Cap.3. Analiza Sralc- Stud. in Frecv.

Post on 02-Sep-2015

223 views 5 download

description

Automatizari

Transcript of Cap.3. Analiza Sralc- Stud. in Frecv.

  • - 31 -

    3.6. Analiza sistemelor de reglare automat pe baza metodelor de frecven

    Metodele de analiz a sistemelor automate descrise pn aici necesit rezolvarea

    ecuaiilor caracteristice aferente ecuaiilor difereniale care descriu funcionarea sistemelor. Pe de alt parte, cunoscnd funcia de transfer a sistemului, se aplic transformata Laplace invers mrimii de ieire Y(s)=H0(s)W(s), ceea ce impune cunoaterea rdcinilor numitorului funciei de transfer, deci tot cunoaterea rdcinilor ecuaiei caracteristice.

    n cazul sistemelor descrise matematic prin ecuaii difereniale de ordin mai mare dect doi, rezolvarea ecuaiei caracteristice presupune efectuarea de calcule laborioase.

    n domeniul analizei sistemelor de reglare automat, metodele de frecven au avantajul c permit s se obin, cu o anumit aproximaie, rspunsul indicial al unui sistem i deci s se determine performanele sistemului fr a fi necesar rezolvarea ecuaiei caracteristice, aferente ecuaiei difereniale care descrie matematic funcionarea sistemului. De asemenea, metodele de frecven permit aprecierea stabilitii sistemului.

    Reprezentarea n frecven a unui sistem se obine prin aplicarea la intrarea sistemului

    a unui semnal sinusoidal a = A sint (sau cosinusoidal b = B cost) de frecven 2

    =f , care n cazul sistemelor liniare determin la ieirea acestora un rspuns sinusoidal (sau cosinusoidal) cu amplitudinea i faza diferite fa de semnalul de la intrare.

    Aprecierea rspunsului n frecven al unui sistem definit prin funcia de transfer H(s) se face prin nlocuirea s=j n expresia funciei de transfer i pentru diverse valori ale pulsaiei se determin modulul i argumentul funciei H(j). Se cunoate c variabila complex s=+j este constituit din partea real i din partea imaginar j, ns pentru fenomene periodice partea real =0, deci H(s)=H(+j)=H(j).

    Se consider sistemul automat reprezentat sub forma schemei bloc

    i mrimile de intrare i de ieire sunt

    r=Rcos(t+i) y=Ycos(t+e)

    Aplicnd relaiile cunoscute de la trigonometrie se obin r=R(cost cosi sint sini) y=Y(cost cose sint sine)

    Reprezentarea variaiei n timp a mrimilor de intrare i de ieire este urmtoarea:

    SA r y

  • - 32 -

    i t e

    Se aplic transformata Laplace relaiilor pentru r i y i se ine seama de transformata Laplace pentru sin t i pentru cos t.

    )sincos()( 22 iissRsR += (3.65)

    )sincos()( 22 eessYsY +=

    Se scrie funcia de transfer a sistemului

    ii

    ee

    ii

    ee

    jj

    RY

    ss

    RY

    sRsYsH

    sincos)(sincos)(

    sincossincos

    )()()( +

    +===

    i se ine seama s=j (deoarece 0= ), H(s)=H(j):

    ii

    ee

    jj

    RYjH

    sincossincos)(

    = Se simplific fracia prin i se nmulete numrtorul i numitorul cu j ( 12 =j ):

    ii

    ee

    jj

    RYjH

    sincossincos)( +

    += innd seama de formulele lui Euler

    )()( iei

    ej

    j

    je

    RY

    ee

    RYjH

    ==

    Funcia de transfer astfel exprimat se poate reprezenta n coordonate polare printr-un vector

    de modul RY i argument ).( ie

    Dac

    22][sin += stL

    22][cos += sstL

    RY

    r, yr

    y

  • - 33 -

    Y, e=f() atunci

    )(])([ )()()( jj eHeR

    YjH ie == n care: H() este modulul, () este argumentul sau faza.

    Fiind o mrime complex, H(j) se poate scrie i sub forma: )()()()( ImRe

    )( jHHeHjH j +== 2Im

    2Re )]([)]([)( HHH +=

    )()()(

    Re

    Im

    HHarctg=

    Relaia )()()( jeHjH = reprezint caracteristica amplitudine-faz sau locul de

    transfer. H()=f() reprezint caracteristica amplitudine-frecven (atenuare-frecven) care

    este raportul dintre amplitudinile semnalelor de la ieire i de la intrare. Se mai noteaz A()=f().

    ()=f() reprezint caracteristica faz-frecven, adic defazarea ntre semnalul de la ieire i cel de la intrare.

