AnexaA1

7/29/2019 AnexaA1

1/13

Anexa 1

VALORI PROPRII I VALORI SINGULARE

A1.1. Valori i vectori proprii

Valorile i vectorii proprii joac un rol fundamental n descrierea matematic aunor categorii largi de procese tehnice, economice, biologice etc. De exemplu,

proprieti eseniale cum sunt cele referitoare la stabilitatea sistemelor dinamice

autonome modelate printr-un sistem de ecuaii difereniale liniare:

[ ] [ ]dx

A xdt

= (A1.1)

n care [ ] [ 1 2, ,..., ,...T

i n ]x x x x= este vectorul variabilelor de stare, se exprim prin

intermediul valorilor proprii ale matricei [ ]A , numit matrice de stare. Astfel,valorile proprii pot corespunde unor valori critice ale unor parametrii ai sistemuluidinamic, unor frecvene de oscilaie atunci cnd sunt complex conjugate etc.

n spaiul euclidian cu n dimensiuni transformarea, vectorului

[ ] [ ]1 2, ,..., ,...T

i nx x x x= n vectorul [ ] , prin intermediulmatricei [A], se definete cu relaia:

[ 1 2, ,..., ,...T

i ny y y y y= ]

[ ] [ ][ ]y A x= (A.1.2)

n care [ ] este o matricea ptrat real cu dimensiunea n x n.n nA R

n general, cei doi vectori [ ]i [ ]y sunt diferii (fig.A1.1,a), iar cnd acetiasunt coliniari (fig.A1.1,b), ei verific relaia :

[ ] [ ]y x= (A.1.3)

n care este un scalar.

[ ]x [ ]x

[ ]=[ ][ ]y A x [ ]= [ ]=y x [ ][ ]A x

a b Fig. A1.1. Transformrile liniare ale vectorului [x] n vectorul [y]

definite de matricea [A]

7/29/2019 AnexaA1

2/13

Dinamica sistemelor electroenergetice406

innd seama de relaia (A1.3), relaia (A1.2) devine:

[ ][ ] [ ]A x x= (A1.4)

Scalarii i vectorii [x], definii cu relaia (A1.4), reprezint valorile propriirespectiv vectorii proprii ai matricei [A]. Ecuaia (A1.4) se poate scrie sub forma:

[ ] [ ]( )[ ] 0A I x = (A1.5,a)

sau dezvoltat :

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

... 0

... 0

... ... ... ... ... ...... 0

n

n

n n nn n

a a a x

a a a x

a a a x

=

(A1.5,b)

n care [ este matricea unitate de ordinul n.]ISistemul de ecuaii (A1.5), fiind un sistem omogen, admite soluii nebanale

numai dac :

[ ] [ ]( )det 0A I = (A1.6)

Dezvoltnd determinantul din relaia (A1.6), dup puterile lui , se obineecuaia polinomial de ordinul n:

(A1.7)

1

0 1 1... 0

n n

n nb b b b

+ + + + =numit ecuaia caracteristic ale crei rdcini 1,2,...,n sunt cele n valori propriiale matricei [ . Valorile proprii pot fi reale, complexe, distincte sau multiple.]A

Soluia [ ] a sistemului de ecuaii (A1.5), corespunztoare

unei valori proprii , se numete vector propriu dreapta al matricei [ asociatvalorii proprii

[ ]1 2, ,...,T

i i i niR R R R=

i ]A

i . Acesta este un vector coloan care satisface relaia:

[ ][ ] [ ]i iA R R= i (A1.8)

Deoarece sistemul de ecuaii (A1.5) este omogen, iar vectorul [ ]iR este o

soluie a acestuia, atunci i vectorul [ ]iK R este o soluie. Prin urmare, exist o

infinitate de vectori proprii dreapta corespunztori valorii proprii i care diferntre ei doar prin scalarul multiplicator .K

n mod similar, vectorul linie [ ] [ ]1 2, ,...i i i iL L L L= n care satisface relaia:

[ ][ ] [ ]i iL A L= i (A1.9)

se numete vector propriu stnga al matricei [ ]A asociat valorii proprii .i

7/29/2019 AnexaA1

3/13

Anexa 1 Valori propriii valori singulare 407

Aplicnd operaia de transpunere relaiei (A1.9) rezult:

(A1.10)[ ] [ ] [ ]TT

i i iA L L= T

Deoarece matricele [ i]A [ ]T

A au aceleai valori proprii rezult c vectorul

propriu stnga [ ]iL este vectorul propriu dreapta al matricei [ ]T

A corespunztor

valorii proprii i .

