Ministerul Educaiei Naionale

Centrul Naional de Evaluare i Examinare

Prob scris la matematic M_mate-info Model

Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic

Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic

Pagina 1 din 1

Examenul de bacalaureat naional 2015

Proba E. c)

Matematic M_mate-info

Model Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic

Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. I. FELADAT (30 pont)

5p 1. Adott a 1z i= + komplex szm. Szmtsd ki: ( )21z . 5p 2. Igazold, hogy ( )1 2 1 23 4 3x x x x+ = , ha 1x s 2x az 2 5 3 0x x + = egyenlet gykei. 5p 3. Oldd meg a 4 3 2 2 0x x + = egyenletet a vals szmok halmazn! 5p 4. Szmtsd ki annak a valsznsgt, hogy a ktjegy termszetes szmok halmazbl

vletlenszeren kivlasztott szm 13mal oszthat legyen!

5p 5. Az xOy koordinta-rendszerben adott az 3 4y x= + egyenlet d egyenes s az ( )1,0A pont. Hatrozd meg az A ponton tmen, d -vel prhuzamos egyenes egyenlett!

5p 6. Szmtsd ki az ABC hromszg kr rhat kr sugart, ha 12AB = s 6

C= .

II. FELADAT (30 pont)

1. Adott az ( )1 1 1

0 1

2 2 3

A a a a

a a

= + + +

mtrix, ahol a vals szm.

5p a) Szmtsd ki: ( )( )det A a . 5p b) Hatrozd meg az n termszetes szmot, ha teljesl a ( ) ( ) ( )22 6A n A n A = egyenlsg!

5p c) Igazold, hogy vgtelen sok ( )3,1X M mtrix ltezik, amelyre teljesl ( )0

2015 00

A X =

.

2. Adott az 3 3f X mX= + polinom, ahol m vals szm.

5p a) Ha 2m = igazold, hogy ( )1 0f = . 5p b) Hatrozd meg az m vals szmot tudva, hogy az f polinom oszthat 1X + -gyel! 5p c) Igazold, hogy brmely m szigoran pozitv vals szm esetn az f polinomnak van kt, egyenl

modulusz gyke!

III. FELADAT (30 pont)

1. Adott az :f , ( ) 1

x

xf x

e x

+=

fggvny.

5p a) Szmtsd ki: ( )f x , x . 5p b) Hatrozd meg az f fggvny grafikus kpnek 0 0x = abszcisszj pontjban, az f fggvny

grafikus kphez hzott rint egyenlett!

5p c) Szmtsd ki a ( )limx

f x+

hatrrtket!

2. Adott az :f , ( )2

1

4f x

x=

+ fggvny.

5p a) Szmtsd ki: ( )2

2

0

f x dx .

5p b) Igazold hogy az f brmely primitv fggvnye nvekv fggvny en!

5p c) Brmely nulltl klnbz n termszetes szm esetn tekintsk az ( )1

0

nnI x f x dx= szmot.

Igazold, hogy ( ) 25 4 1n nnI n I = brmely n , 3n termszetes szm esetn!