Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

1 Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

2 Ecuatia Euler- Cauchy

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienticonstanti

February 9, 2011

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Forma generala

Consideram ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

y (n) + a1y (n−1) + . . .+ any = f (x), x ∈ (a,b) ⊂ R (1)

unde f este o functie continua si fie ecuatia omogena asociata

y (n) + a1y (n−1) + . . .+ any = 0. (2)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Forma generala

Consideram ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

y (n) + a1y (n−1) + . . .+ any = f (x), x ∈ (a,b) ⊂ R (1)

unde f este o functie continua si fie ecuatia omogena asociata

y (n) + a1y (n−1) + . . .+ any = 0. (2)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Solutia generala a ecuatei diferentiale liniare

TeoremaSolutia generala a ecuatiei diferentiale liniare (1) este

y(x) = c1y1(x) + . . .+ cnyn(x) + yp (3)

unde y1, . . . , yn sunt solutii liniar independente ale ecuatieiomogene (2), iar yp este o solutie particulara.

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Ecuatia caracteristica

Cautam solutii de forma

y(x) = eλx .

Prin derivare si înlocuire în ecuatia omogena obtinem ecuatiacare se numeste caracteristica

λn + a1λn−1 + . . .+ an = 0. (4)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Ecuatia caracteristica

Cautam solutii de forma

y(x) = eλx .

Prin derivare si înlocuire în ecuatia omogena obtinem ecuatiacare se numeste caracteristica

λn + a1λn−1 + . . .+ an = 0. (4)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

I. Radacini reale distincteDaca λ1, . . . , λn ∈ R distincte sunt radacinile ecuatieicaracteristice atunci forma generala a solutiei este

y(x) = c1eλ1x + . . .+ cneλnx . (5)

II. Radacini reale multiplePresupunem ca λ = α este o solutie a ecuatiei caracteristice cuordinul de multiplicitate r .Atunci solutia generala va cuprinde în cazul II. urmatoareacombinatie liniara

c1eαx + c2xeαx + . . . cr x r−1eαx , c1, c2, . . . , cr ∈ R (6)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

I. Radacini reale distincteDaca λ1, . . . , λn ∈ R distincte sunt radacinile ecuatieicaracteristice atunci forma generala a solutiei este

y(x) = c1eλ1x + . . .+ cneλnx . (5)

II. Radacini reale multiplePresupunem ca λ = α este o solutie a ecuatiei caracteristice cuordinul de multiplicitate r .Atunci solutia generala va cuprinde în cazul II. urmatoareacombinatie liniara

c1eαx + c2xeαx + . . . cr x r−1eαx , c1, c2, . . . , cr ∈ R (6)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

I. Radacini reale distincteDaca λ1, . . . , λn ∈ R distincte sunt radacinile ecuatieicaracteristice atunci forma generala a solutiei este

y(x) = c1eλ1x + . . .+ cneλnx . (5)

II. Radacini reale multiplePresupunem ca λ = α este o solutie a ecuatiei caracteristice cuordinul de multiplicitate r .Atunci solutia generala va cuprinde în cazul II. urmatoareacombinatie liniara

c1eαx + c2xeαx + . . . cr x r−1eαx , c1, c2, . . . , cr ∈ R (6)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

III. Radacini complexe simplePresupunem ca ecuatia caracteristica admite solutiile simpleλ = α± jβ.Atunci solutia generala cuprinde termenii

c1eαx cos(βx) + c2eαx sin(βx) (7)

IV. Radacini reale complexe multiplePresupunem ca ecuatia caracteristica admite solutiileλ = α± jβ cu ordinul de multiplicitate s.Acestora le corespund 2s solutii linar independente

eαx cos(βx) eαx sin(βx)xeαx cos(βx) xeαx sin(βx)

. . . . . .

xs−1eαx cos(βx) xs−1eαx sin(βx)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

III. Radacini complexe simplePresupunem ca ecuatia caracteristica admite solutiile simpleλ = α± jβ.Atunci solutia generala cuprinde termenii

c1eαx cos(βx) + c2eαx sin(βx) (7)

IV. Radacini reale complexe multiplePresupunem ca ecuatia caracteristica admite solutiileλ = α± jβ cu ordinul de multiplicitate s.Acestora le corespund 2s solutii linar independente

eαx cos(βx) eαx sin(βx)xeαx cos(βx) xeαx sin(βx)

. . . . . .

xs−1eαx cos(βx) xs−1eαx sin(βx)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

