INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ

OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ

ETAPA LOCALĂ , CLASA a V - a

22 FEBRUARIE 2014

SUBIECTUL I

a). Pe un stadion intră la un meci un număr de persoane după următoarea regulă: în

primul minut de la deschiderea stadionului, intră o persoană, în al doilea minut intră dublul numărului de personae din primul minut plus încă o persoană, regula se menţine, adică în minutul k+1 intră dublul numărului de persoane din minutul k plus încă o persoană, k .

Câte personae au intrat după şapte minute?

b). Se dă şirul 1,3,7,15,31,63,….. Arătaţi că dacă n este termenul de pe locul 201 al şirului

atunci numărul n+1 este cub perfect.

SUBIECTUL II

a) Împărţind numărul natural a la numărul natural b se obţine câtul 14 şi restul 18. Dacă diferenţa dintre numerele a şi a-3b este egală cu 135, arătaţi că numărul 2a este pătrat

perfect. Gazeta matematica

b) Câte numere de trei cifre împărţite la un număr natural b dau câtul 14 şi restul 18..

Calculaţi suma lor.

SUBIECTUL III

Numărul natural are suma cifrelor egale cu 27. Arătaţi ca numărul +

se divide cu 297. Gazeta matematica

SUBIECTUL IV

a) Scrieţi numărul ca o sumă de două pătrate perfecte nenule.

b) Arătaţi că numărul poate fi scris ca o sumă de două pătrate perfecte.

c) Dacă x,y,t sunt numere naturale nenule cu proprietatea + = atunci arătaţi că

oricare ar fi k există a şi b numere naturale nenule, astfel încât = + .

BAREM CLASA A V-A

SUBIECTUL I

a) In primul minut o persoana

In al doilea minut 2 × 1+1=3 persoane

In al treilea minut 2 × 3+1=7 persoane

In al patrulea minut 2 × 7+1=15 persoane

In al cincilea minut 2 × 15+1=31 persoane

In al saselea minut 2 × 31+1=63 persoane

In al saptelea minut 2 × 63+1=127 persoane 2 puncte

Dupa sapte minute intra 1+3+7+15+31+63+127=247 persoane 1punct

b) =1

=2 × 1+1=3

=2 × (2+1)+1= +2+1

=2 × ( +2+1)+1= +2+1 1punct

………………………………………… ………………………………….

= =n } 2 puncte

Deci n= => n+1=

n+1= = = cub perfect } 1 punct

SUBIECTUL II

a=b × 14+18

a-3b=b × 11+18

a-(a-3b)=b × 14+18-(b × 11+18)

=3b=135

=> b=45 } 1 punct

a=b × 14+18

=45 × 14+18 = 648 = × } 1 punct

2a= × = × =p.p } 1 punct

SUBIECTUL III

a) a+b+c+d=27

= 1001a + 110b + 110c + 1001d (1) } 2 punct

} 1 punct

si inlocuire in relatia (1) adica

= 1001(a+d) + 110[27-(a+d)]

= 891(a+d) + 110 × 27 } 2 puncte

891=297 × 3 297

110 × 27 297 } 1 punct

=> 297 } 1 punct

SUBIECTUL IV

a) =169=144+25= } 1 punct

b) × × = ×

= × ( + × } 2 puncte

=(12 × + (5 ×

= } 1 punct

c) = × = × } 1 punct

= × ×

= × + × } 1 punct

= unde a= ×

b= × } 1 punct

INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ

OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ

ETAPA LOCALĂ , CLASA a VI - a

22 FEBRUARIE 2014

SUBIECTUL I

a) Demonstrați că pentru orice k și n numere naturale.

b) Determinați numărul natural nenul n pentru care

Supliment Gazeta Matematică /2013

SUBIECTUL II

a) Aflați numărul divizorilor naturali ai numărului care sunt multiplii pentru

numărul .

b) Arătați că numărul este număr natural pentru orice n

număr natural nenul .

