2.SOLICITRI AXIALE
2.1 Generaliti
O bar dreapt este supus la ntindere sau la compresiune dac n seciunile sale transversale exist fore axiale.
ntr-o seciune, dac fora axial N este orientat spre exteriorul seciunii, solicitarea este de ntindere, iar dac acioneaz spre interiorul seciunii, solicitarea este de compresiune. Analiza celor dou solicitri este identic, diferind doar sensul forei axiale, dar exist unele diferene. Aa cum s-a artat n capitolul 1, fora axial din seciunea barei este egal cu suma proieciilor forelor din stnga sau din dreapta seciunii, pe direcia axei barei.
Reprezentarea variaiei forei axiale n lungul axei barei reprezint diagrama de fore axiale. n figura 2.1, pentru bara solicitat prin forele 2F, 6F i 10F s-a trasat diagrama N, reprezentnd forele axiale pozitive deasupra unei axe de referin, paralel cu axa barei, iar valorile negative ale forelor axiale sub aceast ax.
Fig. 2.1
ELEMENTE DE REZISTENA MATERIALELOR
Forele axiale s-au calculat astfel:
N1-2=2F, N2-3=2F-6F=-4F, N3-4=2F-6F+10F=6F.
Se observ c fora axial maxim este Nmax = 6F.
Pentru stabilirea relaiilor de calcul ale tensiunilor i deplasrilor considerm o bar dreapt de seciune constant supus la ntindere de ctre fora F, conform figurii 2.2. Secionnd bara cu un plan normal pe axa barei, rezult N=F.
Fig. 2.2
n seciunea barei iau natere tensiunile normale , iar acestea nsumate pe ntreaga seciune A echivaleaz cu fora axial
N= dAA . (2.1)
Conform ipotezei lui Bernoulli, toate fibrele barei se lungesc cu aceeai cantitate, deoarece o seciune plan i normal la axa barei, nainte de solicitarea acesteia rmne plan i normal la axa barei i dup solicitarea acesteia, deci lungirile specifice sunt constante pe ntreaga seciune. Aplicnd legea lui Hooke ( = E), se constat c tensiunea este constant pe ntreaga seciune. Relaia (2.1) rezult sub forma
N= A
dA =A . (2.2)
Tensiunea normal produs la ntindere sau compresiune este:
= AN
, (2.3)
unde N este fora axial din seciune i A este aria seciunii. Unitatea de msur pentru tensiune este N/mm2 sau MPa.
26
2.SOLICITRI AXIALE
n aplicaii se efectueaz urmtoarele calcule de rezisten:
1) Verificare pentru bara de seciune constant
ef = AN
a ; [N/mm2],[MPa] (2.4)
n care N este fora axial maxim, luat din diagrama de variaie a acesteia n lungul barei, iar a este rezistena admisibil a materialului barei.
Dac bara nu este de seciune constant, iar fora axial este constant ca n figura 2.3, calculul de verificare se efectueaz n seciunea net cu aria cea mai mic.
Fig. 2.3
Astfel tensiunile n cele trei seciuni sunt:
max332211 2d)h(bF,
d)h(bF,
hbF =
=
== .
Seciunea n care se produce cea mai mare tensiune se numete seciune periculoas.
Atunci cnd bara este realizat din tronsoane cu seciuni diferite (fig. 2.4) calculul de verificare trebuie efectuat pentru fiecare tronson n parte.
Astfel, pentru primul tronson din diagrama N rezult c Nmax = 3F, iar tensiunea maxim
A3F
1 = .
Pentru al doilea tronson Nmax= 9F, iar tensiunea maxim
AF4,5
2A9F
2 == .
Deci, tensiunea maxim n bar este 2 .
27
ELEMENTE DE REZISTENA MATERIALELOR
Fig. 2.4
Dac bara este dintr-un material care se comport deosebit la ntindere fa de compresiune, cum este cazul fontei sau a altor materiale, calculul de verificare trebuie efectuat pentru fiecare solicitare n parte. Astfel, pentru bara din figura 2.5 solicitat prin forele 3F i 8F, condiiile ca bara s reziste sunt:
Fig. 2.5
,A5F
,A3F
acc
att
=
=
at fiind rezistena admisibil a materialului la traciune, iar ac rezistena admisibil a materialului la compresiune.
Atunci cnd materialele au aceeai comportare la ntindere i la compresiune, calculul de verificare se face la fora axial maxim.
