PROBLEME CELEBRE

Albrecht Dürer

Şi pătratul

luimagic

Albrecht Dürer (1471-1528) este considerat cel mai mare artist german din Renaştere.

În 1514 a creat o gravură intitulată “ Melancolie”.

Numele gravurii face aluzie la, ceea ce numim azi, unul dintre cele patru temperamente umane (sangvin, coleric, flegmatic si melancolic).

În timpul Renaşterii figura melancolică era asociată cu geniul şi creativitatea artistică.

Caracterul melancolic era cunoscut deasemenea ca “bilis negra” (fiere neagra), ceea ce se observă la faţa întunecată a îngerului.

Gravura este plină de simboluri, între ele balanţa, clepsidra, clopotele, etc. elemente relaţionate cu Saturn, zeul bătrâneţii şi al morţii.

Însa, cel mai ciudat obiect

este un pătrat împărţit în 16

pătrăţele, fiecare dintre ele cu un număr înăuntru.

Ca toţi marii artişti ai

Renaşterii, Dürer, în afară de pictor

era, gravor, anatomist, filozof şi foarte atras de

matematică.

Pătratul se vede astfel.

Ce are atât de magic?

Numărul 34!

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Suma fiecărei linii este 34

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Suma fiecărei coloane este 34

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Suma celor patru colţuri este 34

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Daca deplasăm numerele în sensul acelor de ceasornic, suma este

34.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Daca continuăm deplasarea, suma este 34.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Suma numerelor centrale este 34

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Din nou, 34!

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Tot aşa şi pe diagonale…

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Şi aşa, mereu 34!

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Dürer a realizat gravura asta în 1514, şi ca un ultim semn cu

ochiul, numerele centrale din ultimul rând

marchează anul.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Genial ! Se spune că Dürer era foarte mândru de pătratul lui, şi de câte ori avea prilejul, se lăuda

cu el.

Avea şi dreptate să o facă.

numerele din interiorul unui pătrat magic se află întotdeauna în progresie aritmetică

primul pas pentru construirea unui pătrat magic cu trei randuri şi trei coloane este alegerea a nouă numere în progresie aritmetica

de exemplu: 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, progresie aritmetică cu primul termen 3 şi raţia 7

numerele 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59 le vom trece în pătratul alăturat pentru a-l face magic.

Îi vom adăuga acestui pătrat încă patru pătrăţele: unul sus, unul jos, unul în stânga şi unul în dreapta.

Începem, de sus, şi pornim spre dreapta, cu trecerea numerelor:3, 10, 17

Continuăm cu 24:

Mai departe, înscriem numerele, unul după altul, pe diagonale.

La sfârşit figura va arăta aşa:

Mai departe facem următoarea şmecherie: îl lăsăm pe 3 să cadă de sus de unde se află el acum, până ajunge cel mai jos posibil, după care ştergem pătrăţelul suplimentar care a

rămas gol

59, care e jos de tot, se va duce cel mai sus cu putinţă, dupa care vom şterge pătrăţelul eliberat

În sfârşit, numărul cel mai din stânga îl ducem cel mai la dreapta şi viceversa, obţinând pătratul magic dorit

Suma magică a acestui pătrat este 93.

Se construieşte o progresie aritmetică de 9 numere

Se adaugă pătratului mare patru pătrăţele mici

Se înscriu cele nouă numere, în ordine, în figura obţinută

Se mută numerele în interiorul pătratului, respectând „regula celei mai îndepărtate poziţii”

Se şterg pătrăţelele suplimentare 

Desenează un pătrat 4x4, şi scrie numerele de la 1 la 16 în fiecare pătrăţel

Apoi cere-i spectatorului tău să încercuiască un număr şi să taie linia şi coloana corespunzătoare

Cere-i să repete paşii până nu mai rămâne niciun număr de ales

Pentru derutarea adversarului, zi ceva de genul că aceste numere, alese la întâmplare de el vor genera pătratul magic

Cere-i apoi să adune numerele încercuite din pătrat, dar să nu-ţi spună suma lor

Tu deja oricum ştii că suma aceea va fi întotdeauna 34!

Ia o altă foaie pe care îţi desenezi pătratul de 4x4, pe care îl vei completa cu numerele de la 1 la 16 încă o dată!

În final, ai creat cu succes un pătrat magic, pornind de la nişte „numere alese la întâmplare” de spectatorii tăi

Şi ai reuşit să-i uimeşti cu super abilităţile tale de matematician!