III. Radacini complexe simplePresupunem ca ecuatia caracteristica admite solutiile simpleλ = α± jβ.Atunci solutia generala cuprinde termenii

c1eαx cos(βx) + c2eαx sin(βx) (7)

IV. Radacini reale complexe multiplePresupunem ca ecuatia caracteristica admite solutiileλ = α± jβ cu ordinul de multiplicitate s.Acestora le corespund 2s solutii linar independente

eαx cos(βx) eαx sin(βx)xeαx cos(βx) xeαx sin(βx)

. . . . . .

xs−1eαx cos(βx) xs−1eαx sin(βx)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

III. Radacini complexe simplePresupunem ca ecuatia caracteristica admite solutiile simpleλ = α± jβ.Atunci solutia generala cuprinde termenii

c1eαx cos(βx) + c2eαx sin(βx) (7)

IV. Radacini reale complexe multiplePresupunem ca ecuatia caracteristica admite solutiileλ = α± jβ cu ordinul de multiplicitate s.Acestora le corespund 2s solutii linar independente

eαx cos(βx) eαx sin(βx)xeαx cos(βx) xeαx sin(βx)

. . . . . .

xs−1eαx cos(βx) xs−1eαx sin(βx)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Exercitii

Rezolvati urmaroarele ecuatii omogene1. y ′′ − 5y ′ + 6y = 02. y ′′ − 9y = 03. y ′′ − y ′ = 04. y ′′ − 2y ′ + 2y = 05. y ′′ + 4y ′ + 13y = 06. y ′′′ − 13y ′′ + 12y ′ = 07. y ′′′ − y ′ = 08. y ′′′ + y = 09. y (4) − 2y ′′ = 010. y ′′′ − 3y ′′ + 3y ′ − y = 0

11. y (n) +n1

y (n−1) +n(n − 1)

2y (n−2) + · · ·+ ny ′ + y = 0

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Rezolvati urmatoarele probleme Cauchy

1.

y ′′ − 5y ′ + 4y = 0y(0) = 5y ′(0) = 8

2.

y ′′ + 4y = 0y(0) = 0y ′(0) = 2

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem caf contine P(x)eax ,

a nu este radacina a ecuatiei caracteristice,iar P este un polinom de gradul m;

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)eax . (8)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem caf contine P(x)eax ,

a nu este radacina a ecuatiei caracteristice,iar P este un polinom de gradul m;

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)eax . (8)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem caf contine P(x)eax ,

a nu este radacina a ecuatiei caracteristice,iar P este un polinom de gradul m;

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)eax . (8)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem caf contine P(x)eax ,

a nu este radacina a ecuatiei caracteristice,iar P este un polinom de gradul m;

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)eax . (8)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem caf contine P(x)eax ,

a nu este radacina a ecuatiei caracteristice,iar P este un polinom de gradul m;

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)eax . (8)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem caf contine P(x)eax ,

a nu este radacina a ecuatiei caracteristice,iar P este un polinom de gradul m;

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)eax . (8)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem caf contine P(x)eax ,

a nu este radacina a ecuatiei caracteristice,iar P este un polinom de gradul m;

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)eax . (8)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem ca

f contine P(x)eax ,

a este radacina a ecuatiei caracteristice cu ordinul demultiplicitate k ,iar P este un polinom de gradul m.

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)xkeax . (9)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem ca

f contine P(x)eax ,

a este radacina a ecuatiei caracteristice cu ordinul demultiplicitate k ,iar P este un polinom de gradul m.

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)xkeax . (9)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem ca

f contine P(x)eax ,

a este radacina a ecuatiei caracteristice cu ordinul demultiplicitate k ,iar P este un polinom de gradul m.

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)xkeax . (9)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem ca

f contine P(x)eax ,

a este radacina a ecuatiei caracteristice cu ordinul demultiplicitate k ,iar P este un polinom de gradul m.

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)xkeax . (9)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem ca

f contine P(x)eax ,

a este radacina a ecuatiei caracteristice cu ordinul demultiplicitate k ,iar P este un polinom de gradul m.

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)xkeax . (9)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem ca

f contine P(x)eax ,

a este radacina a ecuatiei caracteristice cu ordinul demultiplicitate k ,iar P este un polinom de gradul m.

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)xkeax . (9)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem ca

f contine P(x)eax ,

a este radacina a ecuatiei caracteristice cu ordinul demultiplicitate k ,iar P este un polinom de gradul m.

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)xkeax . (9)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem ca

f contine P(x)eax cos(bx), sau Q(x)eax sin(bx),numarul complex a± jb nu este radacina a ecuatieicaracteristice,iar P si Q sunt polinoame de grad cel mult m.

