1

Vectori în sistemul cartezian xOy

În reperul cartezian xOy , fiecărui punct P (x,y) din plan îi corespunde vectorul de poziţie OP = x i + y jPr

, iar abscisa x şi ordonata y sunt

coordonatele vectorului OP

unde ,i j

sunt versori unitate. Notaţie ,OP x y

Dacă avem punctele ( ) ( ), , ,A A B BA x y B x y atunci ( ) ( )B A B AAB x x i y y j= - + -

.

Prin modulul unui vector înţelegem lungimea vectorului adică 2 2x i + y jv x y= ⋅ ⋅ = +

.

Dacă avem vectorii 1 1 1v x i y j

şi 2 2 2v x i y j

atunci

1 2 1 2 1 2v v x x i y y j

1 2 1 2 1 2v v x x y y

Produsul scalar:

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2

1 2 1 1 2 2

cos ,

cos ,

v v v v v v

v v x x y yv v

v v x y x y

1 2 1 2 1 2 0v v x x y y

adică produsul scalar trebuie să fie nul.

2 20, 1i j j i i j⋅ = ⋅ = = =

22 2 2v v x y= = +

1 11 2

2 2

x yv v

x y sau coliniari

Important:

Vectorul de poziţie al mijlocului segmentului AB este : .2

A BM

r rr

Vectorul de poziţie al centrului de greutate G este : .3

A B CG

r r rr

1. Fie punctele )1;2( A şi ).3;1(B Să se determine numerele reale a şi b astfel încât

.A B a i b j

v1 2. În reperul cartezian xOy se consideră punctele )8;4( A şi ).3;6(B Să se determine

coordonatele vectorului .OBOA v2 3. Să se determine numărul real a ştiind că vectorii jaiu

2 şi jaiv

)2(3 sunt

coliniari. v4 4. În reperul cartezian ( jiO

,, ) se consideră vectorii jiu

23 şi .5 jiv

Să se

determine coordonatele vectorului .35 vu

v5

2

5. Să se determine coordonatele punctului B, ştiind că 3, 4A şi AB i j

. v9

6. Se consideră vectorii 3 4v i j

şi 2 3 .u i j

Să se determine coordonatele vectorului 2 3 .w v u

v10 7.În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele

1,2 , 1,1A B , 3,5C şi 5,D a , unde a . Să se determine a astfel

încât dreptele AB şi CD să fie paralele. v11

8. În reperul cartezian xOy se consideră vectorii (2; 3)OA

şi (1, 2)OB

. Să se determine numerele reale şi pentru care vectorul 3 5OA OB

are coordonatele );( .v18

9. În reperul cartezian xOy se consideră vectorii (2; 1)OA

şi (1, 2)OB

. Să se determine coordonatele vectorului OM

, unde M este mijlocul segmentului AB. v23

10. Să se determine numărul real m pentru care vectorii jiv

32 şi jmiw

sunt coliniari. v26

11. Să se determine coordonatele vectorului v OA OB

, ştiind că 2,3A şi 1,5B .

v50 12. Să se determine coordonatele punctului M , mijlocul segmentului AB ştiind că

3 4OA i j

şi 7 2OB i j

. v88 13. Se consideră reperul cartezian xOy şi punctele )1;1( A şi B(3;5). Să se determine

coordonatele punctului C din plan astfel încât OA OB OC

. v95 14. Fie vectorii 3u mi j

şi 2v m i j

. Să se determine 0m astfel încât

vectorii u

şi v

să fie perpendiculari. V2 15. Să se determine a pentru care vectorii 1u ai a j

şi

5 1 2v a i j

sunt perpendiculari. V4

16. Se consideră triunghiul ABC cu vârfurile în 1,2 , 2, 2A B şi 4,6C .Să se

calculeze cosB. V6 17. Să se arate că unghiul vectorilor 5 4u i j

şi 2 3v i j

este obtuz. V10

18. Să se determine a pentru care vectorii 3u ai j

şi 4 4v i a j

sunt

coliniari. V18

19. Să se calculeze ( )AB AC BC⋅ +

, ştiind că ( ) ( )3,4 , 4, 3A B- - şi ( )1,2C . V18

20. Să se calculeze 2 5 3 4i j i j

. V24

21. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele 0,0 , 1,2O A şi

3,1B . Să se determine măsura unghiului AOB. V27

22. Fie punctele 2,0 , 1,1A B şi 3, 2C . Să se calculeze sinC. V29

23. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele 2, 1 , 1,1 , 1,3A B C şi ,4D a . Să se determine a pentru care dreptele

AB şi CD sunt paralele. V33

3

24. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele 2, 1 , 1,1 , 1,3A B C şi ,4D a . Să se determine a pentru care dreptele

AB şi CD sunt perpendiculare. V34 25. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele 2, 1 , 1,2M A şi

4,1B . Să se calculeze lungimea vectorului MA MB

. V40

26. Să se determine m astfel încât vectorii 1 8u m i j

şi 1 4v m i j

să fie coliniari. V52

27. Fie vectorii ,a i j b i j= + = -

şi 6 2u i j= +

. Să se determine ,p r Î astfel

încât u pa rb= +

. V53

28. Fie 2 , 3A Br i j r i j= + = +

şi 3 2Cr i j= +

vectori de poziţie ai vârfurilor triunghiului ABC. Să se determine vectorul de poziţie al centrului de greutate al triunghiului ABC. V54

29. Fie punctele 0,0 , 2,1O A şi ( )2.1B - . Să se determine cosinusul unghiului

format de vectorii OA

şi OB

. V55

30. Să se calculeze 2 2u v-

ştiind că 3 2u v i j- = +

şi 2 3u v i j+ = +

. V56

31. Fie vectorii u

şi v

. Ştiind că 5, 2u v u⋅ = =

şi 3v =

să se calculeze

( )( )cos ,u v

. V60

32. Punctele A, B, şi G au vectorii de poziţie 4 7 , 2A Br i j r i j= + = -

,

4 4Gr i j= +

. Să se determine vectorul de poziţie a punctului C astfel încât punctul G să fie centru de greutate al triunghiului ABC. V61

33. Fie vectorii u

şi v

. Dacă 1, 2u v= =

şi măsura unghiului vectorilor u

şi v

este3

p, să se calculeze ( ) ( )2 2u v v u+ ⋅ -

. V61

34. Se consideră vectorii u i j

şi 2 4v i j

. Să se calculeze modulul vectorului u v+

. V76

35. Se consideră punctele 1,0 , 2,3A B şi 1,4C . Să se calculeze AB AC⋅

. V82

36. Să se determine m ştiind că vectorii 2 3u i j

şi 4v mi j

sunt perpendiculari. V83

37. Să se determine a pentru care vectorii 1 1v ai a j

şi 2 3 5v i j

sunt

coliniari. V87 38. Să se determine a pentru care vectorii 1 2 2u a i a j

şi

1v a i j

sunt perpendiculari. V92

39. Să se demonstreze că vectorii 3u i aj

şi 1v a i aj

nu pot fi

perpendiculari pentru nici o valoare reală a numărului a. V95

4

40. Să se arate că unghiul vectorilor 2u i aj

şi v i j

este obtuz dacă şi numai dacă 2a> . V96

41. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A, B, C astfel încât

( ) ( )1,3 , 2,5A B şi 2AC AB=

. Să se afle coordonatele punctului C. V97

42. Se consideră punctele 1,2 , 2,5M N şi 3, ,P m m . Să se determine valorile

reale ale lui m astfel încât 5MN MP⋅ =

. V99 43. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele

2,1 , 2,3A B , 1, 3C şi 4,D a , unde a . Să se determine a astfel

încât dreptele AB şi CD să fie paralele. Bac2010 44. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele

2,0 , 1, 1 , 0,0A B O . Determinați coordonatele punctului C pentru care

2 OC OA OB . Bac2010

45. Triunghiul ABC are măsura unghiului de 060 , 4AB şi 5AC . Calculaţi AB AC

. . Bac2011

46. Fie 1,0G centrul de greutate al triunghiului ABC , unde 2,5A și 1, 3B .

Determinați coordonatele punctului C . Bac2011 o 47. Se consideră vectorii 2u i j

și v ai j

. Determinați numărul real a pentru care

3u v

Bac2012 v 48. Dacă , ,O i j

este un reper ortonormat și 2 , 2u i j v i j

, calculați aria

triunghiului având două laturi u

și v

. Simulare 2012

49. În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1,3A și 7,12B . Determinați

coordonatele punctului M știind că 1

3AM AB

. Bac2012 v r

50. Determinați numărul real a pentru care vectorii 3u i a j

și 2 3v ai a j

sunt

coliniari. Bac2012 o 51. Se consideră punctele ,A B și C astfel încât 6AB i j

și 4 6

BC i j . Determinați

lungimea segmentului AC . Model Bac2013

52. Determinați numărul real a pentru care vectorii 4u i j

și 2 1v i a j

sunt

coliniari. Bac2013 v 53. Se consideră punctele ,A B și C astfel încât 4 3AB i j

și 2 5BC i j

. Determinați

lungimea vectorului AC

. Bac2013 t 54. În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1,1A și 4,1B . Determinați

coordonatele punctului M știind că 1

3AM AB

. Bac2013 t r

55. Se consideră punctele A, B si C astfel încât 4 3AB i j

si 2 5BC i j

.Determinaţi lungimea vectorului AB AC BC

Bac2014m