2) Dimensionarea barei de seciune constant
28
2.SOLICITRI AXIALE
Anec = a
N ; [mm
2] (2.5)
unde N este fora axial maxim din diagrama de variaie a forei axiale;
3) Determinarea forei capabile
Ncap = Aef a. [N] (2.6)
Din legea lui Hooke rezult expresia lungirii specifice
=EAN
E= , (2.7)
iar expresia deformaiei (lungirii) totale a barei este
EAN== ll . (2.8)
Se observ c lungirea l este cu att mai mic cu ct produsul dintre modulul de elasticitate E al materialului i aria seciunii transversale A este mai mare. De aceea produsul EA se numete modul de rigiditate la ntindere-compresiune al seciunii transversale.
La o bar dreapt format din mai multe tronsoane cu seciuni i materiale diferite, solicitat prin fore axiale, deformaia axial a acesteia este dat de relaia
l = =
n
i ii
ii
AElN
1 , (2.9)
unde Ni , n [N], este fora axial care acioneaz pe fiecare interval; Ai, n [mm2], este aria suprafeei seciunii barei; li, n [mm], este lungimea intervalului i Ei , n [N/mm2] sau [MPa], este modulul de elasticitate longitudinal al materialului.
Pentru traciune (ntindere), forele axiale, tensiunile i deformaiile sunt pozitive, iar pentru compresiune ele sunt negative.
n aplicaii se folosesc i urmtoarele relaii de calcul funcie de deformaiile impuse:
- de verificare
alEANll = , [mm] (2.10)
n care la este lungirea admis;
- de dimensionare,
29
ELEMENTE DE REZISTENA MATERIALELOR
anec lE
NlA
= ; [mm2] (2.11)
- calculul forei axiale capabile
EAll
N acap
= . [N] (2.12)
Dac n calcule este necesar s se foloseasc ambele forme de relaii de calcul, att cea de rezisten, ct i cea de rigiditate, atunci se alege soluia care le asigur pe amndou, adic cea mai mare valoare pentru dimensionare sau verificare i cea mai mic valoare pentru for capabil.
Aplicaia 1
O bar de aluminiu cu seciunea 3x30 mm2, solicitat la ntindere cu fora F = 1,5 kN, are pe o poriune de 40mm seciunea 3x10 mm2 (fig. 2.6). S se calculeze tensiunea maxim n bar i lungirea total a acesteia. Se d E = 7104 MPa.
Fig. 2.6
Rezolvare
Verificarea barei trebuie efectuat n seciunea de arie minim, rezultnd
50MPa3x101500
AN
min
===ef .
Lungirea barei este
.Ab
A2a
ENl
21
+=
nlocuind cu datele problemei, se obine
30
2.SOLICITRI AXIALE
mm.0,12103
403032002
1071500l 4 =
+
=
Aplicaia 2
O lamel de cupru cu seciunea dreptunghiular h = 1,5b este solicitat la ntindere prin fora F = 1200 N (fig. 2.7). S se dimensioneze lamela i s se calculeze lungirea total. Se dau: a = 40 MPa, E = 11104 MPa.
Fig. 2.7
Rezolvare
Utiliznd relaia de dimensionare, se obine
Anec = 230mm401200 = .
Dar A = bh = 1,5b2, rezultnd b = 4,47 mm, h = 6,72 mm.
Lungirea total este
.0,009mm301011
251200l 4 ==
Aplicaia 3
Bara din oel (fig. 2.8) cu seciunea circular de diametru d = 40 mm este solicitat prin forele 2F i 5F. S se determine sarcina capabil a barei i lungirea total. Se dau: a = 150 MPa, E = 21104 MPa.
Rezolvare
Trasnd diagrama de variaie a forei axiale rezult c Nmax = 3F. Sarcina capabil este
Ncap = aAef = 3F, de unde
31
ELEMENTE DE REZISTENA MATERIALELOR
N62832440
3150F
2
== .
Fig. 2.8
Lungirea total a barei este
.EA3Fa
EA2Fbl =
nlocuind cu datele problemei, se obine
( ) mm0,033130315024001021
62832l 4 ==
.
Deci bara se scurteaz cu 0,033 mm.
2.2 Concentrarea tensiunilor
Orice variaie brusc de seciune, ca de exemplu, degajri, guri, canale, filete etc., reprezint un concentrator de tensiune. n zona concentrrilor, distribuia tensiunilor nu se repartizeaz uniform pe suprafaa seciunii transversale, producndu-se un efect de concentrare a tensiunilor.
