Elemente de Baza in Formularea Matriciala a Analizei Structurilor
84
ELEMENTE DE BAZĂ ÎN FORMULAREA MATRICEALĂ A ANALIZEI STRUCTURILOR
-
Upload
boita-emanuela -
Category
Documents
-
view
34 -
download
1
description
formulare matriceala
Transcript of Elemente de Baza in Formularea Matriciala a Analizei Structurilor
ELEMENTE DE BAZĂ ÎN FORMULAREA MATRICEALĂ A ANALIZEI
STRUCTURILOR
Fig.1.
1.1.Discretizarea structurii
Bar
a
Capătul 1 Capătul 2
a A B
b C D
c D E
d A C
e B E
f C F
g D G
h E H
Conectivitatea structurii din figura 1.1 este dată în tabelul 1.1.
Tabelul 1.1
1.2. Încărcări
Fig.1.2
1.3. Sisteme de referinţă
Fig.1.3
1.4. Notaţii pentru deplasări şi forţe
(a) Deplasări
Tibas (1.1)
i
ii
2
1
(1.2)
T
izyxzyxi
T
izyxzyxi
2222222
1111111
(1.3)
TIBAs DDDD (1.4)
TIzIyIIzIyIxI DDDDDD D (1.5)
Fig.1.4
(b) Forţe
Tibas PPPP (1.6)
i
ii
2
1
PP
P (1.7)
T
izyxzyxi
T
izyxzyxi
2222222
1111111
MMM
MMM
PPP
PPP
P
P(1.8)
Fig.1.5
Fig.1.5
Tibas PPPP (1.9)
i
ii
2
1
P
PP (1.10)
T
izyxzyxi
T
izyxzyxi
MMMΡΡΡ
MMMΡΡΡ
2222222
1111111
Ρ
Ρ(1.11)
ssf ΡΡ P
(1.12)
rcrens AAAAAA (1.13)
TsIsBsAs AAAA (1.14)
TIszsysxszsysxsI MMMPPPA
(1.15)
2
22
2
2
2
2
2
12
12
1
012
1cos
8
1
sin2
1
cos2
1
0
0
0
cos8
1
sin2
1
cos2
1
ql
ql
qlhP
qlP
P
hP
P
P
eD
eC
eB
eA
e
A
A
A
A
A
Fig.1.6
0
0
0
0
0
0
0
0
,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
Brz
Bry
Brx
Ary
rD
rC
rB
rA
r
nD
nC
nB
nA
n M
P
P
P
P
M
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
2
22
2
21
2
2
2
112
1
12
1
0
112
1cos
8
1
1sin2
1
cos2
1
cos8
1
cos2
1
cos2
1
q
q
qhP
qP
PP
M
P
P
hPM
PP
P
Brz
Bry
Brx
Ary
sD
sC
sB
sA
s
A
A
A
A
A
1.5. Matrice de transformare
Fig.1.7
Analiza unei structuri necesită, după cum se va vedea, trecerea de la elementele (forţe şi deplasări) exprimate în raport cu sistemul de referinţă propriu, la cele exprimate în raport cu sistemul de referinţă general şi invers. Lucrul acesta se realizează cu ajutorul matricei de transformare, care va fi definită în cele ce urmează.
Se consideră un vector în spaţiul cu trei dimensiuni (Fig.1.7) şi două sisteme de referinţă: , având axele paralele cu cele ale sistemului general al structurii şi , sistemul propriu al unei bare oarecare din structură. Se notează cu cosinuşii directori ai unghiurilor pe care le face axa cu axele x, y şi z ale sistemului de referinţă general. Analog se notează cu şi respectiv , cosinuşii directori ai unghiurilor pe care le fac axele şi respectiv , cu axele sistemului de referinţă general. Vectorul poate fi reprezentat prin componentele , faţă de sistemul propriu sau prin componentele , faţă de sistemul general.
