TEOREMATEOREMA

CELORCELOR

TREITREIPERPENDICULAREPERPENDICULARE

ConstruieşteConstruieşte perpendicular perpendicularaa de la un de la un punctpunct din din afara unui plan la afara unui plan la dredreaaptptaa situată în plan situată în plan

Lungimea Lungimea acestei perpendiculare esteacestei perpendiculare este distanţa distanţa de la punct la dreaptăde la punct la dreaptă

Poate folosiPoate folosi la la înălţimi de triunghiuri înălţimi de triunghiuri şi deci laşi deci la calcul de ariicalcul de arii

Ne ocupăm Ne ocupăm numai de numai de construcţieconstrucţie

Pentru calculPentru calcul, în general, se consideră , în general, se consideră triunghiul triunghiul dreptunghic rezultat din construcţiedreptunghic rezultat din construcţie

CalcululCalculul se face pe probleme în care se face pe probleme în care

se dause dau date concrete date concrete

M

O Pb

d c

a

““Din piciorul perpendicularei pe plan duc perpendiculară pe dreaptă şi unesc”Din piciorul perpendicularei pe plan duc perpendiculară pe dreaptă şi unesc”

d b a,b a

c a

d a d a a d

a b( )a MOP( )c MOP a c

Constructiv procedez astfel:Constructiv procedez astfel:

A B

CD

A’

B’

C’D’

d [ D’, AB ]

Din picior…

A B

CD

D Perpendicular pe … ABAdică … DA

Şi deci … D’A' ( )D D ABCDA AB

, ( )DA AB ABC

3T 'D A AB ' ( ', )D A d D AB

A B

CD

A’

B’

C’D’

d [ D’, CB ]

Din picior…

A B

CD

D Perpendicular pe … CBAdică … DC

Şi deci … D’C' ( )D D ABCDC BC

, ( )DC BC ABC

3T 'D C BC ' ( ', )D C d D BC

A B

CD

A’

B’

C’D’

d [ D’, AC ]

Din picior…

A B

CD

D Perpendicular pe … CAAdică … DO

Şi deci … D’O

O

O

' ( )D D ABCDO AC

, ( )DO AC ABC

3T 'D O AC ' ( ', )D O d D AC

A B

CD

A’

B’

C’D’

d [ D’, CB’ ]

Din picior… B C

C’B’

C’ Perpendicular pe … CB’Adică … C’O

Şi deci … D’O

O

O

' ' ( ')D C BCC' 'C O CB' , ' ( ')C O CB BCC

3T ' 'C O CB ' ( ', ')D O d D CB

A B

CD

A’

B’

C’D’

d [ A’, CB ]

Din picior…

A B

CD

A Perpendicular pe … CBAdică … AB

Şi deci …A’B' ( )A A ABCAB BC, ( )AB BC ABC

3T 'A B BC ' ( ', )A B d A BC

A B

CD

A’

B’

C’D’

d [ A’, DC ]

Din picior…

A B

CD

A Perpendicular pe … DCAdică … AD

Şi deci … A’D' ( )A A ABCAD DC

, ( )AD DC ABC

3T 'A D DC ' ( ', )A D d A DC

A B

CD

A’

B’

C’D’

d [ A’, DB ]

Din picior…

A B

CD

A Perpendicular pe … DBAdică … AOŞi deci … A’O

O

O

' ( )A A ABCAO DB

, ( )AO DB ABC

3T 'A O DB ' ( ', )A O d A DB

A B

CD

M

d [ M, CB ]

Din picior…

A B

CD

D Perpendicular pe … CBAdică … DC

Şi deci … MC( )MD ABCDC BC

, ( )DC BC ABC

3T MC BC ( , )MC d M BC

A B

CD

M

d [ M, AB ]

Din picior…

A B

CD

D Perpendicular pe … ABAdică … DA

Şi deci … MA( )MD ABCDA AB, ( )DA AB ABC

3T MA AB ( , )MA d M AB

A B

CD

M

d [ M, AC ]

Din picior…

A B

CD

D Perpendicular pe … ACAdică … DO

Şi deci … MO

O

O

( )MD ABCDO AC

, ( )DO AC ABC

3T MO AC ( , )MO d M AC

A B

CD

Md [ M, BC ]

Din picior…

A B

CD

O Perpendicular pe … BCAdică … 0P

Şi deci … MP

O

OP

P

( )MO ABCOP BC, ( )OP BC ABC

3T MP BC ( , )MP d M BC

A B

CD

Md [ M, AB ]

Din picior…

A B

CD

O Perpendicular pe … ABAdică … 0P

Şi deci … MP

O

O

P

P

( )MO ABCOP AB

, ( )OP AB ABC

3T MP AB ( , )MP d M AB

A B

CD

Md [ M, AD ]

Din picior…

A B

CD

O Perpendicular pe … ADAdică … 0P

Şi deci … MP

O

OP

P

( )MO ABCOP AD

, ( )OP AD ABC

3T MP AD ( , )MP d M AD

A B

C

Md [ M, BC ]

Din picior… O Perpendicular pe … BCAdică … 0P

Şi deci … MP

O

O

P

P

A B

C

( )MO ABCOP BC, ( )OP BC ABC

3T MP BC ( , )MP d M BC

A B

C

Md [ M, AB ]

Din picior… O Perpendicular pe … ABAdică … 0P

Şi deci … MP

O

O

P

P

A B

C

( )MO ABCOP AB, ( )OP AB ABC

3T MP AB ( , )MP d M AB

A B

C

M

d [ M, BC ]

Din picior… A Perpendicular pe … BCAdică … AP

Şi deci … MP

P

P

A B

C

( )MA ABCAP BC, ( )AP BC ABC

3T MP BC ( , )MP d M BC

A

B

M d [ M, BC ]

Din picior… O Perpendicular pe … BCAdică … 0P

Şi deci … MP

O

O

P

P

C

C

B

( )MO ABCOP BC, ( )OP BC ABC

3T MP BC ( , )MP d M BC

A

B

M d [ M, AC ]

Din picior… O Perpendicular pe … ACAdică … 0P

Şi deci … MP

O

O

P

P

C

C

A

B

( )MO ABCOP AC, ( )OP AC ABC

3T MP AC ( , )MP d M AC

A

B

C

D

M

d [ M, AB ]

Din picior…

AB

CD

D Perpendicular pe … ABAdică … DP

Şi deci … MP

P

P

A

B

C

D

M

d [ M, BC ]

Din picior…

AB

CD

DPerpendicular pe … BCAdică … DP

Şi deci … MP

P

P

A B

CD

M d [ M, BC ]

Din picior… O Perpendicular pe … BCAdică … 0P

Şi deci … MP

O

O

P

P

A

B

C

D

A B

CD

Md [ M, BD ]

Din picior… C Perpendicular pe … BDAdică … CO

Şi deci … MO

O

O

A

B

C

D

A B

CD

Md [ M, AD ]

Din picior… C Perpendicular pe … ADAdică … CP

Şi deci … MP

O

O

A

B

C

D

PP