Vectorii proprii dreapta iR i stnga jL , corespunztori la dou valori proprii

ii diferite, sunt ortogonali, adic:

[ ] 0j iL R = (A1.11)

n schimb, vectorii proprii corespunztori aceleiai valori proprii satisfacrelaia:

i

[ ][ ]i iL R Ci= (A1.12)

n care este o constant diferit de zero. Deoarece, aa cum s-a menionat maisus, vectorii proprii difer ntre ei printr-o constant multiplicativ, n practic sealege aceast constant astfel nct cei doi vectori proprii s fie normalizai, adic:

iC

[ ] [ ] 1i iL R = (A1.13)

Pentru a exprima n mod succint proprietile referitoare la vectorii i valorileproprii ale matricei [ , se definesc urmtoarele matrice:]A

matricea modal [ ] [11 1

1

1

...n

n

n nn

R R

]R R RR R

= =

"

# % #

"

ale crei coloane sunt

vectorii proprii dreapta;

matricea modal [ ]11 1 1

1

n

n nn

L L

L

L L n

L

L

= =

"

# % # #

"

ale crei linii sunt vectorii

proprii stnga;

matricea spectral [ ] {1

1

0

,...

0n

n

diag

} = =

"

# % #

"

ale crei

elemente diagonale sunt valorile proprii.

7/29/2019 AnexaA1

4/13


n ipoteza c valorile proprii sunt distincte, innd seama de relaiile (A1.9),(A1.11) i (A1.13), rezult c:

[ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ] [ ][ ] [ ]

A R R

L R R L I

=

= =(A1.14)

n continuare, pe baza relaiilor (A1.14) se demonstreaz cu uurin c:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1

R A R L A R

= = (A1.15)

respectiv

(A1.16)[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]1

n

i i i

i

A R L R L

=

= =

Relaia (A1.16) definete descompunerea matricei [ ]A dup valorile i

vectorii proprii. n plus, dac matricea [ ]A nu este singular, adic dac valorileproprii sunt distincte i nenule, atunci inversa acesteia se obine cu relaia:

(A1.17)[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1

1

n

i i i

i

A R L R L

=

= =

A1.2. Analiza modal

Analiza modal este o metod de studiu a stabilitii sistemelor dinamicebazat pe calculul valorilori vectorilor proprii.

Utilizarea sistemului de ecuaii difereniale (A1.1), sub forma rezultat prinaplicarea legilor fizice, pentru a investiga comportamentul sistemului dinamicmodelat, este inadecvat deoarece matricea de stare [ ]A este, n majoritateacazurilor, o matrice nediagonal. Prin urmare, ntre variabilele de stare exist uncuplaj care face imposibil identificarea parametrilor cu o influen semnificativasupra comportamentului sistemului dinamic. Pentru a elimina acest dezavantaj seutilizeaz schimbarea de variabil:

( ) [ ] ( ) [ ] ( )1,..., ,...,i nt R z t R R R z t = =

(A1.18,a)

respectiv

(A1.18,b)( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( )

1

1i

n

L

z t R x t L x t L x t

L

= = =

#

#

n care: [ ]R i [ ]L sunt matricele modale ale matricei de stare [ ]A ;[ ]( )z t vectorul variabilelor de stare transformate, numite

variabile modale de stare.

