CLASA A V-A Subiectul 1. Subiectul 2.ematematika.ro/wp-content/uploads/2015/08/Subiecte-barem...(3...

16
Colegiul Naţional “C. Carabella” Târgoviște Inspectoratul Şcolar Judeţean Dâmboviţa Societatea de Ştiinţe Matematice din România – Filiala Dâmboviţa Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu” Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011 CLASA A V-A Subiectul 1. Fie un număr natural care se divide numai cu și cu el însuși. Aflaţi și cifrele știind că numărul este de ori mai mic decât numărul Subiectul 2. Ana și Bebe vor să cumpere o ciocolată care costă lei, dar niciunul nu are bani suficienţi. Ana constată că dacă Bebe i-ar da o treime din banii lui, atunci ea poate să cumpere o singură ciocolata. Dar și dacă Ana îi dă lui Bebe jumătate din banii ei, Bebe poate să cumpere singur ciocolata. Câţi lei are fiecare copil? Justificaţi răspunsul. Subiectul 3. Aflaţi ultima cifră a numărului , știind că este astfel încât niciunul din numerele nu se divide cu Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 2 ore.

Transcript of CLASA A V-A Subiectul 1. Subiectul 2.ematematika.ro/wp-content/uploads/2015/08/Subiecte-barem...(3...

Page 1: CLASA A V-A Subiectul 1. Subiectul 2.ematematika.ro/wp-content/uploads/2015/08/Subiecte-barem...(3 puncte) , folosind eventual metoda figurativă (1 punct) deci (1 punct) (1 punct)

Colegiul Naţional “C. Carabella” Târgoviște Inspectoratul Şcolar Judeţean Dâmboviţa

Societatea de Ştiinţe Matematice din România – Filiala Dâmboviţa

Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”

Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011

CLASA A V-A

Subiectul 1. Fie un număr natural care se divide numai cu și cu el

însuși. Aflaţi și cifrele știind că numărul este de ori mai mic

decât numărul

Subiectul 2. Ana și Bebe vor să cumpere o ciocolată care costă lei, dar

niciunul nu are bani suficienţi. Ana constată că dacă Bebe i-ar da o treime din

banii lui, atunci ea poate să cumpere o singură ciocolata. Dar și dacă Ana îi dă lui

Bebe jumătate din banii ei, Bebe poate să cumpere singur ciocolata. Câţi lei are

fiecare copil? Justificaţi răspunsul.

Subiectul 3. Aflaţi ultima cifră a numărului , știind că este astfel

încât niciunul din numerele nu se divide cu

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 2 ore.

Page 2: CLASA A V-A Subiectul 1. Subiectul 2.ematematika.ro/wp-content/uploads/2015/08/Subiecte-barem...(3 puncte) , folosind eventual metoda figurativă (1 punct) deci (1 punct) (1 punct)

Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”

Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011

BAREM DE CORECTARE - CLASA A V-A

Subiectul 1. (1 punct) Oficiu

(2 puncte) Ultima cifră a lui este sau

(2 puncte)

(5 puncte)

Subiectul 2. (1 punct) Oficiu; Ana are lei, Bebe are lei

(1 punct)

(1 punct)

(3 puncte) , folosind eventual metoda figurativă

(1 punct) deci

(1 punct)

(1 punct) Ana are lei

(1 punct) Bebe are lei

Subiectul 3. (1 punct) Oficiu

(5 puncte) se divide cu

(4 puncte) Ultima cifră este zero

Page 3: CLASA A V-A Subiectul 1. Subiectul 2.ematematika.ro/wp-content/uploads/2015/08/Subiecte-barem...(3 puncte) , folosind eventual metoda figurativă (1 punct) deci (1 punct) (1 punct)

Colegiul Naţional “C. Carabella” Târgoviște Inspectoratul Şcolar Judeţean Dâmboviţa

Societatea de Ştiinţe Matematice din România – Filiala Dâmboviţa

Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”

Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011

CLASA A VI-A

Subiectul 1. a) Împărţiţi pe rând un pătrat în pătrăţele (nu este

necesar ca pătrăţelele să fie toate egale între ele).

b) Găsiţi o metodă prin care un pătrat dat să se împartă în pătrăţele, nu

neapărat egale între ele, unde este orice număr natural mai mare sau egal cu

Subiectul 2. Fie numerele naturale și notăm

Calculaţi produsul știind că

Subiectul 3. Mulţimea se împarte în grupe astfel:

a) Cu ce număr începe grupa

b) Cu cât este egală suma numerelor din grupa

Page 4: CLASA A V-A Subiectul 1. Subiectul 2.ematematika.ro/wp-content/uploads/2015/08/Subiecte-barem...(3 puncte) , folosind eventual metoda figurativă (1 punct) deci (1 punct) (1 punct)

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 2 ore.

Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”

Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011

BAREM DE CORECTARE - CLASA A VI-A

Subiectul 1. (1 punct) Oficiu

(5 puncte) Câte un punct pentru fiecare împărţire în pătrăţele

(2 puncte) Dacă un pătrat este împărţit în pătrăţele, se alege un pătrăţel care se împarte în

alte pătrăţele. Astfel se obţine o împărţire a pătratului iniţial în pătrăţele

(2 puncte) Pornind de la o împărţire în pătrăţele, aplicăm succesiv regula anterioară pentru a

obţine împărţiri în pătrăţele. Pornind de la obţinem pornind

de la obţinem

Subiectul 2. (1 punct) Oficiu

(2 puncte)

(2 puncte) 3

(2 puncte)

(2 puncte) Calculul corect și

(1 punct) Calculul corect

Subiectul 3. (1 punct) Oficiu

(4 puncte) a)

(5 puncte) b)

Page 5: CLASA A V-A Subiectul 1. Subiectul 2.ematematika.ro/wp-content/uploads/2015/08/Subiecte-barem...(3 puncte) , folosind eventual metoda figurativă (1 punct) deci (1 punct) (1 punct)

Colegiul Naţional “C. Carabella” Târgoviște Inspectoratul Şcolar Judeţean Dâmboviţa

Societatea de Ştiinţe Matematice din România – Filiala Dâmboviţa

Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”

Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011

CLASA A VII-A

Subiectul 1. Într-un triunghi ascuţitunghic sunt înălţimi, iar

sunt mediane. Demonstraţi că

Subiectul 2. Aflaţi cifrele știind că

Subiectul 3. Rezolvaţi ecuaţia

Page 6: CLASA A V-A Subiectul 1. Subiectul 2.ematematika.ro/wp-content/uploads/2015/08/Subiecte-barem...(3 puncte) , folosind eventual metoda figurativă (1 punct) deci (1 punct) (1 punct)

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 2 ore.

Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”

Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011

BAREM DE CORECTARE - CLASA A VII-A

Subiectul 1. (1 punct) Oficiu

(2 puncte) , etc

(3 puncte) , etc

(3 puncte) , etc

(1 punct) Finalizare

Subiectul 2. (1 punct) Oficiu

(3 punct) Prin ridicare la pătrat, este pătrat perfect, apoi este pătrat perfect

(3 punct) deci

(3 punct) Prin verificare

Subiectul 3. (1 punct) Oficiu

(3 puncte) soluţie

(3 puncte) Dacă membrul stâng > 1+1 > membrul drept

(3 puncte) Dacă membrul stâng < 1+1 < membrul drept

Page 7: CLASA A V-A Subiectul 1. Subiectul 2.ematematika.ro/wp-content/uploads/2015/08/Subiecte-barem...(3 puncte) , folosind eventual metoda figurativă (1 punct) deci (1 punct) (1 punct)

Colegiul Naţional “C. Carabella” Târgoviște Inspectoratul Şcolar Judeţean Dâmboviţa

Societatea de Ştiinţe Matematice din România – Filiala Dâmboviţa

Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”

Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011

CLASA A VIII-A

Subiectul 1. Tetraedrul are vârfurile pe muchiile tetraedrului regulat

de lungime și are cinci muchii de lungime . Demonstraţi că

sunt mijloacele unor muchii ale tetraedrului

Subiectul 2. Rezolvaţi în numere naturale ecuaţia

Subiectul 3. Fie o mulţime finită de numere raţionale pozitive, neîntregi cu

proprietatea că oricum am alege cinci elemente din există două cu produsul

egal cu Daţi exemplu de o astfel de mulţime care să aibă șapte elemente. Care

este numărul maxim de elemente dintr-o mulţime cu proprietatea de mai sus?

