Post on 02-Sep-2015
description
- 31 -
3.6. Analiza sistemelor de reglare automat pe baza metodelor de frecven
Metodele de analiz a sistemelor automate descrise pn aici necesit rezolvarea
ecuaiilor caracteristice aferente ecuaiilor difereniale care descriu funcionarea sistemelor. Pe de alt parte, cunoscnd funcia de transfer a sistemului, se aplic transformata Laplace invers mrimii de ieire Y(s)=H0(s)W(s), ceea ce impune cunoaterea rdcinilor numitorului funciei de transfer, deci tot cunoaterea rdcinilor ecuaiei caracteristice.
n cazul sistemelor descrise matematic prin ecuaii difereniale de ordin mai mare dect doi, rezolvarea ecuaiei caracteristice presupune efectuarea de calcule laborioase.
n domeniul analizei sistemelor de reglare automat, metodele de frecven au avantajul c permit s se obin, cu o anumit aproximaie, rspunsul indicial al unui sistem i deci s se determine performanele sistemului fr a fi necesar rezolvarea ecuaiei caracteristice, aferente ecuaiei difereniale care descrie matematic funcionarea sistemului. De asemenea, metodele de frecven permit aprecierea stabilitii sistemului.
Reprezentarea n frecven a unui sistem se obine prin aplicarea la intrarea sistemului
a unui semnal sinusoidal a = A sint (sau cosinusoidal b = B cost) de frecven 2
=f , care n cazul sistemelor liniare determin la ieirea acestora un rspuns sinusoidal (sau cosinusoidal) cu amplitudinea i faza diferite fa de semnalul de la intrare.
Aprecierea rspunsului n frecven al unui sistem definit prin funcia de transfer H(s) se face prin nlocuirea s=j n expresia funciei de transfer i pentru diverse valori ale pulsaiei se determin modulul i argumentul funciei H(j). Se cunoate c variabila complex s=+j este constituit din partea real i din partea imaginar j, ns pentru fenomene periodice partea real =0, deci H(s)=H(+j)=H(j).
Se consider sistemul automat reprezentat sub forma schemei bloc
i mrimile de intrare i de ieire sunt
r=Rcos(t+i) y=Ycos(t+e)
Aplicnd relaiile cunoscute de la trigonometrie se obin r=R(cost cosi sint sini) y=Y(cost cose sint sine)
Reprezentarea variaiei n timp a mrimilor de intrare i de ieire este urmtoarea:
SA r y
- 32 -
i t e
Se aplic transformata Laplace relaiilor pentru r i y i se ine seama de transformata Laplace pentru sin t i pentru cos t.
)sincos()( 22 iissRsR += (3.65)
)sincos()( 22 eessYsY +=
Se scrie funcia de transfer a sistemului
ii
ee
ii
ee
jj
RY
ss
RY
sRsYsH
sincos)(sincos)(
sincossincos
)()()( +
+===
i se ine seama s=j (deoarece 0= ), H(s)=H(j):
ii
ee
jj
RYjH
sincossincos)(
= Se simplific fracia prin i se nmulete numrtorul i numitorul cu j ( 12 =j ):
ii
ee
jj
RYjH
sincossincos)( +
+= innd seama de formulele lui Euler
)()( iei
ej
j
je
RY
ee
RYjH
==
Funcia de transfer astfel exprimat se poate reprezenta n coordonate polare printr-un vector
de modul RY i argument ).( ie
Dac
22][sin += stL
22][cos += sstL
RY
r, yr
y
- 33 -
Y, e=f() atunci
)(])([ )()()( jj eHeR
YjH ie == n care: H() este modulul, () este argumentul sau faza.
Fiind o mrime complex, H(j) se poate scrie i sub forma: )()()()( ImRe
)( jHHeHjH j +== 2Im
2Re )]([)]([)( HHH +=
)()()(
Re
Im
HHarctg=
Relaia )()()( jeHjH = reprezint caracteristica amplitudine-faz sau locul de
transfer. H()=f() reprezint caracteristica amplitudine-frecven (atenuare-frecven) care
este raportul dintre amplitudinile semnalelor de la ieire i de la intrare. Se mai noteaz A()=f().
()=f() reprezint caracteristica faz-frecven, adic defazarea ntre semnalul de la ieire i cel de la intrare.