Supliment Gazeta Matematică 3/2013

SUBIECTUL III

Fie punctul O mijlocul unui segment de dreaptă [AB] . Pe semidreapta (OA

se consideră un punct E astfel încât . Aflați lungimea segmentului AB

știind că EO = 6 cm.

SUBIECTUL IV

Se consideră trei puncte A , B , C astfel încât . Fie D și E de o parte și

de alta a dreptei AC și (BM , (BN bisectoarele unghiurilor și respectiv .

Știind că semidreptele (BM și (BN sunt opuse , demonstrați că punctele D , B , E sunt

coliniare.

Barem de corectare CLS VI

SUBIECTUL I

a) Demonstrați că pentru orice k și n numere naturale.

b) Determinați numărul natural nenul n pentru care

SOLUȚIE PUNCTAJ

2p

2p

1p

2p

SUBIECTUL II

a) Aflați numărul divizorilor naturali ai numărului care sunt multiplii pentru

numărul .

b) Arătați că numărul este număr natural pentru orice n

număr natural nenul .

SOLUȚIE PUNCTAJ

20 40225 15=

51 20 11 11 1115 : 225 15 3 5= = ×

Multiplii lui4015 × , divizori ai lui

5115 sunt de forma „4015 × divizori ai lui

1115 ”, in numar

de

(11 1) (11 1) 144+ × + =

1p

1p

1p

a) 1p

, 1p

2p

SUBIECTUL III

Fie punctul O mijlocul unui segment de dreaptă [AB] . Pe semidreapta (OA

se consideră un punct E astfel încât . Aflați lungimea segmentului AB

știind că EO = 6 cm.

Problema are două cazuri : 1p

CAZUL I :

SOLUTIE PUNCTAJ

Din

Cum punctul O este mijlocul segmentului

1p

1p

1p

CAZUL II :

SOLUȚIE PUNCTAJ

Din .

Cum punctul O este mijlocul segmentului

1p

1p

1p

SUBIECTUL IV

Se consideră trei puncte A , B , C astfel încât . Fie D și E de o parte și

de alta a dreptei AC și (BM , (BN bisectoarele unghiurilor și respectiv .

Știind că semidreptele (BM și (BN sunt opuse , demonstrați că punctele D , B , E sunt

coliniare.

SOLUȚIE PUNCTAJ

(BM bisectoarea

(BN bisectoarea

Punctele A , B , C coliniare rezultă că

(BM și (BN semidrepte opuse deci ,

.

Finalizare , punctele D , B , E coliniare.

1p

1p

1p

2p

1p

1p

INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ

OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ

ETAPA LOCALĂ , CLASA a VII - a

22 FEBRUARIE 2014

SUBIECTUL I

(4p) a) Calculaţi: x= ÷ø

öçè

æ++++-÷

ø

öçè

æ++++

99

1...

3

1

2

11

1089

110...

33

14

22

13

11

12;

(3p)b)Calculaţi: y= ÷ø

öçè

æ

·++

·+

·+

· 10049

1...

83

1

62

1

41

1;

SUBIECTUL II

(7p)Arătaţi că dacă numerele raţionale a şi b indeplinesc simultan condiţiile:

i) a+b < 4 şi ii) ab-2a -2b+4 > 0, atunci a < 2 şi b < 2.

SUBIECTUL III

(7p)Se consideră triunghiul ABC, AE bisectoarea Ð BAC , astfel incat [AE] º [EC]. Aflaţi

măsura Ð ABC dacă AC=2AB.

SUBIECTUL IV

In triunghiul ABC, m(ÐABC)=2m(ÐACB ) şi AD^BC , (DÎBC). Punctele E şi C sunt situate de

o parte şi de alta a dreptei AB astfel incat BE^AE şi ÐEAB º ÐACB. Bisectoarea unghiului

AED intersectează dreapta AC in M. Dacă {H} =AE Ç BC, arătaţi că:

(3p)a) triunghiurile BHA si AHC sunt isoscele ;

(2p)b) MCDE este paralelogram ;

(2p)c) Perimetrul paralelogramului MCDE este egal cu al triunghiului ABC.

