Grupuri remarcabile

1.Grupuri de matrice

Anul trecut am vazut ca multimea matricelor de tip (m,n) cu elemente din R, Mm,n(R), cu operatia de adunare formeaza grup abelian (A,B∈ Mm,n(R) ⟹A+B∈ Mm,n(R);elementul neutru este Om,n-matricea nula; -A=(-aij) este opusul lui A=(ai,j)). Pentru m=n are sens produsul oricaror matrice A,B∈ Mm,n(R).

Fie multimea de matrice patratice de ordin n cu elemente reale si cu determinant nenul. Vom nota aceasta multime prin GL(n, R)={A∈ Mn(R)|det(A)≠0} si consideram operatia de inmultire pe Mn(R).

Are loc urmatoarea:

Teorema: Cuplu GL(n, R) ,∙ ) este un grup infinit, numit grupul linear complet de ordin n pe R .

Demonstratie:

Sa observam mai intai ca inmultirea determinate pe GL(n, R) o lege de compozitie. Intr-adevar, din A,B∈ GL(n, R) sa aratam ca AB ∈

GL(n, R), adica sa aratam ca det(AB)≠0, ceea ce este adevarat deoarece det(AB)=det(A)⋅det(B).Verificam axiomele grupului.

G1)Asociativitatea inmultirii are loc pe GL((n, R), deoarece are loc intotdeauna pe Mn(R).

G2) Elementul neutru este matricea unitate In ∈ GL(n, R) (are det(In)=1≠

0).

G3) Orice matrice A∈ GL(n, R) are o inversa (simetric) notate A-1∈ GL(n, R) pentru care AA-1=A-1A=In.

Aici A-1 este chiar inversa matricei A. Stim ca A are inversa daca det(A)≠0 (A este o matrice nesingulara). Evident A-1 ∈ GL(n, R) deoarece din AA-1=In si det(AA-1)=det(A)∙det(A-1)≠0

In final (GL(n, R) ,∙ ) este grup infinit.∎

2) Grupuri de permutari de ordin n

Fie M multimea finite cu n elemente. Natura acestor elemente fiind pentru noi fara importanta, este comod sa luam M={1,2,…, n}.

Am vazut ca F(M)={F:M->M} impreuna cu operatia de compunere a functiilor este un monoid. Consideram o submultime a lui F(M), B(M) formata din aplicatii bijective (de fapt este destul sa cerem ca f sa fie injectiva(surjectiva) caci atunci f este bijectiva !)

Un element din B(M) il numim permutare de gradul n.

Elementele lui B(M) le desemnam prin litere mici ale alfabetului grec α ,β , γ , δ ….

In loc de B(M) vom folosi notatia Sn.

Sub o forma dezvoltata si sugestiva permutarea σ :M→M o reprezentam

prin simbolul σ=( 1 2 ⋯ nσ (1) σ (2) … σ (n))

unde in extenso toate imaginile:

σ :1 2 … n↓ ↓ ¿ ¿

σ (2)¿…¿σ (n)¿

σ (k ) ,k=1 , n sunt simbolurile 1,2,…,n, eventual in alta ordine.

Pe multimea Sn a permutarilor de grad n am definit, anul precedent, operatia de compunere (sau produs) a permutarilor.

Fie σ , τ∈ Sn, atunci σ ∘ τ∈ Sn se defineste (compunerea obisnuita a functiilor) prin: σ ∘ τ (k )=σ (τ (k )) , k=1 , n

Vom scrie in loc de σ ∘ τ simplu στ . Are loc urmatoarea:

Teorema Cuplul (Sn , ∘) este un grup finit de ordin n!, numit grupul simetric de grad n.

Demonstratie. Verificam axiomele grupului.

Este clar ca daca σ , τ∈ Sn, atunci στ∈ Sn, adica legea de compunere a permutarilor este o lege de compozitie pe Sn.

Trebuie observant astfel ca se pot compune permutari de acelasi grad.

G1) Asociativitatea compunerii pe Sn rezulta faptul ca aceasta lege este asociativa pe multimea functiilor F(M).

G2) Element neutru este aplicatia identica a multimii M, pe care o

notam cu e si are forma e=(1 2 … n1 2 … n)

G3) Orice element σ∈Sn, are un invers (simetric) notat σ -1∈ Sn (σ -1 este aplicatia inversa a lui σ) pentru care σ σ -1= σ -1σ=e

De exemplu , daca σ=¿ (1 2 3 4 53 4 5 1 2) , atunci σ

−1=(1 2 3 4 54 5 1 2 3) (σ−1 este

functia care “actioneaza “invers decat σ ; prin σ , 1 este dus in 3 ; invers,

prin σ−1 elementul 3 este dus in 1 etc .). Daca σ=(1 2 33 1 2) , τ=(1 2 3

3 2 1) , atunci στ=(1 2 3

2 1 3) si τσ=(1 2 31 3 2). Deci στ ≠ τσ .

Asadar (Sn , °) , n≥3, este grup necomutativ.

Sa determinam ordinal grupului. Fie σ∈ Sn un element oarecare din grup. Prin σ elementul 1 este dus in σ(1) care poate fi oricare din elementele 1,2,…,n. Deci pozitia σ (1) se poate complete in n moduri. Elementul σ (2) se poate complete in (n-1) moduri cu cele n-1 elemente ramase dupa completarea lui (1 ) . In fine ultima pozitie se poate complete intr-un singur mod cu ultimul element ramas dupa completarea pozitiilor (1) ,σ (2), … ,σ (n−1) . Asadar numarul de astfel de permutari σ este egal cu n∙(n-1)…2∙1=n ! ( regula produsului de la combinatorica) si acesta este ordinal grupului Sn.

Grupurile de permutari joaca un rol fundamental in studiul grupurilor.