Prof. Mestecan Cornelia

clasa a XII-a liceu tehnologic Fi -Breviar teoretic Polinoame

1

Polinoame

Forma canonic a polinomului cu

coeficieni n corpul comutativ K

1 1

1 1 0

n n

n nf a X a X a X a

, cu 0 1, , , na a a K , K fiind un corp

comutativ i 0 0a

Mulimea polinoamelor cu

coeficieni n corpul comutativ K

K X , K corp comutativ ( , , , p , p prim )

, ,K X este inel comutativ

Gradul polinomului Dac 1 11 1 0n n

n nf a X a X a X a

, grad f = n

Dac 0f , grad f =

Valoarea

polinomului Def. Pentru K , valoarea polinomului f n , este

11 1 0n n

n nf a a a a

Valoarea

polinomului -

Proprieti

1. f X i z , atunci f z f z unde z x yi iar z x yi este conjugatul lui z

2. f X , , , \ , 0a b b b , atunci

f a b este de forma A B b , ,A B Operaii cu polinoame sum de polinoame ( adunare )

,f g K X , 1 10 1 1n n

n nf a a X a X a X

i

1 1

0 1 1

m m

m mg b b X b X b X

0 0 1 1f g a b a b X ( adic se adun termenii asemenea ) Gradul (f + g ) max ( grad f ; grad g )

Operaii cu polinoame produs de polinoame

( nmulire ) (Se folosete formula

i j i ja a a )

,f g K X , 1 10 1 1n n

n nf a a X a X a X

i

1 1

0 1 1

m m

m mg b b X b X b X

1 1

0 0 1 1

1 1

1 0 1 1

1 1

0 1 1

m m

m m

m m

m m

n m m

n m m

f g a b b X b X b X

a X b b X b X b X

a X b b X b X b X

Se fac nmulirile i se adun termenii asemenea Gradul (f g ) = grad f + grad g

Operaii cu polinoame mprirea polinoamelor

Teorema mpririi cu rest

Oricare ar fi polinoamele ,f g K X , 0g , exist i sunt unice polinoamele

,c r K X pentru care a) f g c r i b) grad r < grad g Teorema restului

Restul mpririi unui polinom f prin binomul X a este egal cu valoarea f a a polinomului f n a.

Obs. Pentru a afla ctul i restul mpririi unui polinom f prin binomul X a se poate folosi i schema lui Horner

Prof. Mestecan Cornelia

clasa a XII-a liceu tehnologic Fi -Breviar teoretic Polinoame

2

Divizibilitate Def. Fie ,f g K X , spunem c polinomul f este divizibil prin polinomul g, dac

exist un polinom h K X astfel nct f g h . (adic restul mpririi lui f la g este 0). Notm f g (adic f este divizibil prin g) sau /g f (adic g l divide pe f)

C.m.m.d.c

Def. Fie ,f g K X . Un polinom d K X se numete cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al polinoamelor f i g dac verific urmtoarele condiii:

a) /d f i /d g

b) d K X astfel nct /d f i /d g , rezult /d d

C.m.m.d.c. al polinoamelor f i g se noteaz ,f g . Algoritmul lui Euclid

Def. C.m.m.d.c. al polinoamelor ,f g K X se poate obine cu urmtorul algoritm:

-se mparte polinomul f (de grad mai mare) la cel de gard mai mic, g, obinnd

ctul 1q i restul 1r

-se mparte mpritorul g la restul 1r i se obin ctul 2q i restul 2r

-se continu procedeul, mprind mpritorul la rest -ultimul rest nenul obinut este c.m.m.d.c. al polinoamelor f i g.

Def. Fie ,f g K X . Spunem c polinoamele f i g sunt prime ntre ele dac

, 1f g , (1 fiind polinom constant). C.m.m.m.c.

Def. Fie ,f g K X . Un polinom m K X se numete cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al polinoamelor f i g dac verific urmtoarele condiii:

a) /f m i /g m

b) m K X astfel nct /f m i /g m , rezult /m m

C.m.m.m.c. al polinoamelor f i g se noteaz ,f g . Teorem

Fie ,f g K X astfel nct 0f sau 0g . Atunci avem , ,f g f g f g Rdcinile polinoamelor

Def. Numrul K se numete rdcin a polinomului f K X , dac

0f Teorema lui Bzout

Numrul K se numete rdcin a polinomului f K X , 0f , dac i numai dac f este divizibil cu X a . Teorema fundamental a algebrei ( Teorema DAlembert-Gauss )

Orice polinom f X , grad 1f , are cel puin o rdcin n .

Observaie: Dac f X , grad f n , atunci f are exact n rdcini complexe, nu meaprat distincte.

Def. Spunam c numrul K se numete rdcin multipl de ordinul k, *k , a polinomului f K X dac /

kX a f i

1/

kX a f

.

Prof. Mestecan Cornelia

clasa a XII-a liceu tehnologic Fi -Breviar teoretic Polinoame

3

Teorem 1

Fie f K X , , 2k k i a K . Polinomul f are a rdcin multipl de

ordinul k, dac i numai dac 10; 0; ; 0; 0k kf a f a f a f a . Teorem 2

Fie f K X i , ,a b K a b . Polinomul f X a X b dac i numai dac

0f a f b . Teorem 3

Fie f X i o rdcin a lui f, Atunci : a) este de asemenea o rdcin a lui f ; b) i au acelai ordin de multiplicitate. Teorem 4

Fie f X i a b d o rdcin a lui f ( , , , 0,a b d d d ). Atunci :

a) a b d este de asemenea o rdcin a lui f ; b) a b d i a b d au acelai

ordin de multiplicitate.