(Gazeta matematică)

BAREM CLASA A VII-A

SUBIECTUL I

a) 11 11 1;22 11 2,...,1089 11 99= × = × = × (1p); 12 1 13 1 1 110 1 1

1 , ,...,11 11 22 2 11 1089 99 11- = - = - =

(2p); 1

99 311× = (1p);

b) 1 1 1 1

( ... )2 1 2 2 3 49 50

y = + + +× × ×

(1p); 1 1 1 1 1 1 1

( .... )2 1 2 2 3 49 50

y = - + - + + - (1p); 49

100y =

(1p)

SUBIECTUL II

2 2 4 ( 2) 2( 2) ( 2)( 2)ab a b a b b a b- - + = - - - = - - (2p);

( 2)( 2) 0 " 2 0, 2 0"a b a b- - > Þ - > - > sau " 2 0, 2 0"a b- < - < (2p);

i) 2, 2 4a b a b> > Þ + > , imposibil (1p);

ii) 2, 2 4a b a b< < Þ + < (1p); finalizare (1p).

SUBIECTUL III

Duc EF AC^ (2p); EACEAC este isoscel (1p); [ ] [ ] [ ]EF FC FAÞ º º (1p);

[ ] [ ]2

ACAB EF AB= Þ º (1p); ( . . )ABE AFE LU Lº ( . .ABE AFE( . .( (1p); ( ) 90m B =) 90 (1p).

SUBIECTUL IV

a) ( )m C x= ( ) 90 2m BAD xÞ = - si ( ) 90m CAD x= - (1p);

: ( ) ( ) ( ) 180 ( )AHC m AHC m HCA m CAH m AHC x+ + = Þ =0 ( ) x0 ( ))0 ( )0 ( )0 (: (AHC : (: ( (1p); deci BHABHA si

AHCAHC sunt isoscele (1p);

b) DEmediana in [ ] [ ]DAH DE AE EADÞ º Þ[ ] [ ]DAH DE AE EAD[ ] [ ][ ] [ ]Þ Þ[ ] [ ]DE AEDE AE[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ isoscel, EG bisectoare

EG ADÞ ^ si DC AD^ EG DCÞ DC (1p);

[ ] [ ] ( ) ( )DE HE m EDB x m C DE MCº Þ = = Þ((( MC (1p);

c) EM linie mijlocie in [ ] [ ]AHC AM MCÞ ºAHC ; MCDE paralelogram

[ ] [ ],[ ] [ ]MC DE ME CDÞ º º ;

2 2

ABC

DCME

P AB BC AC AB BD DC MC MA

BH BD DC MC MA

HD DC MC MC DC MC P

= + + = + + + + =

+ + + + =

+ + + = + =

ABCP ABC

(2p)

INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ

OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ

ETAPA LOCALĂ , CLASA a VIII - a

22 FEBRUARIE 2014

SUBIECTUL I

a) Daca , , ,a b A BÎ astfel incat 1a A= + si 1b B= + , atunci demonstrati ca:

2 2 22 2 ( ) 2

2

A B A Ba b a b ab

- + + -+ - - - =

b) Determinati toate perechile ( , )x y de numere intregi nenule pentru care

2 2x y x y xy+ = + +

Prelucrare GM/2013

SUBIECTUL II

a) Pentru orice y*

Î*

, demonstrati ca:

32

2 2

1 1 ( 1)( 1)y yy y

y y y

- -+ - - =

b) Fie , ,0a b a bÎ Î < <, ,0b a b, ,0,b aa, ,0,, , si expresia ( ) , { , }x a b x

E x x a bb x x a

- -= + Î -

- -{ , }{ ,{ ,

Demonstrati ca i) 2

( ) ( )2

ab a bE Ea b

+>

+; ii)

2( ) ( )ab

E E aba b

>+

SUBIECTUL III

Se considera cubul ' ' ' 'ABCDABC D si , ,M N Pmijloacele segmentelor [ ],[ ]AB BC

respectiv ' '[ ]C D .

a) Demonstrati ca ' '( ) ( )MNP ABC' '( )' '(( ' '' '

; b) Daca AB a= , calculati ( , )d P MN .