z
y
x
z
y
x
F
F
F
ccc
ccc
ccc
F
F
F
333231
232221
131211
(1.16)
z
y
x
z
y
x
F
F
F
ccc
ccc
ccc
F
F
F
332313
322212
312111
(1.17)
332313
322212
312111
ccc
ccc
ccc
T(1.18)
FTF T (1.19)
FTF (1.20)
FTF 1
(1.21)
1TT T(1.22)
Fig.1.8
(a) Structuri articulate plane - se consideră o bară dintr-o structură articulată plană, a cărei axă face unghiul γ cu axa x
0cossin
sincos 1
1
1 x
y
x P
P
P
(1.23)
11 PTP (1.23’)
cossin
sincosT (1.24)
(b) Cadre plane - in figura 1.9 este prezentată o bară care face parte dintr-un cadru plan şi forţele corespunzătoare capătului 1, exprimate prin componentele lor în raport cu sistemele de referinţă adoptate.
Fig.1.9
zz
z
y
x
z
y
x
M
P
P
M
P
P
1
1
1
1
1
1
100
0cossin
0sincos
(1.25)
11 PTP (1.25’)
100
0cossin
0sincos
T (1.26)
(c) Reţele de grinzi - Acestea sunt structuri alcătuite din serii de grinzi aşezate pe două direcţii, legate între ele în noduri, alcătuind ansambluri plane capabile să preia încărcări cu forţe normale pe plan, aplicate în orice punct al reţelei. Într-o secţiune a structurii iau naştere eforturile: moment încovoietor, moment de torsiune şi forţă tăietoare.
Fig.1.10
z
y
x
z
y
x
P
M
M
P
M
M
1
1
1
1
1
1
100
0cossin
0sincos
(1.27)
11 PTP (1.27’)
100
0cossin
0sincos
T (1.28)
(d) Structuri articulare spaţiale
z
y
x
z
y
x
P
P
P
P
P
P
1
1
1
1
1
1
cos0sin
010
sin0cos
(1.29)
11 PTP T (1.29’)
Fig.1.11
l
c
c
c
l
l
l
z
y
x
13
12
11
(1.30)
213
211
13
22213
211
11
22sin,cos
cc
c
ll
l
cc
c
ll
l
zx
z
zx
x
213
211
11
213
211
13
213
211
13
213
211
11
0
010
0
cc
c
cc
c
cc
c
cc
c
TT
(1.31)
z
y
x
z
y
x
P
P
P
P
P
P
1
1
1
1
1
1
100
0cossin
0sincos
(1.32)
11 PTP T (1.32’)
12213
211
22
sin,cos cl
lcc
l
ll yzx
100
0
0213
21112
12213
211
ccc
cccTT (1.33)
111 PTPTTP TTT (1.34)
213
211
11
213
211
13
213
211
1312213
2112
13211
1211
131211
0cc
c
cc
ccc
cccc
cc
cc
ccc
TTT TTT (1.35’)
213
211
11
213
211
131213
213
21112
213
211
13
213
211
121111
0
cc
c
cc
ccc
ccc
cc
c
cc
ccc
T (1.35)
z
y
x
z
y
x
P
P
P
c
c
P
P
P
1
1
1
12
12
1
1
1
100
00
00
(1.36)
11 PTP vert(1.36’)
100
00
00
12
12
c
c
vertT (1.37)
M
P
T
T
M
P
1
1
1
1
0
0
P
P
Τ
Τ
P
P (1.38)
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
M
M
M
P
P
P
M
M
M
P
P
P
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
cossin0000
sincos0000
001000
000cossin0
000sincos0
000001
(1.38’)
(e) Cadre spaţiale - Matricea de transformare corespunzătoare unei bare dintr-un cadru spaţial este ca şi cea corespunzătoare barei dintr-o structură articulată spaţială, dacă planul median al barei, definit de axele locale x şi y, este vertical.
