Elemente de Baza in Formularea Matriciala a Analizei Structurilor

ELEMENTE DE BAZĂ ÎN FORMULAREA MATRICEALĂ A ANALIZEI

STRUCTURILOR

Fig.1.

1.1.Discretizarea structurii

Capătul 1 Capătul 2

Conectivitatea structurii din figura 1.1 este dată în tabelul 1.1.

Tabelul 1.1

1.2. Încărcări

Fig.1.2

1.3. Sisteme de referinţă

Fig.1.3

1.4. Notaţii pentru deplasări şi forţe

(a) Deplasări

Tibas (1.1)

izyxzyxi

2222222

1111111

TIBAs DDDD (1.4)

TIzIyIIzIyIxI DDDDDD D (1.5)

Fig.1.4

(b) Forţe

Tibas PPPP (1.6)

P (1.7)

izyxzyxi

2222222

1111111

P(1.8)

Fig.1.5

Tibas PPPP (1.9)

PP (1.10)

izyxzyxi

MMMΡΡΡ

2222222

1111111

Ρ(1.11)

ssf ΡΡ P

(1.12)

rcrens AAAAAA (1.13)

TsIsBsAs AAAA (1.14)

TIszsysxszsysxsI MMMPPPA

(1.15)

Fig.1.6

1.5. Matrice de transformare

Fig.1.7

Analiza unei structuri necesită, după cum se va vedea, trecerea de la elementele (forţe şi deplasări) exprimate în raport cu sistemul de referinţă propriu, la cele exprimate în raport cu sistemul de referinţă general şi invers. Lucrul acesta se realizează cu ajutorul matricei de transformare, care va fi definită în cele ce urmează.

Se consideră un vector în spaţiul cu trei dimensiuni (Fig.1.7) şi două sisteme de referinţă: , având axele paralele cu cele ale sistemului general al structurii şi , sistemul propriu al unei bare oarecare din structură. Se notează cu cosinuşii directori ai unghiurilor pe care le face axa cu axele x, y şi z ale sistemului de referinţă general. Analog se notează cu şi respectiv , cosinuşii directori ai unghiurilor pe care le fac axele şi respectiv , cu axele sistemului de referinţă general. Vectorul poate fi reprezentat prin componentele , faţă de sistemul propriu sau prin componentele , faţă de sistemul general.

333231

232221

131211

(1.16)

332313

322212

312111

(1.17)

332313

322212

312111

T(1.18)

FTF T (1.19)

FTF (1.20)

(1.21)

1TT T(1.22)

Fig.1.8

(a) Structuri articulate plane - se consideră o bară dintr-o structură articulată plană, a cărei axă face unghiul γ cu axa x

0cossin

sincos 1

(1.23)

11 PTP (1.23’)

cossin

sincosT (1.24)

(b) Cadre plane - in figura 1.9 este prezentată o bară care face parte dintr-un cadru plan şi forţele corespunzătoare capătului 1, exprimate prin componentele lor în raport cu sistemele de referinţă adoptate.

Fig.1.9

0cossin

0sincos

(1.25)

11 PTP (1.25’)

0cossin

0sincos

T (1.26)

(c) Reţele de grinzi - Acestea sunt structuri alcătuite din serii de grinzi aşezate pe două direcţii, legate între ele în noduri, alcătuind ansambluri plane capabile să preia încărcări cu forţe normale pe plan, aplicate în orice punct al reţelei. Într-o secţiune a structurii iau naştere eforturile: moment încovoietor, moment de torsiune şi forţă tăietoare.

Fig.1.10

0cossin

0sincos

(1.27)

11 PTP (1.27’)

0cossin

0sincos

T (1.28)

(d) Structuri articulare spaţiale

cos0sin

sin0cos

(1.29)

11 PTP T (1.29’)

Fig.1.11

(1.30)

22sin,cos

(1.31)

0cossin

0sincos

(1.32)

11 PTP T (1.32’)

sin,cos cl

ll yzx

cccTT (1.33)

111 PTPTTP TTT (1.34)

1312213

131211

TTT TTT (1.35’)

131213

121111

T (1.35)

(1.36)

11 PTP vert(1.36’)

vertT (1.37)

P (1.38)

cossin0000

sincos0000

001000

000cossin0

000sincos0

000001

(1.38’)

(e) Cadre spaţiale - Matricea de transformare corespunzătoare unei bare dintr-un cadru spaţial este ca şi cea corespunzătoare barei dintr-o structură articulată spaţială, dacă planul median al barei, definit de axele locale x şi y, este vertical.

