CURS 11: Aplicatii Liniare (I)(Operatori Liniari)

Cluj-Napoca

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale

peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1

(Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W

s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara

(morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale

operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v),

∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ;

∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2

(nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea

KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W }

este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,

numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea

ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V }

este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W ,

numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞

atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Fie KV ,K W doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K .

Definitia 11.1 (Aplicatie liniara)

O functie T ∶ V →W s. n. aplicatie liniara (morfism de spatiivectoriale operator liniar ) daca

T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a,b ∈ K ; ∀u, v ∈ V .

Thm 11.2 (nucleul, imaginea)

Fie T ∶K V →K W o aplicatie liniara.

a) Multimea KerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0W } este subspatiu ın V ,numit nucleul lui T ;

b) Multimea ImT = {T (v)∣v ∈ V } este subspatiu ın W , numitimaginea lui T ;

c)! Daca dimK V <∞ atunci:

dimK V = dimK(KerT ) + dimK(ImT )

Thm 11.3

a) L(V ,W ) ∶= {T ∣T ∶ V →W este aplicatie liniara} este unspatiu vectorial;

b) Daca dimK V <∞ si dimK W <∞ atunci

dimK L(V ,W ) = dimK V ⋅ dimK W .

Izomorfisme de spatii vectoriale:

Definitia 11.4 (Izomorfism)

a) O aplicatie liniara T ∶ KV → KW s. n. endomorfism al lui V

L(V ,V ) not= EndK (V );

b) Doua spatii vectoriale KV si KW sunt izomorfe daca∃T ∶ V →W o aplicatie liniara bijectiva. In acest caz T s. n.izomorfism si notam KV ≅K W .

Thm 11.3

a) L(V ,W ) ∶=

{T ∣T ∶ V →W este aplicatie liniara} este unspatiu vectorial;

b) Daca dimK V <∞ si dimK W <∞ atunci

dimK L(V ,W ) = dimK V ⋅ dimK W .

Izomorfisme de spatii vectoriale:

Definitia 11.4 (Izomorfism)

a) O aplicatie liniara T ∶ KV → KW s. n. endomorfism al lui V

L(V ,V ) not= EndK (V );

b) Doua spatii vectoriale KV si KW sunt izomorfe daca∃T ∶ V →W o aplicatie liniara bijectiva. In acest caz T s. n.izomorfism si notam KV ≅K W .

Thm 11.3

a) L(V ,W ) ∶= {T ∣T ∶ V →W este aplicatie liniara}

este unspatiu vectorial;

b) Daca dimK V <∞ si dimK W <∞ atunci

dimK L(V ,W ) = dimK V ⋅ dimK W .

Izomorfisme de spatii vectoriale:

Definitia 11.4 (Izomorfism)

a) O aplicatie liniara T ∶ KV → KW s. n. endomorfism al lui V

L(V ,V ) not= EndK (V );

b) Doua spatii vectoriale KV si KW sunt izomorfe daca∃T ∶ V →W o aplicatie liniara bijectiva. In acest caz T s. n.izomorfism si notam KV ≅K W .

Thm 11.3

a) L(V ,W ) ∶= {T ∣T ∶ V →W este aplicatie liniara} este unspatiu vectorial;

b) Daca dimK V <∞ si dimK W <∞ atunci

dimK L(V ,W ) = dimK V ⋅ dimK W .

Izomorfisme de spatii vectoriale:

Definitia 11.4 (Izomorfism)

a) O aplicatie liniara T ∶ KV → KW s. n. endomorfism al lui V

L(V ,V ) not= EndK (V );

b) Doua spatii vectoriale KV si KW sunt izomorfe daca∃T ∶ V →W o aplicatie liniara bijectiva. In acest caz T s. n.izomorfism si notam KV ≅K W .

Thm 11.3

a) L(V ,W ) ∶= {T ∣T ∶ V →W este aplicatie liniara} este unspatiu vectorial;

b) Daca dimK V <∞

si dimK W <∞ atunci

dimK L(V ,W ) = dimK V ⋅ dimK W .

Izomorfisme de spatii vectoriale:

Definitia 11.4 (Izomorfism)

a) O aplicatie liniara T ∶ KV → KW s. n. endomorfism al lui V

L(V ,V ) not= EndK (V );

b) Doua spatii vectoriale KV si KW sunt izomorfe daca∃T ∶ V →W o aplicatie liniara bijectiva. In acest caz T s. n.izomorfism si notam KV ≅K W .

Thm 11.3

a) L(V ,W ) ∶= {T ∣T ∶ V →W este aplicatie liniara} este unspatiu vectorial;

b) Daca dimK V <∞ si dimK W <∞ atunci

dimK L(V ,W ) = dimK V ⋅ dimK W .