M
P
T
T
M
P
1
1
0
0
1
1
0
0
P
P
Τ
Τ
P
P(1.39)
TTTT ΤΤΤΤ 0
(1.40)
213
211
111312213
211
213
211
131211
213
211
111312213
211
213
211
131211
131211
0
cossinsin
cossin
sincoscos
sincos
cc
ccccc
cc
ccccc
ccccc
cc
ccc
ccc
T
Τ (1.41)
11 PTP (1.42)
M
P
M
P
1
1
0
0
1
1
0
0
P
P
Τ
Τ
P
P(1.42’)
213
211
111312
213
211
11131213
213
211
213
21112
213
211
131211
213
211
13121111
0
cossinsincossincos
cossinsincos
cc
ccc
cc
cccc
ccccc
cc
ccc
cc
cccc
Τ (1.43)
s
s
sTT
z
y
x
z
y
x
0
0
0
0
0
0
ΤΤ (1.44)
20
20
0sin
zy
z
şi
20
20
cos
zy
yo
(1.45)
Fig.1.12
Fig.1.12
TTT vert vert0 ΤΤΤ (1.46)
cos0sin
sin0cos
00
100
00
00
cossin0
sincos0
001
12
12
12
12
12
0
c
c
c
c
cTvert
(1.47)
cossin0
00
sincos0
12
1212
0 c
ccTvertΤ (1.48)
Fig. 1.13
s
s
s
s
s
s
s
s
sT
z
xc
yc
z
y
x
c
c
z
y
x
z
y
x
0
012
012
0
0
0
12
12
0
0
0
0
0
0
100
00
00
Τ (1.49)
20
20
0
20
20
0
22
12
20
20
0
sin
cos
ss
s
osos
os
zx
z
zy
z
zx
xc
zy
y
(1.50)
1.6. Matricea de echilibru a bareiEchilibrul unei bare, în sistemul de referinţă general, se poate exprima sub forma:
021 ΗΡΡ (1.51)
021 PΗP (1.52)
TΤΗΤΗ (1.53)
unde matricea H se defineşte drept matrice de echilibru a barei. Ea este independentă de proprietăţile elastice ale barei, deoarece condiţia de echilibru static se scrie pe forma nedeformată a structurii.
Dacă se exprimă echilibrul barei în sistemul de referinţă propriu, se obţine:
22
11
ΡΤΡ
ΡΤΡT
T
(1.54)
0 21 ΗΤΡΡΤ T
021 ΡΤΗΤΡ T (1.55)
0
10000
01000
001000
000100
000010
000001
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
M
M
M
P
P
P
l
l
M
M
M
P
P
P
(1.56)
Expresia matricei H (local) se deduce direct prin exprimarea echilibrului barei.
10000
01000
001000
000100
000010
000001
l
l
H (1.57)
Fig.1.14
0
1000
0100
0010
000100
000010
000001
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
z
y
x
z
y
x
zy
xz
yz
z
y
x
z
y
x
M
M
M
P
P
P
ll
ll
ll
M
M
M
P
P
P
(1.58)
1000
0100
0010
000100
000010
000001
xy
xz
yz
ll
ll
llΗ (1.59)
0
0
21
21
bbb
aaa
ΡΗΡ
ΡΗΡ(1.60)
012 ba ΡΡ (1.61)
021 bbaa ΡΗΗΡ (1.62)
În cazul în care o bară este alcătuită din două elemente a şi b, legate între ele rigid (Fig.1.15), se pot scrie ecuaţiile:
Fig.1.15
bac ΗΗΗ (1.63)
nba ΗΗΗΗ (1.64)
0*22
*11 TT ΡΡ (1.65)
Dacă se consideră că ansamblul de bare a şi b formează bara c, atunci :
Fie o bară acţionată de forţele de capăt P1 şi P2, în echilibru, care suferă o deplasare de corp rigid, capetele ei parcurgând deplasările Δ1* şi Δ2*. Lucrul mecanic efectuat de aceste forţe este zero, astfel încât
0*22
*12 TTT ΡΗΡ (1.66)
*1
*2 TΗ (1.67)
*1
*1
*2 T
nbaT ΗΗΗΗ (1.68)
Dacă bara este alcătuită din n elemente legate în serie, deplasările de corp rigid ale capetelor ei sunt în relaţia
1.7. Matrice de flexibilitate şi de rigiditate pentru o bară oarecare
Se consideră o bară oarecare (Fig.1.16,a), care are capătul 1 fixat. Deplasarea capătului 2, produsă de încărcarea , provine din deformaţia barei, iar componentele deplasării se pot determina aplicând teorema a doua a lui Castigliano sau formula Maxwell-Mohr.
