qMODELE GEOMETRICE, i CINEMATICE SI DINAMICEiota.ee.tuiasi.ro/~mpobor/doc/Cursuri/RICurs2.pdf ·...

1

MODELE GEOMETRICE,

CINEMATICE SI DINAMICE

qi

BAZA

MANIPULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI – CURS 2 2

MODELUL GEOMETRIC AL

ROBOTULUI MANIPULATOR

Sistemul mecanic al unui robot este format dintr-o

configuratie de corpuri rigide, elementele

sistemului, legate intre ele succesiv prin articulatii

de rotatie sau translatie. Pozitiile relative ale

acestor elemente determina pozitia de ansamblu a

bratului mecanic, aceasta pozitie reprezentand de

fapt una dintre conditiile functionale fundamentale

a robotului.


Descrierea unei transformari

intre doua sistemeDescrierea locului ocupat in

spatiu de un corp se face prin

precizarea pozitiei si orientarii

sale fata de un sistem de

referinta.

Sistemul de referinta {B} este

descris in sistemul de

coordonate {A} de catre o

matrice de rotatie R si de

catre vectorul de pozitie P

P

{A}

{B}

PA


Transformari intre doua

sisteme de referinta

P

{A}

{B}

PA

10

TRT

A

BA

B


Sisteme standard definite la nivelul

spatiului de lucru al robotului

qi

BAZA{S}

{B}

{W}{T}

{G}


Sistemul de baza {B}

Este fixat de baza

manipulatorului.

Uneori este notat ca

sistem {0}, fiind fixat

de partea nemiscata a

robotului, numita

uneori si element “0”.

qi

BAZA

{B}


Sistemul de pozitie {S}

{S}

Sistemul de pozitie {S} este

fixat in pozitia cea mai

relevanta a sarcinii. Uneori

acest sistem de coordonate

mai este denumit si sistemul

sarcinii, sau sistem de lucru,

sau sistemul universului.


Sistemul incheieturii {W}

qi

BAZA

{W}

Este fixat de ultimul

element al

manipulatorului


Sistemul sculei {T}

qi

BAZA

{T}

Este fixat la capatul

oricarei scule, sau

dispozitiv efector, pe

care robotul le

manevreaza. Cand

apucatorul este gol,

acest sistem este

localizat, uzual, in

varful degetului

robotului.


Sistemul scopului (telului) {G}

{G}

Sistemul scopului {G}

descrie drumul pe care

robotul misca unealta din

apucator. In faza finala, acest

sistem trebuie sa coincida cu

sistemul sculei {T}.


Modelul geometric direct

qi

BAZA

{Piesa}P

l1

l2

l3

q1

q2

Modelul geometric direct reprezinta in

fapt o problema de geometrie statica

pentru calculul pozitiei si orientarii

efectorului robotului.



qi

BAZA

{Piesa}P

l1

l2

l3

q1

q2

Date fiind variabilele articulatie qi

(unghiuri pentru articulatii de rotatie si

distante di pentru articulatii prismatice),

modelul geometric direct rezolva problema

calculului pozitiei si orientarii sistemului

de coordonate legat de scula, relativ la

sistemul de baza.



qi

BAZA

{Piesa}P

l1

l2

l3

q1

q2

PT)q(T)q(TPscula2

scula2

1

21

baza

1

Baza

P)q,...,q,q,q(KPscula

n321

Baza

Sau, in general:

n -nr. gradelor de libertate

qi- variabile articulatie

K- matrice de transformare,

dependenta de qi si

dimensiuni geometrice li.


Model geometric direct pentru

robot planar

x

Y

O

l1

l2

P(xp,yp)

q1

q2

Modelul geometric direct se scrie:

Xp=l1*cos(q1)+l2*cos(q1+q2)

Yp=l1*sin(q1)+l2*sin(q1+q2)

Zp=0


Exemplu robot SCARA


Modelul geometric invers

Daca pentru modelul geometric direct se

punea problema gasirii pozitiei punctului

caracteristic cunoscand variabilele articulatie,

in acest caz, se doreste determinarea

variabilelor articulatie impunand pozitia si

orientarea efectorului robotului (de exemplu

doresc ca efectorul sa urmareasca o traiectorie

si caut sa aflu ce unghiuri vor trebui realizate in

articulatii de catre sistemul de actionare).


Modelul geometric inversEcuatia de rezolvat:

K(variabile articulatie) = K constanta impusa

• Relatia contine un set de ecuatii neliniare, direct legate de

complexitatea robotului.

• Nu exista metode sigure de rezolvare a unor astfel de ecuatii

• Pentru un sistem cu “n” ecuatii liniare cu “n” necunoscute pot exista

solutii pentru toate necunoscutele, pot sa nu existe solutii pentru toate

necunoscutele, sau pot exista familii continue de solutii.