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 2 ore.

Page 8: CLASA A V-A Subiectul 1. Subiectul 2.ematematika.ro/wp-content/uploads/2015/08/Subiecte-barem...(3 puncte) , folosind eventual metoda figurativă (1 punct) deci (1 punct) (1 punct)

Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”

Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011

BAREM DE CORECTARE - CLASA A VIII-A

Subiectul 1. (1 punct) Oficiu

(2 puncte) nu pot fi pe două perechi de muchii opuse, deoarece

(1 punct) Presupunem și

(3 puncte) Cu teorema cosinusului se formează sistemul și analoagele

(3 puncte) Rezolvă sistemul cu

Subiectul 2. (1 punct) Oficiu

(4 puncte) ,

(2 puncte) , deci

(3 puncte) divide și finalizare

Subiectul 3. (1 punct) Oficiu

(4 puncte)

(5 puncte) are cel mult 8 elemente

Page 9: CLASA A V-A Subiectul 1. Subiectul 2.ematematika.ro/wp-content/uploads/2015/08/Subiecte-barem...(3 puncte) , folosind eventual metoda figurativă (1 punct) deci (1 punct) (1 punct)

Colegiul Naţional “C. Carabella” Târgoviște Inspectoratul Şcolar Judeţean Dâmboviţa

Societatea de Ştiinţe Matematice din România – Filiala Dâmboviţa

Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”

Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011

CLASA A IX-A

Subiectul 1. Fie o funcţie cu proprietatea că este număr prim și

Demonstraţi că apoi determinaţi funcţia

Subiectul 2. Fie cu proprietățile și

Demonstraţi că și

Subiectul 3. Se consideră un paralelogram și punctele

astfel ca mijlocul segmentului care unește mijloacele diagonalelor patrulaterului

coincide cu mijlocul segmentului care unește mijloacele diagonalelor

patrulaterului . Demonstraţi că și

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 2 ore.

Page 10: CLASA A V-A Subiectul 1. Subiectul 2.ematematika.ro/wp-content/uploads/2015/08/Subiecte-barem...(3 puncte) , folosind eventual metoda figurativă (1 punct) deci (1 punct) (1 punct)

Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”

Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011

BAREM DE CORECTARE - CLASA A IX-A

Subiectul 1. (1 punct) Oficiu

(1 punct)

(2 puncte) Cu

(1 punct)

(1 punct)

(2 puncte)

(1 punct) este prim, deci

(1 punct) , deci

Subiectul 2. (1 punct) Oficiu

(2 puncte) Din putem presupune și și au același semn

(2 puncte) Prin absurd și , deci

(3 puncte)

(2 puncte) imposibil

Subiectul 3. (1 punct) Oficiu

(3 puncte)

(3 puncte)

(3 puncte) Finalizare

Page 11: CLASA A V-A Subiectul 1. Subiectul 2.ematematika.ro/wp-content/uploads/2015/08/Subiecte-barem...(3 puncte) , folosind eventual metoda figurativă (1 punct) deci (1 punct) (1 punct)

Colegiul Naţional “C. Carabella” Târgoviște Inspectoratul Şcolar Judeţean Dâmboviţa

Societatea de Ştiinţe Matematice din România – Filiala Dâmboviţa

Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”

Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011

CLASA A X-A

Subiectul 1. Arătaţi că

Subiectul 2. Fie două funcţii bijective. Arătaţi că funcţia

definită pentru orice prin formula nu este bijectivă.

Subiectul 3. Fie astfel încât Demonstraţi că

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 2 ore.

Page 12: CLASA A V-A Subiectul 1. Subiectul 2.ematematika.ro/wp-content/uploads/2015/08/Subiecte-barem...(3 puncte) , folosind eventual metoda figurativă (1 punct) deci (1 punct) (1 punct)

Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”

Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011

BAREM DE CORECTARE - CLASA A X-A

Subiectul 1. (1 punct) Oficiu

(3 puncte) se divide cu numai când , deoarece

(2 puncte) În celelalte cazuri, se divide cel mult cu

(2 puncte) nu se divide cu

(2 puncte)

Subiectul 2. (1 punct) Oficiu

(2 puncte) Există astfel încât

(2 puncte) Există astfel încât

(1 punct) ,

(2 puncte)