    3.6.1. Caracteristica amplitudine-faz

    Caracteristica amplitudine-faz, sau locul de transfer, se traseaz pentru sistemul n circuit deschis (fr reacie), fiind utilizat pentru aprecierea stabilitii sistemului, precum i pentru obinerea celorlalte caracteristici de frecven. Caracteristica amplitudine-faz reprezint hodograful vectorului H(j) n planul complex pentru valori ale lui n domeniul +

  • - 34 -

    Pentru a ilustra modul de trasare al hodografului considerm un sistem cu reacie

    neunitar HT(s) 1 (adic traductorul are funcia de transfer neunitar), a crui funcie de transfer cu bucla de reacie deschis Hd(s) este dat de relaia

    1

    1)()( +== TssHHsH Td care reprezint un sistem de ordinul nti. nlocuim js = i obinem

    HHT(j) 222222 111

    11

    )1)(1(1

    11

    TTj

    TTTj

    TjTjTj

    Tj

    +++=+

    =+++=+=

    11

    111)(

    22

    2

    22

    2

    22 +=

    ++

    += TTT

    TjHHT

    TarctgTarctgjHHjHHarctg

    T

    T === )(

    )(Re)(Im)(

    n figur se prezint locul de transfer (hodograful) pentru un sistem de ordinul nti. Pentru frecvene negative ( 0 ) locul de transfer este imaginea n oglind n raport cu axa real a locului pentru frecvene pozitive. Pentru un sistem de ordinul al doilea trasarea locului de transfer pornete de la expresia

    vectorului )( jH obinut din funcia de transfer a sistemului de ordinul doi

    22

    2

    2)(

    nn

    n

    sssH

    ++=

    prin nlocuirea js = .

    =-90=

    =0 =0Re

    Im

  • - 35 -

    [ ]

    +

    +

    =

    =+++=++=

    2

    22

    2

    2

    24

    4

    2

    22

    2

    2

    24

    2

    24

    222222

    3422

    22

    2

    41

    2

    41

    1

    4

    22

    )(

    nnn

    nn

    nnn

    nn

    nn

    nnn

    nn

    n

    j

    jj

    jH

    Modulul acestui vector este

    22

    22

    22

    2

    22

    2

    22

    22

    2Im

    2Re

    41

    1

    41

    41

    )()()(

    +

    =

    =

    +

    +

    =+=

    nn

    nn

    nnjHjHjH

    iar argumentul este

    21

    2)(

    =

    n

    narctg

    Forma locului de transfer pentru sistemul de ordinul doi este dat n figura urmtoare.

    Im

    Re

    21

    1

    3

  • - 36 -

    3.6.2. Caracteristici logaritmice de frecven

    n analiza i proiectarea sistemelor cu bucla de reacie deschis au o larg utilizare caracteristicile amplitudine-pulsaie i faz-pulsaie n reprezentare logaritmic (caracteristicile Bod), datorit unor avantaje:

    1. Un prim avantaj permite construcia acestor caracteristici pentru un domeniu mai mare de frecvene dect scara liniar.

    2. n al doilea rnd, la scri logaritmice cresc razele de curbur ale graficelor i deci acestea pot fi aproximate prin segmente de dreapt (prin asimptotele lor), fr erori importante.

    3. n al treilea rnd, reprezentrile la scri logaritmice permit o trecere mai uoar de la caracteristicile elementelor componente la caracteristica unui ansamblu de elemente. Astfel, de exemplu, n cazul a trei elemente legate n serie, avnd caracteristicile amplitudine-pulsaie

    ,)(,)(,)( 321 jHjHjH caracteristica amplitudine-pulsaie )( jH a ansamblului se obine ca produs al celor trei caracteristici: )()()()( 321 jHjHjHjH = produs care trebuie efectuat cu modulele corespunztoare aceleiai valori pentru pulsaia ; operaia este laborioas. Dac reprezentarea caracteristicilor se face la scri logaritmice, atunci are loc relaia:

    )(log)(log)(log)(log 321 jHjHjHjH ++= i deci caracteristica logaritmic a ansamblului se obine printr-o sumare grafic simpl a caracteristicilor elementelor componente. Amplitudinea unei funcii de transfer )( jHd (pentru un sistem cu bucla de reacie deschis sau n circuit deschis) se exprim n decibeli

    ][)(lg20)( dBjHA d = Caracteristicile amplitudine-pulsaie i faz-pulsaie sunt cunoscute sub denumirea de caracteristici Bod. Caracteristica amplitudine-pulsaie reprezint dependena amplitudinii, msurat n decibeli, de logaritmul frecvenei, iar caracteristica faz-pulsaie reprezint dependena ntre faz i logaritmul frecvenei.