Modelul geometric invers

• Toate sistemele cu articulatii de rotatie sau

translatie, avand un total de 6 grade de libertate intr-

un singur lant serial, sunt rezolvabile. Dar aceasta

solutie generala este de tip numeric.

• O conditie suficienta pentru ca un manipulator cu

6 articulatii de rotatie sa aiba o solutie analitica este

ca trei axe articulatie de rotatie, vecine, sa se

intersecteze intr-un punct.

Din studiul cinematicii robotilor rezulta:


Exemplu: model geometric

invers pentru robot planar

x

Y

O

l1

l2

P(xp,yp)

q1

q2


Xp=l1*cos(q1)+l2*cos(q1+q2)

Yp=l1*sin(q1)+l2*sin(q1+q2)

Rezolvarea urmareste gasirea

unghiurilor articulatie qi

daca se cunosc Xp si Yp.




x

Y

O

l1

l2

P(xp,yp)

q1

q2

Se trece in coordonate polare

r

u1

2

P

2

P yxr

12 uq




x

Y

O

l1

l2

P(xp,yp)

q1

q2

Din teorema cosinusurilor

r

u1

21

22

2

2

11

ll2

rllarccosu

21

2

P

2

P

2

2

2

12

ll2

yxllarccosq




x

Y

O

l1

l2

P(xp,yp)

q1

q2

Daca u1 este diferit de 0 atunci exista

2 valori distincte ale lui q2, deci doua

configuratii posibile in spatiu ale

elementelor robotului

r

u1

2

P

2

P yxr

12 uq




x

Y

O

l1

l2

P(xp,yp)

q1

q2

r

u1

u2

u3

Gasire q1:

3u2uq1

rl2

lrlarccos

x

yarctgq

1

2

2

22

1

P

P1




x

Y

O

l1

l2

P(xp,yp)

q1

q2

Solutii complete

r

rl2

lrlarccos

x

yarctgq

1

2

2

22

1

P

P1

21

2

P

2

P

2

2

2

12

ll2

yxllarccosq

rl2

lrlarccos

x

yarctgq

1

2

2

22

1

P

P1

21

2

P

2

P

2

2

2

12

ll2

yxllarccosq




Observatii:

• Daca punctul P tinta este ales in afara spatiului de lucru, atunci

r>l1+l2 si nu exista nici o solutie

• Daca r=l1+l2 atunci exista o singura solutie

• Daca r<l1+l2 atunci exista solutii multiple

• Modelul geometric poate fi utilizat in controlul pe traiectorie,

dar nu prezinta nici o facilitate legata de controlul vitezelor de

deplasare ale robotului manipulator.


Modelul cinematic

Problemele modelului geometric:

• neliniaritatea relatiilor {Xp,Yp,Zp}=f(qi), i=1,…,n

• cu acest model nu se pot controla vitezele de

deplasare ale robotului manipulator

Modelul cinematic pune in relatie vitezele de

rotatie si translatie ale punctului caracteristic

in raport cu sistemul de baza.

Modelul cinematic


Cinematica Directa

Cinematica Inversa

Cinematica directa

Cinematica inversa

Pozitia si orientarea

efectorului

Variabile

articulatie

),,( 21 nqqqq

x

z

),,,,,( zyxY

y


Obtinerea modelului cinematic

Prin diferentierea relatiilor care definesc modelul geometric:

)q,q,q(f

)q,q,q(f

)q,q,q(f

dt

d

z

y

x

dt

d

3213

3212

3211

P

P

P

• qi-variabile articulatie;

• {xp, yp, zp}- coordonate punct caracteristic


Obtinerea modelului cinematicSe obtine:

• J – matrice Jacobian;

3

2

1

P

P

P

q

q

q

J

z

y

x

...qJqJx 212111

Interpretare fizica: relatia

arata modul in care fiecare

viteza dintr-o articulatie

(spatiul articulatiilor)

contribuie la viteza finala a

manipulatorului in spatiul

sarcinii (spatiu operational).


Matricea Jacobian – caz

general

n

3

2

3

1

3

n

2

2

2

1

2

n

1

2

1

1

1

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

J

n - numarul gradelor de libertate


Exemplu: robot planar

Obtinere matrice Jacobian

x

Y

O

l1

l2

P(xp,yp)

q1

q2


Xp=l1*cos(q1)+l2*cos(q1+q2)=f1(q1,q2)

Yp=l1*sin(q1)+l2*sin(q1+q2)=f2(q1,q2)

