Campul Electromagnetic - Breviar

8/14/2019 Campul Electromagnetic - Breviar

1/204

Contents1 Campul electromagnetic 2

1.1 Breviar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Solut ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Unde electromagnetice 892.1 Breviar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.2 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.3 Solut ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3 Originile mecanicii cuantice 1453.1 Breviar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.2 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.3 Solut ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4 Mecanica cuantica nerelativist a 1724.1 Breviar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.2 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.3 Solut ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

1


2/204

1 Campul electromagnetic

1.1 BreviarForma de existent a a materiei din jurul unui corp nc arcat electric cu sarcinaQ sau, mai general a unei distributii volumice de sarcin a = dQdV , aat a nrepaus sau n miscare, prin intermediul c areia se transmit interact iunile elec-trice se numeste camp electric .

Campul electric se caracterizeaz a prin urm atoarele m arimi zice:

Intensitatea c ampului electric notata cu E , marime vectoriala ce satis-face legea lui Gauss valabila at at pentru cazul stat inar t = 0, c at si pentrucazul nestat ionar t = 0 :

div E =

(1.1.1)

unde reprezint a permitivitatea electric a a mediului si caracterizeaza pro-priet at ile electrice ale acestuia.

Fluxul electric e este denit pentru o suprafata nchis a ca ind:

e =

E

d S (1.1.2)

unde S reprezint a suprafat a gaussian a ce delimiteaza volumul V din spat iuln interiorul caruia este cuprins a distribut ia de sarcin a .

Conform teoremei lui Gauss, uxul electric se mai poate scrie:

e =1 V dV (1.1.3)

Observat ii

Ecuat ia (1.1.1) ne arata ca sarcinile electrice (sau distributia volumic a) reprezint a sursele campului electric

Divergent a este un operator matematic ce se aplica unei functii vectori-ale si are expresia, n coordonate carteziene:div E =

x

E x +

yE y +

z

E z = E (un scalar) (1.1.4)

2


3/204

Teorema lui Gauss sub forma div E = reprezint a una din ecuat iile fun-

damentale ale teoriei c ampului electromagnetic a lui Maxwell.

Se introduce vectorul D care se numeste induct ie electrica si carese exprima prin relat ia: D = E = or E (1.1.5)

Aceast a ecuatie reprezint a legea de material pentru c ampul electric ,pentru medii liniare, omogene si izotrope. Teorema Gauss sub form a dife-rential a (1.1.1) se mai scrie atunci sub forma:

div D = (1.1.6)

Potent ialul electric notat cu (x,y,z ) este o marime scalar a si este denit,ntr-un punct din c ampul electric aat la distant a r de sursa, prin relat ia:

(r ) = r E d l = r E dl cos = r E dr (1.1.7)iar diferent a de potent ial dintre doua puncte aate la distantele r 1 si respectivr 2 de sursa va atunci:

1 2 = r 2

r 1E dr (1.1.8)

Observat ii

Pentru cazul stationar campul electric este un camp conservativ (rot E =0), deci campul poate descris prin gradientul unei functii scalare, potent ialulelectric :

E = grad = (1.1.9)

Gradientul este un operator matematic ce se aplic a unei functii scalare siare expresia, n coordonate carteziene:grad =

x

i +y

j +z

k = (1.1.10)

3


4/204

Daca se tine cont de relat iile (1.1.1.) si (1.1.9) se va obt ine ecuatia Poi-

sson satisf acut a de potent ialul electric :

div(grad ) =

=

(ecuat ia Poisson) (1.1.11)

S-a tinut cont de faptul ca divergent a aplicat a unui gradient reprezintalaplaceanul :

div(grad ) = = 2

x 2+

2

y2+

2

z 2(1.1.12)

Ecuat ia Poisson permite calcularea potent ialului electric ntr-un punct r oare-care al campului electric creat de o distributie de sarcina . Dupa calculareapotent ialului, se poate determina apoi si intensitatea c ampului electric, npunctul respectiv, conform relatie (1.1.9)

Circulat ia vectorului E pe o curba nchis a este denit a ca ind:

C E = E d l (1.1.13)Pentru c ampurile conservative ns a

E d l = 0, deci circulat ia lui E estezero, sau, scrisa cu ajutorul rotorului:rot E = 0 (1.1.14)

Observat ii

Rotorul este un operator matematic ce se aplic a unei functii vectorialesi are expresia:

rot E = i j k

x

y

z

E x E y E z

= E (un vector) (1.1.15)

Din punct de vedere zic, rot E = 0 reprezinta conditia sucient a pentruca un camp vectorial s a e conservativ, adic a sa poata descris de gradientulunei functii potent iale.

Ecuat ia rot E = 0 reprezinta una din ecuat iile fundamentale din teoriaMaxwell a campului electromagnetic pentru cazul stat ionar.

4


5/204

Ecuatia de continuitate a curentului electric reprezinta legea de conservarea sarcinii electrice si are forma:

j = t

(1.1.16)

unde j reprezint a densitatea de curent. Conform legii de conservare a sarcinii,uxul densit at ii de curent printr-o suprafat a nchis a este egal cu viteza descadere n timp a sarcinii din interiorul suprafet ei, t .Observat ii

Pentru cazul stationar (c ampurilor statice) t = 0, deci div j = 0.

Pe baza teoriei electronice a conductibilitat ii electrice, densitatea de curent j se poate exprima cu ajutorul unei constante ce caracterizeaz a proprietat ileintrinseci ale unui conductor si care se numeste conductibilitate electrica:

j = E (1.1.17)

Ecuat ia (1.1.17) reprezinta legea lui Ohm sub forma locala , este o legede material si este una din relatiile fundamentale Maxwell.

Forma de existent a a materiei din jurul unui magnet sau al unui conduc-tor prin care trece curent electric si prin intermediul c areia se transmitinteract iunile magnetice se numeste camp magnetic .

Campul magnetic se caracterizeaz a prin urm atoarele m arimi zice:

Intensitatea campului magnetic d H generat de un element d l al unuiconductor prin care circul a un curent electric de intensitate I , la distant a rde conductor este data de legea Biot-Savart-Laplace :

d H = I 4

d l rr 3 (1.1.18)

Induct ia magnetica B este o marime vectorial a ce caracterizeaz a capaci-tatea c ampului magnetic de a act iona asupra unei sarcini de proba qo aat an miscare cu viteza vn c ampul magnetic. Se constata ca asupra sarcinii qoapare o fort a lateral a F iar induct ia magnetic a este denit a prin relat ia lui Lorentz :

F = qo v B (1.1.19)5


6/204

unde F , v si qo sunt m arimi masurabile.

Observat ie : Intre intensitatea magnetic a H si induct ia magnetic a B , pentrumedii liniare, omogene si izotrope exista relat ia:

B = H = or H (1.1.20)

unde reprezint a permeabilitatea magnetic a a mediului si caracterizeaz apropriet at ile magnetice ale mediului, iar o = 4 107 H m este permeabili-tatea magnetica a vidului.

Fluxul magnetic m printr-un element de suprafat a d S din spat iu este

denit conform relat iei: m = S B d S (1.1.21)Teorema lui Gauss pentru campul magnetic spune c a uxul magnetic prinorice suprafat a nchisa este nul, adica:

div B = 0 (1.1.22)Observat ii

Ecuat ia (1.1.22), valabil a at at pentru c ampuri stationare c at si pentrucampuri nestationare ne arata ca nu exista sarcini magnetice (monopoli mag-netici) care s a creeze campul magnetic.

Ecuat ia div B = 0 ne arat a ca liniile de camp magnetic sunt nchise sinu diverg niciodat a.

Ecuat ia div B = 0 ne conduce la concluzia ca putem exprima campul mag-netic ca rotorul unei funct ii vectoriale, adic a B = rot A, unde A se numestepotent ial vector .

Circulat ia vectorului H pe un contur nchis ce m argineste o suprafataS din spat iu, str abatuta de curentii I i , i = 1 , N este :

C H = H d l =N

i=1I i (1.1.23)

Daca se tine cont de faptul c a:N

i=1I i = S j d S (1.1.24)

6


7/204

atunci relat ia (1.1.23) devine:

S rot H d S = S j d S rot

H = j sau rot B = j (1.1.25)

Observat ii

Ecuat ia (1.1.25) ne arata ca densitatea de curent j reprezint a sursa campuluimagnetic.

Ecuat ia (1.1.25) reprezinta, de asemenea, o alta formul a fundamentala a

teoriei electromagnetismului a lui Maxwell pentru regim stat ionar ( t = 0).

Daca se utilizeaza n continuare denit ia potent ialului vector A (Ax , Ay, Az)( B = rot A), precum si relat ia (1.1.25) vom obt ine un sistem de trei ecuat iicu derivate part iale ce permit calcularea potentialului vector:

2Axx 2

+ 2Axy2

+ 2Axz 2

= j x 2Ayx 2 +

2Ayy2 +

2Ayz 2 = j y (1.1.26) 2Az

x 2+

2Azy2

+ 2Azz 2

= j zcu conditia de etalonare ndeplinita:

div A = 0 (1.1.27)

Toate ecuat iile din sistemul (1.1.26) sunt analoage cu ecuatia Poisson =

:

Ax = j xAy = j x (1.1.28)Az = j z

Daca se cunoaste densitatea de curent j din spat iu, se poate determinapotent ialul vector A si apoi induct ia magnetic a B , respectiv intensitateacampului magnetic H .

7


8/204

Induct ia electromagnetica este un fenomen zic descoperit de Faraday siconst a n aparitia unui curent electric indus ntr-un circuit nchis, respectiva unei tensiuni electromotoare induse (tem) ei atunci c and are loc o variat iea uxului magnetic m printr-o suprafata limitat a a circuitului nchis:

ei = m

t(1.1.29)

Daca se tine cont de denit ia (1.1.21) a uxului magnetic, precum si deteoria lui Maxwell conform careia existent a tensiunii electromotoare induseei implica existent a n circuit a unui camp electric de intensitate E

ei = E d l (1.1.30)atunci se obt ine legea lui Faraday :

S rot E d S = S B

t d S

rot E =

Bt

(1.1.31)

Observat ii

Legea lui Faraday sub forma (1.1.31) ne spune c a liniile de camp elec-tric induse sunt linii nchise, spre deosebire de cazul campului electrostatic(rot E = 0), iar c ampul indus se numeste camp electrodinamic .

Ecuat ia (1.1.31) ne arata ca variat ia n timp a campului magnetic B

t(camp magnetic nestat ionar ) reprezint a cauza aparit iei campului elec-trodinamic E

Pentru cazul n care avem variat ii n timp ale c ampului electric E

t (camp

electric nestat ionar ) Maxwell introduce un termen suplimentar n ecuat ia(1.1.25) corespunzator asa numitului fenomen de induct ie magnetosta-tica , astfel nc at s a e satisfacuta ecuat ia de continuitate (1.1.16). Legeaobtinuta este legea Amp ere-Maxwell :

rot B = j + E t

(1.1.32)

unde j este curentul de conduct ie iar jd = E

t este curentul de deplasarecaracteristic pentru materialele polarizabile.

