Post on 02-Oct-2015
description
Prof. Mestecan Cornelia
clasa a XII-a liceu tehnologic Fi -Breviar teoretic Polinoame
1
Polinoame
Forma canonic a polinomului cu
coeficieni n corpul comutativ K
1 1
1 1 0
n n
n nf a X a X a X a
, cu 0 1, , , na a a K , K fiind un corp
comutativ i 0 0a
Mulimea polinoamelor cu
coeficieni n corpul comutativ K
K X , K corp comutativ ( , , , p , p prim )
, ,K X este inel comutativ
Gradul polinomului Dac 1 11 1 0n n
n nf a X a X a X a
, grad f = n
Dac 0f , grad f =
Valoarea
polinomului Def. Pentru K , valoarea polinomului f n , este
11 1 0n n
n nf a a a a
Valoarea
polinomului -
Proprieti
1. f X i z , atunci f z f z unde z x yi iar z x yi este conjugatul lui z
2. f X , , , \ , 0a b b b , atunci
f a b este de forma A B b , ,A B Operaii cu polinoame sum de polinoame ( adunare )
,f g K X , 1 10 1 1n n
n nf a a X a X a X
i
1 1
0 1 1
m m
m mg b b X b X b X
0 0 1 1f g a b a b X ( adic se adun termenii asemenea ) Gradul (f + g ) max ( grad f ; grad g )
Operaii cu polinoame produs de polinoame
( nmulire ) (Se folosete formula
i j i ja a a )
,f g K X , 1 10 1 1n n
n nf a a X a X a X
i
1 1
0 1 1
m m
m mg b b X b X b X
1 1
0 0 1 1
1 1
1 0 1 1
1 1
0 1 1
m m
m m
m m
m m
n m m
n m m
f g a b b X b X b X
a X b b X b X b X
a X b b X b X b X
Se fac nmulirile i se adun termenii asemenea Gradul (f g ) = grad f + grad g
Operaii cu polinoame mprirea polinoamelor
Teorema mpririi cu rest
Oricare ar fi polinoamele ,f g K X , 0g , exist i sunt unice polinoamele
,c r K X pentru care a) f g c r i b) grad r < grad g Teorema restului
Restul mpririi unui polinom f prin binomul X a este egal cu valoarea f a a polinomului f n a.
Obs. Pentru a afla ctul i restul mpririi unui polinom f prin binomul X a se poate folosi i schema lui Horner
Prof. Mestecan Cornelia
clasa a XII-a liceu tehnologic Fi -Breviar teoretic Polinoame
2
Divizibilitate Def. Fie ,f g K X , spunem c polinomul f este divizibil prin polinomul g, dac
exist un polinom h K X astfel nct f g h . (adic restul mpririi lui f la g este 0). Notm f g (adic f este divizibil prin g) sau /g f (adic g l divide pe f)
C.m.m.d.c
Def. Fie ,f g K X . Un polinom d K X se numete cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al polinoamelor f i g dac verific urmtoarele condiii:
a) /d f i /d g
b) d K X astfel nct /d f i /d g , rezult /d d
C.m.m.d.c. al polinoamelor f i g se noteaz ,f g . Algoritmul lui Euclid
Def. C.m.m.d.c. al polinoamelor ,f g K X se poate obine cu urmtorul algoritm:
-se mparte polinomul f (de grad mai mare) la cel de gard mai mic, g, obinnd
ctul 1q i restul 1r
-se mparte mpritorul g la restul 1r i se obin ctul 2q i restul 2r
-se continu procedeul, mprind mpritorul la rest -ultimul rest nenul obinut este c.m.m.d.c. al polinoamelor f i g.
Def. Fie ,f g K X . Spunem c polinoamele f i g sunt prime ntre ele dac
, 1f g , (1 fiind polinom constant). C.m.m.m.c.
Def. Fie ,f g K X . Un polinom m K X se numete cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al polinoamelor f i g dac verific urmtoarele condiii:
a) /f m i /g m
b) m K X astfel nct /f m i /g m , rezult /m m
C.m.m.m.c. al polinoamelor f i g se noteaz ,f g . Teorem
Fie ,f g K X astfel nct 0f sau 0g . Atunci avem , ,f g f g f g Rdcinile polinoamelor
Def. Numrul K se numete rdcin a polinomului f K X , dac
0f Teorema lui Bzout
Numrul K se numete rdcin a polinomului f K X , 0f , dac i numai dac f este divizibil cu X a . Teorema fundamental a algebrei ( Teorema DAlembert-Gauss )
Orice polinom f X , grad 1f , are cel puin o rdcin n .
Observaie: Dac f X , grad f n , atunci f are exact n rdcini complexe, nu meaprat distincte.
Def. Spunam c numrul K se numete rdcin multipl de ordinul k, *k , a polinomului f K X dac /
kX a f i
1/
kX a f
.
Prof. Mestecan Cornelia
clasa a XII-a liceu tehnologic Fi -Breviar teoretic Polinoame
3
Teorem 1
Fie f K X , , 2k k i a K . Polinomul f are a rdcin multipl de
ordinul k, dac i numai dac 10; 0; ; 0; 0k kf a f a f a f a . Teorem 2
Fie f K X i , ,a b K a b . Polinomul f X a X b dac i numai dac
0f a f b . Teorem 3
Fie f X i o rdcin a lui f, Atunci : a) este de asemenea o rdcin a lui f ; b) i au acelai ordin de multiplicitate. Teorem 4
Fie f X i a b d o rdcin a lui f ( , , , 0,a b d d d ). Atunci :
a) a b d este de asemenea o rdcin a lui f ; b) a b d i a b d au acelai
ordin de multiplicitate.