(2 puncte) Finalizare

Subiectul 3. (1 punct) Oficiu

(1 punct) Cazul

(1 punct) Cazul

(3 puncte) Când

(4 puncte) qed

Page 13: CLASA A V-A Subiectul 1. Subiectul 2.ematematika.ro/wp-content/uploads/2015/08/Subiecte-barem...(3 puncte) , folosind eventual metoda figurativă (1 punct) deci (1 punct) (1 punct)

Colegiul Naţional “C. Carabella” Târgoviște Inspectoratul Şcolar Judeţean Dâmboviţa

Societatea de Ştiinţe Matematice din România – Filiala Dâmboviţa

Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”

Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011

CLASA A XI-A

Subiectul 1. Fie șirul cu

a) Calculaţi limita șirului

b) Demonstraţi că șirul este convergent, iar șirul

este divergent.

Subiectul 2. a) Fie un șir care are un subșir convergent la și un subșir

convergent la , iar șirul tinde la zero. Demonstraţi că pentru

orice șirul are un subșir convergent către

b) Daţi exemplu de un care are un subșir convergent la un subșir

convergent la , șirul converge la zero, însă există

pentru care șirul nu are niciun subșir convergent către

Subiectul 3. Fie

a) Determinaţi mulţimea

b) oricare ar fi

c) oricare ar fi

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 2 ore.

Page 14: CLASA A V-A Subiectul 1. Subiectul 2.ematematika.ro/wp-content/uploads/2015/08/Subiecte-barem...(3 puncte) , folosind eventual metoda figurativă (1 punct) deci (1 punct) (1 punct)

Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”

Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011

BAREM DE CORECTARE - CLASA A XI-A

Subiectul 1. (1 punct) Oficiu

(1 punct) descrescător

(1 punct) mărginit

(1 punct) tinde la zero

(2 puncte) tinde la eventual cu lema Cesaro-Stolz, cazul

(1 punct)

(3 puncte) pentru astfel încât (deoarece ), avem

. Deci nu este șir Cauchy.

Subiectul 2. (1 punct) Oficiu

(1 punct) Prin absurd nu are subșir convergent către

(1 punct) Există astfel încât

(1 punct) Consideră mulţimea

(1 punct) este nevidă, infinită, fie

(1 punct) contradicţie cu

(4 puncte) Exemplu:

Subiectul 3. (1 punct) Oficiu

(3 puncte) a)

(3 puncte) b)

(3 puncte) c)

Page 15: CLASA A V-A Subiectul 1. Subiectul 2.ematematika.ro/wp-content/uploads/2015/08/Subiecte-barem...(3 puncte) , folosind eventual metoda figurativă (1 punct) deci (1 punct) (1 punct)

Colegiul Naţional “C. Carabella” Târgoviște Inspectoratul Şcolar Judeţean Dâmboviţa

Societatea de Ştiinţe Matematice din România – Filiala Dâmboviţa

Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”

Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011

CLASA A XII-A

Subiectul 1. Fie o funcţie continuă pe , care are limite laterale finite

în zero. Demonstraţi că funcţia , definită prin

admite primitive.

Subiectul 2. Fie , dată prin

Demonstraţi că este bijectivă, este integrabilă și calculaţi

Subiectul 3. Fie un grup și , Demonstraţi că pentru

orice există astfel încât

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 2 ore.

Page 16: CLASA A V-A Subiectul 1. Subiectul 2.ematematika.ro/wp-content/uploads/2015/08/Subiecte-barem...(3 puncte) , folosind eventual metoda figurativă (1 punct) deci (1 punct) (1 punct)

Concursul Judeţean de Matematică “Cezar Ivănescu”

Ediţia a XII-a, Târgoviște, 22 ianuarie 2011

BAREM DE CORECTARE - CLASA A XII-A

Subiectul 1. (1 punct) Oficiu

(2 puncte) (cu zero în origine) admite primitive

(4 puncte)

(3 puncte) Finalizare

Subiectul 2.

(1 punct) Oficiu

(2 puncte) injectivitate

(2 puncte) surjectivitate

(2 puncte) efectuează schimbarea sau scrie relaţia lui Young

(3 puncte) obţine

Subiectul 3. (1 punct) Oficiu

(3 puncte) este bijectivă

(3 puncte) este nevidă și fie există

(3 puncte) Finalizare