(a) Bara alcătuită dintr-un singur element
'2
2
2
2
2
2
'
z
y
x
z
y
x
(1.69)2
' PF (1.70)
Relaţia (1.70) formează un sistem de ecuaţii determinat (matricea F este nesingulară), deoarece bara poate fi considerată ea însăşi o structură, fixată în plan sau în spaţiu. În baza teoremei lui Betti, matricea F rezultă simetrică.
Fig.1.16
'2 KP
(1.71)
'*22
*11
(1.72)
12' TΗ (1.73)
1-FK
212
211
KΗKP
KΗΗKΗP
T
T
(1.74)
2221212
2121111
KKP
KKP
(1.75)
122
1221
12
11
-FKK
KΗKK
KΗK
ΗKΗK
TT
T
(1.76)
)( ''2 t KP (1.77)
'212
'211
tT
tT
KKΗKP
KΗKΗΗKΗP
(1.78)
t
t
22221212
12121111
PKKP
PKKP
(1.79)
Fig.1.17
sPM yz 22
___
2
:ester incovoieto momentuliar ,P este axiala forta S punctulIn
l
yzl
x sEI
sPMs
EA
PU
0
222
0
22 d
)(
2
1d
2
1(1.80)
z
l
y
l
z
l
y
l
x
l
z
y
x
z
y
x
MsEI
PsEI
s
MsEI
sPs
EI
s
PsEA
M
UP
UP
U
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
2
2
2
2
2'
d1
d
dd
d1
'
(1.81)
Energia potenţială de deformaţie se scrie :
Aplicând a doua teoremă a lui Castigliano corpului elastic, se obţin deplasările produse de deformaţia barei
2
2
2
2
00
00
20
'
d1
d0
dd0
00d1
PF
z
y
x
ll
ll
l
M
P
P
sEI
sEI
s
sEI
ss
EI
s
sEA
(1.82)
3332
2322
11
0
0
00
ff
ff
f
F (1.83)
Matricea de flexibilitate se scrie sub forma:
EI
l
EI
lEI
l
EI
lEA
l
20
230
00
2
23
F
(1.84)
l
EI
l
EIl
EI
l
EIl
EA
460
6120
00
2
23K
(1.85)
Dacă bara este cu secţiune constantă, rezultă:
Inversarea matricei F conduce la :
l
EI
l
EIl
EI
l
EIl
EA
460
6120
00
2
2311K (1.85’)
l
EI
l
EIl
EI
l
EIl
EA
T
260
6120
00
2
232112 KK (1.85”)
Fig.1.18
Fie bara cu secţiune variabilă din figura 1.18, încărcată succesiv cu forţele P2x,P2y,M2:
ls
lss
ls
l
cccEI
ls
EI
mf
cc
EI
ls
EI
mmff
cEI
ls
EI
mf
cEA
sEA
f
0
"'
0
22
33
0
'
0
221
3223
0
'
0
321
22
0
0
011
3d
23d
3d
1d
1
(1.86)
Elementele fij ale matricei F sunt:
"'
0
'
0
2
'
0
2'
0
3
0
0
3230
2330
00
cccEI
lcc
EI
l
cc
EI
lc
EI
l
cEA
l
F (1.86)
IKF
100
010
001
0
0
00
0
0
00
3332
2322
11
3332
2322
11
rr
rr
r
ff
ff
f
(1.87)
2"'
'
20
33
2"'
'
20
3223
2"'
"'
30
22
00
11
4
344
264
12
1
ccc
c
l
EIr
ccc
cc
l
EIrr
ccc
ccc
l
EIr
cl
EAr
(1.87’)
2"'
'0
2"'
'
20
2"'
'
20
2"'
"'
30
00
4
34
4
260
4
26
4
120
001
ccc
c
l
EI
ccc
cc
l
EIccc
cc
l
EI
ccc
ccc
l
EIcl
EA
K (1.87)
Fig.1.19
Se consideră o bară cu secţiune constantă făcând parte dintr-o structură spaţială cu noduri rigide (Fig.1.19)
l
EI
l
EIl
EI
l
EIl
GIl
EI
l
EIl
EI
l
EIl
EA
zz
yy
t
yy
zz
4000
60
04
06
00
00000
06
012
00
6000
120
00000
2
2
23
23
K (1.88)
2
1
2221
1211
2
1
KK
KK
P
P(1.89)
bKP (1.89’)
2221
1211
KK
KKKb
(1.90)