8


9/204

Acum putem concluziona sistemul de ecuatii Maxwell care exprim a legilecampului electromagnetic pentru medii liniare, omogene si izotropesub forma diferent iala :

div E =

legea lui Gauss pentru c ampul electric (1.1.33)

div B = 0 legea lui Gauss pentru c ampul magnetic (1.1.34)

rot E = Bt

legea lui Faraday (1.1.35)

rot B = j + E t

legea Ampere-Maxwell (1.1.36)

la care se adauga legile de material pentru medii liniare, omogene siizotrope :

D = E ; B = H ; j = E (1.1.37)

precum si ecuat ia de continuitate:

t

+ div j = 0 (1.1.38)

Ecuat iile Maxwell sub forma integrala sunt:

S

E d

S =

1

iqi =

1

V dV (1.1.39) S B d S = 0 (1.1.40) E d l = t S B d S (1.1.41) B d l = S j d S + t S E d S (1.1.42)

Observat ii

Ecuat iile Maxwell n vid au forma:div E =

o

legea lui Gauss pentru c ampul electric (1.1.43)

div B = 0 legea lui Gauss pentru c ampul magnetic (1.1.44)

rot E = Bt


rot B = o j + oo E t

legea Ampere-Maxwell (1.1.46)

9


10/204

In cazul prezent ei substantei n c ampul electromagnetic se denesc vectoriide polarizare P si respectiv de magnetizare M prin relat iile: P = D o E

(1.1.47)

M = B

o H astfel nc at ecuat iile Maxwell (1.1.33-1.1.36) devin:

div E = 1 div P legea lui Gauss pentru c ampul electric(1.1.48)div B = 0 legea lui Gauss pentru c ampul magnetic (1.1.49)

rot E = Bt


rot B = o j + P t

+ rot M + oo E t

legea Ampere (1.1.51)

Daca avem doua medii omogene si izotrope caracterizate prin marimile(

E 1,

D1,

B1,

H 1, 1, 1) si respectiv (

E 2,

D2,

B2,

H 2, 2, 2) atunci, la suprafatade separare dintre cele dou a medii, conditiile la limit a care descriu com-

portarea vectorilor campului electromagnatic sunt:

( B2 B1) un = 0 (1.1.52)un B2

21

B1 = 2 jS (1.1.53)

( D2 D1) un = S (1.1.54)un D2

21

D1 = 0 (1.1.55)

un ( E 2 E 1) = 0 (1.1.56)un E 2

12

E 1 =12

S (1.1.57)

un ( H 2 H 1) = jS (1.1.58)un H 2

12

H 1 = = 0 (1.1.59)

un ( j2 j1) = S t

(1.1.60)

10


11/204

unde S este densitatea de sarcina electrica de suprafat a, jS este densitateasuperciala de curent electric, iar un este versorul normalei la suprafat a deseparare dintre cele dou a medii.

Pentru un domeniu arbitrar din spat iu, de volum V , limitat de suprafataS , n care exist a o densitate de sarcini electrice si curent i electrici j caregenereaza un camp electric E respectiv un c amp magnetic H , densitateavolumica a energiei campului electromagnetic este:

w = we + wm =12

( E D + H B ) =12

( E 2 + H 2) (1.1.61)

iar energia W a campului electromagnetic din volumul V va :

W = V wdV = 12 V ( E 2 + H 2)dV (1.1.62)Pentru a ajunge la teorema de conservare a energiei campului electromag-netic, vom deni vectorul Poynting S :

S = E H (1.1.63)Teorema de conservare a energiei c ampului electromagnetic sau teorema

lui Poynting ne spune ca, scaderea energiei campului electromagnetic nunitatea de timp se poate exprima prin puterea disipat a prin efect Joule S jsi puterea transportat a S S :

W t

= S j + S S (1.1.64)

unde:

S j = V j 2dV (1.1.65)

S S = S S d A1.2 Probleme propuse1.1 Se considera trei cuarci n interiorul unui proton. Doi cuarci up ausarcina electric a q+ = 2 e/ 3 iar cuarcul down q = e/ 3. Presupun and cadistant a dintre cei trei cuarci este r = 1 , 5 1015m, gasiti marimea fortelorrezultante ce act ioneaz a asupra ec arui cuarc din partea celorlalti:

11


12/204

a). 39,4N; 45,51N; 22,76Nb). 39,4N; 45,51N; 45,51Nc). 39,4N; 39,4N; 22,76Nd). 39,4N; 39,4N; 39,4Ne). 45,51N; 45,51N; 45,51N

1.2 Se considera urm atoarele patru conguratii de linii de camp din Fig1.2.

Fig.1.2

Presupunand ca nu exist a nici o sarcina n regiunile desenate, sa se indicecare dintre congurat ii descrie un posibil camp electrostatic:

a).a; b). b; c). c; d). d

1.3 Se considera congurat iile de campuri electrice date n gura Fig.1.3.Consider and ca un camp este solenoidal daca div E = 0si irotational dac arot E = 0 , alegeti care din urmatoarele armat ii sunt adev arate:

a). campurile a) si c) sunt solenoidale iar b) este irotat ionalb). campul b) este solenoidal iar a) si c) sunt irotat ionalec). campurile a) si b) sunt solenoidale iar c) este irotat ionald). campurile b) si c) sunt solenoidale iar a) este irotat ional

12


13/204

e). campul a) este solenoidal iar b) si c) sunt irotat ionale

Fig.1.3

1.4 Intensitatea campului electric n jurul unei sarcini electrice q, situata nplasma unei desc arcari luminiscente este:

E = q

4 0r 2exp(

r

)r

unde constanta. Densitatea de sarcina din jurul sarcinii considerate este:a). (r ) =

q

4r 2 exp(

r )

b). 0c). q4 0 r 2 exp(r )d). nu se poate determina exacte). (r ) = q4r exp(r )Se stie ca, n coordonate sferice, operatorul nablaare expresia:

a =1r 2

r

r 2ar +1

r sin

(sin a) +1

r 2 sin2

a

13


14/204

1.5 Intensitatea campului electric ntr-un punct determinat de vectorul depozitie r = r(x,y,z ) are expresia:

E = div( A r) + runde A(a,b,c)vector constant. Care din urm atoarele armat ii sunt false?a). campul este irotational;b). potent ialul c ampului este V = A r 12 r 2;c). densitatea de sarcina n vecin atatea punctului considerat este = 3 0;d). toate armatiile sunt corecte

1.6 In punctele Asi B din gura Fig.1.6 sunt plasate sarcinile electrice

q si respectiv 3q unde q = 106C . Stiind c a distant a a = 0 , 5m si ca1/ 4 = 9 109Nm 2/C 2, alegeti armat iile corecte:a). potent ialul creat n punctul O este 36 103V ;b). forta cu care sarcina 3 q actioneaz a asupra celei din punctul A este27 103N ;c). intensitatea campului electrostatic creat n punctul J de sarcina din Aeste 18 103N/C ; R: a). b; b). c; c). a; d). toate; e). nici una.1.7 Doua sarcini electrice punctiforme q1 si q2 sunt plasate la distant a d unade alta. O a treia sarcinina punctiform a, Q, se aseaz a la distant a 3d/ 4 desarcina q1 pe linia ce uneste sarcinile q1 si q2. Fort a rezultanta ce actioneaz aasupra sarcinii Q este nul a daca sarcina q1 este mai mare dec at q2 de: a).3/4 ori; b). 4/3 ori; c). 9 ori; c). 1/9 ori; d). 2 ori; e). 3 ori

1.8 Doua corpuri punctiforme cu sarcinile +2 q si q sunt plasate de-a lun-gul axei Ox una n punctele x1 = 1 , 5m, respectiv x2 = 3 m. In ce punctpotent ialul creat de ele este nul?

a). 2, 5m; b). 2m; c). 2m; d). 0, 3m; e). 3, 5m.1.9 Un electron si un proton se a a initial n repaus la distant a d unul dealtul. Dac a sunt l asate libere, cele doua sarcini se vor nt alni:

a). la mijlocul distant ei dintre sarcini;b). mai aproape de electron;

14


15/204

Fig.1.6

c). mai aproape de proton;d). nu se ntalnesc niciodat a;R: a) d; b). a; c). b, d). c; e).

1.10 O sarcin a electrica avand valoarea q este plasat a sau n punctul Asau n punctul B conform gurii Fig.1.10. In punctul A forta rezultanta este:a). zero; b). mai mica; c). egala; d). mai mare decat fort a care act ioneaz aasupra sarcinii plasate n punctul B.

R: a). c; b). a; c). b; d). d; e).

1.11 Se da o distribut ie liniara de sarcina a c arei densitate este (dq = dl). Sa se gaseasca expresia intensitat ii campului electric la distanta r dedistribut ia de sarcin a daca acesta se aa n vid ( o, o).

1.12 Un r de lungime L nc arcat uniform cu densitatea liniar a de sarcina este asezat de-a lungul axei Ox avand cap atul din st anga plasat la distantad fat a de originea axei. Intensitatea campului electric creat n origine este:

15


16/204

Fig.1.10

a). d4 0 d(L+ d)b). L4 0 d(L+ d)c). L4 0 d ;d). L4 0 d(L

d)

e). 4 0 d(L+ d)

1.13 Intensitatea campului electric creat de un inel de raza R, nc arcat cusarcina electric a q ntr-un punct situat la distant a z de centrul acesteia, pedirect ia axei de simetrie, este:

a). qz4 0 (z2 + R 2 )1/ 2

b). qz4 0 (z2 + R 2 )c). q

4 0 (z2 + R 2 )3/ 2

d). qz4 0 (z2 + R 2 )

3/ 2

e). q4 0 (z2 + R 2 )1/ 2

1.14 Sa se calculeze intensitatea c ampului electric creat de un plan innitnc arcat uniform cu o sarcin a cu densitatea superciala .

1.15 Intensitatea campului electric creat de un disc de raz a R, nc arcat cusarcina electric a q ntr-un punct situat la distant a z de centrul acesteia, pe

16


17/204

Fig.1.13

direct ia axei de simetrie din plan perpendicular pe disc, este:

a). 20zz2 + L 2

b). 20Lz2 + L 2

c). 20 1 zz2 + L 2d). 4160 1 zz2 + L 2e). 0

1.16 O bucat a de material izolator de form a cilindrica este plasata ntr-un camp exterior cu liinile de camp de forma dat a n gur a. Fluxul electricnet prin suprafata cilindric a este:a). pozitiv; b). negativ; c). zero; d). imposibil de determinat; e). innit

1.17 Un balon sferic contine n centrul sau un mic obiect nc arcat elec-tric cu sarcin a pozitiv a. Daca se m areste volumul balonului, corpul nc arcatramanand n aceeasi pozitie, uxul electric prin suprafata balonului creste,descreste sau r amane constant? Ce se poate spune despre intensitatea c am-

17


18/204

Fig.1.16

pului electric?

a). uxul si intensitatea descrescb). uxul r amane constant iar intensitatea descrestec). uxul descreste iar intensitatea ram ane constantad). uxul si intensitatea r aman constantee). uxul si intensitate cresc

1.18 Intensitatea campului electric n interiorul unui conductor (n absent aaltor sarcini electrice interioare independente) este zero c and:

a). nu exist a sarcini exterioare conductoruluib). nu exist a sarcini pe suprafat a conductoruluic). niciodat a

d). ntotdeaunae). uneori

1.19 O sarcina pozitiva q este distribuita uniform pe suprafat a unei sferedielectrice omogene cu permitivitatea electric a . Sa se calculeze campulelectric n interiorul sferei si n afara ei.

