1
Vectori în sistemul cartezian xOy
În reperul cartezian xOy , fiecărui punct P (x,y) din plan îi corespunde vectorul de poziţie OP = x i + y jPr
, iar abscisa x şi ordonata y sunt
coordonatele vectorului OP
unde ,i j
sunt versori unitate. Notaţie ,OP x y
Dacă avem punctele ( ) ( ), , ,A A B BA x y B x y atunci ( ) ( )B A B AAB x x i y y j= - + -
.
Prin modulul unui vector înţelegem lungimea vectorului adică 2 2x i + y jv x y= ⋅ ⋅ = +
.
Dacă avem vectorii 1 1 1v x i y j
şi 2 2 2v x i y j
atunci
1 2 1 2 1 2v v x x i y y j
1 2 1 2 1 2v v x x y y
Produsul scalar:
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2
cos ,
cos ,
v v v v v v
v v x x y yv v
v v x y x y
1 2 1 2 1 2 0v v x x y y
adică produsul scalar trebuie să fie nul.
2 20, 1i j j i i j⋅ = ⋅ = = =
22 2 2v v x y= = +
1 11 2
2 2
x yv v
x y sau coliniari
Important:
Vectorul de poziţie al mijlocului segmentului AB este : .2
A BM
r rr
Vectorul de poziţie al centrului de greutate G este : .3
A B CG
r r rr
1. Fie punctele )1;2( A şi ).3;1(B Să se determine numerele reale a şi b astfel încât
.A B a i b j
v1 2. În reperul cartezian xOy se consideră punctele )8;4( A şi ).3;6(B Să se determine
coordonatele vectorului .OBOA v2 3. Să se determine numărul real a ştiind că vectorii jaiu
2 şi jaiv
)2(3 sunt
coliniari. v4 4. În reperul cartezian ( jiO
,, ) se consideră vectorii jiu
23 şi .5 jiv
Să se
determine coordonatele vectorului .35 vu
v5
2
5. Să se determine coordonatele punctului B, ştiind că 3, 4A şi AB i j
. v9
6. Se consideră vectorii 3 4v i j
şi 2 3 .u i j
Să se determine coordonatele vectorului 2 3 .w v u
v10 7.În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele
1,2 , 1,1A B , 3,5C şi 5,D a , unde a . Să se determine a astfel
încât dreptele AB şi CD să fie paralele. v11
8. În reperul cartezian xOy se consideră vectorii (2; 3)OA
şi (1, 2)OB
. Să se determine numerele reale şi pentru care vectorul 3 5OA OB
are coordonatele );( .v18
9. În reperul cartezian xOy se consideră vectorii (2; 1)OA
şi (1, 2)OB
. Să se determine coordonatele vectorului OM
, unde M este mijlocul segmentului AB. v23
10. Să se determine numărul real m pentru care vectorii jiv
32 şi jmiw
sunt coliniari. v26
11. Să se determine coordonatele vectorului v OA OB
, ştiind că 2,3A şi 1,5B .
v50 12. Să se determine coordonatele punctului M , mijlocul segmentului AB ştiind că
3 4OA i j
şi 7 2OB i j
. v88 13. Se consideră reperul cartezian xOy şi punctele )1;1( A şi B(3;5). Să se determine
coordonatele punctului C din plan astfel încât OA OB OC
. v95 14. Fie vectorii 3u mi j
şi 2v m i j
. Să se determine 0m astfel încât
vectorii u
şi v
să fie perpendiculari. V2 15. Să se determine a pentru care vectorii 1u ai a j
şi
5 1 2v a i j
sunt perpendiculari. V4
16. Se consideră triunghiul ABC cu vârfurile în 1,2 , 2, 2A B şi 4,6C .Să se
calculeze cosB. V6 17. Să se arate că unghiul vectorilor 5 4u i j
şi 2 3v i j
este obtuz. V10
18. Să se determine a pentru care vectorii 3u ai j
şi 4 4v i a j
sunt
coliniari. V18
19. Să se calculeze ( )AB AC BC⋅ +
, ştiind că ( ) ( )3,4 , 4, 3A B- - şi ( )1,2C . V18
20. Să se calculeze 2 5 3 4i j i j
. V24
21. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele 0,0 , 1,2O A şi
3,1B . Să se determine măsura unghiului AOB. V27
22. Fie punctele 2,0 , 1,1A B şi 3, 2C . Să se calculeze sinC. V29
23. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele 2, 1 , 1,1 , 1,3A B C şi ,4D a . Să se determine a pentru care dreptele
AB şi CD sunt paralele. V33
3
24. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele 2, 1 , 1,1 , 1,3A B C şi ,4D a . Să se determine a pentru care dreptele
AB şi CD sunt perpendiculare. V34 25. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele 2, 1 , 1,2M A şi
