Post on 20-Jan-2020
INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ
OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ , CLASA a V - a
22 FEBRUARIE 2014
SUBIECTUL I
a). Pe un stadion intră la un meci un număr de persoane după următoarea regulă: în
primul minut de la deschiderea stadionului, intră o persoană, în al doilea minut intră dublul numărului de personae din primul minut plus încă o persoană, regula se menţine, adică în minutul k+1 intră dublul numărului de persoane din minutul k plus încă o persoană, k .
Câte personae au intrat după şapte minute?
b). Se dă şirul 1,3,7,15,31,63,….. Arătaţi că dacă n este termenul de pe locul 201 al şirului
atunci numărul n+1 este cub perfect.
SUBIECTUL II
a) Împărţind numărul natural a la numărul natural b se obţine câtul 14 şi restul 18. Dacă diferenţa dintre numerele a şi a-3b este egală cu 135, arătaţi că numărul 2a este pătrat
perfect. Gazeta matematica
b) Câte numere de trei cifre împărţite la un număr natural b dau câtul 14 şi restul 18..
Calculaţi suma lor.
SUBIECTUL III
Numărul natural are suma cifrelor egale cu 27. Arătaţi ca numărul +
se divide cu 297. Gazeta matematica
SUBIECTUL IV
a) Scrieţi numărul ca o sumă de două pătrate perfecte nenule.
b) Arătaţi că numărul poate fi scris ca o sumă de două pătrate perfecte.
c) Dacă x,y,t sunt numere naturale nenule cu proprietatea + = atunci arătaţi că
oricare ar fi k există a şi b numere naturale nenule, astfel încât = + .
BAREM CLASA A V-A
SUBIECTUL I
a) In primul minut o persoana
In al doilea minut 2 × 1+1=3 persoane
In al treilea minut 2 × 3+1=7 persoane
In al patrulea minut 2 × 7+1=15 persoane
In al cincilea minut 2 × 15+1=31 persoane
In al saselea minut 2 × 31+1=63 persoane
In al saptelea minut 2 × 63+1=127 persoane 2 puncte
Dupa sapte minute intra 1+3+7+15+31+63+127=247 persoane 1punct
b) =1
=2 × 1+1=3
=2 × (2+1)+1= +2+1
=2 × ( +2+1)+1= +2+1 1punct
………………………………………… ………………………………….
= =n } 2 puncte
Deci n= => n+1=
n+1= = = cub perfect } 1 punct
SUBIECTUL II
a=b × 14+18
a-3b=b × 11+18
a-(a-3b)=b × 14+18-(b × 11+18)
=3b=135
=> b=45 } 1 punct
a=b × 14+18
=45 × 14+18 = 648 = × } 1 punct
2a= × = × =p.p } 1 punct
SUBIECTUL III
a) a+b+c+d=27
= 1001a + 110b + 110c + 1001d (1) } 2 punct
} 1 punct
si inlocuire in relatia (1) adica
= 1001(a+d) + 110[27-(a+d)]
= 891(a+d) + 110 × 27 } 2 puncte
891=297 × 3 297
110 × 27 297 } 1 punct
=> 297 } 1 punct
SUBIECTUL IV
a) =169=144+25= } 1 punct
b) × × = ×
= × ( + × } 2 puncte
=(12 × + (5 ×
= } 1 punct
c) = × = × } 1 punct
= × ×
= × + × } 1 punct
= unde a= ×
b= × } 1 punct
INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ
OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ , CLASA a VI - a
22 FEBRUARIE 2014
SUBIECTUL I
a) Demonstrați că pentru orice k și n numere naturale.
b) Determinați numărul natural nenul n pentru care
Supliment Gazeta Matematică /2013
SUBIECTUL II
a) Aflați numărul divizorilor naturali ai numărului care sunt multiplii pentru
numărul .
b) Arătați că numărul este număr natural pentru orice n
număr natural nenul .
