv. Avrigeanu Felicia,Berca - Buzu

P:24. Gsii valorile lui a i b din egalitile: a) ab x b = 129 ; b) a x ab = 497

a) ab x b = 129 b) a x ab = 497b x b = 9 a x a = 49 , 7 x 7 = 49, a=7.3 x 3 = 9 a x b = 7 ,

Dac b = 3 7 x b = 7, b=1

129 : 3 = 43, deci a = 4 b=1ab = 43 Verificare: 43 x 3 = 129 Verificare: 7 x 71 = 497

nv. Avrigeanu Felicia,Berca ,BuzuP:25. La cel mai mare numr natural de 3 cifre diferite adugai cel mai mic numr de patru cifre i din

sum scdei cel mai mic numr de 4 cifre n care cifra 1 se repet de 2 ori.Rezolvare:

a) Scriem cel mai mare numr natural de 3 cifre diferite: 987SZU b) Scriem cel mai mic numr de 4 cifre: 1000MSZU c) Aflm suma celor dou numere 987 + 1000 = 1987d) Scriem cel mai mic numr de 4 cifre n care cifra 1 se repet de dou ori: 1001MSZU e) Din suma celor dou numere scdem 1001: 1987 - 1001 = 986

(987 + 1000) - 1001 = 986nv. Ion Daniela, Berca - Buzu

P:26. Suma dintre un numr dat i rsturnatul su este 66. S se afle numrul tiind c produsul cifrelor carel compun este 5.

Rezolvare:

66=+ baab a b = 5 Scriem numerele care nmulite dau produsul 5.


33/54


34/54

%&()

#

a b = 5 1 5 = 5 5 1 = 5

Scriem toate numerele de forma ab care se pot forma cu cifrele 1 i 5.

ab 15, 51 66=+ baab 15 + 51 = 66 sau 51 + 15 = 66 Rspuns: Numerele sunt 15 i 51.

nv. Ion Daniela, Berca - Buzu

P:27. Trei garoafe cost 18 lei. Cinci crini cost de 10 ori mai mult. Ci lei va costa un buchet de flori formatdin 2 garoafe i 3 crini? Rezolv problema sub forma unui singur exerciiu!Rezolvare:

Ci lei va costa un buchet de flori format din 2 garoafe i 3 crini?(18 : 3) x 2 + (18 x 10: 5) x 3 =6 x 2 + 36 x 3 =12 + 108 = 120 (de lei)

nv. Lupan Ion, Plecoi , BuzuP:28. Tata a cumprat 3 kg de ciree i 4 kg de viine, pltind 54 de lei. Ct a costat un kg de viine, dac unulde ciree a costat 6 lei? Rezolv problema sub forma unui singur exerciiu!Rezolvare:

Ct a costat un kg de viine?(54 - 6 x 3) : 4 =

(54 - 18) : 4 =36 : 4 = 9 (lei) nv. Lupan Ion, Plecoi, Buzu

P:29. M gndesc la un numr, l mpart la 3, iar rezultatul l nmulesc cu 3 i obin un numr de 3 cifre n carecifra zecilor este 3, cifra sutelor este dublul acesteia, iar a unitilor este triplul cifrei zecilor.La ce numr m-am gndit?Rezolvare:

z = 3 s = 2 x 3 = 6 u = 3 x 3 = 9 szu = 639(a : 3) x 3 = 639 , a : 3 = 639 : 3 , a : 3 = 213, a = 213 x 3 rezult a = 639

nv. Lupan Ion, Plecoi, Buzu

Clasa a IV-a

P:30.ase fete au primit fiecare un numr de flori reprezentate de numere impare consecutive.Cte flori a primit fiecare fat, tiind c a treia i ultima au primit mpreun 36 de flori?Rezolvare:Notm cu a numrul de flori primite de I fat, a + 2 numrul de flori primite de a II-a fat,a + 4 numrul de flori primite de a III-a fat, a + 6 numrul de flori primite de a IV-a fat,a + 8 numrul de flori primite de a V-a fat, a + 10 numrul de flori primite de a VI-a fat.Adunm numrul florilor primite de a III-a fat cu numrul celor primite de ultima fat:a + 4 + a + 10 = 36 , 2 a + 14 = 36 , 2 a = 36 - 14 , 2 a = 22 , a = 22 : 2 , rezult a = 11Rspuns:Prima fat a primit 11 flori, a doua a primit 13 flori, a treia a primit 15 flori, a patra a primit 17 flori, a cinciaa primit 19 flori, iar a asea fat a primit 21 de flori.

