CURS 14

Cluj-Napoca

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >)

doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene

(ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe).

Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V

un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista

un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar

S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U

astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >,

∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt.

operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar

T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V

exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorul

T ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:

< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V ,

atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗

s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T

(si este unic cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic

cf. Prop. de mai sus).

14.1. Adjunctul unui operator liniar:

Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.

Prop.

Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat

< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

atunci S este unic.

Demonstratie.

”La tabla!”

Defn. adjunctului unui operator:

Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).

Prop 14.1.1

(Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V )

operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctii

T ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 .

Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >)

un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian

siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W )

care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗.

Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatii

sunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W )

admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si

(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv,

atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1

admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct

¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar

F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)

Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗

1 ,T∗

2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:

a) (T ∗)∗ = T ;

b) (aT )∗ = aT ∗;

c) (T1 +T2)∗ = T ∗

1 +T ∗

2 ;

d) KerT ∗ = (ImT )⊥;

e) ImT ∗ = (KerT )⊥;

f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;

g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.

Demonstratie.

D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”

Thm.

(de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):

Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

Matricea atasata adjunctului:

Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m

j=1,n

este matricea lui T ıntr-o pereche de

baze ortonormate, atunci

M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n

i=1,m

, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.

Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):

Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

Matricea atasata adjunctului:

Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m

j=1,n

este matricea lui T ıntr-o pereche de

baze ortonormate, atunci

M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n

i=1,m

, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.

Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):

Daca

(U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

Matricea atasata adjunctului:

Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m

j=1,n

este matricea lui T ıntr-o pereche de

baze ortonormate, atunci

M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n

i=1,m

, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.

Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):

Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si

(V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

Matricea atasata adjunctului:

Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m

j=1,n

este matricea lui T ıntr-o pereche de

baze ortonormate, atunci

M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n

i=1,m

, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.

Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):

Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >)

sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

Matricea atasata adjunctului:

Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m

j=1,n

este matricea lui T ıntr-o pereche de

baze ortonormate, atunci

M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n

i=1,m

, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.

Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):

Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite,

atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

Matricea atasata adjunctului:

Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m

j=1,n

este matricea lui T ıntr-o pereche de

baze ortonormate, atunci

M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n

i=1,m

, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.

Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):

Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V

admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

Matricea atasata adjunctului:

Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m

j=1,n

este matricea lui T ıntr-o pereche de

baze ortonormate, atunci

M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n

i=1,m

, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.

Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):

Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct

T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

Matricea atasata adjunctului:

Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m

j=1,n

este matricea lui T ıntr-o pereche de

baze ortonormate, atunci

M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n

i=1,m

, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.

Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):

Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U

dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

Matricea atasata adjunctului:

Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m

j=1,n

este matricea lui T ıntr-o pereche de

baze ortonormate, atunci

M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n

i=1,m

, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.

Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):

Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de

< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

Matricea atasata adjunctului:

Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m

j=1,n

este matricea lui T ıntr-o pereche de

baze ortonormate, atunci

M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n

i=1,m

, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.

Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):

Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,

∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

Matricea atasata adjunctului:

Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m

j=1,n

este matricea lui T ıntr-o pereche de

baze ortonormate, atunci

M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n

i=1,m

, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.

Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):

Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

Matricea atasata adjunctului:

Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m

j=1,n

este matricea lui T ıntr-o pereche de

baze ortonormate, atunci

M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n

i=1,m

, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.

Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):

Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

Matricea atasata adjunctului:

Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m

j=1,n

este matricea lui T ıntr-o pereche de

baze ortonormate, atunci

M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n

i=1,m

, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.

Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):

Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

Matricea atasata adjunctului:

Daca M(f ,e)T =

[aij]i=1,mj=1,n

este matricea lui T ıntr-o pereche de

baze ortonormate, atunci

M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n

i=1,m

, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.

Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):

Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

Matricea atasata adjunctului:

Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m

j=1,n

este matricea lui T ıntr-o pereche de

baze ortonormate, atunci

M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n

i=1,m

, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.

Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):

Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

Matricea atasata adjunctului:

Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m

j=1,n

este matricea lui T

ıntr-o pereche de

baze ortonormate, atunci

M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n

i=1,m

, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.

Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):

Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

Matricea atasata adjunctului:

Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m

j=1,n

este matricea lui T ıntr-o pereche de

baze ortonormate,

atunci

M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n

i=1,m

, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.

Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):

Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

Matricea atasata adjunctului:

Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m

j=1,n

este matricea lui T ıntr-o pereche de

baze ortonormate, atunci

M(e,f )T∗ =

[aji ] j=1,ni=1,m

, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.

Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):

Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

Matricea atasata adjunctului:

Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m

j=1,n

este matricea lui T ıntr-o pereche de

baze ortonormate, atunci

M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n

i=1,m

,

adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.

Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):

Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .

Matricea atasata adjunctului:

Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m

j=1,n

este matricea lui T ıntr-o pereche de

baze ortonormate, atunci

M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n

i=1,m

, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.

14.2. Clase speciale de operatori liniari

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .

Defn:

Spunem ca T este:

(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;

(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;

(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;

(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).

14.2. Clase speciale de operatori liniari

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >)

un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .

Defn:

Spunem ca T este:

(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;

(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;

(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;

(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).

14.2. Clase speciale de operatori liniari

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian

(real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .

Defn:

Spunem ca T este:

(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;

(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;

(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;

(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).

14.2. Clase speciale de operatori liniari

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C)

si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .

Defn:

Spunem ca T este:

(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;

(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;

(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;

(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).

14.2. Clase speciale de operatori liniari

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V

un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .

Defn:

Spunem ca T este:

(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;

(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;

(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;

(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).

14.2. Clase speciale de operatori liniari

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator

(endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .

Defn:

Spunem ca T este:

(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;

(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;

(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;

(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).

14.2. Clase speciale de operatori liniari

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru care

exista adjunctul T ∗ ∶ V → V .

Defn:

Spunem ca T este:

(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;

(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;

(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;

(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).

14.2. Clase speciale de operatori liniari

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul

T ∗ ∶ V → V .

Defn:

Spunem ca T este:

(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;

(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;

(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;

(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).

14.2. Clase speciale de operatori liniari

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .

Defn:

Spunem ca T este:

(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;

(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;

(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;

(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).

14.2. Clase speciale de operatori liniari

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .

Defn:

Spunem ca T este:

(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;

(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;

(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;

(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).

14.2. Clase speciale de operatori liniari

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .

Defn:

Spunem ca T este:

(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;

(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;

(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;

(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).

14.2. Clase speciale de operatori liniari

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .

Defn:

Spunem ca T este:

(a) normal

daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;

(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;

(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;

(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).

14.2. Clase speciale de operatori liniari

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .

Defn:

Spunem ca T este:

(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;

(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;

(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;

(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).

14.2. Clase speciale de operatori liniari

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .

Defn:

Spunem ca T este:

(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;

(b) autoadjunct

daca T ∗ = T ;

(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;

(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).

14.2. Clase speciale de operatori liniari

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .

Defn:

Spunem ca T este:

(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;

(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;

(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;

(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).

14.2. Clase speciale de operatori liniari

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .

Defn:

Spunem ca T este:

(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;

(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;

(c) antiautoadjunct

daca T ∗ = −T ;

(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).

14.2. Clase speciale de operatori liniari

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .

Defn:

Spunem ca T este:

(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;

(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;

(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;

(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).

14.2. Clase speciale de operatori liniari

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .

Defn:

Spunem ca T este:

(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;

(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;

(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;

(d) unitar

daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).

14.2. Clase speciale de operatori liniari

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .

Defn:

Spunem ca T este:

(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;

(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;

(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;

(d) unitar daca T ∗ = T−1

(deci T este si inversabil).

14.2. Clase speciale de operatori liniari

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .

Defn:

Spunem ca T este:

(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;

(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;

(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;

(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).

14.2. Clase speciale de operatori liniari

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .

Defn:

Spunem ca T este:

(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;

(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;

(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;

(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian

(K = C)simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)

simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)simetric

(K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)

antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar →

ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d)

⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular:

matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitiene

sau unitare sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare

sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;

In particular:

matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice

sauortogonale sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale

sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;

Obs:

Folosim si denumirile:

pt. autoadjunct

hermitian (K = C)simetric (K = R);

pt. antiautoadjunct

antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);

pt. unitar → ortogonal (K = R);

(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);

In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;

In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;

Prop.

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian

de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:

a) Daca T este normal⇒ MT este normala;

b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);

c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);

d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).