Supliment Gazeta Matematică 3/2013
SUBIECTUL III
Fie punctul O mijlocul unui segment de dreaptă [AB] . Pe semidreapta (OA
se consideră un punct E astfel încât . Aflați lungimea segmentului AB
știind că EO = 6 cm.
SUBIECTUL IV
Se consideră trei puncte A , B , C astfel încât . Fie D și E de o parte și
de alta a dreptei AC și (BM , (BN bisectoarele unghiurilor și respectiv .
Știind că semidreptele (BM și (BN sunt opuse , demonstrați că punctele D , B , E sunt
coliniare.
Barem de corectare CLS VI
SUBIECTUL I
a) Demonstrați că pentru orice k și n numere naturale.
b) Determinați numărul natural nenul n pentru care
SOLUȚIE PUNCTAJ
2p
2p
1p
2p
SUBIECTUL II
a) Aflați numărul divizorilor naturali ai numărului care sunt multiplii pentru
numărul .
b) Arătați că numărul este număr natural pentru orice n
număr natural nenul .
SOLUȚIE PUNCTAJ
20 40225 15=
51 20 11 11 1115 : 225 15 3 5= = ×
Multiplii lui4015 × , divizori ai lui
5115 sunt de forma „4015 × divizori ai lui
1115 ”, in numar
de
(11 1) (11 1) 144+ × + =
1p
1p
1p
a) 1p
, 1p
2p
SUBIECTUL III
Fie punctul O mijlocul unui segment de dreaptă [AB] . Pe semidreapta (OA
se consideră un punct E astfel încât . Aflați lungimea segmentului AB
știind că EO = 6 cm.
Problema are două cazuri : 1p
CAZUL I :
SOLUTIE PUNCTAJ
Din
Cum punctul O este mijlocul segmentului
1p
1p
1p
CAZUL II :
SOLUȚIE PUNCTAJ
Din .
Cum punctul O este mijlocul segmentului
1p
1p
1p
SUBIECTUL IV
Se consideră trei puncte A , B , C astfel încât . Fie D și E de o parte și
de alta a dreptei AC și (BM , (BN bisectoarele unghiurilor și respectiv .
Știind că semidreptele (BM și (BN sunt opuse , demonstrați că punctele D , B , E sunt
coliniare.
SOLUȚIE PUNCTAJ
(BM bisectoarea
(BN bisectoarea
Punctele A , B , C coliniare rezultă că
(BM și (BN semidrepte opuse deci ,
.
Finalizare , punctele D , B , E coliniare.
1p
1p
1p
2p
1p
1p
INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ
OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ , CLASA a VII - a
22 FEBRUARIE 2014
SUBIECTUL I
(4p) a) Calculaţi: x= ÷ø
öçè
æ++++-÷
ø
öçè
æ++++
99
1...
3
1
2
11
1089
110...
33
14
22
13
11
12;
(3p)b)Calculaţi: y= ÷ø
öçè
æ
·++
·+
·+
· 10049
1...
83
1
62
1
41
1;
SUBIECTUL II
(7p)Arătaţi că dacă numerele raţionale a şi b indeplinesc simultan condiţiile:
i) a+b < 4 şi ii) ab-2a -2b+4 > 0, atunci a < 2 şi b < 2.
SUBIECTUL III
(7p)Se consideră triunghiul ABC, AE bisectoarea Ð BAC , astfel incat [AE] º [EC]. Aflaţi
măsura Ð ABC dacă AC=2AB.
SUBIECTUL IV
In triunghiul ABC, m(ÐABC)=2m(ÐACB ) şi AD^BC , (DÎBC). Punctele E şi C sunt situate de
o parte şi de alta a dreptei AB astfel incat BE^AE şi ÐEAB º ÐACB. Bisectoarea unghiului
AED intersectează dreapta AC in M. Dacă {H} =AE Ç BC, arătaţi că:
(3p)a) triunghiurile BHA si AHC sunt isoscele ;
(2p)b) MCDE este paralelogram ;
(2p)c) Perimetrul paralelogramului MCDE este egal cu al triunghiului ABC.
