Curs Matematici Financiare Si Actuariale

Post on 02-Dec-2015

164 views 10 download

description

Curs Matematici Financiare Si Actuarialematematica economica semestrul II an I

Transcript of Curs Matematici Financiare Si Actuariale

Conf. univ. dr. RODICA IOAN Lector univ. dr. MANUELA GHICA

Lector univ. dr. ILEANA RODICA NICOLA Lector univ. dr. VLAD COPIL

MATEMATICI FINANCIARE ŞI ACTUARIALE Curs în tehnologie ID-IFR

© Editura Fundaţiei România de Mâine, 2012 http://www.edituraromaniademaine.ro/

Editură recunoscută de Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului prin Consiliul Naţional al Cercetării Ştiinţifice

din Învăţământul Superior (COD 171)

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României Matematici financiare şi actuariale/ Rodica Ioan, Manuela Ghica, Ileana Rodica Nicola, Vlad Copil

− Bucureşti, Editura Fundaţiei România de Mâine, 2011 ISBN 978-973-163-658-0 I. Ioan, Rodica II. Ghica, Manuela III. Nicola, Ileana Rodica IV. Copil, Vlad 51(075.8)

Reproducerea integrală sau fragmentară, prin orice formă şi prin orice mijloace tehnice,

este strict interzisă şi se pedepseşte conform legii.

Răspunderea pentru conţinutul şi originalitatea textului revine exclusiv autorului/autorilor.

UNIVERSITATEA SPIRU HARET FACULTATEA DE MANAGEMENT FINANCIAR CONTABIL BUCUREŞTI

PROGRAMUL DE STUDII UNIVERSITARE DE LICENŢĂ CONTABILITATE ŞI INFORMATICĂ DE GESTIUNE

MATEMATICI FINANCIARE ŞI ACTUARIALE

Curs în tehnologie ID-IFR

Realizatori curs în tehnologie ID-IFR

Conf. univ. dr. RODICA IOAN Lector univ. dr. MANUELA GHICA Lector univ. dr. ILEANA RODICA NICOLA Lector univ. dr. VLAD COPIL

EDITURA FUNDAŢIEI ROMÂNIA DE MÂINE Bucureşti, 2012

5

CUPRINS

INTRODUCERE …………………………………………………………………………………….. 9

Unitatea de învăţare 1

NOŢIUNI INTRODUCTIVE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR 1.1. Introducere ..................................................................................................................................... 13 1.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................. 13 1.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 14

1.3.1. Câmp de evenimente. Probabilitate ...................................................................................... 14 1.3.2. Probabilitate pe un câmp finit de evenimente ...................................................................... 15

1.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ...................................................................................... 17

Unitatea de învăţare 2

VARIABILE ALEATOARE

2.1. Introducere ..................................................................................................................................... 21 2.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................. 21 2.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 22

2.3.1. Variabile aleatoare unidimensionale. Caracteristici numerice. Funcţie de repartiţie ........... 22 2.3.1.1. Variabile aleatoare discrete ............................................................................................... 22 2.3.1.2. Variabile aleatoare continue................................................................................................ 26 2.3.2. Variabile aleatoare bidimensionale ...................................................................................... 29

2.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ...................................................................................... 33

Unitatea de învăţare 3

SCHEME CLASICE DE PROBABILITATE 3.1. Introducere ..................................................................................................................................... 39 3.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................. 39 3.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 40

3.3.1. Repartiţii probabilistice clasice ............................................................................................ 40 3.3.1.1 Repartiţii de tip discret ....................................................................................................... 40 3.3.1.2. Repartiţii de tip continuu ................................................................................................... 42

3.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ....................................................................................... 44

Unitatea de învăţare 4

ELEMENTE DE STATISTICĂ MATEMATICĂ 4.1. Introducere ............................................................................. ........................................................ 49 4.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare.............................................................................. 49 4.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 50

4.3.1. Teoria selecţiei ..................................................................................................................... 50 4.3.2. Teoria estimaţiei .................................................................................................................. 51

4.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ...................................................................................... 53

6

Unitatea de învăţare 5

GRAFURI I 5.1. Introducere ..................................................................................................................................... 61 5.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................. 61 5.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 62

5.3.1. Introducere. Definiţii ............................................................................................................ 62 5.3.2. Matrice asociate unui graf. Proprietăţi ale grafurilor ........................................................... 66 5.3.3. Determinarea drumurilor hamiltoniene în grafuri fără circuite ............................................ 68 5.3.4. Determinarea drumurilor hamiltoniene în grafuri cu circuite .............................................. 69

5.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ....................................................................................... 70

Unitatea de învăţare 6

GRAFURI II 6.1. Introducere ............................................................................. ....................................................... 74 6.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................. 74 6.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 75

6.3.1. Drumuri de valoare într-un graf. Algoritmul Bellman-Kalaba ............................................ 75 6.3.2. Flux maxim într-o reţea de transport ..................................... .............................................. 77 6.3.2.1. Algoritmul Ford-Fulkerson ..................................... ............................................... 78

6.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ...................................................................................... 79

Unitatea de învăţare 7

DOBÂNZI 7.1 Introducere ...................................................................................................................................... 89 7.2 Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare .............................................................................. 89 7.3 Conţinutul unităţii de învăţare ......................................................................................................... 90

7.3.1. Dobânda simplă .................................................................................................................... 90 7.3.2. Dobânda compusă ................................................................................................................ 91

7.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ...................................................................................... 93

Unitatea de învăţare 8

OPERAŢIUNI DE SCONT 8.1. Introducere ..................................................................................................................................... 96 8.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................. 96 8.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 97

8.3.1. Operaţiuni de scont ............................................................................................................... 97 8.4. Îndrumător pentru verificare/autoverificare .................................................................................... 100

Unitatea de învăţare 9

PLĂŢI EŞALONATE 9.1. Introducere ..................................................................................................................................... 104 9.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................. 104 9.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 105

9.3.1. Anuităţi posticipate, temporare, imediate ........................................................................... 105 9.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ...................................................................................... 106

7

Unitatea de învăţare 10

PLĂŢI EŞALONATE GENERALIZATE. ÎMPRUMUTURI 10.1 Introducere .................................................................................................................................... 109 10.2 Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................ 109 10.3 Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 110

10.3.1. Împrumuturi ...................................................................................................................... 110 10.3.1.1. Amortizarea unui împrumut prin anuităţi constante posticipate ......................... 110 10.3.1.2. Împrumuturi cu anuităţi constante, plătibile la sfârşitul anului 111 10.3.1.3. Împrumuturi cu anuităţi constante cu dobândă plătită la începutul anului (anticipat) .............................................................................................................

111

10.3.1.4. Împrumuturi cu amortismente egale ................................................................... 111 10.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare .................................................................................... 112

Unitatea de învăţare 11

BAZELE MATEMATICII ACTUARIALE 11.1. Introducere .................................................................................................................................... 117 11.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ........................................................................... 117 11.3. Conţinutul unităţii de învăţare ....................................................................................................... 118

11.3.1. Funcţii biometrice ............................................................................................................. 118 11.3.2. Asigurarea unei sume în caz de supravieţuire la împlinirea termenului de asigurare ....... 120

11.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare...................................................................................... 121

Unitatea de învăţare 12

CONTRACTE DE ASIGURARE VIAGERĂ 12.1. Introducere..................................................................................................................................... 123 12.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare............................................................................ 123 12.3. Conţinutul unităţii de învăţare ....................................................................................................... 124

12.3.1. Anuităţi viagere ................................................................................................................. 124 12.3.1.1. Anuităţi viagere posticipate imediate ................................................................. 124 12.1.1.2. Anuităţi viagere anticipate imediate ................................................................... 124 12.1.1.3. Anuităţi viagere limitate la n ani şi anuităţi viagere amânate ............................. 124

12.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare...................................................................................... 125

Unitatea de învăţare 13

REZERVA MATEMATICĂ 13.1. Introducere..................................................................................................................................... 128 13.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ........................................................................... 128 13.3. Conţinutul unităţii de învăţare........................................................................................................ 129

13.3.1. Rezerva matematică ...........................................................................…………………... 129 13.3.1.1. Ecuaţia diferenţială a rezervelor matematice .................................................….. 130

13.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare...................................................................................... 131

Unitatea de învăţare 14

PLĂŢI VIAGERE FRACŢIONATE 14.1. Introducere..................................................................................................................................... 133 14.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare............................................................................ 133 14.3. Conţinutul unităţii de învăţare ....................................................................................................... 134

14.3.1. Asigurarea de pensie ...........................................................................…………………. 134 14.3.2. Asigurarea de deces ...........................................................................…………………… 134

8

14.3.3. Asigurări mixte ...........................................................................…................................... 136 14.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare...................................................................................... 136 Răspunsuri la testele de evaluare/autoevaluare …………………………………………………… 139 Bibliografie ...........................................................................…………………………………………. 155

� ��

��

�����������������

�������� � �� � ��� �� ��� �� ����� ������� ����� ����� ���� ��� � ��������� ������� ������ �

��������� �� ������� � ��� ������ �Matematici aplicate în economie, ����� ��� ���� �� ����� ����������������������������� �� �������������� ����������� �������������������������� ����������� î����������� ��������� ����� ������� �������� ������ �� ��� ������ �� �����������������������������tehnicilor de lucru ale matematicii actuariale în organizarea ��� ��� ��� � ����� ����� ����� ������� �����

���� ��� ������������ ���

��������������������������� ������������������������ ������������������ �de în������i fundamentare a aparatului matematic utilizat în cadrul unor discipline de specialitate.�

������� ��� ���� ������ ��� ������� �� ��� ������ �� ���� ����������� ��������� ��� �� �������� ������������� ������� � � ������ ��� ������� ������ �� ��� �������� � � ��������� ������adecvate, optime, în domeniile lor de activitate. Aceste capitole sunt direct orie������������� ����������� ��������� ������ ���� ����������� ������� ���������� ������������ �������� ����

���������� �������� ���

�� ���� ������� ����� ������������������� �������� !���

������ � ������� �� � ������� �� � �������� �i financiare în conducerea proceselor ����� "�

�������������� �������� ����� "���calculeze dobânzile �i indicatorii întâlni i în probleme de creditare;������������ ������� ���� �� ����� ��� �� ��� ������� � #���������� ��� ��������� �� ���

� tuarial) în scopul lu ����� ������ ����������� ������� ����� ����"����������� �� ������������ ������ �������� �������"���� ����� ��������� ��������� ������������������������������

������������������ ��

�������������������������� ������������������� ��������$%����� ������ ���#������������� ��� ����� &��������� ����� ���� � '�3 ore), fiecare dintre acestea cuprinzând câte un test de ������(�������������

�������������� � ������%����# ������)���� ��� �� ����������� ���'�%����� ������ ���

#*+)���� � �������� !�• �������������������������� ���� ���������� ��������� �������� ������������–�%�*+�• �������������������������–�'�*+�• �������������������–�%�*+�• ��������������������–�%�*+��

�$,�

�������

� $$�

��������

����� ����������������� ����������������� ������� ����������� ������������

-�������� ���� � �������� ���� ��� ���� � ��� ���� ��� �������� � ��

���������� ����������� ������������������������������������ ��� ����� ��.�������� �������� �������������� ���� ��� ������� ��� /�� ��� � ������ ���

.���������� ����������������������������������������� ���/�� ��� ��� ������ ��

.���������������������������������� ���0 &�� ���� ��������������!�1������������������ ������ ��� ������ �� ������ �� 2χ �� 0������ -����� � �������� � ������� !�2������� ����2���������� ����3�������������� ���������

#+�� ����4��2���������5��1� ����4��+�����0��1��� ������������������������� ���

-������/��� ���România de Mâine��',,6�������$$7�'$%)������������� �� Câmp de evenimente, ����������� ������ ����������� ����������

���������� ��������� ���������� ������������ ���������� �������������� ��������������������� ���������� �������� ���������� ������������� ������������� ����� ����� ������������������������������������������� ��� ����������� �����������������������������������������������������������������������

��

�$'�

������������������������������������������������������

� $8�

��

� ��������� �� ����!�

�� ������������"����������#�$��%#%�&�� �&������

���� ���

�$�$��+����� ���$�'��9�� �������� ����� ������ ������� �����$�8����� ����������� ������� ���

1.3.1. Câmp de evenimente. Probabili���� 1.3.2. Probabilitate pe un câmp finit de evenimente�

1.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare��

��$�$������� ������ �

:�������������� ���$��������� ���� �������� ����!��• Evenimente, câmp de evenimente; �• ���� ��� ���� � ��� ���� ��� �������� � ������������ ����

������� �"��• Câmp de probabilitate; �• ������������� ��� ����� ���

��

�$�'������������������� ������ ��� ���� �����

�� � ��� ������ � ���� ���� �� � ��� ���� �������� ��� ��� ������� � ������ ��� ��������������� ����� ���������sigur, eveniment imposibil, evenimente contrare, probabilitate (în ���� ���� ������� ������������������� )��������������� ��� ����� ��� � ��� � �������� ���� 1�;�� ��� �������� ���������� ��� ������� � � ������� � ������� ��� � � �� ���� �������������� ����� ������������ ����������������������� ��� ������������ ����

��� �������������� � '�'������

�$%�

$�8����� ����������� ��� ���� ����

$�8�$��Câmp de evenimente. Probabilitate��

Câmp de evenimente��

2����� ���������� ����� ������ � ����� �� � ��� ������ �����������������

.������������������������!�$��0� ����� ������ � ��� �� ���%��������������������

$����%���0������������ ������� ���� �������� ���������� �������� ���������������� ������� "�� ���� �������������������������������������� ���� ������� ��������������� ������� ��� ����� ������� � �� ���� � �� ����� ������� ����� #� ����������� �������������������� )��

'�� 0� �� � �� ���� ��� �� ����� "� ��� ����� ����� �������������������� �����

8��*��������� ���� ������� ����� ������������������������ �� � ������ 2������ � ����� ��� ��� ��������� �� ������ ��� ������� ��� � ��� ��� ����� ��� ������� ������ � ����� �� ����� ������� �����# ��� ������������ �� �)��

��� � �� !(� ���� ����� �� ������ ���������� ���� ���� ������������������������������������� ��������

��� � ��)(����������� �������������������� ������������������������������������� ������������������� ����������������� �������� ��������������

��� � �� *(��������� ����� #����� ٠) ���� �� ������������������������ �������������������������������������� ����

��� � ��+(������������������#∅ )�������������������������������������� ������������������� ����

���������������!�<�� �� �� ��������������� ��������

���� ��'�=�������� ����������������!������ ������������ ��$��8��%��>��0������ � ����� �� ������������ ���������� ���� ����� �� ������������ ��'�����=�������� ����������!���� ��� ���� ���� ��� � �� $�� 8�� %� ���� >� ��� ������� ��� ��� �� ���� ����������!� �� ���� � �� 0����� � �������� � ���!� ����� ��������

���� � �� ,(� Întotdeauna unui eveniment îi corespunde un

����� �������� � � ��� ��������� ������� � ���� ����� �������������������������

-��������� ����������� �������� � �� A �� A �� CA ��

0������ ������� ���!� A A= �� ∅=Ω �� Ω=∅ ��������������������������������������������������� � ���-(������������� �!��������������������

������������������������� ��� ����� ���������������������� ��"��� ��"� ���!��

� $=�

��� � ��.(������������� �#���������������������� �� �� ��� ������� ��������� ���� ��� �� ����� ��������� ������������� ��"��� ��"� ���#��

��������������� �������������� � ��/(�$�������� ����������� ������ �����������

! ��� � ����������� ! ���� �������� �� ����������� � ��� ! ��produce ori de câte ori de produce A. Vom scrie A B⊂ �

9�� ������������� ���������������!� , ( )A A⊂ Ω ∀ ������� ��������������� � �� 0(� %���� ���� ��� ���������� � !� �����

���������� ����� ��� BA ∪ �������������� ����������������� ��� ���������� � ��� �� �� ����� ��� ���� ��� ������������� ���!��

��� � �� !1� ������ �� ������������� � !� ����� ��BA ∩ ������ ��������������������� �������������� �!������������������������������:�� �� � ����� � ���� ����� �� Σ � ��� ���� ����������

��� ��������������������� � �� !!(�&� ��������� Σ∈A ���� ����� ��� �����

��� ���������� ACABCB ≠≠Σ∈ ,,, astfel încât CBA ∪= �În caz contrar, evenimentul A ������ ��������

'�� ������������� ���������� �� nwww ,...,, 21 , iar în acest

��� { }nwww ,...,, 21=Ω � )(Ω⊂Σ P #��� ����� � �������Ω )����� � ��!)����� ���������������������������������������

�� ���� �� câmp de eve���� �� �������������� ���������� (�

������ �� ( )ΣΩ, ���$�8�'��Probabilitate pe un câmp finit de evenimente�

� �

��� � �� !*�� (� ���� �� ������������� �������������Σ∈AA, � �������� ������ ��� ��� ��������� ��������� ������ ���

������������� A #�) � ��� ��� ��������� ��������� #�)� )���

( )m

P An

= ��

������� ��$��5 ������������ ��� ���� ������������� ��������������������

numai în experimente cu evenimente elementare egal posibil��'�� 1)( =ΩP �8�� ( ) 0, ( )P A A≥ ∀ �

%�� � � 1 2A A A= ∪ ���� 1 2A A∩ = ∅ ������ �!�

1 2( ) ( ) ( )P A P A P A= + ��=�� -�������� ������� ����� ���� ��������� #��� ��������

�������$*�)��5������ ���������� ��� ����� ���i câmp finit de evenimente

( , )Ω Σ ������������������� ��� ��������������� ������!���� � �� !+(� (� ���� �� ������������� �� Σ � ������ ��

:P Σ → 444��������������������!�

�$>�

#$)� ( ) 0, ( )P A A≥ ∀ ∈Σ �#')� ( ) 1P Ω = �

#8)� 1 2( ) ( ) ( )P A P A P A= + �� ����� 1 2A A A= ∪ �� 1 2( ) ,A A∀ ∈Σ �� �� 1 2A A∩ = ∅ ��

����������� #8)� �� ����� ������ ���� �� ������ � ��������� ������������ � ����� ��

���� � i jA A∩ = ∅ �� ( )i j∀ ≠ �� , 1,i j n= �

( )11

n n

i iii

P A P A==

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑�

����� � ��!,(�'����câmp de probabilitate finit, un câmp finit

������������ ( ),Ω Σ înzestrat cu o probabilitate P, notat ( ), , PΩ Σ ��������� �!�

�$)� ( ) ( ), 1 ( )CA P A P A∀ ∈Σ = − �

�')� ( ) 0P ∅ = �

�8)� ( )A∀ ∈Σ ����� 0 ( ) 1P A≤ ≤ �

�%)� ( ) 1 2 1 2, ,A A A A∀ ∈Σ ⊂ ������ �� )()( 21 APAP ≤ �

�=)� 1 2( ) ,A A∀ ∈Σ �����

����� 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )P A A P A P A P A A∪ = + − ∩ ��>)� 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ), ( ) ,P A A P A P A A A∪ ≤ + ∀ ∈Σ ��

��������� �� ���� ��������������� � ����� ���

��� � ��!-(�Evenimentele A, B ale câmpului de probabilitate

( ), , PΩ Σ ������ �� ����� +( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ⋅ ��

0� ����� �� ��� � � � �������� ,A B ∈Σ � ����� �����

�������� ���� &����������� A ���� CB ����� ���� CA ���� B ��

��� ���� CA ����� CB ������������������������ � ��!.(�%�� ( ), , PΩ Σ un câmp de probabilitate, ,A B ∈Σ �

( ) 0P B ≠ �'���������������������������������� � ����� � ��������� !� #�������������� � �� ��������� ����������� ���������� �����������!��������)����������

notat( )( | )

( )

P A BP A B

P B

∩ =��

��������������������� ��� ( | ) ( )BP A B P A= ��������� (��

$)�5����������������� ( ) ( )( )| , P(A) 0

P A BP A B

P A

∩= ≠ �

')�:�� �������� �����������5����1�����������������!�( ) ( )BP A P A= ������������ ( ) ( )AP B P B= ��

��� � �� !/��'���� ����� ������ � ����� � ������

��� ���� ��� ����� �� ����������� ( )i i IA ∈ ⊂ Σ � ��� i jA A = ∅� �

������������ i j≠ �� ,i j I∈ �� ii I

A∈

= � ��

� $6�

2������� ������ � � � �������� /�� ( )i i IA ∈ ⊂ Σ � ��� ������

�������������� �� ( ) 0iP A ≠ �� i I∈ �������� A∈Σ ������

( ) ( ) ( )i ii I

P A P A P A A∈

= ∑ �� #$)�

2������� �� � %�3��� #���� ������ ��������)�� /�� ��� ������ ������ � ������� ( )i i I

A ∈ ⊂ Σ �� ���������� ��� � ����� ����mente (ipoteze) sunt date înainte de efectuarea unui experiment. -����������� ������������ ��������������� A ��0 ��� � �� ������������ ����������� A � � &��� � ���������� ��� ����������

2����� � � ����� �� �� ���������� ��� ( )iP A A � ������ �� ���

����� � iA �� i I∈ �� 5��� ( ) ( )( )i

i

P A AP A A

P A=

��� ���

( ) ( ) ( )i i iP A A P A P A A=� ���� �����������#$)������ �

( ) ( ) ( )( ) ( )i i

ii i

i I

P A P A AP A A

P A P A A∈

=∑ ��

#')�

���4�� �������� �%����(�/�� ( ), , PΩ Σ un câmp de probabilitate

��� ( )i i IA ∈ ⊂ Σ ������ ��� ���������� ����� ���������� � �

ii I

A∈

∈Σ� ������ �!�

( )C1i ii Ii I

P A P A∈∈

⎛ ⎞≥ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑� �� #8)�

În particular�

( ) ( )11

1n n

i iii

P A P A n==

⎛ ⎞≥ − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑� �� #%)�

���

$�%��Îndrumar pentru verificare/autoverificare��

!(�9���� � �� ���',�������������������$����',��0������������ �������� ������� ������������������������������ ����� ��������� ?�

,��������-������������������ ����� ����������������٠@A$��'��8��%��=�������$���',B��)(� �9���� � �� ���%����������$���'���8���%����'����������$���'��0������������������ ������

����������������������� ��������� ?�,�������������� ����� �� ����!� #�$�� �')�� #�$�� �8)�� #�$�� �%)�� #�'�� �8)�� #�'�� �%)�� #�8�� �%)�� #�$�� �$)�� #�$�� �')������������������

#�'���$)��#�'���')��#�8���$)��#�8���')��#�%���$)��#�%���')��#�$���')���

�$7�

*(� *�� ��� � ��� ��� ��� ������ ��� ��� ���� ��������� 0� ���������� � � ������ ������� �������������� � ������������������,�8�� ��������� ������� �����������������,�>������ ���������� ������� ���� ������������� � ,�%��0� ���� � � ����� ��� ���� ���� �������� �� �� ���� � ���� ����������������������������������0� ���������������� �!�

�)� � � ��� � �������� ������ ���� � ��� ��������� ��� ������ �������� ���� ����� ����� � � ����������� "�

�)�� ���� �������������� ������������ ����,���������.�������� �� iA evenimentul „activitatea companiei ������ ������� C�� �@$�'�8��������������

���� 1( ) 0,3P A = �� 2( ) 0,6P A = ���� 3( ) 0,4P A = ��

�)� <�� �� �� B ��������� �� � � ��� � �������� ������ ���� � ��� ��� ������ ��� �� ����

�������� ���� ����� ������ � ����������� ��5��� �� 1 2 3CB A A A= ∩ ∩ �� ��� �� ����� ��� ����

���� �������������������������� !�

1 2 3 1 2 3

1 2 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )(1 ( )) 0,3 0,6 0,6 0,108

C CP B P A A A P A P A P A

P A P A P A

= ∩ ∩ = == − = ⋅ ⋅ = �

�)� <�� �� �� #� ��������� �� � � ��� � �������� ����� �� ���� ������ ���� 5��� ��

1 2 3C A A A= ∩ ∩ ���� ��

1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0,3 0,6 0,4 0,072.

P C P A A A P A P A P A= ∩ ∩ = == ⋅ ⋅ = �

��

�������������������

�������������������5��������������

!(�/�� ( , , )PΩ Σ ���� ��������������������� ,A B ∈Σ ��0����� � ( | ) 0,4P A B = �� ( ) 0,2P A B∩ = �

��� ( ) 0,25CP A B∩ = ��0 ��� �� �����# )�����#!)���)��# )@,�%=���#!)@,�=��)��# )@,�8���#!)@,�%� )��# )@,�>���#!)@,�6=�)��# )@,�$���#!)@,��=�

� $��

)��/�� ( ), , PΩ Σ un câmp de probabilitate atunci ( )A∀ ∈Σ �� ( ) ...CP A = ��)�1 ( )P A+ ��)�1 ( )P A− � )� 2 ( )P A �)� ( )P A− ��

*(�0������ ������������� ������� ����������� !�/�� ( ), , PΩ Σ un câmp de probabilitate

���� �� ( )A∀ ∈Σ ����� 0 ( ) 1P A≤ ≤ ���+��/�� ( ), , PΩ Σ �un câmp de probabilitate, atunci ( ) 1 2,A A∀ ∈Σ ���� 1 2( ) ...P A A∪ = �

�)� 1 2 1 2( ) ( ) ( )P A P A P A A+ + ∩ �

�)� 1 2 1 2( ) ( ) ( )P A P A P A A+ + ∩ �

)� 1 2( ) ( )P A P A+ �

)� 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A+ + ��,(� ������ ������������������������������ ���� �������� ��� �������������� �������������

����� ����!� ,�7����������������� ���� ��� ,�>������� ��� ���������� ����������������� �� ����� � � �������� �� ���� ��������� ���?�

�)� 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0,2P A A P A P A∪ = − = �

�)� 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0,92P A A P A P A P A A∪ = + − ∩ = �

)� 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0,5P A A P A P A P A A∪ = + − ∩ = �

)� 1 2( ) 0,48P A A∩ = ���-(�0���� ( ) 0,5P A = ���� ( ) 0,6P A B∪ = ��D �� �� ( )P B �� � ����!�������� ������������)� ( ) ( ) ( ) 0 0,6 0,5 0,1P B P A B P A= ∪ − + = − = ��)� ( ) ( ) ( ) 0 0,6 0,5 1,1P B P A B P A= ∪ + + = + = �

)( ) ( ) 0,6 0,5 0,1

( ) 0,21 ( ) 1 0,5 0,5

P A B P AP B

P A

∪ − −= = = =− −

��

)�( ) 0,6

( )( ) 0,5

P A BP B

P A

∪= = �

��������������

��

�',�

��

�% �� �4��� ����� 4���� ����

1. Duda I., Trandafir R., Baciu A., Ioan R., Bârz � 0������������� ������ ������� ���� -������/��� ���România de Mâine��1� �������',,>��

'�� ��� +��� 2�������� 4��� 1� ��� 5��� +���� 4��� �������� �� ���������� ����������� -������/��� ���România de Mâine��1� �������',,=��

8��1� ���5���Matematici aplicate în�������� � ���� ���-������/��� ���România de Mâine��1� �������',,%��

%�� ��� +��� �������� �� ������ ������ ������� ���� -������ /��� ��� România de Mâine��1� �������$�����

=��9��� ��D&�������������������������� ����-������/��� ���România de Mâ�����1� �������$��>��

� ���

��

������������� ���� �

������������������������

���������

����������� ������������� ���������� ������ �������� ��������� ������������ ����������� ��������� ���

����������������������������������������������� ������ ������� ������ ����������� ������������������������������������ ���������������������������������� �������������������������������������������������

2.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare����

������������������������������������� ��������������� ��� ������� ���� ��

• ��������� �������� ��������������!� ��"��� ��!� ����� ������������ ��� ���!� ��������� �������� ��� ��� ��� ����� ����#����������������� ����

• ������������������������������������������������$����!���������!� ������� ������ � ���� !� ��������!� �% ��!� ���!������� ��&���� ������ ��� �� ������ ���

• ������������������������������������ ��!� ����� ���

�������� � ���� ������ ���� � ������ �����

#�� ��� �'����� ���������� �������� ��!��������������"�� �������� ���"����� �� ����������������� ������������������� ������� ������!�"�� ��� ��� ����� ��!� ���������� ��� ����� ��!� �����!� ��������!� ������������� � ���� !� ��� ��!� ����� !� � � ��������� ����� ���� �������������� �������!� � � ��������� "�� ��� ��� ����� ��� ��!� ���� ���!������������ ��� ����� ��� ������ � ������� � ����� !� � � ��������� ���� �� ��� �� ������ ���� ����� �� ���� ����� ��������� �������!� � � ������������� �� ��������� �������� ��� ��� � � ���� �� � ������� ����� ���������������� ���� ��������������� ����

����

�������������������� �����!(������

�������� �������� � ������ ����

������������ �������������!������������������������!��"��� ������������ ����

)��� ������ � ������� "������������ ���� ������ �������� ��� ������ �������������� ����������

*����������������� +�������������������������!���� �����!�� ��������� ���������������� ������������� ������������������,�� -����������� ������ � �� �.����� ���� ���� ��+�������� ����� ��� ��!� ��� '�����!� ��������������� ��� � �� ���� &�� ������� ����� ��� � ������� ���������� �� �� �� ����� �������� ��� ��� � ��� ��"������ ���������� �������!� �� �� ��� �������� ��������������� ��%������������� �!����������������������� /��������������

#� � �� ���'������� ������� � �������� � "�� ��� ��� � ��"���� � ������ ����� ������������ ���������� �� ����� �%������������ �������!����������������������%���������� ��������������������� ��� �������� �������������������������������� ����������

���������������������������� ���

���� ( ), , PΩ Σ ���� σ − +��������������������� ( )i i IA ∈ ⊂ Σ �����������

������ 0"����� ���� ��� ����1� ��� ������������ 2�������� ����� ��( )i ip P A= !� i I∈ !������������� ��� �� �� −σ câmpului de probabilitate��

#�$��� ��� %�� ������ ��� �� � � �������� � ��� � �� ���� �� ξ ������ ������ ������������������� ω∈Ω ������������������������ ����

��� ξ ������������ ix �� i I∈ ��

��� ( ){ }ixω ξ ω = ∈Σ �� i I∈ ��

��������� ������������ �� ������� ��� I ������ "���� � �������������� �� � ���������� ��� ��

2 ,����� !������������������ ξ ��������� �����

: i

i i I

x

p ∈

⎛ ⎞ξ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ !�1i

i I

p∈

=∑��

0�1�

3����������������������������� ��� �� �� ��������� �������������������� ξ ��

4�� ��� ������� ��"� ��� ����/��� ��� �%������!� ��� ��� �����"� ����� ��� ���� ���/� ������ � ����� � ��� "�� ����� �� ��������������!����� �������������������� A �������������������������� �����

� ���

������� � 1ii I

p∈

=∑ � ��� ��'���� � ������ � � ���� � ��� � ���

��������� ����/un anumit mod între aceste valori ix !��� ��������� ��������������������� ��������� �������������� ��������������� ��� ����� �����"����������� �������������������"��������'���������� ����

Una din formele cele mai simple în care putem reprezenta o astfel �����'�������"���� ,����� �0�1�����"���������������

ix � 1x � 2x �� � ix �

� � nx �ip � 1p � 2p �

� � ip �� � np �

�#�$��� ��� ����� ξ ����η ���� ����������������������������

( ) nxξ ω = ������ nAω∈ ��0 ,...2,1=n 1�

( ) myη ω = ������ mBω∈ �0 ,...2,1=m 1�0�1�

{ }nA ����{ }mB ���������� � � �����������������������

� ������������������ ξ ���� η � ��� ������������ ����������� m ����n �����

( ) ( ) ( )n m n mP A B P A P B=� �� 0�1�

#������ ������� ζ = ξ + η ������������������������ ξ ���� η ��2����%�����!�"�����������������������������

1

1

: n

n

x x

p p

⎛ ⎞ξ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

� !�

1

1

: m

m

y y

q q

⎛ ⎞η ⎜ ⎟

⎝ ⎠

� ������������������ ξ + η ��������������������� ���

1 1 1 2

11 12

: i j n m

ij nm

x y x y x y x y

p p p p

+ + + +⎛ ⎞ξ + η ⎜ ⎟

⎝ ⎠

� �

� ��

�����

( ) ( )( ) ( ){ } ( ){ }( )ij i j i jp P x y P x y= ξ ω + η ω = + = ω ξ ω = ω η ω =��

��

1 1

1n m

iji j

p= =

=∑∑��

#� � ξ ���� η ������������������!����� �� ij i jp p q= ���

����������������� ξη ��������������������� ���

1 1 1 2

11 12

: i j n m

ij nm

x y x y x y x y

p p p p

⎛ ⎞ξη ⎜ ⎟

⎝ ⎠

� �

� ��

��

( ) ( )( ) ( ){ } ( ){ }( )ij i j i jp P x y P x y= ξ ω η ω = = ω ξ ω = ω η ω =� ������ ����� ��� ��� � ��� ����� ��� �%����� ��� � �� ��� � "����� ���

������������������5����� ��� � ��������������������������������������������������� ���

1

1

:k k

k n

k

x x

p p

⎛ ⎞ξ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��

���� �� ( )( ) ( )( )k ki i iP x P x pξ ω = = ξ ω = = ��

��6�

� ������������ ��������� �������� ������� ������� ��� ����������������� ���

11

1

1 1

: n

n

x x

p p

−⎛ ⎞⎜ ⎟ξ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���

��� ������������������ η �������� ����� !����� ����"����� +����

1−ξ = ξηη ������������������������ ���

1

1

11

:i n

j m

ij nm

x xx

y y y

p p p

⎛ ⎞⎜ ⎟ξ⎜ ⎟η ⎜ ⎟⎝ ⎠

� �

� ���

� � ������ � a � ����� "�� ��������� � �� � ������� � ����������"���� � ��� � �� ��� ���� ��� ����������� ���������!� ��� ������� ��� ���

������� ��!���������� � ��������� ������������"�� :1

aa

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��� �����������

"� ���������������� ��� ���������������������� ����������

&������������������� ����������������������

$��������������������������������� �������������������� �� ��������"� ���������������������� � ����

#�$��� ���'����� ξ ����������� ���������� �� ���������������� ix �

������������ ��� ip �� i I∈ ����� � ���� i ii I

x p∈∑ � ��� ����������� ��

��� ���

( ) i ii I

M x p∈

ξ = ∑�

061�

��������������� ������ �� � ���������� ���� ξ ��#� � ξ �������������� �������������� � ������������� 1,..., nx x � ��

�������� ���� 1,..., np p !����� ������������������"��

( )1

n

i ii

M x p=

ξ = ∑��

0(1�

��������� �������� +���������� �������������������0&�1�� #� � ξ ���� η �������� ��������������������� ������"���������

�� � ( )M ξ ���� ( )M η ��%��� !����� ���%��� �������������� ( )M ξ + η ����

( ) ( ) ( )M M Mξ + η = ξ + η �� 071�

&���� ��� !����� ��� �0&�1�� ���� kξ � 0 1,...,k n= 1!� n � ��������� �������� ��� ����� #� �

( )kM ξ ��%��� !����� ��1

n

kk

M=

⎛ ⎞ξ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ��%��� ����

( )1 1

n n

k kk k

M M= =

⎛ ⎞ξ = ξ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

��081�

��

� �(�

�0&�1�� ���� ξ � �������� � ����������� �� � ��� c � � ������ ��#� �

( )M ξ ��%��� !����� �� ( )M cξ ��%��� ����

( ) ( )M c cMξ = ξ �� �091�

&�������������� ���������������"��� ������������

( ) ( ) ( )i i i ii i

M c p cx c p x cMξ = = = ξ∑ ∑��

&���� ����0&�1����0&�1� ��� ��� �0&61�� ���� kξ � 0 1,...,k n= 1� n ��������������������� ���� � ��� kc !� n �

���������#� � ( )kM ξ !�0 1,...,k n= 1��%��� !����� ��1

n

k kk

M c=

⎛ ⎞ξ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ��%��� ����

( )1 1

n n

k k k kk k

M c c M= =

⎛ ⎞ξ = ξ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

��0:1�

0&(1�� ������� ������ �� ���������� �������� ( )Mξ − ξ = η � �������� �� η ���������������������� �� � ��������� ξ ��

#��� �� ( )M ξ ������� ������ !��������������������� �������������� ���� ������ !��� ��

( )( ) ( ) ( ) 0M M M Mξ − ξ = ξ − ξ =��

0&71�� ���(��������� ���� )�*+��,�� ���� ξ � ��� η � �� � ���������

����������� ���������� ����%��� � ( )2M ξ ���� ( )2M η ��;��� ��

( ) ( ) ( )2 2M M Mξη ≤ ξ η��

0�<1�

0&81�� #� � ξ � ��� η � ����� �� � ��������� �������� ��� ����

������������������ � ( )M ξ ���� ( )M η ��%��� !����� �� ( )M ξη ��%��� ����

( ) ( ) ( )M M Mξη = ξ η �� 0��1�

#�$��� ���-����� ξ ����������� ����������� �� ���� r ������� ��

�������� ��� � �� � �������� ���� �� ���������� ������� rξ �� ��������� � ������� ���� � ����� ������ �� ��� �� r � ��� ����������������� ξ ���� ���� �

( ) ( )r rr k k

k

M x pα ξ = ξ = ∑��

0��1�

������� ������ �� ���������� ��������rξ � ��� �������� ������

������������� �� r ���������������������� ξ ������������ �

( ) ( ) rrr k k

k

M x pβ ξ = ξ = ∑��

0��1�

#�$��� ��� .�� ��� �� �������� � ������� �� �� � ξ �� !������ ���������� r � ��� ���������� ������� ����� �� ���� ξ � � �����������

����������� ���� r ������� ξ ���� ���� �

( ) ( )( )r r Mμ ξ = α ξ − ξ��

���

��7�

$������� ����������������������������������������� ���� ξ ����

��������� ���� �������� �� ������������ ����� ( )2D ξ ����� 2σ !��� ��

( ) ( )2 22D ξ = σ = μ ξ ��

4�� ��� ( ) ( )2D ξ = σ = μ ξ �������������������� �� ���� ���

���� ξ ��Vom da în continuare c+���������� �������������������������������

������� ���� ���0&�1�� ;��� ��'���������

( ) ( ) ( ) 22 2D M M⎡ ⎤ξ = ξ − ξ⎣ ⎦ ��Într/���� !� ��+��������������"��� ���

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 22 2

2 2 22 2

2

2

D M M M M M

M M M M M

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ξ = ξ − ξ = ξ − ξ ξ + ξ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ξ − ξ + ξ = ξ − ξ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ �0&�1�� #� � a bμ = ξ + � �� a � ��� b � �������!� ���� ��

( ) ( )D a Dη = ξ ��;����

( ) ( )M aM bη = ξ + !�

( ) ( ) ( )2 2 2 22M a M abM bη = ξ + ξ +�

�������� ( ) ( )2 2 2D a Dη = ξ ��

În particular, pentru 0b = ������ ( ) ( )2 2 2D a a Dξ = ξ ��

0&�1�� ���� ( )1k k n≤ ≤ξ !� n ��������������������� ���!��� � +����� �

���������������� 1,..., nc c !� n � ���������;��� ��

( )2 2 2

1 1

n n

k k k kk k

D c c D= =

⎛ ⎞ξ = ξ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

���

0&61�� ���(��������������� /0��!����� ξ ��������� ����������;��� ��

( ) ( ){ }( ) ( )2

2

DP M

ξω ξ ω − ξ ≥ ε <

ε ��������� �� 0ε > ��

; ���� ����'�������������"����� ������"� �"��������"���� ����

���� � �����������!���+��� ( )aDε = ξ !���� ������������������ ���

( ) ( )( ) 2

1P M aD

aξ − ξ ≥ ξ <

���

���������������������������������������

����{ }, , PΩ Σ ���� −σ câmp de probabilitate.�#�$��� ��� 1�� �� ����� ��� �� � � �������� �� ���� �� :ξ Ω → 555�

0����� � �� ��� ���� ��������� ������ ��� ������� ���1�� � ���

"��#� ������ ������� ������ ( ){ }xA x= ω ξ ω < � ���� ��� ���� Σ �� �����

����� x∈ 555����������� �������� +���������� �������������������������

� �8�

0&�1�� ���� ξ � � ������� � �������� ��� c � � ������ !� ���� �� cξ + !�

ξc !� ξ !�2ξ !�

1

ξ � �� 0ξ ≠ �������������������������

0&�1�� #� � ξ � ��� η � ����� �� � ��������� �������!� ���� �� ξ − η !�

ξ + η !� ξη !�ξη

� �� 0η ≠ !� ( )sup ,ξ η � ��� ( )inf ,ξ η � ����� ��� ���������

������������������#�$��� ��� 2�� ���� ���� � � ���������� ������� 1,..., nξ ξ � ���

����������� ��������� � ������� 1,..., nx x �����

( ) ( ) ( )1 1 1 1,..., ...n n n nP x x P x P xξ < ξ < = ξ < ⋅ ⋅ ξ < ���

��� �������� �

#�$��� ���3������������ �������� ��������������������ξ ������ ���

( ) ( ){ }( )xPxF <ωξω=� 0�61�

����� ����������� x∈���555��#��� � ���� � ��"��� ��� ����� � � � �� ������� � �������� ����� "��

��� ����������������"�� ����������������� ����

#� � ξ � ����� � ������� � �������� ��� �� � �� ( )n np P x= ξ = !�n I∈ !����� ������0�61������ �

( ) nx xn

F x p<

= ∑�

0�(1�

����������������� �������� ���� ��� �����5����� � ����� ���� ���F � ����� � "�� ��� ��� � � !� ��� � ��� ����� �������� ��� �����������

����������������� ������ ix �0 i I∈ 1���

�������� %�� ���� ��� �� ����� �� �� ���� ��������� ������� ������ ����������� ���

$�� ��� � 1 2x x< �������� ( ) ( )1 2F x F x≤ �� 1 2,x x ∈���555��

%�� ( ) ( )0F x F x− = ����������� x∈���555��

&�� ( )lim 0n

F x→−∞

= ��

'�� ( )lim 1n

F x→+∞

= ����������� �� (���� ���� �� F � ������ �� �� �� � �����

������ ���� #���������� ( ) 0F −∞ = �� ( ) 1F +∞ = � ����� ���������� ���� ���� ��������� ������� ����� � �� ��� �#��� �� ����������������������� ��

�������� '�� ��� ξ � �� �������� � ������� �� � ��� ���� �� ������� �� � F �� ��� a � ��� b � ��� � ����� ���� ��� a b< �� )�� �������� ���

��� ( ) ( ) ( )P a b F b F a≤ ξ < = − -�

��� ( ) ( ) ( ) ( )P a b F b F a P a< ξ < = − − ξ = -�

��

��9�

��� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P a b F b F a P a P b< ξ ≤ = − − ξ = + ξ = -�

6�� ( ) ( ) ( ) ( )P a b F b F a P b≤ ξ ≤ = − + ξ = ���

#�$��� ��� 4�� ��� ξ � �� �������� � ������� �� � ��� ���� �� ������� �� � F ����� ��� ������� ����� � f ������ ������������ ���555�����"��#�

( ) ( )x

F x f u du−∞

= ∫!�

0�71�

������ F � � ����� ��� � �� ����� � �������� ��� �� �� ���� ξ � ������ ��� �� � � �������� �������� ��� �� �� ���� ��� f � � �����

��� ���� �� ������ � ���� *����� +�� ���� ��� ��� ( )f x dx � � ���������������� � ���������� ��

�#� � F ������������������������������ f !����� ��

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

lim limx x

F x x F x P x x xf x F x

x xΔ → Δ →

+ Δ − ≤ ξ < + Δ′= = =

Δ Δ ��5����� ������ �� �

( ) ( )P x x dx f x dx≤ ξ < + = �#������������������������������ ����������� ������ ( ) 0f x ≥ �������� �� x∈ 555-�

��� ( ) 1f u du+∞

−∞

=∫ -�

��� &������ �� a b< ���������� ���� ��� ( ) ( )b

a

P a b f x dx≤ ξ < = ∫ ��

�&������������������� �������������������

���� { }, , PΩ Σ � ��� σ − +��� ��� ������������ ��� ξ � � ������� �

�������� �� ��� "�� ��� ��� ����� ��� ����� F �� ���� f � ����������� ���

����� ����������������������� ξ ��#�$��� ��� %5���� ����� ��������� � �� ��� �� � � �������� ξ �

��� ���

( ) ( ) ( )M xdF x xf x dx+∞ +∞

−∞ −∞

ξ = =∫ ∫��

0�81�

#�$��� ���%%�������������������� ���� r �� r ∈ 444����������������������������� ξ ����� ���

( ) ( ) ( ) ( )r rr rM x dF x x f x dx

+∞ +∞

−∞ −∞

ξ = α ξ = =∫ ∫!�

0�91�

������� ���

( ) ( ) ( ) ( )r rr rM x dF x x f x dx

+∞ +∞

−∞ −∞

ξ = β ξ = =∫ ∫�

0�:1�

������������������������� �� r ��������������������� ξ ���

� �:�

���� ������������ ����/�����"������������� ��������������� r !���������!���������������� ���� ���� �������������������������� ���!���� ��"���� � ��� ������ ��������� �������� ��� ���� �������� &���� ����������������������������������������������������������������������� ��������� ��������������������������������� ��������

������� � ��!�������+���� ������ ������ �� ������ � �#�$��� ���% ������� ���� ��� �� sA �������� E !�������

( )( )

3

32

sAμ ξ

=μ ξ !�

( )( )

422

3E = −μ ξμ ξ !�

0�<1�

��� �������� ������� ��#�$��� ��� %'�� �� ����� moment centrat în� a � �� ��� ���� r � ���

���������� ������� ξ �� ������� �� �������� r � ��� ���������� �������

aξ − �������������������������������r

aξ − � ���� ��������absolute centrate în� a ������ ���� r ��

#�$��� ��� %-!��� ���� ���� ��������� ������� ξ � � ��� ����

eM �0 ��� ( )μ ξ 1����������

( ) ( )1

2e eP M P Mξ ≥ ≥ ≤ ξ ≤�

0��1�

���

( ) 1

2eF M ≤ ���� ( ) 10

2eF M + ≥ �� 0��1��

���(��������� ���� &��6��!� ���� ξ � � ������� � �������� ������ � �� ��������������������"���� ��&������ �� 1λ > ������

( )( ) 1P Mξ ≥ λ ξ ≤

λ ��0��1�

#�$��� ���%.�������� Mo ������������������������ ����������������������������������������� ��

#�$��� ���%1!���� ( ), , PΩ Σ �����#������������������� :ξ Ω → 555����������� � �������� �� ����� ��� � ����� �� � �� ����������

������� ξ ������ ��� � � 555� �������! ( ) ( ).itt M e ξϕ = �&�������!��� � ξ ������������� ������������ �� ������

( ) kitxk

k I

t e p∈

ϕ = ∑!�

����� � ξ ������������� ��������� ����� !������

( ) ( )itxt e f x dx∞

−∞

ϕ = ∫ ��

������������ �������������� ��������������

În ce��� �� ����� � ��� �������� � ����� ��� ���� ��� �"������ �������������������������������������

#�$��� ��� %2!� ��� 1 2, ,..., nξ ξ ξ � �� ��������� ������� ������ ��

σ − câmpul de probabilitate { }, , PΩ Σ ���� ���� 1 2( , ,..., )nξ ξ ξ � ��������� �� � ���������� � ��� ���� � ����������������������� ������

��<�

�În continuare, vom studia cazul ��,��� �"�����/ne în prealabil la

���������������������������� ��������� ( , )ξ η ��������� �����������"���� ���� +��������������������

{ }, , PΩ Σ ��&��� ������� ��� ���������� ������� ( , )ξ η ��� �� ���'�� ���������

������ �������� ���� ���������!� �� �� �� ��� ,��� ��� ������

1

1

( , )i j i n

j m

x y ≤ ≤≤ ≤

������������� ��� ������ ����

{ } { }( )1

1

| ( ) , | ( ) i nij i j

j m

p P x y ≤ ≤≤ ≤

= ω ξ ω = ω η ω = �� 0�61�

*������������ { },i jx yξ = η = � "���� � ��� ������� ������ �������������!��� �������������������� ���������'�� � ��� �

1 1

1n m

iji j

p= =

=∑∑��

0�(1�

���� +��� ����� ��� ���������� �������� ( , )ξ η !� ������ �������������� ���"�� ��� �������!���������!��������������

{ } { } { }1 1 1 2 1, , , ,..., , mx y x y x yξ = η = ξ = η = ξ = η = �������� ���������������������

1. 11 12 1... .mp p p p= + + + �� 0�71�;���'!���������

.1

m

i ijj

p p==

∑�

0�81�

��!����� ���!��

.1

n

j iji

p p==∑

�0�91�

�����"��������������� � ���� �����(�������������� ξ !����� ���� η ��#���� ��!������ ���������������� ���� ( , )ξ η ���� �������"��������

������ ������ ����������"�� ��

η �=� ξ � 1x � 2x � ���� ix � ���� nx �

1y � 11p � 21p � ���� 1ip � ���� 1np �2y � 12p � 22p � ���� 2ip � ���� 2np �

���� ���� ���� ���� ���� ���� ����

� jy� 1 jp

� 2 jp�

���� ijp�

���� njp�

���� ���� ���� ���� ���� ���� ����

my � 1mp � 2mp � ���� imp � ���� nmp ��

���������0>1�

�#� �!� 1. 1( )p P x= ξ = � ��� ������� � ����� �������� ��� ��� ���

��������� 1x ��������������

� ���

5����� ��������������� ξ ���� η �������

1 2.

1. 2. . . 1

... ...: , 1

... ...

ni n

ii n i

x x x xp

p p p p =

⎛ ⎞ξ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

1 2.

..1 .2 . 1

... ...: , 1

... ...

mj m

jj m j

yy y yp

pp p p =

⎛ ⎞η =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

�������0�:1�

�������� ������� ���������������������������������������� � ( , )ξ η ������� ��������������0>1��4� ��

( / ) ( / ).i j i jp x y P x y= ξ = η =� 0�<1�

&��� ����� ��� ���� ξ � ��� ���� � ��� "������ � jyη = !� �� ���'�������� ���

1 2

1 2

... ...:

( / ) ( / ) ( / ) ( / )... ...j

i n

j j i j n j y

x x x x

p x y p x y p x y p x yη=

⎛ ⎞ξ ⎜ ⎟

⎝ ⎠�

0��1�

������

.

( , )( / ) ,

( )i j ij

i jj j

P x y pp x y

P y p

ξ = η == =

η =�

0��1�

��

1

( / ) 1n

i ji

p x y=

=∑��

0��1�

;���'!� ��� ����� ��"���� ����� ��� ���� η � ��� ���� � ��� "������ �

ixξ = !����������

1 2

1 2

... ...:

( / )( / ) ( / ) ( / )... ...i

j m

j ii i m i x

yy y y

p y xp y x p y x p y xξ=

⎛ ⎞η ⎜ ⎟

⎝ ⎠ !�0�61�

�����

. 1

( / ) , ( / ) 1m

ijj i j i

i j

pp y x p y x

p =

= =∑��

0�(1�

#�$��� ���%3!����� ����� � 555���� �?<!�@!��

{ }( , ) ( | ( ) , ( ) )F x y P x y= ω ξ ω < η ω < � � ����� ��� �� �� ����� � �� ���������� ������� ������ ������( , )ξ η ��

��� ��� +����� ����� �� ����'�� ��� ����� ������ "�� ����� �������� ����������������� �

��� F ����������� �� ����������� ��"�� ����'�����-���� F ������ ����� ������+�'��������� ��"�� ����'�����-�

��� ( ) ( ) ( ), , , 0F x F x F−∞ = −∞ = −∞ −∞ = -�

6�� ( ) ( ),F x F xξ+∞ = -� ( ) ( ),F y F yη+∞ = -�

(�� ( ), 1F +∞ +∞ = ��

În continuare, vom nota simbolic ( ), Dξ η ⊂ evenimentul „punctul

������ ( ),ξ η � ��� ' ������ ��� �������� D ”. Probabilitatea acestui ��������������%��� ���������� � D ���������������',������ �������������� �������� �� �%���� ��� ������� ���� ������',���� D de vârfuri

����

( ),A a c -� ( ),B b c -� ( ),C b d -� ( ),D a d . În acest caz, evenimentu��

( ), Dξ η ⊂ ������� ,�������� ��{ } { }a b c d≤ ξ < ≤ η <� !��� ��

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,P D F b d F a d F b c F a cξ η ⊂ = − − +� 0�71�

�#� ��%��� ��"�� ������ � f ���"���� ��������'���� ���� 555�������� +��

( ) ( ), ,yx

F x y f u v dudv−∞ −∞

= ∫ ∫ !� ���� �� f � ��� �������� ��� ����� ��

������ � ����0����� 1��������������������� ��������������� ζ ��

���� ,ξ η ��� ������������������������� ���������� ( ),ξ η �����������

ca un punct aleator în plan. Fie RΔ �������',������������� xΔ ���� yΔ !������

( )( ), ( , ) ( , )

( , ) ( , ).

P R F x x y y F x x y

F x y y F x y

Δξ η ⊂ = + Δ + Δ − + Δ −

− + Δ + �;����

( )( ) 2

0

0

, ( , )lim .x

y

P R F x y

x y x yΔ

Δ →Δ →

ξ η ⊂ ∂=Δ Δ ∂ ∂

�4� ��� ���� ������� ����� ( ),f x y �

( ) ( )2 ,,

F x yf x y

x y

∂=

∂ ∂ �0�81�

���"������ �������������������������������������������������� ζ ��;����

( )( ) ( ), ,D

P D f x y dxdyξ η ⊂ = ∫∫��

0�91�

#������������������ ��������� ζ ����������'���� !����

( ), 1f x y dxdy+∞ +∞

−∞ −∞

=∫ ∫��

���������������������������������� ����������������� �������������

��������������������� ���� ������������ ( ),ζ = ξ η ��

#�$��� ���%4����������� ( ),k s

k s Mα = ξ η ������� � �������� ��

,k s ������ ������ � ( ),ξ η ���������������������������� ���� ,k s ����

� ������ ( ),ξ η ���� ���� ( ) ( )( ),

k s

k s M M M⎡ ⎤ ⎡ ⎤μ = ξ − ξ η − η⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ��

;����

( ), ,k sk s x y f x y dxdy

+∞ +∞

−∞ −∞

α = ∫ ∫!�

0�:1�

( )( ) ( )( ) ( ), ,k s

k s x M y M f x y dxdy+∞ +∞

−∞ −∞

μ = − ξ − η∫ ∫�

06<1�

���

� ���

formule care în cazul variabilelor aleatoare discrete devin�

,k s

k s i j iji j

x y pα = ∑∑!�

06�1�

( )( ) ( )( ),

sk

k s i j iji j

x M y M pμ = − ξ − η∑∑��

06�1�

;����

( ) ( )1 01,0 M Mα = ξ η = ξ

( ) ( )0 10,1 M Mα = ξ η = η ��

Un rol important în teoria sistemelor de variabile aleatoare îl are ����� ���

#�$��� ��� 5!������������ �� ���������������������� ξ ����η ���������

cov( , ) ( ) ( ) ( )M M Mξ η = ξη − ξ η �������� �� ����� � �� ������ � �� ����������� ������������ ��������

������ ��!� ��� �+�' ���������!� ��' ���������� �����2����� � ������� � !��� � ξ ���� η ������������������!� ����� ������������ ��

#�$��� ��� %!� �� ����� �� ��� �� ���� � ��� ������������������� ξ ����η ����������

,

cov( , ).

( ) ( )r

D Dξ ηξ η=

ξ η �06�1�

#� � ξ ���� η ������������������!����� �� , 0rξ η = ��

#�$��� ��� !���� � , 0rξ η = � � ����� ������������������ ξ ����η � �����������

�7������� ���������$������������������� ���&������� ( ) ( ) 0D Dξ η ≠ !����� �� , 0rξ η = ��� ������������ ������������

ξ ���� η ������� �������

&���&������ ���� ����������������������� 2, 1r ξ η ≤ ��

&���#� � 2, 1r ξ η = , atunci între ξ ���� η ��%��� ���������� ������ ��

��

��

��6��Îndrumar pentru verificare/autoverificare��

%�������������������������� ��0 1 2 3 4

:0,15 0,45 0,20 0,15 0,05

⎛ ⎞ξ ⎜ ⎟

⎝ ⎠��2 �������������"�� ���

����������� ����

��6�

- ����� �2������� � ( ) ( )F x P x= ξ < ��;��� ��"�� ����������� ��������

( )

0 pentru 0

0,15 pentru 0 1

0.15 0,45 pentru 1 2

0.15 0,45 0,20 pentru 2 3

0.15 0,45 0,20 0,15 pentru 3 4

1,00 pentru 4

x

x

xF x

x

x

x

<⎧⎪ ≤ <⎪⎪ + ≤ <⎪= ⎨ + + ≤ <⎪⎪ + + + ≤ <⎪

≥⎪⎩ �

!�2�� ����� ��������������������

1 1: 1 1

2 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟ξ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

����

1 2: 2 1

3 3

−⎛ ⎞⎜ ⎟η ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��2�� ���� ���� �� ������

��� ( )1, 2P ξ = − η = -� ( )1, 1P ξ = η = − -� ( )1, 2P ξ = η = !��� �� ( )1, 1P ξ = − η = − = λ ����� ��"� ���������� ��� ������"�� ������ λ �� �� ����������� λ ������� ��� ξ ���� η ��������������������

- ��������� ;�����

( ) ( ) ( )1, 2 1, 1 1P P Pξ = − η = + ξ = − η = − = ξ = − !�

( ) ( ) ( )1, 1 1, 1 1P P Pξ = η = − + ξ = − η = − = η = − !�

( ) ( ) ( )1, 2 1, 1 1P P Pξ = η = + ξ = η = − = ξ = �

�������� ( ) 11, 2

2P ξ = − η = = − λ !� ( ) 2

1, 13

P ξ = η = − = − λ ���� ( ) 11, 2

6ξ = η = = λ − !��� ��

�ξ �

η �1− � 1 � ( )iP yη =

1− � λ �2

3− λ

2

3 �

2 �1

2− λ

1

6λ −

1

3 �

( )iP xξ = �1

2 �

1

2 �1 �

( ) ( ),,

2 1 12 2 6 2

3 2 6

ji j i yi j

x y P xM η== ξ = =ξη

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= λ − − λ − − λ + λ − = λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

��

λ � ����������"���������� +��������������� ����� �"��� ������������ 0 ����1��� ��

0 1≤ λ ≤ !�2

0 13

≤ − λ ≤ !�1

0 12

≤ − λ ≤ !�1

0 16

≤ λ − ≤ !�

��������1 1

6 2≤ λ ≤ � ���� ������� �

( ) 1M ξη ≤ ��

���( ) ( ) ( )

( ) ( ),

M M Mr

D Dξ ηξη − ξ η

=ξ η

��

��

� �(�

;����

( ) 0M ξ = !� ( ) 0M η = !� ( )2 1D ξ = !� ( )2 2D η = !��� ��

,

6 2

2rξ η

λ −=��

��#��� ��1 1

6 2≤ λ ≤ ������ �

,

1

12rξ η ≤

��

&�����1

3λ = !� ξ ���� η ��������������������

���

�������������������

������������������8��������������

%!��2 ������������� ��������������� ����� ������� ������� �������������������������������

1

1

: n

n

x x

p p

⎛ ⎞ξ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

� !�1

1

: m

m

y y

q q

⎛ ⎞η ⎜ ⎟

⎝ ⎠

� �

����������������� ξ + η ��������������������� ���

1 1 1 2

11 12

: i j n m

ij nm

x y x y x y x y

p p p p

+ + + +⎛ ⎞ξ + η ⎜ ⎟

⎝ ⎠

� �

� � �

�����

( ){ } ( ){ }( )ij i jp P x y= ω ξ ω = ω η ω =� �

��

��7�

��#� � ξ ���� η �������� ��������������������� ��������� � ( )M ξ ���� ( )M η ��%��� !����� ��

�%��� �������������� ( )M ξ + η ����

�1 ( ) ( ) ( )M M Mξ + η = ξ + η �

�1 ( ) ( ) ( )M M Mξ + η = ξ ⋅ η �

1 ( ) ( ) ( )M M Mξ + η = ξ − η ��'!� 2 ������������� ��������������� ����� ���������� ���� ����������� �������������������������������� ������������� �

�� � 1 2x x< !����� �� ( ) ( )1 2F x F x≥ !� ( ) 1 2,x x∀ ∈ 555���-!���� ����������� �������������������������������� ���������������

�1 ( )lim 1n

F x→−∞

= ��

�1� ( )lim 1n

F x→−∞

= − ��

1� ( )lim 0n

F x→−∞

= ��

.!����� ξ ��������� ����������� ���"�� ����������� �������� F ������ a ���� b ��� ������������ �� a b< ��;��� ������ ��'�������� �

�1 ( ) ( ) ( )P a b F b F a≤ ξ < = − �

�1 ( ) ( ) ( )P a b F b F a≤ < = +ξ �

1 ( ) ( ) ( )2P a b F b F a≤ < = −ξ �

�1 ( ) ( ) ( )2P a b F b F a≤ < = −ξ �

�1��2�� ����� �"�� ��� F ���"���� �������� �����

( ) 2

0 pentru 0

pentru 0 1

1 pentru 1

x

F x ax x

x

⎧ <⎪= ≤ ≤⎨⎪ >⎩ !�

a � ��������2 ������������� �������� a ������� +�� F �� �"���"�� ����������� ������1���A�(��1���A�/�� 1���A����1���A�<��2!�2�� ����� �"�� ����������� ��� F ���"���� �������� �����

( ) 2

0 pentru 0

pentru 0 1

1 pentru 1

x

F x ax x

x

⎧ <⎪= ≤ ≤⎨⎪ >⎩ !�

����� a � ��������2 ���� �� ������ ( )0,35 0,5P ≤ ξ < ���1� (0,35 0,5) (0,5) (0,35) 0,1275P F F≤ ξ < = − = �

�1� (0,35 0,5) (0,5) (0,35) 0,3775P F F≤ ξ < = + = �

1� (0,35 0,5) (0,5) (0,35) 0P F F≤ ξ < = − = �

�1� (0,35 0,5) (0,35) (0,5) 0,1275P F F≤ ξ < = − = − ��

��

� �8�

3!�2�� ����� �"�� ���

( )0 pentru 0

sin pentru 0

0 pentru

x

f x a x x

x

<⎧⎪= ≤ ≤ π⎨⎪ > π⎩ �

�2 ������������� ����������� � a !����"��� �� f �� �"���������������������������������������������

���������

�1 ( )0

sin 2 1f x dx a xdx a+∞

−∞

= = =∫ ∫π

�!���� ���A��B��

�1 ( )0

sin 1f x dx a xdx a+∞

−∞

= = =∫ ∫π

!���� ���A���

1� ( )0

sin 2 2f x dx a xdx a+∞

−∞

= = =∫ ∫π

!���� ���A���

�1�1 ( )0

sin 2 1f x dx a xdx a+∞

−∞

= = = −∫ ∫π

!���� ���A�/�B��

�4��2�� ����� �"�� ���

( )

