42683184 Metoda Fortelor Structuri Static Nedeterminate

STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -

TEMA 2

- 1 -

CALCULUL STRUCTURILOR NEDETERMINATE PRIN METODA FORŢELOR

ACŢIUNEA FORŢELOR

1) Să se caluleze prin metoda forţelor, structura din figura.1, la acţiunea forţelor exterioare.

Se cunosc:

3,8 ; 3 ; 30 / ; 48 ; 64L m H m p kN m F kN M kN m Rezolvare:

4I0

I0

2I0

F4I0

p

L L/3

3H/4

H

1) Stabilirea gradului de nedeterminare statică:

Gradul de nederminare statică se stabileşte cu relaţia: ( ) 3 (6 3) 3 2 3sn r l c

Structura este de trei ori static nedeterminată.

2) Alegerea sistemului de bază:

Sistemul de bază reprezintă, sistemul ataşat sistemului statict nedeterminat, la care se suprimă atâtea legături exterioare sau interioare cât sunt necesare pentru ca acesta sa devin static determinat. În locul fiecărei legături suprimate se introduce un efort static nedeterminat, notat, de obicei, cu 1, 2 , ...X X .

Transformare sistemului real în sistem de bază se poate face în diferite feluri, dintre toate variantele se va alege cea mai convenabilă din punct de vedre al calculelor.


TEMA 2

- 2 -

În cazul sistemului nostru, sunt prezentate mai jos câteva variante de sisteme de baza ce pot fi ataşate sistemului nedeterminat. Varianta ce convine fig 2. a).

4I0

I0

2I0

F4I0

p

3,8 1,27

2,25

3

X 1

X 2

X 3

a)

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

X3

X2

X1

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

X 3

X1

X2

b) c)


TEMA 2

- 3 -

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

X1

X1

X2

X2

X3

X3

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

X1

X2

X2

X2

d) e)

fig 2

3) Ecuaţiile de echilibru elastic: Se obţin prin scrierea condiţiilor de compatibilitate pe direcţia legăturilor suprimate:

- deplasarea absolută pe direcţia necunoscutelor iX , este egală cu zero:

Explicitat:

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

0

0

0

p

p

p

X X X

X X X

X X X

4) Calculul coeficienţilor şi al termenilor liberi 4.1) Coeficienţii principali şi secundari:

- se calculează cu relaţiile: 2

0

li

ii

Mdx

EI

0

li i

ij ji

M Mdx

EI

- unde: ,i jM M : momentele încovoietoare produse pe sistemul de bază static determinat de necunoscuta iX ,

repectiv jX , egale cu unitatea.

Trasarea diagramelor unitare:

0i

aX


TEMA 2

- 4 -

- sistemul incărcat cu 1X :

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

5,25

3

M1

1 1X

0; 1 3 3 ; 0; 3 ;

1 5, 25 5, 25 ; 5, 25 ; 5, 25 .

AB CB BDA B B B

BD DED D E

M M kN m M M kN m

M kN m M kN m M kN


3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D

E

M2

5,07

2 1X

0A B C DM M M M

5,07EM kN m



TEMA 2

- 5 -

3 1X

0AM ;

0; 1 3,8 3,8 ; 0; 3,8 ; 3,8 ;CB AB BC BDC B B B DM M kN m M M kN m M kN m

3,8 ; 1,27DED EM kN m M kN m

3,8 1,27

2,25

3

A

B

C

D

E

M3

3,8

3,8

1,27

Calculul coeficienţilor din sistemul de ecuaţii:

2 2111

0 0 00

0 0 0 0

1 1 2 2, 25 1( 3 3) ( 3) (2 3 2 5, 25 2 3 5, 25) 5, 25 5, 07 5, 25

2 2 3 6 4

4,5 39, 23 34,94 78, 67

l Mdx

EI E I E I E I

EI EI EI EI

22

220 00

1 1 2 10,865,07 5,07 5,07

4 2 3

l Mdx

EI E I EI

23

330 00

2 2

0

0 0 0 0

1 1 2 13,8 3,8 3,8 3,8 2, 25 3,8

4 2 3

5, 07(2 3,8 2 1, 27 2 3,8 1, 27)