7/29/2019 AnexaA1

5/13


n aceste condiii sistemul de ecuaii (A1.1) devine:

[ ] [ ][ ][ ]dz

R A R zdt

=

(A1.19)

sau

[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]1dz

R A R z zdt

= =

(A1.20)

Dac 0dx dz

dt dt

= =

, atunci sistemul dinamic se afl n echilibru. n cazul

sistemelor liniare punctul de echilibru l constituie originea spaiului euclidian

ndimensional. Dac sistemul dinamic este perturbat, adic la momentul0 0t t= = [ ] ( ) ( ) [ ]0 1 0 ,..., 0 0,...,0nx x x = , atunci evoluia acestuia se obine

prin integrarea numeric a sistemului de ecuaii difereniale (A1.1). n acestsens, mai nti se integreaz sistemul transformat de ecuaii (A1.20). inndcont c matricea spectral [ este o matrice diagonal, acest sistem este constituitdin n ecuaii difereniale liniare independente de forma:

]

1,2,...,i i idz

z i ndt

= = (A1.21)

avnd soluia dat de:

( ) ( )0 1,2,.it

i iz t z e i n= = .., (A1.22)

n care ( )0iz este valoarea iniial a lui .iz

Avnd n vedere relaiile (A1.18) i (A1.22) rezult c:

( ) [ ] ( ) [ ] ( )1

0 in

ti i

i

t R z t R z e

=

= = (A1.23)respectiv

( ) [ ] ( )i iz t L x t = (A1.24)Conform relaiei (A1.24):

( ) [ ] [ ]00i iz L x iC= = (A1.25)Prin urmare, soluia general (A1.23) a sistemului de ecuaii difereniale (A1.1) devine:

( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]1 1

0 in n

ti i i i

i i

itx t R z t R z e R C e

= =

= = = (A1.26,a)

respectiv

( ) 11 1 ... ....ktt

i i ik k in nntx t R C e R C e R C e

= + + + + (A1.26,b)

7/29/2019 AnexaA1

6/13


Se observ c rspunsul sistemului la condiiile iniiale reprezentate devectorul [ ]0x este dat de combinaia liniar a celorn moduri dinamice de variaie

reprezentate de , numite i moduri modale de variaie, corespunztoare

valorilor proprii ale matricei de stare

( )iz t

[ ]A .

Analiznd relaiile (A1.26) rezult urmtoarea condiie de stabilitate:

pentru ca sistemul dinamic liniar (A1.1) s fie stabil (soluiile ( ) 0x t cnd

) este necesari suficient ca toate valorile propriit [ ] 1,2,...,i i n = alematricei [A] s aib partea real negativ.

Constanta iC , definit de relaia (A1.25), reprezint amplitudinea excitaieimodului de variaie i rezultat din condiiile iniiale. Dac vectorul condiiilor

iniiale este proporional cu vectorul propriu dreapta jR , atunci conform

relaiilor (A1.11), [ ] . Prin urmare, va fi activat doar

modulj de variaie.

[ ] [ ]0 0i i jL x L R i j = =

Din relaia (A1.18,a) rezult c elementele jiR ale vectorului propriu dreapta

[ ]iR dau forma modului de variaie i indicnd gradul de implicare sau activitatea

relativ a fiecrei variabile de stare j n modul de variaie i comparativ cu

celelalte variabile de stare. n mod similar, din relaia (A1.18,b),

rezult celementele ale vectorului propriu stngaijL [ ]iL definesc combinaia liniar a

variabilelor de stare [ ] n cadrul modului de variaie i. Astfel, valoareaelementului este o msur a activitii variabilei de stareijL n cadrul modului de

variaie i.

Din cele prezentate anterior rezult c vectorii proprii dreapta [ ]iR i stnga

ofer informaii pariale viznd contribuia unei variabile de stare[ ]iL jx n modulde variaie ii viceversa. Pentru a obine o informaie net a influenelor reciprocedintre o variabil de stare j i un mod de variaie modal i se definete matriceafactorilor de participare:

[ ] [ ]1,..., ,...,i nP P P P= (A1.27)n care:

(A1.28)[ ]

1 1 1

1,2,...,

i i i

i ji ji ij

ni ni in

P R L

P P R L i

P R L

= = =

# #

# #

n

7/29/2019 AnexaA1

7/13


este vectorul de participare al variabilelor de stare [ ] la modul de variaie i.

Elementele jiP ale matricei de participare [ ]P se numesc factori departicipare i se determin cu relaia:

(A1.29)1,.2,..., i 1,.2,...,ji ji ijP R L i n j n= = =

Valoarea fiecrui factor de participare jiP indic participarea variabilei de stare

jx la modul de variaie modal i. Se precizeaz faptul c, n timp ce elementele

iji ijR L depind de unitile de msur folosite n cadrul modelului, factorii de

participare sunt adimensionali. n plus, avnd n vedere normalizarea vectorilorproprii, suma factorilor de participare asociai unui mod de variaie modal i,respectiv unei variabile de stare j , este 1. Prin urmare, suma elementelor de pe o

coloan, respectiv de pe o linie a matricei de participare [ ]P este 1, adic:

1 1

1n n

ji ji

j i

P P= =

= = (A1.30)

n funcie de natura valorilor proprii se disting urmtoarele dou moduri devariaie:

(i) Modurile de variaie non-oscilatorie sau modurile aperiodice asociate

valorilor proprii reale ale matricei de stare. n acest caz, att componentelevectorilor proprii ct i constantele sunt reale. Dac valoarea proprie estenegativ, atunci modul corespunztor este un mod aperiodic amortizat. n schimb,o valoare proprie pozitiv indic o instabilitate aperiodic. Trecerea unei valoriproprii reale din semiplanul stng n semiplanul drept, ca urmare a variaiei unuiparametru al sistemului dinamic, corespunde unei bifurcaii de tip nod a.

iC

(ii)Modurile de variaie oscilatorie asociate valorilor proprii complexe. Deoarecematricea de stare este o matrice real, valorile proprii complexe apar n perechicomplex conjugate, fiecrei perechi corespunzndu-i un mod de variaieoscilatoriu. Constantele i componentele vectorilor proprii corespunztorivalorilor proprii complex conjugate, vor avea i valori complexe astfel nct fiecare

dintre variabilele de stare s aib valori reale la orice moment de timp. Partea reala valorilor proprii complex conjugate ne d amortizarea, iar partea imaginarfrecvena de oscilaie. Astfel, pentru o pereche de valori proprii complex conjugate

iC

j = (A1.31)

frecvena de oscilaie n Hz este dat de:

2f

=

(A1.32)

7/29/2019 AnexaA1

8/13


iar factorul de amortizare de:

2 2

=

+ (A1.33)

Avnd n vedere condiia de stabilitate i relaia (A1.33) de definiie afactorului de amortizare, rezult c un factor de amortizare pozitiv corespunde unuimod oscilatoriu amortizat, n timp ce unul negativ corespunde unei instabilitioscilatorii. Trecerea unei perechi de valori proprii complex conjugate dinsemiplanul stng n semiplanul drept, ca urmare a variaiei unui parametru alsistemului dinamic, corespunde unei bifurcaii de Hopf.

n cazul unui mod oscilatoriu amortizat, constanta de timp a amortizrii

oscilaiilor este 1T= . Cu alte cuvinte, amplitudinea oscilaiilor scade la 1e

sau

la 37% din valoarea iniial dup 1T= secunde.

Referitor la utilizarea practic a analizei modale trebuie remarcat faptul cvalorile proprii situate n semiplanul stng al planului complex, dar apropiate deaxa imaginar, corespund unor moduri de variaie oscilatorie stabile slabamortizate. Pentru a elimina apariia unor astfel de oscilaii, se definete o zon destabilitate mai restrictiv dect axa imaginar, numit con de stabilitate (fig. A1.2).

Acesta este definit de dou semiaxe care fac unghiul2

< (unghiul limit al

conului de stabilitate) cu axa real.

Re

Im

1

2

3

4

Zona instabilZona stabil

Fig. A1.2. Definirea conului de stabilitateDac exist valori proprii situate n afara conului de stabilitate, ca de exemplu, i , se impune modificarea acelor parametrii ai sistemului dinamic care

determin deplasarea acestora n conul de stabilitate (anularea unghiului ).1 2 3

Exemplu de calcul numeric

Folosind tehnica analizei modale, s se studieze stabilitatea unui sistemdinamic liniar de ordinul doi avnd matricea de stare:

7/29/2019 AnexaA1

9/13


[ ]1 3

3 1A

=

Ecuaia caracteristic este:

[ ] [ ]( ) 21 3

det 2 10 03 1

A I

= = + + =

,

iar valorile proprii rdcinile ecuaiei caracteristice sunt:

1 1 3j j = = .Modurile de variaie corespunztoare celor dou valori proprii sunt moduri

oscilatorii avnd:

frecvena de oscilaie

3

0.47752 2 Hz

= = =

factorul de amortizare( )

