Concepte operaţionale BACALAUREAT PROBA SCRISA – SUBIECTUL 1 Limbă şi comunicare
CLASA A V-A Subiectul 1. Subiectul 2.ematematika.ro/wp-content/uploads/2015/08/Subiecte-barem...(3...
Transcript of CLASA A V-A Subiectul 1. Subiectul 2.ematematika.ro/wp-content/uploads/2015/08/Subiecte-barem...(3...
Colegiul Naţional “C. Carabella” Târgoviște Inspectoratul Şcolar Judeţean Dâmboviţa
Societatea de Ştiinţe Matematice din România – Filiala Dâmboviţa
Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011
CLASA A V-A
Subiectul 1. Fie un număr natural care se divide numai cu și cu el
însuși. Aflaţi și cifrele știind că numărul este de ori mai mic
decât numărul
Subiectul 2. Ana și Bebe vor să cumpere o ciocolată care costă lei, dar
niciunul nu are bani suficienţi. Ana constată că dacă Bebe i-ar da o treime din
banii lui, atunci ea poate să cumpere o singură ciocolata. Dar și dacă Ana îi dă lui
Bebe jumătate din banii ei, Bebe poate să cumpere singur ciocolata. Câţi lei are
fiecare copil? Justificaţi răspunsul.
Subiectul 3. Aflaţi ultima cifră a numărului , știind că este astfel
încât niciunul din numerele nu se divide cu
Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 2 ore.
Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011
BAREM DE CORECTARE - CLASA A V-A
Subiectul 1. (1 punct) Oficiu
(2 puncte) Ultima cifră a lui este sau
(2 puncte)
(5 puncte)
Subiectul 2. (1 punct) Oficiu; Ana are lei, Bebe are lei
(1 punct)
(1 punct)
(3 puncte) , folosind eventual metoda figurativă
(1 punct) deci
(1 punct)
(1 punct) Ana are lei
(1 punct) Bebe are lei
Subiectul 3. (1 punct) Oficiu
(5 puncte) se divide cu
(4 puncte) Ultima cifră este zero
Colegiul Naţional “C. Carabella” Târgoviște Inspectoratul Şcolar Judeţean Dâmboviţa
Societatea de Ştiinţe Matematice din România – Filiala Dâmboviţa
Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011
CLASA A VI-A
Subiectul 1. a) Împărţiţi pe rând un pătrat în pătrăţele (nu este
necesar ca pătrăţelele să fie toate egale între ele).
b) Găsiţi o metodă prin care un pătrat dat să se împartă în pătrăţele, nu
neapărat egale între ele, unde este orice număr natural mai mare sau egal cu
Subiectul 2. Fie numerele naturale și notăm
Calculaţi produsul știind că
Subiectul 3. Mulţimea se împarte în grupe astfel:
a) Cu ce număr începe grupa
b) Cu cât este egală suma numerelor din grupa
Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 2 ore.
Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011
BAREM DE CORECTARE - CLASA A VI-A
Subiectul 1. (1 punct) Oficiu
(5 puncte) Câte un punct pentru fiecare împărţire în pătrăţele
(2 puncte) Dacă un pătrat este împărţit în pătrăţele, se alege un pătrăţel care se împarte în
alte pătrăţele. Astfel se obţine o împărţire a pătratului iniţial în pătrăţele
(2 puncte) Pornind de la o împărţire în pătrăţele, aplicăm succesiv regula anterioară pentru a
obţine împărţiri în pătrăţele. Pornind de la obţinem pornind
de la obţinem
Subiectul 2. (1 punct) Oficiu
(2 puncte)
(2 puncte) 3
(2 puncte)
(2 puncte) Calculul corect și
(1 punct) Calculul corect
Subiectul 3. (1 punct) Oficiu
(4 puncte) a)
(5 puncte) b)
Colegiul Naţional “C. Carabella” Târgoviște Inspectoratul Şcolar Judeţean Dâmboviţa
Societatea de Ştiinţe Matematice din România – Filiala Dâmboviţa
Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011
CLASA A VII-A
Subiectul 1. Într-un triunghi ascuţitunghic sunt înălţimi, iar
sunt mediane. Demonstraţi că
Subiectul 2. Aflaţi cifrele știind că
Subiectul 3. Rezolvaţi ecuaţia
Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 2 ore.
Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011
BAREM DE CORECTARE - CLASA A VII-A
Subiectul 1. (1 punct) Oficiu
(2 puncte) , etc
(3 puncte) , etc
(3 puncte) , etc
(1 punct) Finalizare
Subiectul 2. (1 punct) Oficiu
(3 punct) Prin ridicare la pătrat, este pătrat perfect, apoi este pătrat perfect
(3 punct) deci
(3 punct) Prin verificare
Subiectul 3. (1 punct) Oficiu
(3 puncte) soluţie
(3 puncte) Dacă membrul stâng > 1+1 > membrul drept
(3 puncte) Dacă membrul stâng < 1+1 < membrul drept
Colegiul Naţional “C. Carabella” Târgoviște Inspectoratul Şcolar Judeţean Dâmboviţa
Societatea de Ştiinţe Matematice din România – Filiala Dâmboviţa
Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011
CLASA A VIII-A
Subiectul 1. Tetraedrul are vârfurile pe muchiile tetraedrului regulat
de lungime și are cinci muchii de lungime . Demonstraţi că
sunt mijloacele unor muchii ale tetraedrului
Subiectul 2. Rezolvaţi în numere naturale ecuaţia
Subiectul 3. Fie o mulţime finită de numere raţionale pozitive, neîntregi cu
proprietatea că oricum am alege cinci elemente din există două cu produsul
egal cu Daţi exemplu de o astfel de mulţime care să aibă șapte elemente. Care
este numărul maxim de elemente dintr-o mulţime cu proprietatea de mai sus?
Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 2 ore.
Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011
BAREM DE CORECTARE - CLASA A VIII-A
Subiectul 1. (1 punct) Oficiu
(2 puncte) nu pot fi pe două perechi de muchii opuse, deoarece
(1 punct) Presupunem și
(3 puncte) Cu teorema cosinusului se formează sistemul și analoagele
(3 puncte) Rezolvă sistemul cu
Subiectul 2. (1 punct) Oficiu
(4 puncte) ,
(2 puncte) , deci
(3 puncte) divide și finalizare
Subiectul 3. (1 punct) Oficiu
(4 puncte)
(5 puncte) are cel mult 8 elemente
Colegiul Naţional “C. Carabella” Târgoviște Inspectoratul Şcolar Judeţean Dâmboviţa
Societatea de Ştiinţe Matematice din România – Filiala Dâmboviţa
Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011
CLASA A IX-A
Subiectul 1. Fie o funcţie cu proprietatea că este număr prim și
Demonstraţi că apoi determinaţi funcţia
Subiectul 2. Fie cu proprietățile și
Demonstraţi că și
Subiectul 3. Se consideră un paralelogram și punctele
astfel ca mijlocul segmentului care unește mijloacele diagonalelor patrulaterului
coincide cu mijlocul segmentului care unește mijloacele diagonalelor
patrulaterului . Demonstraţi că și
Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 2 ore.
Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011
BAREM DE CORECTARE - CLASA A IX-A
Subiectul 1. (1 punct) Oficiu
(1 punct)
(2 puncte) Cu
(1 punct)
(1 punct)
(2 puncte)
(1 punct) este prim, deci
(1 punct) , deci
Subiectul 2. (1 punct) Oficiu
(2 puncte) Din putem presupune și și au același semn
(2 puncte) Prin absurd și , deci
(3 puncte)
(2 puncte) imposibil
Subiectul 3. (1 punct) Oficiu
(3 puncte)
(3 puncte)
(3 puncte) Finalizare
Colegiul Naţional “C. Carabella” Târgoviște Inspectoratul Şcolar Judeţean Dâmboviţa
Societatea de Ştiinţe Matematice din România – Filiala Dâmboviţa
Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011
CLASA A X-A
Subiectul 1. Arătaţi că
Subiectul 2. Fie două funcţii bijective. Arătaţi că funcţia
definită pentru orice prin formula nu este bijectivă.