Teorem 5

Fie f X , 1 11 1 0n n

n nf a X a X a X a

, grad f 1n , iar p

q

o rdcin raional a lui f , , , 0, , 1p q q p q . Atunci:

a) p divide termenul liber 0a ; b) q divide coeficientul dominant na .

Descompunerea

polinoamelor n factori ireductibili

Def. Fie f K X , grad f 1n . Spunem c f este polinom reductibil peste K

dac exst 1 2,f f K X astfel nct 1 2f f f , grad 1f n , grad 2f n . n caz contrar , spunem c f este polinom ireductibil peste K . Observaii:

1. Fie f X , grad f = 2, 2f aX bX c . Atunci : a) f este reductibil peste ; b) f este reductibil peste dac i numai dac

2 4 0b ac

2. Fie f X , 1 11 1 0n n

n nf a X a X a X a

, grad f 1n cu

rdcinile 1 2, , , nx x x . Atunci f se descompune unic

1 2n nf a X x X x X x

3. Orice polinom f X , grad f 1n , se descompune unic ntr-un produs de polinoame de gradul I sau gradul II cu coeficieni reali.

Relaiile lui Vite Cazul 2n

Fie f K X , 22 1 0f a X a X a , 2 0a , 1 2,x x rdcinile lui f. Atunci :

relaiile lui Vite sunt

11 2

2

01 2

2

ax x

a

ax x

a

Reciproc :

dac 1 2,x x rdcinile lui f , atunci 2 1 2 , \ 0f a X S X S a K , unde

Prof. Mestecan Cornelia

clasa a XII-a liceu tehnologic Fi -Breviar teoretic Polinoame

4

1 1 2S x x i 2 1 2S x x

Cazul 3n

Fie f K X , 3 23 2 1 0f a X a X a X a , 3 0a , 1 2 3, ,x x x rdcinile lui f. Atunci :

relaiile lui Vite sunt

21 2 3

3

11 2 1 3 2 3

3

01 2 3

3

ax x x

a

ax x x x x x

a

ax x x

a

Reciproc : dac 1 2 3, ,x x x rdcinile lui f , atunci

3 21 2 3 , \ 0f a X S X S X S a K , unde 1 1 2 3S x x x ,

2 1 2 1 3 2 3S x x x x x x i 3 1 2 3S x x x

Cazul 4n

Fie f K X , 4 3 24 3 2 1 0f a X a X a X a X a , 2 0a , 1 2 3 4, , ,x x x x rdcinile lui f. Atunci :

relaiile lui Vite sunt

31 2 3 4

4

21 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

4

11 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4

4

01 2 3 4

4

ax x x x

a

ax x x x x x x x x x x x

a

ax x x x x x x x x x x x

a

ax x x x

a

Reciproc : dac 1 2 3 4, , ,x x x x rdcinile lui f , atunci

4 3 21 2 3 4 , \ 0f a X S X S X S X S a K , unde 1 1 2 3 4S x x x x ,

2 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4S x x x x x x x x x x x x , 3 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4S x x x x x x x x x x x x i

4 1 2 3 4S x x x x

Relaii importante:

2 22 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2x x x x x x x x x x x x

2 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

22 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

2

2

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

Ecuaii biptrate 4 2 0ax bx c , , ,a b c , 0a

Se face substituia : 2x t atunci 4 2x t

Obinem ecuaia 2 0at bt c care se rezolv, rezultnd 1 2,t t

Prof. Mestecan Cornelia

clasa a XII-a liceu tehnologic Fi -Breviar teoretic Polinoame

5

Din

2

1

1 2 1 1 2 1

1

, , ,0

x tx x x t x t

t

.

Dac 2

1

1 2 1 1 2 1

1

, , ,0

x tx x x i t x i t

t

Din

2

2

3 4 3 2 4 2

2

, , ,0

x tx x x t x t

t

.

Dac 2

2

3 4 3 2 4 2

2

, , ,0

x tx x x i t x i t

t

Ecuaii reciproce Ecuaia reciproc de gradul 3 (coeficienii termenilor egali deprtai de capete sunt egali)

3 2 0ax bx bx a , ,a b , 0a admite soluia 1 1x

Aplicm schema lui Horner

3x

a

2x

b

1x

b

0x

a

1 a b a a 0

Ctul mpririi este 2ax b a x a , egalm ctul cu 0 (ecuaie de gradul II) i

rezult 2 3,x x .

Observaie : dac coeficienii termenilor egali deprtai de capete sunt opui, adic 3 2 0ax bx bx a , ,a b , 0a admite soluia 1 1x

Pentru rezolvare se procedeaz ca mai sus. Ecuaia reciproc de gradul 4 (coeficienii termenilor egali deprtai de capete sunt egali)

4 3 2 0ax bx cx bx a , , ,a b c , 0a

Observm c 0x nu este soluie deci putem mpri ecuaia cu 2x , se obine

2 2

2 2

1 1 1 10 0ax bx c b a a x b x c

x x x x

Facem substituia 1

x tx

, deci 2 22

12x t

x

Obinem ecuaia 2 22 0 2 0a t bt c at bt c a , care se rezolv i rezult 1 2,t t

Din 21 1 1 21

1 0 ,x t x t x x xx

Din 22 2 3 41

1 0 ,x t x t x x xx