Inst. Lupan Nicoleta- Gabriela, Berca , Buzu

P:31.Baza mic a unui trapez este o treime din numrul 63. Baza mare este dublul bazei mici. Lungimeafiecrei laturi neparalele este jumtate din lungimea laturilor unor ptrate ce au perimetrul de 48 m,respectiv 72 m. Aflai perimetrul trapezului.

Rezolvare:Aflm lungimea bazei mici 63 : 3 = 21 Baza mic are 21 m.Aflm lungimea bazei mari 21 2 = 42 Baza mare a re 42 m.Aflm lungimile laturilor neparalele (48 m : 4) : 2 = 6 m ; (72 m : 4) : 2 = 9 mLungimile laturilor neparalele sunt 6 m, respectiv 9 m. P = 6m + 9m + 21m + 42m; P = 78m

Inst. Lupan Nicoleta- Gabriela, Berca , Buzu


35/54


36/54

%&()

$

P:32. Doi fii i doi tai au mncat trei mere, cte un mr fiecare.

a) Este posibil aceast situaie?b) Dar dac 3 fii i 3 tai au mncat 4 mere, cte un mr fiecare?

Rezolvare:

a) tata, fiul i nepotulb) tata, fiul, nepotul, strnepotulnv. Lupan Ion, Plecoi, Buzu

Clasa a V-a

G:27.Suma a patru numere naturale este4

3 din 102. Dac se adun numrul 4 la primul, se scade 4 din al

doilea, se mparte al treilea la 4 i se nmulete al patrulea cu 4, se obin numere egale. Aflai numerele.Prof. Lupan Rodica, Berca,Buzu

Rezolvare: (soluia autor)

a + b + c + d = 43 102, de unde rezult a + b + c + d = 75;

Cum a + 4 = b - 4 = c : 4 = 4 d, putem scrie a = 4d 4, b = 4d + 4, c = 4d 4 , rezult,4d - 4 + 4d + 4 + 4d 4 + d = 75 adic 25d = 75 , rezult d = 3; atuncia = 34 - 4 = 8 , b = 34 + 4 = 16 , c = 434 = 48 .

Clasa a VI-a

G:28. Se tie c 3a+4b+5c=42 iar3

7===

z

c

y

b

x

a ; S se determine x,y,z tiind c sunt invers

proporionale cu 6, 8, 10.Prof. Adrian Stan, Berca, Buzu

Rezolvare: (Soluia autorului) Relaia dat este echivalent cu

=++

++

=== 3

7

543

543

5

5

4

4

3

3

zyx

cba

z

c

y

b

x

a =++ 3

7

543

42

zyx

3x+4y+5z=18 (*); Cum (x,y,z) sunt

invers proporionale cu (6,8,10) rezult: 6x=8y=10z=k; k este coeficientul de proporionalitate;

10;

8;

6

kz

ky

kx === .

Din relaia (*) rezult 3k=36, k=12, rezult x= 2; .5

6;

2

3== zy

Clasa a VII-a

G:29. Care numr este mai mare, 31! sau 1631 ? ,( unde n!= nn )1(...321 , produsulprimelor n numere naturale).

Prof. Adrian Stan, Berca, Buzu

Rezolvare: (soluia autorului)

Fie a=31! i b=1631, atunci =+++=16

1516

16

1416...

16

116

16

16

16

116...

16

1416

16

1516

b

a

=++= )16

151)....(

16

11(1)

16

11).....(

16

141)(

16

151( .11))

16

1(1).....()

16

14(1)()

16

15(1( 222 ba

b

a=


37/54


38/54

%&()

'

G:30. n triunghiul ABC 090)( =CABm , prin punctul M, mijlocul ipotenuzei [BC] ,se duceMP AB )(ACP MP nlimea ][AD n N. Artai c:

AM NC; b)MD

MPMNAM

= . Prof: Tu Luca,Buzau

Rezolvare: (Soluia autorului)

a) n triunghiul ANC avem: ACNP si ANCD ;MMCDNP = }{ este ortocentrul triunghiului

NCAMANC

b) CMPNMD (opuse la vrf) , MPCMDN (drepte))( UU

MND ~MD

MPMNMC

MP

MD

MC

MNMCP

==

Dar MCBCAM ==2

MD

MPMNAM

= .