1.20 Fie un conductor sferic care cont ine un exces de sarcin a electrica + Q.Sfera este nconjurata de un nvelis sferic concentric conductor care are un

18


19/204

exces de sarcina negativ a

5Q. Cum se redistribuie sarcina pe suprafata

interioar a si exterioar a a nvelisului sferic?

a). 5Q n interior, 0 n exteriorb). 2.5Q n interior, 2.5Q n exteriorc). Q n interior, 4Q n exteriord). + Q n interior, 6Q n exteriore). 0 n interior, -5 Q n exterior1.21 Potent ialul unui c amp electrostatic este V (x,y,z ) = (xy z2) unde

const. C at este proiect ia vectorului E pe directia descris a de vectorul

r = x + 2 z, n punctul M (7, 1, 2)?

a). 5b). 7/ 5c). 2d). 1;e). 0

1.22 Potent ialul creat de un disc de raz a R si sarcin a electrica q ntr-unpunct situat la periferia discului este:

a). q 2 R 0b). 14 0

qR

c). 0;d). 14 0

4qR 2

e). 4qR4 0

1.23 Sa se determine potent ialul creat de un dipol (ale c arui sarcini q si

q se aa la distant a 2a) cu momentul dipolar p.

1.24 Potent ialul c ampului electrostatic creat de un dipol de moment dipolar p aat n vid, la distant a r de dipol, este:

V =1

4 o pr

r 3

Sa se calculeze intensitatea c ampului electric la distanta r de dipol.

1.25 Capacitatea electrica a unui sistem format din doi conductori sfericide raze R1, R 2(R1 < R 2)nc arcat i cu sarcina electric a Q, este:

19


20/204

a). 4 0R1R2b). 4 0 R 1 + R 2R 2 R 1c). 4 0 R 1 R 2R 2R 1d). 4 0 R 1 R 2R 2 + R 1e). 4 0 R 1R 2R 2 R 1

1.26 Capacitatea electrica a unui conductor sferic de raz a R1 ,nconjurat deun strat omogen dielectric de raza R2(R1 < R 2) si permitivitate electrica rel-ativ a r ,nc arcat cu sarcina electrica Q, este:

a). 4 0 r R 1 R 2R 2R 1 (r 1) ;b). 4 0 r R 1 R 2R 1 + R 2 r ;c). 4 0 r R 1 R 2R 2 + R 1 r ;d). 4 0 r R 1 R 2R 1 + R 2 (r 1) ;e). 4 0 r R 1 R 2R 2 + R 1 (r 1)

1.27 Capacitatea electrica a unui sistem alc atuit din doi conductori cilin-drici de raze R1, R2(R1 < R 2)si lungime l ca gura Fig.1.27, nc arcat i cusarcina electric a Q, este:

a). 2 0/l ln( R 2R 1 )b). 2l0/ ln( R 2R 1 )c). 4l0/ ln( R 2R 1 )d). 2l/ 0 ln( R 2R 1 )e). 8l0/ ln( R 2R 1 )

1.28 Capacitatea electrica a unui sistem alc atuit din doi conductori sfericide raze R1, R2(R1 < R 2) ,nc arcat i cu sarcina electric a Q si umpluti cu unmaterial dielectric cu permitivitatea dependent a de raza conform relatieir (r ) = /r, = const. :

a). 4 0a ln( R 2R 1 )

b). 40 ln(

R 2R 1

)

c). 8 0ln( R 2R 1 )

d). 8 0a ln( R 2R 1 )

20


21/204

Fig.1.27

e).4 0ln( R 2R 1 )

1.29 Energia de interactiune pentru o conguratie de patru sarcini electriceq, plasate n varfurile unui tetraedru cu latura a este:

a). 3q2

2 0 a

b). q2

0 a

c). 4q2

2 0 a

d). 2q2

4 0 a

e). q2

6 0 a

1.30 Energia de interact iune pentru o conguratie de sarcini electrice q,plasate n varfurile unui cub cu latura a este:

a). 8q2

0 a

b). 3q2

0 a 1 +12

c). 3q2

4 0 a 1 +12 +

133

d). 3q2

0 a 1 +12 +

133

21


22/204

e). 3q2

0 a 1 +12 +

13

1.31 Energia proprie electrostatica a unei sfere ncarcate uniform cu den-sitatea de sarcin a este:

a). 2 R 5

150

b). 2 R 5

4 0

c). 42 R 5

5 0

d). 42 R 5

150

e). 42 R 5

50

1.32 Se considera fort a F = yx + xy + 3 z. Energia potent iala electro-static a este:a). 3zb). 12 y2 + 12 x2 + 3 zc). (y2 + z2)d). nu se poate deni;e). 0

1.33 Sa se determine campul magnetic

B produs de un curent I care par-curge un conductor rectiliniu innit, ntr-un punct P , la distant a R de acesta.

1.34 Induct ia c ampului magnetic creat de curentii din gura Fig.1.34 npunctul O este:

a). B = 12 I 1 I 2 2ab). B = 12a I 1 I 2 2c). B = 12

I 1a I 2 a2

d). B = 12a 2I 1

I 2 2

e). B = 12a I 1 I 2 4

1.35 Folosind teorema lui Ampere demonstrat i care din urm atoarele armat iisunt adev arate pentru induct ia campului magnetic B :

a). B = 12 0 j -plan innit; B = 0nI - solenoid; B =1

2r 0NI - torb). B = 12r 0 j -plan innit; B =

12 0nI - solenoid; B =

12r 0NI - tor

22


23/204

Fig.34

c). B = 12 0rj -plan innit; B =12 0nI - solenoid; B =

12r 0NI - tor

d). B = 12 0 j -plan innit; B =1

2 0nI - solenoid; B =1

2r 0NI - tore). B = 12 0 j -plan innit; B =

12 0nI - solenoid; B =

12 0rN I - tor

unde jdensitatea liniara de curent, nnumar de spire pe unitatea de lungime,N numar total de spire si rraza torului.

1.36 Campul magnetic creat de un conductor de forma celui din Fig.1.36de raze a si b, str abatut de un curent de intensitate I ntr-un punct situat ncentrul gurii este:

a). B = 0 I 41

a 2 +1b2

b). B = 0c). B = 0 I 4

1a 2 1b2

d). B = 0 I 41a 1b

e). B = 0 I 41a +

1b

1.37 Fort a de interact iune dintre un curent liniar I 1 si un curent I 2 care cir-cula printr-un cadru dreptunghiular ( b, L) aat la distanta a, conform guriiFig.1.37 este:

a). B = 0 I 1 I 2 b2L (a+ b)b). B = 0 I 1 I 2 L(a+ b)2abc). B = 0 I 1 I 2 Lb4a (a+ b)

23


24/204

Fig.1.36

Fig.1.37

d). B = 0 I 1 I 2 L(ab)2abe). B = 0 I 1 I 2 Lb2a (a+ b)

1.38 Fiecare conductor liniar din Fig.1.38 are valoarea I , directia perpendi-cular a pe planul foii si sensul indicat. Calculati circulat ia vectorului inductiemagnetic a pentru ecare din contururile a si b :

a). a = 0I, b = 0b). a = 3 0I , b = 4 0I c). a = 4 0I, b = 4 0I d). a = 0I, b = 0

24


25/204

e). a = 0 , b = 0

Fig.1.38

1.39 Un cablu coaxial de forma unui cilindru plin de raza a nconjurat de unun conductor cilindric extern, de raze cuprinse ntre b si c ca n Fig.1.39, esteparcurs de un curent I care circula prin conductorul exterior si se ntoarceapoi prin conductorul interior. Sa se gaseasca valorile induct iei magnetice npunctele situate la distant ele a,b,c de centrul cablului:

Fig.1.39

a). Ba = 0 , Bb = 0 , B c = 0 I 2cb). Ba = 0 I 2c , B b = 0 , B c =

0 I 2c

c). Ba = 0 , B b = 0 I 2b , B c =0 I 2c

25


26/204

d). Ba = 0 I 2a , Bb =0 I 2b , B c =

0 I 2c

e). Ba = 0 I a , B b = 0 I

2b , B c = 0 I

2c

1.40 Fie un cablu de lungime l format dintr-un miez cilindric de raza r 1 si unnvelis cilindric coaxial cu raze cuprinse ntre r 2 si r 3(r 1 < r 2 < r 3)str abatutde un curent I care intr a prin miez si iese prin invelis . Permeabilitatea mag-netic a a conductorului este iar ntre miez si nvelis este un mediu dielectriccu permeabilitate magnetic a 0. Energia magnetic a nmagazinat a n cablueste:

a). W m = I 2

2 lnr 3r 1

b). nu se poate calculac). W m = I

2

2 0 lnr 2r 1 +

r 43(r 23 r 22 )

2 ln r 3r 2 r 23

2(r 23 r 22 )d). W m = I

2

2 0 lnr 2r 1 +

r 3(r 23 r 22 )

ln r 3r 2 r 23

2(r 23 r 22 )e). W m = I

2

2 0 lnr 2r 1 +

r 232(r 23 r 22 )

1.41 Sa se calculeze campul magnetic n punctele situate pe axa de sime-trie a unei spire circulare de raz a R, prin care trece un curent de intensitateI .

1.42 Tensiunea electromotoare indus a n bucla dreptunghiular a din Fig.1.42de dimensiuni bsi L care se deplaseaza cu viteza vn campul magnetic creatde curentul I, n momentul n care bucla a ajuns la distant a a de r este:

a). e = 0 IL2av

a(a+ b)

b). e = 0 I 2Lb2 v

a(a+ b)

c). e = 0 IL2bv

a(a+ b)

c). e = 0 IL2av

b(a+ b)

d). e =0 IL

4bv

a(a+ b)

1.43 Un r conductor de forma unei parabole y = kx2 este plasat n campulmagnetic constant B, orientat ca n Fig.1.43. Un alt conductor, AB, se de-plaseaz a cu acceleratia constanta a, far a viteza initial a, deasupra parabolei.Tensiunea electromagnetic a indus a n circuitul conductor este:

a). e = By 8a/kb). e = B ay/k

26


27/204

Fig.1.42

c). e = By 2 8a/kd). e = Ba 8y/ke). e = By 2a/k1.44 O bobin a plat a, construita dintr-un numar mare de nf asur ari, N, curaza exterioar a a,este asezata perpendicular pe inductia unui c amp magneticcare variaz a n timp dupa legea: B = B0 sin t,B 0constant iar frecventaunghiular a (Fig.1.44). Tensiunea electromagnetic a maxim a indus a n bobinaeste:

a). emax = 12 a2NB 0

b). emax = 14 a2NB 0

c). emax = a 2NB 0d). emax = a 2N 2B0e). emax = 13 a

2NB 0

1.45 O bobina cu N spire si sectiune S este plasat a n interiorul unui solenoidcare creaza campul magnetic variabil B = B0 sin t,B 0constant. Bobinase roteste cu frecvent a unghiulara n jurul axei sale. Tensiunea electromag-netic a indus a n bobin a este:

a). e = NSB 0 tan t

27


28/204

x

y

y=kx 2

v

A B

Fig.1.43

b). e = 12 NSB 0 sin2tc). e = NSB 0 cos td). e = 12 NSB 0 cos2te). e = 12 NSB 0 sin t1.46 Poate considerat vectorul A = A0 (x2 + y2) z potent ial vector al vec-torului induct ie B creat de un cablu cilindric de raz a r 0 parcurs de curentulde intensitate I ntr-un punct din interiorul conductorului? C at este valoareaconstantei A0 n caz armativ?