Teorem 5
Fie f X , 1 11 1 0n n
n nf a X a X a X a
, grad f 1n , iar p
q
o rdcin raional a lui f , , , 0, , 1p q q p q . Atunci:
a) p divide termenul liber 0a ; b) q divide coeficientul dominant na .
Descompunerea
polinoamelor n factori ireductibili
Def. Fie f K X , grad f 1n . Spunem c f este polinom reductibil peste K
dac exst 1 2,f f K X astfel nct 1 2f f f , grad 1f n , grad 2f n . n caz contrar , spunem c f este polinom ireductibil peste K . Observaii:
1. Fie f X , grad f = 2, 2f aX bX c . Atunci : a) f este reductibil peste ; b) f este reductibil peste dac i numai dac
2 4 0b ac
2. Fie f X , 1 11 1 0n n
n nf a X a X a X a
, grad f 1n cu
rdcinile 1 2, , , nx x x . Atunci f se descompune unic
1 2n nf a X x X x X x
3. Orice polinom f X , grad f 1n , se descompune unic ntr-un produs de polinoame de gradul I sau gradul II cu coeficieni reali.
Relaiile lui Vite Cazul 2n
Fie f K X , 22 1 0f a X a X a , 2 0a , 1 2,x x rdcinile lui f. Atunci :
relaiile lui Vite sunt
11 2
2
01 2
2
ax x
a
ax x
a
Reciproc :
dac 1 2,x x rdcinile lui f , atunci 2 1 2 , \ 0f a X S X S a K , unde
Prof. Mestecan Cornelia
clasa a XII-a liceu tehnologic Fi -Breviar teoretic Polinoame
4
1 1 2S x x i 2 1 2S x x
Cazul 3n
Fie f K X , 3 23 2 1 0f a X a X a X a , 3 0a , 1 2 3, ,x x x rdcinile lui f. Atunci :
relaiile lui Vite sunt
21 2 3
3
11 2 1 3 2 3
3
01 2 3
3
ax x x
a
ax x x x x x
a
ax x x
a
Reciproc : dac 1 2 3, ,x x x rdcinile lui f , atunci
3 21 2 3 , \ 0f a X S X S X S a K , unde 1 1 2 3S x x x ,
2 1 2 1 3 2 3S x x x x x x i 3 1 2 3S x x x
Cazul 4n
Fie f K X , 4 3 24 3 2 1 0f a X a X a X a X a , 2 0a , 1 2 3 4, , ,x x x x rdcinile lui f. Atunci :
relaiile lui Vite sunt
31 2 3 4
4
21 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
4
11 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4
4
01 2 3 4
4
ax x x x
a
ax x x x x x x x x x x x
a
ax x x x x x x x x x x x
a
ax x x x
a
Reciproc : dac 1 2 3 4, , ,x x x x rdcinile lui f , atunci
4 3 21 2 3 4 , \ 0f a X S X S X S X S a K , unde 1 1 2 3 4S x x x x ,
2 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4S x x x x x x x x x x x x , 3 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4S x x x x x x x x x x x x i
4 1 2 3 4S x x x x
Relaii importante:
2 22 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2x x x x x x x x x x x x
2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
22 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
2
2
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
Ecuaii biptrate 4 2 0ax bx c , , ,a b c , 0a
Se face substituia : 2x t atunci 4 2x t
Obinem ecuaia 2 0at bt c care se rezolv, rezultnd 1 2,t t
Prof. Mestecan Cornelia
clasa a XII-a liceu tehnologic Fi -Breviar teoretic Polinoame
5
Din
2
1
1 2 1 1 2 1
1
, , ,0
x tx x x t x t
t
.
Dac 2
1
1 2 1 1 2 1
1
, , ,0
x tx x x i t x i t
t
Din
2
2
3 4 3 2 4 2
2
, , ,0
x tx x x t x t
t
.
Dac 2
2
3 4 3 2 4 2
2
, , ,0
x tx x x i t x i t
t
Ecuaii reciproce Ecuaia reciproc de gradul 3 (coeficienii termenilor egali deprtai de capete sunt egali)
3 2 0ax bx bx a , ,a b , 0a admite soluia 1 1x
Aplicm schema lui Horner
3x
a
2x
b
1x
b
0x
a
1 a b a a 0
Ctul mpririi este 2ax b a x a , egalm ctul cu 0 (ecuaie de gradul II) i
rezult 2 3,x x .
Observaie : dac coeficienii termenilor egali deprtai de capete sunt opui, adic 3 2 0ax bx bx a , ,a b , 0a admite soluia 1 1x
Pentru rezolvare se procedeaz ca mai sus. Ecuaia reciproc de gradul 4 (coeficienii termenilor egali deprtai de capete sunt egali)
4 3 2 0ax bx cx bx a , , ,a b c , 0a
Observm c 0x nu este soluie deci putem mpri ecuaia cu 2x , se obine
2 2
2 2
1 1 1 10 0ax bx c b a a x b x c
x x x x
Facem substituia 1
x tx
, deci 2 22
12x t
x
Obinem ecuaia 2 22 0 2 0a t bt c at bt c a , care se rezolv i rezult 1 2,t t
Din 21 1 1 21
1 0 ,x t x t x x xx
Din 22 2 3 41
1 0 ,x t x t x x xx