Clasa a VIII-a

G:31.S se arate c numarul 1212 57 =N Se divide cu 1776.Prof. Tu Luca, Buzu

Rezolvare: (Soluia autorului):Avem =++==== AAN )57()57()57()5()7(57 22224434341212

./1776177674122)57()57()57( 22 NAAA ==++=

Clasa a IX-aL:24.Fie 0> , rdcina ecuaiei 015272 =+ xx . S se gseasc numerele naturale ,a b i c

diferite de zero astfel nct

8

= c

ba +

.Prof. Neculai Stanciu, Berca, Buzu

Rezolvare: (soluia autorului) . Folosim urmtoarea lem :dac este rdcina pozitiv a ecuaiei

012 =+ bxx , atunci este cea mai mare rdcin a ecuaiei 0122 =++ bxx (se demonstreaz

uor).Cu aceast lem obinem c este cea mai mare rdcin ecuaiei 01232 =+ xx , mai

departe 4 este cea mai mare rdcin a ecuaiei 0152 =+ xx , i 8 este cea mai mare rdcin a

ecuaiei 0172 =+ xx . Obinem 8 =2

37+i valorile : 3,7 == ba i 2=c sau 7,3 == ba i .2=c

Clasa a X-aL:25. S se rezolve ecuaia: 3x+3y+3z =1980, zyxRzyx 2,.. .Prof. Adrian Stan;Berca, Buzu

Rezolvare:3x(1+3y-x+3z-x)= 11532 22 ; Datorit unicitii descompunerii n factori primi rezult x=2; mai

departe 3y-2+3z-2=219; 3y-2(1+3z-y)= 7331333733 32 =+== zy siy

3z-3=72 3z-5=8 rezult z-5= 8log3

; x=2, y=3, z=5+ 8log3

.


39/54


40/54


41/54


42/54

**(

6. Teste preg6. Teste preg6. Teste preg6. Teste pregtitoare pentrutitoare pentrutitoare pentrutitoare pentru

tezele cu subiect unictezele cu subiect unictezele cu subiect unictezele cu subiect unic i bacalaureati bacalaureati bacalaureati bacalaureat

Model - Tez cu subiect unic la matematicClasa a VII-a, semestrul II, 16.05.2008

Prof. Neculai Stanciu,

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 2 ore. Se acord 10 puncte din oficiu.SUBIECTUL I (50 puncte) Pe foaia de tez se trec numai rezultatele.

4p 1. a) Dintre numerele 32=a i 23=b , mai mare este numrul ...3p b) Media geometric a numerelor 9 i 49 este egal cu ...

3p c) Rezultatul calculului 188 + este egal cu ...4p 2. a) Soluia negativ a ecuaiei 42 =x este ...3p b) O soluie natural a inecuaiei 02


43/54


44/54

**(

Model - Tez cu subiect unic la matematic

Clasa a VIII-a, semestrul II, 16.05.2008

Prof. Vasile Berca,

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 2 ore. Se acord 10 puncte din oficiu.

SUBIECTUL I (48 puncte) Pe foaia de tez se trec numai rezultatele.

4p 1. Soluia ecuaiei 2x+3= -4 este4p 2. Cubul cu latura de 4 cm are volumul

4p 3. Este )32(2 + soluie a ecuaiei 1312 +=+ xx ?......

4p 4. Prisma triunghiular cu latura de 4 cm i aria lateral de 72 cmare nlimea de......4p 5. Soluiile ecuaiei x-3x-10=0 sunt.4p 6. Un cilindru cu nlimea de 5 cm si volumul de 45cm are raza de..4p 7. Este (2;3) soluie a sistemului 5x-2y=4 ?..........

3x+4y=184p 8. Cel mai mare con ce se poate "scoate "dintr-un cub de latur 6cm , va avea V=........4p 9. Descompunerea n factori a trinomului x+4x-12 este....4p 10. Numarul muchilor unui paralelipiped dreptunghic este ........4p 11. Care sunt numerele ntregi pentru care 3x+74 ?.........4p 12. Daca latura tetraedrului regulat este 6 cm,aria sa total este de....