Prop.

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,

T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:

a) Daca T este normal⇒ MT este normala;

b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);

c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);

d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).

Prop.

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator

iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:

a) Daca T este normal⇒ MT este normala;

b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);

c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);

d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).

Prop.

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata.

Atunci:

a) Daca T este normal⇒ MT este normala;

b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);

c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);

d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).

Prop.

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:

a) Daca T este normal⇒ MT este normala;

b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);

c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);

d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).

Prop.

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:

a) Daca T este normal

⇒ MT este normala;

b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);

c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);

d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).

Prop.

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:

a) Daca T este normal⇒ MT este normala;

b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);

c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);

d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).

Prop.

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:

a) Daca T este normal⇒ MT este normala;

b) Daca T este hermitian

(simetric)⇒ MT este normala(simetrica);

c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);

d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).

Prop.

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:

a) Daca T este normal⇒ MT este normala;

b) Daca T este hermitian (simetric)

⇒ MT este normala(simetrica);

c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);

d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).

Prop.

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:

a) Daca T este normal⇒ MT este normala;

b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala

(simetrica);

c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);

d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).

Prop.

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:

a) Daca T este normal⇒ MT este normala;

b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);

c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);

d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).

Prop.

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:

a) Daca T este normal⇒ MT este normala;

b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);

c) Daca T este antihermitian

(antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);

d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).

Prop.

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:

a) Daca T este normal⇒ MT este normala;

b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);

c) Daca T este antihermitian (antisimetric)

⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);

d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).

Prop.

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:

a) Daca T este normal⇒ MT este normala;

b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);

c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana

(antisimetrica);

d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).

Prop.

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:

a) Daca T este normal⇒ MT este normala;

b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);

c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);

d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).

Prop.

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:

a) Daca T este normal⇒ MT este normala;

b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);

c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);

d) Daca T este unitar

(ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).

Prop.

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:

a) Daca T este normal⇒ MT este normala;

b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);

c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);

d) Daca T este unitar (ortogonal)

⇒ MT este unitara(ortogonala).

Prop.

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:

a) Daca T este normal⇒ MT este normala;

b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);

c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);

d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara

(ortogonala).

Prop.

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:

a) Daca T este normal⇒ MT este normala;

b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);

c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);

d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).

Prop.

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:

a) Daca T este normal⇒ MT este normala;

b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);

c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);

d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >)

un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian

de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita

siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V )

un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V )

comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T

(adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )

atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un

vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal

si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V

este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariant

pentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T

atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant

pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal

atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗

au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun

x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V

iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx ,

λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒

T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C)

sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici,

care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta,

atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un

vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Lema 14.2.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.

a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.

b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.

c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .

Corolar

Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.

Folosind Lema 14.2.1

se demonstreaza urmatoarea teorema:

Thm. 14.2.2

Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).

Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea

teorema:

Thm. 14.2.2

Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).

Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:

Thm. 14.2.2

Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).

Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:

Thm. 14.2.2

Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).

Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:

Thm. 14.2.2

Daca (V ,< ⋅, ⋅ >)

este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).

Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:

Thm. 14.2.2

Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian,

de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).

Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:

Thm. 14.2.2

Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,

iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).

Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:

Thm. 14.2.2

Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un

operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).

Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:

Thm. 14.2.2

Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal

atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).

Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:

Thm. 14.2.2

Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V

o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).

Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:

Thm. 14.2.2

Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata

formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).

Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:

Thm. 14.2.2

Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din

vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).

Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:

Thm. 14.2.2

Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T .

(Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).

Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:

Thm. 14.2.2

Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >)

un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex

si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V

unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este

hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian

(antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian

sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar)

atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza

ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V

formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este

hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian

atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T

suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere

reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este

antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian

atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui T

sunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere

imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare;

(Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este

unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar

atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T

suntnumere complexede modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexe

de modul 1.