a). nu poate

b). da ; A0 =0 I 4r 2

c). da; A0 = 0 I 2r 0d). da; A0 = 0 I 4r 20

1.47 Daca intensitatea campului electric n vid variaza dupa legea:

E = E 0 cos[(t z )] yunde E 0, constante, atunci intensitatea c ampului magnetic generat, variaz adup a legea:

28


29/204

Fig.1.44

a). H = E 00 cos[(t z ) x + const. xb). H = E 00 cos[(t z )] yc). H = E 0 0 cos[(t z )] x + const. xd). H = E 0 0 cos[(t z )] ye). H = E 00 cos[(t z )] z1.48 Daca induct ia campului magnetic n vid si J = 0 , = 0 variaz a dup alegea:

B = B0 sin(t kx) x + B0ky cos(t kx) yunde B0, kconstante, atunci intensitatea c ampului electric generat este deforma:a). E = kB 0 y0 0 cos(t kx) zb). E = k

2 B 0 y0 0 cos(t kx) z

c). E = k2 B 0 y

0 0 sin(t kx) xd). E = B 00 0 cos(t kx) y

29


30/204

e). E =

B 0

0 0 sin(t

kx)

z

1.49 Printr-un solenoid cu raza sectiunii R circula un curent electric care de-termin a un camp magnetic ce variaz a n timp dupa legea B = at 3, const.Curentul de deplasare variaza n funct ie de distant a r de la axa solenoiduluidup a legea:

a). | jd| = 3 0rt 2 (r < R ) ; | jd| = 3 0R2t2 (r > R )b). | jd| = 34 0rt 2 (r < R ) ; | jd| = 0 ( r > R )c). | jd| (r < R ) ; | jd| 34 0 R

2

r t2 (r > R )

d).

| jd

|= 3 0rt 2 (r < R ) ;

| jd

|= 34 0

Rr t

2 (r > R )e). | jd| = 34 0rt 2 (r < R ) ; | jd| = 34 0 R 2r t2 (r > R )1.50 Un condensator plan n vid, cu arm aturile de forma unui disc de raz aR este nc arcat cu o sarcin a electrica care creaza un camp electric ce variaz an timp dupa legea E = t 2, const. Campul magnetic ce apare are inductiamagnetic a depent a de distant a r de centrul condensatorului masurata n planparalel cu arm aturile data de legea:

a). B = 00rt 2 (r < R ) ; B = 00 R2

r t2 (r > R )

b). B = 00rt (r < R ) ; B = 0 ( r > R )

c). B (r < R ) ; B =34 00

R 2r t2 (r > R )

d). B = 00rt (r < R ) ; B = 00 R2

r t (r > R )e). B = 00r 2t (r < R ) ; B = 00 R

4

r 2 t (r > R )

1.51 Marimea vectorului Poynting creat la distant a r de axa unui fasciculrectiliniu de protoni, cu densitatea linir a de sarcina , n deplasare cu vitezav este:

a). S = 2

4 2 v 0 r 2

b). S = v4 0 rc). S = 2 v24 0 r 2d). S =

2 v4 2 0 r 2

e). S = v2

4 2 0 r 2

1.52 Sa se demonstreze ca un camp magnetic stat ionar admite un potent ialvector de forma:

A =12

B r

30


31/204

1.53 Stiind c a potent ialul vector determinat de un moment magnetic dipolar m este:

A( r) =o4

m rr 3

sa se calculeze campul magnetic corespunzator. Se va considera c a momentulmagnetic m este orientat pe direct ia Oz.

1.54 Sa se determine campul magnetic n interiorul si n exteriorul unui

cilindru de raz a R prin care circul a un curent de densitate j , stiind c a liniilede camp sunt cercuri concentrice n plane perpendiculare pe axa cilindrului.

1.55 ntr-o regiune din spat iu exist a un camp magnetic paralel cu axa Oz sivariabil n timp dupa legea sinusoidal a:

B = Bo sin( t)

Sa se determine campul electric E la distant a r de axa Oz.

1.56 Fie un condensator plan-paralel cu pl acile circulare de raza R. Conden-satorul este conectat la un generator de curent alternativ astfel nc at sarcinade pe placile condensatorului variaza n timp dupa legea:

q = qo sin( t)

Sa se calculeze campul magnetic n punctele aate la distant a r de axa con-densatorului c and:

a). r Rb). r > R1.57 Fie un condensator plan format din dou a discuri de raza a, aate ladistant a d una fat a de cealalt a, conectat la o diferent a de potent ial alterna-tiv a U . La frecventa mic a, intensitatea campului electric la ecare momenteste uniforma si are expresia E 1 = E o exp(it ). Sa se calculeze:

a). induct ia B1 a campului magnetic asociat campului electric E 1b). sa se arate c a intensitatea E 2 a campului electric indus prin variat iacampului magnetic B1, depinde de r si sa se calculeze valoarea ei pentrur = 0

31


32/204

c). circulatia vectorului E 2 de-a lungul conturului 2 (Fig.1.57) si s a se de-duca expresia lui E 2d). valoarea lui r pentru care E = 0.

Fig.1.57

1.58 Fie o sfera de raza r acoperit a cu o substant a radioactiv a care emiteradial, izotrop, particule cu sarcina q, obtin andu-se un curent electric radialde aceeasi intensitate n toate direct iile. Dac a not am cu q(r ) sarcina electric adin interiorul sferei, cu j (r ) densitatea de curent electric radial si cu E (r )intensitatea campului electric, se cere:

a). sa se exprime j (r ) n funct ie de q(r )b). sa se exprime E (r ) n funct ie de q(r )c). sa se calculeze inductia campului magnetic produs de curenti, utiliz andecuatiile lui Maxwell

1.59 Sa se calculeze modul n care variaz a n timp densitatea de sarcin antr-un punct oarecare al unui mediu av and conductivitatea si permitivi-tatea relativa r .

32


33/204

1.60 Sa se arate c a daca un camp electromagnetic, denit prin vectorii E 1 = E 1( r, t ) si H 1 = H 1( r, t ) verica ecuatiile lui Maxwell ntr-un mediu

lipsit de curent i electrici si de sarcini electrice libere, aceste ecuat ii sunt veri-cate si de un camp denit prin vectorii E 2( r, t ) = H 1( r, t ) si respectiv H 2( r, t ) = E 1( r, t ).1.61 Sa se arate ca prezenta substantei, caracterizata prin polarizarea P simagnetizarea M , este echivalent a cu existent a unei distributii suplimentarede sarcini electrice si de curent i electrici.

1.62 Fie o suprafat a de separare dintre ( z = 0) dou a medii. Toate c ampurilesunt uniforme spat ial n ambele medii si independente de timp. Mediile suntcaracterizate prin marimile 1, 1 si 1 = o, respectiv 2, 2 si 2 = o. nmediul (1) densitatea de curent este:

j1 = j x ux + j y uy + j z uz

unde j x , j y , j z sunt constante. Sa se calculeze:

a). intensitatea campului electric E 2 din mediul (2)b). densitatea superciala de sarcina s n planul z = 0

1.63 a) Sa se scrie ecuatiile Maxwell pentru c ampul electromagnetic ntr-unmediu cu permitivitatea electric a , permeabilitate magnetic a si conduc-tivitate electrica . Sa se exprime puterea dP disipat a prin efect Joule nelementul de volum dV n funct ie de intensitatea campului electric E si deconductivitatea .b) Sa se arate ca n regim sinusoidal intensitatea c ampului electric E , induct iamagnetic a B , densitatea de sarcina si densitatea de curent electric j suntnule n volumul unui conductor perfect.

1.3 Solutii1.1 Fort a de interact iune dintre cei doi cuarci pozitivi este

F ++ = 9 109q2+r 2

= 9 1094e2

9r 2= 45 , 51N

iar forta de interact iune dintre un cuarc pozitiv si unul negativ este:

F + = 9 109q+ qr 2

= 9 1092e2

9r 2= 22 , 76N

33


34/204

Fort ele de interact iune au direct ia dreptei ce uneste sarcinile electrice (plasaten v arfurile unui triunghi echilateral), si sensul convent ional de la sarcinapozitiva spre cea negativa. Pentru a g asi forta totala ce actioneaz a asupraecarui cuarc din partea celorlalti, aplic am principiul superpozit iei. Asupracuarcilor pozitivi act ioneaz a doua forte ntre care este un unghi de 120 .

F + = F 2++ + F 2+ + 2 F + F ++ cos120=

9 109 2 (1, 6 1019)2

9 (1, 5 1015)2 4 + 1 212

= 39 , 4N

Fort a totala ce actioneaz a asupra cuarcului negativ corespunde rezultanteidintre vectorii fort elor datorate cuarcilor pozitivi, fort e ce fac ntre ele ununghi de 60.

F = F 2+ + F 2+ + 2 F + F + cos60=

9 109 2 (1, 6 1019)2

9 (1, 5 1015)2 1 + 1 + 212

= 39 , 4N

Sistemul format din cei trei cuarci formeaz a un sistem stabil, rezultantafortelor ce actioneaz a asupra sistemului ind zero.Raspunsul corect este d)

1.2 Aplicam teorema circulat iei campului electrostatic de-a lungul unui con-tur nchis:

E dl = 0Daca alegem contururi nchise de forme convenabile (marcate punctat n celepatru conguratii de camp conform Fig.1.2.r.), constat am urm atoarele:

n cazul a), liniile de c amp sunt orientate radial, deci perpendiculare peconturul circular ales. Totusi nu este posibil a schimbarea sensului c ampuluin centrul gurii mai ales c a n acel punct nu exista nici o distribut ie desarcini care ar putea determina acest lucru

n cazul b), liniile de camp sunt orientate simetric fat a de conturul nchis;circulat ia totala a vectorului intensitate de-a lungul conturului este zero da-torit a simetriei

34


35/204

Fig.1.2.r

n cazul c), liniile de camp sunt mai dese n partea st anga, ca urmare,conform conventiei acceptate n descrierea geometric a a campului, valoareaintensit at ii este mai mare n aceasta parte fat a de partea dreapta; rezult a ocirculat ie total a nenul a

n cazul d), liniile de camp sunt orientate de-a lungul unui contur nchis sidau astfel o valoare totala diferit a de zero a circulatieiRaspunsul corect este b)

1.3 Un camp solenoidal este denit de condit ia diferent ial a:

div E = 0

sau de conditia integral a:

E ds = 0ceea ce nseamn a ca nu exist a un ux net prin nici o suprafat a nchisa aleasan interiorul campului. Simetriile din cele trei reprezentari ne sugereaza saalegem suprafete nchise de forma celor date n gura Fig.1.3.r.:

35


36/204

Fig.1.3.r

unei sfere concentrice cu liniile de camp - pentru cazul (a) paralelipiped cu sect iunea de forma data n cazul (b) paralelipiped cu sect iunea data n cazul (c)Se observa ca liniile de camp sunt concentrice cu suprafata sferei (cazul (a)),adica E dssi ca urmare:

a = E ds = E S = 0Pentru cazul b):

b = E ds = 0deoarece uxul liniilor care care intr a si care ies prin baze nu sunt egale(valoarea lui E creste cu distanta!).n cazul c), ecare linie care intr a prin baza inferioar a iese prin cea superioar asi ca urmare uxul total este nul.

c = E ds = 0Ca urmare c ampurile descrise de congurat iile a) si c) sunt solenoidale. Uncamp irotat ional este denit de condit ia diferent ial a:

rot E = 0

sau de conditia integral a:

E dr = 036


37/204

ceea ce nseamn a ca circulat ia vectorului de-a lungul oricarui contur nchisales n interiorul c ampului este nul.Consider and contururi nchise de forma celor date n Fig.1.3.r., se constat a:

a = E dr = E 2r = 0b = E dr = 0c = E dr = 0

Ca urmare, c ampurile descrise de congurat iile a) si c) sunt rotationale iar

b) este irotat ional.Raspunsul corect este a)

1.4 Simetria radiala a campului ne permite calculul divergentei n coordonatesferice:

div E = E =1r 2

r

r 2E =

=1r 2

2rE +E r

=

2

r 3+

2

r 3+

1

r

q

4 0exp(

r

)

= q

4 0r 2exp(

r

)

Aplicam teorema lui Gauss sub form a diferential a:

div E =0

de unde rezult a imediat c a:

= 0 E

Folosind rezultatul gasit pentru divergent a la punctul a), se obt ine:

(r ) = q

4r 2exp(

r

)

ceea ce nsemn a ca , n jurul sarcinii electrice, se formeaz a un nor de sarcinide semn contrar a c arui densitate scade exponential pe m asur a ce crestedepartarea fat a de sarcina.Raspunsul corect este a)

37


38/204

1.5 Campul electric descris de vectorul E este electrostatic daca:rot E = 0

Deoarece

div( A r) =

x(ax ) x +

y

(by) y +

z(cz) z

= ax + by + cz = A

atunci:

div( A

r) + r = ( a + x) x + ( b + y) y + ( c + z) z

Ca urmare:

rot E =x y z

x

xy

za + x b + y c+ z

= 0

Campul este irotat ional, deci armat ia a) este corect a.Deoarece campul este conservativ se poate deni o m arime zica scalara astfelnc at:

V 1

V 2

=

2

1 E

dr =

2

1div( A

r) + r

dr

= 2

1 A + r dr = A r 12

r 22

1

noindent Dac a consideram drept referint a punctul r1 = 0 , pentru care V 1 =0, se poate deni potent ialul ntr-un punct ca:

V = A r 12

r 2

Armat ia b) este adev arat a. Folosim n continuare teorema lui Gauss:

div E = 0

= 0div E

= 0div div( A r) + r = 0div [(a + x) x + ( b + y) y + ( c + z) z]

= 0

x(a + x) x +

y

(b + y) y +

z(c + z) z

= 0 (1 + 1 + 1) = 3 0

38


39/204

Armat ia c) este corect a.Raspunsul corect este d)

1.6 Potent ialul creat n O este dat de suma potentialelor create de sarciniledin A respectiv din B .

V (O) = V A(O) + V B (O)V (O) = q

4a+

3q4a

=2q

4a

V (O) = 9 109Nm 2C 22 106C

0, 5m= 36 103V

Ca urmare armatia a) este corect a.Fort a cu care sarcina plasata n B actioneaz a asupra sarcinii din punctulA este:

F A =(q)(3q)4 (2a)2

F A = 9 109Nm 2C 23 (106)2C 24 (0, 5)2m2

= 27 103N Intensitatea campului electrostatic creat de sarcina qn punctul J este:

E = q4 0(a2 + a2)

E = 9 109Nm 2C 2106C

2 (0, 5)2m2= 18 103N/C

Ca urmare toate variantele sunt adev arate, deci r aspunsul corect este e)

1.7 Egaland fortele care actioneaz a asupra sarcinii Q se obtine:

q1Q

4 3d4 2=

q2Q

4 d4 2

Rezult a raportul celor dou a sarcini:

q1q2

= 9

Raspunsul corect este c)

1.8 Potent ialul ntr-un punct oarecare, x, situat pe axa Ox asezat a pe

39


40/204

dreapta ce uneste cele doua corpuri, este determinat de suma potent ialelorcreate de ecare sarcin a:

V = V 1 + V 2V =

2q4 0(x x1)

q4 0(x2 x)

= 02(x2 x) = ( x x1)

x =2x2 + x1

3=

2 3m + 1 , 5m3

= 2 , 5m

Raspunsul corect este a)

1.9 Conform principiului act iunii si react iunii, fort a cu care electronul atrageprotonul este egal a si de sens opus cu forta cu care protonul atrage electronul.Ar parea astfel c a ciocnirea celor doua particule se va produce la mijloculdistant ei dintre ele. Aceast a observat ie este ns a falsa deoarece masa pro-tonului ind de 2000 ori mai mare decat cea a electronului, accelerat ia luieste de 2000 ori mai mica. Ca urmare ciocnirea se va produce n imediatavecinatate a protonului.

F eF p

=meaem pa p

= 1

a p = mem pae

Varianta corecta este c)

1.10 Conform Fig.1.10.r., fort a rezultanta care actioneaz a asupra sarciniiplasate n punctul A este diferita de zero si orientat a pe directia AB . Dacasarcina este plasata n punctul B forta rezultanta este zero.Raspunsul nal este d)

1.11 Fie o drept a normal a la r, n orice punct O al acestuia (g.1.11.1.r).Oricarui element de r dl situat la s anga punctului O i corespunde un ele-ment de r dl , egal, situat simetric fat a de O, la dreapta. Dac a densitatealiniara de sarcina a rului este , atunci sarcinile elementare dq = dl sidq = dl vor genera, n punctul P situat pe normala, campurile d E sid E ale caror componenete paralele cu rul se anuleaz a. Componentele nor-male la r se compun scalar si dau campul electric generat de r n oricepunct din spat iu. Deci, campul electric generat de rul innit, nc arcatuniform cu sarcin a electrica, este normal la r si radial n jurul oricaruipunct O al rului (Fig.1.11.2.r). Pentru a calcula valoarea campului elec-

40


41/204

Fig.1.10.r

tric, vom nchide, imaginar, o port iune a rului cu o suprafat a cilindricagaussian a, coaxiala cu rul (Fig.1.11.3.r). La distanta r de axa cilindrului,pe suprafat a lui lateral a, E are aceeasi valoare si este orientat perpendic-ular pe r. Pe suprafet ele bazelor cilindrului gaussian, E este perpendic-

ular pe normal a, iar uxul electric prin aceste suprafete este nul, deoareceE (baze) = E (S b + S b)cos90o = 0. Fluxul prin suprafata laterala esteE (lateral ) = E S l = E 2rL si reprezinta uxul total prin suprafat acilindrului. Conform legii lui Gauss pentru campul electric vom avea:

E n dS = qoE (2rL ) =

Lo

Pe de alt a parte dac a vom considera rul de lungime L, atunci sarcina qcontinuta n suprafata gaussiana este q =

L care , nlocuita n relat ia de

mai sus va conduce la determinarea c ampului electric:

E =

2 or

1.12 Se mparte sarcina total a a rului n sarcini electrice elementare, deforma unor segmente de lungime dx. Folosind reprezentarea din Fig.1.12.r,se poate scrie:

41


42/204

Fig.1.11.1.r

Fig.1.11.2.r

dq = dx

Intensitatea campului electric creat n punctul O de aceast a sarcina elemen-tar a este pe directia axei Ox si are sensul nspre axa negativa dac a distribut iade sarcina este pozitiv a. Marimea intensitat ii campului elementar este:

dE =dq

4 0(d + x)2=

dx4 0(d + x)2

iar a campului total creat n punctul O de c atre ntreaga distribut ie este:

E =L

0dx

4 0(d + x)2=

4 0

L

0dx

(d + x)2

42


43/204

Fig.1.11.3.r

=

4 0 1

d + L+

1d

=L

4 0d(L + d)

Raspunsul corect este b)

1.13 Calculam intensitatea c ampului electric elementar creat de sarcina in-nitezimal a:

dq = dl

n punctul situat la distant a z de centrul inelului:

d E =dl

4 0r 2r

Vectorul intensitate este orientat pe dreapta suport ce uneste sarcina elemen-tar a de punctul de interes.Daca se considera sarcina elementara diametral opusa si se sumeaza vectorialse observa anularea componentelor perpendiculare pe axa Oz.

Rezultanta celor doi vectori elementari este determinat a doar de suma com-ponentelor orientate de-a lungul axei verticale Oz. Aceast a observat ie nepermite ca, prin extrapolare, sa adun am doar componentele vectorilor ele-mentari orientate de-a lungul axei verticale:

dE z = dE cos =dl

4 0r 2cos

Folosind relat iile geometrice:

cos =zr

=z

z2 + R243


44/204

Fig.1.12.r

vom exprima totul n funct ie de distant a z si de raza R pentru a integra nnal dup a dl. Se obtine:

dE z =zdl

4 0 (z2 + R2)3/ 2

Ca urmare:

E =2R

0 dE z =z

4 0 (z2 + R2)3/ 2

2R

0 dl=

z 2R4 0 (z2 + R2)3/ 2

=qz

4 0 (z2 + R2)3/ 2

Raspunsul corect este d)

1.14 Pe baza unui rat ionament asemanator problemei precedente se ajungela concluzia ca n orice punct c ampul electric este orientat normal la plan.Pentru a calcula acest camp vom alege ca suprafat a gaussian a un cilindrupe care planul l sect ioneaz a normal, n doua jumat at i (g.1.14.r). Lungimeacilindrului se alege astfel nc at bazele sale sa treac a prin punctele n care vremsa calculam c ampul. Fie + densitatea superciala de sarcina a planului siS aria bazelor cilindrului. Fluxul campului electric prin aria lateral a estenul ( E este paralel cu suprafat a laterala). Fluxul prin bazele cilindrului va E (baze) = E (S b + S b). Pe de alt a parte, asrcina din interiorul cilindruluigaussian este q = + S . Utilizand n continuare legea lui Gauss vom obt ine:

E =

2o

44


45/204

Fig.1.13.r

1.15 Vom rezolva aceast a problema folosind rezultatul problemei anterioarempreuna cu toate considerat iile facute. Discul poate construit prin ad a-ugarea de inele elementare. As adar, vom determina intensitatea c ampuluielectric ntr-un punct de pe axa vertical a, sumand algebric componentele in-tensit at ilor elementare de-a lungul axei verticale, create de ecare inel careconstruieste discul.Intensitatea campului electrostatic elementar produs de un inel de raz a r sigrosime dr este:

dE =dqz

4 0 (z2 + r 2)3/ 2=

2zrdr4 0 (z2 + r 2)3/ 2

45


46/204

Fig.1.14.r

Integr and de la r = 0 la r = R se obtine valoarea nal a:

E =L

0 dE =2z4 0

L

0rdr

(z2 + r 2)3/ 2

=z20

1z

1z2 + L2 =

=

201

zz2 + L2

Dupa cum se constat a, daca z , E 20 .Cu alte cuvinte, n punctefoarte ndepartate de suprafata discului efectul distributiei de sarcini nu de-pinde de forma acesteia.Raspunsul corect este c)

1.16 Teorema lui Gauss nu poate aplicat a decat n cazuri ce prezintasimetrii, adica atunci cand congurat ia liniilor de camp si n consecint a vec-torul intensitate camp electric, au o orientare cunoscuta. Ea arm a faptul c auxul liniilor de camp printr-o suprafat a nchis a este determinat de sarcinanchis a n acea suprafata.

E d S = qDeoarece suprafat a cilindric a nu nchide nici o sarcin a sau distribut ie desarcini, uxul net prin ea este zero.