Studiile teoretice i experimentale au demonstrat c tensiunea maxim
minmax A
N= prezint corect starea se tensiune din seciune, dar la o distan
suficient de mare de zona n care apare variaia de seciune, iar n apropierea acesteia, distribuia tensiunilor este neuniform, conform figurii 2.9.
Pentru orice variant de concentrator (fig. 2.9, a,b,c), tensiunea maxim se poate calcula cu relaia
32
2.SOLICITRI AXIALE
nkk ==min
max AN
, (2.13)
n care k este coeficientul de concentrare a tensiunilor la solicitare static, iar n este tensiunea nominal, ntr-o seciune deprtat de concentrator.
Fig. 2.9
Valorile coeficientului de concentrare a tensiunilor depind numai de configuraia geometric a concentratorilor i de tipul de solicitare, ns doar pentru materialele cu comportare liniar elastic. Coeficientul poate fi determinat prin calcul sau experimental. Rezultatele acestor determinri sunt prezentate sub form de diagrame n literatura de specialitate.
Deformaia global a barei nu este influenat semnificativ de prezena concentratorilor de tensiuni. Concentratorii de tensiuni au un efect deosebit de periculos n cazul materialelor fragile, la care tensiunea maxim poate produce
33
ELEMENTE DE REZISTENA MATERIALELOR
ruperea. Dac materialul este tenace, atunci efectul de concentrare dup atingerea limitei de curgere a materialului nu se mai manifest.
2.3 Bare i sisteme de bare static nedeterminate
Un sistem este static nedeterminat atunci cnd numrul ecuaiilor de echilibru static nu este suficient pentru determinarea reaciunilor din reazeme sau eforturilor din bare. Pentru rezolvarea acestor sisteme se folosesc, pe lng ecuaiile de echilibru static i condiiile suplimentare de deformaie. Numrul condiiilor de deformaie trebuie s fie egal cu gradul de nedeterminare static, adic cu diferena dintre numrul necunoscutelor i numrul ecuaiilor de echilibru static.
Un mod foarte folosit este scrierea ecuaiilor de deformaii prin deducere fizico-geometric, observndu-se particularitile deformrii fiecrui sistem n parte.
Se prezint, n continuare, cteva tipuri de sisteme de bare static nedeterminate, solicitate axial, la care rezolvarea ecuaiilor de deformaii se bazeaz pe considerente fizico-geometrice.
2.3.1 Bara dublu articulat la capete
Fie bara dreapt articulat la ambele capete (fig. 2.10), de rigiditate constant EA, solicitat axial prin fora F, aplicat n punctul 3.
Fig. 2.10
34
2.SOLICITRI AXIALE
Sistemul este simplu static nedeterminat. Reaciunile H1 i H2 din cele dou articulaii rezult din sistemul format din ecuaia de echilibru static i din condiia de deformaie, adic deplasarea relativ a articulaiilor 1 i 2 este nul:
=+=+=
=+
0.EA
F)b(HEA
aH;0lll
F;HH
113213tot
21
(2.14)
Din rezolvarea sistemului (2.14) rezult H1= lFb
i H2= lFa
. Cunoscnd
valorile reaciunilor se poate trasa diagrama de fore axiale N, ca n figura 2.10.
Metoda de calcul poate fi folosit i n cazul general, cnd n lungul barei se aplic mai multe fore, iar rigiditatea este variabil.
2.3.2 Bare cu seciune neomogen
Se consider o bar cu seciune neomogen, format din mai multe elemente din materiale diferite, dar toate avnd aceeai lungime, cum ar fi cabluri cu fire din diverse materiale, stlpi din beton armat etc. Se admite c elementele componente sunt dispuse simetric n jurul centrului de greutate al seciunii transversale. Spre exemplificare, se reprezint o astfel de bar, format din trei elemente cu rigiditi diferite, conform figurii 2.11, avnd aceeai lungime l. Asupra barei acioneaz fora de compresiune F, for care se distribuie n cele trei bare componente sub forma eforturilor necunoscute N1, N2 i N3.