Izomorfisme de spatii vectoriale:

Definitia 11.4 (Izomorfism)

a) O aplicatie liniara T ∶ KV → KW s. n. endomorfism al lui V

L(V ,V ) not= EndK (V );

b) Doua spatii vectoriale KV si KW sunt izomorfe daca∃T ∶ V →W o aplicatie liniara bijectiva. In acest caz T s. n.izomorfism si notam KV ≅K W .

Thm 11.3

a) L(V ,W ) ∶= {T ∣T ∶ V →W este aplicatie liniara} este unspatiu vectorial;

b) Daca dimK V <∞ si dimK W <∞ atunci

dimK L(V ,W ) = dimK V ⋅ dimK W .

Izomorfisme de spatii vectoriale:

Definitia 11.4 (Izomorfism)

a) O aplicatie liniara T ∶ KV → KW s. n. endomorfism al lui V

L(V ,V ) not= EndK (V );

b) Doua spatii vectoriale KV si KW sunt izomorfe daca∃T ∶ V →W o aplicatie liniara bijectiva. In acest caz T s. n.izomorfism si notam KV ≅K W .

Thm 11.3

a) L(V ,W ) ∶= {T ∣T ∶ V →W este aplicatie liniara} este unspatiu vectorial;

b) Daca dimK V <∞ si dimK W <∞ atunci

dimK L(V ,W ) = dimK V ⋅ dimK W .

Izomorfisme de spatii vectoriale:

Definitia 11.4 (Izomorfism)

a) O aplicatie liniara T ∶ KV → KW s. n. endomorfism al lui V

L(V ,V ) not= EndK (V );

b) Doua spatii vectoriale KV si KW sunt izomorfe daca∃T ∶ V →W o aplicatie liniara bijectiva. In acest caz T s. n.izomorfism si notam KV ≅K W .

Thm 11.3

a) L(V ,W ) ∶= {T ∣T ∶ V →W este aplicatie liniara} este unspatiu vectorial;

b) Daca dimK V <∞ si dimK W <∞ atunci

dimK L(V ,W ) = dimK V ⋅ dimK W .

Izomorfisme de spatii vectoriale:

Definitia 11.4

(Izomorfism)

a) O aplicatie liniara T ∶ KV → KW s. n. endomorfism al lui V

L(V ,V ) not= EndK (V );

b) Doua spatii vectoriale KV si KW sunt izomorfe daca∃T ∶ V →W o aplicatie liniara bijectiva. In acest caz T s. n.izomorfism si notam KV ≅K W .

Thm 11.3

a) L(V ,W ) ∶= {T ∣T ∶ V →W este aplicatie liniara} este unspatiu vectorial;

b) Daca dimK V <∞ si dimK W <∞ atunci

dimK L(V ,W ) = dimK V ⋅ dimK W .

Izomorfisme de spatii vectoriale:

Definitia 11.4 (Izomorfism)

a) O aplicatie liniara T ∶ KV → KW s. n. endomorfism al lui V

L(V ,V ) not= EndK (V );

b) Doua spatii vectoriale KV si KW sunt izomorfe daca∃T ∶ V →W o aplicatie liniara bijectiva. In acest caz T s. n.izomorfism si notam KV ≅K W .

Thm 11.3

a) L(V ,W ) ∶= {T ∣T ∶ V →W este aplicatie liniara} este unspatiu vectorial;

b) Daca dimK V <∞ si dimK W <∞ atunci

dimK L(V ,W ) = dimK V ⋅ dimK W .

Izomorfisme de spatii vectoriale:

Definitia 11.4 (Izomorfism)

a) O aplicatie liniara

T ∶ KV → KW s. n. endomorfism al lui V

L(V ,V ) not= EndK (V );

b) Doua spatii vectoriale KV si KW sunt izomorfe daca∃T ∶ V →W o aplicatie liniara bijectiva. In acest caz T s. n.izomorfism si notam KV ≅K W .

Thm 11.3

a) L(V ,W ) ∶= {T ∣T ∶ V →W este aplicatie liniara} este unspatiu vectorial;

b) Daca dimK V <∞ si dimK W <∞ atunci

dimK L(V ,W ) = dimK V ⋅ dimK W .

Izomorfisme de spatii vectoriale:

Definitia 11.4 (Izomorfism)

a) O aplicatie liniara T ∶ KV → KW s. n. endomorfism al lui V

L(V ,V ) not= EndK (V );

b) Doua spatii vectoriale KV si KW sunt izomorfe daca∃T ∶ V →W o aplicatie liniara bijectiva. In acest caz T s. n.izomorfism si notam KV ≅K W .

Thm 11.3

a) L(V ,W ) ∶= {T ∣T ∶ V →W este aplicatie liniara} este unspatiu vectorial;

b) Daca dimK V <∞ si dimK W <∞ atunci

dimK L(V ,W ) = dimK V ⋅ dimK W .

