Liceul Teoretic ,, Vasile Alecsandri”

Săbăoani-Neamţ

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ

,,ADOLF HAIMOVICI”

Faza locală-30 ianuarie 2015

Profil real, specializarea ştiinte ale naturii

Clasa a X-a

1. Să se rezolve ecuațiile:

a) √ x+3x+4

+6√ x+4x+3

−5=0 ; b)

√ x+3√x+4

+6 √x+4√ x+3

−5=0

2. Demonstrați că expresia

E=xloga

yz⋅y

logazx ¿ z

logaxy

este constantă pentru toate valorile admisibile ale lui a, x, y si z.

3. Se consideră mulțimea A={ z∈C||z|=1 } .

a) Arătați că ( 1

2−√3

2i)

2013

∈ A.

b) Arătați că pentru orice z1 , z2∈ A , avem z1 . z2∈ A .

c) Determinați z1, z2, z3∈ A astfel încât z1+z2+z3=3 .

4. În urma unei cercetări, s-a stabilit că solubilitatea în apă a unei substanțe s în raport cu

temperatura (măsură în grade Celsius) este dată de o formulă de forma

S( t )=at2+bt+c , a, b, c (0Є ,∞), iar t≥10 (grade Celsius). Experimental, s-au determinat

valorile solubilității în câteva temperaturi, anume : S1=10, S2=15, S3=25, pentru

temperaturile t1=20, t2=25, t3=30. (Solubilitatea S este exprimată în grame substanță s la 100

g apă.)

a) Găsiți valoarea solubilității substanței date s la temperatura de 50o.

b) Arătați că există doua temperaturi diferite la care solubilitatea substanței s este

aceeași.

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii.

Fiecare subiect are 7 puncte

Timp efectiv de lucru: 3 ore.

BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE

1. a) xϵ(-∞,-4)⋃(-3,∞) ......................................................................................................1p

Rezolvarea ecuației t2-5t+6=0, unde t=√ x+3

x+4 …………………………….………2p

Determinarea soluțiilor …………………………………………………………………2p

b) xϵ(-3,∞) ...................................................................................................................1p

Ecuația nu are soluții .................................................................................................1p

2.E=( y

z )loga x

⋅( zx )

loga y

¿( xy )

loga z

…………………………………………………………3p

E= yloga x

zlog

ax ¿ z

loga y

xlog

ay ¿ x

logaz

ylog

az

…………………………………………………………...……2p

E=1 ……………………………………………………………………………………2p

3. a) Se arată că modulul este 1 ……………………………………………………….……2p

b ) |z1 z2|=|z1|⋅|z2|=1⇒|z1⋅z2|∈ A

………………………………………………….…..2p

c) zk=costk+isintk , kϵ{1,2,3},Rezulta cost1+cost2+cost3=3………… ……………………1p

-1≤costk≤1;Rezulta cost1=cost2=cost3=1, de unde z1=z2=z3=1……………………….2p

4. a)S(20)=10; S(25)=15 ; S(30)=25 ……………………………………………………..…1p

Determinarea S(t) =0,1t2-3,5t+40 în condițiile date …....................................................3p

Găsirea solubilității la 50o, S(50) =115………………………………………….…………1p

b ) S(t) este o functie de gradul al doilea care admite un punct de minim tmin=17,5………1p

In punctele tmin-to si tmin+to functia ia aceeasi valoare. De exemplu, pentru to=7,5 ,

adica la temperaturile de 10o,respectiv 25o, solubilitatea este 15………………………1p