Bară legată de noduri rigide, dintr-o structură plană încărcată în planul ei
z
y
x
z
y
x
zzzz
zzzz
zzzz
zzzz
z
y
x
z
y
x
l
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
EA
l
EAl
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
EA
l
EA
M
P
P
M
P
P
2
2
2
1
1
1
22
2323
22
2323
2
2
2
1
1
1
460
260
6120
6120
0000
260
460
6120
6120
0000
(1.91)
Bară legată de noduri rigide, într-o structură plană
încărcată normal pe planul ei (reţea)
z
y
x
z
y
x
yyyy
yyyy
tt
yyyy
yyyy
tt
z
y
x
z
y
x
l
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
GI
l
GIl
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
GI
l
GI
P
M
M
P
M
M
2
2
2
1
1
1
3232
22
3232
22
2
2
2
1
1
1
1260
1260
640
620
0000
1260
1260
620
640
0000
(1.92)
Bară legată de noduri rigide, dintr-o structură spaţială
Bară dublu articulată, dintr-o structură plană
y
x
y
x
y
x
y
x
l
EA
P
P
P
P
2
2
1
1
2
2
1
1
0000
0101
0000
0101
(1.94)
Bară dublu articulată dintr-o structură spaţială
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
l
EA
P
P
P
P
P
P
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
000000
000000
001001
000000
000000
001001
(1.95)
22212122212122
21211121211111
TT
TT
TKTTKTKKTPTP
TKTTKTKKTPTP
Tijij TKTK (1.96)
2221212
2121111
KKP
KKP
(1.97)
Relaţiile dintre forţe şi deplasări, de tipul (1.75), pot fi scrise raportând elementele la sistemul de referinţă general.
22'' PTFTPFTT T
TTFTF
2' FP
(1.98)
(1.99)
(b) Bară formată din elemente legate în serie
Fig.1.20
Problema care se pune este de a stabili matricele de flexibilitate şi de rigiditate ale barei, luând în considerare contribuţia fiecărui tronson.
2'
2 PF
(1.101)
sau 0 222 PHP KK 222 PHP KK
222 PHPP KKKJ (1.103)
Dacă se fixează capătul 1 al barei şi se aplică forţa P2, deplasarea acestui capăt se scrie:
Deplasarea Δ2 este egală cu suma deplasărilor produse în capătul 2 de deformaţiile fiecărui tronson. Considerând, la început, deplasările capătului 2 al barei, rezultate din deformaţia elementului i, cuprins între frontierele J şi K, celelalte tronsone fiind menţinute perfect rigide, pe faţa din dreapta a secţiunii K vectorul forţelor se calculează cu relaţia:
22' PHFPF KiKJiKK (1.104)
22222 PHFHH KiTKK
TKK (1.105)
21
222 PHFH
n
iKi
TK (1.106)
n
iKi
TK
122 HFHF (1.107)
(c) Bară legată de noduri cu dimensiuni finite
Fig.1.21
22 BABTB HFHF (1.108)
2212
12
12
112
1 KHKHHFHFK T
BABB
T
BABB (1.109)
1
010
001
1
010
001
22
2
11
1
xy
xy
B
A
H
H
(1.110)
1000
0100
0010
000100
000010
000001
1000
0100
0010
000100
000010
000001
22
22
222
11
11
111
xy
xz
yz
xy
xz
yz
B
A
H
H
(1.111)
