Post on 11-Oct-2019
1
MODELE GEOMETRICE,
CINEMATICE SI DINAMICE
qi
BAZA
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 2
MODELUL GEOMETRIC AL
ROBOTULUI MANIPULATOR
Sistemul mecanic al unui robot este format dintr-o
configuratie de corpuri rigide, elementele
sistemului, legate intre ele succesiv prin articulatii
de rotatie sau translatie. Pozitiile relative ale
acestor elemente determina pozitia de ansamblu a
bratului mecanic, aceasta pozitie reprezentand de
fapt una dintre conditiile functionale fundamentale
a robotului.
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 3
Descrierea unei transformari
intre doua sistemeDescrierea locului ocupat in
spatiu de un corp se face prin
precizarea pozitiei si orientarii
sale fata de un sistem de
referinta.
Sistemul de referinta {B} este
descris in sistemul de
coordonate {A} de catre o
matrice de rotatie R si de
catre vectorul de pozitie P
P
{A}
{B}
PA
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 4
Transformari intre doua
sisteme de referinta
P
{A}
{B}
PA
10
TRT
A
BA
B
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 5
Sisteme standard definite la nivelul
spatiului de lucru al robotului
qi
BAZA{S}
{B}
{W}{T}
{G}
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 6
Sistemul de baza {B}
Este fixat de baza
manipulatorului.
Uneori este notat ca
sistem {0}, fiind fixat
de partea nemiscata a
robotului, numita
uneori si element “0”.
qi
BAZA
{B}
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 7
Sistemul de pozitie {S}
{S}
Sistemul de pozitie {S} este
fixat in pozitia cea mai
relevanta a sarcinii. Uneori
acest sistem de coordonate
mai este denumit si sistemul
sarcinii, sau sistem de lucru,
sau sistemul universului.
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 8
Sistemul incheieturii {W}
qi
BAZA
{W}
Este fixat de ultimul
element al
manipulatorului
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 9
Sistemul sculei {T}
qi
BAZA
{T}
Este fixat la capatul
oricarei scule, sau
dispozitiv efector, pe
care robotul le
manevreaza. Cand
apucatorul este gol,
acest sistem este
localizat, uzual, in
varful degetului
robotului.
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 10
Sistemul scopului (telului) {G}
{G}
Sistemul scopului {G}
descrie drumul pe care
robotul misca unealta din
apucator. In faza finala, acest
sistem trebuie sa coincida cu
sistemul sculei {T}.
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 11
Modelul geometric direct
qi
BAZA
{Piesa}P
l1
l2
l3
q1
q2
Modelul geometric direct reprezinta in
fapt o problema de geometrie statica
pentru calculul pozitiei si orientarii
efectorului robotului.
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 12
Modelul geometric direct
qi
BAZA
{Piesa}P
l1
l2
l3
q1
q2
Date fiind variabilele articulatie qi
(unghiuri pentru articulatii de rotatie si
distante di pentru articulatii prismatice),
modelul geometric direct rezolva problema
calculului pozitiei si orientarii sistemului
de coordonate legat de scula, relativ la
sistemul de baza.
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 13
Modelul geometric direct
qi
BAZA
{Piesa}P
l1
l2
l3
q1
q2
PT)q(T)q(TPscula2
scula2
1
21
baza
1
Baza
P)q,...,q,q,q(KPscula
n321
Baza
Sau, in general:
n -nr. gradelor de libertate
qi- variabile articulatie
K- matrice de transformare,
dependenta de qi si
dimensiuni geometrice li.
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 14
Model geometric direct pentru
robot planar
x
Y
O
l1
l2
P(xp,yp)
q1
q2
Modelul geometric direct se scrie:
Xp=l1*cos(q1)+l2*cos(q1+q2)
Yp=l1*sin(q1)+l2*sin(q1+q2)
Zp=0
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 15
Exemplu robot SCARA
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 16
Modelul geometric invers
Daca pentru modelul geometric direct se
punea problema gasirii pozitiei punctului
caracteristic cunoscand variabilele articulatie,
in acest caz, se doreste determinarea
variabilelor articulatie impunand pozitia si
orientarea efectorului robotului (de exemplu
doresc ca efectorul sa urmareasca o traiectorie
si caut sa aflu ce unghiuri vor trebui realizate in
articulatii de catre sistemul de actionare).
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 17
Modelul geometric inversEcuatia de rezolvat:
K(variabile articulatie) = K constanta impusa
• Relatia contine un set de ecuatii neliniare, direct legate de
complexitatea robotului.
• Nu exista metode sigure de rezolvare a unor astfel de ecuatii
• Pentru un sistem cu “n” ecuatii liniare cu “n” necunoscute pot exista
solutii pentru toate necunoscutele, pot sa nu existe solutii pentru toate
necunoscutele, sau pot exista familii continue de solutii.
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 18
Modelul geometric invers
• Toate sistemele cu articulatii de rotatie sau
translatie, avand un total de 6 grade de libertate intr-
un singur lant serial, sunt rezolvabile. Dar aceasta
solutie generala este de tip numeric.
• O conditie suficienta pentru ca un manipulator cu
6 articulatii de rotatie sa aiba o solutie analitica este
ca trei axe articulatie de rotatie, vecine, sa se
intersecteze intr-un punct.
Din studiul cinematicii robotilor rezulta:
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 19
Exemplu: model geometric
invers pentru robot planar
x
Y
O
l1
l2
P(xp,yp)
q1
q2
Modelul geometric direct se scrie:
Xp=l1*cos(q1)+l2*cos(q1+q2)
Yp=l1*sin(q1)+l2*sin(q1+q2)
Rezolvarea urmareste gasirea
unghiurilor articulatie qi
daca se cunosc Xp si Yp.
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 20
Exemplu: model geometric
invers pentru robot planar
x
Y
O
l1
l2
P(xp,yp)
q1
q2
Se trece in coordonate polare
r
u1
2
P
2
P yxr
12 uq
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 21
Exemplu: model geometric
invers pentru robot planar
x
Y
O
l1
l2
P(xp,yp)
q1
q2
Din teorema cosinusurilor
r
u1
21
22
2
2
11
ll2
rllarccosu
21
2
P
2
P
2
2
2
12
ll2
yxllarccosq
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 22
Exemplu: model geometric
invers pentru robot planar
x
Y
O
l1
l2
P(xp,yp)
q1
q2
Daca u1 este diferit de 0 atunci exista
2 valori distincte ale lui q2, deci doua
configuratii posibile in spatiu ale
elementelor robotului
r
u1
2
P
2
P yxr
12 uq
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 23
Exemplu: model geometric
invers pentru robot planar
x
Y
O
l1
l2
P(xp,yp)
q1
q2
r
u1
u2
u3
Gasire q1:
3u2uq1
rl2
lrlarccos
x
yarctgq
1
2
2
22
1
P
P1
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 24
Exemplu: model geometric
invers pentru robot planar
x
Y
O
l1
l2
P(xp,yp)
q1
q2
Solutii complete
r
rl2
lrlarccos
x
yarctgq
1
2
2
22
1
P
P1
21
2
P
2
P
2
2
2
12
ll2
yxllarccosq
rl2
lrlarccos
x
yarctgq
1
2
2
22
1
P
P1
21
2
P
2
P
2
2
2
12
ll2
yxllarccosq
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 25
Exemplu: model geometric
invers pentru robot planar
Observatii:
• Daca punctul P tinta este ales in afara spatiului de lucru, atunci
r>l1+l2 si nu exista nici o solutie
• Daca r=l1+l2 atunci exista o singura solutie
• Daca r<l1+l2 atunci exista solutii multiple
• Modelul geometric poate fi utilizat in controlul pe traiectorie,
dar nu prezinta nici o facilitate legata de controlul vitezelor de
deplasare ale robotului manipulator.
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 26
Modelul cinematic
Problemele modelului geometric:
• neliniaritatea relatiilor {Xp,Yp,Zp}=f(qi), i=1,…,n
• cu acest model nu se pot controla vitezele de
deplasare ale robotului manipulator
Modelul cinematic pune in relatie vitezele de
rotatie si translatie ale punctului caracteristic
in raport cu sistemul de baza.
Modelul cinematic
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 27
Cinematica Directa
Cinematica Inversa
Cinematica directa
Cinematica inversa
Pozitia si orientarea
efectorului
Variabile
articulatie
),,( 21 nqqqq
x
z
),,,,,( zyxY
y
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 28
Obtinerea modelului cinematic
Prin diferentierea relatiilor care definesc modelul geometric:
)q,q,q(f
)q,q,q(f
)q,q,q(f
dt
d
z
y
x
dt
d
3213
3212
3211
P
P
P
• qi-variabile articulatie;
• {xp, yp, zp}- coordonate punct caracteristic
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 29
Obtinerea modelului cinematicSe obtine:
• J – matrice Jacobian;
3
2
1
P
P
P
q
q
q
J
z
y
x
...qJqJx 212111
Interpretare fizica: relatia
arata modul in care fiecare
viteza dintr-o articulatie
(spatiul articulatiilor)
contribuie la viteza finala a
manipulatorului in spatiul
sarcinii (spatiu operational).