46


47/204


1.17 Raspunsul corect al acestei probleme se g aseste cu ajutorul teoremeilui Gauss.

=q

unde:

= E d S si al observat iei ca, n puncte din exteriorul unei distribut ii sferice, campulelectric este creat este acelasi cu al unei sarcini punctiforme, plasat a n centruldistribut iei:

E =q

4R 2r

Asadar, pe masur a ce raza balonului creste, valoarea intensit at ii scade cu in-versul patratului razei. Deoarece valoarea uxului printr-o suprafat a nchis anu depinde dec at de valoarea sarcinii nchisa n acea suprafata, iar sarcinaelectric a ramane aceeasi, valoarea uxulu nu se modic a. Produsul dintresuprafat a (care creste cu patratul razei) si intensitatea c ampului (scade cuinversul p atratului razei) se mentine constant.Raspunsul corect este b)

1.18 n interiorul unui material conductor la echilibru electrostatic, E =0 indiferent de sarcina electric a de pe suprafat a sau exteriorul conductorului.Acest lucru nseamna ca regiunea din interiorul unui conductor este neutr adin punct de vedere electric adic a lipsesc sarcinile electrice necompensate:

= 0

Absent a campului electric n interiorul unui conductor conduce la observat iaca aceast a regiune este echipotent ial a. Aceste fenomene stau la baza ecran ariielectrostatice, care permite izolarea din punct de vedere electric a oric aruicorp de inuenta campurilor electrice exterioare. n practic a un nvelis con-ductor este realizat de o plas a (retea) metalic a suecient de densa.Raspunsul corect este d)

1.19 Fie un strat sferic de sarcina pozitiv a cu densitatea superciala + .Fie a raza stratului sferic (Fig.1.19.1.r). Pentru a calcula c ampul electricntr-un punct din exteriorul stratului de sarcin a P e vom imagina o suprafat a

47


48/204

Fig.1.19.1.r

gaussian a sferica S e de raza r e concentric a cu stratul sferic. C ampul elec-tric are aceeasi valoare pe suprafata S e si este normal la suprafata. Fluxulcampului prin suprafata S e este, conform denit iei lui:

E = E e

4r 2e

iar sarcina electric a din interiorul suprafetei S e este Q = 4a 2. Aplicamn continuare legea lui Gauss si vom obtine expresia c ampului electric nexteriorul stratului de sarcn a:

E e =Q

4 or 2e

Deci, campul electric generat de o sarcin a Q distribuita uniform ntr-un stratsferic de raza a este acelasi cu campul electric generat de sarcina Q daca eaar o sarcina punctiform a situat a n centrul stratului sferic.Pentru a calcula c ampul ntr-un punct P i din interiorul stratului de sarcin a,vom imagina o suprafat a gaussiana sferic a S i de raza r i si concentric a custratul sferic. Cum se vede din gur a, n interiorul suprafet ei S i nu exist asarcini electrice, deci Q = 0, astfel ncat E i(4r 2i ) = 0. Deoarece raza r i = 0rezult a ca E i = 0. n Fig.1.19.2.r. este ar atat a dependent a de r a campuluielectric generat de stratul sferic.

1.20 Regiunea din interiorul nvelisului conductor aat la echilibru electros-tatic este caracterizat a de un camp electrostatic nul indiferent de sarcina de

48


49/204

Fig.1.19.2.r

pe suprafat a sau exteriorul acestuia. Alegem asadar o suprafat a gaussian a deforma sferica n interiorul nvelisului sferic (Atent ie! E = 0 n spatiul dintrecei doi conductori!) si aplicam teorema lui Gauss. Rezult a

0 E ds = 0 = Q + qintAdica:

qint = Q

Pe suprafat a interioara se distribuie sarcina electrica Q . Folosind prin-cipiul conservarii sarcinii electrice gasim sarcina care r amane pe suprafat aexterioar a a nvelisului sferic conductor:

qint + qext = 5Qqext = 4Q


1.21 Vom determina mai nt ai vectorul intensitate camp electric: E =

gradV

= V x x V y y V z z= (yx + xy 2zz)

Proiect ia vectorului intensitate pe direct ia vectorului r(1, 0, 2) se calculeazacu ajutorul produsului scalar:

Pr E r = E rr

=

= (y 4z)49


50/204

Valoarea acestei proiect ii n M (7, 1, 2) este:

Pr E r = (1 8) = 7


1.22 Vom alege conform gurii Fig.1.22.r. elemente de sarcin a cuprinse ntredoua arce delimitate n planul discului de cercuri cu centrul n punctul A deraze put in diferite ( r, r + dr ). Daca denim densitatea superciala de sarcinaelectric a:

=q

R2

sarcina electric a a elementului de suprafata considerat este:

dq = ds= MN dr= (2r ) dr

Potent ialul creat de un astfel de element de sarcina n punctul A este:

dV =1

4 0 dqr

=1

4 0

(2r )

dr

r=

2 0

( dr )Vom gasi contribut ia totalaa elementelor care costruiesc discul prin inte-grarea dup a unghiul de la / 2 la 0, de aceea folosim unele considerentegeometrice pentru a-l elimina pe dr. Din AMS dreptunghic n M (deoarecesubntinde un arc de lungime egala cu jumatate de cerc) se observ a ca:

cos =r

2R r = 2 R cos

dr =

2R sin d

Potent ialul total creat de tot discul n-tr-un punct situat la periferie este:

V = 0

/ 2

dV = R 0

0

/ 2

sin d

= R 0

[ cos sin ]0/ 2=

R 0

=q

2R 0

50


51/204

Fig.1.22.r


1.23 Conform principiului superpozitiei, potent ialul creat de cele dou a sarciniale dipolului electric n punctul P (Fig.1.23.r.) este egal cu suma potentialelorcelor doua sarcini:

V = V 1 + V 2 =q

4 o1r 1

1r 2

=q

4 or 2 r 1

r 1r 2

Daca punctul n care calculam potent ialul este departe de centrul dipolului(r 2a) atunci:

r 1r 2 r 2

Deoarece:

r 2 r 1 2a cos expresia potent ialului V devine:

V =q

4 o2a cos

r 2=

p cos 4 or 2

=1

4 o p r

r 3

1.24 Pentru a determina campul electric creat de un dipol electric aat

51


52/204

Fig.1.23.r

n vid, vom utiliza proprietatea de conservativitate a c ampului electrostatic,adica E = V . Daca tinem cont de expresia potentialului electriv V creatde dipol cu momentul dipolar p, vom obtine pentru c amp:

E = V = 1

4 o p r

r 3

Pentru a calcula prr 3 vom nota cu A = pr si cu B =1r 3 . Se poate

demonstra c a:

(AB ) = A B + B A

Deci, pentru cazul nostru vom obtine:

prr 3

= ( p r)1r 3

+1r 3

( p r)

Vom calcula n continuare 1r 3 :

1r 3

= x

1r 3

ex + y1r 3

ey + z1r 3

ez

Deoarece:

x1r 3

= 3r 4

x x2 + y2 + z2 = 3xr 5

y

1r 3

= 3yr 5

z

1r 3

= 3zr 5

52


53/204

va rezulta:

1r 3

= 3xex + 3 y ey + 3 z ez

r 5=

3rr 5

n continuare vom calcula ( pr):

( pr) = (xpx + ypy + zpz) = px ex + py ey + pz ez = p

Astfel, campul electric creat de un dipol va avea expresia:

E =1

4 o3( p r) r

r 5 p

r 3

1.25 Capacitatea electrica a unui sistem de doi conductori ncarcat i cu sarcinaelectric a Q este:

C =Q

V 1 V 2unde V 1 V 2 este diferent a de potent ial dintre acestia.

V 1

V 2 =

E

dr

Folosim observat iile conform carora campul electric n exteriorul unei distri-but ii sferice este acelasi ca si cel al unei distribut ii punctiforme cu sarcin aegala, plasat a n centrul sferei, adica:

E 1 =Q

4 0r 2

iar campul electric n interiorul unui conductor este zero, adic a

E 2 = 0

Se obtine:

V 1 V 2 =R 2

R 1

Qdr4 0r 2

=Q

4 01

R1 1

R2

Capacitatea electrica a condensatorului sferic este:

C = 4 0R1R2

R2 R153


54/204


1.26 Capacitatea electrica este marimea ce caracterizeaz a un conductor dinpunct de vedere al proprietatii de a acumula sarcina electrica si are denit ia:

C =QV

unde V este potent ialul acestuia. Deoarece nu este denita decat diferent a depotent ial dintre doua puncte, pentru a gasi potent ialul ntr-un punct trebuiesa consideram o referint a careia sa-i atribuim potentialului, prin conventie,valoarea zero. De obicei acest punct de referint a se alege la innit, acolo

unde valoarea fort ei de interact iune (si implicit a intensit atii campului) tindespre zero.

V = R 1

E dr

Separ am aceast a integral a n dou a cantit at i, corespunzatoare intervalelor(, R2) si (R2, R 1) pentru care valorile lui E sunt date de expresii diferite:

V =

R 2

E 1

dr

R 1

R 2 E 2

dr

Campul electric n exteriorul unei distribut ii sferice este acelasi ca si al uneidistribut ii punctiforme cu aceeasi sarcina plasat a n centrul sferei, adica:

E 1 =Q

4 0r 2

n regiunea umpluta cu dielectric, intensitatea campului electric se schimb adatorita faptului c a avem un alt mediu, cu permitivitatea electric a . Dacaaplicam teorema lui Gauss pentru dielectrici rezult a:

D 4r 2 = QFolosind relat ia de legatur a dintre induct ia campului electric si intensitate,rezult a:

D = 0r E 1

adica:

E 1 =Q

4 0r r 2

54


55/204

Rezult a:

V = Q

4 0

R 2

drr 2

Q4 0r

R 1

R 2

drr 2

=Q

4 01

R2+

1r R1

1r R2

=Q

4 0rr 1

R2+

1R1

Capacitatea electrica a conductorului este:

C = 4 0r R1R2R2 + R1 (r 1)

Raspunsul corect este e)

1.27 Intre cei doi cilindri creaza c amp doar cilindrul interior, pentru cilin-drul exterior campul electric n acest spat iu ind zero. Deoarece liniile decamp pentru acest sistem au simetrie cilindric a, alegem o suprafat a nchisa deforma unui cilindru de raz a r si generatoare l care sa nchida cilindrul interior.Aplicarea teoremei lui Gauss conduce la:

E 1 2rl = Q0adica:

E 1 =Q

2rl 0

Diferenta de potent ial dintre conductori este conform denitiei:

V 1

V 2 =

Q

2l0

R 2

R 1dr

r=

Q

2l0ln

R2

R1

Capacitatea electrica a unui condensator cilindric este:

C =2l0ln( R 2R 1 )


55


56/204

1.28 Aplicarea teoremei lui Gauss pentru cazul unei distribut ii sferice umplutecu material dielectric conduce la:

D 4r 2 = Qadica:

D =Q

4r 2

Deoarece:

D = 0r E E =D

0rCa urmare:

E =Q

4r 20r (r )=

Q4r 0

Diferenta de potent ial dintre conductori este conform denitiei:

V 1 V 2 =R 2

R 1

Edr =Q

4 0

R 2

R 1

drr

=Q

4 0ln

R2R1

Capacitatea electrica a sistemului devine:

C =Q

V 1 V 2 =4 0ln( R 2R 1 )


1.29 Energia electrostatica a unei congurat ii de sarcini electrice se cal-culeaza cu ajutorul formulei:

W =12

n

i=1qiV i

unde qi

sarcinile electrice iar V i

potent ialele create de toate sarcinile elec-

trice q j,j = i n punctul n care este plasat a sarcina qi , adica:

V i =n

j =1 ,j = iV ij

In cazul congurat iei din problem a, toate sarcinile electrice sunt egale sidatorita simetriei si potentialele create de sarcini n colturile tetraedrului vor egale.