4,1B . Să se calculeze lungimea vectorului MA MB
. V40
26. Să se determine m astfel încât vectorii 1 8u m i j
şi 1 4v m i j
să fie coliniari. V52
27. Fie vectorii ,a i j b i j= + = -
şi 6 2u i j= +
. Să se determine ,p r Î astfel
încât u pa rb= +
. V53
28. Fie 2 , 3A Br i j r i j= + = +
şi 3 2Cr i j= +
vectori de poziţie ai vârfurilor triunghiului ABC. Să se determine vectorul de poziţie al centrului de greutate al triunghiului ABC. V54
29. Fie punctele 0,0 , 2,1O A şi ( )2.1B - . Să se determine cosinusul unghiului
format de vectorii OA
şi OB
. V55
30. Să se calculeze 2 2u v-
ştiind că 3 2u v i j- = +
şi 2 3u v i j+ = +
. V56
31. Fie vectorii u
şi v
. Ştiind că 5, 2u v u⋅ = =
şi 3v =
să se calculeze
( )( )cos ,u v
. V60
32. Punctele A, B, şi G au vectorii de poziţie 4 7 , 2A Br i j r i j= + = -
,
4 4Gr i j= +
. Să se determine vectorul de poziţie a punctului C astfel încât punctul G să fie centru de greutate al triunghiului ABC. V61
33. Fie vectorii u
şi v
. Dacă 1, 2u v= =
şi măsura unghiului vectorilor u
şi v
este3
p, să se calculeze ( ) ( )2 2u v v u+ ⋅ -
. V61
34. Se consideră vectorii u i j
şi 2 4v i j
. Să se calculeze modulul vectorului u v+
. V76
35. Se consideră punctele 1,0 , 2,3A B şi 1,4C . Să se calculeze AB AC⋅
. V82
36. Să se determine m ştiind că vectorii 2 3u i j
şi 4v mi j
sunt perpendiculari. V83
37. Să se determine a pentru care vectorii 1 1v ai a j
şi 2 3 5v i j
sunt
coliniari. V87 38. Să se determine a pentru care vectorii 1 2 2u a i a j
şi
1v a i j
sunt perpendiculari. V92
39. Să se demonstreze că vectorii 3u i aj
şi 1v a i aj
nu pot fi
perpendiculari pentru nici o valoare reală a numărului a. V95
4
40. Să se arate că unghiul vectorilor 2u i aj
şi v i j
este obtuz dacă şi numai dacă 2a> . V96
41. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A, B, C astfel încât
( ) ( )1,3 , 2,5A B şi 2AC AB=
. Să se afle coordonatele punctului C. V97
42. Se consideră punctele 1,2 , 2,5M N şi 3, ,P m m . Să se determine valorile
reale ale lui m astfel încât 5MN MP⋅ =
. V99 43. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele
2,1 , 2,3A B , 1, 3C şi 4,D a , unde a . Să se determine a astfel
încât dreptele AB şi CD să fie paralele. Bac2010 44. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele
2,0 , 1, 1 , 0,0A B O . Determinați coordonatele punctului C pentru care
2 OC OA OB . Bac2010
45. Triunghiul ABC are măsura unghiului de 060 , 4AB şi 5AC . Calculaţi AB AC
. . Bac2011
46. Fie 1,0G centrul de greutate al triunghiului ABC , unde 2,5A și 1, 3B .
Determinați coordonatele punctului C . Bac2011 o 47. Se consideră vectorii 2u i j
și v ai j
. Determinați numărul real a pentru care
3u v
Bac2012 v 48. Dacă , ,O i j
este un reper ortonormat și 2 , 2u i j v i j
, calculați aria
triunghiului având două laturi u
și v
. Simulare 2012
49. În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1,3A și 7,12B . Determinați
coordonatele punctului M știind că 1
3AM AB
. Bac2012 v r
50. Determinați numărul real a pentru care vectorii 3u i a j
și 2 3v ai a j
sunt
coliniari. Bac2012 o 51. Se consideră punctele ,A B și C astfel încât 6AB i j
și 4 6
BC i j . Determinați
lungimea segmentului AC . Model Bac2013
52. Determinați numărul real a pentru care vectorii 4u i j
și 2 1v i a j
sunt
coliniari. Bac2013 v 53. Se consideră punctele ,A B și C astfel încât 4 3AB i j
și 2 5BC i j
. Determinați
lungimea vectorului AC
. Bac2013 t 54. În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1,1A și 4,1B . Determinați
coordonatele punctului M știind că 1
3AM AB
. Bac2013 t r
55. Se consideră punctele A, B si C astfel încât 4 3AB i j
si 2 5BC i j
.Determinaţi lungimea vectorului AB AC BC
Bac2014m
Top Related