Subiectul 3. Fie astfel încât Demonstraţi că
Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 2 ore.
Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011
BAREM DE CORECTARE - CLASA A X-A
Subiectul 1. (1 punct) Oficiu
(3 puncte) se divide cu numai când , deoarece
(2 puncte) În celelalte cazuri, se divide cel mult cu
(2 puncte) nu se divide cu
(2 puncte)
Subiectul 2. (1 punct) Oficiu
(2 puncte) Există astfel încât
(2 puncte) Există astfel încât
(1 punct) ,
(2 puncte)
(2 puncte) Finalizare
Subiectul 3. (1 punct) Oficiu
(1 punct) Cazul
(1 punct) Cazul
(3 puncte) Când
(4 puncte) qed
Colegiul Naţional “C. Carabella” Târgoviște Inspectoratul Şcolar Judeţean Dâmboviţa
Societatea de Ştiinţe Matematice din România – Filiala Dâmboviţa
Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011
CLASA A XI-A
Subiectul 1. Fie șirul cu
a) Calculaţi limita șirului
b) Demonstraţi că șirul este convergent, iar șirul
este divergent.
Subiectul 2. a) Fie un șir care are un subșir convergent la și un subșir
convergent la , iar șirul tinde la zero. Demonstraţi că pentru
orice șirul are un subșir convergent către
b) Daţi exemplu de un care are un subșir convergent la un subșir
convergent la , șirul converge la zero, însă există
pentru care șirul nu are niciun subșir convergent către
Subiectul 3. Fie
a) Determinaţi mulţimea
b) oricare ar fi
c) oricare ar fi
Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 2 ore.
Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011
BAREM DE CORECTARE - CLASA A XI-A
Subiectul 1. (1 punct) Oficiu
(1 punct) descrescător
(1 punct) mărginit
(1 punct) tinde la zero
(2 puncte) tinde la eventual cu lema Cesaro-Stolz, cazul
(1 punct)
(3 puncte) pentru astfel încât (deoarece ), avem
. Deci nu este șir Cauchy.
Subiectul 2. (1 punct) Oficiu
(1 punct) Prin absurd nu are subșir convergent către
(1 punct) Există astfel încât
(1 punct) Consideră mulţimea
(1 punct) este nevidă, infinită, fie
(1 punct) contradicţie cu
(4 puncte) Exemplu:
Subiectul 3. (1 punct) Oficiu
(3 puncte) a)
(3 puncte) b)
(3 puncte) c)
Colegiul Naţional “C. Carabella” Târgoviște Inspectoratul Şcolar Judeţean Dâmboviţa
Societatea de Ştiinţe Matematice din România – Filiala Dâmboviţa
Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011
CLASA A XII-A
Subiectul 1. Fie o funcţie continuă pe , care are limite laterale finite
în zero. Demonstraţi că funcţia , definită prin
admite primitive.
Subiectul 2. Fie , dată prin
Demonstraţi că este bijectivă, este integrabilă și calculaţi
Subiectul 3. Fie un grup și , Demonstraţi că pentru
orice există astfel încât
Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 2 ore.
Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011
BAREM DE CORECTARE - CLASA A XII-A
Subiectul 1. (1 punct) Oficiu
(2 puncte) (cu zero în origine) admite primitive
(4 puncte)
(3 puncte) Finalizare
Subiectul 2.
(1 punct) Oficiu
(2 puncte) injectivitate
(2 puncte) surjectivitate
(2 puncte) efectuează schimbarea sau scrie relaţia lui Young
(3 puncte) obţine
Subiectul 3. (1 punct) Oficiu
(3 puncte) este bijectivă
(3 puncte) este nevidă și fie există
(3 puncte) Finalizare