V 1 = V 2 = V 3 = V 4

56


57/204

iar

V 1 = V 12 + V 13 + V 14

=q

4 01a

+1a

+1a

=3q

4 0a

Energia electrostatica a congurat iei devine:

W =12 4qV =

12 4q

3q4 0a

= 3q2

2 0a


1.30 Energia electrostatica pentru congurat ia de sarcini electrice se cal-culeaza cu ajutorul formulei:

W =12

8

i=1qiV i

unde qisarcinile electrice iar V ipotent ialele create de toate sarcinile elec-trice q j,j = i n punctul n care este plasat a sarcina qi adica:

V i =8

j =1 ,j = iV ij

n cazul congurat iei din problem a, toate sarcinile electrice sunt egale caurmare:

W =q

2

8

i=1V i

Simetria problemei conduce la observat ia ca potent ialele n toate colturilecubului sunt egale. Ca urmare vom calcula potent ialul creat de toate sarcinilen unul din v arfurile cubului:

V 1 = 3 V 1v + 3 V 1d + V D

unde V 1vpotent ialul creat de sarcinile plasate la distant a a, V 1d potent ialulcreat de sarcinile plasate diagonal opus pe fet ele laterale, adic a la distant a57


58/204

a2iar V D

potent ialul creat de sarcina diagonal opusa cubului, adic a ladistant a 2a2 + a2 = a3. Se obtine:

V 1 = 3q

4 0a+ 3

q4 0a2 +

q4 0a3

Energia electrostatica a congurat iei devine:

W =q2 8V 1 =

3q2

0a1 +

12 +

133


1.31 Energia proprie electrostatica a unei sfere nc arcate uniform cu sarcin aelectric a se poate calcula ca lucrul mecanic necesar pentru a aduce de lainnit sarcini electrice si a construi distribut ia dat a. Sa presupunem ca amconstruit deja un miez sferic de raz a r si aducem l anga acesta, sarcinile depe o patur a sferica de grosime dr. Potent ialul electric creat de miezul sfericde raza r n punctele n care sunt aduse sarcinile din p atura sferic a este:

V miez =qmiez4 0r

= 43 r 3

4 0r=

r 2

30

Energia electrostatica pentru acoperirea sferei cu primul nvelis este:

dW = dq patura V miez = 4r 2dr r 2

30

=24r 4dr

30

Energia electrostatica totala pentru construct ia ntregii sfere se g aseste su-mand n mod continuu toate aceste contribut ii, adic a:

W =

R

0 dW =2430

R

0 r4dr =

42R5

150


1.32 Energia potent ial a se poate deni doar pentru campuri conservative,pentru care lucrul mecanic al fort ei nu depinde de drumul urmat ci doar depozitia init ial a si nal a a misc arii, astfel ca, pe un contur nchis:

F dr = 058


59/204

ceea ce nseamn a ca:

F = 0n coordonate carteziene, operatul diferent ial rot= are expresia:

rot F = F =x y z

x

y

zF x F y F z

=x y z

x

y

z

y x 3

= z(1 1) = 2z = 0

Deoarece conditia nu este ndeplinit a nu se poate deni energia potent ial a.Raspunsul corect este d)

1.33 Campul magnetic creat de elementul de conductor dx, prin care trececurentul I , la distant a r de conductor (Fig.1.33.r) este tangent la linia decamp care este circular a si perpendiculara pe conductor. Expresia campuluimagnetic este data de legea Biot-Savart-Laplace:

dB =oI

4

dx sin

r2

Fig.1.33.r

Induct ia magnetic a B este aceeasi pentru toate elementele de curent, la

59


60/204

aceeasi distanta de conductor si are aceeasi orientare. Deci, campul mag-netic creat de ntreg conductorul va :

B =oI 4

+

dx sin r 2

Daca tinem cont c a:

r = x2 + R2sin =

Rx2 + R2

dx

(x2 + a2)3/ 2 =x

a2(x2 + a2)1/ 2

atunci se poate calcula c ampul magnetic total:

B =oI 4

+

R dx(x2 + R2)3/ 2

=oI 2R

1.34 Valoarea induct iei create de cei doi curent i n punctul O este dat ade superpozit ia campurilor magnetice create de ecare curent luat separat.

B = B1 + B2

Campul magnetic creat de curentul I 1 nt eap a planul foii n punctul O

Fig.1.34.r

60


61/204

(Fig.1.34.r). Simetria acestui curent ne permite s a calculam valoarea luiB1 cu ajutorul teoremei lui Ampere.

B1 2a = 0I 1De aici rezulta ca:

B1 =0I 12a

Curentul I 2 are nsa o forma care nu ne permite s a aplicam teorema circulat ieivectorului B, de aceea vom determina pe B2 pe calea clasica, adica cu ajutorul

teoremei lui Biot-Savart.

d B2 =04

I 2d l rr 3

Deoarece d l r = 0n puncte colineare cu conductor parcurs de curent,componentele lui I 2 orientate pe direct ie radial a, nu contribuie la valoareacampului magnetic, deoarece c ampul produs de ele este nul. Ca urmare,valoarea lui B2 este determinata doar de regiunea de forma arcului de cerscu deschiderea .Aplicand regula burghiului gasim ca sensul acestui vector B2 este opus lui

B1, astfel ca valoarea rezultanta a induct iei magnetice devine:

B = B1 B2unde:

B2 =

0 dB =I 204a 2

0 ad =I 204a

Se obtine:

B = 02a

I 1 I 22


1.35 Se poate considera ca un plan innit se poate construi din conduc-tori liniari innit i ca n gura Fig.1.35.r si consideram ca sensul curent iloriese din planul h artiei.

61


62/204

Fig.1.35.1.r

Sa alegem un contur de forma unui dreprunghi ca cel din Fig.1.35.r, carenconjura o portiune de lungime L din plan. Conform teoremei lui Ampere:

B d l = 0 ( jL )Avand n vedere orientarea vectorului induct ie (dat a de regula burghiuluidrept) si indicata n gur a, termenii din circulatie care corespund laturilorperpendiculare pe plan sunt nule, astfel ca integrala pe conturul nchis sereduce la:

B d l = BL + 0 + BL + 0 = 0 ( jL )Campul magnetic creat de un plan innit este:

B =12

0 j

Dup a cum se observa aceasta valoare este constant a pentru orice departarefat a de plan.Sa consideram n continuare cazul unui solenoid cu n spire pe unitatea delungime. Alegem suprafat a nchisa (numit a contur Amperian) de forma celeipunctate n Fig.1.35.2.r, adic a doua segmente paralele cu induct ia nchise dedoua segmente perpendiculare. In interiorul solenoidului c ampul magneticeste orientat, pentru sensul indicat al curent ilor, spre dreapta. In exterior,valoarea induct iei este zero.

B d l = BL + 0 + 0 + 0 = 0 (nL ) I 62


63/204

Fig.1.35.2.r

Campul magnetic creat de un solenoid este:

B =12

0nI

Pentru cazul unei bobine cu N spire (tor), conturul Amperian este de formaunui cerc, ca n Fig.1.35.3.r.

Fig.1.35.3.r

Un tor este de fapt o bobin a care are capetele lipite. Direct ia induct ieicampului magnetic se g aseste cu regula m ainii drepte. Circulatia acestuivector de-a lungul conturului ales, care coincide cu linii de c amp magneticeste:

B d l = B 2r = 0 (NI )63


64/204

Campul magnetic creat de un tor este:

B =0NI 2r


1.36 Contributia la valoarea inductiei n centrul gurii este data doar desegmentele din conductor de forma semicercurilor de raz a a si b. Segmentelede-a lungul razelor nu creaz a amp magnetic, deoarece, pentru ele:

d l

r = 0

Deoarece sensul curentului este contrar pe cele doua semicercuri, valorileinduct iilor create sunt opuse ca sens. Campul rezultant devine:

B = Ba Bb =0I 4

a

0dla2

b

0dlb2

=0I 4

1a

1b


1.37 Fort a de interact iune cu care conductorul I 1 actioneaz a asupra unuielement d l2 din conductorul parcurs de curentul I 2 este:

d F = I 2d l2 B1unde B1este induct ia campului magnetic creat de curentul I 1 n locul ncare este situat elementul de lungime d l2 din conductorul 2. Se observ a capentru conductori paraleli cu vectorul induct ie, forta de interact iune estezero. In cazul de fata, pentru laturile perpendiculare pe r (CD, DA), fort ade interact iune este nul a.

F CD = F DA = 0

Forta totala devine: F = F AB + F CD

Induct ia magnetic a creat a de un conductor liniar se determina foarte simplucu ajutorul teoremei lui Ampere, aleg and un contur nchis de forma unui cercperpendicular pe r (conturul coincide cu linia de camp!):

B1 2r = 0I 1B1 =

0I 12r

64


65/204

Se obtine:

F = F AB + F CD = I 2dl2 0I 12a I 2dl2 0I 12(a + b)=

0I 1I 22a

L

0 dl 0I 1I 2

2(a + b)

L

0 dl =0I 1I 2L

21a

1a + b

=0I 1I 2Lb

2a (a + b)


1.38 Circulat ia campului magnetic pentru cele doua contururi trebuie de-terminata cu ajutorul teoremei lui Ampere scrisa pentru cazul general:

B d l = 0n

k=1I k

I k sunt curent ii nchisi de conturul ales. Acestia trebuie sumat i algebric(tin and cont de sensul acestora).Sa accept a drept convent ie de notat ie pentru curentii care ies din planul -gurii cercuri colorate si pentru curent ii ce intr a n planul foii, cercuri marcate

cu .Pentru cazul conturului a, avand n vedere sensul de parcurgere indicat nFig.1.38, se obtine:

a B d l = 0(I I I ) a B d l = 0I

Pentru cazul conturului b,avand n vedere sensul de parcurgere indicat nFig.1.38, se obtine:

b B d l = 0(I I + I ) b B d l = 0


1.39 Simetria cilindric a a problemei ne permite aplicarea teoremei lui Ampere,alegand contururi nchise de forma unor cercuri cu centrul pe axa cablului, de

65


66/204

aceeasi form a cu a liniilor de camp. Circulat ia vectorului B este determinatade curentul (sau curent ii) nchis (nchisi) n contur, I c.

