CURS 2: Relatii binare (II). Vectori în spatiuusers.utcluj.ro/~todeacos/curs2I.pdf · CURS 2:...
Transcript of CURS 2: Relatii binare (II). Vectori în spatiuusers.utcluj.ro/~todeacos/curs2I.pdf · CURS 2:...
-
CURS 2: Relaţii binare (II). Vectori ı̂n spaţiu
Conf. dr. Constantin-Cosmin Todea
Cluj-Napoca
-
1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.
Definiţia 1.7.1
Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.
Definiţia 1.7.2:
Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗
not= sup(A1).
-
1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.
Definiţia 1.7.1
Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe
dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.
Definiţia 1.7.2:
Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗
not= sup(A1).
-
1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.
Definiţia 1.7.1
Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare,
bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.
Definiţia 1.7.2:
Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗
not= sup(A1).
-
1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.
Definiţia 1.7.1
Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă
şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.
Definiţia 1.7.2:
Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗
not= sup(A1).
-
1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.
Definiţia 1.7.1
Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;
Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.
Definiţia 1.7.2:
Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗
not= sup(A1).
-
1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.
Definiţia 1.7.1
Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare
dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.
Definiţia 1.7.2:
Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗
not= sup(A1).
-
1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.
Definiţia 1.7.1
Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.
Definiţia 1.7.2:
Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗
not= sup(A1).
-
1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.
Definiţia 1.7.1
Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.
Definiţia 1.7.2:
Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:
Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗
not= sup(A1).
-
1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.
Definiţia 1.7.1
Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.
Definiţia 1.7.2:
Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte
infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗
not= sup(A1).
-
1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.
Definiţia 1.7.1
Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.
Definiţia 1.7.2:
Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!),
dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗
not= sup(A1).
-
1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.
Definiţia 1.7.1
Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.
Definiţia 1.7.2:
Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1
şi din
(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗
not= sup(A1).
-
1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.
Definiţia 1.7.1
Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.
Definiţia 1.7.2:
Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m;
mnot= inf (A1).
Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗
not= sup(A1).
-
1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.
Definiţia 1.7.1
Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.
Definiţia 1.7.2:
Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).
Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗
not= sup(A1).
-
1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.
Definiţia 1.7.1
Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.
Definiţia 1.7.2:
Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte
supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗
not= sup(A1).
-
1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.
Definiţia 1.7.1
Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.
Definiţia 1.7.2:
Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă),
dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗
not= sup(A1).
-
1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.
Definiţia 1.7.1
Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.
Definiţia 1.7.2:
Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗
şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗
not= sup(A1).
-
1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.
Definiţia 1.7.1
Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.
Definiţia 1.7.2:
Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;
m∗not= sup(A1).
-
1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.
Definiţia 1.7.1
Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.
Definiţia 1.7.2:
Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗
not= sup(A1).
-
1.7. Relaţii de ordine:Fie A şi B două mulţimi oarecare.
Definiţia 1.7.1
Dacă (A,≤) şi (B,≼) sunt două mulţimi ordonate atunci elesunt izomorfe dacă ∃f ∶ A→ B crescătoare, bijectivă şi cuf −1 ∶ B → A crescătoare;Iar f ∶ A→ B se numeşte funcţie crescătoare dacă dina1 ≤ a2 ⇒ f (a1) ≼ f (a2), ∀a1, a2 ∈ A.
Definiţia 1.7.2:
Fie (A,≤) mulţime ordonată şi A1 ⊆ A o submulţime:Elementul m ∈ A se numeşte infimumul subm. A1 (dacăexistă!), dacă ∀a1 ∈ A1,m ≤ a1 şi din(a ≤ a1,∀a1 ∈ A1)⇒ a ≤ m; m not= inf (A1).Elementul m∗ ∈ A se numeşte supremumul subm. A1 (dacăexistă), dacă ∀a1 ∈ A1, a1 ≤ m∗ şi din a1 ≤ a⇒ m∗ ≤ a;m∗
not= sup(A1).
-
Diagrama unei latice finite:
Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:
m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.
Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.
-
Diagrama unei latice finite:
Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}
”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:
m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.
Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.
-
Diagrama unei latice finite:
Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”
Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:
m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.
Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.
-
Diagrama unei latice finite:
Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice
dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:
m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.
Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.
-
Diagrama unei latice finite:
Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi
∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:
m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.
Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.
-
Diagrama unei latice finite:
Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};
Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.
Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.
-
Diagrama unei latice finite:
Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:
m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒
x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.
Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.
-
Diagrama unei latice finite:
Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:
m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;
m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.
Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.