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 30
Matricea Jacobian – caz
general
n
3
2
3
1
3
n
2
2
2
1
2
n
1
2
1
1
1
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
J
n - numarul gradelor de libertate
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 31
Exemplu: robot planar
Obtinere matrice Jacobian
x
Y
O
l1
l2
P(xp,yp)
q1
q2
Modelul geometric direct se scrie:
Xp=l1*cos(q1)+l2*cos(q1+q2)=f1(q1,q2)
Yp=l1*sin(q1)+l2*sin(q1+q2)=f2(q1,q2)
Zp=0
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 32
Exemplu: robot planar
Obtinere matrice Jacobian
?q
f
?q
f
)qqsin(lq
f
)qqsin(l)qsin(lq
f
2
2
1
2
212
2
1
21211
1
1
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 33
Exemplu: robot planar
Obtinere matrice Jacobian
00
)qqcos(l)qqcos(l)qcos(l
)qqsin(l)qqsin(l)qsin(l
J 21221211
21221211
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 34
Implicatiile matricii Jacobian
! – apreciere a modului in care erorile in variabilele
articulatie qi se transmit la nivelul efectorului
qJX
! Transformarea este neliniara => efectul erorilor va fi
diferit pentru diferite pozitii
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 35
Exemplu – robot planar
x
Y
O
l1
l2
P(xp,yp)
q1
q2
Pozitia 1: q1=30 grade; q2=60 grade
cm0151.0y
cm0262.0x
1.0q
1.0q
P
P
o
2
o
1
Pozitia 2: q1=45 grade; q2=30 grade
cm0169.0y
cm0292.0x
1.0q
1.0q
P
P
o
2
o
1
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 36
Utilizarile matricii Jacobian
1. Determinarea singularitatilor
2. Legatura cupluri articulatie –
forte efector
3. Conducerea robotului
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 37
Utilizarile matricii JacobianDeterminarea singularitatilor
Singularitatile sunt puncte in care robotul isi
pierde un grad de libertate “instantaneu” =>
efectorul robotului nu se poate misca pe o directie.
det(J)=0 => l1*l2*sin(q2)=0 => q2=0 grade sau
q2=180 grade
Atingerea singularitatilor => scaderea performantelor
robotului prin scaderea manevrabilitatii
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 38
Utilizarile matricii JacobianLegatura cupluri articulatie-forte
efector
Atingerea singularitatilor => exista directii in care
efectorul robotului nu poate exercita forte statice.
FJT
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 39
Utilizarile matricii JacobianConducerea robotului
Problema conducerii: “Se dau variatii impuse
ale coordonatelor operationale (pozitii si viteze
ale efectorului) si se cer variatiile coordonatelor
generalizate corespunzatoare (qi, dqi/dt).
Formularea conduce la relatia:
x)q(Jq1
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 40
Utilizarile matricii JacobianConducerea robotului
Problema calculului matricei Jacobian J:
dificultate legata de faptul ca J este foarte rar o
matrice patrata.
xJJJq
q)q(JJxJJq)q(Jx
T1T
TTT
J matricii rsapseudoinve - JJJ
patratica matrice - JJ
T1T
T
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 41
Utilizarile matricii JacobianConducerea robotului
f(q)
Sistem de
actionareJ-1(q)
xdi +
-
xi
qi
Δxi Δqi
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 42
Utilizarile matricii JacobianConducerea robotului
xdi- multimea punctelor traiectoriei dorite
Xi- obtinute pe baza modelului geometric direct
J(qi)- recalculata la fiecare pas de operare
Avantaj- simplitatea legii de conducere, modelul cinematic
diferential fiind un model liniar.
Dezavantaj-efort mare de calcul cerut de calculul inversei
matricei Jacobian.
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 43
Modelul dinamic
• Modelele geometrice si cinematice pornesc
de la premisa ca pentru orice configuratie
obtinuta de robot este atinsa o stare de
echilibru.
• Aceste modele devin putin reprezentative la
viteze si acceleratii mari, cand fortele de
inertie, centrifugale si de cuplaj, capata marimi
semnificative.
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 44
Modelul dinamic
Modelul dinamic este reprezentat analitic
printr-un sistem de ecuatii diferentiale care
definesc legaturile care apar intre coordonatele
generalizate “qi” si derivatele lor, si fortele
care actioneaza asupra fiecarui element al
configuratiei mecanice.
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 45
Deducerea modelului dinamic
Metoda Lagrange – se defineste Lagrangianul
L = Energia Cinetica - Energia potentiala
Ecuatiile sistemului dinamic devin:
n1,2,...,i , F
q
L
q
L
dt
di
ii
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 46
Deducerea modelului dinamic
Notatii:
n – nr. gradelor de libertate
qi – coordonate generalizate
dqi/dt – viteze generalizate
Fi – forte generalizate ( pentru articulatii de translatie
este o forta, iar pentru cele de rotatie este un cuplu)
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 47
Deducerea modelului dinamic
Etape de calcul:
- determinarea energiei potentiale in functie de
coordonatele generalizate;
- determinarea energiei cinetice in functie de
coordonatele generalizate;
- calculul derivatelor partiale ale Lagrangianului;
- legarea derivatelor partiale calculate in modelul
dinamic, conform ecuatiilor Lagrange.
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 48
Modelul dinamic
Forma finala a modelului dinamic:
)q(G)q,q(Vq)q(M
M - matricea maselor elementelor robotului
V – vectorul termenilor centrifugali si Coriolis
G – matricea termenilor gravitatiei
MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 49
Bibliografie
1. Murray R.M et al. “ A mathematical introduction to
robotic manipulation”, CRC Press, London, 1994.
2. Craig J.J. “Introduction to robotics mechanics &
control” Wesley Publishing Company,
Massachusetts, 1986.
3. Ivanescu I. – “Roboti Industriali” Editura
Universitaria, Craiova 1994.
4. Poboroniuc M., “Controlul robotilor. Controlul
miscarii umane prin stimulare electrica functionala”,
Editura Politehnium, Iasi, 2004.