SUBIECTUL II (42 puncte) Pe foaia de tez scriei rezolvrile complete.

7p 13. a) Daca suma a doua numere este ct de 4 ori numarul mic i numrul mare18, aflainumerele.

7p b) Pentru a deveni de 2 ori mai mare unul ca altul,avem voie sa le mrim cu acelainumr. Ct la sut este acesta din numarul mic?

7p 14. a)Rezolvai ecuaia: (2x+1)- 3(2x+1)-10=0.

7p b) Rezolvai inecuaia: x2721 ++ n Z.

15. Se considera un con circular drept avnd raza, nlimea i generatoarea exprimateprin trei numere pare consecutive.

5p a) Aflai dimensiunile conului.5p b) Aflai aria laterala si volumul conului.4p c) Aflai nlimea unui trunchi de con , ce s-ar putea obine din conul dat cu aria

laterala ct 75% din aria laterala a conului.


45/54


46/54

**(

Model

EXAMENUL DE BACALAUREAT-2008Proba scris la MATEMATIC, M 1

Prof. Daniela Chiricioiu

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri cu soluii complete.

1. Se consider matricea , mulimea i funcia

.

a) S se calculeze determinantul i rangul matriceiA. 5pb) S se arate c dac , atunci i . 5pc) S se arate c dac i , atunci . 5p

2. Fie R[X] un polinom astfel nct ( +3X+1)=(X)(X)+3(X)+1 i (0)=0.a) S se determine (-1). 5p

b) S se determine restul mpririi polinomului la X-5. 5p

c) S se demonstreze c =X. 5p

SUBIECTUL I (30 p )

1.S se calculeze modulul numrului complex . 5p

2.S se calculeze distana de la punctulD(4 ,3, 2) la planul . 5p

3.S se scrie ecuaia cercului cu centrul nA(1, 3) i de raz 1. 5p

4.S se determine , astfel nct puncteleA(6, 7) i C(7, 6) s fie pe dreapta de ecuaie

. 5p

5.Fie mulimea A={1,2,3,4,5}. S se determine numrul submulimilor cu trei elemente ale mulimii A care

conin cel puin un numr par. 5p

6.S se determine cel mai mare element al mulimii {cos 1,cos 2,cos 3}. 5p

SUBIECTUL II ( 30 p )


47/54


48/54

**(

SUBIECTUL III ( 30 p )

2. Se considerirurile , , ,

i funciile

i

.

a) S se calculezef(x)i g(x), x>0. 5pb) S se verifice c i . 5pc) S se arate cirul este strict cresctor i irul este strict descresctor. 5p

1. Se consider funcia .

a) S se calculeze . 5pb) S se calculeze . 5pc) S se arate c funciafeste convex pe R. 5p

Ceeace cunoastem este prea putin .Ceeace nu stim este imens .Laplace


49/54


50/54

**(

!

EXAMENUL DE BACALAUREAT-2008Proba scris la MATEMATIC

Proba D-Model Prof. Adrian Stan,

M 2 Filiera tehnologic , Profilul tehnic Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu.SUBIECTUL I (30 p)

5p 1) S se calculeze:i

iz

34

21

+

+= .

5p 2) S se determine soluiile reale ale ecuaiei ;321 +=+ xx

5p 3) S se rezolve ecuaia: .2)25(log3 = x 5p 4) S se rezolve ecuaia: 2x+4x+8x=84.5p 5 S se calculeze lungimea segmentului determinat de punctele A(1;3), B(3;1).5p 6) S se determine Rm astfel nct aria triunghiului determinat de punctele A, B i C(5,m) s fie

egal cu 5 cm2.

SUBIECTUL II (30 p)1. Pe R se definete legea de compoziie 3055 += yxxyyx

5p a) S se determine simetricul lui 10 fa de legea de compoziie.5p b) S se rezolve ecuaia 248= xxxxx 5p c) S se determine cel mai mic numr natural Nn cu proprietatea 2008......76 n .

2. n M2(R) se consider matricea .,214

21)(

+= a

aa

aaaX

5p a) S se arate c )(, aXa e inversabili s se determine inversa sa;5p b) Pentru ,, ba s se arate c );()()( baXbXaX +=

5p c) S

se calculeze.)]1([

2008

X

SUBIECTUL III (20 p)1. Fie { }

34

1)(,3,1:

2++

=xx

xfRRf .