    La caracteristica faz-pulsaie numai axa pulsaiilor este gradat logaritmic, iar axa ordonatelor este gradat n radiani sau n grade, deoarece la nmulirea mai multor vectori compleci (care apare cnd mai multe elemente sunt legate n serie i se determin caracteristica ansamblului) argumentele se nsumeaz; nu apare astfel necesitatea logaritmrii, cum aprea n cazul modulelor, la care intervenea operaia de nmulire.

  • - 37 -

    3.6.3. Caracteristici logaritmice de frecven pentru elemente tipizate

    Pentru trasarea acestor caracteritici vom aproxima rspunsul lor n frecven prin

    asimptotele obinute la 0 i . Elementul proporional, definit prin funcia de transfer H(s)=k, are amplitudinea egal cu

    k i argumentul zero. (vezi exprimarea funciei de transfer cu ajutorul formulei lui Euler )()()( jeHjH = )

    La trasarea caracteristicii )( se ine seama c === karctgH

    Harctg 0)()()(

    Re

    Im .

    Elementul de ntrziere de ordinul nti, 1

    1)( += TssH . nlocuind js = rezult

    111

    11

    11)( 222222 ++=+

    =+= TTj

    TTTj

    TjjH

    ,

    de unde

    ][1lg201

    1lg20)(lg20)( 2222

    dBTT

    jHA +=+

    ==

    )()()(arg)( TarctgTactgjH === Caracteristica )(A are dou asimptote, care pot fi determinate considernd nti

    T 1. Pentru T

  • - 38 -

    iar pentru >>1, deci pentru T1>> , aceeai expresie se poate aproxima prin:

    TTTA lg20lg20)lg(20lg20)( 22 == Asimptota corespunztoare expresiei 01lg20)( =A coincide cu axa absciselor. Asimptota corespunztoare expresiei TA lg20lg20)( are o pant de 20 dB/dec i intersecteaz axa absciselor la pulsaia

    T1= , deoarece din TA lg20lg20)( rezult:

    0)1lg(20)( == TT

    A Caracteristica logaritmic aproximativ amplitudine-pulsaie, format din cele dou segmente de asimptote, este reprezentat n figura urmtoare n partea a), iar caracteristica faz-pulsaie, corespunztoare relaiei )()( Tarctg = , este reprezentat n partea b) a figurii, avnd n vedere c 0)0( = i

    2)( = (se reamintete c

    )()()(arg)( TarctgTactgjH === ).

    A[dB]

    [rad/s]

    a

    0

    -20

    10-1 1 1/T 10

    -20dB/dec

    [rad/s] 10-1 1/T 1 10

    -/4

    -/2

    b

    102

  • - 39 -

    Pulsaia Tf1= este denumit pulsaie de frngere, ntruct la aceast pulsaie are loc

    schimbarea de pant a asimptotelor. Pulsaia de frngere este egal cu inversul constantei de timp a elementului; aceast regul este valabil i pentru alte tipuri de elemente n a cror funcie de transfer intervin constante de timp.

    Funcia de transfer a elementului de ntrziere de ordinul nti are un pol la T

    s 1= , deci pulsaia de frngere este egal cu modulul valorii polului funciei de transfer. Aceast regul este general, adic pulsaiile de frngere sunt egale cu modulele polilor i zerourilor funciei de transfer a elementului respectiv.

    Pentru un element de ordinul doi a crui funcie de transfer 22

    2

    2)(

    nn

    n

    sssH

    ++=

    conine doi poli complex conjugai ( 10 >n) i pentru >

    Intersecia celor dou asimptote are loc la pulsaia de frngere nf = pentru care 01lglg ==

    n

    f

    . Eroarea fcut prin adaptarea caracteristicii asimptotice n locul

    caracteristicii exacte n acest caz depinde de valoarea lui :

    [ ] [ ] ][)()( dBAA vaproximatiexact =

  • - 40 -

    ][lg4041lg202

    22

    dBnnn

    +

    +

    =

    Pentru n = aceast eroare are expresia ][2lg20 dB =

    Reprezentarea grafic a caracteristicilor amplitudine-pulsaie i faz-pulsaie pentru diverse valori ale lui este dat n figura urmtoare. A(dB) 20 =0.1 10 =0.2 =0.3 0 0.2 0.5 1 5 10 (rad/s) -10 =0.5 =0.707 -20 -30

    a. (grad)

    0.2 0.5 1 2 5 10 [rad/s]

    0 =0.1 =0.3 -40 =0.5 =0.707 -60 -120 -160 -180

    b.

  • - 41 -

    Faza unui element de ordinul doi variaz ntre 00= pentru frecvene joase i

    0180= pentru frecvene foarte nalte.