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)eax cos(bx)+

+(B0 + B1x + . . .+ Bmxm)eax sin(bx). (10)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem ca

f contine P(x)eax cos(bx), sau Q(x)eax sin(bx),numarul complex a± jb nu este radacina a ecuatieicaracteristice,iar P si Q sunt polinoame de grad cel mult m.

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)eax cos(bx)+

+(B0 + B1x + . . .+ Bmxm)eax sin(bx). (10)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem ca

f contine P(x)eax cos(bx), sau Q(x)eax sin(bx),numarul complex a± jb nu este radacina a ecuatieicaracteristice,iar P si Q sunt polinoame de grad cel mult m.

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)eax cos(bx)+

+(B0 + B1x + . . .+ Bmxm)eax sin(bx). (10)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem ca

f contine P(x)eax cos(bx), sau Q(x)eax sin(bx),numarul complex a± jb nu este radacina a ecuatieicaracteristice,iar P si Q sunt polinoame de grad cel mult m.

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)eax cos(bx)+

+(B0 + B1x + . . .+ Bmxm)eax sin(bx). (10)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem ca

f contine P(x)eax cos(bx), sau Q(x)eax sin(bx),numarul complex a± jb nu este radacina a ecuatieicaracteristice,iar P si Q sunt polinoame de grad cel mult m.

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)eax cos(bx)+

+(B0 + B1x + . . .+ Bmxm)eax sin(bx). (10)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem ca

f contine P(x)eax cos(bx), sau Q(x)eax sin(bx),numarul complex a± jb nu este radacina a ecuatieicaracteristice,iar P si Q sunt polinoame de grad cel mult m.

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)eax cos(bx)+

+(B0 + B1x + . . .+ Bmxm)eax sin(bx). (10)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem ca

f contine P(x)eax cos(bx), sau Q(x)eax sin(bx),numarul complex a± jb nu este radacina a ecuatieicaracteristice,iar P si Q sunt polinoame de grad cel mult m.

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)eax cos(bx)+

+(B0 + B1x + . . .+ Bmxm)eax sin(bx). (10)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem ca

f contine P(x)eax cos(bx), sau Q(x)eax sin(bx)

numarul complex a± jb este radacina a ecuatieicaracteristice cu ordinul de multiplicitate k ,iar P si Q sunt polinoame de gradul m.

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)xkeax cos(bx)+

+(B0 + B1x + . . .+ Bmxm)xkeax sin(bx). (11)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem ca

f contine P(x)eax cos(bx), sau Q(x)eax sin(bx)

numarul complex a± jb este radacina a ecuatieicaracteristice cu ordinul de multiplicitate k ,iar P si Q sunt polinoame de gradul m.

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)xkeax cos(bx)+

+(B0 + B1x + . . .+ Bmxm)xkeax sin(bx). (11)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem ca

f contine P(x)eax cos(bx), sau Q(x)eax sin(bx)

numarul complex a± jb este radacina a ecuatieicaracteristice cu ordinul de multiplicitate k ,iar P si Q sunt polinoame de gradul m.

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)xkeax cos(bx)+

+(B0 + B1x + . . .+ Bmxm)xkeax sin(bx). (11)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem ca

f contine P(x)eax cos(bx), sau Q(x)eax sin(bx)

numarul complex a± jb este radacina a ecuatieicaracteristice cu ordinul de multiplicitate k ,iar P si Q sunt polinoame de gradul m.

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)xkeax cos(bx)+

+(B0 + B1x + . . .+ Bmxm)xkeax sin(bx). (11)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Presupunem ca

f contine P(x)eax cos(bx), sau Q(x)eax sin(bx)

numarul complex a± jb este radacina a ecuatieicaracteristice cu ordinul de multiplicitate k ,iar P si Q sunt polinoame de gradul m.

Atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . .+ Amxm)xkeax cos(bx)+

+(B0 + B1x + . . .+ Bmxm)xkeax sin(bx). (11)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Rezolvati urmatoarele ecuatii diferentiale1. y ′′ + y ′ − 2y = 8 sin 2x

2. y ′′ + y ′ − 6y = xe2x

3. y ′′ − y ′ − y = x3 − 6

4.{

y ′′ + 4y = sin xy(0) = y ′(0) = 1

5.d2xdt2 + ω2x = A sin pt ; discutie ω 6= p, ω = p

6. y ′′ − y = 2x sin x

7. y ′′′ + y ′′ = x2 + 1 + 3xex

8. y (4) + y ′′′ = cos x

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Metoda variatiei constantelor