Izomorfisme de spatii vectoriale:

Definitia 11.4 (Izomorfism)

a) O aplicatie liniara T ∶ KV → KW s. n. endomorfism al lui V

L(V ,V ) not= EndK (V );

b) Doua spatii vectoriale KV si KW sunt izomorfe daca∃T ∶ V →W o aplicatie liniara bijectiva. In acest caz T s. n.izomorfism si notam KV ≅K W .

Thm 11.3

a) L(V ,W ) ∶= {T ∣T ∶ V →W este aplicatie liniara} este unspatiu vectorial;

b) Daca dimK V <∞ si dimK W <∞ atunci

dimK L(V ,W ) = dimK V ⋅ dimK W .

Izomorfisme de spatii vectoriale:

Definitia 11.4 (Izomorfism)

a) O aplicatie liniara T ∶ KV → KW s. n. endomorfism al lui V

L(V ,V ) not= EndK (V );

b) Doua spatii vectoriale

KV si KW sunt izomorfe daca∃T ∶ V →W o aplicatie liniara bijectiva. In acest caz T s. n.izomorfism si notam KV ≅K W .

Thm 11.3

a) L(V ,W ) ∶= {T ∣T ∶ V →W este aplicatie liniara} este unspatiu vectorial;

b) Daca dimK V <∞ si dimK W <∞ atunci

dimK L(V ,W ) = dimK V ⋅ dimK W .

Izomorfisme de spatii vectoriale:

Definitia 11.4 (Izomorfism)

a) O aplicatie liniara T ∶ KV → KW s. n. endomorfism al lui V

L(V ,V ) not= EndK (V );

b) Doua spatii vectoriale KV si KW

sunt izomorfe daca∃T ∶ V →W o aplicatie liniara bijectiva. In acest caz T s. n.izomorfism si notam KV ≅K W .

Thm 11.3

a) L(V ,W ) ∶= {T ∣T ∶ V →W este aplicatie liniara} este unspatiu vectorial;

b) Daca dimK V <∞ si dimK W <∞ atunci

dimK L(V ,W ) = dimK V ⋅ dimK W .

Izomorfisme de spatii vectoriale:

Definitia 11.4 (Izomorfism)

a) O aplicatie liniara T ∶ KV → KW s. n. endomorfism al lui V

L(V ,V ) not= EndK (V );

b) Doua spatii vectoriale KV si KW sunt izomorfe daca

∃T ∶ V →W o aplicatie liniara bijectiva. In acest caz T s. n.izomorfism si notam KV ≅K W .

Thm 11.3

a) L(V ,W ) ∶= {T ∣T ∶ V →W este aplicatie liniara} este unspatiu vectorial;

b) Daca dimK V <∞ si dimK W <∞ atunci

dimK L(V ,W ) = dimK V ⋅ dimK W .

Izomorfisme de spatii vectoriale:

Definitia 11.4 (Izomorfism)

a) O aplicatie liniara T ∶ KV → KW s. n. endomorfism al lui V

L(V ,V ) not= EndK (V );

b) Doua spatii vectoriale KV si KW sunt izomorfe daca∃T ∶ V →W o aplicatie liniara bijectiva.

In acest caz T s. n.izomorfism si notam KV ≅K W .

Thm 11.3

a) L(V ,W ) ∶= {T ∣T ∶ V →W este aplicatie liniara} este unspatiu vectorial;

b) Daca dimK V <∞ si dimK W <∞ atunci

dimK L(V ,W ) = dimK V ⋅ dimK W .

Izomorfisme de spatii vectoriale:

Definitia 11.4 (Izomorfism)

a) O aplicatie liniara T ∶ KV → KW s. n. endomorfism al lui V

L(V ,V ) not= EndK (V );

b) Doua spatii vectoriale KV si KW sunt izomorfe daca∃T ∶ V →W o aplicatie liniara bijectiva. In acest caz T s. n.izomorfism

si notam KV ≅K W .

Thm 11.3

a) L(V ,W ) ∶= {T ∣T ∶ V →W este aplicatie liniara} este unspatiu vectorial;

b) Daca dimK V <∞ si dimK W <∞ atunci

dimK L(V ,W ) = dimK V ⋅ dimK W .

Izomorfisme de spatii vectoriale:

Definitia 11.4 (Izomorfism)

a) O aplicatie liniara T ∶ KV → KW s. n. endomorfism al lui V

L(V ,V ) not= EndK (V );

b) Doua spatii vectoriale KV si KW sunt izomorfe daca∃T ∶ V →W o aplicatie liniara bijectiva. In acest caz T s. n.izomorfism si notam KV ≅K W .