14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari

Thm. 14.3.1

Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.

a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .

b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.

c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).

d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.

pt. EXAMEN(februarie)

se dau 4 probleme tip seminar, curssau T.A.;

problemele pt. EXAMEN(februarie) sunt de la Seminarul 9 laSeminar 14;

toate biletele vor avea 1 problema cu reducerea la formacanonica a conicelor sau cuadricelor;

pt. EXAMEN(februarie) se dau 4 probleme tip seminar,

curssau T.A.;

problemele pt. EXAMEN(februarie) sunt de la Seminarul 9 laSeminar 14;

toate biletele vor avea 1 problema cu reducerea la formacanonica a conicelor sau cuadricelor;

pt. EXAMEN(februarie) se dau 4 probleme tip seminar, curssau

T.A.;

problemele pt. EXAMEN(februarie) sunt de la Seminarul 9 laSeminar 14;

toate biletele vor avea 1 problema cu reducerea la formacanonica a conicelor sau cuadricelor;

pt. EXAMEN(februarie) se dau 4 probleme tip seminar, curssau T.A.;

problemele pt. EXAMEN(februarie) sunt de la Seminarul 9 laSeminar 14;

toate biletele vor avea 1 problema cu reducerea la formacanonica a conicelor sau cuadricelor;

pt. EXAMEN(februarie) se dau 4 probleme tip seminar, curssau T.A.;

problemele pt. EXAMEN(februarie) sunt de la Seminarul 9 laSeminar 14;

toate biletele vor avea 1 problema cu reducerea la formacanonica a conicelor sau cuadricelor;

pt. EXAMEN(februarie) se dau 4 probleme tip seminar, curssau T.A.;

problemele pt. EXAMEN(februarie) sunt de la Seminarul 9 laSeminar 14;

toate biletele vor avea 1 problema cu reducerea la formacanonica a conicelor sau cuadricelor;

NOTA FINALA=

Rotunjire [ (Nota PARTIAL+Nota EXAMEN(februarie))/2 ];

doar DACA: [ (Nota PARTIAL ≥ 5) si (NotaEXAMEN(februarie) ≥ 5)] ;

Daca PARTIAL < 5 sau EXAMEN(februarie) < 5 atunci NOTAFINALA < 5 si studentul va fi obligat (din pacate ) sa intreın restante;

In restanta se poate retine oricare din notele (PARTIAL sauEXAMEN(februarie)) ≥ 5;

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pesite) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

NOTA FINALA=Rotunjire [ (Nota PARTIAL+Nota EXAMEN(februarie))/2 ];

doar DACA: [ (Nota PARTIAL ≥ 5) si (NotaEXAMEN(februarie) ≥ 5)] ;

Daca PARTIAL < 5 sau EXAMEN(februarie) < 5 atunci NOTAFINALA < 5 si studentul va fi obligat (din pacate ) sa intreın restante;

In restanta se poate retine oricare din notele (PARTIAL sauEXAMEN(februarie)) ≥ 5;

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pesite) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

NOTA FINALA=Rotunjire [ (Nota PARTIAL+Nota EXAMEN(februarie))/2 ];

doar DACA: [ (Nota PARTIAL ≥ 5) si (NotaEXAMEN(februarie) ≥ 5)] ;

Daca PARTIAL < 5 sau EXAMEN(februarie) < 5 atunci NOTAFINALA < 5 si studentul va fi obligat (din pacate ) sa intreın restante;

In restanta se poate retine oricare din notele (PARTIAL sauEXAMEN(februarie)) ≥ 5;

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pesite) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

NOTA FINALA=Rotunjire [ (Nota PARTIAL+Nota EXAMEN(februarie))/2 ];

doar DACA: [ (Nota PARTIAL ≥ 5) si (NotaEXAMEN(februarie) ≥ 5)] ;

Daca PARTIAL < 5 sau EXAMEN(februarie) < 5

atunci NOTAFINALA < 5 si studentul va fi obligat (din pacate ) sa intreın restante;

In restanta se poate retine oricare din notele (PARTIAL sauEXAMEN(februarie)) ≥ 5;

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pesite) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

NOTA FINALA=Rotunjire [ (Nota PARTIAL+Nota EXAMEN(februarie))/2 ];

doar DACA: [ (Nota PARTIAL ≥ 5) si (NotaEXAMEN(februarie) ≥ 5)] ;

Daca PARTIAL < 5 sau EXAMEN(februarie) < 5 atunci NOTAFINALA < 5 si

studentul va fi obligat (din pacate ) sa intreın restante;

In restanta se poate retine oricare din notele (PARTIAL sauEXAMEN(februarie)) ≥ 5;

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pesite) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