(Gazeta matematică)
BAREM CLASA A VII-A
SUBIECTUL I
a) 11 11 1;22 11 2,...,1089 11 99= × = × = × (1p); 12 1 13 1 1 110 1 1
1 , ,...,11 11 22 2 11 1089 99 11- = - = - =
(2p); 1
99 311× = (1p);
b) 1 1 1 1
( ... )2 1 2 2 3 49 50
y = + + +× × ×
(1p); 1 1 1 1 1 1 1
( .... )2 1 2 2 3 49 50
y = - + - + + - (1p); 49
100y =
(1p)
SUBIECTUL II
2 2 4 ( 2) 2( 2) ( 2)( 2)ab a b a b b a b- - + = - - - = - - (2p);
( 2)( 2) 0 " 2 0, 2 0"a b a b- - > Þ - > - > sau " 2 0, 2 0"a b- < - < (2p);
i) 2, 2 4a b a b> > Þ + > , imposibil (1p);
ii) 2, 2 4a b a b< < Þ + < (1p); finalizare (1p).
SUBIECTUL III
Duc EF AC^ (2p); EACEAC este isoscel (1p); [ ] [ ] [ ]EF FC FAÞ º º (1p);
[ ] [ ]2
ACAB EF AB= Þ º (1p); ( . . )ABE AFE LU Lº ( . .ABE AFE( . .( (1p); ( ) 90m B =) 90 (1p).
SUBIECTUL IV
a) ( )m C x= ( ) 90 2m BAD xÞ = - si ( ) 90m CAD x= - (1p);
: ( ) ( ) ( ) 180 ( )AHC m AHC m HCA m CAH m AHC x+ + = Þ =0 ( ) x0 ( ))0 ( )0 ( )0 (: (AHC : (: ( (1p); deci BHABHA si
AHCAHC sunt isoscele (1p);
b) DEmediana in [ ] [ ]DAH DE AE EADÞ º Þ[ ] [ ]DAH DE AE EAD[ ] [ ][ ] [ ]Þ Þ[ ] [ ]DE AEDE AE[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ isoscel, EG bisectoare
EG ADÞ ^ si DC AD^ EG DCÞ DC (1p);
[ ] [ ] ( ) ( )DE HE m EDB x m C DE MCº Þ = = Þ((( MC (1p);
c) EM linie mijlocie in [ ] [ ]AHC AM MCÞ ºAHC ; MCDE paralelogram
[ ] [ ],[ ] [ ]MC DE ME CDÞ º º ;
2 2
ABC
DCME
P AB BC AC AB BD DC MC MA
BH BD DC MC MA
HD DC MC MC DC MC P
= + + = + + + + =
+ + + + =
+ + + = + =
ABCP ABC
(2p)
INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ
OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ , CLASA a VIII - a
22 FEBRUARIE 2014
SUBIECTUL I
a) Daca , , ,a b A BÎ astfel incat 1a A= + si 1b B= + , atunci demonstrati ca:
2 2 22 2 ( ) 2
2
A B A Ba b a b ab
- + + -+ - - - =
b) Determinati toate perechile ( , )x y de numere intregi nenule pentru care
2 2x y x y xy+ = + +
Prelucrare GM/2013
SUBIECTUL II
a) Pentru orice y*
Î*
, demonstrati ca:
32
2 2
1 1 ( 1)( 1)y yy y
y y y
- -+ - - =
b) Fie , ,0a b a bÎ Î < <, ,0b a b, ,0,b aa, ,0,, , si expresia ( ) , { , }x a b x
E x x a bb x x a
- -= + Î -
- -{ , }{ ,{ ,
Demonstrati ca i) 2
( ) ( )2
ab a bE Ea b
+>
+; ii)
2( ) ( )ab
E E aba b
>+
SUBIECTUL III
Se considera cubul ' ' ' 'ABCDABC D si , ,M N Pmijloacele segmentelor [ ],[ ]AB BC
respectiv ' '[ ]C D .
a) Demonstrati ca ' '( ) ( )MNP ABC' '( )' '(( ' '' '
; b) Daca AB a= , calculati ( , )d P MN .