EndK (V ) este un K -spatiu vectorial cu:dimK (EndK (V )) = (dimK (V ))2;

(EndK (V ),+, ○) este chiar inel.

Thm. 11.5

Doua spatii vectoriale peste acelasi corp sunt izomorfe daca sinumai daca au aceeasi dimensiune.In particular, daca KV este un spatiu vectorial dedimK V = n⇒ V ≅ Kn.

EndK (V ) este

un K -spatiu vectorial cu:dimK (EndK (V )) = (dimK (V ))2;

(EndK (V ),+, ○) este chiar inel.

Thm. 11.5

Doua spatii vectoriale peste acelasi corp sunt izomorfe daca sinumai daca au aceeasi dimensiune.In particular, daca KV este un spatiu vectorial dedimK V = n⇒ V ≅ Kn.

EndK (V ) este un K -spatiu vectorial cu:

dimK (EndK (V )) = (dimK (V ))2;

(EndK (V ),+, ○) este chiar inel.

Thm. 11.5

Doua spatii vectoriale peste acelasi corp sunt izomorfe daca sinumai daca au aceeasi dimensiune.In particular, daca KV este un spatiu vectorial dedimK V = n⇒ V ≅ Kn.

EndK (V ) este un K -spatiu vectorial cu:dimK (EndK (V )) = (dimK (V ))2;

(EndK (V ),+, ○) este chiar inel.

Thm. 11.5

Doua spatii vectoriale peste acelasi corp sunt izomorfe daca sinumai daca au aceeasi dimensiune.In particular, daca KV este un spatiu vectorial dedimK V = n⇒ V ≅ Kn.

EndK (V ) este un K -spatiu vectorial cu:dimK (EndK (V )) = (dimK (V ))2;

(EndK (V ),+, ○) este chiar inel.

Thm. 11.5

Doua spatii vectoriale peste acelasi corp sunt izomorfe daca sinumai daca au aceeasi dimensiune.In particular, daca KV este un spatiu vectorial dedimK V = n⇒ V ≅ Kn.

EndK (V ) este un K -spatiu vectorial cu:dimK (EndK (V )) = (dimK (V ))2;

(EndK (V ),+, ○) este chiar inel.

Thm. 11.5

Doua spatii vectoriale peste acelasi corp sunt izomorfe daca sinumai daca au aceeasi dimensiune.In particular, daca KV este un spatiu vectorial dedimK V = n⇒ V ≅ Kn.

EndK (V ) este un K -spatiu vectorial cu:dimK (EndK (V )) = (dimK (V ))2;

(EndK (V ),+, ○) este chiar inel.

Thm. 11.5

Doua spatii vectoriale

peste acelasi corp sunt izomorfe daca sinumai daca au aceeasi dimensiune.In particular, daca KV este un spatiu vectorial dedimK V = n⇒ V ≅ Kn.

EndK (V ) este un K -spatiu vectorial cu:dimK (EndK (V )) = (dimK (V ))2;

(EndK (V ),+, ○) este chiar inel.

Thm. 11.5

Doua spatii vectoriale peste acelasi corp

sunt izomorfe daca sinumai daca au aceeasi dimensiune.In particular, daca KV este un spatiu vectorial dedimK V = n⇒ V ≅ Kn.

EndK (V ) este un K -spatiu vectorial cu:dimK (EndK (V )) = (dimK (V ))2;

(EndK (V ),+, ○) este chiar inel.

Thm. 11.5

Doua spatii vectoriale peste acelasi corp sunt izomorfe

daca sinumai daca au aceeasi dimensiune.In particular, daca KV este un spatiu vectorial dedimK V = n⇒ V ≅ Kn.

EndK (V ) este un K -spatiu vectorial cu:dimK (EndK (V )) = (dimK (V ))2;

(EndK (V ),+, ○) este chiar inel.

Thm. 11.5

Doua spatii vectoriale peste acelasi corp sunt izomorfe daca sinumai daca au aceeasi dimensiune.

In particular, daca KV este un spatiu vectorial dedimK V = n⇒ V ≅ Kn.

EndK (V ) este un K -spatiu vectorial cu:dimK (EndK (V )) = (dimK (V ))2;

(EndK (V ),+, ○) este chiar inel.

Thm. 11.5

Doua spatii vectoriale peste acelasi corp sunt izomorfe daca sinumai daca au aceeasi dimensiune.In particular,

daca KV este un spatiu vectorial dedimK V = n⇒ V ≅ Kn.

EndK (V ) este un K -spatiu vectorial cu:dimK (EndK (V )) = (dimK (V ))2;

(EndK (V ),+, ○) este chiar inel.

Thm. 11.5

Doua spatii vectoriale peste acelasi corp sunt izomorfe daca sinumai daca au aceeasi dimensiune.In particular, daca KV este un spatiu vectorial dedimK V = n

⇒ V ≅ Kn.