3.6.1. Caracteristica amplitudine-faz
Caracteristica amplitudine-faz, sau locul de transfer, se traseaz pentru sistemul n circuit deschis (fr reacie), fiind utilizat pentru aprecierea stabilitii sistemului, precum i pentru obinerea celorlalte caracteristici de frecven. Caracteristica amplitudine-faz reprezint hodograful vectorului H(j) n planul complex pentru valori ale lui n domeniul +
- 34 -
Pentru a ilustra modul de trasare al hodografului considerm un sistem cu reacie
neunitar HT(s) 1 (adic traductorul are funcia de transfer neunitar), a crui funcie de transfer cu bucla de reacie deschis Hd(s) este dat de relaia
1
1)()( +== TssHHsH Td care reprezint un sistem de ordinul nti. nlocuim js = i obinem
HHT(j) 222222 111
11
)1)(1(1
11
TTj
TTTj
TjTjTj
Tj
+++=+
=+++=+=
11
111)(
22
2
22
2
22 +=
++
+= TTT
TjHHT
TarctgTarctgjHHjHHarctg
T
T === )(
)(Re)(Im)(
n figur se prezint locul de transfer (hodograful) pentru un sistem de ordinul nti. Pentru frecvene negative ( 0 ) locul de transfer este imaginea n oglind n raport cu axa real a locului pentru frecvene pozitive. Pentru un sistem de ordinul al doilea trasarea locului de transfer pornete de la expresia
vectorului )( jH obinut din funcia de transfer a sistemului de ordinul doi
22
2
2)(
nn
n
sssH
++=
prin nlocuirea js = .
=-90=
=0 =0Re
Im
- 35 -
[ ]
+
+
=
=+++=++=
2
22
2
2
24
4
2
22
2
2
24
2
24
222222
3422
22
2
41
2
41
1
4
22
)(
nnn
nn
nnn
nn
nn
nnn
nn
n
j
jj
jH
Modulul acestui vector este
22
22
22
2
22
2
22
22
2Im
2Re
41
1
41
41
)()()(
+
=
=
+
+
=+=
nn
nn
nnjHjHjH
iar argumentul este
21
2)(
=
n
narctg
Forma locului de transfer pentru sistemul de ordinul doi este dat n figura urmtoare.
Im
Re
21
1
3
- 36 -
3.6.2. Caracteristici logaritmice de frecven
n analiza i proiectarea sistemelor cu bucla de reacie deschis au o larg utilizare caracteristicile amplitudine-pulsaie i faz-pulsaie n reprezentare logaritmic (caracteristicile Bod), datorit unor avantaje:
1. Un prim avantaj permite construcia acestor caracteristici pentru un domeniu mai mare de frecvene dect scara liniar.
2. n al doilea rnd, la scri logaritmice cresc razele de curbur ale graficelor i deci acestea pot fi aproximate prin segmente de dreapt (prin asimptotele lor), fr erori importante.
3. n al treilea rnd, reprezentrile la scri logaritmice permit o trecere mai uoar de la caracteristicile elementelor componente la caracteristica unui ansamblu de elemente. Astfel, de exemplu, n cazul a trei elemente legate n serie, avnd caracteristicile amplitudine-pulsaie
,)(,)(,)( 321 jHjHjH caracteristica amplitudine-pulsaie )( jH a ansamblului se obine ca produs al celor trei caracteristici: )()()()( 321 jHjHjHjH = produs care trebuie efectuat cu modulele corespunztoare aceleiai valori pentru pulsaia ; operaia este laborioas. Dac reprezentarea caracteristicilor se face la scri logaritmice, atunci are loc relaia:
)(log)(log)(log)(log 321 jHjHjHjH ++= i deci caracteristica logaritmic a ansamblului se obine printr-o sumare grafic simpl a caracteristicilor elementelor componente. Amplitudinea unei funcii de transfer )( jHd (pentru un sistem cu bucla de reacie deschis sau n circuit deschis) se exprim n decibeli
][)(lg20)( dBjHA d = Caracteristicile amplitudine-pulsaie i faz-pulsaie sunt cunoscute sub denumirea de caracteristici Bod. Caracteristica amplitudine-pulsaie reprezint dependena amplitudinii, msurat n decibeli, de logaritmul frecvenei, iar caracteristica faz-pulsaie reprezint dependena ntre faz i logaritmul frecvenei.