0pentru 0

1sin pentru 0

2pentru0

x

f x x x

x

⎧ <⎪⎪= ≤ ≤⎨⎪ >⎪⎩

ππ

��

2 ���� �� ������ 04

Pπ⎛ ⎞≤ ξ <⎜ ⎟⎝ ⎠ ��

�14

0

2 20 sin

4 2P udu

π

π −⎛ ⎞≤ ε < = =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ��

�1�4

0

1 2 20 sin

4 2 4P udu

π

π −⎛ ⎞≤ ε < = =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ �

1�4

0

10 sin 1

4 2P udu

π

π⎛ ⎞≤ ε < = =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ��

�%5������ ξ ��������� ����������� ���"�� ����������� ���0����� ��� ���� 1������

( )0 pentru 0

pentru 0 1

1 pentru 1

x

F x x x

x

<⎧⎪= ≤ <⎨⎪ ≥⎩ �

2 ���� �� ������"�� ����������� �����������������������1

lnη =ξ

��

�1� 1 1( ) ( ) ln

1 ( ) 1

x

x x

F x P x P x P e

P e e− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= η < = < = < =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ξ ξ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − ξ ≤ = −

��

��9�

�1� 1 1( ) ( ) ln

1 ( ) 1

x

x x

F x P x P x P e

P e e

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= η < = < = < =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ξ ξ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − ξ ≤ = −

��

1�1 1

( ) ( ) ln ln

1 11 1

ln ln

F x P x P x P x

Px x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= η < = < = < =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ξ ξ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= − ξ ≤ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

��

%%������ ξ ��������� ���������������� ������� ���������������������������� ( ) 1

2xf x e−= !� x∈ 555��

2 ���� �� ����������������������

�1�0

| |

0

1 1 1( ) 1

2 2 2x x xM xe dx xe dx xe dx

∞ +∞− −

−∞ −∞

ξ = = + =∫ ∫ ∫ �

�1�0

| |

0

1 1 1( ) 0

2 2 2x x xM xe dx xe dx xe dx

∞ +∞− −

−∞ −∞

ξ = = + =∫ ∫ ∫ �

1�1 0 1

| |

1 1 0

1 1 1( ) 0

2 2 2x x xM xe dx xe dx xe dx− −

ξ = = + =∫ ∫ ∫ �

��������������

���� ���(��$���� ��(���������

��� #���� ��!� 3����"�� 5�!� C� ��� ;�!� ���� 5�!� C+� � 2�!�!������� ����� ��������!� *����������� ����România de Mâine!�C� �����!��<<7��

��� #���� ��!� 3����"�� 5�!� C� ��� ;�!� ���� 5�!� .���� �� �������� �������!� *����������� ����România de Mâine!�C� �����!��<<(��

���C� ���;�!�Matematici aplicate în econom����� ����� !�*����������� ����România de Mâine!�C� �����!��<<6��

6�� #���� ��!� .���� �� ����� � ����� ��������!� *������ ����� ���� România de Mâine!�C� �����!��:::��

(������ ��D,�!�!��������������������!�*����������� ����România de Mâine!�C� �����!��::7��

� ���

��

������������� ���� �

������������������������������������

���������

���������� ������������������������������� ���� �� ��������� ������������� �� �� �� ��������� ������������������� ������������������������������������������� ��������������������������������� �������������� �

3.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare����

���������������������� ������������ ��������� ���� ������������� �������������������������!�

���������������"�• schema bilei întoarse (Bernoull�#$��• �� �������������������%��������!� ���&������ #$�• '������$�• '��������������� �λ $�• ���� �������� $��• ���� �� 2χ $��

• ( �������

�������� � ���� ������ ���� � ������ �����

) � � ��� &���� ������� �� �� ��� ��� ��!� � ��� �� ��� *�� �������� � �identifice într+�� �� � ��� ��� � ���� �� ��� ����� �� ������ �������� ��� ������������ ������� ��������� ��

������� �� !"������� ��#��!,������

�-.�

�������� �������� � ������ ����

�������������� �����!$�$� ����"��" ���"��

��������������� �������������

���� ��� ������ ��� ������� ���� ������ �������� ���� ��/����� ��� �� ��� ���� ���0��������� ������ ����0��������������&�������� ���� ��� � ������!� *������din ele ducând la r��������� �� � ��� ����������� � �� �� ��� ���������� ����� ����������� � ���� � � �� ��� ����� �� ���� �������� � �� ��+�� ����� ��� �0���������10�������������*���*�� �������������������� ����� ��������� �����*�����

��!����� �����"� �� � �� �%��������� !�� ���������� �� ���� �� �����������independente, în fiecare din ele un eveniment A se poate realiza cu probabilitatea p �� ��� ��� �������� � ��� ������������� ������� � ��� �������� ������������� ��� ����������������������������������� ������������������������������� �

,m m n m

m n nP C p q −= � %�#�

'������� ���� ,m nP � � � *���� �������� ���� ���������� ����� � �� ( )np q+ ��

)��� ����� � �� � � �/�� �� ��� ���������� ���� ����� � �� �� � ����������� � � ��& ��� %�#� ��� � ����� câmp binominal� %���� ���� � � ������������ ��������� ����câmpului asociat experimentului pot fi considerate ca elemente ale produsului �������� ...nΩ = Ω× × Ω #��

2���� ��� �� ������������ ���*�������� �������������������3��4��� ���!������������������ ����������!�������"���������

��!����� &����� � �� �%��������� !�� ��������'� #���������� � � ��� ���� ��experimente independente, în fiecare din ele un eveniment A se poate realiza cu ������������ ip $� 1,2,...,i n= � �� ��� ��� �������� � ���������������� 1i iq p= − �� � �������������������������������������������������������������� ��������� ���������������%������ ���� ����������!����������� ������� �

, 1 1 1 1 1 2 1 1... ... ... ... ... ...m n m m n m m m m n n m n m nP p p q q p p q p q q q q p p+ − + + − − += + + �

���� �

( ) ,1

nm

i i m ni

p z q P z=

+ = ∑∏ � %�#�

���� ,0

1n

m nm

P=

=∑ ��

În unele experimente practice se cere probabilitatea de realizare a �������� � �� A ��������� ��� m ori în cele n experimente. Notând cu mC � �����

��������� ����� 1 ...m m m nC B B B+= ∪ ∪ ∪ !� ���� mB � ������ � �������� �� 5 A � ����������� ��0������m ori în cele n experimente”����� � �� �

( ) , 1, ,...

‘m m n m n n nP C P P P+= + + + �

�� �

( ) ,

n

m k nk m

P C P=

= ∑ �� %�#�

(� ��������������� ������� ����� ������������ ��� ������

� -��

����� ���� ������������������( � ��� � ���� � � ��� ���� ��� ��������� � %�#� � �� np = λ � %������#�� ( �

������ ������������������������������ ������� � n → ∞ ��2���"�

!

k

kp ek

−λλ= � %-#�

���

0 0

1!

k

kk k

p e e ek

∞ ∞−λ −λ λ

= =

λ= = ⋅ =∑ ∑ !�

������������� ������*���������%-#�� ��������� �������� �������(��� ��� )�� ������ �� �������� � ���� �������� ��� &'(� ��� ��������

����� ��� ����������������λ$����������������������

2

0 1 2

"e e e e

1! 2! !

k

k

k− − − −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

� �

� ��

�������������� �� � ����������� ����������� ���'�������������� �� ���)��������������������!����� ������ ��������

��������0���������� ����������� ��/���� � ���0����������������*������������������������������ ������������� � ���������������*������� ��

�������� ��� �� �

*���� ���� ����������������� 1,... sc c ���������� ����������+��������������

������������� ip ������� ��������������� �$���������������������� ic $� 1,...,i s= ��

�� ���� �� ������ � �� �,��� �� �� $� ��� ��� �� ��� ��� ������� ������ �� ����� � � �� �������������� ���-�� Aα ������������������������ �������������� ����� � iα �����

�� ��������� ic $� % 1,...,i s= #$� ��� ( )1,..., sα = α α �� #������������ ������� ���������

���� �

( ) 1 21 2

1 2

!...

! !... !s

ss

nP A p p pα α α

α =α α α

�� %,#�

2���� ������������������������ �� ( )1; ,..., sP n α α ��

������� � ����� ��

�������� ������ ������� ��������������� � 1a ���������������� 1c +� 2a ������� ��������� 2 ;...; sc a � ���� �� ��������� sc �� �� ���� �� ������ � � � � �� ������� ���������� ������������� �%������� ���������!������ ���������)����������������� #��-�� Aα ��������������������.���� ���������� kα $�% 1,...,k s= #���������������� kc în

)������������������������������ ( )1,..., sα = α α $� 0 k ka≤ α ≤ $1

s

kk

n=

α =∑ ������ �

( ) ( )1 2

1 21

...1

...; ,...,

sa a as

s na as

C C CP A P n

C

α α α

α+ +

= α α = � %6#�

10������ �� ������� ���� � � � � �/�� �� ��� ���������� ������!� ������������ � ��& ����� !����� �������!�� �!���)������� �������!�������������������

���

�-��

��������������� ��������������

����������� ���� ���������*���������� ����� �������������������������� ��7���{ }!� !� � �� σ –câmp de probabilitate, L �� � ������������������������

��*��������Ω ����F �� � �����* �� ������������ ����8������ � ���� ���� ������F ∈F ��0�� ������������������ ξ∈L ���� ���* �� ���������� ������� F ��

������ ������� ������ ���� �

��(��� ��� *�� �� �������� ��� � �� ����� � �� ���� � �� [ ]ba, $� ���� �� �������� ����� ����������������������������� �

[ ][ ]

1daca ,

( )0 daca ,

x a bf x b a

x a b

⎧ ∈⎪= −⎨⎪ ∉⎩

� %9#�

��(��� ��� ��/����������������� ξ � ������������� ���� ���� � [ ],a b ��� �����

������ �������� ����[ ],a b ��

���������� �

��&��� �� ������� ��� �!��� � ����� !� �&�� ���� � ��+ ��� � (��"����� ���� �"� ������"��"�'�

(�� ����� � �� � � � ��� � �� � � � � *������ ������� ��� ��������� �������������������� �/�������&��������!���� �� *���������� �������� ��!������� ������&������� ��

��(��� ���,�� ������������� �������� ������� $������ ������ ( )2; ,mΦ • σ �

���� ���������� ������ ��������������������������� �

( )( )2

22 21, ,

2

x m

f x m e

−−

σσ =σ π

� %:#�

���� 2σ �������������$�������������� ������ ��

;�*�� ������� ��� ( )2, ,f x m σ �������������*�&������

�7�&������

7 �� ���������� ������"�

( ) ( )( )2

22 2 21; , , ,

2

u mxx

x m f x m dx e du

−−

σ−∞

−∞

Φ σ = σ =σ π∫ ∫ �� %�#�

8������� ( )2

21

2

x t

x e dt−∗

−∞

Φ =π ∫ !�* �� ���� ��<������$����������������* �� ������

� �����������& �������������������������8�������� �������� ξ � ��� � ����� ����� � ( )2,N m σ � ��� � ��� * �� ��� ���

���� ��� ( )2; ,mΦ • σ �� '�� � ξ � ���� ���� ��� ������������� � ������ ���� ����"�

�������������!���������������������������"�

� -��

( ) ( )( )2

22 21; ,

2

x m

M xf x m dx xe dx−+∞ +∞ −σ

−∞ −∞

ξ = σ =σ π∫ ∫ �

��� � "� ( )M mξ = ����� 2 2( )D ξ = σ ����� �� ��� ��������� �� ���� ��� �� ��� ������� ��� ���� ����� )�� � �� ����

�� ��� � �������!� � ��� ��� �������� ��� ��������� � ��+�� � �& �� �0��� �0� * � �+����� ����� *�����)������ ���������� ����� ��� ���� ���� ��� �0���0��'���� �� σ ����������� � *���� � ���� ��� ��������� ������� ��0�� � �� � ���� ���� ���������� ����� �� �σ ��

����� �� 2χ �

-�� 1 2, ,..., vξ ξ ξ $� ν � �������� ���������� �������$� �������$� ����������% ( )0,1i Nξ ∈ #�� ����� ������������������������������������������������ �����������

����� � 2 2 2 21 2 νχ = ξ + ξ + + ξ� �������� ������� �������������������������������� ��

2

2 2

2

1( )

22

xv

vf x x e

v

−−=⎛ ⎞Γ⎜ ⎟⎝ ⎠

$� [ )0,x∈ ∞ �%�.#�

%��������� � � ( ) 1

0

n xn x e dx∞ − −Γ = ∫ � ���� * �� ��� ;���� �� � �� 1 ��!� � � �� ��

����� �������#��� ��� ����� ��� ��� ���� ��� � � ���� ������ � %*�& �� ���#!� ��� ��� ����� � �

����� ������� ���� �� � ��&����������������ν ������%������.#��

�7�&�������

����� ����������

-�� 1 2, ,..., nξ ξ ξ ��������������������������� ( )0,N σ $������������/�������

1

1 n

ii

t

n =

ξ=

ξ∑�

%��#�

���� ξ � ����� �� ������ � ���������� ( )0,N σ $� �������� � �� ����� ( )1i i n≤ ≤ξ $� ����� ��

������ ����������������� ��������������������� ���1

2 2

11 2

( ) 1

2

ssx

f xs ss

+−+⎛ ⎞Γ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= +⎜ ⎟⎛ ⎞π ⎝ ⎠Γ⎜ ⎟⎝ ⎠

$� ( ),x∈ −∞ +∞ � %��#�

���� � ��� ����� ����� � ������� %� � � ��� ����� �� ���������� � ���=��;����#$���� 1s n= − �)������������������

�--�

� �������� ��������������� ��������������*�& �������

�7�&�������

1���������� � ����� �� �������� ���������!������*�� ����

��-��Îndrumar pentru verificare/autoverificare����� )����������� �*� ��&�� ���0��� �12 � ���!������������������������������ ��/��&���� �� �

����1

2�� ( � ��� ���� ����� �������������!� ��������� ��� ������������� � ��� � �� ���������� �������� ����

������ �� � ����� �����/��&������ � ��������������

�����������8���������������� ξ �������� ����������� � ( )12

12

1

2kP k C

⎛ ⎞ξ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠!� 1,...,12k = ��2����

( ) 6M ξ = !� ( )2 3D ξ = !� ( ) 3D ξ = ��

���� La controlul de calitate este controlat un lot de piese. Probabilitatea ca luând la întâmplare o

���� ����� ���� �*�����*�� ����� 005,0 ��( ����������100 ����������� ��!������ �� � ������/�������� ��� *������ ������� ��� ��� � � � ��� �� *��� ������ �� (�� ���� �robabilitatea ca între cele 100 � ��������������� ����������� ���� ���������*�����

���������"�

( ) ( )4 4

100100, 100

0 0

0,005 0,995k kk

kk k

P P C−

= =

= =∑ ∑ �

���� >��& ����� 40 �������� ���� � ��� ����� 3 ��������<��������!��� � ���0���������������

���� ���*��� ����/���������������������*��� ������ ��?���� � 5 elevi cunosc în întregime ���������� !�10 �������� ����� 90% ��������������� ����*���������� !�11 elevi cunosc câte 80% ����������!� 7 ������� 60% !� 5 elevi câte 50% ��������������� �� ������������������������� ��<���0����!� ������� �� ��������������������� ����� �����*����������������������������������������� �*��� � ������������������� ����"�����&�������!� 90% !� 80% !� 60% !� 50% !� 0% din întreaga �������

�����������7��������������� 1A − cinci elevi cunosc întreaga materie; 2 10A − �������� ����� 90% �����

�����$� 3 11A − �������� ����� 80 ����������$� 4 7A − �������� ����� 60% $� 5 5A − elevi cunosc câte 50% �

���� ������ ��� 6 2A − � ������ � � � ����� ������ ���� ������ ���� �� 2���� ( )1

1

5P A = !� ( )2

1

4P A = !�

( )3

11

40P A = !� ( )4

7

40P A = !� ( )5

1

8P A = !� ( )6

1

20P A = ��

� -,�

��7����������� �� X − � ������� �� �������������� ����� �����*��������������2�����

( )1 0P X A = !� ( )2

22 3

9 1

10 10P X A C

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠!� ( )

22

3 3

8 2

10 10P X A C

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠!� ( )

22

4 3

6 4

10 10P X A C

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠!��

( )2

25 3

5 5

10 10P X A C

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠!� ( )6 0P X A = ��

�-��������� �*���� � ��� � ����������������������� ������ ����*�����(��*��������� ������

100N = � ��� ���������� �� 40n = � �����!� *������ ������ ��� ��/��������� ����� � ��������� ��� ������������*���"�

�@����������*���� ix � @���������� in �

0 � 28 �1 � 40 �2 � 21 �3 � 7 �4 � 3 �5 � 1 �

�����6 � 0 ����� 100 �

�7 �/����������� ����� �������������*���� �/��������� !�� � �� X al pieselor defecte în

*��������������������������� ����������������� ��������� � 40n = ���� p ����������� ���� ��

A������������� �������120

1,2100

i ii

n x

xN

= = =∑

����� ���������1,2

0,0340

xp

n= = = ��

���������0���� �� ������0������&����������� �� ���&���'������!����� �������������*����*������ *������������ !�����*���� ��*��� �������������� 40n = ��

������ �������*����� ����������������������� �����B ����������&����������� ����'��������� � ��������� �� � �"�

@ � ���������*����

7����� ����������� ���

'������������&��

�������� �

'������������&��'�������

0 � 0,28 � 0,2957 � 0,3012 �1 � 0,40 � 0,3658 � 0,3614 �2 � 0,21 � 0,2206 � 0,2169 �3 � 0,07 � 0,0864 � 0,0867 �4 � 0,03 � 0,0247 � 0,0260 �5 � 0,01 � 0,0055 � 0,0062 �6 � 0 � 0,0010 � 0,0012 �7 � 0 � 0,0001 � 0,0002 ������8 � 0 � 0,0002 � 0,0002 �C���� 1� 1,0000 � 1,0000 �

����

�-6�

,��>��� �������� ���� ��������� ���� 0,9 !� 0,07 ���� 0,03 ��������������� �� � !������� �� � ����*���������������� ���� ��A ���� ������� ������������������������������������������������������ �*�������� ��������� �� � ��������� ��� ���� D��

�����������'�� ����� �������������������� ������� ���� �������������� ������ ���( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 0

0 2

3;1,1,1 3;2,0,1 3;1,0,2

3! 3!0,9 0,07 0,03 0,9 0,07 0,03

1!1!1! 2!0!1!3!

0,9 0,07 0,03 0,086671!0!2!

P P PP = + + =

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ⋅ =

�6��'�� ������ ��������������� � �������� N ������!�����0�&������ � n �������% n N< #��?�����

� ������������ a ��������� ����b �������� ���% a b N+ = #!�� ������������� ���������� ��������������������������������� �� � ������������� ����������� n ��0�����( �������� ������������������������������������������������

�����������8����������������ξ ������� ����������0,1,...,n �� ��������� ���� ( )k n ka b

nN

C CP k

C

ξ = = !�

0,1,...,k n= ������

: k n ka b

nN

k

C C

C

⎛ ⎞⎜ ⎟ξ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

!� 0,1,...,k n= ��

2����

( ) 11

1 1

1 n nk n k k n ka b a bn n

k kN N

aM kC C C C

C C− − −

−= =

ξ = =∑ ∑ !�

���1

1 1 1 11 1 1 1

1 0

n nk n k k n k n na b a b a b N

k k

C C C C C C−

− − − − − −− − + − −

= =

= = =∑ ∑ �

���

( )11

nN

nN

C nM a a

NC

−−ξ = = �� %��#�

@� ��a

pN

= !�b

qN

= ������ ( )M npξ = ��

)����������!� ( ) ( )( ) ( )2 1M M Mξ = ξ ξ − + ξ !����

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

22

2 2

2 22 2

1 1 1

1 1

n nn k n k k n kN a b a n

k k

n na b N

C M k k C C a a C C

a a C a a C

− − −−

= =− −+ − −

ξ ξ − = − = − =

= − = −

∑ ∑�

��� ����

( ) ( ) ( ) ( )2 11 1

1 1

a n a naM n a n a n N n

N N N N N

− ⎡ ⎤ξ = − + = − + −⎣ ⎦− −��

)�����������*��

( )22 1 1

nab N n N nD npq

N NN

− −ξ = ⋅ =− −

�� %�-#�

� -9�

��

�������������������

������������� ����-���!��� ������

����� � ���� ���� 30 ��������������10 ��������&���(��*��� 200 �����0�� ������� � �� �/���� � �*�������0�� ������������������ � ��(����������&������*���� ���� ����������������� � ��������� ������������������������ 200 �����0�� ���� �*���� ���������100 ����120 ��

�����<�� ������ ������������ !� 3 �������� ����������/�� �������������� ���� n �% 3n > #�������

� ��������������&�� ����&�������������������� ����� ������������/��1,2,3 �� �����������&�� ��7����� �0����� �!� ���� ��� ������� �� �0�&� *������ �/�� �� ����� ���� ������ 10�&���� * �/�� +��� �����/�����!�� �����*��������������� � ���������������"�

��� C���������� ��� �*����0����� �����&����������� @���� ����������� �� �*����0���������&����������� ����� ��� ����������� �*����0�����������&�� ������>�������������� �������5 ��������$�*����������%���������������* �� ������* ���*�� � �����+

���������������#��������������"� 1 0,9p = $ 2 0,95p = $ 3 0,8p = $ 4 0,85p = $ 5 0,91p = ��)�� ������ � ��

������������� ����������� !����������������* �� ������������ � ��* ���*�� � ��������&�� �� �1$���� � � ����������������������������������� !������ ���������������� 0,7 !������� ��� ���������� �������� !����� ��� ������* �� ������( ������������������������������� ��� ���� ��*�� ��� ������� �����������������

�-����� � ���� ���� 30 ���������������10 ����������!� 8 ���&�!� 7 ��������� 5 �������(���0�&� 5 ����������

� �* ����� ���������0�� ���������(������������������������������5 �������0����� �����"���� C������������!������ ��������� �������������������� ���� !��� ���&������� ��������������

�-:�

��������

����$ �!&��(���!$ �&��!������

��� ) ��� ��!� C����*�� ��!� 4��� �2�!� �������!� 4/� � (�!�0�������� ������� ��������!� 1�� ��7 ��� ����România de Mâine!�4 � ���!��..6��

��� ) ��� ��!� C����*�� ��!� 4��� � 2�!� ����� ��!� 1�������� �� ��������� ��������!� 1�� ��7 ��� ����România de Mâine!�4 � ���!��..,��

���4��� �2�!�0����������������������������� ���� �!�1�� ��7 ��� ����România de Mâine!�4 � ���!��..-�

-�� ) ��� ��!� 1�������� �� ��)��� � ������� ��������!� 1�� �� 7 ��� ���� România de Mâine!�4 � ���!�������

,������� �; �!�0�����������������������!�1�� ��7 ��� ����România de Mâine!�4 � ���!����6��

����

� ���

��

������������� ���� �

��������������������� ���������� ����

���������

���������� ������������������������������� ���� �� ��������� ������������� �� �� �� ��������� ���

���������������������� �������������������������� ����

4.4. Îndrumar pentr ��������� � ���������������

�������������������!�� ������ ��� ��� ��� �� ��� � ���" � � ������ �������� ���

������ �������� #��• ����������� ������• ����������� ������• $�������������� �����%�������

�������� � ���� ������ ���� � ������ �����

& � ���� '����������� �� �������� ��(�� ��� ����������������� � �� � �� �� � ��� ���� ����� ����� ���� ��� ����� ����� ���� ��� � � �"������%��� ��� ��� �������� ��� ���� � � ������� ����������� ������� ��� ����������"������

�������������������� �����()�������

����

�)*�

��

�������� �������� � ������ ����

������������������� �����

+��� �� �%������� ������ � ��� ��� ��� �� ��������� ��������,����������-� ξ �� &�� � ��� �� �%������ �� ��� � ori în mod ������������� ����� ����������������������� �������������������������ξ ������ 1,..., nx x ��

�� ��� ��� !�� ��� ��� ��� ��� �� �� ����� �� ��� �������������� ��� ξ ����������� ����������� �������������� ���������������� � ������� ��� �� � � �������� ξ � ,��� ������ ������� ��� ��� ������������ ξ -�������� ����������� �����

.���� ��� ����� ��� � � �������� �� � � � �������/� ��� ��� �� ��"(������� �� �%��� ���� ��� �� ��� ���� ����� �� ��� ���� ������� ��� ���'���������� � �� � �(� ��� ��� ��� ������� ��"(� ���������� ������ � � ��� ��������� �������� �� ���'����� ��

&�� � ��� � �� ��� �� ���� '������� ���� � ������� ��� ���(� ������ � �� ����� ���� � �������������(���������������� ������� � �� ���������� ��������������� (������������� ����������������� ���� ��������������������� ��������� ���� ����������

0��� �� ��� � � �� ����� ��� ���� ���������� � ��� � ���� �������� �������� ��� 1,..., nx x �� ���������������������������������������� ������

"��� ������������ ���������� ���

+������������ ��������� ξ �� �� �� ���������� ������. ���� � ����

� ������������� ��� 1,..., nx x (������� �������� � ��� ���� �� ξ ��

�� ��� ���#����� � xn �������� ��� ���� ����� ��� ������������� ���� ���� �������������������� ξ ������ ��������� �������� �������� ����� ������ ��������� ��������� ���

*( ) xn

nF x

n= �� ,�-�

1�' �������� �� ���������� �������� ����� �� ���������� ����������� ��������� ���� � ��������� ���� ��0�����2�����3�(��������� ��"��" ����4 �������������� ��� ���" ��������������� �����

��������!$���� �� �������� ��� n → ∞ � ����*sup ( ) ( )n n

xd F x F x

−∞< <+∞= − � ,�-�

� ���������� ����������� ����� ��� � ���� � ����(� ��� � n → ∞ � ������ �� ����� � �� �������� � ��

( ){ }xω ξ ω < � ,���� *( )nF x -� �����'�� ��������������� ��������������

���� �����������,���� � ( )F x -���&���(���� ���� ��������������� �� ���������� ����������� ������� �

�����'����� ��������������� �������� �� ���������� �������� ����

� )��

%�������������������� ���

������ �� �� �� ���� ������ �� �� � �� ��� ���� ���������������� �� �

1

1 nr

r ii

xn =

α = ∑ � ,�-�

În particular, ���������� ����� ��� �

11

1 n

ii

x xn =

= α = ∑ � ,�-�

������������������ ������ �������� �

( )1

1 nr

r ii

x xn =

μ = −∑ � ,)-�

!���� ��������� ���� ������ �

( )22

1

1 n

ii

s x xn =

= −∑ � ,5-�

��������#$���� ������� ���� ���� �������������������� 2σ ��

���������������� �������� ��������������������2

n

σ ��

��������&$�� ������������������������2 /

x m

n

−σ

������� ���

���������� ���� ��������� n → ∞ ����������� $�"�� ������������������� ������������ ����

�������� rα ����������������� rα ����2

2r r

n

α − α ��

��������������������� ����

� �������� ��� ������������� �������'�������� ����� ���� ���� ��� ������������ ��� �������� ������� ��� ���������� ��������� (� ������� ���� � ����� �� ���������� ��� ������� �����������$� �)��� � ���� �������� �� ��� ��� �� ����� ��� *����������+� ����� ���� �� �������� ��������� ������������������������������ �(�������,���������������������������������,�� �����)��������������������$�

&�� �%���� (� � � ��� � ���� � � � ������ �� �������� �4 �'��� �������� "���� ����� ���� ����������� � ( )2,N m σ (�����#��

2

2

( )

21( )

2

x m

f x e−−σ=

σ π�

6�� � ������ ��� ������� �� ��� � � ������ �� �������� � ������������������������������ σ ��

!����� ��� ������ � ������# � ���� �� ��� � ��� ���� ���� � ���� �������������� ��� ���������� ���� ������������ ����������� ��

&�� �� ���������������� ������������������(����������'��������� ���� ������������� ��

&���(� �� ��'�� ��� ���� ��� ����������� � ����� ���� ���� ��'�� ������� ������ ���� ���

&��������� �������� ��������� ���� ���� ��� ����������� ��������� ��4 � �� ��������� ��������� ������������ �������������� 1,..., nx x ���'���������������� ��� ��

�)��

!�� ����� ��� ���" � ��� ���� �� ��� ��� ���� ��� ����������� ����������� ��� �� ���' � ����� �� &���(� � �� ��� ��� ���� ��� ����� ���� ���� �� ���' � ����� � ��� ���� � θ �� �� ����� ��� ��� ��� �� �� ����

�������������7���������� ��� *1θ ��� ������ ��������� �������� ������ ���

*2θ �����8���9��������� �(��� ���������� ����� * *

1 ,..., rθ θ ��

&���(�������� ��� *θ ���� �� θ ������������� ������������� ���������

� ������������������ * *1 ,..., rθ θ ��

������ ��� �����������(� �������� -�� �,������ �������(� ����������(����������

+��� θ � �� ����� � ��� �������� ��� '������� ,�����(� ��������(�

������ ����-���� ( )*1,..., nx xθ ���� �� ����������� ����

�� ��� ��� &�� ��� � ( )*1,..., nx xθ � � ����� ��� �� ���������� � ���

��������� θ �������� � *θ ���� ��� �� ���� ���� ������� θ ���� ��� ��� ����� �

( )( )*1,..., nM x xθ = θ �

( )( ) 0,...,lim 1*2 =

→∞ nn

xxD θ �,:-�

������ � ( )*1,..., nx xθ ���� ��� �� ������������ ��������������θ ��

��������.$�� ��������� ����������� ������ ����� ������� ��� ��� ������

�������� /$� ��������� �� ��� �� ��� � ���� �� � ������� ����������������� ���� ��

"��� ����������� ���� �������$������������������ �����)����

&�� � ��� ��(� �� ����� ��� ��������� � � � ��� � � ���� ���� � � ����%������������ � ������������0������������������������� ���� � �� θ �

��� ���� �� ��� ����� ��� 4 ��������������� ,��� � ( )2 *D θ � �������-(� ���

����� ������� �� ����������� ����� �������������� � ��������������������� �� *θ (�������e face o eroare alegând *θ ��������� ������ � θ ��

&�� � *θ ������������ �������� ����� ���� ������ �� 0θ > ����

( )*M θ < ∞ (�� �������'�������� �����9���#�

( ) ( )2

2*

DP

θθ −θ ≥ ε <

ε�

� � �� ���� � ��� � ���'���� ����� ����(� ��� �� ��#� ���'��� ���������� ������������������������ ��

+��� ( , )f x θ ������������������� �������������������� �������� �������������� ����� �(� � � θ � ����� �� ����� 0��� ������ ����� ������ �� ����� ( , )f x θ � ��� �%���� �� ��������� ������ � �� ��� ��� ���� � � θ ��9� ������������������������ ������

�������� 0$� *1��'������+$� ��� � ( )*1,..., nx xθ � ��� � ���� ��

��� ����� ��� �������������� θ �������� �

( )( )2 *1 2

1,...,

ln ( , )nD x x

f xnM

θ ≥⎛ ⎞∂ θ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂θ⎝ ⎠⎝ ⎠

�,;-�

� )��

$��������� ��� � �� ��� � ��� ����� ��� � ���� � � � ������ � %�� ��������������� θ ���������������� �������� �

( ) ( )*1

1

ln ,,...,

ni

ni

f xk x x

=

∂ θ ⎡ ⎤= θ − θ⎣ ⎦∂θ∑ ��

�� ��� ��� .�� &� ���� �� ��� ���� � ��� � ( )*1,..., nx xθ � �� ����#

������� θ ���������� �� �� �� ���� ���������������� ��

��� � *θ ���� ����� �������� ����� ����� ��� ����� ���� �

( ) ( )

2

*

2 *

1

ln ( , )

n

f xnM

eD

⎛ ⎞∂ θ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂θ⎝ ⎠⎝ ⎠θ =θ

�,�-�

�������� � ���� � θ ��

.�� ����� � � #� ( )*0 1ne≤ θ ≤ �� &�� � ( )* 1ne θ = (� ����� ��� ����

������� ����������2$�� � ����� ������������������������ θ ����������

��� ����������+��� ���� ��� ��� ��� ����� � ( ),f x θ � ���� θ � ����� � �� �����

����������7 ���������'��0��������������� ��� 1,..., nx x ��� �� ����� ������� �%�� ��� ������������ ���� ��� �� ��� � �� ��������� �������� �������7����� � � �������� �������� ��� ����������� ( ),f x θ �� +������ ����� ���

( )1,..., nx x ���������� ����� ��� ��� ������ � ���������� ����7������������

888�(����������������������� ������� � �� ( )1,..., nx x ����#�

( ) ( ) ( )1 1 1 1,..., ; ,..., , ... , ...n n n nP x x dx dx f x f x dx dxθ = θ θ � ,�*-��� ��� ���/������ ���( 888

��× I 888����������� ������� � � ������� ��� ���0��$���� ��� ( )1

^ ,..., nx xθ � ��������� �� ������� �

� � ������� � θ̂ ����������������������������� ������� ����������

8�" � �� � θ̂ ���������� ������� � ���#�( ) ( )1

1

ln ,..., ; ln ,0

nn i

i

P x x f x

=

∂ θ ∂ θ= =

∂θ ∂θ∑ � ,��-�

<� � ���,��-����� ������� ������� � � ������������� 3$� &���� ���� �� ������ � �� ����������� θ � ��� �

���� ������ ������������ ����

�����Îndrumar pentru verificare/autoverificare��!��+�������=�� �������>��� ����� ��� �� ���!�� n ������� ����������������������� �� A ������� �

������������ p ����α ���(�0 n≤ α ≤ ��. ���������"�� p ���� 2p �� ��4 � ��� ��α ��

�)��

!� ������0����� ����� �n

����������� ������ �� p ��?���� M p

n

α⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠(� 2 pq

Dn n

α⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠(������

n

����������� �������� ����� ���� �� p ��

&����������(������1 1

pM p

n n

α⎛ ⎞ = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠(�

( )2

21 1

npqD

n n

α⎛ ⎞ =⎜ ⎟+⎝ ⎠ +(������

1p p

n

α ⎯⎯→+

(����1n

α+

� ������������ �������� ����� ���� �� p (������ ����������� ������� ��

&�������n

����������� �������� ����� ���� � p (������� ���� ������ ��� ����� �����

2p � ����2

2n

�?����

22

2

pqM p

nn

⎛ ⎞α = +⎜ ⎟⎝ ⎠

� ���2 3

22 2

4 1p qD O

nn n

⎛ ⎞α ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠(� �����

2

2n

α� ���� �� ����� ���

���� ���� � 2p ��6�� ������������������ �������� ����� (������ ��� #�2

2 22

1pq n pM p p

n n nn

⎛ ⎞α −= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

(�

2

pM

nn

α⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠(������

22

2 2

1nM p

nn n

⎛ ⎞α α −− =⎜ ⎟⎝ ⎠

��� �

22

2 21

nM p

n n n

⎛ ⎞α α− =⎜ ⎟− ⎝ ⎠(��

��� ���� ( )2

2

1M p

n n

⎛ ⎞α − α =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠(� ( )

2 24 1

1

p qD O

n n n n

⎛ ⎞α − α ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠(������ ( )

2

1n n

α − α−

� ����������� �������� �

���� ���� �� 2p ��

������� �������� ����� ���� � 2σ ����� 2

1

ns

n −� ���� 2s ���������������������� ����

#�� ����������� ξ � �� ���������� ���� ��� �� ��� ��� �� ���� ��� ����� � ( )2,N m σ � � � m �

� ���� ���� σ ���� ���� ��������� ���������� ��������� ������� � ( )*

1

1

2

n

kk

x mn =

πθ = −∑ (� ����

����������� �������� ix (� 1 i n≤ ≤ (� � �� ������������ ��� � � �������� ���� ��� ��� ξ �� . � ��� ��������

������� ��� �� *θ ��!� ������?����

( )( )2

221 2

2

x m

M m x m e dx

−+∞ −σ

−∞

ξ − = − = σπσ π ∫ (�

( ) ( )*

1

1 2

2 2

n

kk

M M x mn =

π πθ = − = ⋅ σ ⋅ = σπ∑ (�

( )2 * 22

2D

n

π −θ = σ (�

����� *θ ������������ �������� ����� ��� � �� σ ��<������ ���������

2

2

10,876

2 22

ne

n

σ

= = ≅π − π −σ(������

*θ �� �����������������������������

� ))�

&�� ����� �� �� � �� ������� �� ?�� � " � � �n

α� ���� �� ����� ��� ����� � ���� � ��� �

������������ p ��. �� ��� ������������������ ���������� ��

! �������&���������:��������� ���� ����������� �������� ����� � *θ ���������'�������

( )( )

2 *2

1

1

lnni

ii

Dp

n p pp=

θ ≥⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∑(�

���� ( )1p p p= (� ( )2 1p p p= − ��

( )( )2 2

1

ln 1 1 11

1

ni

ii

pp p p

p pqp p=

⎛ ⎞∂= + − =⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠

∑ (�

����� ( )2 * pqD

nθ ≥ ��$���� �������������� �

n

�

1�����������" �������4 �'�������9������������������ �����%������

&���( )ln

0np q n

p q

α −α∂ α − α= − =∂α

������ ���� pn

α= ��

��� ����� �������� �� ������������������������ ( )( )2

221,

2

x m

f x m e

−−

σ=σ π

��

��� <��������������! �������?����

( )2 2

2 2 2

1ln , ln

2 2 2

m m xf x m x= − − +

σ σ σ σ π��

&��� ������ :� �" � � � � ( )*1

1

1,...,

n

n ii

x x xn =

θ = ∑ � ���� �� � �� ��� ��� ����� ��� ������� � �� � �� m �

��������

( ) ( )2 2

2 2 2

1ln , ln

2 2 2

m m xf x m x m= − + − +

σ σ σ σ π�

���1

1 n

ii

M x mn =

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ (�

22

1

1 n

ii

D xn n=

⎛ ⎞ σ=⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ��8�" � �� � *θ ������������ �������� ����� ��

+ �� ����������������������

( )( )

( )21

221

2

1,..., ;

2

nx mi

i

n nn

P x x m e

−=−

σ=σ π

∑�

��������� � ������������ �����%���� ln 0P = ��" � � ( )1

0n

ii

x m=

− =∑ ��� �1

1 n

ii

m xn =

= ∑ ��

��� <������������ � �� σ �! �����$�+ �� ����������������������

( )( )

( )21

221

2

1,..., ;

2

nx mi

i

n nn

P x x e

−=−

σσ =σ π

∑�

�)5�

���

( )2

21

1ln ln ln 2

2

n

ii

P n n x m=

= − σ − π − −σ ∑ ��

<� � ������������ �����%���(�ln

0P∂ =

∂σ(����� ��������� ��� ( )2

1

1 n

ii

x mn =

σ = −∑ ��

)�� ����� ���� ����/�������������� � �� λ ����� ( );!

k

f k ek

−λλλ = (� 0,1,...k = ������"�� ����

����� ��������������� �� n ���! �������?����

( )1

1

1

,..., ;

!

nxi

in

n n

ii

P x x e

x

=− λ

=

λλ =∑

∏��

&����� � ������������ �����%������ �����1

1 n

ii

xn =

λ = ∑ ��

. �� ��� � ( )*1

1

1,...,

n

n ii

x x xn =

θ = ∑ ������������ ���������� ���� � λ . Într7���� � ( )*M θ = λ (�

( )2 *Dn

λθ = ��

$���� ��������������� �� �� ����������� �������� �����������

( ) ( )2

0

1

ln ,,

n

k

f kn f k

=

⎛ ⎞∂ λλ⎜ ⎟∂λ⎝ ⎠

∑(�

���

( ) ( )2 2

0 0

ln ,, 1

!

n n k

k k

f k k e nn f k n

k

−λ

= =

⎛ ⎞∂ λ λ⎛ ⎞λ = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂λ λ λ⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ �

����(������ ����������������n

�

�����������������

� ):�

������������������4��������������

��� . ��������� ���� � ξ �������������� �������������� � ( )2,N m σ (�� �������� ����������

�������� ��� x ����(������������(������ ������ +��� ξ ���������� ���������� ������� ���( ��� ���������� � λ ��. ���������������� ���

��������������� �����

��������

��5�,���6�� ����,��6���������

��� & ��� ��(� �������� 8�(� >��� � ?�(� ����� 8�(� >9" � .�(���������� ������ � � ����(� <�� ��+ ��� ����România de Mâine(�> � ���(��**5��

��� & ��� ��(� �������� 8�(� >��� � ?�(� ����� 8�(� $���� �� �������� � � ��(� <�� ��+ ��� ����România de Mâine(�> � ���(��**)��

���>��� �?�(���������������������� � ����� ����� (�<�� ��+ ��� ����România de Mâine(�> � ���(��**���

��� & ��� ��(� $���� �� ����� � ������ � � ����(� <�� �� + ��� ���� România de Mâine(�> � ���(�������

)������� �2=�(����������������� � ����(�<�� ��+ ��� ����România de Mâine(�> � ���(����5��

������������������

�);�

�����

� ���

����

��������

����� �������������������

����

������� � �������� ���� �� �������� ����� �� � ������ �� ����� ����� ������drumuri hamiltoniene. Drumuri hamiltoniene într��� ������ ��� ����� ������ ��� �������������������������������� ��������������� �����!�������������"���#��������$�

%� �����������&� ������������� ���� ��� ��'���� �����( �����(�)��& ���*���� �în fundamentarea deciziilor �

��+,�������%��-���������*��!����%��, ����#��!.�$ ���������������� �����������

/�����(��� ��România de Mâine��0112�������001�0345��������������������� ������������ ����� � �������� �����+�� ���� �����5�

���� � ����� ����������� ��� ��� +� �� 5� ����������� ����� +������� ��5� �� �� �� ����� ��� ������������� ���������������� ��������������� ����������������������� � �������������������� �������������������

�61�

������������������������������������������������������

� 64�

� ������������ ������

���� ���������

���������

���4��,��� ���������0��7"���8������� ������ ������ ���� �8 ��������9��� � ������ ���� �8 ����

������9�4��,��� ����������� �������9�0����������& �������������:� ���� ����������� ��������9�9������������������� ������� ����� ��������� � �������������9�3�����������������rilor hamiltoniene în grafuri cu circuite�

5.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare��

����4������� �������

;������������ �8 ������&��&���$ ��� � ������� ���• Graf, vârf, arc, muchie, drum (simplu, elementar), drum

����� �������� �+&��������������5���������������+��� 5�������conex, graf tare conex, grad (exterior, interior) al unui vârf, subgraf, �������&���������� ���������� �������

• ��������� ����� ����������������������� ����������" ���� ����������$������

• ����������������� ������� ��������� ��������������������������� � ����������� ����� ��� ��������+�������5��

��

���0������������������� ������ ��� ���� �����

�� � ����������� ���&��� �� � ��� �8 ����� &������� 8�� ������"�� & � ������&� � � ���� ��� ������ ����� ���� &����� ������������������������ ����������������������� �������� ���������� ������ �����&"�������������� ���������+����� ��� ���� �5������8.���� & � ��������� �������� � ����� �� ������� �� ������������� �����������������& �&��"���&� �������������������&�������������� ������� ����$�������8�&���������������

������������������ ����9� ���

�60�

��9����� ����������� ��� ���� ����

��9�4�������������� �!��� ���

:����������������� ��������� ����� &��� �� � ��4296����� ����/���� � �� �������� ��� �� Problema podurilor din Königsberg. În 4<32�� ���� ��� �� �" ����� �� ��� �� ���� �� ��������� ���� ��� ��������� ���

;��4��6��( �����(�)��& ������������� ��������� �� ���� ��������� ����&� ���� *&������ �� � ����&� � ��� �� �� �� ��� ������ �� �� � &����$�� � ������ ��$ �8����� � �� �� "����� �� ��������� �� � ���������� �� �������� �� ���� �� ���������� ��� �����$����� ��� ��$�� &�� ���� ���� ���������� ����������� �� ������� ��

�!��� ��� "�� ������ G � ���� � ������ �� ������ ( ),G X= à �

����� X ����������� � �������� � ��� �� �������������+�� ��� ������5'� ����� ������� x X∈ � �� � ����� vârf�� Γ � ���� �

� �� � ��� � � �� X X× �� � � ���� ��������� ��������� ( ),i jx x ��

,i jx x X∈ �� 1,i n= �� 1,j n= �� i j≠ �� ���������

:����� �� ���� ( ),i jx x ∈Γ vârful ix � &�� ������� ��������

��� ��� �+ �� ), iar vârful jx �������������� �+ ���� �5��

������ G � ������ � �����$������� �� ����� � �� ������ " �� ��&������

� vârfur���&�����&��$ � ������� ��� $ ��&������ ���������� ������� ���� ( ),i jx x ∈Γ � &�� �����$�� � ������ � ���� ��� ������

�����0�������� �����������&����� �&��&�������� ix ���� jx ��

#$������� (�� ������ ( ),G X= à � ���� ��� { }1 2 3 4 5, , , ,X x x x x x= �

���

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 1 3 2 4 3 2 3 4 4 1 4 5, , , , , , , , , , , , ,x x x x x x x x x x x x x xà = ��

*��&������������$���������� ����� ��

�(�����4��

�#�� "&��8 � � � à � � ���� �� ����� � ��� � ����� �� ���8 � �

( ): X P XΓ → � ��� �� ( )xΓ � �&��� �� ���� ��� �� � ��� �� ������

��������� ����������� ��� ������ x ��

� 69�

*&�����������������������������&&�� ������&��&����� { }1 2 3 4 5, , , ,X x x x x x= �� ( ) { }1 2 3,x x xà = �� ( ) { }2 4x xà = ��

� ( ) { }3 2 4,x x xΓ = �� ( ) { }4 1 5,x x xΓ = �� ( )5xΓ = ∅ �

��� � ( )i ix x∈Γ ������� ( ),i ix x ∈Γ �&������������� ��

��� ������� G �� � �������� ( ),i jx x �8 ��&����� �8.������ ix �

�� jx � &��� � ����� în G � �� ��.�� � &��� ���� ��� �� �����

( ),i jx x ��

�!��� ��� %�� O succesiune de arce în care vârful terminal al � ����������������� �� ��� ���� ����� ����

�!��� ��� &�� �� �� � ���� ���� ��� ��������� � ��� ����� � ��� ��

�!��� ���'������ ������������� � ��������� �������������������

�!��� ������Un drum elementar care cuprinde toate vârfurile ���� � ���� �����!�����������

�!��� ��� (�� � � � � � ������� ���� ��� � � �� � ��� ��������������� ��� ���

:����� �������� ������ ��� ����� ��4�� �� ���� ����������� ������ { }1 1 2 4 5: , , ,d x x x x �������������� 1d ��&���9��

Într��� ����� G �� &�� ������� ��!� o pereche de vârfuri

,i jx x⎢ ⎥⎣ ⎦ � ����� ���� �� ��������� � � ( ),i jx x ∈Γ � &�� � ( ),j ix x ∈Γ '�

������ �� ����� �����$������ �� ������ &�� ���$�� � ��� �����&���������� ���������

�!��� ��� )�� �� � ����� ��� � ��� �� �����

( ) ( ) ( ){ }1 2 3 4 1, , , ,..., ,p pl x x x x x x += � � ���������� � ������� ��

���� ������� ( )1,i ix x + �� ( )2 3,i ix x+ + � � � ����������� ��� � ����

������ 1,2,... 2i p= − �� �!��� ��� *�� �� ��� ���� � ��� ���� ���� ���� �� � �����

��� ���������� ���� ����� ������� � ��������� ����� ���� � ������

=� ���������������� ����$ ������ �&������������������� ������

#$�����;������������������0���� � ������������������&������ ���

( ) ( ) ( ){ }1 1 2 2 4 4 3: , , , ,l x x x x x x �� ( ) ( ){ }2 1 2 2 4: , , ,l x x x x ��

( ) ( ) ( ){ }3 1 3 3 2 2 4: , , , , ,l x x x x x x �� ( ) ( ) ( ){ }4 1 4 4 3 3 2: , , , , ,l x x x x x x �

�!��� ���+����� ��� ���������������� ������������� ���� �������������� ��� �� � ��� ����� �� �����!���"����������� ������������

��������� ���������������� ������������� ���� �������������� ��� �� ��� ���

�63�

�(�����0��

�#$�����

������

�(�����9���

��&���� ��������������

�(�����9"�

����&���� �����

�!��� ��� ",�� "�� �� unui vârf x � �� �����" ( )g x � ��

����"��� � � � ����������������� � x ��"�� ������������ � �

vârf x � �� �����" � � ( )g x− � �� ���� � � � � ������� �� ������

( ),y x ∈Γ �� � y X∈ ��"�� ��������� al unui vârf x ��������" �

( )g x+ �������� � � �������������� ( ),x y ∈Γ �� � y X∈ ��

#$�����. În graful din figura 5.1. ( )2 2g x− = � ��&�.��� � �

����� ( )1 2,x x �� ( )3 2,x x � �� ��&��� �� 2x � �� ( )2 1g x+ = � ������ � �

( ) { }2 4x xà = ������ ( )2 3g x = ��

� 6��

�!��� ��� ""�� �� � ����� ������� ( ),G X′ ′ ′= Γ � �� ���� � �

( ),G X= Γ � ������� �� ����� G �prin suprimarea anumitor vârfuri

��������#�� � G′ ����� ������� G ����� ��������� ��������� ����

� � � ��� ������� ��������� � ������� ��� � �� � � ����� � G′ ������� � �� �������� � ���������� ��� X ′ ��

� ����� �� G′ ���� �������������� ������ � G ���� ���� ������ ���� � G � ����� �������� ���� ��� ��� � ��� � � ���� ��������������� ���

#$������

(��������

�(�����3���

În Fig. 5.4b. este prezentat subgraful G′ � �������� ��� � �����{ }5321 ,,, xxxx ��

�(�����3"��

��� ��(������3����&������$��������������� ��� G ′′ �� � �������� ( )32 , xx ���

( )53 , xx ��

�(�����3���

�66�

� �!��� ���"%���������������������������� ���������

vârfuri sunt adiacente.��

��9�0��-�������������������.��!��/������ ������.��!��������

În� �� "������� ��� � �� �� ��$ �8���� �� �>� ��� ������ �� ����������� ������� ��� � � �� �� ��� � �&���� ����� ��� ����� �� &����� ����������������������������

�������������������� ����

(�� �� ����� ( )Γ= ,XG � �� { }nxxxX ,...,, 21= �� *& ����

���&�� ����� � ������� � ����� � C �� ���� � �� ��������� &���( )

njiijcC,1, =

= ��

( )( )i

pentru ,1

0 pentru ,

i j

ij

j

x xc

x x

⎧ ∈Γ⎪= ⎨∉Γ⎪⎩

�������� C � � ��� � ������ ��� ������� �������� ������������������� �����&��������� �� ���� �������������G �

01����� ���4�� =� ��� ��� ����� 1� ��� ��� ���� ix � �����$�� � �� ��� ���

� ������������������ ix ������� �����������1�������� � ���� jx �

�����$�� � �� ��� � ����� �� ������� �� jx �� ��� �������� ��� �

� ����� ������ ��� ��� &&� �����$�� � 5 � " ���� ��� �������� ��&��$ � ���������$�� ����� ������� ��" ���������"�������������������� ��� 1� ��� ��� ���� ix � ��� ����� �����$����� � &"�� ��� ��� �����

"����� i ���������&���������������������1�������� � ���� jx ���������

�����$������ &"�� ��������������"����� j �ar putea face împrumuturi.�0�� ��� �� �������������������������� ����� ���������

+����������� ������8.���5������������� �������� �����9�� Gradul exterior al vârfului ix �&�� " ������.��������������

��� ��� ���� i � �� ������� C �� ��� ������ ���� �� ��� ������� 8.��� &�� " ������.��������������������� � ���� i ����������C ��

( ) ∑=

+ =n

jiji cxg

1

�� ( ) ∑=

− =n

kkii cxg

1

��

�������� ���������

��� �������� � ����� �� �������� ���� ������ ���� � &��� ����� �&��� �������� ( )

njiijdD.1, =

= ���� �������� ���������

&���������������������������în care���� ���&� ����������� ix ���� jx �

⎩⎨⎧

=0

1ijd �

��� �����&� ����������� ix ���� jx �

���

� 62�

�!��� ���"&���#����� �������� ( )ixp �a vârfului� Xxi ∈ �în

���� �� ( )Γ= ,XG ��������� � � � � ������� ��������������

�$ ������� ix ������ ���� � � � � ������������� „1” ���������

„ i ” ������������ D ���01����� ���4�� �������� D �������� �������� G �� ����������"&�� ��

&�����$�� �������� �� �������� G ��&�������

�� ��� � 0=iid �� ( ) 1,i n∀ = �������������G ������������'�

�� ��� ���&� ��� ����� i �� ni ,1= � ����������� 1=iid �� �����

��&� � ��������G un circuit care are ca vârf pe ix ��

0�� ��� � ( ) 0=ixp , atunci din vârful ix ���&���>������ ���

��&�������������� ���� ���9�� ��� � �������� D � ���� � ���� ����������� ������ �� 1�� �����

�������&��� ������������� ������ �������������&���������� 0 în D �����������&��������� �����

:����� ���" ������ �� ��� ���� ��� ����������� �� ����������� ������ ����� � ���� ������8�� ������ ����� ���� ��������������� 0 ���1����� � ���� ������ ����������� ������������ � �����

+ � 0 � 1�0 � 0 � 1�1� 0 � 1�

�*&������ ��� ����� ��� ����������� ��� ������ ����� �� ��

������� �������������������� ����� �����������&����4�� Pentru construirea liniei „ i ” din �������� D � + 1,i n= 5�

�� ����������������������?1” de pe linia „ i ” din matricea C ���

��� �

1

1

1

=

==

γ

β

α

i

i

i

c

c

c

��� �����

1

1

1

=

==

γ

β

α

i

i

i

d

d

d

��

0�� ( � &��� �������� " ���� �� &�� ��� � ����� α �� β �� γ � ���

�������� C la linia „ i ”; noile valori „1@��� ����&������� ������? i ” a ������� D '� ��� k �� l �� ����� m � � $ ��� ������ ��� ���&��� � � 8�� �� �������������

9�� *�� ��+" ����5� ����� k �� l �� ����� m ���� C la linia „ i ” trecând noile valori de „1@� �� ���� �� ���� ? i ” a matricei D ��� ���.����� ��&���.� �������� ���������&�� ����

�5�� ��������������� ijd �+ 1,j n= ) devin egale cu „1”;�

"5�nu mai apare niciun element egal cu „1”, caz în care locurile � ��&�� �"���� &�� � �������$ � �� $�� �� �� &�� ������ ��� ���� ? 1+i ”, �����������&������� ��� �������

���

�6<�

��9�9�� ��������������������������������������.��!����! � ���������

��� � ������ G � �� ���� ������� 8 �� &���� �������� D � ��drumurilor grafului, ordonând în prealabil vârfurile grafului în ��������&���&� � ����������� ������������'��&������� ����8�� �������„1@�����������8 ���� �������&������� ���������������

�� �������� ��� � �� ������ G � ��&� � �� ���� ��� ��� ix � ��� jx �� �����

( ) ( )ij xpxp < , deoarece orice vârf atins din jx �� ���������&������

ix �������������� " ��� �������� ���� ������ �������'�

�� ��� � ��� ��� �� � &"�� ��� 1=ijd � �� ji > �� �����

( ) ( )ji xpxp > � ����� ��� � �� ��� ������> �� ��� �� �� � � ���� �� ��

����&���� &"���*��&���� �����&��������� �����������$��'��������� D �&��8��

������ ������������$�� � ��������/&��� �8����� � � ��� � ������ { }nxxx ,...,, 21 a vârfurilor

������� �������� ����������������$�� ������� ( ) ( ) ( )1 2 ... np x p x p x≥ ≥ ≥ ��

*���&� � � �� ������� ���������� � ����������������������?1” ������������������������������� ��� ��&������������ ������������&���������

Într����8 ������&������ ���������8.���� ix �� �&��� ��� ��

0 1, 11

ik

ij

d k jd j i

=⎧ = −⎪⎨ = >⎪⎩

# ����&������ ���&� ������������� ix ���� jx �� �����������

�������������������������� ( ) ( ){ }jkki xxxx ,,, ��*�����8����

( ) ( )jkkj

ikxpxp

d

d>⇒

==

1

1��

����� kx este înaintea lui jx ���������8�� ����� 1ikd = ����������� �� �

�� ijd , pe linia vârfului ix ����������������&�&�� ���&�� ��.��� ��

*��&��� � �&���� � ������ ���" ������ ��� ��������������������������� ������� ����� ����������� � ���������&������

���������"� �23���4#56�������� � � ���� ����������� „ n ”

���� ������ ��� ��� ���������������� ��� ������ ����%�

( ) ( )2

1

1

−=∑=

nnxp

n

ii ��

01����� ��. Într��������� � ����������&� �������������������� �����

��� ������&���� ����������� ����� ( )1Hd � �� ( )2

Hd �������

�������� �����������&�������� ��� �8.���� ix �� jx ����$���� ��

������8��& ������������������& ����� �������� ����� ix ��� jx ��

� 6��

��.�������������������������������������������

������%�#��&������������ ( )

njiijdD,1, =

= �������� ������ ���&� ���

indice „ i ” pentru care 1iid = ���������������������������� �����A��������&��� �����������

��������

;����$�� ���������� � �����������&� �( )1

2

n n − elemente de „1”

������ ������ ���� ����� ���� �� &�� ������ ��� /����� 9�� ��� ��� �

�� ���������������„1” este mai mic decât ( )

2

1−nn�������������

��������� �����������&�7������8.���� �� ������������������ �����&������ ����

��������&���&� � ����������� ���������������

��9�3�� �������������������������onian în graf cu circuite��

*�� ��������������������������������� ���������������������� &������� �� &��&�� � � ���$�� �� ��� 8�� �� ��� ?1” în matricea ����� �� �� � � �� ��� � �&���� 8.���� �� ��� ����� &�� � ����������� � ��&��$ � ���'� "�� � ���&�� ��� �&���� �� ��� ���drumuri între vârfurile care corespund acelor valori de „1”. �

��� �� ������� ��� ��� ���� ����"�� & � � &��� � ���&� ����$�������� ���$��� �� ��� ����� ����������� ��� ���� ��*���������+4�695���������? ��� �������@��

,��� ������������������������� �������� ( )1M , care, în locul valorilor de „1@� ��$���� �� �������� "��� � �� ����� ��� ��$��$ � �&�� ����� ��&����8�� �����$������ ��in vârfurile care îl compun.

*&������ ( ) ( )( )njiijmM

,1,

11

== �������

��� ���&� ����������� ix ���� jx �( )

⎩⎨⎧

=0

1 ji

ij

xxm �

în caz contrar�

Prin suprimarea primei litere în matricea ( )1M � &�� " ��� �

������� ( )1~M � ��� � �� ���� ������ �� ������ #�� � ���� ���������

( )1M ��� ( )1~M ����� ���� ��������� �������� �� ( ) ( )1 1M L M� ��

;��� �������� ���������� ��&�������� ����������� ��� ������� ���������� � � �&�������� � � ��� ��������8 �� �.���� ���� ��

�� �� �&���������� �� �� ���������������������������&��������� ������ �������������&����� '�

�� �� �&���������� �� �� ������������������&��������� �au vârf co��'�

�� ��$������ � ������ � �&� � �� &������� �� � ������� ��vârfurilor componente ale simbolurilor participante.�

:��� ���� �� �� �&�� ����� �8��� ( ) ( ) ( )2 1 1M M L M= � ���( ) ( ) ( )3 2 1M M L M= � �� B� *�� ����� � ��� � �.� � ��� " ������

������� ( )1nM − , deoarece într��� ����� �� n vârfuri un drum ����� �������� 1−n �������

�21�

În matricea ( )1−nM � ����� � �� ���� ��� ��� &������ ������&&��� ���������������� ����������������

��� � � ���� ����������� �� ( )1−nM � &��� $�� �� + ( ) 0=−1nM 5������������������������� �����

01����� ���� :� ������ �&��� �����"�� ������ ���� ��� ��� ����� ������� +�� &�� � � � ����5�� ���� ������ �������� � � � ������ &����� ���� ���� ������������� ����.���������������������&���������� ����� ��� ���������&������ �+����&��5��

;����$�� ���������&� ������������������� ���������$�� ������&� �� � ���� ��� ?���� ��� "�@� ���� ����� ���� ����� ���� nduce la ideea de drumuri optime într���������

��

��3��Îndrumar pentru verificare/autoverificare��4��(���������� D �������� ���������

( )1 2 3 4

1

2

3

4

0 1 0 1 2

0 0 0 1 1

1 1 0 1 3

0 0 0 0 0

ix x x x p x

x

xD

x

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

# �&����������$�$��#��&�"������%�:���������������$���������� D ������ � &��������� ���

( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 4p x p x p x p x> > > ��

vom scrie vârfurile în ordinea { }4213 ,,, xxxx în loc de ordinea { }4321 ,,, xxxx ��*8����

3 1 2 4

3

11

2

4

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 1

0 0 0 0

x x x xx

xD

x

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

������&�������������������$�� �������� ����

0��(��������������� ��

( )1 2 3 4

1

2

3

4

0 1 0 1 2

0 0 0 1 1

1 1 0 1 3

0 0 0 0 0

ix x x x p x

x

xD

x

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��������� ����������� ���C���5� { }3 1 4 2: , , ,Hd x x x x ��"5� { }1 3 2 4: , , ,Hd x x x x ���5� { }4213 ,,,: xxxxd H ���5������ &��&�

% &��&�� ������5�

� 24�

���7������������������� � ����� �8�� ����1������� ��� �����������������������������&����& ��� ���

� � �����������

*8��� ( )1 2p x = '� ( )2 1p x = '� ( ) 33 =xp '� ( ) 04 =xp ����&����� ( ) 64

1

=∑=i

ixp �� ��������� 4=n �

��$�� �( )

62

1 =−nn��

Deci, se poate aplica teorema lui Chen, în G � ��&� � �� ���� ����� ����� ��� ���&��� �&���{ }4213 ,,,: xxxxd H ��

��

�������������������

������������������8�������������

"����������� ����� ������������������������������� � �����

(�����������

�20�

8�����

�5�

0 1 0 0 1

0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

1 0 0 0 1

0 0 1 0 0

C

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���

"5

0 1 0 0 0

0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

1 0 0 0 1

0 0 0 0 0

C

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���

�5

0 1 0 0 1

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

0 0 1 0 0

C

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���

�5������ &��&���%��������������� ��� ��&��$ � �����������������4�8�����

�5

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

D

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���

"5

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

1 1 1 0 1

D

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���

�5

0 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 0 0

D

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���

�5�������&��&���

&����������������������������D��

'��/&������8 ����� �����������������������8.���� ������������&��� ( ) 5=ixp �� 5,1=i D�

��

� 29�

����# �&������������� ���������������� �������������������������������5����"5�3���5�9���5�4��(��E��������������������� �������������� ������������������������� iid = �����)��E����������������������� �������������� ����������������� iid = ���� ( )i∀ ��

��������

��9�1���.��!����1��.��������

4�� ���� ,��� -�������� %��� !��� *��� , ��� %��� !.�$ � #��� ���������� ���� ������������ /�����(��� ��România de Mâine��!�������0116��

0�� ���� ,��� -�������� %��� !��� *��� , ��� %��� '������� �� ���������� ����������� /�����(��� ��România de Mâine��!�������011���

9��!���*�������������������� ����������� ����� ���/�����(��� ��România de Mâine��!�������0113��

3�� ���� ,��� '������� �� ������ ���� ������������ /����� (��� �� România de Mâine��!�������4�����

���7���&��������������������� ������������/�����(��� ��România de Mâine��!�������4��6��

����

��

������������� ���� �

���������������

���������

��������� �������������������������������� ������ ��� ���� ������������� ������� ��� ���� ����

6.3.1. Drumuri de valoare într������ ��!���������"������#������ 6.3.2. Flux maxim într����� ��� ����$�����������������!���������%�� �%��&��$��

6.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare����

�������������������'������� ���� ������$��$� ��( ���� ���������������)�• *������������������+������������ )�����������"������

��#������• ,� ���� ����$���)� ��+���+���������� ��-�����������%�� �

��%��&��$���!����� ����� � �������� ���(��������

��

�������� � ���� ������ ���� � ������ �����*�� � ������������ ���$��� �� �� �� �� ���.� $� ���� ��� ��

�������� $ �� $��$� � ������ �������������� �$�����+�� � �����graf utilizând algoritmul Bellman –� #������� *�� �$�����.� ��� ���������� $ � ��(����������������� ������ �����������������������%�� �%��&��$���

�������������������� ������������

��

� �/�

���

�������� �������� � ������ ����

�������Drumuri de valoare într�������� �������������!�������"���#��

%��� ( )Γ= ,XG ������ .�������� ������ �� ��� :ν Γ → ��� ,,,����

�$����( � ��� �������� ��Γ ��������������� ��0� �� ( )jiij xxvv ,= � ��� ( )vXGv ,,Γ= graful valuat. În

��(�����������.��������������������(��)� �$� �� ���� �� ������1������ �2-������$�����$����������� ��� ����$��������

3���� �� ���� { }kiii xxxd ,...,,

21= în graful G � ���� ����

��������������.�$�����������������������������.�� �� )�

( ) ∑−

=+

=1

11

k

hhihi

vdv �

4����$ � ����� �� ������5 d ” de la un vârf oarecare ix ����

vârful nx .������������������������ ( )dv �$ � ������� ��

Pentru aceasta, introducem „���� �� �� �� � �� ����� ���������”, ( )

njiijvV,1, =

= .� � � �)�

( )( )⎪

⎪⎨

Γ∉≠

Γ∈=

=

ji

jiijij

xxji

xx

ji

vv

,,pentru

,pentru

pentru0

���� ����� ( )kim �������������� ��� �������� d � �� ��� ix � ��� nx în

��� ��� �.���$� ��������� ����� ���������� ���������� k �����.����

im �������������� ��� �������� ����� ix ���� nx .���$� ��� ������ ��

���������� ����������1� � ���� ���� ���� ��������������2��!��������� �� ��$������ �� ���������� ( ) miim ,1= � $�� ��(��( � ���

��� ������������(� ��)�$����%� ���& � ����������� k ∈���000

'�������( ) ( ){ }k

jijnj

ki mvm +=

=

+

,1

1 min �

$����%� ��� ( ���� � ����� � k ∈ 000'� ������ ����� ( ) ( )1+= k

ik

i mm ��

������������ ni ,1= ���������

��� ( ) ( )si

ki mm = �� ( ) 1,i n∀ = �� ( ) 1s k∀ ≥ + �

�2� iki mm = �� ( ) 1,i n∀ = ��

��

����

������� ����������� ������������� �� � ���$�)���������6�� ��$� �� � ��� ��� ������ ( )vXGv ,,Γ= .� { }1 2, ,..., nX x x x= �

$����$����������������+�$ ��������������������� ( )njiijvV

,1, == ��

��������6��� ��� ��������� V .� �������$���������� ( )( )1

im .� ( )( )2im , …,

�$ ��)��2� ����� ( )( )1

im ������ �������$��$���������� n �����������V .�

( )t

njjnv,1=

-�

�2� ���$���7 � ������� � ����� ( )( )1,

ki

i nm

=� $�� ��������( �

����� ( )( ) nik

im ,11

=+ ��� ���������(� �����-�

�2� $������ ����������� �(���1�2��7 ������ �������� �� ������( )( )kim ���� ( )( )1+k

im �� ������

��������6�� ����� ������$��� ������������ ����� ix ���� nx ��$ ��)�

�� $�� � � � ����� 5 i ” din V � ��� ����� ( )( )1+kim � ��� �� ��$��

��(������ ����� ��� $�� ����� �� ���� 6 � ���$������ � �( ) ( )1k ki ij jm v m+ = + .����������������� �� ����������� ����� ix ���� nx �

�$�������� ( )ji xx , -�

�� $�� � ��� � ����� 5 j ” din V � ��� ( )( )1kim + � �� �7 � ��������

���� .�� �� � ���+����������������5 h ”, atunci al doilea arc va fi

( ),j hx x ������� ��8������$����$��� ���������� �� nx ��

������ ����������� ������������� ���� ���$����������6����$���������������V ����������������������$ ��)�

( )( )⎪

⎪⎨

Γ∉≠

Γ∈=

∞−

=

ji

jiijij

xxji

xx

ji

vv

,,pentru

,pentru

pentru0

��������6����������������� ������������������.� ��������$�����2������

( )( )1

1,

ki

i nm +

=�$����������( ����� ( ) ( ){ }1

1,maxk k

i ij jj n

m v m+

== + �

��������*���������� ����������+���$�� ����� ���� ����������������

������� .� �+��� ��� �7 � ����� � � �� ����$ � � � $�� ��� ���������������+��������$�� ����� ������ ����������������$��������

���

� ���

��������Flux maxim într����� ���������������

)����� ���& ������������������������ ( )pXG ,,Γ= �� � ���������������������� ���������������� ��������������� ������������� ����

��� ��� � { }nxxxX ,...,, 21= .� ������ ( ) 1,i n∀ = � �����

( ) Γ∈ii xx , ��

��� ����� � �� � ��� ���� Xx ∈1 � ��� ����� �� ���� � ������ ������������������ ������

��� ����� �������� ��� nx ����������� ���������������������

��� �� ���� ��������� G �������������������� ����������� 1x ���� nx ��

/�� !������������ ��� ��� :c Γ → ,,,�astfel încât� ( ) 0≥uc �������

���������� Γ∈u -��� ��� ( )uc �������������� ������� �������

)����� ��� (�� "���� �� � �� �#�� ���� XY ⊂ .� ��� �������� ��� ���������Y ��� ������������

( ) ( ){ } Γ⊂∈∉Γ∈=ω− YxYxxxY jiji ,, �

( ) ( ){ }, ,i j i jY x x x Y x Y+ω = ∈Γ ∈ ∉ ⊂ Γ ��

$���������� ( )( )( ) ( )

∑−ω∈

− =ωYjxixijpYc

,

� ����� ��� ����� � ��� �

( )Y−ω ��

)����� ���*��%���� ��� :ϕ Γ → ��� ,,,+� ���������� ������� � ����

������������ ( )pXG ,,Γ= ��� ��������������� ������������ ��)���� ���� ����� �� � ����������� )�

( )( ),i jx x∀ ∈Γ .������ ( )0 ,iji jx x p≤ ϕ ≤ ��

� � ���� �����������!�

( ) ix X∀ ∈ .������ ( )( )

( )( )

1 1

, ,

, ,n n

k j j hk h

x x x xjk j h

x x x x= =

∈Γ ∈Γ

ϕ = ϕ∑ ∑ �

,#����� ��� &�� �� � ��� �2� � ��� � � � ����� ������ �7� � x � ���

1xx ≠ � ��� nxx ≠ .� $���� ��+������� ����������������� �� � �� x � �$��

���� ����$���� ��+������������������������$� �� x ��,#����� ���(��%�� ��� ϕ ����$����� ��

)����� ���-��������� ( ) Γ∈ji xx , �$����������������������� �

în raport cu� ϕ ������������� ��� ( ),i j ijx x pϕ = ��

6�� ���� ��������� ����� ���� �� ���� ϕ astfel încât suma

��+������� ��� ������� ��� �� � �� nx � $ � ��� ��+�� .� ���������

������ ���������� ���� ���! �� .� ���� ���� ��+������ :ϕ Γ → ,,,+� ��$������ �� �� �����

( )pXG ,,Γ= �$����� �����$ �$�� ������� ��+��� �ϕ ����������)�

��9�

� ( )( )

( )( )

1 1

, ,

, ,n n

h n h nh h

x x x xn nh h

x x x x= =

∈Γ ∈Γ

ϕ ≥ ϕ∑ ∑ ��

$����%� ��� * � %��� ( )pXG ,,Γ= � �� �� ��� �� ���������� �� ��

����� 1x .������� ��� nx ���� :ϕ Γ → ,,,+��������������������� ���� G .�

�����)�

( )( )

( )( )

11 1

, ,1

, ,n n

i j ni j

x x x xi j n

x x x x= =

∈Γ ∈Γ

ϕ = ϕ∑ ∑ �1�2�

4��������

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

,, 1

, ,j n i

x x xx x xn n ij i

x x x x+− ∈ω∈ω

Φ = ϕ = ϕ∑ ∑ �

$��������������������� ��� ��+����� :ϕ Γ → ,,,+���

$����%� ��� - � "��� ( )pXG ,,Γ= � �� �� ��� �� ���������� ��� ����

XY ⊂ ����#�� �������������� ������� ����������� 1x ������G ������ 1x Y∉ -�

�� ������������ ��� nx ������G ������ Yxn ∈ ��

&���������������������� :ϕ Γ → ,,,+������

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ), ,

, ,i j i j

x x Y x x Yi j i j

x x x x c Y−

− +∈ω ∈ω

Φ = ϕ − ϕ ≤ ω∑ ∑ �1�2�

����������&���������"���"�'������

'���������������$� ����� � ���������� ���� $���������� ������ $��.� ����7��� ���� ���� ��������$�� ��.� �:������������������

3�� ��(�� ��$� ��� ������ ����� ��� $�� � ���� ��� ������������� %�� �Fulkerson pentru determinarea fluxului maxim într����� ��� ����$�����

$��������� 6�� ��$������� �� ��+� �� ���� 0ϕ .� ����� ���� �� ��� � ����� ����$��������� ��������7� ���� ��� ���������� ����������.�de exemplu chiar fluxul având componente nule pe fiecare arc al

�� ����.� ( ) ( )( )0 , 0, ,i j i jx x x xϕ = ∀ ∈Γ ��

$����� ���� %���$� � ����� ����� �� �������� ��� ���� �� ���(��������;�$.�$���������( � �� � ��+����� ���� 0ϕ ��$����+��-������ ������ ������������$�������� ������)�

�2� $������:��( �$��$���� ����� 1x cu semnul „ + ”;�

�2� vârfurile ( )1xx j+ω∈ vor fi marcate cu „ 1x+ <� �� �������

( )jxx ,1 ��$���$����-�

�2� �� � �7� ��� jx � �$�� �;�� ������ ��� �� � ����� �� �7� �

( )jk xx +ω∈ � ������ ( )kj xx , � �$�� �$����.� ��������� m vârful kx �

prin „ jx+ ”;�

2� �� � �7� ��� jx � �$�� �;�� ������ ��� �� � ����� �� �7� �

� �=�

( )jk xx −ω∈ ������� ( )jk xx ����� ��+������.����� ���7� ��� kx �����

„ jx− ”.;�

'� ����� ���� ���� ����� ���� �� �������.� ����� �7������ �������$��� ��)�

��� *�� � �$�� ��� nx ����� �������$��������.������ ��+����$��

��+����������������$������ ����� *�� � �$�� ��� nx � $��� ���������.� ����� ��+��� �� �$��

��+����������� ��� $�����$ ��)��2�$���������� ���� ����� 1x ���� nx -��2�pe arcele drumului marcat cu „ + <� ��+���$����;����( ������

������θ � �� ��+�1 ���+������ 1=θ 2-��2�pe arcele drumului marcat cu „�>� ��+��� $�� ��������( � ���

�������������� θ -� 2� ��+���������������������$��$�:��� -��2�$�����������3�$�������!��������� ���� �� �� �� ��� �� ����.� ���� ��+��� ��+��� $��

������7 ������������ ������� � �$�� ��� nx ����� ������

,#����� ����? ������ ��+�����$������� ��������������� ��7���unitate, evitându�$�� �$ ��� ���������� ����� ��� ���������.� �$ ��)� $����$� �� ��� ����V format din drumuri marcate cu „+” sau „�” ce ����� 1x ���� nx .������ ��� $����� �� ��7� ������������� ��$�$���

����� nx �� ��� 1x ��0� �� +V ���� ������������� ( )yx, �� �� y ��$��

���������5@<���� −V ���� ������������� ( )yx, �� �� y ��$������������„�<�������� ��

( ) ( ){ }uucVu

ϕ−=θ +∈min1 �

( )uVu

ϕ=θ −∈min2 �

��� { }21 ,min θθ=θ ����$��� ��� � 0>θ �����$���� ��������

? ������� θ ���� ����������� u V +∈ ���������� ����� θ ���� �������

����u V −∈ .��� �7 ������������� ��+�� ������θ ��6�� ���� � ����� �� ���� ��� ��+��� �� ���� 4�������� ��+�����

��+��� $�� � $���� �����(7 � �� ���� � ���� $��������� ��� �� ����� ���7� ������� ������� �� ����� �������� ��� ���������� ���$��� �����������(� � ��+��� ��+��.� $��� � �7 � ��+������ �������� ��� �������������� nx ��

�����Îndrumar pentru VERIFICARE/autoverificare��

& � Vârfurile 1 2 7, ,...,x x x � �����(� � ������ ���.� ���� ��� ����� �$�� ����� � ����� �+��� ����

controlului în punctul jx � �� �� �������������������� ix ��������� ����������$��( ������6 �$��

������������������ �������.� ���� 1x ���� 7x ���

�9A�

�%��������

��2� { }1 2 3 7: , , ,d x x x x .��

�2 { }1 4 2 7: , , ,d x x x x �

�2 { }1 2 4 7: , , ,d x x x x �

, $��$��������2�(�)������)������������$�������������V ��������������������)��

� 1x � 2x � 3x � 4x � 5x � 6x � 7x �

1x � 0 � 2 � 6 � 11� ∞ � ∞ � ∞ �

2x � ∞ � 0 � 4 � 4 � 9 � ∞ � ∞ �

3x � ∞ � ∞ � 0 � 1� ∞ � 11� ∞ �

4x � ∞ � ∞ � ∞ � 0 � ∞ � ∞ � 9 �

5x � ∞ � ∞ � ∞ � 6 � 0 � 14 � 19 �

6x � ∞ � ∞ � ∞ � 4 � ∞ � 0 � 13 �

7x � ∞ � ∞ � ∞ � ∞ � ∞ � ∞ � 0 �

� � � � � � � �( )( )1im � ∞ � ∞ � ∞ � 9 � 19 � 13 � 0 �( )( )2im � 20 � 13 � 10 � 9 � 15 � 13 � 0 �( )( )3im � 15 � 13 � 10 � 9 � 15 � 13 � 0 �( )( )4im � 15 � 13 � 10 � 9 � 15 � 13 � 0 �

����������2� � �� �� ( )1

im ������������V .�������$����$��$���������� ( )7 1,7j jv

=-�

�2� ������ ����������V ����������� ( )2im .� ( )3

im .� ( )4im ���� �� ��

( ) ( ){ }kjij

j

ki mvm +=

=

+

7,1

1 min �

!�� ��.� ����� ����� ( )2im .� ������� ������ ( )2

1m � $�� ����� � � �7 � ��������� ������ 1� ��

��������V ������������������� ( )1im .������������ ����������� �� � �� ���������� ����

� 9��

( ) ( ){ }{ } 200,13,19,911,6,2,0min

min 17,1

21

=∞+∞+∞+++∞+∞∞+

=+==

kjj

jmvm

( ) ( ){ }{ } 130,13,199,49,4,0,min

min 27,1

22

=+∞∞++++∞+∞∞+∞

=+==

kjj

jmvm

( ) ( ){ }{ } 100,1113,19,19,0,,min

min 37,1

23

=∞++∞+++∞∞+∞∞+∞

=+==

kjj

jmvm

( ) ( ){ }{ } 90,1311,19,09,,,min

min 47,1

24

=+∞+∞++∞+∞∞+∞∞+∞

=+==

kjj

jmvm

( ) ( ){ }{ } 15019,1314,019,69,,,min

min 57,1

25

=++++∞+∞∞+∞∞+∞

=+==

kjj

jmvm

( ) ( ){ }{ } 13013,013,19,49,,,min

min 67,1

26

=++∞++∞+∞∞+∞∞+∞

=+==

kjj

jmvm

( ) ( ){ }{ } 000,13,19,9,,,min

min 77,1

27

=++∞+∞∞+∞+∞∞+∞∞+∞

=+==

kjj

jmvm

3��������� ( )3im ���������� ( ) ( ){ }2

7,1

3 min jijj

i mvm +==

)�

( ) { } 150,13,15,119,610,213,020min31 =∞+∞+∞+++++=m �( ) { } 130,13,159,49,410,012,20min32 =+∞∞+++++∞+=m �( ) { } 100,1113,15,19,010,12,20min33 =∞++∞+++∞+∞+=m �( ) { } 990,13,15,09,10,12,20min34 =++∞∞++∞+∞+∞+=m �

( ) { } 15190,1413,015,69,10,12,20min35 =++++∞+∞+∞+=m �( ) { } 13130,013,15,49,10,12,20min36 =++∞++∞+∞+∞+=m �( ) { } 000,13,15,9,10,12,20min37 =+∞+∞+∞+∞+∞+∞+=m �

3��������� ( )4im ���������� ( ) ( ){ }3

7,1

4 min jijj

i mvm +==

)�

( ) { } 150,13,15,119,610,213,015min41 =∞+∞+∞+++++=m �( ) { } 130,13,915,49,410,213,15min42 =+∞∞+++++∞+=m �( ) { } 100,1113,15,19,010,13,15min43 =+∞+∞+++∞+∞+=m �( ) { } 990,13,15,09,10,13,15min44 =+∞+∞++∞+∞+∞+=m �

( ) { } 15190,1413,015,69,10,13,15min45 =++++∞+∞+∞+=m �( ) { } 13130,013,15,49,10,13,15min46 =++∞++∞+∞+∞+=m �( ) { } 000,13,15,9,10,13,15min47 =+∞+∞+∞+∞+∞+∞+=m �

��$��� ��� �������� ( )3im ���� ( )4

im ������ .����� �����$������$���

B������������ ( )4im ������(� �������������� ��� ��� ���� ����������;������ 7x ��

���

�9��

��������6��� � ������1� ��V ���� ( )4

im ���� �� ��$����(����������.�������$��15 .��������������� ��

( )21 , xx ��

6��� � ������ 2 � ��V ���� ( )4im .���(������ �� �13 .���� ������������� �� ( )42 , xx ��

6��� � ������ 4 � ��V ���� ( )4im .���(����������� �� �9 .�����������$��( ������ �� ( )74 , xx ��

*���.� ����������� ����� 1x ���� 7x ���� �� { }1 2 4 7: , , ,d x x x x ���� ( ) 17=dv ��

�(��6����$� �� ���� ��� �� �����������6 �$�� ������������������+�� ��� �������� ����� 1x ���� 6x ��

�2� { }1 2 3 4 5 6: , , , , ,d x x x x x x .��

�2� { }1 2 3 5 4 6: , , , , ,d x x x x x x �

�2� { }1 2 4 3 5 6: , , , , ,d x x x x x x �

, $��$������)��2��

�%��������

�(�)��������!���� ������������"������#��������������������� ��$�$����(��������������� �����

V � 1x � 2x � 3x � 4x � 5x � 6x �

1x � 0 � 5 � 8 � 18 � ∞− � ∞− �

2x � ∞− � 0 � 6 � 10 � 12 � 21 �

3x � ∞− � ∞− � 0 � 9 � 11� 23 �

4x � ∞− � ∞− � ∞− � 0 � 8 � 16 �

5x � ∞− � ∞− � ∞− � ∞− � 0 � 9 �

6x � ∞− � ∞− � ∞− � ∞− � ∞− � 0 �

� � � � � � �( )1im � ∞− � 21 � 23 � 16 � 9 � 0 �( )2im � 34 � 29 � 25 � 17 � 9 � 0 �( )3im � 35 � 31� 26 � 17 � 9 � 0 �( )4im � 36 � 32 � 26 � 17 � 9 � 0 �( )5im � 37 � 32 � 26 � 17 � 9 � 0 �( )6im � 37 � 32 � 26 � 17 � 9 � 0 �

� 9��

�( ) { } 340,9,1618,238,215,0max21 =+−∞+−∞++++∞−=m �( ) ( ){ } 29021,912,1610,236,210,max22 =+++++∞−+∞−=m �( ) ( ) ( ){ } 25023,911,169,230,21,max23 =++++∞−+∞−+∞−=m �( ) ( ){ } 17016,98,160,230,21,max24 =+++++−∞∞−+∞−=m �( ) ( ){ } 990,90,16,23,21,max25 =+++−∞+−∞+−∞∞−+∞−=m �( ) ( ){ } 000,9,16,23,21,max26 =++−∞+−∞+−∞+−∞∞−+∞−=m �( ) { } 350,9,1718,258,529,034max31 =+−∞+−∞++++=m �( ) { } 31021,912,1710,256,290,34max32 =++++++∞−=m �( ) { } 26023,911,179,250,29,34max33 =+++++−∞+∞−=m �( ) { } 17016,98,170,25,29,34max34 =++++−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 909,90,17,25,29,34max35 =+++−∞+−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 000,9,17,25,29,34max36 =++−∞+−∞+−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 360,9,1718,268,531,035max41 =+−∞+−∞++++=m �( ) { } 32021,912,1710,266,310,35max42 =++++++∞−=m �( ) { } 26023,911,179,260,31,35max43 =+++++−∞+∞−=m �( ) { } 17016,98,170,26,31,35max44 =++++−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 909,90,17,26,31,35max45 =+++−∞+−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 000,90,17,26,31,35max45 =+++−∞+−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 370,9,1718,268,532,036max51 =+−∞+−∞++++=m �( ) { } 32021,912,1710,266,320,36max52 =++++++∞−=m �( ) { } 26023,911,179,260,32,36max53 =+++++−∞+∞−=m �( ) { } 17016,98,170,26,32,36max54 =++++−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 909,90,17,26,32,36max55 =+++−∞+−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 000,9,17,26,32,36max56 =++−∞+−∞+−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 370,9,1718,268,532,037max61 =+−∞+−∞++++=m �( ) { } 32021,912,1710,266,320,37max62 =++++++∞−=m �( ) { } 26023,911,179,260,32,37max63 =+++++−∞+∞−=m �( ) { } 17016,98,170,26,32,37max64 =++++−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 909,90,17,26,32,37max65 =+++−∞+−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 000,9,17,26,32,37max66 =++−∞+−∞+−∞+−∞+∞−=m �

����� �����$������$������.�� �������� ���������� ( ) ( )65

ii mm = ��4����������+�� ��� �������� �����

1x ���� 6x ��$��37 ��

�����

�9��

���������*����� ��$����$��������������� ��������+����$ ����� �����2� ! � ������� ( )6

im ���������1� ��V .������������+�� ��� �� ��$��37 �� ������������$�� ��

������ ( )21 , xx ��

�2� ! � �� ����� ( )6im � ��� ����� 2 � �� V .� ��������� ��+�� � �� �� � �$�� 32 .� ������ ��� ��

( )32 , xx ��

�2� ! � �� ����� ( )6im � ��� ���� 3 � �� V .� ��������� ��+�� � �� �� � ��� �� 26 .� ������ ��� ��

( )43 , xx ��

�2� ! � ������� ( )6im ��������� 4 � ��V .������������+�� �17 .�����������$��( ��� ( )54 , xx ��

/2�! � ������� ( )6im ���������5 � ��V .������������+�� ���� ��9 .����������� ( )65 , xx ��

*����������$��( ������ �.� ���� { }654321 ,,,,,: xxxxxxd ���� ( ) 37=dv ��

��������������������

������������������.��������������

& � 6�� ��$� �� � ��� ��� �� ������ ����� 6 � $�� ������� ��������� ���� � �� �������� �� ����������������������

1x ���� 6x ��

�2� { }1 3 6: , ,d x x x �

�2� { }1 2 6: , ,d x x x �

�2� { }1 4 6: , ,d x x x �

�2. Pentru a transporta în 6 � ������ �� ��� �$���� $���.� �� ��� ������ ���� ����� ��������� ��

�� ����� �� ���� ;�$.� ��� � � � �������� �� � ���� �����(����� �����(� � ������ ���� �������.� ������������ ��������.�������������� ��+��� ���������$�����( ���������-�$�� ������� $����� ��+�������+��� ����$�����

� 9/�

�%���������

���������

��!�#�����������#������������

1. Duda I., Trandafir R., Baciu A., Ioan R., Bâr( � 6�.�*���������� ������ ����������.� B �����%� � ����România de Mâine.�"�������.��AA���

��� *� �� ��.� C�� � ��� ,�.� "����� !�.� ���� ,�.� ��������� �� ����������� ���������.� B �����%� � ����România de Mâine.�"�������.��AA/��

���"�����!�.�Matematici aplicate î�������������� ����� �.�B �����%� � ����România de Mâine.�"�������.��AA���

��� *� �� ��.� ��������� �� ����#� � ������ ����������.� B ����� %� � ���� România de Mâine.�"�������.��===��

/������$���D:�.�*��������������������������.�B �����%� � ����România de Mâine.�"�������.��==���

���������

�9��

�������

� ���

����

���������

�������������������

������� ��� ����� ��� ����������������������� � ���� ���������� ��� ������� �� ��� ������ ������� ����� �������������������������� � ���� ������������� ������� ������� ��

�������� �� ��������������������� ������ ����� ������ ���������������� � ���������� �� � ����� � � ���� � ������ !�������� ������ � � � ��������� � �� ��

����� � ���� ���������� �������������� �������� ���������������� ������"��������� �

#$�������%��&���� ���'��(�� ���%��$���� ��(��� ���������������� �����������

) �����*�� � �România de Mâine��+,,��������+-+.+��/����� ���������� dobânda, ������� ���� � ������ ��� � � ������ ������

procent mediu înlocuitor, ������ ��� � ����������� ��������������������� ������������� � ���� � ����� � ��� �� �������� ������� � ��� ��� �� �������� ������� � ������ ���� �� ���� �� ������������� �� ������������������������ � ��������� �� ���������������������� �� � ��������� �� ������������

����

������������������������������������������������������

� �0�

��

������������� ������

DOBÂNZI�����

��� ����

���1��$������������+���� ��� ������ �������� ����� � ���2� ��������3��4� ������ � ���2� ����������3�1��������� ��� �������3�+�������������� �

7.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare��

����1�� ��������������"�� ��������2� ������������ �� ���� ����������������5��• ������ � ��� ����� ��� �������� �� ������������� � �

��� ������������� ������� �� ��� �

• ���� ������� ����� �������������������������� � ���� ������������� ������� ������� �

���

���+����������������������� ������� ������� ������

��� ������������������� �� � ���2� ����������������� ������ ��� ����� ���������� � �� �� ������������������������dobânzilor simple sau compuse.�

��

����� ������������ ����+�������

�0,�

��3����� ���������� ������� �����

��3�1���� ������ � ��

6� ���� �� ��� � �� ������� � ���� � �� ���� ����� dobânda.�Dobânda �������������� ����������� ��������� ������ ������� ������ ���������2��������� �����

������� ����� � ����� ������� ������ ����������� ���� � ����� �� ��� ����� ���� � ��� ������ �� � �� 1,,� �� � � ��������� ���� ������������������������������������� �71,,���

������ �� � � � �������� #����/� ��� � ��� �� �� �� ��� �� ��dobânda: �

100

SpD Si= = � #1/�

����������������� ������.� ���������� � ��� ������ � ��������

100

S p tD S i t

⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = � #+/�

�!������ ��5�"�� � ������������� �������38,���� ���� �� ������

�� �����3,���� ������� � 0S � –� ����� ����� ���� � ��� ��� ��� ���� �� ��� ��� �

� ��� �������� ������"��� �������������"��� �����5��( )0 0 0 0 1tS S D S S it S it= + = + = + � #3/�

#���� ���� ���������� �������

* �� ������� nSS ,...,1 � �������� ��� ������ � ������� � ��� ��������

ntt ,...,1 . Suma dobânzilor aduse de cele �����������������������������

2���� ������������ �������� ����������� �� ��9����� �������������� 5��

1 1 2 2 ... n nS t S t S tt

S

+ + += � #:/�

� ��������� ������ ���� $���� � 1 2 ... nS S S S= + + + ������ ������������� 5��

1 1

1

...