EndK (V ) este un K -spatiu vectorial cu:dimK (EndK (V )) = (dimK (V ))2;

(EndK (V ),+, ○) este chiar inel.

Thm. 11.5

Doua spatii vectoriale peste acelasi corp sunt izomorfe daca sinumai daca au aceeasi dimensiune.In particular, daca KV este un spatiu vectorial dedimK V = n⇒ V ≅ Kn.

EndK (V ) este un K -spatiu vectorial cu:dimK (EndK (V )) = (dimK (V ))2;

(EndK (V ),+, ○) este chiar inel.

Thm. 11.5

Doua spatii vectoriale peste acelasi corp sunt izomorfe daca sinumai daca au aceeasi dimensiune.In particular, daca KV este un spatiu vectorial dedimK V = n⇒ V ≅ Kn.

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism

P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n.

operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie

dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P

(adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒

P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V

un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie.

Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP =

{v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe.

Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este

un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiu

ın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si

FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2

sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare,

V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,

exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic

un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie

P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare

ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2.

(Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.

proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1,

paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

Operatorii de proiectie si simetrie:

Proiectie:

Un endomorfism P ∶ V → V s. n. operator de proiectie dacaP ○ P = P (adica P2 = P ⇐⇒ P este idempotent);

Prop. 11.6 (caracterizarea proiectiilor)

Fie P ∶ V → V un operator de proiectie. Fie

FixP = {v ∈ V ∣F (v) = v}

subspatiilor punctelor fixe. Atunci:

a) FixP este un subspatiuın V si FixP = ImP;

b) V = FixP ⊕KerP;

c) Daca V1,V2 sunt subspatii complementare, V = V1 ⊕V2,exista si este unic un operator de proiectie P ∶ V → V pentrucare ImP = V1 si KerP = V2. (Acest operator s. n.proiectia pe V1, paralela cu V2);

d) Daca dimK V = n

atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o

baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui

KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare

matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP =

[ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 0

0 0] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii)

intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P

este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗

P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P =

P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2,

P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1

paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2,

iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2

paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci

P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I

(I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)

“Descompunerea unitatii I ∶ V → V”

d) Daca dimK V = n atunci exista o baza a lui KV ın raport cucare matricea operatorului P este

MP = [ Ir 00 0

] (= [P]e , ın baza e).

Demonstratie.

”La tabla!”

Observatii:

Prop. 11. 6 (Proiectii) intra la examen ca si problema!

Daca P este proiectie ∀r ∈ N∗ P r = P ○ ... ○ P = P;

Daca V = V1 ⊕V2, P1 proiectia pe V1 paralela cu V2, iar P2

proiectia pe V2 paralela cu V1, atunci P1 + P2 = I (I (v) = v)“Descompunerea unitatii I ∶ V → V

”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V s. n. simetrie ın KV daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v}, iar K = R sau K = C). Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare, V = V1 ⊕V2, exista o unica simetrieS ∶ V → V astfel ıncat V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza ın V fata de carematricea operatorului S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 00 −In−r

] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V

s. n. simetrie ın KV daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v}, iar K = R sau K = C). Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare, V = V1 ⊕V2, exista o unica simetrieS ∶ V → V astfel ıncat V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza ın V fata de carematricea operatorului S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 00 −In−r

] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V s. n. simetrie ın KV

daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v}, iar K = R sau K = C). Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare, V = V1 ⊕V2, exista o unica simetrieS ∶ V → V astfel ıncat V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza ın V fata de carematricea operatorului S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 00 −In−r

] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V s. n. simetrie ın KV daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v}, iar K = R sau K = C). Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare, V = V1 ⊕V2, exista o unica simetrieS ∶ V → V astfel ıncat V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza ın V fata de carematricea operatorului S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 00 −In−r

] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V s. n. simetrie ın KV daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v}, iar K = R sau K = C). Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare, V = V1 ⊕V2, exista o unica simetrieS ∶ V → V astfel ıncat V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza ın V fata de carematricea operatorului S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 00 −In−r

] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V s. n. simetrie ın KV daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v},

iar K = R sau K = C). Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare, V = V1 ⊕V2, exista o unica simetrieS ∶ V → V astfel ıncat V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza ın V fata de carematricea operatorului S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 00 −In−r

] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V s. n. simetrie ın KV daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v}, iar K = R sau K = C).

Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare, V = V1 ⊕V2, exista o unica simetrieS ∶ V → V astfel ıncat V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza ın V fata de carematricea operatorului S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 00 −In−r

] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V s. n. simetrie ın KV daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v}, iar K = R sau K = C). Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare, V = V1 ⊕V2, exista o unica simetrieS ∶ V → V astfel ıncat V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza ın V fata de carematricea operatorului S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 00 −In−r

] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V s. n. simetrie ın KV daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v}, iar K = R sau K = C). Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare, V = V1 ⊕V2, exista o unica simetrieS ∶ V → V astfel ıncat V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza ın V fata de carematricea operatorului S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 00 −In−r

] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V s. n. simetrie ın KV daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v}, iar K = R sau K = C). Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare, V = V1 ⊕V2, exista o unica simetrieS ∶ V → V astfel ıncat V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza ın V fata de carematricea operatorului S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 00 −In−r

] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V s. n. simetrie ın KV daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v}, iar K = R sau K = C). Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare,

V = V1 ⊕V2, exista o unica simetrieS ∶ V → V astfel ıncat V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza ın V fata de carematricea operatorului S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 00 −In−r

] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V s. n. simetrie ın KV daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v}, iar K = R sau K = C). Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare, V = V1 ⊕V2,

exista o unica simetrieS ∶ V → V astfel ıncat V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza ın V fata de carematricea operatorului S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 00 −In−r

] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V s. n. simetrie ın KV daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v}, iar K = R sau K = C). Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare, V = V1 ⊕V2, exista o unica simetrie

S ∶ V → V astfel ıncat V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza ın V fata de carematricea operatorului S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 00 −In−r

] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V s. n. simetrie ın KV daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v}, iar K = R sau K = C). Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare, V = V1 ⊕V2, exista o unica simetrieS ∶ V → V

astfel ıncat V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza ın V fata de carematricea operatorului S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 00 −In−r

] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V s. n. simetrie ın KV daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v}, iar K = R sau K = C). Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare, V = V1 ⊕V2, exista o unica simetrieS ∶ V → V astfel ıncat

V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza ın V fata de carematricea operatorului S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 00 −In−r

] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V s. n. simetrie ın KV daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v}, iar K = R sau K = C). Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare, V = V1 ⊕V2, exista o unica simetrieS ∶ V → V astfel ıncat V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza ın V fata de carematricea operatorului S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 00 −In−r

] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V s. n. simetrie ın KV daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v}, iar K = R sau K = C). Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare, V = V1 ⊕V2, exista o unica simetrieS ∶ V → V astfel ıncat V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza

ın V fata de carematricea operatorului S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 00 −In−r

] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V s. n. simetrie ın KV daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v}, iar K = R sau K = C). Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare, V = V1 ⊕V2, exista o unica simetrieS ∶ V → V astfel ıncat V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza ın V fata de carematricea operatorului

S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 00 −In−r

] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V s. n. simetrie ın KV daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v}, iar K = R sau K = C). Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare, V = V1 ⊕V2, exista o unica simetrieS ∶ V → V astfel ıncat V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza ın V fata de carematricea operatorului S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 00 −In−r

] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V s. n. simetrie ın KV daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v}, iar K = R sau K = C). Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare, V = V1 ⊕V2, exista o unica simetrieS ∶ V → V astfel ıncat V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza ın V fata de carematricea operatorului S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 0

0 −In−r] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V s. n. simetrie ın KV daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v}, iar K = R sau K = C). Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare, V = V1 ⊕V2, exista o unica simetrieS ∶ V → V astfel ıncat V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza ın V fata de carematricea operatorului S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 00 −In−r

] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Simetrie:

Un operator S ∶ V → V s. n. simetrie ın KV daca S ○ S = I .

Prop 11.7 (caracterizarea simetriilor)

Fie InvS = {v ∈ V ∣S(v) = −v}, iar K = R sau K = C). Aratati ca:

1 K InvS ≤ KV ;

2 V = FixS ⊕ InvS ;

3 Pentru orice scindare, V = V1 ⊕V2, exista o unica simetrieS ∶ V → V astfel ıncat V1 = FixS si V2 = InvS (S se numestesimetria fata de V1 paralela cu V2);

4 Daca dimK V = n atunci exista o baza ın V fata de carematricea operatorului S ın aceasta baza este:

MS = [ Ir 00 −In−r

] .

Demonstratie.

”Vezi Problema 2, Seminar 11!”

Legatura ıntre proiectii si simetrii

Intuitiv avem imaginea ....... deci

P(v) = 1

2(v + S(v)) sau S(v) = 2P(v) − v , ∀v ∈ V .

Se arata usor ca, daca P ∶ V → V este o proiectie, atunciS ∶ V → V este o simetrie; reciproc, daca S ∶ V → V este osimetrie atunci

P ∶ V → V ,P = 1

2(I + S)

este o proiectie.Daca P si S sunt legate prin

S = 2P − I (⇐⇒ P = 1

2(S + I ))

atunci, ele dau aceeasi scindare:

V = V1 ⊕V2, V1 = FixS = FixP, V2 = ImS = KerP.