5p a) S se calculeze )(lim1

1xf

xx

.

5p b) S se studieze monotonia funciei f.5p c) S se scrie ecuaia tangentei la graficul lui f n punctul x=0;

2. Pentru orice *,Nn se consider funciile fn:[0,1]R,1

)(+

=x

xxf

n

n

5p a) S se calculeze .)()1(1

0

2008 + xfx

5p b) S se determine aria suprafeei plane cuprinse ntre graficul funciei f1, axa OX i dreptele de ecuaiix=0, x=1.

5p c) S se calculeze .)(

lim1

0

0

n

t

n

t t

dxxf


51/54


52/54

*%

"

7.7.7.7. Caleidoscop matematicCaleidoscop matematicCaleidoscop matematicCaleidoscop matematic

111010)1lg(,1lg)1lg(21)1( 02 ===== !

sin

cos11sincos ==+ ii "# 0sin,1cos == $!#!!

%&'($!)! .0cos

sin===

tgi !

? isauCi !!)!!!!!)!!

*+##

,-,-,-,-

".$(!#!!/$01!

#!$/2!!$!!#$!$(.

.#!!"#)$()

34#$!5*!##!(1/#01!!

$#/(##!$#.1!66!7

Au colaborat elevii: Dragomir Florin, Neagu Ancua, Popa Andreea, Castravete Miruna, Minea Elena, (clasa a VI-a), IlieAura, Luca Marius, Morteciu Adelina, Sraru Raluca, Sava Bogdan, Rureanu Mdlin, Crevelescu Cristian, LemnaruLucian, Lazr Lucian, Spnoche Mircea (clasa a XI-a ) .

Gr. c. Th. Sf. Mc. Sava, Berca, Buzu.

8

8 8

8

8

8

8

8

8


53/54


54/54

%*

#

Plantele se transform prin culturiar oamenii prin educaie

Rousseau

8.8.8.8. PoPoPoPota redacta redacta redacta redacieiieiieiiei

Dragi cititori, elevi i profesori, iat-ne la primul numr al apariiei revistei de matematic SCLIPIREA MINTII, o revist care sperm noi vrea s adune mpreun ct mai muli profesori de

matematic din judeul Buzu i nu numai, mpreun cu elevii acestora pentru a face din obiectulmatematicii o activitate performant .Deaceea, sperm c v vei altura i dumneavoast proiectului nostru, pentru a promova

matematica n rndul elevilor, i v ateptm cu sugestii pentru a mbuntii calitatea acestei reviste,deasemenea, ateptm din partea profesorilor, materiale pentru viitorul numr, articole, exerciii iprobleme cu enuni rezolvare complet pe adresa redaciei, Grup colar Tehnic Sf. Mc. SAVA,localitatea Berca, jud. Buzu, str. Calea oimului, nr. 412, cod 127035 cu meniunea Pentru revista dematematic SCLIPIREA MINTII de asemenea prin intermediul membrilor redaciei sau direct peadresa de mail: [email protected] ;Informaii suplimentare se pot obine la tel (fax) 0238 / 527829 sau vizitnd pagina Web:www.sclipireamintii.110mb.com

Elevii care doresc s trimit rezolvrile problemelor trebuie s ia legtura cu profesorii lor i srespecte condiiile ca fiecare problem s fie rezolvat pe o singur foaie cu specificarea numruluiproblemei, i a autorului ei, iar la sfritul soluiei s-i treac numele i prenumele, clasa i profesorulsu, coala i localitatea.(Indicativele P, G i L sunt pentru diferenierea pe invmntprimar,gimnazial respectiv liceal) Fiecare elev poate rezolva i trimite problemele destinate clasei ncare se afl i pe cele ale ultimelor dou clase imediat inferioare precum i pe cele din claselesuperioare. Fiecare rezolvare corect i complet se va nota cu un punct iar elevii cu cele mai maripunctaje vor fi menionai n revist, urmnd s fie premiai cu diplome i cri.

Data final pn cnd profesorii i elevii pot trimite materialele i rezolvrile pentru numrul 2 alrevistei SCLIPIREA MINTII va fi 30 Noiembrie 2008. V urm succes i v ateptm.

Redacia

„ Matematica Este Ceea Ce Începe ,

Documents

Transcript of „ Matematica Este Ceea Ce Începe ,