Fie ecuatia

y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = f (x), x ∈ I ⊂ R (12)

unde f ,a,b sunt functii continue pe intervalul I.Din teorie, solutia generala este de forma

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + yp(x)

unde y1, y2 sunt solutii liniar independente ale ecuatieiomogene, iar yp este o solutie particulara.Vom arata ca se pot determina doua functii c1(x), c2(x) astfelca solutia particulara sa fie de forma

yp(x) = c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x) (13)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Metoda variatiei constantelor

Fie ecuatia

y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = f (x), x ∈ I ⊂ R (12)

unde f ,a,b sunt functii continue pe intervalul I.Din teorie, solutia generala este de forma

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + yp(x)

unde y1, y2 sunt solutii liniar independente ale ecuatieiomogene, iar yp este o solutie particulara.Vom arata ca se pot determina doua functii c1(x), c2(x) astfelca solutia particulara sa fie de forma

yp(x) = c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x) (13)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Metoda variatiei constantelor

Fie ecuatia

y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = f (x), x ∈ I ⊂ R (12)

unde f ,a,b sunt functii continue pe intervalul I.Din teorie, solutia generala este de forma

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + yp(x)

unde y1, y2 sunt solutii liniar independente ale ecuatieiomogene, iar yp este o solutie particulara.Vom arata ca se pot determina doua functii c1(x), c2(x) astfelca solutia particulara sa fie de forma

yp(x) = c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x) (13)

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Se obtin urmatoarele etapePas 1. Se considera ecuatia

y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = f (x)

Pas 2. Se determina y1, y2 solutii independente ale ecuatieiomogene si formam sistemul{

c′1(x)y1(x) + c′2(x)y2(x) = 0c′1(x)y ′1(x) + c′2(x)y ′2(x) = f (x)

Pas 3. Determinam c′1, c′2 si prin integrare aflam c1, c2.

Pas 4. Solutia particulara este

y(x) = c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x).

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Ecuatia liniara omogenaMetoda coeficientilor nedeterminatiMetoda variatiei constantelor

Rezolvati prin metoda variatiei constantelor

1. y ′′ + y = tan x

2. y ′′ − 2y ′ + y =ex

x

3. y ′′ = y +1

cos x

4. y ′′ + y =1

sin x

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Consideram ecuatia

xny (n) + a1xn−1y (n−1) + . . .+ any = 0. (14)

Facem schimbarea de variabila independenta, pentru x > 0

x = et (15)

Au loc imediat formulele de derivarey ′ =

dydt

dtdx

=dydt

1et =

dydt

1x

y ′′ =d2ydt2

1x2 −

dydt

1x2 .

Procedeul continua. Prin înlocuire în ecuatie se obtine oecuatie cu coeficienti constanti.

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Consideram ecuatia

xny (n) + a1xn−1y (n−1) + . . .+ any = 0. (14)

Facem schimbarea de variabila independenta, pentru x > 0

x = et (15)

Au loc imediat formulele de derivarey ′ =

dydt

dtdx

=dydt

1et =

dydt

1x

y ′′ =d2ydt2

1x2 −

dydt

1x2 .

Procedeul continua. Prin înlocuire în ecuatie se obtine oecuatie cu coeficienti constanti.

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Consideram ecuatia

xny (n) + a1xn−1y (n−1) + . . .+ any = 0. (14)

Facem schimbarea de variabila independenta, pentru x > 0

x = et (15)

Au loc imediat formulele de derivarey ′ =

dydt

dtdx

=dydt

1et =

dydt

1x

y ′′ =d2ydt2

1x2 −

dydt

1x2 .

Procedeul continua. Prin înlocuire în ecuatie se obtine oecuatie cu coeficienti constanti.

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Consideram ecuatia

xny (n) + a1xn−1y (n−1) + . . .+ any = 0. (14)

Facem schimbarea de variabila independenta, pentru x > 0

x = et (15)

Au loc imediat formulele de derivarey ′ =

dydt

dtdx

=dydt

1et =

dydt

1x

y ′′ =d2ydt2

1x2 −

dydt

1x2 .

Procedeul continua. Prin înlocuire în ecuatie se obtine oecuatie cu coeficienti constanti.

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constantiEcuatia Euler- Cauchy

Rezolvati urmatoarele ecuatii Euler

1. x2y ′′ + 3xy ′ + y = 0

2. x2y ′′ − xy ′ − 3y = 0

3. x3y ′′′ − 3x2y ′′ + 6xy ′ − 6y = 0.

Ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti