Post on 04-Apr-2018
7/29/2019 AnexaA1
1/13
Anexa 1
VALORI PROPRII I VALORI SINGULARE
A1.1. Valori i vectori proprii
Valorile i vectorii proprii joac un rol fundamental n descrierea matematic aunor categorii largi de procese tehnice, economice, biologice etc. De exemplu,
proprieti eseniale cum sunt cele referitoare la stabilitatea sistemelor dinamice
autonome modelate printr-un sistem de ecuaii difereniale liniare:
[ ] [ ]dx
A xdt
= (A1.1)
n care [ ] [ 1 2, ,..., ,...T
i n ]x x x x= este vectorul variabilelor de stare, se exprim prin
intermediul valorilor proprii ale matricei [ ]A , numit matrice de stare. Astfel,valorile proprii pot corespunde unor valori critice ale unor parametrii ai sistemuluidinamic, unor frecvene de oscilaie atunci cnd sunt complex conjugate etc.
n spaiul euclidian cu n dimensiuni transformarea, vectorului
[ ] [ ]1 2, ,..., ,...T
i nx x x x= n vectorul [ ] , prin intermediulmatricei [A], se definete cu relaia:
[ 1 2, ,..., ,...T
i ny y y y y= ]
[ ] [ ][ ]y A x= (A.1.2)
n care [ ] este o matricea ptrat real cu dimensiunea n x n.n nA R
n general, cei doi vectori [ ]i [ ]y sunt diferii (fig.A1.1,a), iar cnd acetiasunt coliniari (fig.A1.1,b), ei verific relaia :
[ ] [ ]y x= (A.1.3)
n care este un scalar.
[ ]x [ ]x
[ ]=[ ][ ]y A x [ ]= [ ]=y x [ ][ ]A x
a b Fig. A1.1. Transformrile liniare ale vectorului [x] n vectorul [y]
definite de matricea [A]
7/29/2019 AnexaA1
2/13
Dinamica sistemelor electroenergetice406
innd seama de relaia (A1.3), relaia (A1.2) devine:
[ ][ ] [ ]A x x= (A1.4)
Scalarii i vectorii [x], definii cu relaia (A1.4), reprezint valorile propriirespectiv vectorii proprii ai matricei [A]. Ecuaia (A1.4) se poate scrie sub forma:
[ ] [ ]( )[ ] 0A I x = (A1.5,a)
sau dezvoltat :
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
... 0
... 0
... ... ... ... ... ...... 0
n
n
n n nn n
a a a x
a a a x
a a a x
=
(A1.5,b)
n care [ este matricea unitate de ordinul n.]ISistemul de ecuaii (A1.5), fiind un sistem omogen, admite soluii nebanale
numai dac :
[ ] [ ]( )det 0A I = (A1.6)
Dezvoltnd determinantul din relaia (A1.6), dup puterile lui , se obineecuaia polinomial de ordinul n:
(A1.7)
1
0 1 1... 0
n n
n nb b b b
+ + + + =numit ecuaia caracteristic ale crei rdcini 1,2,...,n sunt cele n valori propriiale matricei [ . Valorile proprii pot fi reale, complexe, distincte sau multiple.]A
Soluia [ ] a sistemului de ecuaii (A1.5), corespunztoare
unei valori proprii , se numete vector propriu dreapta al matricei [ asociatvalorii proprii
[ ]1 2, ,...,T
i i i niR R R R=
i ]A
i . Acesta este un vector coloan care satisface relaia:
[ ][ ] [ ]i iA R R= i (A1.8)
Deoarece sistemul de ecuaii (A1.5) este omogen, iar vectorul [ ]iR este o
soluie a acestuia, atunci i vectorul [ ]iK R este o soluie. Prin urmare, exist o
infinitate de vectori proprii dreapta corespunztori valorii proprii i care diferntre ei doar prin scalarul multiplicator .K
n mod similar, vectorul linie [ ] [ ]1 2, ,...i i i iL L L L= n care satisface relaia:
[ ][ ] [ ]i iL A L= i (A1.9)
se numete vector propriu stnga al matricei [ ]A asociat valorii proprii .i
7/29/2019 AnexaA1
3/13
Anexa 1 Valori propriii valori singulare 407
Aplicnd operaia de transpunere relaiei (A1.9) rezult:
(A1.10)[ ] [ ] [ ]TT
i i iA L L= T
Deoarece matricele [ i]A [ ]T
A au aceleai valori proprii rezult c vectorul
propriu stnga [ ]iL este vectorul propriu dreapta al matricei [ ]T
A corespunztor
valorii proprii i .
Vectorii proprii dreapta iR i stnga jL , corespunztori la dou valori proprii
ii diferite, sunt ortogonali, adic:
[ ] 0j iL R = (A1.11)
n schimb, vectorii proprii corespunztori aceleiai valori proprii satisfacrelaia:
i
[ ][ ]i iL R Ci= (A1.12)
n care este o constant diferit de zero. Deoarece, aa cum s-a menionat maisus, vectorii proprii difer ntre ei printr-o constant multiplicativ, n practic sealege aceast constant astfel nct cei doi vectori proprii s fie normalizai, adic:
iC
[ ] [ ] 1i iL R = (A1.13)
Pentru a exprima n mod succint proprietile referitoare la vectorii i valorileproprii ale matricei [ , se definesc urmtoarele matrice:]A
matricea modal [ ] [11 1
1
1
...n
n
n nn
R R
]R R RR R
= =
"
# % #
"
ale crei coloane sunt
vectorii proprii dreapta;
matricea modal [ ]11 1 1
1
n
n nn
L L
L
L L n
L
L
= =
"
# % # #
"
ale crei linii sunt vectorii
proprii stnga;
matricea spectral [ ] {1
1
0
,...
0n
n
diag
} = =
"
# % #
"
ale crei
elemente diagonale sunt valorile proprii.
7/29/2019 AnexaA1
4/13
Dinamica sistemelor electroenergetice408
n ipoteza c valorile proprii sunt distincte, innd seama de relaiile (A1.9),(A1.11) i (A1.13), rezult c:
[ ][ ] [ ][ ]
[ ][ ] [ ][ ] [ ]
A R R
L R R L I
=
= =(A1.14)
n continuare, pe baza relaiilor (A1.14) se demonstreaz cu uurin c:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1
R A R L A R
= = (A1.15)
respectiv
(A1.16)[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]1
n
i i i
i
A R L R L
=
= =
Relaia (A1.16) definete descompunerea matricei [ ]A dup valorile i
vectorii proprii. n plus, dac matricea [ ]A nu este singular, adic dac valorileproprii sunt distincte i nenule, atunci inversa acesteia se obine cu relaia:
(A1.17)[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1
1
n
i i i
i
A R L R L
=
= =
A1.2. Analiza modal
Analiza modal este o metod de studiu a stabilitii sistemelor dinamicebazat pe calculul valorilori vectorilor proprii.
Utilizarea sistemului de ecuaii difereniale (A1.1), sub forma rezultat prinaplicarea legilor fizice, pentru a investiga comportamentul sistemului dinamicmodelat, este inadecvat deoarece matricea de stare [ ]A este, n majoritateacazurilor, o matrice nediagonal. Prin urmare, ntre variabilele de stare exist uncuplaj care face imposibil identificarea parametrilor cu o influen semnificativasupra comportamentului sistemului dinamic. Pentru a elimina acest dezavantaj seutilizeaz schimbarea de variabil:
( ) [ ] ( ) [ ] ( )1,..., ,...,i nt R z t R R R z t = =
(A1.18,a)
respectiv
(A1.18,b)( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( )
1
1i
n
L
z t R x t L x t L x t
L
= = =
#
#
n care: [ ]R i [ ]L sunt matricele modale ale matricei de stare [ ]A ;[ ]( )z t vectorul variabilelor de stare transformate, numite
variabile modale de stare.
7/29/2019 AnexaA1
5/13
Anexa 1 Valori propriii valori singulare 409
n aceste condiii sistemul de ecuaii (A1.1) devine:
[ ] [ ][ ][ ]dz
R A R zdt
=
(A1.19)
sau
[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]1dz
R A R z zdt
= =
(A1.20)
Dac 0dx dz
dt dt
= =
, atunci sistemul dinamic se afl n echilibru. n cazul
sistemelor liniare punctul de echilibru l constituie originea spaiului euclidian
ndimensional. Dac sistemul dinamic este perturbat, adic la momentul0 0t t= = [ ] ( ) ( ) [ ]0 1 0 ,..., 0 0,...,0nx x x = , atunci evoluia acestuia se obine
prin integrarea numeric a sistemului de ecuaii difereniale (A1.1). n acestsens, mai nti se integreaz sistemul transformat de ecuaii (A1.20). inndcont c matricea spectral [ este o matrice diagonal, acest sistem este constituitdin n ecuaii difereniale liniare independente de forma:
]
1,2,...,i i idz
z i ndt
= = (A1.21)
avnd soluia dat de:
( ) ( )0 1,2,.it
i iz t z e i n= = .., (A1.22)
n care ( )0iz este valoarea iniial a lui .iz
Avnd n vedere relaiile (A1.18) i (A1.22) rezult c:
( ) [ ] ( ) [ ] ( )1
0 in
ti i
i
t R z t R z e
=
= = (A1.23)respectiv
( ) [ ] ( )i iz t L x t = (A1.24)Conform relaiei (A1.24):
( ) [ ] [ ]00i iz L x iC= = (A1.25)Prin urmare, soluia general (A1.23) a sistemului de ecuaii difereniale (A1.1) devine:
( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]1 1
0 in n
ti i i i
i i
itx t R z t R z e R C e
= =
= = = (A1.26,a)
respectiv
( ) 11 1 ... ....ktt
i i ik k in nntx t R C e R C e R C e
= + + + + (A1.26,b)
7/29/2019 AnexaA1
6/13
Dinamica sistemelor electroenergetice410
Se observ c rspunsul sistemului la condiiile iniiale reprezentate devectorul [ ]0x este dat de combinaia liniar a celorn moduri dinamice de variaie
reprezentate de , numite i moduri modale de variaie, corespunztoare
valorilor proprii ale matricei de stare
( )iz t
[ ]A .
Analiznd relaiile (A1.26) rezult urmtoarea condiie de stabilitate:
pentru ca sistemul dinamic liniar (A1.1) s fie stabil (soluiile ( ) 0x t cnd
) este necesari suficient ca toate valorile propriit [ ] 1,2,...,i i n = alematricei [A] s aib partea real negativ.
Constanta iC , definit de relaia (A1.25), reprezint amplitudinea excitaieimodului de variaie i rezultat din condiiile iniiale. Dac vectorul condiiilor
iniiale este proporional cu vectorul propriu dreapta jR , atunci conform
relaiilor (A1.11), [ ] . Prin urmare, va fi activat doar
modulj de variaie.
[ ] [ ]0 0i i jL x L R i j = =
Din relaia (A1.18,a) rezult c elementele jiR ale vectorului propriu dreapta
[ ]iR dau forma modului de variaie i indicnd gradul de implicare sau activitatea
relativ a fiecrei variabile de stare j n modul de variaie i comparativ cu
celelalte variabile de stare. n mod similar, din relaia (A1.18,b),
rezult celementele ale vectorului propriu stngaijL [ ]iL definesc combinaia liniar a
variabilelor de stare [ ] n cadrul modului de variaie i. Astfel, valoareaelementului este o msur a activitii variabilei de stareijL n cadrul modului de
variaie i.
Din cele prezentate anterior rezult c vectorii proprii dreapta [ ]iR i stnga
ofer informaii pariale viznd contribuia unei variabile de stare[ ]iL jx n modulde variaie ii viceversa. Pentru a obine o informaie net a influenelor reciprocedintre o variabil de stare j i un mod de variaie modal i se definete matriceafactorilor de participare:
[ ] [ ]1,..., ,...,i nP P P P= (A1.27)n care:
(A1.28)[ ]
1 1 1
1,2,...,
i i i
i ji ji ij
ni ni in
P R L
P P R L i
P R L
= = =
# #
# #
n
7/29/2019 AnexaA1
7/13
Anexa 1 Valori propriii valori singulare 411
este vectorul de participare al variabilelor de stare [ ] la modul de variaie i.
Elementele jiP ale matricei de participare [ ]P se numesc factori departicipare i se determin cu relaia:
(A1.29)1,.2,..., i 1,.2,...,ji ji ijP R L i n j n= = =
Valoarea fiecrui factor de participare jiP indic participarea variabilei de stare
jx la modul de variaie modal i. Se precizeaz faptul c, n timp ce elementele
iji ijR L depind de unitile de msur folosite n cadrul modelului, factorii de
participare sunt adimensionali. n plus, avnd n vedere normalizarea vectorilorproprii, suma factorilor de participare asociai unui mod de variaie modal i,respectiv unei variabile de stare j , este 1. Prin urmare, suma elementelor de pe o
coloan, respectiv de pe o linie a matricei de participare [ ]P este 1, adic:
1 1
1n n
ji ji
j i
P P= =
= = (A1.30)
n funcie de natura valorilor proprii se disting urmtoarele dou moduri devariaie:
(i) Modurile de variaie non-oscilatorie sau modurile aperiodice asociate
valorilor proprii reale ale matricei de stare. n acest caz, att componentelevectorilor proprii ct i constantele sunt reale. Dac valoarea proprie estenegativ, atunci modul corespunztor este un mod aperiodic amortizat. n schimb,o valoare proprie pozitiv indic o instabilitate aperiodic. Trecerea unei valoriproprii reale din semiplanul stng n semiplanul drept, ca urmare a variaiei unuiparametru al sistemului dinamic, corespunde unei bifurcaii de tip nod a.
iC
(ii)Modurile de variaie oscilatorie asociate valorilor proprii complexe. Deoarecematricea de stare este o matrice real, valorile proprii complexe apar n perechicomplex conjugate, fiecrei perechi corespunzndu-i un mod de variaieoscilatoriu. Constantele i componentele vectorilor proprii corespunztorivalorilor proprii complex conjugate, vor avea i valori complexe astfel nct fiecare
dintre variabilele de stare s aib valori reale la orice moment de timp. Partea reala valorilor proprii complex conjugate ne d amortizarea, iar partea imaginarfrecvena de oscilaie. Astfel, pentru o pereche de valori proprii complex conjugate
iC
j = (A1.31)
frecvena de oscilaie n Hz este dat de:
2f
=
(A1.32)
7/29/2019 AnexaA1
8/13
Dinamica sistemelor electroenergetice412
iar factorul de amortizare de:
2 2
=
+ (A1.33)
Avnd n vedere condiia de stabilitate i relaia (A1.33) de definiie afactorului de amortizare, rezult c un factor de amortizare pozitiv corespunde unuimod oscilatoriu amortizat, n timp ce unul negativ corespunde unei instabilitioscilatorii. Trecerea unei perechi de valori proprii complex conjugate dinsemiplanul stng n semiplanul drept, ca urmare a variaiei unui parametru alsistemului dinamic, corespunde unei bifurcaii de Hopf.
n cazul unui mod oscilatoriu amortizat, constanta de timp a amortizrii
oscilaiilor este 1T= . Cu alte cuvinte, amplitudinea oscilaiilor scade la 1e
sau
la 37% din valoarea iniial dup 1T= secunde.
Referitor la utilizarea practic a analizei modale trebuie remarcat faptul cvalorile proprii situate n semiplanul stng al planului complex, dar apropiate deaxa imaginar, corespund unor moduri de variaie oscilatorie stabile slabamortizate. Pentru a elimina apariia unor astfel de oscilaii, se definete o zon destabilitate mai restrictiv dect axa imaginar, numit con de stabilitate (fig. A1.2).
Acesta este definit de dou semiaxe care fac unghiul2
< (unghiul limit al
conului de stabilitate) cu axa real.
Re
Im
1
2
3
4
Zona instabilZona stabil
Fig. A1.2. Definirea conului de stabilitateDac exist valori proprii situate n afara conului de stabilitate, ca de exemplu, i , se impune modificarea acelor parametrii ai sistemului dinamic care
determin deplasarea acestora n conul de stabilitate (anularea unghiului ).1 2 3
Exemplu de calcul numeric
Folosind tehnica analizei modale, s se studieze stabilitatea unui sistemdinamic liniar de ordinul doi avnd matricea de stare:
7/29/2019 AnexaA1
9/13
Anexa 1 Valori propriii valori singulare 413
[ ]1 3
3 1A
=
Ecuaia caracteristic este:
[ ] [ ]( ) 21 3
det 2 10 03 1
A I
= = + + =
,
iar valorile proprii rdcinile ecuaiei caracteristice sunt:
1 1 3j j = = .Modurile de variaie corespunztoare celor dou valori proprii sunt moduri
oscilatorii avnd:
frecvena de oscilaie
3
0.47752 2 Hz
= = =
factorul de amortizare( )
( ) ( )2 2 2 2
1 10.3162
101 3
= = = =
+ +
Vectorii proprii dreapta [ ]1R i [ ]2R corespunztori celor dou valori propriii se obin rezolvnd succesiv sistemul de ecuaii (A1.8). Astfel, pentru
rezult sistemul de ecuaii omogene:1 2
1 1 3j = +
1 11 11
1 21 21
1 3 3 3 0
3 1 3 3 0
R Rj
R Rj
= =
0
din care se obine o singur ecuaie independent 11 213 3j R R + = , avndsoluiile 11R K= i 11R jK= , n careKeste o constant arbitrar. Vectorul propriu
dreapta [ ]1R , corespunztor valorii proprii 1 1 3j = + , este [ ] .11
R Kj
=
n mod similar se determin vectorul propriu [ ]2R , corespunztor valorii
proprii , ca fiind [ ]2 1 j = 3 21
R Kj
=
Dac se alege1
0.70712
K= = , astfel nct vectorii proprii s fie
normalizai, rezult matricea modal [ ] 0.7071 70717071 7071
Rj j
= , respectiv matricea
modal [ ] .[ ] 10.7071 0.7071
0.7071 0.7071
jL R
j
= = + Deci, vectorii proprii dreapta sunt [ ] [ ]1 0.7071 0.7071L j= respectiv
. Se poate verifica cu uurin c[ ] [ ]2 0.7071 0.7071L j= + [ ][ ] [ ][ ]1 1 2 2 1L R L R= =
i [ ] .[ ] [ ][ ]1 2 2 1 0L R L R= =
7/29/2019 AnexaA1
10/13
Dinamica sistemelor electroenergetice414
Matricea factorilor de participare ai variabilelor de stare 1x i 2 la cele dou
moduri de variaie, calculai cu relaia (A1.29), este [ ]0.5 0.5
0.5 0.5P
=
.
Dac se consider c iniial sistemul se afl n starea [ ]00.5
0.5x
=
, atunci,
conform relaiilor (A1.26), variaia n timp a celor dou variabile de stare este datde relaiile:
( )
( )
1 2
1 2
1 11 1 21 2
2 21 1 22 2
t t
t t
x t R C e R C e
x t R C e R C e
= +
= +
n care , iar[ ] [ ]1 1 0 0.3536 0.3536C L x j= = [ ][ ]2 2 0 0.3536 0.3536C L x j= = + .n figura A2.3 este prezentat variaia celor dou variabile de stare 1 i 2x n
timpul tranziiei sistemului dinamic din starea iniial [ ]00.5
0.5x
=
ctre starea de
echilibru [ ] .0
0ex
=
Fig. A2.3. Evoluia temporar a variabilelor de stare 1 i 2x
A1.3. Valori singulare i vectori singulari
Calculul valorilor singulare i al vectorilor singulari asociai are la baztransformrile ortoganale i joac un rol esenial n evidenierea proprietilorstructurale legate de conceptul de rang matriceal. n acest context se reamintesc
cteva definiii referitoare la matricele ptrate xn nA R :
(i) dac [ ] atunci matricea este simetric;[ ]T
A A=
7/29/2019 AnexaA1
11/13
Anexa 1 Valori propriii valori singulare 415
(ii) dac [ ][ ] [ ] [ ]T TA A A A= , matricea este normal;
(iii) dac [ ] , matricea este ortogonal;[ ] [ ]T
A A I=
(iv) dac matricea [ este ortogonal i normal, atunci ea se numetematrice ortonormal sau unitar;
]A
(v) matricele ortogonale conserv normele matriceale i .2l Fl
Dac este o matrice ptrat de ordin n, atunci exist dou matrice
ortonormale i [ astfel nct:[ ]A
[ ]U ]V
(A1.34)[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]1
n TT
i i i
i
A U V U V=
= = n care: [ este o matrice diagonal ale crei elemente ] 1 2 ...n 0 sunt
valorile singulare ale matricei A; coloanele matricei[ ]iU [ ]U sunt vectorii singulari stnga
corespunztori valorilor singulare 1,i i n = ;
coloanele matricei[ ]iV [ ]V sunt vectorii singulari dreapta
corespunztori valorilor singulare 1,i i n = .
Relaia (A1.34) definete descompunerea dup valorile singulare a matricei. Rangul matricei este dat de numrul valorilor singulare nenule. Acestea sunt
rdcinile ptrate pozitive ale valorilor proprii ale matricei
[ ]A
[ ] [ ]T
A A care sunt si
valorile proprii ale matricei [ ] [ ]T
A A . ntr-adevr, matricele [ ]U i fiindortonormale satisfac relaiile:
[ ]V
(A1.35)[ ][ ] [ ] [ ] [ ]
[ ][ ] [ ] [ ] [ ]
T T
T T
U U U U I
V V V V I
= =
= =
Prin urmare, dac[ ] [ ] [ ] [ ]T
A U V= , atunci [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ][ ]T T T
A V U V U= = T
T
T
, iar
(A1.36)[ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ]
2
2
T T T
T T T
A A U V V U U U
A A V U U V V V
= =
= =
n concluzie, matricele [ ] iU [ ]T
U sunt matricele modale ale matricei
, iar matricele [ i[ ] [ ]T
A A ]V [ ]T
V sunt matricele modale ale matricei [ ] . Se
observ c dac matricea [ este simetric, atunci valorile proprii i valorilesingulare ale acesteia sunt identice.
[ ]T
A A
]A
7/29/2019 AnexaA1
12/13
Dinamica sistemelor electroenergetice416
ntre vectorii singulari i valorile singulare exist urmtoarele relaii:
i i
ti i
AV U
A U V
i
i
=
= (A1.35)
Dac matricea nu este singular, adic 0 1,2,...,i i n = , atunci rangul eieste n, iar inversa se obine cu relaia:
(A1.36)1
1
nT
i i i
i
A V U VU
=
= = 1 T
Matricea devine singular atunci cnd 1 2 1... 0n n > = . Prin urmare,
cea mai mic valoare singular n a matricei [ ]A , notat ( )min A , constituie omsur a distanei fa de cel mai apropiat set de matrice singulare de ordinul n, adicde setul matricelor de rang 1n . Avnd n vedere acest aspect, pentru aplicaiilepractice, ca de exemplu evaluarea stabilitii de tensiune a unui sistem electroenergetic,prezint interes algoritmul pentru calculul celei mai mici valori singulare i a
vectorilor singulari asociai in
[ ]nU [ ]nV . Acest algoritm are la baz metoda iteraiei
inverse aplicat matricei [ ] sau[ ]T
A A [ ] [ ]T
A A i cuprinde urmtorii pai:
1. Iniializeaz pasul curent de calcul 0p = i selecteaz valorile iniiale
ale vectorului singular dreapta ( )0nV
2. Itereaz2.1. rezolv sistemul [ ] ( ) ( )
T p p
n nA U V =
2.2. estimeaz valoarea minim singular ( )
( )2
2
p
n
np
n
V
U =
2.3. rezolv sistemul [ ] ( ) ( )1k kn nA V U+ =
2.4. estimeaz valoarea minim singular ( )
( )2
1
2
p
n
np
n
U
V+
=
pn cnd este satisfcut testul de convergen, adic pn cnddiferena dintre valorile estimate n doi pai succesivi este mai micdect o valoare aleas n funcie de precizia de calcul dorit.
Exemplu de calcul numeric
Se consider matricea [ ]2 3
1 2A
=
. Descompunerea dup valorile
singulare a acestei matrice, obinut folosind funcia svd (singular valuedecomposition) din MATLAB, este dat de:
7/29/2019 AnexaA1
13/13
Anexa 1 Valori propriii valori singulare 417
[ ] [ ] [ ] [ ]0.8507 0.5257 4.2361 0.5257 0.8507
0.5257 0.8507 0.2361 0.8507 0.5257
TT
A U V
= =
.
Deci, valorile singulare i vectorii singulari asociai sunt:
( )1 4.2361A = respectiv [ ]10.8507
0.5257U
=
i [ ]1
0.5257
0.8507V
=
( )2 0.2361A = respectiv [ ]20.5257
0.8507U
=
i [ ]2
0.8507
0.5257V
=
Se poate verifica cu uurin c:
[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 2 2 1T T
U U U U = = i [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 2 1 0T T
U U U U = =
respectiv[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 2 2 1
T TV V V V = = i [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 2 1 0
T TV V V V = =
adic matricele [ ]U i [ sunt ortonormale.]V