Fig. 2.11
35
ELEMENTE DE REZISTENA MATERIALELOR
Ecuaiile sistemului sunt:
-ecuaia de echilibru static
N1+N2+N3=F; (2.15)
-condiiile de deformaie; deformaiile celor trei bare sunt egale:
l1 = l2 = l3; 33
3
22
2
11
1
AEN
AEN
AEN
== ; (2.16)
Din sistemul de ecuaii (2.15) i (2.16) rezult eforturile necunoscute N1, N2 i N3. tiind c rapoartele (2.16) sunt egale i cu raportul dintre suma numrtorilor i suma numitorilor se obine
Nk = n
1ii
kk
AE
AFE. (2.17)
Tensiunile n bare sunt:
3
33
2
22
1
11 A
N,
AN
,AN
=== . (2.18)
Aplicaia 4
Un cablu aerian monofazat este format dintr-un miez de cupru, dou straturi de nveli izolator din policlorur de vinil (PCV) i un strat de plumb, ca n seciunea din figura 2.12. Cablul este solicitat la traciune printr-o for F = 15 kN. Se cere s se determine tensiunile n cele trei materiale. Se dau: ECu=E1=11104MPa, EPb = E2 = 17103 MPa, EPCV = E3 = 103 MPa.
Rezolvare
Pentru a calcula tensiunile n cele trei materiale trebuie cunoscute valorile forelor preluate de fiecare din acestea.
Ecuaia de echilibru din static este
F1+F2+F3 = F,
rezultnd o singur ecuaie cu trei necunoscute, problema fiind, deci dublu static nedeterminat.
Cele dou condiii suplimentare n deformaii se refer la faptul c cele trei materiale lucreaz mpreun i au deci, aceleai alungiri, adic
36
2.SOLICITRI AXIALE
1 = 2 = 3 sau 3
3
2
2
1
1
EEE == .
Fig. 2.12
Amplificnd numrtorii i numitorii fraciilor de mai sus cu ariile fiecrui material, se obine relaia
33221133
33
22
22
11
11
AEAEAEF
AEA
AEA
AEA
++===
Tensiunile n cele trei materiale sunt:
1
33
1
221
1
EAE
EAEA
F
++= ;
2
33
2
112
2
EAE
EAEA
F
++= ;
.
EAE
EAE
A
F
3
22
3
113
3
++=
Ariile celor trei materiale sunt:
A1 = ACu = 9,52 = 283,53 mm2,
A2 = APb = (20,52-17,52) = 358,14 mm2,
A3 = APcv = (17,52-9,52+23,52-20,52) = 1093,3 mm2.
37
ELEMENTE DE REZISTENA MATERIALELOR
Rezult valorile tensiunilor n cele trei materiale:
0,39MPa.358,14
0,11,7283,53
0,1111093,3
15000
6,65MPa,1093,3
1,70,1283,53
1,711358,14
15000
43MPa,1093,3
110,1358,14
111,7283,53
15000
3
2
1
=++
=
=++
=
=++
=
Pentru a se putea aprecia dac acest cablu rezist la fora de traciune dat, trebuie ca tensiunile calculate n cele trei materiale s fie inferioare rezistenelor admisibile ale materialelor respective, adic
1
2.SOLICITRI AXIALE
tEAN == . (2.21)
Fig. 2.13
Dac la unul din capetele barei drepte exist un joc (fig. 2.13, b), atunci relaia de deformaie este de forma
lt=lN+. (2.22)
2.3.4 Sisteme de bare paralele
Se consider o bar dreapt, rigid, orizontal suspendat prin trei tije sau cabluri verticale de lungimi i rigiditi diferite (l1, E1, A1, l2, E2, A2, l3, E3, A3) solicitat cu fora vertical F (Fig. 2.14).
Necunoscutele sunt eforturile N1, N2 i N3, iar sistemul este simplu static nedeterminat. Pe lng dou ecuaii de echilibru static se mai poate scrie i o condiie de deformaie.
Deoarece bara orizontal este rigid, ea rmne rectilinie, dar se deplaseaz n poziia AC, ca urmare a deformrii tijelor verticale. Obinndu-se triunghiuri asemenea n forma deformat, rezult sistemul de trei ecuaii:
39
ELEMENTE DE REZISTENA MATERIALELOR
=
++
+=+++==++
,
cll
cball
c);F(bcNc)b(aN0,MF;NNN
3231
21C
321
(2.21)
unde33
333
22
222
11
111 AE
lNl,
AElN
l,AElN
l === .
Fig. 2.14
Cazul prezentat este un caz particular, dar metoda de calcul poate fi folosit i la cazul general, cnd bara orizontal este susinut prin mai multe tije sau articulat la unul din capete (caz n care se consider c bara se rotete n jurul articulaiei) sau sistemul este solicitat cu mai multe fore.
40
Top Related