...n n

n

S t S tt

S S

+ +=+ +

� #-/�

� ��������� ������ ���������* �� ������� nSS ,...,1 � ������������������� ntt ,...,1 �� �������������

1 2, ,... np p p ��%���tul mediu înlocuitor �� ������ ����� ������� ���������������������� �������� ���������� ���� ������ ����� 5�

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

......

n n n

n n

S i t S i t S i tp

S t S t S t+ +

=+ + + � #8/�

���

� 01�

���3�+���� � ��� �� �

����� ����� ������������ ������ � ��� �� ����������� ���� �� ��� ����� ���� �� �� � ��� ����� ����� � ��� � �� ������ � ��� ��������� � ���� � ��� ��� � ������ �� ������� ��� ����� � � ��� � 2���� ������� �����5��

* �� 0S �–���� � �� ���–���������� ��–��������������������

���� � 0S �#�� ��2����/�� tS �–������� �� ��� ������ ����� �100

pi = �

������ ��� ����� 5�

' � ���������� ����începutul anului�

����������� �2�� ��������� �

������ �� ��������� �������� �

1� 0S � iS0 � ( )iSS += 101 �

+� ( )iSS += 101 � ( )iiSiS += 101 � ( )202 1 iSS += �

� � � � � � � �t � ( ) 1

01 1 −− += t

t tSS � ( ) iiSiS tt

101 1 −

− += � ( )tt iSS += 10 �

��� � ui =+1 � ��� � � �� ����� �� ����������� � � �� 2� �������� �� ���� ������ ,...3,2,1=t � ������ ��� ��� �������� ���� � ������ �� ����� 5�

( ) ttt uSiSS 00 1 =+= � #�/�

������������ ����� ��������. întreg:�

( )[ ] ( )111 00 −=−+= tt uSiSD � #�/�

���� �� ����� ����� 5��

( )01

1

tt tt

S S S vi

= =+

� #0/�

��� vi

=+1

1�"���������������&�����

& ���������������� �� �#0/��� � ������������

�'�� ��5���� � ������ �� ��������� �� ���� � 0S nu este, în genera��� ��

�� �� 2������ � � ����� �� ������k

hnt += �� '���� �� � ���� � ������

����������������� 5�#�� ����� ��� ��������������������#�/��������������2����� �

����� ������������ �� ��� �� �������������������� � �� � 0S ����

� 5� ( )nn iSS += 10 ��'����� ���� �� nS ��2�� ��������� � �

k

h ������� �����

��� �� ��� ����������������������� ��� ��k

hiSn ��'������������ �5�

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++==

+ k

hiiSSS n

k

hn

t 110 � #1,/�

reprezentând ��� ��� �� ��� � ��� ������� �� ������ "���� când se

������� � �� ��� � 0S � ��� �� ���� �k

hnt += � 2� ��� �� �� ��� �

������ ��

�0+�

#�� ��� �������� � ������ ����� 0S � ������ � ��� �� ��� �� �

k

hnt += ������ ( ) ( ) k

hnt

t iSiSS ++=+= 11 00 ��

������� 5�1�� 4������ ����� ������� �� ����+�� ��� �� ������ �� � ����� �� � ��� �� � ��� �� �������� ���������

����� � �����1 i u+ = este în tabele financiare atât pentru puteri întregi, ����� ����� ������

3�� !���� ���� ���������� ������ 0S ������ �2���� ������� �

� ��� �����2���� ������� ������� �� ��� �2���� �������� �����%������ � � ��������"�� ���($�� ���� �� ������� 1p �� 2p ����� �� �����

������������������ 1t �� 2t � �������� ��������� 1 1

2 2

t pt p

= ��

�'�� ���* �� ai ������� ��� ����� �� � si ������� ��� �������� �� ��

'��� ��� ai � � si ������� ������� �1 2s ai i= ��

!������ ���1������������ �2���� ������� ������� ������������� ��

ai �� ���� ����� ( )1 ai+ �����

1� ����� ������ � 2� ��� �� �� ��� � � ��� � ��� ������������ �� � si �� ���� ����� ( ) ( )1 2 u.m. 1 u.m.s ai i+ = + �

1� ����� ������ � 2� ��� �� �� ��� � ������ � ��� ������������ �� � si �� ���� �����

( )2 2

21 1 1 1

2 4a a

s a ai i

i i i⎛ ⎞+ = + = + + > +⎜ ⎟⎝ ⎠

��

�%�������������������"�� ��� )$�� ��� � 1p �� 2p ����� �� ����� ����������

�������� 1t �� 2t � �� �������� ����������� �� ����� �� ������ ��� � ��� ���� ���������������������� �

( ) ( )1 2

1 21 1t t

i i+ = + *� 1 21 2;

100 100p p

i i= = �

#11/�

��� �2�� � ������2� �� � �������� �������� ���������� �����

an se ia dobân��jk�� ���� � ����� � ��� �

jk� ����� ��� ����� � ���

��������� �� ��� ������ 5�

1 1k

ji

k⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

� #1+/�

��� � !� ���������� ��������� ( reprezentând suma dobânzilor percepute în cele ����� � ����/�����

� 03�

!��� � � � ������� ���� �� ���� ��������� ����� �� � � ����������� ����

1 1k

ji

k⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

� #13/�

��� � 2� ���� �� ���� ��� � ����� k → ∞ �� ��� 1 ji e+ = ����

( )ln 1j i= + ��

!������ ���1������ �2����� ��1 ji e+ = ��� este dat în fiecare interval de timp

( ),t t dt+ ������� ��� ��������������� � ( )ln 1 iδ = + ���������;����

2�� ������� ���������������� � ��# δ ���������� ������������������/��

+��� ( )ln 1 1i i eδδ = + ⇔ = − �

������� �� eδ �2���� ��<��=��� �� ��� ��5�2

... ...2

ni

nδ δ= δ + + + + > δ i⇒ > δ �

���

��:��Îndrumar pentru verificare/autoverificar���

($� ������+,�,,,���������������� �� �����:-�� ������������������������>��4�������� ������� �� ��������� ������������ ������ � �?�#2���� ���������� ���� ��1��738,���� ��/��

�/+,,�����9��/�++,,,�����9�/�+,+,,�����9�/�+++,,�����% �����������5��/��+�&�������

0D=S it �#���� ������� �� ��� �/�

� ,7+,�,,,������ 8% 0,08p i= ⇒ = 9��":-�� ���7 45360

�� �

8 45D 20.000 D 200100 360

= ⋅ ⋅ ⇒ = �����

f 0S =S +D �� �

������ f 0 0S =S +S it ��

������ ( )f 0S =S 1+it ��

������ fS =20.200 �����% �����������5��/��)$�Ce devine suma de 20.000 u.m. în regim de ��� � ������ � ��� �� ��� �� � �� :� � � ����

������������������8>���>���>��0>�?���/�+,��,,����9��/�+��,,,�����9�/�+8��,:����9�/+���,3�����% �����������5��/����

�0:�

�#��������

( )( )( )( )f 0 1 2 3 4S =S 1 1 1 1i i i i+ + + + �

1 1=6% =0,06p i⇒ $

2 2=7% =0,07p i⇒ $

3 38% 0,08p i= ⇒ = $

4 49% 0,09p i= ⇒ = $�

fS =20.000 1,06 1,07 1,08 1,09⋅ ⋅ ⋅ ⋅ �

fS =20.000 1,06 1,07 1,08 1,09

20.000 1,3352

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ == ⋅

fS =26.704 �����% �����������5��/�

�������������������

�������������������,�������������

($� ���������� �1� ������ � � � ���������� � ���� ���������� �+� �� ��� ��� �����5� � +,,,� �����������������������-,,,�������1,�,,,����������������������������0>��1,>��1+>��������� ��#�����/���38�� ����3��� ��������� ��������������'��� ����� ���� ��2���� ������#�2��� ������ ���� �2���� ���������� ���� �� ���� /5�

�/�:�� 9��/�����������9�/�++,�� ��9�/�1:+�3�� ����)$� 4�� ��� � ����� �� ���� � ��� � �� 2� ��� �� �� ������ ��� � �� ������ ��� ������ :� � � ���

����������������1,>�� �������� �� ���-��-8:�����?� �

0S = �����$� ����������������������� � �� ��� ���� ���1,�,,,�� � ����������������� � �������� �� ����������������

-��� ����������������->�#��� � �� ����� ���� ��� /���/ 5

812

15082,35S+

= ����9��/� 58

12

23082,35S+

= �����9��/ 58

12

65083,75S+

= �����9��

/ 58

12

13508,85S+

= �����

� 0-�

-$� ����������������������� � �� ��� ���� ���1,�,,,�� � ����������������� � �������� �� �������������-��� ����������������->�#��� � �� ����� �������� �� /��

�/� 58

12

12077,77S+

= �����9��/� 58

12

15077,97S+

= ����9��/� 58

12

18077,97S+

= �����9�/� 58

12

25077,37S+

= �����

���������

��.����/��"������/��������

1�� ���� $��� &���� �� %��� (�� ��'��� $���%��� (��� � ������������� ���� ������������ ) �����*�� � �România de Mâine��(������� ��+,,8��

+�� ���� $��� &���� �� %��� (�� �� '��� $��� %��� %������� �� ���������� ����������� ) �����*�� � �România de Mâine��(������� ��+,,-��

3��(�� ��'�������������������������������� ����� ���) �����*�� � �România de Mâine��(������� ��+,,:��

:�� ���� $��� %������� �� ������ ���� ������������ ) ����� *�� � � România de Mâine��(������� ��1000��

-�� ��������@�������������� ���� ������������ ) ����� *�� � �România de Mâine��(������� ��1008��

���

����

��

������������� ���� �

����� �����������������

���������

��������� �������������������������������� ������ ��� ���� ������������� ������� ��� ���� ����

���������������� ���� ������8.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare�

���

��������������������������� ���� ����������� �� ���� �������� ���!��

• "������������� ������������• #������� ������• $������������������������

���

�������� � ���� ������ ���� � ������ �����

#�� � ������%����� ������� �� �� �� �� ���&� �� ���� ��� '���������� � � �'����� ������ ������ �� ���� ��� � � �� ���������� ����'����������%��� ����������

��

�������������������� �� ��������������

� �(�

�������� �������� � ������ ����

������������ ��������������

���� ���!��������������� ����� �� ���� ���� ����������� &� �� %������ � ������

����������&� ����� ���� � � ����� �� ��� � � ������ ���� �� ���������� ������ ����� ��) ��

������� �������� � � ���������� �������� �������������*��+������ ���� ������ � ��� �������� �� �������� �,�**�� ��� ������� � � �� ������������ ����� θ ��-��������'��� ������� � ������� ��&������'�!�

( )0 1 , un anK S i= + θ θ ≤ �

����

( )0 1 , un anK S iθ= + θ ≥ �

.�/�

� �!�− ��0����������������� ������� ��&�− $*�0���� � ������ ����&�− ���0 dobâ ������ ����� ���#�� � ��� �� ����� �� 1θ < θ &� � �� � ��� 1t = θ − θ � �) � ���

��� � &����� �������'���) � ������ �������������&���������� ��������������������"���� ����������

( )1 0 11 , un anK S i= + θ θ ≤ �

����

( ) 1

1 0 11 , un anK S iθ= + θ ≥ �

.�/�

� �!����0��������������$*����������� 1θ ��-�������� ���� � �� ���� ��� .��������� ����� � ��� �������

�) �����������/����������� 1 tθ = θ − ������ ��������-��� ���� ������ �'��� �� ���� ��������� ����� � �� ���

������������� ���&�������aS K K= − � .�/�

����� ��������� � ���� �� ����� ��������������� �������� � ��� ���� �������� ����� ����� � ������� ������ ��� ������ �� �� ���� � � ������ ��� � ������ � �� �������� ��� � ��������� ������������������

#��.�/��� ����aK K S= + � .1/�

���aK K S= − � .2/�

+�'��������'������� �������������� ��!����$��������� ������������� ������� ��) ������#���������� ����������� ��) ������ � ��) ������ ��% �

���������&����������������� �� ������������

����

����������������� �����&����������'�� ��) �� � � �������������� ��&���� ��) ������ ���

aSSR K jt= � .�/�+�'��&��� ������������ ���� ����������� ��!�

1a KK

jt= + ���� ( )1aK K jt= + � .(/�

����

100

1100

qK t

SSRq

t=

+�����

1Kjt

SSRjt

= + &�

.�/�

� �!�− 100q j= ������� ������.�������� �����������'���%���

���� �'���� ���������� ����������������� ����,�**�/�− ��0� ��) ������ � ������− �0� �������� ����.� ���� �����/���������� &�������������������%��3�� &���'����

�4��≅ ���

�������� ���.�/� �����SS Kjt= � .�/�

������������������5���� ������� �� ����� ������������������������

���������� ������� ���������#� ��� ��� � ��� '�� ��) �� � � ��

�������������� ������������ ��&���� ��) ������ ����SSC Kjt= � .�*/�

���( )1aK K jt= − &� .��/�

����

1

aKKjt

= − �� .��/�

��$����� ������SSR SSC< &� � �� � ���� ����� �������� ������� �� �����

������ � � ����������� ��&��������� ������������������������������������� ����

���$�������������������������������� ���������� ��������#��.�*/����.�/��� ���!�

( )1SSC SSR jt= + � .��/�����

1SSCSSR

jt= + � .�1/�

��������������� este cel în care calculelele se fac în regim de

��) � ������ �� #�� � � ��) �� ��� ����� � ������� �������� ��� ��� ��) ������ � �&���������� �� � .�� ��%��� �� ��) ������� /&������ �������������������� �����&������

�����������������5���� ���������������� ������������������������������������&������

� ���

#�� ��,����������,���&������ ��.�/�����!�

1j

SSRj

= + &� .�2/�

��"��� ���%&�������������� ���������� �����������

1j

dj

= + &� .��/�

����1d v= − &� (16’)�

����& 11

vj

= + ����������������������������������������

����%��� �� ��) ������� &�����������

( )1taK K j= + � .�(/�

��&� �����) � �'�� ��� �������� ������� �� ����&� �� ���� ����������������� ����� �

( )1 1taSCR K j⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦ � .��/�

����

( ) ( )1 1 1t tSCR K j K v

−⎡ ⎤= − + = −⎢ ⎥⎣ ⎦ �� .��/�

#��.�(/�% ����

( )1a

tKK

j=

+��� �

6�� �� �

( ) ( )2 11 1 ...

2t t t

j jt j−

+ = + + + �

��������%��3��������� ��%�� ���������������%������ ���.������ ��� � ��) ������ ������&����%�����&���� ������� ��'������ /�����avea în (19):�

111 1

KjtSCR K

jt jt⎡ ⎤= − =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

� �

��� ���� ������ ���� ��� ����5���� � ������ ������� �� ����� ��������� ������ ������� ���������&� $��&� ����� �� .��/� % ���� � ������������������������������

aSCC K jt= � .�*/�� ��

1a KK

jt= + ��� .��/�

���( )1aK K jt= + &� .��/�

��$����� ������ SCC SSR SSC= < 7�

���#�� �8���&�����! ( )1 1t

j jt SCR SCC+ < + ⇒ < �

���#�� �,���&�����! ( )1 1t

j jt SCR SCC+ = + ⇒ = �

1��#�� �9���&�����! ( )1 1t

j jt SCR SCC+ > + ⇒ > �

��

��**

��1��Îndrumar pentru verificare/autoverificare�

���:�� ��� ��*��*���**�����'������� �� ������� ����������� ����*�***�����&���) ���� � ���*� �������� )� ��&� ��� �������� ����� �� �*;��#�� ������������&� ���������� ���� ��� �� ��� � � ������������������������� ����� � ��$��������������������� ������� ��������� � � K = ����

����������!�$*,��*�***������

10% 0,1p i= ⇒ = �

1010 luni=12

θ = �

177 luni=

12θ = �

3 112 4

t = = �

��/ ( )0 1K S i= + θ ⇒ �

( )10120.000 1 0,1 130.00012

K = + = ������

���:�� ��� ��*��*���**�����'������� �� ������� ����������� ����*�***�����&���) ���� � ���*� �������� )� ��&� ��� �������� ����� �� �*;��#�� ������������&� ���������� ���� ��� �� ��� � � ������������������������� ����� � ��$����������������'��� ������� ���������������� ����� 1K = ���&�

<� ������!�( )1 0 11K S i= + θ ⇒ ��

( )17120.000 1 0,1 127.000

12K = + = ������

���:�� ��� ��*��*���**�����'������� �� ������� ����������� ����*�***�����&���) ���� � ��10 luni mai târziu, cu procentul anual de 10%. Din diverse motive posesorul po�� ��� �� ��� � � ���������� ������ ���� ����� ����� � ��$�������������������� ������� ��&������) � ���������������� ����������������=�,�;��

� ...aK = �

��������!����� �������������������� ����!�

1a KK

jt= ⇒+ 1 18% 0,08q j= ⇒ = �

����������������������� 130.000 127.45011 0,084

aK = =+

�����

1��:�� ��� ��*��*���**�����'������� �� ������� ����������� ����*�***�����&���) ���� � ��10 luni mai târziu, cu procentul anual de 10%. Din diverse motive, posesorul po�� ��� �� ��� � � ���������� � ����� ���� ����� �� ��� � ��$�� �������������� ���� � ������ ��&� �����) � ������ ��������� ����&������������=�,�*;&��

� ...aK = �

� �*�

������������� �������������������� �����

1a KK

jt= + �

2 210% 0,1q j= ⇒ = �

130.000 126.83011 0,14

aK = =+

�����

�2��:�� ��� ��*��*���**�����'������� �� ������� ����������� ����*�***�����&���) ���� � ��

�*� ���� ���� )� ��&� ��� �������� ����� �� �*;�� #�� ������� ������ ���������� ���� ��� �� ��� � � ������������������������� ����� � ��$�������������������� ������� ��&�����������������������&������������=�,�;&��

� ...aK = �����������În cazul scontului simplu comercial�

( )1aK K jt= − ��

1 18% 0,08q j= ⇒ = �

( )1130.000 1 0,08 127.4004

aK = − = �����

��

�������������������

������������������'�������������

���:�� ��� ��*��*���**�����'������� �� ������� ����������� ����*�***�����&���) ���� � ��10 luni mai târziu, cu procentul anual de 10%. Din diverse motive, poseso���� ���� ��� �� ��� � � ������������������������� ����� � ��$�������������������� ������� ��&�����������������������&������������=�,�*;&��

� ...aK = ��

��*�

(&������� �������������� ��������� ���**�***���������������� � ������2��������������� ���;��#�� ������������'���������������=�=8% în regim de scont compus, se cere:�

-������������� � K = �����)&������� �������������� ��������� ���**�***���������������� � ������2��������������� ��

�;�� #�� � �������� ��� '���� ��� �������� =�=8%, în regim de scont compus, se cere:cât va primi ���'����������� ����������� ����� � >�.?��� � ����������������� ����/��

�� ...aK = ��*&������� �������������� ��������� ���**�***���������������� � ������2��������������� ��

�;��#�� ������������'���������������=�,�*;&�����%��� ������������&���������� �������� ���)�������������'����������� ����������� ����� � >�.���� ���������������� ����/�

� ...aK = ��+&������� �������������� ��������� ���**�***���������������� � ������2��������������� ��

�;��#�� ������������'���������������=�,�;&�����%��� ������������&���������� �������� ���)�������������'����������� ����������� ����� � >�.���izând scontul compus comercial)�

...aK = ��,&������� �������������� ��������� ���**�***���������������� � ������2��������������� ��

�;��#�� ������������'���������������=�,��;&�����%��� ������������&���������� �������� ���)�������������'����������� ����������� ����� � >�.���� �����������������������/�

� ...aK = ��-&�:�� ��� ���*�*���**1����� ���������������������� � ��������������� ��,�2�***�����&�

��� ������� � �����������*���**1��$��������� ������� ��������� � �������� ��������������!��• ������ ��������;�• �������� ����������������������*&�;�• ������������'�����&2�����• �5 ������������'�5���&�;�• ���� ��% � �� � ���� ��� ������ �$�������������������� &������) ��������������������������

...aK = �� ��:�� ��� ���*�*���**1����� ���������������������� � ��������������� ��,�2�***�����&�

��� ������� � �����������*���**1��$��������� ������� ��������� � �������� ��������������!��• ������ ��������;�• �������� ����������������������*&�;�• ������������'�����&2�����• �5 ������������'�5���&�;�• ���� ��% � �� � ���� ��� ������ �$�������=��������������� �����&�=�,�**��&�����=�����������'�����.���� ���������/� �����&�

=�,�**����/�=�,��&��;&�=�,��&�(;7��/�=�,��&1�;&�=�,��&�(;7���/�=�,��;&�=�,��&��;�

�.&�@���� �� �� ����� ��� nQQQV +++= ...210 �

�%/&�<��� ���������� ���������������.� ���� ��������������%������� ����/����!�

( )1 1 1p p p pT T Q i Q+ +− = − − �

� �*�

�%%&����� �� �� TTi = &������� ni ,...,1= 7��������������� ����

�/� 0 1(1 ) 1

1

niV Q

i

+ −=+

7��/� 0 1(1 ) 1ni

V Qi

− −= 7��/�i

iQV

n 1)1(10

−+= 7� /����� ������

�����������

��0�$���1��"����$��1���������

��� #� �� ��&� A�� �'��� <�&� B�����+�&� ����<�&� B)� � $�&���������� ������ ���������&� @ �����C� � ����România de Mâine&�B�������&��**���

��� #� �� ��&� A�� �'��� <�&� B����� +�&� ���� <�&� �������� ��� ��������� ���������&� @ �����C� � ����România de Mâine&�B�������&��**2��

���B�����+�&�Matematici aplicate în economie���� ����� �&�@ �����C� � ����România de Mâine&�B�������&��**1��

1�� #� �� ��&� �������� ��� �� �!� � ������ ���������&� @ ����� C� � ���� România de Mâine&�B�������&�������

2�� ��������DE�&���������� ������ ���������&� @ ����� C� � ����România de Mâine&�B�������&�������

���

����

��

������������� ���� �

�� ���������������

���������

��������� �������������������������������� ������ ��� ���� ������������� ������� ��� ���� ����

�������������� ����������� �������� ���� ����9.4. Îndrumar pentru verificare/autoverifi�����

���

�������������������

!������� ���� ����������� ��" ���� �������� ���#��• $� ��������� ������������������������

• %������������� �������������&��� ������� ������'��������

• $� ����������&��� �����

���

�������� � ���� ������ ���� � ������ �����

(�� �������)�������������� �� ���� ��� ��� �������&����������� ���"�������������� &�������� ��� ������ ��� �� ������� � ����������� ��� ��*��������� ��������� ���� ���+��

��

�������������������� �������������������

� ��,

�������� �������� � ������ ����

������������ ������������� ��������� ����������

$� ���� �������� ��� �� ���� ����� ��� &��� ��� ������ ������ �� ��- � ���������������������&� �� ���������������������� ���������������� ��timp între dou ��� �������"� ��������� ��(�� �������� ���������� �������� ���� �������������� � � �� ������� ������ ��������� � ������� ���� ��������� ������������ � � �� � ������ �� ���� ��������� � ����� �� ���� ��������� ������������� � � ���� �� � ������ �� ���� ���� � ����� �� ���� ������������������ ���

������������ ����� $� �������&�#�− �����!���� �� ���������� ���������������.�− ���������� �� ���������� �������������$� �������&����� ��- ����� ������������� ������$� �������&�#��–������������� �� ��� ���� ���� ������&���*��������������+.�− ���"���������� .�− ��������� �� ��� ������ ���������������������$� �������&�#��− ������������ �� ���������&��������&-������&��� ���������� �.��− ����������� �� ���������&���������������&��� ���������� ����

�/�0� ���

Pn

S ���������#���� ����������� ������ ������������

Pn

A ���������������� ����������� ������ ������������

1 2, ,... nT T T ��� ����

1 2, ,... ni i i � ��-"�������������&������������� ����� ��������������� �� ����������� ����&���������������������

amânate� �� ���������&���� �� ����� �� ���������+������ �������!����$���!%�&�������!�����

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

1 2 3 2 3 4

1

1 1 ... 1 1 1 ... 1 ...

1

Pn nn

n n n

S T i i i T i i i

T i T−

= + + + + + + + + +

+ + + �

*�+�

1�������� ��

( ) ( )n -nn 0 0 nS =S 1+ S S 1+i i⇒ = �

���������) ���

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 11 1 2 2 1 1 11 1 1 1 1 ... 1P

n n nnA T i T i i T i i i

− − − − − −−= + + + + + + + + �� *�+�

�+������ �������!����$���!%�&������������

( ) ( ) ( )1 21 2 11 1 ...... 1

n nPn nn

S T i T i T i T− −

−= + + + + + + + � *�+�

���2

����

( ) ( ) ( )1 21 21 1 ... 1

nPnn

A T i T i T i− − −= + + + + + + �� *�+�

�+������ ������������$���!%�&�������!�����

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

2 3 3 41 1 ... 1 1 1 ... 1 ...

1

Pn nn

n

S T i i i T i i i

T i T

= + + + + + + + + +

+ + + �

*,+�

����

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 11 1 2 2 1 1 11 1 1 1 1 ... 1P

n n nnA T i T i i T i i i

− − − − − −−= + + + + + + + + �� *2+�

+������ ������������$���!%�&�������������

( ) ( ) ( )1 21 1 ... 1

n nPn

S T i T i T i T− −= + + + + + + + � *3+�

������- ������� ���

( )1 1n

Pn

iS T

i

+ −= ��

*4+�

����

( ) ( ) ( )1 21 1 ... 1

nPn

A T i T i T i− − −= + + + + + + �� *�+�

������- ������� ���

( )1 1n

Pn

iA T

i

−− += �

*��+�

��!����� ������(�� ��5������) ����

( )1 1n

ni

si

+ −= ��

*��+�

���������&��� ����������� ����� ����������������������(�� ��� ���� ���� ������������� n → ∞ ��������������� ����&��

1limn

P

n

v TA Ti i∞ →∞

−= = ��*��+�

���

�����Îndrumar pentru verificare/autoverificare��

���(�� �������������� ����&��������&-���� ��� ����������" �������� ����������� �,�������� �3��������� ������������������� ��36 �46 ���6��������������������&��� ���&� ������������7�

�+�,���,�����.��+��3���������.�+���432����.� +����32������1 ����������#��+����������

( )( ) ( )3

2000 1 0,08 1 0,1 5000 1 0,1 7000 14.876PS = + + + + + = ������

����(�� �������������� � ���&��������&-���� �������������" �������� ����������� �,�������� �

3��������� ������������������� ��36 �46 ���6������������������������� ���&� ������������7��+��,���, �3�������.��+���3�� 2�������.��+����432����.� +�����32 ,2�������1 ����������#��+�

� ��3

���������%������������� #�

32000 5000 7000 11702,6941,07 1,07 1,08 1,07 1,08 1,1

PA = + + =⋅ ⋅ ⋅ �

���� 8�� ������" � ���� �� ��� �� � ��� �&-������ &��� ���� � � ����� �� �������� ����� �� ��)��� �� ��

��- ������� ����������������� ����6��������������������&��� ��������� ��������������� ��������������� ���7�

10PS = ��� �

10PA = ����

10

10

1,1 1200.000 3.187.484,60,1

PS−= = ������

10

10

1 1,1200.000 1228913,40,1

PA−−= = ������

��

�������������������

������������������'��������������

()�(�� �������������� ����&��������&-���� ��� ����������" �������� ����������� �,�������� �3��������� ����������������� ����6��������������������&��� ���&� ������������7�

�+�,���,�����.��+��3���������.�+����������.� +�,��32�������*)�(�� �������������� ����&��������&-���� ��� ����������" �������� ����������� �,�������� �

3��������� ����������������� ����6������������������������� ���&� ������������7��+�,���, 2�2������.��+��3���� �,������.�+����������.� +����� 2�2�������+)�(�� �������������� ����&��������&-���� ��� ����������" ������ ��3��������� �������������

������ ��36 �46 ���6��������������������&��� ���&� ������������7��+�����2�����.��+��,���������.�+�����2���.� +�,�����������

���4

,)�(�� �������������� ����&��������&-���� ��� ����������" ������ ��3��������� ������������������� ��36 �46 ���6������������������������� ���&� ������������7�

�+�����2�����.��+��,���� ��������.��+��4��2 ������.� +��,���� ����������,��8����� �� �� ����������&��� ����������� ����� ����������� ������������� ��� ������� ��

������������� ��-"����������� ����#�

�+1

1 1

nnpn k j n

k j k

S T i T−

= = += +∑ ∏ .��+�

1 1

nnpn k j n

k j k

S T i T= = +

= +∑ ∏ .��+�11

1 1

nnpn k j n

k j k

S T i T−−

= = += +∑ ∏ �

�-)� 8����� �� �� � ��������� ����� � �� ���� ���� �� ��� �� ��������� � ��������� ��� ��� � ���

��� ��������������� ��-"����������� ����#�

�+ ( ) 1

1 1

1kn

pn k j

k j

A T i−

= =

⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∏ .��+� ( )1 1

1 1

1kn

pn k j

k j

A T i− −

= =

⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∏ .��+� ( )1 1

1 1

1kn

pn k j

k j

A T i− −

= =

⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∏ �

�.)�8����� �� �� ����������&��� ����������� ����� ����������� ������������� ��� ������� ��

������������� ��-"������� ����#�

�+ ( )1

1n

n kpn k

k

S T i−

== +∑ .��+� ( )

1

1

1n

n kpn k

k

S T i−

== +∑ .��+� ( )1

1

1n

n kpn k

k

S T i−

−=

= +∑ �

���������

��/�!���"��#����!��"���������

��� (� �� �� � 0�� �&��� 1� � 9����� �� � ���� 1� � 9-�" � 8� �� �� ���� ��� ��� �������� � � : �����;� � ����România de Mâine �9������� ����2��

��� (� �� �� � 0�� �&��� 1� � 9����� �� � ���� 1� � ������ �� ��� � �� ���� ��������� � : �����;� � ����România de Mâin� �9������� ����,��

���9������� �� �� �������� ����������������� ���� � �: �����;� � ����România de Mâine �9������� �������

��� (� �� �� � ������ �� ��� ����� � ��� ��� �������� � � : ����� ;� � ���� România de Mâine �9������� �������

,����������<'� �� �� ������� ����������� � �: �����;� � ����România de Mâine �9������� ����2��

���

� ���

��

������������� ���� ��

�� ������������������������������������������

��� ���!�

����������� �������������������������������� ���� �� ��������� �������������� �� �� �� ��������� ���

10.3.1 Împrumuturi�10.3.1.1 Amortizarea unui împrumut pr����� � �������������������������������� � ��� ��� � ������������� ���������� !�� ���� � ���������������� � ��� ��� � ����������� ����!�� ��� � ��������� ���� � ��

"�������#�10.3.1.4. Împrumuturi cu amortismente egale�

10.4. �� ������ ���� ����$� ���� ��������

����������������������� ������������ ���������� ���% � � �������� � ��&��• '� �����������(������%�����• Împrumuturi�

���

��������� � ���� ������ ���� � ������ �����) � ���� (����������� �� �������� ����� ��� ����� ����������

� � � ����� � �� � ��� ��(��� ��� ��� � �� ��� � � ���� ��%�� ����������������� � �������������������(��������� � ���

����" �#��#$%������� ��&��������

����

��������� �������� � ������ ����

��������Împrumuturi�

*��� �������� � ������� ��� ������� ��������� �������� 1P �"������� ��� �� � ( ���� � ��� �����#� ������% � �� � � � ��� ������ ��� �������� ������� ��������� ���� � ����������� 2P �"������� ����� �( ����� ��������#��

����� � ������������ 2P ���� ���� �� 1P �� ���������������� ��������� �������� ������ �����%�������� � � ���+����� � ������ ���������������% ����� �������� � ������ �������* �������� ������ ������� � � �� �� ��� �� ����%�� ���� � ��� ��� � � � ��� � ����������������

�������������������� ��������������� � ��� ����� �� ��������������

,��&� 0V � –� � ��� ��� � � � ��� ����� �� ��� ����� nTT ,...,1 � –�

�� � ����"��#�� ���������"������� ���� ������� � ����� !�� ����� � ����#�� n �–�� ��������������� � ���� 1,..., nQ Q �-�������������� ��������

��� �� �� ��� ������ �� �� ��� ��� �� n -�� ����� i � –� ���!���� ��� � ��împrumutului.�

� ������������������������������ �� � �&��

.������ /���% �� )��!�� � /� � ��* ��� ��� ��

������ ��� ---� ---� ---� 0V �

�� 1Q � iVd 01 = �111 dQT += � 101 QVV −= �

� � � � � � � � � �p �

pQ � iVd pp 1−= � ppp dQT += � ppp QVV −= −1 �

� � � � � � � � � �n � nQ � iVd nn 1−= � nnn dQT += � 01 =−= − nnn QVV �

��'!���� ��&���� 0���� ����������������� ��������(������ � ������� ������ �

�-�� �� ������ �����������% �������)�������� ������� � � n ������ ������� ��%��� ������ � � ���

������� �� ������ � � ������(�� �� �� ��������������&�

nQQQV +++= ...210 � "�#�)��������������� ��������� � ���������������"������ ���� �

�������(������ � ���#����&�( ) pppp QiQTT +−=− ++ 111 � "�#�

/� � ������ ���� � ������������

� ���

������������������������� ��� ���������� �� ������ �������������������� �����������������

������� �� TTi = ������� ni ,...,1= ��/ ��������"�#������

( ) pp QiQ +=+ 11 �

����� ����&�

�i

iQV

n 1)1(10

−+= �� � "�#�

������������������������� ��� ���������� �� ���������� � ��� ��� ���� �������� ������ ��������

1�� �������� ����� � �� ��� �� ���� ���!���� ��� � ��� �� ��� ����������� ������ ��� � �� ����� 0V ���� iVV 00 − ��

'�� � ��������������� � �������!����������� ���% ��� ���� ���� ���������� ���������� �������� �� ��������� ���

0���� ����� ���� � ��� ��� � ���� ����������� ���� � �����&��

/���� /���������� Dobânzi� /� � ��* ��� ��� ����

��� ����� !�� ���� � ��

�� ---� iVd 00 = � ---� iVV 00 − �

�� 1Q � iVd 11 = � iVQT 111 += � 101 QVV −= �

�� 2Q � iVd 22 = � iVQT 222 += � 212 QVV −= �

� � � � � �p �

pQ � iVd pp = � iVQT ppP += � ppp QVV −= −1 �

� � � � � �

n � nQ � iVd nn = � iVQT nnn += � 01 =−= − nnn QVV ��

)�� � 0=nV �� ���� nn QT = ���

)� ��� ������ ��� � ��� ������������ pppp QiQTT −−=− ++ )1(11 ���

)�� ��� � ����� ��������������� � TTi = �� ni ,...,1= �� ����

0)1(1 =−−+ pp QiQ ������ ���pp

i

QQ

)1(1

1 −=+

, rezultând

])1(1)[1(

)1(01 n

n

ii

iiVQ

−−−−= ��

��������2��Împrumuturi cu amortismente egale�

�)�� � QQi = �� ni ,...,1= �����"�#��% � �n

VQ 0= ��,�������������

� � ����"�#��� ����&� ip0

p1p QTin

V-TT −==+ ��

Tabloul de amortizare a unui împrumut cu amortismente egale este ������� ��� �� ��� � ����%���� � �� ��� � � ���� �� � �� �������������������

����

���2��Îndrumar pentru verificare/autoverificare��

��+�� ��� � ����������� ���� ���% ��� �� ��� ��� ���2��������� ��� "�� � �#� ������������������� ������� ���� ������34������������� ����������5�

1 ...Q = ��

��������50005,01000001 =⋅== iVd �

'�� �����������( )

12,232011

01 =−+

=ni

iVQ ��

������������������������������� 12,232011 =−= dTQ �

(��+�� ��� � ����������� ���� ���% ��� �� ��� ��� ���2��������� ��� "�� � �#� ������������������� ������� ���� ������34������������ ���������� �% ���5�

...T = �

��������50005,01000001 =⋅== iVd �

'�� �����������( )

12,232011

01 =−+

=ni

iVQ ��

���������������������������������� 1 1 2820,12T Q d= + = ��)���������� ������ � ��� �������3����� ����������� ���% �� ������ ��%�����2������ �

����� �� ��� 34� ���� �� � �� ���������� � � ���������� �(����� ���� ���� �� ����� ���� ���� ���������������������������������5�

2 ...T = �

��������

)��� 250000 =V �����62��% � � 62504

000.250 ===n

VQ ��

,���������� ��� ip0

p1p QTin

V-TT −==+ ���� ����� 2 7125T = ��

��������������

� ���

���!��������#����*���$���#������

��+�� ��� � ����������� ���� ���% ��� �� ��� ��� ���2��������� ��� "�� � �#� ������������������� ������� ���� ������34����������������������������5�

3 ...Q = �

�(� Un împrumut de 40.000 u.m. este rambursabil în cinci a��������� � ����������� ����!�� �

�� ���� ��������� ���� � ��� ����������34������������� �����������5�1 ...Q = �

�)���������� ������ � ��� �������3����� ����������� ���% �� ������ ��%�����2������ �

����� �� ��� 34� ���� �� � �� ���������� � � ���������� �(����� ���� ���� �������� ������� �% �5�

...Q = ��+���������� ������ � ��� �������3����� ����������� ���% �� ������ ��%�����2������ �

����� �����34������� � ������������� ������������(�������������� ��� ��� ������� �� � ����������������������5�

2 ...V = ��

��������

��,�'#�$-��.���$'#�-��$����

��� ) ��� ���� 0���� �� 7��� 8��� �/��� �����7��� 8!% � *������������ �� ���� ��� �������� 9�� ��, ��� ����România de Mâine��8 � ��������:��

��� ) ��� ���� 0���� �� 7��� 8��� � /��� ����� 7��� ����� ��� ��� ��������� ��� ������� 9�� ��, ��� ����România de Mâine��8 � ��������3��

���8��� �/�������������������� ���� �������� �� ���9�� ��, ��� ����România de Mâine��8 � ��������2��

2�� ) ��� ���� ����� ��� ��� � ��� � �� ���� ��� �������� 9�� �� , ��� ���� România de Mâine��8 � �����������

3������� �;<�������������� ������� ��������9�� ��, ��� ����România de Mâine��8 � ��������:��

�������

���2

����������

� ���

����

��������

����� ��� �����������

������������ ���� ������������ ���������� ������ �������������� ������������ �������� ���������� ���������������� �������������� ����������������� �����������

������ ��� ��� ���������� ������ �� ������� ��� ����� ��� �� ����� �� ��������� !��� ������������ ������ �� �������� ������� "�������� ��������� �� ��� �� ������� ���� ���������#�� ����� ����������������������� � $���������������������������%���������

&����� �������� ������ #�� ���������� ��� ������� ������� ��� ����� ���� !��� ������������������ �� �������� ��������

� ������������� ������������������ ����� ���������������������������'���������� ���� ������������ �������� ���

�()��!�����&������������������ ����&��)�����*���$�� ���������������� ������������

+�������"���� ����România de Mâine��,--.�������,/-',0�1��

������������ ��� �� �� ������������������ ���������� �� �� �� �������� ����������������������� �� ��������������������� �� ����������������������� ����� �� ���� ��������������� ���� � �� ��� ��� ��������� ���� ������ �� � ��� ��� �� ������ ������ ��������limitate sau amânate; ���� ������������������ �������������������� ��� �������� ����������� ���� � ��� ������������ ������ ����� � ��� ������������ ���� ������ ��� ��������������� � ���� ����������������� �������������������� ���� ��������

���2

������������������������������������������������������

� ��.