SUBIECTUL IV
Pe planul triunghiului ABC , cu , 2AB AC a BC a= = = , se ridica perpendiculara DC ,
astfel incat DC a=
a) Calculati [ (( ), ( ))]m DAC DBC[ (( ),[ (( )[ (( ),[ (( ), ; b) Daca M si E sunt mijloacele segmentelor [ ]BC
respectiv [ ]DA , demonstrati ca punctul M este egal departat de punctele , ,A B C
si E ; c) Determinati ( ( , ))tg AC BD( (( ( ,( , .
BAREM CLASA A VIII-A
SUBIECTUL I
a) Inlocuire si calcul direct (2p); b) Daca ( , )x y este o solutie a ecuatiei, atunci exista si
sunt unice ,X Y Î , astfel incat 1, 1x X y Y= + = + . Cf. a) avem echivalentele
2 2 22 2 2 2 2 2 2( ) 2
0 0 ( )2
X Y X Yx y x y xy x y x y xy X Y X Y
- + + -+ = + + Û + - - - = Û = Û - + +
2= (2p); 2 2 2(( ) , , ) {(0,1,1), (1,0,1), (1,1,0)}X Y X Y- Î (2p); ( , ) {(1,2),(2,1),(2,2)}x y Î
(1p)
SUBIECTUL II
a)
32
2 2
1 1 ( 1)( 1)...
y yy y
y y y
- -+ - - = = (1p)
b) i) ( ) ... 22
a bE
+= = (1p);
2( )ab a b
Ea b b a
= ++
(1p);
22 ( )( ) ( ) 0
2
ab a b a bE Ea b ab
+ -- = >
+
(1p)
ii) ( )a b
E abb a
= + (1p); Daca 0 a b< < , fie a
yb
= . Atunci 0 1y< < si, tinand
seama de a), avem:
32
2 2
2 1 1 ( 1)( 1)( ) ( ) 0ab y y
E E ab y ya b y y y
- -- = + - - = >
+(2p).
SUBIECTUL III
a) MN ACAC si ' 'AC AC' 'AC' '' '
(' 'ACC A paralelogram)
' 'MN ACÞ' 'AC' '' '
(1p); 'MP BC 'BC (1p);
' '( ) ( )MNP ABC' '( )' '(( ' '' '(1p);
b) Fie Q mijlocul [ ]CD ; ' ( )PQ CC PQ ABCÞ ^'CC P'' PP (1p); CQNCQN si BNMBNM sunt
dreptunghice si isoscele deci ( ) 90m MNQ =( )( )( ) (1p); ( , )d P MN PN= (teorema celor
trei perpendiculare) (1p); 2
2
aQN = ,
6
2
aPQ a PN= Þ = (1p).
SUBIECTUL IV
a) , [ (( ),( ))] ( )AC BC DC m DAC DBC m BCA^ Þ =[ (( ),( ))] ( )[ (( ),( ))] ( )[ (( ),( ))] ( )[ (( ),( ))][ (( ),( ))],( ))] (1p);
ABCABC este isoscel si dreptunghic in A ( ) 45m BCA =( ) 4(( (1p);
b) [ ]AM este mediana in ABCABC , dreptunghic in A2
2
aMA MB MCÞ = = = (0,5p);
, ( )AM BC AM DC AM DBC^ ^ Þ ^ (1p); [ ]ME este mediana in DMADMA,
dreptunghic in M 2
2 2
AD aDM = = (0,5p);
c) Fie P mijlocul lui [ ]AB . Se demonstreaza ca:
, ( , ) ( )PM AC PE BD m AC BD m EPMÞ =, ( , ) ( )AC, ( , ) (, ( , ) (( , )( , )( , ) (1p);
33, ,
2 2
a aBD a PE PM= = = si, cum
2
2
aME MEP= Þ MEP este dreptunghic in M
(1p); 2tg EPM =tg EPM = (1p).