Legatura ıntre proiectii si simetriiIntuitiv avem imaginea .......

deci

P(v) = 1

2(v + S(v)) sau S(v) = 2P(v) − v , ∀v ∈ V .

Se arata usor ca, daca P ∶ V → V este o proiectie, atunciS ∶ V → V este o simetrie; reciproc, daca S ∶ V → V este osimetrie atunci

P ∶ V → V ,P = 1

2(I + S)

este o proiectie.Daca P si S sunt legate prin

S = 2P − I (⇐⇒ P = 1

2(S + I ))

atunci, ele dau aceeasi scindare:

V = V1 ⊕V2, V1 = FixS = FixP, V2 = ImS = KerP.

Legatura ıntre proiectii si simetriiIntuitiv avem imaginea ....... deci

P(v) =

1

2(v + S(v)) sau S(v) = 2P(v) − v , ∀v ∈ V .

Se arata usor ca, daca P ∶ V → V este o proiectie, atunciS ∶ V → V este o simetrie; reciproc, daca S ∶ V → V este osimetrie atunci

P ∶ V → V ,P = 1

2(I + S)

este o proiectie.Daca P si S sunt legate prin

S = 2P − I (⇐⇒ P = 1

2(S + I ))

atunci, ele dau aceeasi scindare:

V = V1 ⊕V2, V1 = FixS = FixP, V2 = ImS = KerP.

Legatura ıntre proiectii si simetriiIntuitiv avem imaginea ....... deci

P(v) = 1

2(v + S(v))

sau S(v) = 2P(v) − v , ∀v ∈ V .

Se arata usor ca, daca P ∶ V → V este o proiectie, atunciS ∶ V → V este o simetrie; reciproc, daca S ∶ V → V este osimetrie atunci

P ∶ V → V ,P = 1

2(I + S)

este o proiectie.Daca P si S sunt legate prin

S = 2P − I (⇐⇒ P = 1

2(S + I ))

atunci, ele dau aceeasi scindare:

V = V1 ⊕V2, V1 = FixS = FixP, V2 = ImS = KerP.

Legatura ıntre proiectii si simetriiIntuitiv avem imaginea ....... deci

P(v) = 1

2(v + S(v)) sau S(v) = 2P(v) − v , ∀v ∈ V .

Se arata usor ca, daca P ∶ V → V este o proiectie, atunciS ∶ V → V este o simetrie; reciproc, daca S ∶ V → V este osimetrie atunci

P ∶ V → V ,P = 1

2(I + S)

este o proiectie.Daca P si S sunt legate prin

S = 2P − I (⇐⇒ P = 1

2(S + I ))

atunci, ele dau aceeasi scindare:

V = V1 ⊕V2, V1 = FixS = FixP, V2 = ImS = KerP.

Legatura ıntre proiectii si simetriiIntuitiv avem imaginea ....... deci

P(v) = 1

2(v + S(v)) sau S(v) = 2P(v) − v , ∀v ∈ V .

Se arata usor ca, daca P ∶ V → V este o proiectie,

atunciS ∶ V → V este o simetrie; reciproc, daca S ∶ V → V este osimetrie atunci

P ∶ V → V ,P = 1

2(I + S)

este o proiectie.Daca P si S sunt legate prin

S = 2P − I (⇐⇒ P = 1

2(S + I ))

atunci, ele dau aceeasi scindare:

V = V1 ⊕V2, V1 = FixS = FixP, V2 = ImS = KerP.

Legatura ıntre proiectii si simetriiIntuitiv avem imaginea ....... deci

P(v) = 1

2(v + S(v)) sau S(v) = 2P(v) − v , ∀v ∈ V .

Se arata usor ca, daca P ∶ V → V este o proiectie, atunciS ∶ V → V este o simetrie; reciproc,

daca S ∶ V → V este osimetrie atunci

P ∶ V → V ,P = 1

2(I + S)

este o proiectie.Daca P si S sunt legate prin

S = 2P − I (⇐⇒ P = 1

2(S + I ))

atunci, ele dau aceeasi scindare:

V = V1 ⊕V2, V1 = FixS = FixP, V2 = ImS = KerP.

Legatura ıntre proiectii si simetriiIntuitiv avem imaginea ....... deci

P(v) = 1

2(v + S(v)) sau S(v) = 2P(v) − v , ∀v ∈ V .

Se arata usor ca, daca P ∶ V → V este o proiectie, atunciS ∶ V → V este o simetrie; reciproc, daca S ∶ V → V este osimetrie atunci

P ∶ V → V ,

P = 1

2(I + S)

este o proiectie.Daca P si S sunt legate prin

S = 2P − I (⇐⇒ P = 1

2(S + I ))

atunci, ele dau aceeasi scindare:

V = V1 ⊕V2, V1 = FixS = FixP, V2 = ImS = KerP.