SUBIECTUL IV

Pe planul triunghiului ABC , cu , 2AB AC a BC a= = = , se ridica perpendiculara DC ,

astfel incat DC a=

a) Calculati [ (( ), ( ))]m DAC DBC[ (( ),[ (( )[ (( ),[ (( ), ; b) Daca M si E sunt mijloacele segmentelor [ ]BC

respectiv [ ]DA , demonstrati ca punctul M este egal departat de punctele , ,A B C

si E ; c) Determinati ( ( , ))tg AC BD( (( ( ,( , .

BAREM CLASA A VIII-A

SUBIECTUL I

a) Inlocuire si calcul direct (2p); b) Daca ( , )x y este o solutie a ecuatiei, atunci exista si

sunt unice ,X Y Î , astfel incat 1, 1x X y Y= + = + . Cf. a) avem echivalentele

2 2 22 2 2 2 2 2 2( ) 2

0 0 ( )2

X Y X Yx y x y xy x y x y xy X Y X Y

- + + -+ = + + Û + - - - = Û = Û - + +

2= (2p); 2 2 2(( ) , , ) {(0,1,1), (1,0,1), (1,1,0)}X Y X Y- Î (2p); ( , ) {(1,2),(2,1),(2,2)}x y Î

(1p)

SUBIECTUL II

a)

32

2 2

1 1 ( 1)( 1)...

y yy y

y y y

- -+ - - = = (1p)

b) i) ( ) ... 22

a bE

+= = (1p);

2( )ab a b

Ea b b a

= ++

(1p);

22 ( )( ) ( ) 0

2

ab a b a bE Ea b ab

+ -- = >

+

(1p)

ii) ( )a b

E abb a

= + (1p); Daca 0 a b< < , fie a

yb

= . Atunci 0 1y< < si, tinand

seama de a), avem:

32

2 2

2 1 1 ( 1)( 1)( ) ( ) 0ab y y

E E ab y ya b y y y

- -- = + - - = >

+(2p).

SUBIECTUL III

a) MN ACAC si ' 'AC AC' 'AC' '' '

(' 'ACC A paralelogram)

' 'MN ACÞ' 'AC' '' '

(1p); 'MP BC 'BC (1p);

' '( ) ( )MNP ABC' '( )' '(( ' '' '(1p);

b) Fie Q mijlocul [ ]CD ; ' ( )PQ CC PQ ABCÞ ^'CC P'' PP (1p); CQNCQN si BNMBNM sunt

dreptunghice si isoscele deci ( ) 90m MNQ =( )( )( ) (1p); ( , )d P MN PN= (teorema celor

trei perpendiculare) (1p); 2

2

aQN = ,

6

2

aPQ a PN= Þ = (1p).

SUBIECTUL IV

a) , [ (( ),( ))] ( )AC BC DC m DAC DBC m BCA^ Þ =[ (( ),( ))] ( )[ (( ),( ))] ( )[ (( ),( ))] ( )[ (( ),( ))][ (( ),( ))],( ))] (1p);

ABCABC este isoscel si dreptunghic in A ( ) 45m BCA =( ) 4(( (1p);

b) [ ]AM este mediana in ABCABC , dreptunghic in A2

2

aMA MB MCÞ = = = (0,5p);

, ( )AM BC AM DC AM DBC^ ^ Þ ^ (1p); [ ]ME este mediana in DMADMA,

dreptunghic in M 2

2 2

AD aDM = = (0,5p);

c) Fie P mijlocul lui [ ]AB . Se demonstreaza ca:

, ( , ) ( )PM AC PE BD m AC BD m EPMÞ =, ( , ) ( )AC, ( , ) (, ( , ) (( , )( , )( , ) (1p);

33, ,

2 2

a aBD a PE PM= = = si, cum

2

2

aME MEP= Þ MEP este dreptunghic in M

(1p); 2tg EPM =tg EPM = (1p).