P(1.39)

TTTT ΤΤΤΤ 0

(1.40)

111312213

131211

111312213

131211

cossinsin

cossin

sincoscos

sincos

Τ (1.41)

11 PTP (1.42)

P(1.42’)

111312

11131213

131211

13121111

cossinsincossincos

cossinsincos

Τ (1.43)

ΤΤ (1.44)

(1.45)

Fig.1.12

TTT vert vert0 ΤΤΤ (1.46)

cos0sin

sin0cos

cossin0

sincos0

cTvert

(1.47)

cossin0

sincos0

ccTvertΤ (1.48)

Fig. 1.13

Τ (1.49)

(1.50)

1.6. Matricea de echilibru a bareiEchilibrul unei bare, în sistemul de referinţă general, se poate exprima sub forma:

021 ΗΡΡ (1.51)

021 PΗP (1.52)

TΤΗΤΗ (1.53)

unde matricea H se defineşte drept matrice de echilibru a barei. Ea este independentă de proprietăţile elastice ale barei, deoarece condiţia de echilibru static se scrie pe forma nedeformată a structurii.

Dacă se exprimă echilibrul barei în sistemul de referinţă propriu, se obţine:

ΡΤΡ

ΡΤΡT

(1.54)

0 21 ΗΤΡΡΤ T

021 ΡΤΗΤΡ T (1.55)

001000

000100

000010

000001

(1.56)

Expresia matricei H (local) se deduce direct prin exprimarea echilibrului barei.

001000

000100

000010

000001

H (1.57)

Fig.1.14

000100

000010

000001

(1.58)

000100

000010

000001

llΗ (1.59)

ΡΗΡ

ΡΗΡ(1.60)

012 ba ΡΡ (1.61)

021 bbaa ΡΗΗΡ (1.62)

În cazul în care o bară este alcătuită din două elemente a şi b, legate între ele rigid (Fig.1.15), se pot scrie ecuaţiile:

Fig.1.15

bac ΗΗΗ (1.63)

nba ΗΗΗΗ (1.64)

*11 TT ΡΡ (1.65)

Dacă se consideră că ansamblul de bare a şi b formează bara c, atunci :

Fie o bară acţionată de forţele de capăt P1 şi P2, în echilibru, care suferă o deplasare de corp rigid, capetele ei parcurgând deplasările Δ1* şi Δ2*. Lucrul mecanic efectuat de aceste forţe este zero, astfel încât

*12 TTT ΡΗΡ (1.66)

*2 TΗ (1.67)

nbaT ΗΗΗΗ (1.68)

Dacă bara este alcătuită din n elemente legate în serie, deplasările de corp rigid ale capetelor ei sunt în relaţia

1.7. Matrice de flexibilitate şi de rigiditate pentru o bară oarecare

Se consideră o bară oarecare (Fig.1.16,a), care are capătul 1 fixat. Deplasarea capătului 2, produsă de încărcarea , provine din deformaţia barei, iar componentele deplasării se pot determina aplicând teorema a doua a lui Castigliano sau formula Maxwell-Mohr.

(a) Bara alcătuită dintr-un singur element

(1.69)2

' PF (1.70)

Relaţia (1.70) formează un sistem de ecuaţii determinat (matricea F este nesingulară), deoarece bara poate fi considerată ea însăşi o structură, fixată în plan sau în spaţiu. În baza teoremei lui Betti, matricea F rezultă simetrică.

Fig.1.16

(1.71)

(1.72)

12' TΗ (1.73)

KΗΗKΗP

(1.74)

2221212

2121111

(1.75)

ΗKΗK

(1.76)

)( ''2 t KP (1.77)

KKΗKP

KΗKΗΗKΗP

(1.78)

22221212

12121111

(1.79)

Fig.1.17

sPM yz 22

:ester incovoieto momentuliar ,P este axiala forta S punctulIn

1(1.80)

(1.81)

Energia potenţială de deformaţie se scrie :

Aplicând a doua teoremă a lui Castigliano corpului elastic, se obţin deplasările produse de deformaţia barei

(1.82)

F (1.83)

Matricea de flexibilitate se scrie sub forma:

(1.84)

(1.85)

Dacă bara este cu secţiune constantă, rezultă:

Inversarea matricei F conduce la :

2311K (1.85’)

232112 KK (1.85”)

Fig.1.18

Fie bara cu secţiune variabilă din figura 1.18, încărcată succesiv cu forţele P2x,P2y,M2:

(1.86)

Elementele fij ale matricei F sunt:

F (1.86)

(1.87)

(1.87’)

K (1.87)

Fig.1.19

Se consideră o bară cu secţiune constantă făcând parte dintr-o structură spaţială cu noduri rigide (Fig.1.19)

K (1.88)

P(1.89)

bKP (1.89’)

(1.90)

Bară legată de noduri rigide, dintr-o structură plană încărcată în planul ei

(1.91)

Bară legată de noduri rigide, într-o structură plană

încărcată normal pe planul ei (reţea)

(1.92)

Bară legată de noduri rigide, dintr-o structură spaţială

Bară dublu articulată, dintr-o structură plană

(1.94)

Bară dublu articulată dintr-o structură spaţială

000000

001001

000000

001001

(1.95)

22212122212122

21211121211111

TKTTKTKKTPTP

Tijij TKTK (1.96)

2221212

2121111

(1.97)

Relaţiile dintre forţe şi deplasări, de tipul (1.75), pot fi scrise raportând elementele la sistemul de referinţă general.

22'' PTFTPFTT T

(1.98)

(1.99)

(b) Bară formată din elemente legate în serie

Fig.1.20

Problema care se pune este de a stabili matricele de flexibilitate şi de rigiditate ale barei, luând în considerare contribuţia fiecărui tronson.

(1.101)

sau 0 222 PHP KK 222 PHP KK

222 PHPP KKKJ (1.103)

Dacă se fixează capătul 1 al barei şi se aplică forţa P2, deplasarea acestui capăt se scrie:

Deplasarea Δ2 este egală cu suma deplasărilor produse în capătul 2 de deformaţiile fiecărui tronson. Considerând, la început, deplasările capătului 2 al barei, rezultate din deformaţia elementului i, cuprins între frontierele J şi K, celelalte tronsone fiind menţinute perfect rigide, pe faţa din dreapta a secţiunii K vectorul forţelor se calculează cu relaţia:

22' PHFPF KiKJiKK (1.104)

22222 PHFHH KiTKK

TKK (1.105)

222 PHFH

TK (1.106)

122 HFHF (1.107)

(c) Bară legată de noduri cu dimensiuni finite

Fig.1.21

22 BABTB HFHF (1.108)

1 KHKHHFHFK T

BABB (1.109)

(1.110)

000100

000010

000001

000100

000010

000001

(1.111)

Elemente de Baza in Formularea Matriciala a Analizei Structurilor

Documents

Transcript of Elemente de Baza in Formularea Matriciala a Analizei Structurilor

Formularea Clinica a Cazului Conspect

doctorate.ulbsibiu.ro · 2016. 12. 16. · dotarea laboratoarelor catedrei cu aparaturä/echipamente necesare analizei experimentale a structurilor. Am participat la competitiile

Cap 10-Formularea Politicilor

Mecanica Structurilor

MS P4 Formularea-strategiei IRUOI

Formularea Unu Ulei de Motor Semisintetic

Elaborarea analizei de senzitivitate

Formularea Clinica a Cazului

1. BAZA TEORETICO-METODOLOGICĂ A ANALIZEI ECONOMICO ... · Generalizarea rezultatelor analizei, ultima etapă a analizei economico-financiare, înseamnă reunirea într-un ansamblu

Denumirea analizei

...2 Cuprins 1. CONTEXT ......................................................................................................................... 4 1.1 Formularea ...

proiectarea structurilor

Formularea doctrinei trinitatii

Dinamica structurilor şi inginerie seismic ă · PDF file2.1. Ecua ţii de mi şcare, formularea problemei, metode de rezolvare 2.1.1. Sisteme cu un singur grad de libertate dinamic

Proiectarea structurilor VLSI pentru aplicatii de puteredce.etc.tuiasi.ro/psvap/curs/C_1_2.pdf · 1.2 Etapele analizei convertoarelor c.c – c.c. functionand in regim permanent 1.

01. Bazele analizei economico financiare

Formularea Clinica a Cazului Conspect4

Stabilirea Si Formularea Obiectivelor Operationale

copii - formularea cazului

Bazele Teoretice Ale Analizei Psihologice