Zp=0




?q

f

?q

f

)qqsin(lq

f

)qqsin(l)qsin(lq

f

2

2

1

2

212

2

1

21211

1

1




00

)qqcos(l)qqcos(l)qcos(l

)qqsin(l)qqsin(l)qsin(l

J 21221211

21221211


Implicatiile matricii Jacobian

! – apreciere a modului in care erorile in variabilele

articulatie qi se transmit la nivelul efectorului

qJX

! Transformarea este neliniara => efectul erorilor va fi

diferit pentru diferite pozitii


Exemplu – robot planar

x

Y

O

l1

l2

P(xp,yp)

q1

q2

Pozitia 1: q1=30 grade; q2=60 grade

cm0151.0y

cm0262.0x

1.0q

1.0q

P

P

o

2

o

1

Pozitia 2: q1=45 grade; q2=30 grade

cm0169.0y

cm0292.0x

1.0q

1.0q

P

P

o

2

o

1


Utilizarile matricii Jacobian

1. Determinarea singularitatilor

2. Legatura cupluri articulatie –

forte efector

3. Conducerea robotului


Utilizarile matricii JacobianDeterminarea singularitatilor

Singularitatile sunt puncte in care robotul isi

pierde un grad de libertate “instantaneu” =>

efectorul robotului nu se poate misca pe o directie.

det(J)=0 => l1*l2*sin(q2)=0 => q2=0 grade sau

q2=180 grade

Atingerea singularitatilor => scaderea performantelor

robotului prin scaderea manevrabilitatii


Utilizarile matricii JacobianLegatura cupluri articulatie-forte

efector

Atingerea singularitatilor => exista directii in care

efectorul robotului nu poate exercita forte statice.

FJT


Utilizarile matricii JacobianConducerea robotului

Problema conducerii: “Se dau variatii impuse

ale coordonatelor operationale (pozitii si viteze

ale efectorului) si se cer variatiile coordonatelor

generalizate corespunzatoare (qi, dqi/dt).

Formularea conduce la relatia:

x)q(Jq1



Problema calculului matricei Jacobian J:

dificultate legata de faptul ca J este foarte rar o

matrice patrata.

xJJJq

q)q(JJxJJq)q(Jx

T1T

TTT

J matricii rsapseudoinve - JJJ

patratica matrice - JJ

T1T

T



f(q)

Sistem de

actionareJ-1(q)

xdi +

-

xi

qi

Δxi Δqi



xdi- multimea punctelor traiectoriei dorite

Xi- obtinute pe baza modelului geometric direct

J(qi)- recalculata la fiecare pas de operare

Avantaj- simplitatea legii de conducere, modelul cinematic

diferential fiind un model liniar.

Dezavantaj-efort mare de calcul cerut de calculul inversei

matricei Jacobian.


Modelul dinamic

• Modelele geometrice si cinematice pornesc

de la premisa ca pentru orice configuratie

obtinuta de robot este atinsa o stare de

echilibru.

• Aceste modele devin putin reprezentative la

viteze si acceleratii mari, cand fortele de

inertie, centrifugale si de cuplaj, capata marimi

semnificative.


Modelul dinamic

Modelul dinamic este reprezentat analitic

printr-un sistem de ecuatii diferentiale care

definesc legaturile care apar intre coordonatele

generalizate “qi” si derivatele lor, si fortele

care actioneaza asupra fiecarui element al

configuratiei mecanice.


Deducerea modelului dinamic

Metoda Lagrange – se defineste Lagrangianul

L = Energia Cinetica - Energia potentiala

Ecuatiile sistemului dinamic devin:

n1,2,...,i , F

q

L

q

L

dt

di

ii



Notatii:

n – nr. gradelor de libertate

qi – coordonate generalizate

dqi/dt – viteze generalizate

Fi – forte generalizate ( pentru articulatii de translatie

este o forta, iar pentru cele de rotatie este un cuplu)



Etape de calcul:

- determinarea energiei potentiale in functie de

coordonatele generalizate;

- determinarea energiei cinetice in functie de

coordonatele generalizate;

- calculul derivatelor partiale ale Lagrangianului;

- legarea derivatelor partiale calculate in modelul

dinamic, conform ecuatiilor Lagrange.


Modelul dinamic

Forma finala a modelului dinamic:

)q(G)q,q(Vq)q(M

M - matricea maselor elementelor robotului

V – vectorul termenilor centrifugali si Coriolis

G – matricea termenilor gravitatiei


Bibliografie

1. Murray R.M et al. “ A mathematical introduction to

robotic manipulation”, CRC Press, London, 1994.

2. Craig J.J. “Introduction to robotics mechanics &

control” Wesley Publishing Company,

Massachusetts, 1986.

3. Ivanescu I. – “Roboti Industriali” Editura

Universitaria, Craiova 1994.

4. Poboroniuc M., “Controlul robotilor. Controlul

miscarii umane prin stimulare electrica functionala”,

Editura Politehnium, Iasi, 2004.

qMODELE GEOMETRICE, i CINEMATICE SI DINAMICEiota.ee.tuiasi.ro/~mpobor/doc/Cursuri/RICurs2.pdf ·...

Documents

Transcript of qMODELE GEOMETRICE, i CINEMATICE SI DINAMICEiota.ee.tuiasi.ro/~mpobor/doc/Cursuri/RICurs2.pdf ·...