-
Diagrama unei latice finite:
Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:
m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒
x = m.Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.
-
Diagrama unei latice finite:
Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:
m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.
Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.
-
Diagrama unei latice finite:
Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:
m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.
Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:
- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.
-
Diagrama unei latice finite:
Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:
m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.
Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L,
le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.
-
Diagrama unei latice finite:
Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:
m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.
Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;
- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.
-
Diagrama unei latice finite:
Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:
m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.
Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1,
le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.
-
Diagrama unei latice finite:
Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:
m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.
Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;
- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.
-
Diagrama unei latice finite:
Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:
m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.
Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);
- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.
-
Diagrama unei latice finite:
Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:
m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.
Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯
- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.
-
Diagrama unei latice finite:
Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:
m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.
Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente
dacă acestea sunt ı̂n relaţie.
-
Diagrama unei latice finite:
Exemplu:(D24, ∣) D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}”desen la tablă”Definiţie: (A,≤) se numeşte latice dacă ∀a1, a2 ∈ A ∃inf {a1, a2}şi ∃sup{a1, a2};Dacă (A,≤) mulţime ordonată atunci:
m ∈ A se numeşte element minimal dacă dinx ∈ A, x ≤ m⇒ x = m;m∗ ∈ A se numeşte element maximal dacă dinx ∈ A, x ≥ m⇒ x = m.
Diagrama unei latice finite (L,≤) se construieşte pe nivele astfel:- pe nivelul 1 se pun elementele minimale din L, le notăm cu L1;- pe nivelul 2 se pun elem. min. din L ∖ L1, le notăm cu L2;- pe nivelul 3 se pun elem. min. din L ∖ (L1⋃L2);- ⋯- ı̂ntre elementele ce apar pe nivele consecutive se traseazăsegmente dacă acestea sunt ı̂n relaţie.
-
2. VECTORI ÎN SPAŢIU
(3D)
-
2. VECTORI ÎN SPAŢIU (3D)
-
2.3. Operaţii cu vectori
Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau
”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :
av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:
aceeaşi direcţie ca v ;
lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul
acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;
0 ⋅ v = 0;
-
2.3. Operaţii cu vectori
Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k,
v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau
”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :
av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:
aceeaşi direcţie ca v ;
lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul
acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;
0 ⋅ v = 0;
-
2.3. Operaţii cu vectori
Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2k
v = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau
”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :
av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:
aceeaşi direcţie ca v ;
lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul
acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;
0 ⋅ v = 0;
-
2.3. Operaţii cu vectori
Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.
A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :
av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:
aceeaşi direcţie ca v ;
lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul
acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;
0 ⋅ v = 0;
-
2.3. Operaţii cu vectori
Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric
cu ”regula triunghiului” sau”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :
av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:
aceeaşi direcţie ca v ;
lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul
acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;
0 ⋅ v = 0;
-
2.3. Operaţii cu vectori
Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau
”regula paralelogramului”;
de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :
av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:
aceeaşi direcţie ca v ;
lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul
acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;
0 ⋅ v = 0;
-
2.3. Operaţii cu vectori
Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau
”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;
v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :
av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:
aceeaşi direcţie ca v ;
lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul
acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;
0 ⋅ v = 0;
-
2.3. Operaţii cu vectori
Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau
”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)k
B Înmulţirea cu scalari :
av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:
aceeaşi direcţie ca v ;
lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul
acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;
0 ⋅ v = 0;
-
2.3. Operaţii cu vectori
Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau
”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :
av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:
aceeaşi direcţie ca v ;
lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul
acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;
0 ⋅ v = 0;
-
2.3. Operaţii cu vectori
Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau
”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :
av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3
Geometric, av este un nou vector care are:
aceeaşi direcţie ca v ;
lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul
acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;
0 ⋅ v = 0;
-
2.3. Operaţii cu vectori
Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau
”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :
av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:
aceeaşi direcţie ca v ;
lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul
acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;
0 ⋅ v = 0;
-
2.3. Operaţii cu vectori
Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau
”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :
av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:
aceeaşi direcţie ca v ;
lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;
sensul
acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;
0 ⋅ v = 0;
-
2.3. Operaţii cu vectori
Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau
”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :
av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:
aceeaşi direcţie ca v ;
lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul
acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;
0 ⋅ v = 0;
-
2.3. Operaţii cu vectori
Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau
”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :
av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:
aceeaşi direcţie ca v ;
lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul
acelaşi dacă a > 0
opus dacă a < 0;0 ⋅ v = 0;
-
2.3. Operaţii cu vectori
Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau
”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :
av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:
aceeaşi direcţie ca v ;
lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul
acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;
0 ⋅ v = 0;
-
2.3. Operaţii cu vectori
Fie v1 = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, v2 = x2i + y2j + z2kv = (x , y , z) şi a ∈ R.A Adunarea vectorilor - geometric cu ”regula triunghiului” sau
”regula paralelogramului”; de ex: AB +BC = AC ;v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)kB Înmulţirea cu scalari :
av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)j + (az)k ∈Ð→R 3Geometric, av este un nou vector care are:
aceeaşi direcţie ca v ;
lungimea ∥av∥ = ∣a∣ ⋅ ∥v∥;sensul
acelaşi dacă a > 0opus dacă a < 0;
0 ⋅ v = 0;
-
C Vectori coliniari
= vectori care au aceeaşi direcţiev1 şi v2 sunt coliniari ⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1⇐⇒ x1x2 =
y1y2= z1z2 ;
D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.