La caracteristica faz-pulsaie numai axa pulsaiilor este gradat logaritmic, iar axa ordonatelor este gradat n radiani sau n grade, deoarece la nmulirea mai multor vectori compleci (care apare cnd mai multe elemente sunt legate n serie i se determin caracteristica ansamblului) argumentele se nsumeaz; nu apare astfel necesitatea logaritmrii, cum aprea n cazul modulelor, la care intervenea operaia de nmulire.
- 37 -
3.6.3. Caracteristici logaritmice de frecven pentru elemente tipizate
Pentru trasarea acestor caracteritici vom aproxima rspunsul lor n frecven prin
asimptotele obinute la 0 i . Elementul proporional, definit prin funcia de transfer H(s)=k, are amplitudinea egal cu
k i argumentul zero. (vezi exprimarea funciei de transfer cu ajutorul formulei lui Euler )()()( jeHjH = )
La trasarea caracteristicii )( se ine seama c === karctgH
Harctg 0)()()(
Re
Im .
Elementul de ntrziere de ordinul nti, 1
1)( += TssH . nlocuind js = rezult
111
11
11)( 222222 ++=+
=+= TTj
TTTj
TjjH
,
de unde
][1lg201
1lg20)(lg20)( 2222
dBTT
jHA +=+
==
)()()(arg)( TarctgTactgjH === Caracteristica )(A are dou asimptote, care pot fi determinate considernd nti
T 1. Pentru T
- 38 -
iar pentru >>1, deci pentru T1>> , aceeai expresie se poate aproxima prin:
TTTA lg20lg20)lg(20lg20)( 22 == Asimptota corespunztoare expresiei 01lg20)( =A coincide cu axa absciselor. Asimptota corespunztoare expresiei TA lg20lg20)( are o pant de 20 dB/dec i intersecteaz axa absciselor la pulsaia
T1= , deoarece din TA lg20lg20)( rezult:
0)1lg(20)( == TT
A Caracteristica logaritmic aproximativ amplitudine-pulsaie, format din cele dou segmente de asimptote, este reprezentat n figura urmtoare n partea a), iar caracteristica faz-pulsaie, corespunztoare relaiei )()( Tarctg = , este reprezentat n partea b) a figurii, avnd n vedere c 0)0( = i
2)( = (se reamintete c
)()()(arg)( TarctgTactgjH === ).
A[dB]
[rad/s]
a
0
-20
10-1 1 1/T 10
-20dB/dec
[rad/s] 10-1 1/T 1 10
-/4
-/2
b
102
- 39 -
Pulsaia Tf1= este denumit pulsaie de frngere, ntruct la aceast pulsaie are loc
schimbarea de pant a asimptotelor. Pulsaia de frngere este egal cu inversul constantei de timp a elementului; aceast regul este valabil i pentru alte tipuri de elemente n a cror funcie de transfer intervin constante de timp.
Funcia de transfer a elementului de ntrziere de ordinul nti are un pol la T
s 1= , deci pulsaia de frngere este egal cu modulul valorii polului funciei de transfer. Aceast regul este general, adic pulsaiile de frngere sunt egale cu modulele polilor i zerourilor funciei de transfer a elementului respectiv.
Pentru un element de ordinul doi a crui funcie de transfer 22
2
2)(
nn
n
sssH
++=
conine doi poli complex conjugai ( 10 >n) i pentru >
Intersecia celor dou asimptote are loc la pulsaia de frngere nf = pentru care 01lglg ==
n
f
. Eroarea fcut prin adaptarea caracteristicii asimptotice n locul
caracteristicii exacte n acest caz depinde de valoarea lui :
[ ] [ ] ][)()( dBAA vaproximatiexact =
- 40 -
][lg4041lg202
22
dBnnn
+
+
=
Pentru n = aceast eroare are expresia ][2lg20 dB =
Reprezentarea grafic a caracteristicilor amplitudine-pulsaie i faz-pulsaie pentru diverse valori ale lui este dat n figura urmtoare. A(dB) 20 =0.1 10 =0.2 =0.3 0 0.2 0.5 1 5 10 (rad/s) -10 =0.5 =0.707 -20 -30
a. (grad)
0.2 0.5 1 2 5 10 [rad/s]
0 =0.1 =0.3 -40 =0.5 =0.707 -60 -120 -160 -180
b.
- 41 -
Faza unui element de ordinul doi variaz ntre 00= pentru frecvene joase i
0180= pentru frecvene foarte nalte.