��

������������� �������

����������������������������������

���������

�������)������ ��������,��3��� ������ �� ������ ������� ������#�� ���������4����� ���������� ������#�� ����

��������4����"�� ���������� ����������������4�,����������������������#�� ��������������� �������#������������������������������

11.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare����

�������������� �����În� ��������� ��� #�� ���� ��� ��� ������� � �� ������� ����� ���

������ ���� ����������• "�� ��� ������� ��� ��� ��� ��� �������� ������ ������ �� ���

��� ���������� �����������• ������ �������������� ����������������� ���������

���

����,����� ������� ���� ����� �������� �����!�� � ��� �������� � ������ ���� �� ��� #�� ����� ��������� ��� ���

������� ��������� ��� ������������ ����������� ���� ���������� � � ������������������������� � ����������� ��� ��������������� ����� ������� ��������� ��

���� ��!��!������� �� �,�������

���/

���4����� ��������� �������� ����

5� ������ ��� �������� ��������� � ����������� ����� ���������� ����� ������������������� ���������� � � ������������� ���������$������������������� ���� ������������ ��������� ���

!�� � ������� ���� ������ ���� (����������� ���� �� �������1� ���� ��������� ������������������������� ��������������

������� ��� ��� ���������� ���� ����� ��� ����� ���� ��� #� 6��������������� ��� � ��� � � � ������"������!� (������� ���� ���� ����� ���� ����� ��� ���������� ���� ����� ������� ��� ������� �1 �� ���"����!�(������� � ���� ������� ���� ���� � �� ��� �� �� � ��� ����� ������� �������� ���������������� ����������������1��

����������������������� ���� ��������������������������������#�� ���� ��������� �� ������ �� ������ 7����� � (������ � ���������� �� ���������� ���1�� � ���� � � (������ � � � ����������� ���� ���� #��������� ���������������� ����� ���� ��� ��� #�� �������1� �� ��6�� � (������ �� 6��������������� ������������������1���

+ 6������������ ��� ������ ��� ���������� ����� ��� � ��� ������� ��������� ����� ������

������ ���� ���������������!����

���������� � �� ���������� �� ����� ����� � ���� �� ������ ������ ��������� �����������!� ��������������� ��� ������������� ������

�����!������� ����!���! �������!������� ��1

n

kk

P P=

= ∑ ��

��

�#�$�� ���%��&�� ��

���4����'��� ���(�� ������

"�� ����������� �� ���� ���������������������������������)�8����������� ����������� ����� ������ �� � ������� �� �� ������ �$��������%������������ ������ ���� ���*'au întocmit tabele de mortalitate ����$��� � ����%����������'������������� ������--�---������ � � ���� ����������������� �������� �������������������� ���

�*��(�(�!����������� �+����� �����

��� ����• ( ), 1xp p x x= + �������������� ����������� � #���$��� ������

����� �����#����� ����9������• ( ), 1xq q x x= + ��������������� ����������� �#���$��� ������

����� �����������#����� ����9������• ( ),p x y ��������������� ����������� �#���$��� ����������� �����

#����� ���"�����

� ��0

• ( ),q x y ��������������� ����������� �#���$��� ����������� ����

�������#����� ���"���������

1x xp q+ = �� (�1�

( ) ( ), , 1p x y q x y+ = �� (,1�"��������$��� ����������� �#������� ��"����� ��

( ) ( ) ( ), , ,p x y p x z p z y= �� (41���

'��� �������������� ������

"���������� �������� ���������������#���$��� �����������5���,��� ��� ��� �������� ����� �� ��� ����� ��� ��������� ���� � ��� �� ��������� �� �7���� � � #������ � �� ����� ��$��� #�� ������� ����������� �� ��� � #�� � ��� �� ���� ���� ��� � ��� �� ����� � �#������ �� ��� �������������������������� ���������������� �

:x x n xn

xX

C p q −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�� { }0,1,...,x n∈ �:� 1p q+ = ��� ( ),p p a x= � (;1�

�-(����� ���

�1� ( ),p p a x= ��������������� ����������� �#���$��� ����������� �

����#����� ���������,1� an l= ��� ������������������� �� ���������41��� �������������������� ���7����� ��� ��� �������������

( ) xM X l= �(������������������� �������������#��$��������������

#1���$��� ���� �#�������� ���������������� ������

( ) ( ),xM X l np a x= = ������� a x y< < �

( ),yl np a y= �(�1�

<���� �����

( ), y

x

lp x y

l= ��

( ), x y

x

l lq x y

l

−= ��

(21�

���������

( ) 1, 1 xx

x

lp p x x

l+= + = ��

( ) 1, 1 x x xx

x x

l l dq q x x

l l+−= + = = ��

(.1�

������

1x x xd l l += − � ��������� � �� ��� ����� ��� ��������� ���� �� ��������������� ��� � ���������#������� ���9������

5�� ��( ),n xp p x x n= + � �������������� �� �� ������� � #�� �$��� � ��� ��

����� ������ ��� �������

��,-

( ),n xq q x x n= + ��������������� ����������� �#���$��� ����������

� ��������� ��� �������( )/ ,m n xq q x m x n= + + � �������������� �� �� ������� � #�� �$��� �

���������� ��� ������#������9�� ���9������� ��� ����

x nn x

x

lp

l+= ��

x x nn x

x

l lq

l+−= ��

/x m x n

m n xx

l lq

l+ +−= ��

(/1�

�&�� �� �����

�<����������������� ��������������� ��������� '������� ��� �

�� ������� � #�� �$��� � ��� �� ���� ��� ��� ��� ��� �� ����� (��1���������� ��������������������� �������

1/ 2 / 1

1/ 2 1 1/ 2 ... 1/ 2:

...x x n n x

nX

q q q+

+ +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

���:� ( )xe M X= �� (01�

�����

��� 112

x

x nn

xx

l

el

ω−

+== +

∑�

(�-1�

�����4�,�����"�������������� �������.������������� ������

la împlinirea term���!���������"�������

3� ������� � � #�� �$��� � ��� �� ���� ����� ���� � �� ���������� #��������� ��� ����� ���� �� ��� ��� � ���� �� � ����� #�� ��� �� ������ �� ������������� � n xE ����������������������������������������� �������

0:

n

n x n x

vX

p q

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��� (��1�

����������� �������� ����������

( ) x nn nnn x x

x

lE M X v p v

l+= = = �

���� n xE ��� �������� �����������������

5�� xx xD v l= � �� �� ��� ���� ���� �� ��� � �� ��� #�� ������

actuariale pentru toate vârstele ����� ����������������� ���

x nn x

x

DE

D+= � (�,1�

!� ������������� ������$���������� ��������

x nn x

x

DP S E S

D+= = � (�41�

���

� �,�

���;��Îndrumar pentru verificare/autoverificare��

�)������������������� ���� ������������� �#���$��� ����;-�������������� ���� ���� �#����������� ���� ����� ��������������������������� #� ����#�� �������������� ����� �� #���������$������������������������-�---�---����=�( 40 5512055, 5802,3D D= = 1�

*/)))��

%��������&�

%��� x n

x

DP S

D+= 0��( ��� �

55

40

5.802,310.000.000 10.000.000 481318912.055

DP

D= = = �

1)�>������ � ( ) 1x

l xω

= − �� 0 x ω< < ������ ����

�1� t xx t

px

ωω− −=

−:��1 t x

x tp

x

ωω− −=

+:� 1� t x

x tp

x

ωω− +=

−:��1������ �������

& ������ ��� ����1��

%�������� �

( )( )t x

l x tp

l x

+= � �� ( ) 1

xl x

ω= − ������ ���

1

1t x

x tx t

px x

ωωω

ω

+− − −= =−−

�����������������������

��,,

�����������!����2������!������

��������������������������� ����������� �#���$��� ����;-������ �����#����� ��������������=�( 40 5584855, 77603l l= = 1�

15 40p = �����

,��>������ � ( ) 1x

l xω

= − �� 0 x ω< < ������ ���

�1� t xqx

ωω

=−

:��1 t xx

qxω

=+

:� 1� t xt

qxω

=−

:��1������ �������

4��������� ��� ( ) 1, 1 x x xx

x x

l l dq q x x

l l++= + = = �

�;���*����� �� ���������������������$����� n xE ��

�1 x nn x

x

lE

l+= :��1� x n n

n xx

lE v

l+= :� 1� x n x

n xx

lE v

l+= �

����5� ������ ���� ���(����� �#��������������������1�������

�1� xx xD u l= :��1� x

x xD v l= :� 1� ( )1x

x xD v l= + :��1����� �������

���������

����(!��"��,����(!�"��������

��� !���� )��� ���������� &��� �� ������� )����&��� �$�� � *������������� ���� � ����������� +�������"���� ����România de Mâine���� ��� ����,--2��

,�� !���� )��� ���������� &��� �� ��� ���� )���� &��� '�������� ��� ���������� ��������� +�������"���� ����România de Mâine���� ��� ����,--���

4���� �������������������������������������� (���� ���+�������"���� ����%��ânia de Mâine���� ��� ����,--;��

;�� !���� )��� '�������� ��� ����)� � ���� � ����������� +������� "���� ���� România de Mâine���� ��� �����000��

���3���� ��?6����������������� ������������+�������"���� ����România de Mâine���� ��� �����002��

� ���

��

������������� ���� ��

����������������������������� �����

���������

����������� �������������������������������� ���� �� ��������� �������������� �� �� �� ��������� ���

���������� � ��������������������� � ��������������������������������������� � �������������������������������������� � ������������������������������ � ����������������

12.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare����

����������������������� ������������ ���������� ��� � � �������� � ��!��• ������� ��� ���� ��� ����� !� �� �� ��� ������� ���

�� � �����������

• "�� ����� ��������� ��������� ����� � ����� #���$���������������

• Calculul factorilor de actualizare în contractele de asigurare ����� ������� �������%���������������&��������

���

��������� � ���� ������ ���� � ������ �����" � � ��� ����� ������� �� �� ��� ��� ��'� � ��� �� ��� %��

��������� �� �������������%��������%�� ������������� � ���������(��������'����������'��������������������������)��

��

����������� !������� ��"��������

���*

��������� �������� � ������ ����

������������� �����#�����

��������������� �������� ������ ������������

+��� � � ������ �� ����� ��� � ��� �� ��� �� � � ��� �������� � ��� ��� � ��� �� ���� ��%��� ����� � � � ������� � ��� �%��� ��%��� ����������� ���(�� ����)��� ���� ���,� ������� �� � �&� �

1xx

x

Na

D+= � (�)�

�����x

x xD v l= �� � ������� � ���(����%� ��������������������)�

1 ...x x xN D D D+ ω= + + + � � � ���� ��� � ��� (ω ����� ���� �

��������������� ��)'� ( )100 aniω = �

���������������� ������������� ���

,� ���&������ ��� ������ ����� � ������������ ������� ������������������� ������ �������� � ����%��������� ��������� ��câte 1 u.m (�� ���)����� ����� ��'��������� ��%��� ������ �

a xx

x

ND

= �

����� ��� �a 1x xa= + � (�)�

"�� �� ������� � ������� ���'�������� � ��� ����%�!�P= a xS � (�)�

���������������� ������������������������

������� ���������������

,�� ��!�• / n xa –� ����� �� � ��� � ��� ���� �� ��� � � �� �� ���� �

���� � ���������� ������ �������� � �'���� ��������� ���'�����%��� ��%��� ����'��������������(�����)-�

• / an x –�������� � ��� ���������� ���� ����� ���� ����� $� �� ��� ����� �� ���� ��� ����� � �'� ��� � �� ����� � ���'� �������� ��%��� ����'��������������(�����)-�

• /n xa –� ����� �� � ��� � ��� ���� �� ��� � � �� �� ���� �asiguratul î������� ������ �������� � �'���� ��������� ���'�����%��� ��%��� ����'�� � ������������ ����� ���(����� )-�

• / an x –� ����� �� � ��� � ��� ���� �� ��� � � �� �� ���� ����� � �� �������� �� ���� ��� ����� � �'� ��� � �� ����� � ���'�� � ������'��������� ��%��� ����'����� ����� ���(����� )��

� ��.

������ �

/ /x n x n xa a a= + � (*)����

/ /a a ax n x n x= + �� (.)���� ������

1 1/

x x nn x

x

N Na

D+ + +−= '� (/)�

���

1/

x nn x

x

Na

D+ += �� (0)�

1������

/ a x x nn x

x

N ND

+−= � (2)�

���

/ ax n

n xx

ND

+= �� (3)�

�"�� �� ������� � ���������� ���'�� ��������������� �����

���%��� / n xa ��� / an x ��� /n xa '���������� / an x ���

�����

���*��Îndrumar pentru verificare/autoverificare�����4���� ��� ���� �� ����� � ������������ � ������ ������ ���� ��%��� ����� � � �������� � ���

�%��� ��%��� ����������� ����� ���� ��'����%���

�)� 1xx

x

Na

D+= -��)� x

xx

Na

D= -��)� 1x

xx

Da

N+= -��)���� �� ����

5 �� �������!��)�+� ����� ���(�)��������������������� � ��� ���������� ���� ���������� ��������� ������� ����/6��������

���� ������� �� ������� ����� � �� �� � ��� /666� ���� �������� � � ������ ��� �'.78� 1�� � ������ � �

60 808530,71N = ���� 60 69382,81D = ��

�)� P= a xS 9 69918,6x

x

NS

D= -��)� P= a xS 9 514x

x

DS

N= -��)���� �� ����

��

���/

�5 �� �������!��)�+� ����� ���(�)��

��������������������

������������������$��� ����������

������������������ ���������������� ������� ����*6������� ���� ����� ���� ��������� ������ �������� � ��������� ������ �������'�������666�666� �������%��� ���%��� �����8�

�49�������1 ����������������� ��� ���������� ���� ����� ���� ��������� ������� ����/6�������'����

����� ������� ������� ��'���� ��������������%��� ��%��� ����'���� �������������������������0.�������'�� ������.666���� ���'������ ��%��������.78�

49�������1 ����������������� ��� ���������� ���� ����� ���� ��������� ������� ����/6�������'����

����� ������� ������� ��'���� ������������������ ��%��� ����'���� �����������������������0.�������'�� ������.666���� ���'������ ��%��������.78�

49����*��1 ����������������� ��� ���������� ���� ����� ���� ��������� ������� ����.6�������'����

����� �� ����� ��� ���� ��'� � � � ���������� ������ ��� /6� ��� ���'� �� �� �� ��� ��'� ��� �%��� ��%��� ����'�� ������.666���� ���'������ ��%��������.78�

������������

� ��0

�%�&�� #��'��� &��#�� ������

��� " ��� ��'� :����%�� 5�'� ;��� ���'� �����5�'� ;� � 1�'���������� ������ ����������'� <�� ��# ��� ����România de Mâine'�; � ���'��66/��

��� " ��� ��'� :����%�� 5�'� ;��� � ��'� ����� 5�'� ��������� ��� ��������� ���������'� <�� ��# ��� ����România de Mâine'�; � ���'��66.��

���;��� ���'���������� ��������������������� ���� �'�<�� ��# ��� ����România de Mâine'�; � ���'��66*��

*�� " ��� ��'� ��������� ��� ���� � ������ ����������'� <�� �� # ��� ���� România de Mâine'�; � ���'��333��

.������� �=>�'���������� ����������������'�<�� ��# ��� ����România de Mâine'�; � ���'��33/��

���

����

��

������������� ���� ��

����������������� �����

���������

���������� ��������������������������������� ������ ��� ���� �������������� ������� ��� ���� ����

����������������������� ��������������� ��� ����� ��� �����������������������

13.4. Îndrumar pentru����������� ������������������

��������������������!������� ���� �������"��"� ��� ���� �������� ���#��• ��������������� �

• ���� ��� ����� ��� ������������������������

���

��������� � ���� ������ ���� � ������ �����$�� �������%��������"����� �� ���� ���&�"� ������������������" �

�������� ��������� ��� �'���� ��� �� ��������� ���������� ��� ������ � ��������������� ��

��

�������������������� ������������

� ��(

��������� �������� � ������ ����

���������� �������������� ��

)������� �� �"�%������ �� ��� �� �� �"�%���� ��*�� �� "�� ���� ����� ��+� ����%� ����� ���"���� �� ���� ��"�����&� "�����"��� ��� � ����� ����� ���������� �� ��� �"�� � ����������� �%�,�������� �������� ���� �"�%���������Totalul acestor surplusuri anuale, î� ����� ���� ��� ��� �������� �����������&�������� ��������� ��������������� �"��������� ��

-���������� �������� ����#�´D �������"�� ���� ���"�%�����.� �´́D �������"�%�������.� �´0D � �������"�� ���� ���"�%��������������������.� �´́0D �������"�%����������������������.�´tD �������"�� ���� ���"�%����������������.�´́tD �������"�%��������������������

)������ �����"����� &���������������� ����������� ������������#�

´ ´́t t tR D D= − �� /�0�

)������ �� ����"����� &� ��������������� � ���������� �� ���� ��������

1 2/ 0 / 0

0

t tt

t

D DR

E−= �� /�0�

� ��������´

/ 0t D �–�"������������������������" ������ ��"� ��"�� ��� ���"�%�������+ �������������

´́/ 0t D � –� "������ ��� ����� ��� ��� ���� " � ��� �� ��"� � �"�%������ �+ � ���

���������3����� ��������� �� � ( ) ( )1 2⇔ ��

�'���"��� /�0� ����� ����� ����"�� �'���� ��� �� ��� ��� �� "��� ��� �"� ��� ���� �"�%�� ���� ����� �������� ��� �� �"�%������ �� ������ )�����'�����������&��������"������ ������"�� ����+�" � ��������������� ����"�%������ ����� ������ ��������� � ��#�

• ��4� �����&�������&��������%�������� ������.�

• �� � � ani, deci începând cu anul (x+n+1), asiguratul va primi ����&���"�����&�����"������ ���"���&������� �"�� #�

( )1 , daca

, daca t n

x x t x n

x x n xxx

x t x t

x

N N Nt n

N N DDR t S

D ND

+ + +

+

+ +

−⎧ ⋅ <⎪ −⎪= ⋅ ⋅ ⎨⎪ ≥⎪⎩

�� /�0�

���

���5

������������� ��� � � � ��� � �� ������ ��� ��

6�������� ����������"������#����$�� ��"�%���������������������� ���������"�� ��� ���"�%������

��� �� �� ( )tα ����&� ���� �� � ���"�� �"�� �� ��� � �� ��������� �� ����

( ),t t dt+ �"�� ��� ���"�%�������������� �� ( )t dtβ �������

2. În intervalul de timp ( ),t t dt+ �"�%����������� �������� ( )P t dt ������

� � 7"���&� ��+ � ���� ���� ����� �� ����"������&� �"�%������ ����� �� ������"���� �� ( ) ( )P t t dt⎡ ⎤− β⎣ ⎦ ��

8� �� �� ( )xR t �������� ������� � ����"��� ����� ��������� ��

�����, pentru asiguratul care a încheiat asigurarea la vârsta �������"�� ��� ���"�%������ ���"��� � �� ��������� �� ���� ( ),t t dt+ � "����

�� ( ) ( )xR t P t dt+ �����������������" �"��"��� ���� ������#�

• ����%� ��� ����� � ( ) ( )x t t dtμ + α ����������� ����"�%�������&�

• ����%� ��� ( )xR t dt+ &�� �� ���������������������������������� �

�����������&� �� ��"�%�������"������� ����������� ����� t dt+ &�

( )( )1

xR t dt

t

++ δ

��/� �� ( )tδ �������"����� �� ��+ 0�

Având în vedere cele de mai sus, putem scrie:�

( ) [ ]( )( )

1 ( )( ) ( ) ( )

1x x

xx t dt R dR

R t P t dt x t t dtt dt

+ μ + ++ = μ + α +

+ δ&� �

� � am dezvoltat în membrul drept ( )xR t dt+ în serie Taylor.�

�����+ � ���������� % "��� ���� ��� ����� ��� � ����� � �� ����� �� ���������� � ����������������� &���� ����� ���94����#�

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xx

dRt x t R P t x t t

dx⎡ ⎤= δ + μ + + − μ + α⎣ ⎦ &� /:0�

�������"��� ���

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 0

0

t ttu x u du u x u du

xR e e P u x u u du⎡ ⎤ ⎡ ⎤δ +μ + δ +μ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤= − μ + α⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ∫∫ �� /;0�

$�� � ( )0 0 0xt R S= ⇒ = = �������"������+� ����� ��"���

( ) ( )0

__t

u x u du

xt E e⎡ ⎤− δ +μ +⎣ ⎦

=∫

�����#�

( ) ( ) ( ) ( )___

___0

1t

x u x

t x

R t E P u x u u du

E

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤= − μ + α⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭∫ &� /<0�

������������ � ���� �������"����� ����������������������$�� � ( )0 0 0xt R= ⇒ = % "���

( ) ( ) ( ) ( )___

___0

1x u x

t x

R t E P u x u u du

E

∞⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤= − μ + α⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭∫ �� /=0�

������������ � ���� ������"����� ����������������������

� ���

���:��Îndrumar pentru verificare/autoverificare��

���)������ ������"����� &���������������� ����������� ��������������

�0�1 2

/ 0 / 0

0

t tt

t

D DR

E+= .�

�01 2

/ 0 / 0

0

t tt

t

D DR

E−= .�

�0�1 2

/ 0 / 0

0

t tt

t

D DR

E− −= .�

0����� "��"�� "��"������#��0����� �-����/�0������ 6��� �� ���"�� � �� �;� �� ��� ����� �������� � �� �"�%������ �� ��� � ��� ��4� � ������� ����

anuale timp de 35 de ani astfel î�+&�����+ ��������<�� ����� &�" �������"� �����&���"�����&�����"��� ��� ��&� "���� �� � �55555� ����&� �������� ����� ��� � �� �� >� ;?@� ��� �������� ���� ��������������� � �� ��5� ����@�

�0� ( )25 20 291856,02R = �

�0��� ������ �� "��"������#��0����� �-����/�0������)������ �����"����� &���������������� ����������� ������������#��0� ´ ´́

t t tR D D= − .�

�0� ´ ´́t t tR D D= + .�

�0� ´ ´́t t tR D D= − − .�

0����� "��"��� "��"������#��0����� �-����/�0�

������������

����

������������������!��������������

�� 6��� �� ���"�� � �� �;� �� ��� ����� �������� � �� �"�%������ �� ��� � ��� ��4� � ������� �������������� ���;� ������"������+&�����+ ��������<�� ����� &�" �������"� �����&���"�����&�����"��� ��� ��&� "���� �� � �55555� ����&� �������� ����� ��� � �� �� >� ;?@� ��� �������� ���� ��������������� � �� �:5� ����@�

�0� ( )25 40 931695,61R = �

�0��� ������ �"�� 6��� �� ���"�� � �� �;� �� ��� ����� �������� � �� �"�%������ �� ��� � ��� ��4� � ������� ����

���������� ���;� ������"������+&�����+ ��������<�� ����� �" �������"� �����&���"�����&�����"��� ��� ��� "���� �� � �55555� ����&� �������� ����� ��� � �� �� >� ;?@� ��� �������� ���� ��������������� � �� ��;� ����@�

�0� ( )25 35 1555488,38R = �

�0��� ������ ��

��������

�#�$���%��&����$��%���������

��� $� �� ��&� 9�� ����� ��&� A����� 7�&� ���� ��&� A+�� � 3�&��� ���� � ����� �������&� � �����6� � ����România de Mâine&�A�������&��55<��

��� $� �� ��&� 9�� ����� ��&� A����� 7�&� ���� ��&� �� � �� � � � �� ���� ������ &� � �����6� � ����România de Mâine&�A�������&��55;��

���A�����7�&��� �������� ���� ����� ��� ��� &�� �����6� � ����România de Mâine&�A�������&��55:��

:�� $� �� ��&� �� � �� � � � �� �� � � ����� �������&� � ����� 6� � ���� România de Mâine&�A�������&��(((��

;������"���B4�&��� ����� ����� �������&�� �����6� � ����România de Mâine&�A�������&��((<��

���

� ���

��

������������� ���� ��

�� �������������� �����������

���������

����������� �������������������������������� ���� �� ��������� �������������� �� �� �� ��������� ���

�������� ���� ������������������������� ������������������������� �������

������� Îndrumar pentru verificare/autoverificare����

�������������������� �� ������������ ���������� ���! � � �������� � ��"��• #� ���������$�� �������%�� ��������������

• ���� ����������������&��� �� ����� �����������

• ���� ������������

��������� � ���� ������ ���� � ������ �����

' � � ��� ����� ������� �� �� ��� ��� ��(� � ��� �� ��� $���������� � � �!����� �������� ��� ��������� �� ������ ��� ������ ����� �����������(����� ������������������ ��������

��

������� �� !"������� ��#��������

����

��������� �������� � ������ ����

�����������$������������������

)������� �� ���� ���� �� � ���� ������� � ����� �*� � �� �������� ������������� �������� �������� ����� ���������������

+������ ���������������� ���� ����������������� ��� ���������� ���� ����� ���� � ������ ������ ���� ����� ������ ���������������� ������� ������� ����������������� ��� �� ����S � �� ����������#����������� ��� �� ��������� ����� �� xP ����

����������� � xP ������"�

x

xxx D

NSaSP =⋅= (�

x

xxx D

NSaSP 1+=⋅= ��

'�� � ���� � �� ������ �� ������� � �� � ��� 12S � ���(� ����� ��� ����$��

( ) ( )12 1212 12

1112 12

24x

x xx

NP S a S

D

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠(�

( ) ( )12 12 112 12

1112 12

24x

x xx

NP S a S

D+⎛ ⎞

= ⋅ ⋅ = ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

��

Notând cu ( )12n xP ���������� ���������� �� ������� n ����� ���

�$*�� �� $��� ��� � ��� ��� � � 12S � ��������� � ���� ������� ��� ����

���! �� ����������� �� � � n ����(��� �������� ��"�

( ) ( )( )

( )

1212 12

12 1212 12 n x

n x n x

n x

aP a S

a⋅ ⋅ = ⋅ (�

��� ����

( )

( ) ( )12 1

121 1

24 11

24 11x n x n

n xx x n x x n

N DP S

N N D D+ + +

+ + + +

+=− + −

�� ,�-�

������������$����������"���

+�� ���� ���� ��� ������ �� ��� � � ��� �������� � ��� ��� ���� ���! � � � �� �� ���� � �� �������� ��� �*� � ��� x � ���(� ��� � ��� ��������� ��� ����� ������������������ ��� � ��� ���� � ����������� �� ���� ������ �$��� ���������� ��������� ����

#���� ��� ���� ����� ����������������������� ���������� ���! � � � �� �� ���� � ���� � �� ����������� ��� ���� ��(� �������� �� ����� ��� ���� ��(� �� �� � ��� � ���� ���� . ��� ������� �� ��� �� �� ����������� ������� ��� ����� �� ����� � �� ���� ������ � ����� � ��

� ��/

0��� xM � �������� ������ �� �� � �� � �� �� � �� �� ��� ����

����� � �� ���� �������� ��� �*� � ��� x � ���(� ���� � �������� �������� �� ������� ���������������������������������������������"�

1 1 11

2 2 2

1 1 2 1:

n

x x x x x n x n

x x x

v v vX

l l l l l l

l l l

+ +

+ + + + + +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

� �

� ��

� �

( )

( )

1 1100 1001 12 2

0 0

1

21001

0

xx xn nx n x n x n x n

x xn nx x

x nx

x n x n

xn x

l l l l vA M X v v

l l v

l l v

l v

− −+ ++ + + + + +

= =

+ +−

+ + +

=

− −= = = ⋅ =

−=

∑ ∑

∑�

.�� ��� ���� ��� � ���� ��� ��� � ��� ( )12

1

x

x x xC l l v+

+= − ��

� ���� 1 100...x x xM C C C+= + + + ����

xx

x

MA

D= �� ,�-�

'�� ����������������� ��� ���! �� ��� ���� ��������� ������� � ��� ������ S � �� ��������(�� ��������� ��� ����$��

xx

x

MP S A S

D= ⋅ = �� ,�-�

��� ��� � ������� � ����� ��������

'�� ����� ����������������$������� �������������������� n �începând de la data încheierii contractului de asigurare, atunci ���������� �� ��� ���� ������������� �������� � � ������*� ����x � ���(� ��� ���1������ ���� ��(� �*��� ����� �� �� � ����� ��� ��� � �����������(����"�

1 1...x x x n x x nn x

x x

C C C M MA

D D+ + − ++ + + −

= = �� ,�-�

�'�� ����� ����� ���������������� �$ �� ����!�(����� � ������(�

���� � �� ���� ��� ��� ������ ��*�� (� � ��� ��� �� ���� � ���� ��� ����� � ���������! �� � ������������������������1���������� ����

)��������� �� ��� ���� ������������� ������� ����� � ������*� ���� x � ���� ������������ ��� ���� ��������� � ���������termenului de amânare de ���������"�

100|

...x r x rr x

x x

C C MA

D D+ ++ += = �� ,/-�

� ��� ���� ���� ��� ������ ��� �� � ��� �� xA � ��� ���� ���� ���

������������������*�������� ���� ��"�

|x n x n xA A A= + ��

��

���2

�����������$�� �����%����

������ ���� �(� ���!��� �������� ������(� ��� � �� ��� ������������ ���� ���� ���� � ��� ��� ����� $��� ��� �� ���� ��� ��� ������ ������ ������ �����������

'�� �� ������� ���������� n ani, întreprinderea de asigurare �� ���� ���� � � �(� ��� � ���� ��� ��� � ��� �������� ���� �� ����(�� ������� � (������� ���������������������� ������(��� ���(������������� � �(� �������$��� �����������(�� ������� � ��

#�� � ������(� �������� �� �� � ��� ��������� ���� ��� �������������� �*������������ �������������� ����� �������������������� ����� �����������(�� ���"�

x n x x nn x n x

x x

D M MP E A

D D+ +−

= + = + ��

'�� �� ������� � ����� S � ��(�� ��������� ��� ����"�

x x n x n

x

M M DP S

D+ +− +

= ⋅ �� ,2-��

��

������Îndrumar pentru verificare/autoverificare��

������������������ ���������������� �����*� ����/3������� ���� ����� ���� ��������� ������ ��� ����� � �� ��� ���� ��(� ��� � ��� ��� ����� �� ����� � �� ������ � �� � � ������� ��3�333�333� ���4�, 50 2.416M = 50 7070,2D = -�#5����

6 �� ��������#5����7��23������ �0����������� ���,�-������ �����

50

5010.000.000 3.417.160

MP

D= = ����

������������������ ���������������� �����*� ����/3������� ���� ����� ���� ��������� ������ ��� ����� � �� ��� ���� ��(� ��� � ��� ��� ����� �� ����� � �� ������ � �� � � ������� ��3�333�333� ���(� ��� � ����� �� ��� ���� �*� � ��� ���������� �*���� ��� 23� ���4� , 50 2.416M = (�

60 1.863M = (� 50 7070,2D = -�#5����6 �� ��������#578���23������ �0����������� ���,�-������ �����

50 60

5010.000.000 782.160

M MP

D−= = ����

������������������ � ��� ���������������� � ����*� ����/3����� �� ��� � ����� ���� � �������� ������ �������� � ��������� ��(���� ���������������� ����3�333�333� ���(����� ���e în ��� ���������������*�������23���������� � ������� ����� ������ ���������� � ������������*�������23����4�, 50 2.416M = 9 60 1.863M = 9 50 7070,2D = 9 60 3.885,7D = �-�

� ��7

#5����6 �� ��������#52��78�3�3����� �0����������� ���,2-������ �����

50 60 60

5010.000.000 6.278.040

M M DP

D− += = � ����

�����������������

������������� ����&���!��� ������

���. ���������������������� �� ��� �������� ��������� ��������� ���� �� ������������������ ��� ����������������*� ����������,��� � ����� ����������� �� ��$�������� ������� � ���� � �-"�

�- ( )1/ 2 1x xA v ia= − 9� ���� xa ������� ����� � �� � � ��������(� a x � ������� ����� � �� � �

���������- ( )1/ 2 1x xA u ia= − + 9�

�- ( )1/ 2 1 ax xA v i= − ��

����.����� ����� �������� ������������ � ��� ,x xC D , ���� ( ) 1/ 2

1x

x x xC l l v ++= − ( x

x xD l v= -�

�-� ( ) ( )1/ 211x x xC i vD D+= + − 9�

�-� ( ) ( )1/ 211x x xC i vD D += + − 9��

�-� ( ) ( )1/ 211x x xC i D D+= + − ��

����.����� ����� �������� ������������ � ��� ,x xM N �

�-� ( ) ( )1/ 211x x xM i vN N += + − 9�

�-� ( ) ( )1/ 211x x xM i N N += + − 9��

�-� ( ) ( )1/ 211x x xM i vN N

−+= + + ��

���8

��� / n xA � ����� �� � ��� � ��� ���� �� �� ���� �� ������ � ��� �*� � ��� �� ���(� ��� ������������� � �(���� ���� ������� �������� ��� ����������! �������������� ��� ���� ������ � ������� �

/�� /n xA � ����� �� � ��� � ��� ���� �� �� ���� �� ������ � ��� �*� � ��� �� ���(� ��� ������������� � �(���� ���� ������� �������� �� ����������! �������������� ��� ���� ������*� �����������

�2��0��������� ������ (����� ���� ��������� �����*� �������������������� �����������(�� ����

�������� ����,�������������-(������� ��������! ��*� ���������(� �������������� ����#������ ������������ �������� � �����"��

�-� /x n x x n

n x n xx x

D M MP E A

D D+ +−= − = − 9�

�-� /x x x n

n x n xx n x n

D M MP E A

D D+

+ +

−= + = + 9�

�-� /x n x x n

n x n xx x

D M MP E A

D D+ +−= + = + 9�

�-���� �� �����7��: � �������� � �� xyD introdus în cazul ���� �������������� ���� �������(���� �

��� ������������"��-� x y

xy x yD l l v += �

�-� ( )1 2x yxy x yD l l v + += �

�-� ( ) 2x yxy x yD l l v += �

�-���� �� ����

��������

�'�( �!$��)���!( �$��!������

��� ' ��� ��(� %����$�� 6�(� ;��� ���(� �����6�(� ;*! � .�(�� �� ��� ������ �������(� <�� ��0 ��� ����România de Mâine(�; � ���(��332��

��� ' ��� ��(� %����$�� 6�(� ;��� � ��(� ����� 6�(� ������ �� � �� ��� ������(� <�� ��0 ��� ����România de Mâine(�; � ���(��33/��

���;��� ���(�� �� ��� ��� ������������� �� � (�<�� ��0 ��� ����România de Mâine(�; � ���(��33���

��� ' ��� ��(� ������ �� ���� � ������ �������(� <�� �� 0 ��� ���� România de Mâine(�; � ���(��===��

/������� �>1�(�� �� ����������������(�<�� ��0 ��� ����România de Mâine(�; � ���(��==2��

� ���

��

� ����������������� ������������������������

��������������� �������������������������� ����� ( ) ( ) ( | )P A B P B P A B∩ = ⋅ ������������ �

( ) 0,2 1( ) 0,5

( | ) 0,4 2

P A BP B

P A B

∩= = = = ��

� � �� ��

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0,2 0,25 0 0,45.

C C

C

P A P A P A B B P A B A B

P A B P A B P A B A B

= ∩ Ω = ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ =

= ∩ + ∩ − ∩ ∩ ∩ = + − =���������

������������������ ������������������������������������������� ��������������������������������������������������������� ������!���������������"�������������������������������� �������

���� �� ���� �# � $�%�&#� ξ ���&�&����� ���������%���&#� �#�$ �������%�& &&�����&��&������ ξ �

�����%��& &��&# $&� �����$�%� ��&�&������'#��( ��)��� &��� � � &#�$� ��&� ��� �3

4p = �����&�

1

4q = ��

( ) 150M ξ = ��� ( )2 37,5D ξ = ��*��%�&� �&#�+�&������&�,��-.����.&���� � &#���

( ) ( ) 37,5100 120 100 10 1 0,625

100P P< ξ < = ξ − < ≥ − = ��

���"

������ �� ��*��%�&� ���/�$���&�0 &�� #�����$��

( )

( ) ( ) ( )( )( )

3

3 2 23

1 1 2 2 3 3

16 11 18 6 22 18 1 2 3

n n nz z z zn n n n n n

z n z n n z n n nn

− − −⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤= + − + − + + − − − ⎦⎣

ϕ�

�� ���$�#����&�����&#�% �&# $��� ( )3 zϕ ���1&�( )( )( )

0,3 3

1 2 3n n nP

n

− − −= ��

��� , �1&�&�#������&� 3z ��&#� ( )3 zϕ ������ 3,3 3

6P

n= ��

��� 0,31P P= − ��

����� �� �����$���$ � �����&% ������ 1A − #&�&��#����$�#��#�������'#�%# 2� 2A − �#����$�#�������

'#�%# ��0� ��&�&� &���� ��� ��1&� ( )1 0,5P A P= 2�� ( )2 1,5P A P= ��,�$�

( ) ( )( )( )( )( )5 0,1 0,9 0,05 0,95 0,2 0,8 0,15 0,85 0,09 0,91

0,530 0,264 ...

z z z z x z

z

ϕ = + + + + + == + +

����#��� ( )1 0,530P A = �� ( )2 0,364P A = ���

Notând cu A � ���#&$�#���� 3%����� �1������ � $�#�� %�#���� ���� ����� ����&#�4�� 1 �$���

%� ��&�&� &&�� ����#��� � ( ) 0,530 1 0,364 0,7 0,784P A = ⋅ + ⋅ = ��

����� �� ��*��%�&� ���/�$��&��&�#�����#&�������$�

�� ( )3 0 1 110 8 7 5

530

5;3,0,1,1C C C C

PC

= 2���� ( )1 2 2 010 8 7 5

530

5;1,2,2,0C C C C

PC

= ��

����������������� ����������� �� ���&��n �#�$ ����%� ��� ��.&� x �$��&��������� &������$��

( ) ( ) 1

1

nt tni xk i xn kitx k nx

k

t M e M e M e=

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ϕ = = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑∏ ��

5 � $�t

un

= �����&� ( ) ( )1

niuxk

xk

u M e=

ϕ = ∏ ���������+��# �$� �.�&$�� � ( )2 2

2

umuiiuxkM e e

σ−= �����&�

( )2 2

2

n unmui

x u eσ−

ϕ = � ��� ( )2 2

2

tmti

nx t e

σ−ϕ = �� ������ ����� 1�#� &� ������&��&� � � �#�&� ��%��& &&� # �$���

2

,N mn

⎛ ⎞σ⎜ ⎟⎝ ⎠

�����&�1�#� &������%��& &��� ���%�#� � ��������# �$� ��

�����

� ���

���� �� ��6 $���&�&��� ��$�� ��1�#� &�&�������&��&�������$��

( ) ( )1

tn i xkitx nx

k

t M e M e=

⎛ ⎞ϕ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ �

������# � &�t

un

= �� ( ) ( )1

nn uiux

xk

u M e e=

ϕ = =∑ ������#�������#&#������&�&�� t �� ( )t

ntn

x t e eϕ = = ���$�

� &#���1�#� &�������&��&� ����%��& &�&������������&� x ������ ���&�&� ���� �����%��&�� ������������������������� ����������� �%�#��� �����������������0�#����+�1����&#�1&+������������&�$�$��&���� #�)&�#&� ���&�������

0 1 0 0 1

0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

1 0 0 0 1

0 0 1 0 0

C

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

����� �%�#��� ����������������� 0�#���� +�1��� �&#� 1&+��� ����� ��� $��&��� � #�)&�#&� �� �&������ C � � �&� ��

�����$&# $�$��&������$��&� �� D �����, #����&$��&#&�1��$��&��&� D �% �#&#��������&#&�1��$��&��&� C ��7����� $�� � 112 =c �.&�

115 =c ������������$�#��� ��1&&#���+��������� ��

���#�&����# $�� ��#��&#&�1��&#�C �����&#&&��� 2 �.&�5 ����$��&�&&�C ��

( ) 11110:

00100

01100

10010

:

:

:

21

__________________________

5

2

1

l

l

l

l

7����� $�� � �&#&� (2)1l � �&1�� � ��� 1l � %�&#� ���$�#����� +�#����� %�� % �& &&��� ( )2

13 1c = � .&� ( ) 1214 =c ��

�����$���%�������&#��+ �&�$�.&���# $�� ��#��&#&� ( )21l �����&#&&���3 �.&� 4 ��&#�C ��

( )

( ) 11111:

10001

01000

10010

:

:

:

31

__________________________

4

3

21

l

l

l

l

7����� $�� ��(� � &#��� ��&#&������ ������$�#������+������1�����&���&#&�1��$��&�&&� D ���1&��( )1 :1 1 1 1 1

Dl �

���0�#�����&#&� 2 ��$��&��&� D � ����� $�� � 123 =c �� 124 =c ������������$�#��� ��1&&#���+������

��� �����# $�� ��#��&#&� 2 ��&#�C �����&#&&���3 �.&� 4 ��

����

( ) 11101:

10001

01000

01100

:

:

:

22

__________________________

4

3

2

l

l

l

l

7����� $� � � �&#&� ( )22l � �&1�� � ��� �&#&� 2 � %�&#� ���$�#����� +�#����� ��� % �& &&���

(2)21 1c = � .&��

(2)25 1c = �����# $�� ��#� (2)

2l �����&#&&���1�.&�5 ��( )

( )

22

1

5

__________________________

32

: 1 0 1 1 1

: 0 1 0 0 1

0 0 1 0 0:

: 1 1 1 1 1

l

l

l

l

�$� � &#���� ������$�#������+������1�����&� ( )2 :1 1 1 1 1

Dl �

*&$&���%�#�����&#&&�����������.&� � &#�$�$��&��� D �

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

=

11111

11111

11111

11111

11111

D �

����� �%�#��� �����������������8�1���G �����&���&����� �&��)&�� � i astfel încât 1=iid �9����)�$%��� 122 =d ���

����� �%�#��� ������������� �%�#��� ������������������

,�$�.�&$�� �+�1�������&���&����� $�1 � �&�$�� ��'#$�� &�&&���&#���:��&����� ( )1M �.&� ( )1M� �� ��1&��

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

=

0000

000

0000

000

000

35

5414

43

4232

5121

1

xx

xxxx

xx

xxxx

xxxx

M �

�������

� ���

�����

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

=

0000

000

0000

000

000

~

3

51

4

43

52

1

x

xx

x

xx

xx

M �

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

0000

00

000

00

000

435

514354214

543143

542432142

421351

321

2

xxx

xxxxxxxxx

xxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxx

xxx

M �

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

0000

0000

000

00

000

1435

3514

3214

51432143

5432

514235421432

54214351

4321

3

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxx

M �

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

=

0000

00000

00000

0300

000

21435

514325142

5432135421

4

xxxxx

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

M �

�;#�+�1�������)&�� ������$��&�/$&�� #&�#��� ��� �%�#��� ���������!��� �%�#��� ������"�������

����

���������������� ���� ������ �%�#��� �����������������<�%������.&�����#���&���$�&����'#�����������$&�= ����

V � 1x � 2x � 3x � 4x � 5x � 6x �

1x � 0 � 5 � 8 � 18 � ∞ � ∞ �

2x � ∞ � 0 � 6 � 10 � 12 � 21 �

3x � ∞ � ∞ � 0 � 9 � 11� 23 �

4x � ∞ � ∞ � ∞ � 0 � 8 � 16 �

5x � ∞ � ∞ � ∞ � ∞ � 0 � 9 �

6x � ∞ � ∞ � ∞ � ∞ � ∞ � 0 �

� � � � � � �( )1im � ∞ � 21 � 23 � 16 � 9 � 0 �( )2im � 26 � 21 � 20 � 16 � 9 � 0 �( )3im � 26 � 21 � 20 � 16 � 9 � 0 �

>��� &&������ %������� �&�$� � &#��� ( ) ( )23ii mm = ��

�������������$&# $�������&�#�����$���&�$&#&$������ 1x ��� 6x ��

�� ���# $��&#&� ( )3im �����&#&�1���� ���$&#&$ ������ 26 ���������1&� ( )21 , xx �.&���� � &# �%��

� � #���&� 2x ��

�� ���# $��&#&� 3im �����&#&� 2 ���� ���$&#&$ ������ 21 �������� ���%�#� � ����1&� ( )62 , xx �.&�

��� � &#��%��� � #���&� 6x ��

���&�����$���$&#&$���1&� { }1 2 6: , ,d x x x ���

��������������6��&1&� $��� �1��)���&#& &��� #��&��&���#�1��)����&��&���&� � :ϕ Γ → ����'#��%�&#�.���� #�& &����

$ �+&#&��� � 1��)���&�� ���&� %�#���� �&��� ( ) Γ∈ji xx , � ��$� ( )0 ,i j ijx x p≤ ϕ ≤ �� { }6,...,2,1, ∈ji ��

7� &#�$��( )1 2 120 , 2 3x x p< ϕ = < = �� ( )1 3 130 , 5 8x x p< ϕ = < = �

( )1 4 140 , 2 7x x p< ϕ = < = �� ( )2 6 260 , 1 4x x p< ϕ = < = �

( )3 2 320 , 1 5x x p< ϕ = < = �� ( )3 4 340 , 2 5x x p< ϕ = < = �

( )3 5 350 , 2 6x x p< ϕ = < = �� ( )4 6 460 , 5 10x x p< ϕ = < = �

( )5 4 540 , 1 3x x p< ϕ = < = �� ( )5 6 560 , 3 5x x p< ϕ = < = ��

0�#����� #�& &����� #������� ( ) ix X∀ ∈ �

( )( )

( )( )

6 6

2 1

, ,

, ,k j j hk h

x x x xj jk h

x x x x= =

∈Γ ∈Γ

ϕ = ϕ∑ ∑ �

���$��

� ���

Vârfuri� ���)�����&#�� �'#��-�1��� ix � Flux care iese în vârful ix �

2x � 3 � 3 �

3x � 5 � 5 �

4x � 5 � 5 �

6x � 4 � 4 ��

*�� ����� �� �.&�0� % �& &�����������&1&�� ���&� ��

( ) ( )4 5

1 62 2

, , 9i ji j

x x x x= =

ϕ = ϕ =∑ ∑ �

���&��1��)���&#& &������� 0 9ϕ = �������$���0����>>��&#��+ �&�$���� ��(���?��� #�

������&# &� 6x � � %����� 1&� $��� �� ���+�$� ���$��� { }65311 ,,,: xxxxd � %�#���� ����

{ } 235,26,58min =−−−=θ �.&� 1 9 2 11φ = + = �������� ( )5 6,x x ��(��������

�&+��������� ����&# &� 6x � � %����� 1&� $��� �� ���+�$� ���$��� { }6412 ,,: xxxd 2�

{ } 5510,27min =−−=θ 2� 2 11 5 16ϕ = + = ��������� ( )41 , xx �� ( )4 6,x x ��(��������

��&+������

����

��� ����&# &� 6x ��%�����1&�$��� �����+�$����$��� { }6213 ,,: xxxd 2� { }min 3 2,4 1 1θ = − − = 2�

3 16 1 17ϕ = + = �������� ( )1 2,x x ��(��������

��&+������

��� ����&# &� 6x � � %����� 1&� $��� �� ���+�$� ���$��� { }62314 ,,,: xxxxd 2�

{ }min 8 7,5 1,4 2 1θ = − − − = 2� 4 17 1 18ϕ = + = �������� ( )31 , xx ��(��������

��

��&+���� �

�7����� $�� �����&# &�#���(�$&�%�����$�������&�1��)��������$)&$� 18ϕ = ��

���������

� ��

���������������� ����!������� �%�#��� ���������

���������

0D=S it ��9���+&$����� �-#� ��&$%� ��

1 01 1 1D =S i t 2 01S 2.000= ��$�2 1 19% 0,09p i= ⇒ = 2���@����&���@36

360�#&�

2 02 2 2D =S i t 2 02S 5.000= ��$�2 2 210% 0,1p i= ⇒ = 2���@����#&�@3

12�#&�

3 03 3 3D =S i t 2 03S 10.000= ��$�2 3 312% 0,12p i= ⇒ = 2����@�����$������@ 12�#&� �

1D =18 ��$�2� 2D =125 ���$�2� 3D =600 ���$��3

0k k kk=1

3

0k kk=1

S

t

S

i t

i

=∑

∑2�9����

1 2 33

0k kk=1

D +D +Dt

S i

=

∑2�9��

1 2 3D +D +D 743= 2�9��3

0k kk=1

S 2.000 0,09 5.000 0,1 10.000 0,12 1.880i = ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑ 2�9��

;#� ��&$�9���9��'#�9���� $�+ �&�����# �$��&��'#� ��&� ������� �����&�����# ��743t 0,3953

1.880= = #&�

�� t 0,3953 360 142,30= ⋅ = �&����

������������

������������� ( ) ( )n -nn 0 0 nS =S 1+ S S 1+i i⇒ = �

��������������#@��#&2� 10% 0,1p i= ⇒ = 2� 4S =58.564 ��$��

( )-40S 58.564 1+0,1= ⋅ �

0S 40.000= ��$�������� �%�#��� ��������

�������������&��%@�A��&@"�"���* �� &�� & #� ��

( ) 88

12

58

05,11000012

505,0105,0110000S ⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++=

+35,15082020833,1 =⋅ �

���!

������ �%�#��� ���������

�������������&��%@�A��&@"�"����

* �� &�� $���&� � 97,1507705,110000 12

58

12

58

=⋅=+

+S ���$��

���������������� ����"���������������În cazul scontului simplu comercia��

( )1aK K jt= − �

������������������������ 2 210% 0,1q j= ⇒ = ��

� ( )1130.000 1 0,1 126.7504

aK = − = ���$��

�������������"@�""�"""���$��

8% 0,08p i= ⇒ = �5θ = #&�

���@"�"!����

( )0 1K S iθ= + ⇒�@�������!���$��

��������������"@�""�"""���$��

8% 0,08p i= ⇒ = �5θ = #&�

���@"�"!�����@"���

( )0 1K S iθ= + ⇒�@�������!���$��

( ) 1

1 0 1K S iθ= + ⇒��@�""�"""9�B"�"!

��

���������������������������@���� ������$��*� #��� $%���� & #��

�( )1

at

KKj

= ⇒+

�( )2146.932,8

125.971,2u.m1 0,08

aK = =+

��������������"@�""�"""���$��

8% 0,08p i= ⇒ = �5θ = #&�

���@"�"!�����@"�����

� ���

( )0 1K S iθ= + ⇒�@�������!���$��

( ) 1

1 0 1K S iθ= + ⇒��@�""�"""9�B"�"!

��

���������������������������@���� ������$��

*� #��� $%���� & #��( )1

at

KKj

= ⇒+ ( )2

146.932,8121.432,1u.m

1 0,1aK = =

+�

��������������"@�""�"""���$��

8% 0,08p i= ⇒ = �5θ = #&�

���@"�"!�����@"���

( )0 1K S iθ= + ⇒�@�������!���$��

( ) 1

1 0 1K S iθ= + ⇒��@�""�"""9�B"�"!

��

���������������������������@���� ������$��*� #��� $%���� $���&��

�1

a KKjt

= ⇒+146.932,8 126.666,2u.m.1 0,08 2

aK = =+ ⋅ �

� ������������"@�""�"""���$��

8% 0,08p i= ⇒ = �5θ = #&�

���@"�"!�����@"���

( )0 1K S iθ= + ⇒�@�������!���$��

( ) 1

1 0 1K S iθ= + ⇒��@�""�"""9�B"�"!

��

���������������������������@���� ������$��*� #��� $%���� $���&��

1a KK

jt= +

146.932,8126.666.2u.m.

1 0,08 2

146.932,8 122.444u.m.1 0,1 2

a

a

K

K

⎧ = =⎪ + ⋅⎪⇒ ⎨⎪ = =+ ⋅⎪⎩

�!������������

22 29 31 82t = + + = �&���

modificat 82 2 84t = + = �&����@�""����@"����

8415.000 0,12360

SSC Kjt= = ⋅ ⋅ �

419,9SSC = ��$��

, $&�& #�������%���� 0,6 8415.000 20,9u.m.100 360

= ⋅ ⋅ = �

, $&�& #�%���1����@������$��

�) �%��� $&�& #�1&)@16,8 12,5 2,1u.m.100

⋅ = �

���"

�#��$� �% � �� �&���� ��� @**,� B� , $&�& #� ��� ���%���� B� , $&�& #� ������%����B��) �%��� $&�& #�1&)�@��������$��

��'(���)*����+('���+�,-*)�(',��(��*�,'��.�(�����������%�&#�q 84AGIO=15.000

100 360⋅ ⋅ ⇒ C@���"�A�

6� ����� #�� � AGIOaK K= − ⇒ ������������������������������ 15.000 455,4 14.544,6aK = − = ��$���"��� �%�#��������������

22 29 31 82t = + + = �&���

modificat 82 2 84t = + = �&����@�""����@"����

8415.000 0,12360

SSC Kjt= =

= ⋅ ⋅�

419,9SSC = ��$��

, $&�& #�������%���� 0,6 8415.000 20,9u.m.100 360

= ⋅ ⋅ = �

, $&�& #�%���1����@������$��

�) �%��� $&�& #�1&)@16,8 12,5 2,1u.m.100

⋅ = �

�#��$� �% � �� �&���� ��� � @� **,� B� , $&�& #� ��� ���%���� B� , $&�& #� ������%���B��) �%��� $&�& #�1&)�@��������$��

��'(���)*����+('���+�,-*)�(',��(��*�,'��.�(�����������%�&#�q 84AGIO=15.000

100 360⋅ ⋅ ⇒ C@���"�A�

6� ����� #�� � AGIOaK K= − ⇒ ������������������������������ 15.000 455,4 14.544,6aK = − = ��$���&��C��-�'(�������*����+('����C�@�""����&��C��-�'(�����.�(����$+�)������������/���+('����

C�@�""������$���� &&�����8>7�(��) �%��� $&�& #�1&)@�����2��8>7�(��) �%��� $&�& #�1&)@������2�����#�&��• %� ��#������������� #���8>7�(��) �%��� $&�& #�1&)@�������$�2������@�����⇒C�@����!A�• %� ��#���1���&��9����������#&������� #���8>7�(��) �%��� $&�& #�1&)@�������$�2�������@�����⇒ �C�@���� A��0��� �%�#��� ����������1��� �%�#��� �������������� �%�#��� ��������

���

� ���

��������������� ����0������ �%�#��� ���������

���������

( ) ( )2

32000 1 0,1 5000 1 0,1 7000 14.920PS = + + + + = ���$��

6� ������� �

2 332000 5000 7000 11209,6161,1 1,1 1,1

PA = + + = ���$��

����� �%�#��� ��������

����������

6� ������� �

2 332000 5000 7000 11209,6161,1 1,1 1,1

PA = + + = ���$��

����� �%�#��� �������

����������

( )( ) ( )3

7000 1 0,08 1 0,1 7000 1 0,1 7000 23016PS = + + + + + = ���$��

6� ������� �

37000 7000 7000 18106,2941,07 1,07 1,08 1,07 1,08 1,1

PA = + + =⋅ ⋅ ⋅ ���$��

����� �%�#��� ��������

����������

6� ������� �

37000 7000 7000 18106,2941,07 1,07 1,08 1,07 1,08 1,1

PA = + + =⋅ ⋅ ⋅ ���$��

����� �%�#��� �������6��&���� &9�������� �%�#��� �������6��&���� &�9���� ��� �%�#��� �������6��&����� &�9���

��

��������������� �����1��������������

50005,01000001 =⋅== iVd �

0�&$���$ ��&�$�#��( )

12,232011

01 =−+

=ni

iVQ ��

������������������������������� 12,232011 =−= dTQ ��$ ��&�$�#���9 1)1( −+= pp QiQ �� 13,24362 =Q 2� 92,25573 =Q 2��

����

�������������*��������� ��

4 5

1 0 5

(1 ) 0,05 0,9540.000

(1 )[1 (1 ) ] 0,95[1 0,95 ]n

i iQ V

i i

− ⋅= = =− − − −

�0,05 0,77378

40.000 72010,95 0,2262192

⋅= =⋅

��

�������������

�&#� 250000 =V �.&�#@�������� � 62504

000.250 ===n

VQ ��

������������

�&#� 250000 =V �.&�#@�������� � 62504

000.250 ===n

VQ ���

� � �&$���� &� ppp QVV −= −1 ����#�&� 2 1 12500V V Q= − = ��

����������������� ������������ �%�#��� ������"��������������

D�&&#��� � x nn x

x

lp

l+= �.&�1 � �&#�����������$ ���&������$�

5515 40

40

77.603 0,9184.855

lp

l= = ≅ �

����� �%�#��� �������������������

1t x t xq p= − �.&���$��� t xx t

px

ωω− −=

−���#�&� t x

tq

xω=

−�

����� �%�#��� ������������� �%�#��� ������������� �%�#��� ��������

��

��������������� ������������ �%�#��� �������0@���"!�� "����$������������

1xx

x

NP Sa S

D+= = �

41

40

181.8161.000.000 15.084.70912.053

NP S

D= = = ���$��

���

� ���

���� �%�#��� ������0�@��!���������$������������� � �&$����� &�9���.&� � &#�$�

61 76

605.000 489253,5

N NP

D−

= = ��$��

���� �%�#��� ������0@�" ��$������������� � �&$����� &�9���.&� � &#�$�

60 75

605.000 40777

N NP

D−

= = ��$��

���� �%�#��� ������0@� ��"���$������������� � �&$����� &�9�"�.&� � &#�$�

61

605.000 27250

NP

D= = ��$��

��

��������������� ��������� �%�#��� ����������� ����� ��������"���� ����#�&��

( ) 6025

25

42455,535 100000 100000 1555488,38

2729,4

NR

D= ⋅ = ⋅ = ��$�� � ���%�#� � ��� �/&� �&&� ��� ��

����������#�������� �����&+����.&��#&�&��#�&��������� �����&+��� ���6��&�9���

��

��������������� ������������ �%�#��� ����������� �%�#��� ������������ �%�#��� ����������� �%�#��� ������������ �%�#��� ������������ �%�#��� �������� ��� �%�#��� ��������

���������������

����

���������

� ���

��

�������������������

�� ����������� �����������

��� ���� ��� � ���� � ���� ��������� ������� �� � � �������������� ���� ������������ ����� ����� ����România de Mâine������ ��������� ��

��� ���� ��� � ���� � ���� ����� ���� ��� ���� �������� �� ���������� ����������� ����� ����� ����România de Mâine������ ������������

!���������������������������������������� ����� �������� ����� ����România de Mâine������ ���������"��

"�� ���� ��� �������� �� ������ ���� ������������ ����� � ���� ���� România de Mâi�������� �������###��

���$% �&���'(����������������� ����������������� ����� ����România de Mâine������ �������## ��

��� �������������������� �

���)� � ����������������������������*�+������������ ������,�� ������ �������##!��

��� )�%�&��� $�� ��� ��+-��� Matematici aplicate în economie�� *�+�� � ��� �� ����� � ������� � ���)��.�.�� ������ �������##!��

!�������.��'��� ���� ��� ��+-�������������� ������ � ���������������� /� ��0��*�+�� �� � ��� ������� ���1��� ������ �������##���

"�� 2��� �1��� 3+, &���� $% �&��� '1��� ��� ��+-��� ������������� – � �������� ���������� ������� �$,�������� �������##���

����������������

Redactor: Constantin FLOREA Tehnoredactor: Marcela OLARU

Coperta: Magdalena ILIE

Coli tipar: 9,75 Format: 16/61×86

Editura Fundaţiei România de Mâine

Bulevardul Timişoara nr.58, Bucureşti, Sector 6 Tel./Fax: 021/444.20.91; www.spiruharet.ro

e-mail: editurafrm@yahoo.com

155