( ) ( )2 2 2 2

1 10.3162

101 3

= = = =

+ +

Vectorii proprii dreapta [ ]1R i [ ]2R corespunztori celor dou valori propriii se obin rezolvnd succesiv sistemul de ecuaii (A1.8). Astfel, pentru

rezult sistemul de ecuaii omogene:1 2

1 1 3j = +

1 11 11

1 21 21

1 3 3 3 0

3 1 3 3 0

R Rj

R Rj

= =

0

din care se obine o singur ecuaie independent 11 213 3j R R + = , avndsoluiile 11R K= i 11R jK= , n careKeste o constant arbitrar. Vectorul propriu

dreapta [ ]1R , corespunztor valorii proprii 1 1 3j = + , este [ ] .11

R Kj

=

n mod similar se determin vectorul propriu [ ]2R , corespunztor valorii

proprii , ca fiind [ ]2 1 j = 3 21

R Kj

=

Dac se alege1

0.70712

K= = , astfel nct vectorii proprii s fie

normalizai, rezult matricea modal [ ] 0.7071 70717071 7071

Rj j

= , respectiv matricea

modal [ ] .[ ] 10.7071 0.7071

0.7071 0.7071

jL R

j

= = + Deci, vectorii proprii dreapta sunt [ ] [ ]1 0.7071 0.7071L j= respectiv

. Se poate verifica cu uurin c[ ] [ ]2 0.7071 0.7071L j= + [ ][ ] [ ][ ]1 1 2 2 1L R L R= =

i [ ] .[ ] [ ][ ]1 2 2 1 0L R L R= =

7/29/2019 AnexaA1

10/13


Matricea factorilor de participare ai variabilelor de stare 1x i 2 la cele dou

moduri de variaie, calculai cu relaia (A1.29), este [ ]0.5 0.5

0.5 0.5P

=

.

Dac se consider c iniial sistemul se afl n starea [ ]00.5

0.5x

=

, atunci,

conform relaiilor (A1.26), variaia n timp a celor dou variabile de stare este datde relaiile:

( )

( )

1 2

1 2

1 11 1 21 2

2 21 1 22 2

t t

t t

x t R C e R C e

x t R C e R C e

= +

= +

n care , iar[ ] [ ]1 1 0 0.3536 0.3536C L x j= = [ ][ ]2 2 0 0.3536 0.3536C L x j= = + .n figura A2.3 este prezentat variaia celor dou variabile de stare 1 i 2x n

timpul tranziiei sistemului dinamic din starea iniial [ ]00.5

0.5x

=

ctre starea de

echilibru [ ] .0

0ex

=

Fig. A2.3. Evoluia temporar a variabilelor de stare 1 i 2x

A1.3. Valori singulare i vectori singulari

Calculul valorilor singulare i al vectorilor singulari asociai are la baztransformrile ortoganale i joac un rol esenial n evidenierea proprietilorstructurale legate de conceptul de rang matriceal. n acest context se reamintesc

cteva definiii referitoare la matricele ptrate xn nA R :

(i) dac [ ] atunci matricea este simetric;[ ]T

A A=

7/29/2019 AnexaA1

11/13


(ii) dac [ ][ ] [ ] [ ]T TA A A A= , matricea este normal;

(iii) dac [ ] , matricea este ortogonal;[ ] [ ]T

A A I=

(iv) dac matricea [ este ortogonal i normal, atunci ea se numetematrice ortonormal sau unitar;

]A

(v) matricele ortogonale conserv normele matriceale i .2l Fl

Dac este o matrice ptrat de ordin n, atunci exist dou matrice

ortonormale i [ astfel nct:[ ]A

[ ]U ]V

(A1.34)[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]1

n TT

i i i

i

A U V U V=

= = n care: [ este o matrice diagonal ale crei elemente ] 1 2 ...n 0 sunt

valorile singulare ale matricei A; coloanele matricei[ ]iU [ ]U sunt vectorii singulari stnga

corespunztori valorilor singulare 1,i i n = ;

coloanele matricei[ ]iV [ ]V sunt vectorii singulari dreapta

corespunztori valorilor singulare 1,i i n = .