6 4

4,57 32, 49 4, 74 41,8

l Mdx

EI E I E I

E I

EI EI EI EI


TEMA 2

- 6 -

1 212 21

0 00

1 5,07 16,87(5,25 5,07)

4 2

l M Mdx

EI E I EI

1 313 31

00

0

0 0 0

2, 25(2 3 3,8 2 5, 25 3,8 3 3,8 5, 25 3,8)

6

5,07(2 5, 25 3,8 2 5,25 1,27 5,25 1, 27 5, 25 3,8)

6 4

35,27 8,42 43,69

l M Mdx

EI E I

E I

EI EI EI

2 323 32

0 00

5,07 1,35(2 5,07 1,27 5,07 3,8)

6 4

l M Mdx

EI E I EI

Suma coeficienţilor:

, 1

78, 67 10,86 41,8 2 (43, 69 16,87 1,35) 182, 27sn

iji j

4.2) Termenii liberi, se calculează cu relaţia:

0

lp i

ip

M Mdx

EI

Unde pM , reprezintă momentul produs, pe sistemul de bază static determinat, de încărări.

11

00

0

0 0 0

2,25(2 216,6 3 2 108,6 5,25 216,6 5,25 108,6 3)

6

5,07( 2 108,6 5,25 2 469,36 5,25 108,6 5,25 469,36 5,25)

6 4

1463,56 1200,32 263,24

lp

p

M Mdx

EI E I

E I

EI EI EI


TEMA 2

- 7 -

48 kN

30 kN/m

3,8 1,27

2,25

3

A

CB

D

E

3,8 1,27

2,25

3

216,6

108,6

469,36

Mp

22

0 00

5,07 889,09( 2 469,36 5,07 108,6 5,07)

6 4

lp

p

M Mdx

EI E I EI


TEMA 2

- 8 -

33

00

0

0

0 0 0

1 1 1( 3,8 216,6) 3,8

4 3 4

2,25(2 216,6 3,8 2 108,6 3,8 108,6 3,8 216,6 108)

6

5,07(2 108,6 3,8 2 469,36 1,27 108,6 1,27 469,36 3,8)

6 4

65,16 1390,23 20,29 14

lp

p

M Mdx

EI E I

E I

E I

EI EI EI

0

75,68

EI

Suma termenilor liberi:

1

(263,24 889,09 1475,68) 2628,01sn

jpj

5) Verificarea coeficienţilor şi a termenilor liberi. Coeficienţii sunt corecţi calculaţi dacă este îndeplinită condiţia:

2

, 1 0

s lns

ij ssi j

Mdx

EI

3,8 1,27

2,25

3Mss

3

3,8

9,05

1,09

6,8


TEMA 2

- 9 -

2

00

0

2 2

0

2 2

0

0 0 0 0 0

1 1 2( 3 3) 3

2 2 3

1 1 2( 3,8 3,8) 3,8

4 2 3

2, 25(2 6,8 2 9, 05 2 6,8 9, 05)

6

5, 07(2 9, 05 2 1, 09 2 9, 05 1, 09)

6 4

4,5 4,57 142, 26 30,94 182, 27

ls

ss

Mdx

EI E I

E I

E I

E I

EI EI EI EI EI

Condiţie îndeplinită, coeficienţii sunt corect calculaţi. Termenii liberi sunt corecţi calculaţi dacă este îndeplinită condiţia:

1 0

s lnp s

jp spj

M Mdx

EI

00

0

0

0 0

1 1 1216,6 3,8 3,8

4 3 4

2,25(2 216,6 6,8 2 108,6 9,05 108,6 6,8 216,6 9,05)

6

5,07( 2 108,6 9,05 2 469,36 1,09 463,36 9,05 108,6 1,09)

6 4

65,16 2853,79 290,94

lp s

sp

M Mdx

EI E I

E I

E I

EI EI EI

0 0

2628,01

EI

Condiţie îndeplinită, termenii liberi sunt corect calculaţi.