Problemă: Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:
1
(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR
v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3
RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));
(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)
2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!
-
C Vectori coliniari = vectori care au aceeaşi direcţie
v1 şi v2 sunt coliniari ⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1⇐⇒ x1x2 =
y1y2= z1z2 ;
D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.
Problemă: Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:
1
(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR
v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3
RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));
(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)
2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!
-
C Vectori coliniari = vectori care au aceeaşi direcţiev1 şi v2 sunt coliniari
⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1⇐⇒ x1x2 =
y1y2= z1z2 ;
D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.
Problemă: Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:
1
(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR
v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3
RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));
(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)
2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!
-
C Vectori coliniari = vectori care au aceeaşi direcţiev1 şi v2 sunt coliniari ⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1
⇐⇒ x1x2 =y1y2= z1z2 ;
D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.
Problemă: Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:
1
(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR
v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3
RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));
(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)
2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!
-
C Vectori coliniari = vectori care au aceeaşi direcţiev1 şi v2 sunt coliniari ⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1⇐⇒ x1x2 =
y1y2= z1z2 ;
D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.
Problemă: Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:
1
(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR
v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3
RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));
(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)
2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!
-
C Vectori coliniari = vectori care au aceeaşi direcţiev1 şi v2 sunt coliniari ⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1⇐⇒ x1x2 =
y1y2= z1z2 ;
D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.
Problemă: Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:
1
(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR
v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3
RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));
(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)
2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!
-
C Vectori coliniari = vectori care au aceeaşi direcţiev1 şi v2 sunt coliniari ⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1⇐⇒ x1x2 =
y1y2= z1z2 ;
D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.
Problemă:
Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:
1
(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR
v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3
RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));
(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)
2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!
-
C Vectori coliniari = vectori care au aceeaşi direcţiev1 şi v2 sunt coliniari ⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1⇐⇒ x1x2 =
y1y2= z1z2 ;
D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.
Problemă: Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:
1
(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR
v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3
RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));
(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)
2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!
-
C Vectori coliniari = vectori care au aceeaşi direcţiev1 şi v2 sunt coliniari ⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1⇐⇒ x1x2 =
y1y2= z1z2 ;
D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.
Problemă: Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:
1
(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR
v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3
RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));
(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)
2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!
-
C Vectori coliniari = vectori care au aceeaşi direcţiev1 şi v2 sunt coliniari ⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1⇐⇒ x1x2 =
y1y2= z1z2 ;
D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.
Problemă: Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:
1
(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR
v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3
RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));
(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)
2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!
-
C Vectori coliniari = vectori care au aceeaşi direcţiev1 şi v2 sunt coliniari ⇐⇒ ∃a ∈ R astfel ı̂ncât v2 = av1⇐⇒ x1x2 =
y1y2= z1z2 ;
D Lungimea (Norma): ∥v∥ =√x2 + y2 + z2.
Problemă: Demonstraţi că ∀v1, v2, v3 ∈Ð→R 3 au loc:
1
(v1, v2, v3)2 =RRRRRRRRRRRRRR
v1 ⋅ v1 v1 ⋅ v2 v1 ⋅ v3v2 ⋅ v1 v2 ⋅ v2 v2 ⋅ v3v3 ⋅ v1 v3 ⋅ v2 v3 ⋅ v3
RRRRRRRRRRRRRR(not= G(v1, v2, v3));
(Determinantul de sus s.n determinantul lui Gram de ordin 3.)
2 (v1, v2, v3)2 = (v1 × v2, v2 × v3, v3 × v1).Soluţie: la tablă!