NOTA FINALA=Rotunjire [ (Nota PARTIAL+Nota EXAMEN(februarie))/2 ];

doar DACA: [ (Nota PARTIAL ≥ 5) si (NotaEXAMEN(februarie) ≥ 5)] ;

Daca PARTIAL < 5 sau EXAMEN(februarie) < 5 atunci NOTAFINALA < 5 si studentul va fi obligat

(din pacate ) sa intreın restante;

In restanta se poate retine oricare din notele (PARTIAL sauEXAMEN(februarie)) ≥ 5;

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pesite) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

NOTA FINALA=Rotunjire [ (Nota PARTIAL+Nota EXAMEN(februarie))/2 ];

doar DACA: [ (Nota PARTIAL ≥ 5) si (NotaEXAMEN(februarie) ≥ 5)] ;

Daca PARTIAL < 5 sau EXAMEN(februarie) < 5 atunci NOTAFINALA < 5 si studentul va fi obligat (din pacate )

sa intreın restante;

In restanta se poate retine oricare din notele (PARTIAL sauEXAMEN(februarie)) ≥ 5;

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pesite) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

NOTA FINALA=Rotunjire [ (Nota PARTIAL+Nota EXAMEN(februarie))/2 ];

doar DACA: [ (Nota PARTIAL ≥ 5) si (NotaEXAMEN(februarie) ≥ 5)] ;

Daca PARTIAL < 5 sau EXAMEN(februarie) < 5 atunci NOTAFINALA < 5 si studentul va fi obligat (din pacate ) sa intreın restante;

In restanta se poate retine oricare din notele (PARTIAL sauEXAMEN(februarie)) ≥ 5;

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pesite) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

NOTA FINALA=Rotunjire [ (Nota PARTIAL+Nota EXAMEN(februarie))/2 ];

doar DACA: [ (Nota PARTIAL ≥ 5) si (NotaEXAMEN(februarie) ≥ 5)] ;

Daca PARTIAL < 5 sau EXAMEN(februarie) < 5 atunci NOTAFINALA < 5 si studentul va fi obligat (din pacate ) sa intreın restante;

In restanta se poate retine oricare din notele (PARTIAL sauEXAMEN(februarie)) ≥ 5;

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pesite) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

NOTA FINALA=Rotunjire [ (Nota PARTIAL+Nota EXAMEN(februarie))/2 ];

doar DACA: [ (Nota PARTIAL ≥ 5) si (NotaEXAMEN(februarie) ≥ 5)] ;

Daca PARTIAL < 5 sau EXAMEN(februarie) < 5 atunci NOTAFINALA < 5 si studentul va fi obligat (din pacate ) sa intreın restante;

In restanta se poate retine oricare din notele (PARTIAL sauEXAMEN(februarie)) ≥ 5;

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pesite) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

REGULIPARȚIALșiEXAMEN

1. FOIALBE(A4)ÎNNUMĂRDEMAXIM6,CAPSATE!(4-5 foi pentru rezolvare problemelor, 1-2 foi ca șiciorne;ciornelesecapseazălasfârșitulcelor6foi);

2. Dacămai enevoiede foi, se cer în timpul examenuluisauparțialului,apoisecapseazălacele6foi!

3. CARNETDESTUDENTSAUC.I!(fiecarestudenttrebuiesăleaibăasupraluiînvedereaverificării);

4. TELEFOANELE MOBILE TREBUIE ÎNCHISE ȘILĂSATE ÎN GEANTĂ sau într-o HAINĂ LACUIER! (încazul suprinderiimanevrării lor în timpulexamenului,studentulpoatefieliminatdinexamen);

5. ORICE TENTATIVĂ DE FRAUDĂ DUCE LAELIMINAREDINEXAMENȘILANEPROMOVARE!

6. SERECOMANDĂCASTUDENȚIISĂFIEÎNFAȚASĂLIIDE EXAMEN CU 10 MINUTE ÎNAINTE DE ORAOFICIALĂ,PROGRAMATĂ.(Deex: la7,50,dacă8esteoraoficială!);

SUCCES!

SFARSIT-

CURS ALGEBRA

SUCCES!!!

SFARSIT-CURS ALGEBRA

SUCCES!!!

SFARSIT-CURS ALGEBRA

SUCCES!!!