Legatura ıntre proiectii si simetriiIntuitiv avem imaginea ....... deci

P(v) = 1

2(v + S(v)) sau S(v) = 2P(v) − v , ∀v ∈ V .

Se arata usor ca, daca P ∶ V → V este o proiectie, atunciS ∶ V → V este o simetrie; reciproc, daca S ∶ V → V este osimetrie atunci

P ∶ V → V ,P = 1

2(I + S)

este o proiectie.

Daca P si S sunt legate prin

S = 2P − I (⇐⇒ P = 1

2(S + I ))

atunci, ele dau aceeasi scindare:

V = V1 ⊕V2, V1 = FixS = FixP, V2 = ImS = KerP.

Legatura ıntre proiectii si simetriiIntuitiv avem imaginea ....... deci

P(v) = 1

2(v + S(v)) sau S(v) = 2P(v) − v , ∀v ∈ V .

Se arata usor ca, daca P ∶ V → V este o proiectie, atunciS ∶ V → V este o simetrie; reciproc, daca S ∶ V → V este osimetrie atunci

P ∶ V → V ,P = 1

2(I + S)

este o proiectie.Daca P si S sunt legate prin

S = 2P − I (⇐⇒

P = 1

2(S + I ))

atunci, ele dau aceeasi scindare:

V = V1 ⊕V2, V1 = FixS = FixP, V2 = ImS = KerP.

Legatura ıntre proiectii si simetriiIntuitiv avem imaginea ....... deci

P(v) = 1

2(v + S(v)) sau S(v) = 2P(v) − v , ∀v ∈ V .

Se arata usor ca, daca P ∶ V → V este o proiectie, atunciS ∶ V → V este o simetrie; reciproc, daca S ∶ V → V este osimetrie atunci

P ∶ V → V ,P = 1

2(I + S)

este o proiectie.Daca P si S sunt legate prin

S = 2P − I (⇐⇒ P = 1

2(S + I ))

atunci,

ele dau aceeasi scindare:

V = V1 ⊕V2, V1 = FixS = FixP, V2 = ImS = KerP.

Legatura ıntre proiectii si simetriiIntuitiv avem imaginea ....... deci

P(v) = 1

2(v + S(v)) sau S(v) = 2P(v) − v , ∀v ∈ V .

Se arata usor ca, daca P ∶ V → V este o proiectie, atunciS ∶ V → V este o simetrie; reciproc, daca S ∶ V → V este osimetrie atunci

P ∶ V → V ,P = 1

2(I + S)

este o proiectie.Daca P si S sunt legate prin

S = 2P − I (⇐⇒ P = 1

2(S + I ))

atunci, ele dau aceeasi scindare:

V = V1 ⊕V2, V1 = FixS = FixP, V2 = ImS = KerP.

Legatura ıntre proiectii si simetriiIntuitiv avem imaginea ....... deci

P(v) = 1

2(v + S(v)) sau S(v) = 2P(v) − v , ∀v ∈ V .

Se arata usor ca, daca P ∶ V → V este o proiectie, atunciS ∶ V → V este o simetrie; reciproc, daca S ∶ V → V este osimetrie atunci

P ∶ V → V ,P = 1

2(I + S)

este o proiectie.Daca P si S sunt legate prin

S = 2P − I (⇐⇒ P = 1

2(S + I ))

atunci, ele dau aceeasi scindare:

V = V1 ⊕V2,

V1 = FixS = FixP, V2 = ImS = KerP.

Legatura ıntre proiectii si simetriiIntuitiv avem imaginea ....... deci

P(v) = 1

2(v + S(v)) sau S(v) = 2P(v) − v , ∀v ∈ V .

Se arata usor ca, daca P ∶ V → V este o proiectie, atunciS ∶ V → V este o simetrie; reciproc, daca S ∶ V → V este osimetrie atunci

P ∶ V → V ,P = 1

2(I + S)

este o proiectie.Daca P si S sunt legate prin

S = 2P − I (⇐⇒ P = 1

2(S + I ))

atunci, ele dau aceeasi scindare:

V = V1 ⊕V2, V1 = FixS = FixP,

V2 = ImS = KerP.

Legatura ıntre proiectii si simetriiIntuitiv avem imaginea ....... deci

P(v) = 1

2(v + S(v)) sau S(v) = 2P(v) − v , ∀v ∈ V .

Se arata usor ca, daca P ∶ V → V este o proiectie, atunciS ∶ V → V este o simetrie; reciproc, daca S ∶ V → V este osimetrie atunci

P ∶ V → V ,P = 1

2(I + S)

este o proiectie.Daca P si S sunt legate prin

S = 2P − I (⇐⇒ P = 1

2(S + I ))

atunci, ele dau aceeasi scindare:

V = V1 ⊕V2, V1 = FixS = FixP, V2 = ImS = KerP.