B d l = 0I cB dl = 0I c

B 2r = 0I c n zona r = c :

Bc 2c = 0I Bc =

0I 2c

n zona r = b :Bb 2b = 0I

Bb =0I 2b

n zona r = a :Ba 2a = 0(I I )

Ba = 0


1.40 Calcul am mai ntai valoarea induct iei campului magnetic n jurul con-ductorului, cu ajutorul teoremei lui Ampere. Densit at ile de curent prin ceidoi conductori vor :

j1 =I

r 21

j2 =I

(r 23 r 22) r < r 1 :

B 2r = j 1r 2B =

2

I rr 21

r 1 < r < r 2B 2r = 0I

B =02

I 1r

66


67/204

r 2 < r < r 3

B 2r = I j2 r 2 r 22 B =

2

I 1r

r 23 r 2r 23 r 22

r 3 < rB 2r = (I I )

B = 0

Energia magnetic a nmagazinat a n cablu este:W m = H BdV

unde B = H

Alegem elementul de volum de forma unei paturi cilindrice de raza r, pentrucare valoarea c ampului magnetic este constant ca valoare si are expresiadeterminata mai sus:

dV = 2 lrdrSe obtine:

W m = 2 lr 3

0 HBdr =2l

r 3

0 B2rdr

=l2

I 21r 41

r 1

0 r3dr +

0

r 2

r 11r

dr +1

(r 23 r 22)2

r 3

r 2 r23 r 2

2 1r

dr

=l

4

I 20

lnr 2

r 1+

r 43

(r23 r

22)

2 lnr 3

r 2

r 23

2 (r23 r

22)


1.41 Fie o spira de raza R (Fig.1.41.r) prin care trece un curent de inten-sitate I . Fie punctul P n care vrem s a calculam campul magnetic, aat ladistant a r de un element de spir a d l perpendicular pe vectorul r si la distant ax de centrul spirei. C ampul magnetic d B este perpendicular pe planul for-mat de vectorii d l si r si se poate descompune n doua componente: d B1normala la spira (de-a lungul axei de simetrie) si d B2 perpendicula a pe axa

67


68/204

Fig.1.41.r

de simetrie. Componentele d B2 ale tuturor elementelor de spira d l vor dao rezultant a nula avand sensuri contrarii. Vor ramane doar contributiile dela componentele d B1, iar campul total B , n punctul P va suma tuturoracestor contributii av and direct ia axei de simetrie si sensul dat de regulaburghiului drept. Pentru a calcula elementul de c amp magnetic vom aplica

legea Biot-Savart-Laplace (1.1.18):

dB =oI 4

dl sin/ 2r 2

Vom exprima componenta d B1 prin unghiul (vezi g.1.41.r):

dB1 = dB cos =oI 4

cos dlr 2

Deoarece:

r = R2 + x2cos = RR2 + r 2

atunci c ampul magnetic total va :

B = dB1 = oI 4 R dl(R2 + x2)3/ 2Daca r R atunci:

B =o2

IR 2

x3

68


69/204

De asemenea, dac a vrem sa calculam campul magnetic n centrul sferei ( x =0) atunci c ampul magnetic va avea valoarea:

B =oI 2R

1.42 Tensiunea electromagnetic a ce apare n bucla dreptunghiular a este de-terminata de variat ia uxului magnetic prin suprafat a aceasteia.

Fig.1.42.r

e = ddt

Datorita deplas arii fat a de rul parcurs de curent electric,bucla ntalnesteun camp magnetic cu inductie din ce n ce mai mica. La distant a r de r,induct ia magnetic a este:

B(r ) =0I 2r

si este orientata pe directie perpendiculara pe planul foii cu sensul nt ep andfoaia.Pentru a calcula uxul total prin cadru, vom alege o suprafat a elementar ade forma unui dreptunghi cu arie dS = Ldr situat la distant a r de rul con-ductor (Fig.1.42.r). Vom suma, apoi n mod continuu, dup a toate uxurile

69


70/204

prin aceste suprafet e elementare, consider and ca latura cea mai apropiat a seaa, la momentul t, la distant a x.

= B(r )dS = 0I 2r Ldr = 0I 2 Lx+ b

xdrr

=0I 2

L lnx + b

x

Deoarece cadrul se misc a cu viteza v, uxul variaz a n timp prin intermediulvariabilei x = x(t). Consider and viteza constanta, n intervalul de timpdt cadrul se deplaseaz a pe distant a dx:

dx = vdt

Ca urmare, diferent iind relat ia uxului total, se obtine variat ia uxului totalprin cadrul plasat la distant a x fat a de r, ca urmare a deplas arii lui pedistant a dx:

d =0I 2

Lx

x + bxdx (x + b)dx

x2

= 0I 2

Lbdx

x(x + b)

Impart ind relat ia la dt se obtine tensiunea indusa n cadru:

e =0IL

2bv

x(x + b)

In pozitia corespunz atoare lui x = a valoarea tensiunii electromotoare indus an cadru este:

e =0IL

2bv

a(a + b)


1.43 Fluxul magnetic prin circuitul format din conductori este variabil dincauza suprafet ei care creste n timp prin deplasarea conductorului AB.Fluxul magnetic prin suprafat a elementara este, conform Fig.1.43.r:

d(t) = B dS (t) = 2Bxdy == 2 B yk dy = 2 B yk dy

70


71/204

x

y

y=kx 2

dy

v

A B

Fig.1.43.r

Tensiunea ce apare n circuit este:

e = ddt

= ddy

dydt

= 2B yk dydtDeoarece acceleratia este constanta si deplasaarea se face far a viteza initial a,vom folosi ecuatia lui Galilei:

dydt

= 2aySe obtine:

e = 2B yk 2aye = By 8ak


71


72/204

1.44 Sa consideram pentrunceput cazul unei spire de raz a r . Tensiunea elec-tromagnetica indus a ntr-o spira este determinata de uxul magnetic variabildatorita induct iei magnetice.

(t) = B(t)r 2 = r 2B0 sin td = r 2B0 cos tdt

e(r ) = ddt

= r 2B0 cos tDeoarece spirele care formeaza bobina sunt n serie, tensiunea electromag-netic a total a, indus a n toata bobina este dat a de suma acestor induct ii

individuale. Deoarece sunt foarte multe spire pe unitatea de raz a a bobinei,lucram n aproximatia continu a, considerand ca pe distant a dr exist a unnumar de spire:

dn =N a

dr

n care tensiunea indusa este:

e =N a

e(r )dr = N a

r 2B0 cos tdr

Sumand n mod continuu toate aceste contribut ii date de elemetele care cons-truiesc bobina, g asim:

e =a

0 e = N a

B0 cos ta

0 r2dr

= N 3

a2B0 cos t

maxim a a tensiunii totale induse este:

e =N

3a2B0


1.45 Fluxul magnetic prin bobina este variabil n timp datorit a a doua cauze:

variaz a unghiul dintre suprafata bobinei si induct ia creat a de solenoid(bobina se roteste): = NBS cos t

72


73/204

variaz a induct ia magnetic a creata de solenoid:

= NSB 0 sin t cos t

=NSB 0

2sin2t

Tensiunea electromagnetic a indus a n bobin a este:

e = ddt

= 12

NSB 0 cos2t


1.46 Daca A este potent ial vector pentru vectorul B denit ca:

B = rot A

atunci:

div B = div rot A = 0

Exprim am operatorul rot n coordonate carteziene:

B = rot A =

A

= A0x y z

x

y

z0 0 x2 + y2

= 2 A0 (y x x y)Dup a cum se observa imediat:

div B =

xrot A

x+

y

rot Ay

=

x (2A0y)x +

y (2A0x)y = 0

A poate un potent ial vector.Daca folosim teorema lui Ampere si alegem un contur nchis de forma unuicerc coaxial cu rul, de raza r r 0, se obtine:

B 2r = 0 jr 2 j =

I r 20

73


74/204

adica:B = 0Ir

2r 20Deoarece marimea vectorului B este:

B = 2 A0 y2 + x2 = 2 A0rCa urmare:

2A0r =0Ir2r 20

A0 =0I 4r 20


1.47 Un camp electric variabil n timp va genera un c amp magnetic. Acestase determin a din ecuat ia lui Maxwell:

E = Bt

unde, pentru vid: B = 0 H

Daca exprimam rotorul n coordonate carteziene, se obt ine:

E =x y z

x

y

z0 E 0

= E z x +

E x z =

E z x

= E 0 sin[(t z )] xCa urmare, direct ia vectorului inductie magnetic a (ca si a vectorului intensi-tate a c ampului magnetic) este orientat de-a lungul axei Ox. Vom determinan continuare marimea intensitat ii campului magnetic.

0H t

= E 0 sin[(t z )]Prin integrarea n raport cu timpul se g aseste:

H =E 0

0 sin[(t z )] dt=

E 00

cos[(t z )] + const.

74


75/204

Vectorul intensitate c amp magnetic are expresia:

H = E 00

cos[(t z )] x + const. xRaspunsul corect este a)

1.48 Un camp magnetic variabil n timp genereaz a un camp electric, conformecuatiei lui Maxwell:

H = J + Dt

In cazul vidului si a absent ei curent ilor de conduct ie si de deplasare:

J = 0 D = 0 E B = 0 H

iar ecuat ia Maxwell devine:

B = 00 E t

Ca urmare, folosind legea de variat ie a induct iei campului magnetic data deproblem a, se obtine:

B =x y z

x

y

zBx By 0

=B yx z

= k2B0ky sin(t kx) zAsadar vectorul B are doar componet a nenul a doar de-a lungul axeiOz, la fel cum va avea si vectorul E t . Revenind n ecuatia lui Maxwell, gasim:

E t

=k2B0y00

sin(t kx) zDup a integrarea n raport cu timpul se obt ine:

E =k2B0y00 sin(t kx) dt

= k2B0y00

cos(t kx) + const.

75


76/204

Ca urmare vectorul intensitate este egal p ana la o constant a cu:

E = k2B0y00

cos(t kx) zRaspunsul corect este b)

1.49 Densitatea curentului de deplasare este:

jd = Dt

unde, induct ia campului electric este:

D = 0 E

Vectorul E se determin a din ecuat ia lui Maxwell referitoare la circulat iacampului electric, ind determinat de variat ia n timp a campului magnetic:

E d l = B

t d S Sa alegem un contur de forma unui cerc cu raza r, cu centrul pe axa solenoidu-lui.Campul electric este rotat ional (tangent in ecare punct la contur) iar c ampulmagnetic n interiorul solenoidului are direct ia paralel a cu axa (normal pesuprafat a nchisa de conturul ales). Ca urmare, cele doua integrale (cea cur-bilinie si cea de suprafat a) sunt imediate:

pentru r < RE 2r =

32

t 2r 2

E = 34

rt 2

pentru r > RE 2r =

32

t 2R 2

E = 34

R2

rt2

Revenind n expresia curentului de deplasare:

jd = 0 E t

76


77/204

gasim cele doua expresii pentru m arimea curentului de deplasare:

r < R : jd =34

0rt 2

r > R : jd =34

0R2

rt2


1.50 Vectorul B se determin a din ecuat ia lui Maxwell referitoare la circulat iacampului magnetic pe un contur nchis, ind determinat de variat ia n timpa campului electric (teorema lui Ampere):

B d l = 00 E t d S Sa alegem un contur de forma unui cerc cu raza r, cu centrul pe axa conden-satorului. C ampul magnetic n interiorul condensatorului este constant de-alungul conturului si orientat tangent {in orice punct la acesta iar c ampulelectric este orientat normal pe suprafat a nchisa de conturul ales. Se obt ine:

pentru r < RB

2r = 002tr 2

B = 00rt

pentru r > RB 2r = 002tR 2

B = 00 R2

rt


1.51 Marimea vectorului Poynting este dat a de denitia:

S = E H Campul electric creat de fascicul se determin a cu ajutorul teoremei lui Gauss:

E d S = q0Daca se alege o suprafata nchisa de forma unui cilindru cu generatoarea L sicu raza bazei r , atunci sarcina electrica nchis a n aceast a suprafat a este:

q

Campul Electromagnetic - Breviar

Documents

Transcript of Campul Electromagnetic - Breviar