Relaia (A1.34) definete descompunerea dup valorile singulare a matricei. Rangul matricei este dat de numrul valorilor singulare nenule. Acestea sunt

rdcinile ptrate pozitive ale valorilor proprii ale matricei

[ ]A

[ ] [ ]T

A A care sunt si

valorile proprii ale matricei [ ] [ ]T

A A . ntr-adevr, matricele [ ]U i fiindortonormale satisfac relaiile:

[ ]V

(A1.35)[ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ][ ] [ ] [ ] [ ]

T T

T T

U U U U I

V V V V I

= =

= =

Prin urmare, dac[ ] [ ] [ ] [ ]T

A U V= , atunci [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ][ ]T T T

A V U V U= = T

T

T

, iar

(A1.36)[ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ]

2

2

T T T

T T T

A A U V V U U U

A A V U U V V V

= =

= =

n concluzie, matricele [ ] iU [ ]T

U sunt matricele modale ale matricei

, iar matricele [ i[ ] [ ]T

A A ]V [ ]T

V sunt matricele modale ale matricei [ ] . Se

observ c dac matricea [ este simetric, atunci valorile proprii i valorilesingulare ale acesteia sunt identice.

[ ]T

A A

]A

7/29/2019 AnexaA1

12/13


ntre vectorii singulari i valorile singulare exist urmtoarele relaii:

i i

ti i

AV U

A U V

i

i

=

= (A1.35)

Dac matricea nu este singular, adic 0 1,2,...,i i n = , atunci rangul eieste n, iar inversa se obine cu relaia:

(A1.36)1

1

nT

i i i

i

A V U VU

=

= = 1 T

Matricea devine singular atunci cnd 1 2 1... 0n n > = . Prin urmare,

cea mai mic valoare singular n a matricei [ ]A , notat ( )min A , constituie omsur a distanei fa de cel mai apropiat set de matrice singulare de ordinul n, adicde setul matricelor de rang 1n . Avnd n vedere acest aspect, pentru aplicaiilepractice, ca de exemplu evaluarea stabilitii de tensiune a unui sistem electroenergetic,prezint interes algoritmul pentru calculul celei mai mici valori singulare i a

vectorilor singulari asociai in

[ ]nU [ ]nV . Acest algoritm are la baz metoda iteraiei

inverse aplicat matricei [ ] sau[ ]T

A A [ ] [ ]T

A A i cuprinde urmtorii pai:

1. Iniializeaz pasul curent de calcul 0p = i selecteaz valorile iniiale

ale vectorului singular dreapta ( )0nV

2. Itereaz2.1. rezolv sistemul [ ] ( ) ( )

T p p

n nA U V =

2.2. estimeaz valoarea minim singular ( )

( )2

2

p

n

np

n

V

U =

2.3. rezolv sistemul [ ] ( ) ( )1k kn nA V U+ =

2.4. estimeaz valoarea minim singular ( )

( )2

1

2

p

n

np

n

U

V+

=

pn cnd este satisfcut testul de convergen, adic pn cnddiferena dintre valorile estimate n doi pai succesivi este mai micdect o valoare aleas n funcie de precizia de calcul dorit.

Exemplu de calcul numeric

Se consider matricea [ ]2 3

1 2A

=

. Descompunerea dup valorile

singulare a acestei matrice, obinut folosind funcia svd (singular valuedecomposition) din MATLAB, este dat de:

7/29/2019 AnexaA1

13/13


[ ] [ ] [ ] [ ]0.8507 0.5257 4.2361 0.5257 0.8507

0.5257 0.8507 0.2361 0.8507 0.5257

TT

A U V

= =

.

Deci, valorile singulare i vectorii singulari asociai sunt:

( )1 4.2361A = respectiv [ ]10.8507

0.5257U

=

i [ ]1

0.5257

0.8507V

=

( )2 0.2361A = respectiv [ ]20.5257

0.8507U

=

i [ ]2

0.8507

0.5257V

=

Se poate verifica cu uurin c:

[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 2 2 1T T

U U U U = = i [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 2 1 0T T

U U U U = =

respectiv[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 2 2 1

T TV V V V = = i [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 2 1 0

T TV V V V = =

adic matricele [ ]U i [ sunt ortonormale.]V

AnexaA1

Documents

Transcript of AnexaA1