6) Rezolvarea sistemului de ecuaţii:

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

0

0

0

p

p

p

X X X

X X X

X X X


TEMA 2

- 10 -

1 2 30 0 0 0

1 2 30 0 0 0

1 2 30 0 0 0

78,67 16,87 43,69 263,240

16,87 10,86 1,35 889,090

43,39 1,35 41,8 1475,680

X X XEI EI EI EI

X X XEI EI EI EI

X X XEI EI EI EI

Echivalent cu:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

78,67 16,87 43,69 263,24

16,87 10,86 1,35 889,09

43,39 1,35 41,8 1475,68

X X X

X X X

X X X

Soluţia sistemului:

A

78.67

16.87

43.39

16.87

10.86

1.35

43.69

1.35

41.8

B

263.24

889.09

1475.68

X A1

B detA A

detA 5.068 103

X

5.321

94.215

32.822

1

2

3

5,321

94,215

32,822

X kN

X kN

X kN

7) Trasarea diagramelor de eforturi:


TEMA 2

- 11 -

48kN

30kN

3,8 1,27

2,25

3

5,321kN

94,215kN

32,826kN

94,215kN

13,04

53,321kN

N

T

5,321kN

32,822kN

81,178kN

53,321kN

127,037


TEMA 2

- 12 -

91,84

44,06

15,963

M

75,88

22,04

8) Verificarea diagramelor de eforturi: 8.1) Verificări statice: - Verificarea nodului B:


TEMA 2

- 13 -

48

5,321

53,21

81,1

78

15,963

75,88

13,04

94,2

15

B

91,

84

53,321 48 5,321 0

94,215 13,04 81,178 0

91,84 75,88 15,96 0

X

Y

M

- Verificarea diagramei M, prin metoda LMV:

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

22,0448

5,321

94,215

32,822

30


TEMA 2

- 14 -

3,8( ) 22,04 48 2,25 5,321 5,25 32,822 1,27 30 3,8 ( 1,27)

294,215 5,07 0

LMV

8.2) Verificărea elastică a diagramei de momente încovoietoare: Diagrama de momente încovoietoare este corect trasată dacă sunt satisfăcute condiţiile:

0

0i

l fi

X

M Mdx

EI

1

1

0

5,07 5,07(2 5,07 22,04 5,07 44,05) (223,4856 223,3335)

6 4 24

5,07 0,0320,1521 0

24

l f

X

M Mdx

EI E I EI

EI EI


TEMA 2

- 15 -

CEDĂRI DE REAZEME

2) Să se caluleze prin metoda forţelor, structura din figura.2, la acţiunea cedărilor de reazeme:

Se cunosc: 03,8 ; 3 ; 30 / ; 48 ; 1 ; 1, 4L m H m p kN m F kN v cm

3,8m 1,27m

2,25m

3m

A

B

C

D E

v

Fig. 2

1) Se adoptă acelaşi sistem de bază:


TEMA 2

- 16 -

4I0

I0

2I0

F4I0

3,8 1,27

2,25

3

X 1

X 2

X 3

2) Sistemul de ecuaţii de echilibru elastic are forma:

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

c

c

c

X X X L

X X X L

X X X L

3) Coeficienţii au valorile:

2 2111

0 0 00

0 0 0 0

1 1 2 2, 25 1( 3 3) ( 3) (2 3 2 5, 25 2 3 5, 25) 5, 25 5, 07 5, 25

2 2 3 6 4

4,5 39, 23 34,94 78, 67

l Mdx

EI E I E I E I

EI EI EI EI

22

220 00

1 1 2 10,865,07 5,07 5,07

4 2 3

l Mdx

EI E I EI

23

330 00

2 2

0

0 0 0 0

1 1 2 13,8 3,8 3,8 3,8 2, 25 3,8

4 2 3

5, 07(2 3,8 2 1, 27 2 3,8 1, 27)

6 4

4,57 32, 49 4, 74 41,8

l Mdx

EI E I E I

E I

EI EI EI EI


TEMA 2

- 17 -

1 212 21

0 00

1 5,07 16,87(5,25 5,07)

4 2

l M Mdx

EI E I EI

1 313 31

00

0

0 0 0

2, 25(2 3 3,8 2 5, 25 3,8 3 3,8 5, 25 3,8)

6

5,07(2 5, 25 3,8 2 5,25 1,27 5,25 1, 27 5, 25 3,8)

6 4

35,27 8,42 43,69

l M Mdx

EI E I

E I

EI EI EI

2 323 32

0 00

5,07 1,35(2 5,07 1,27 5,07 3,8)

6 4

l M Mdx

EI E I EI

Suma coeficienţilor:

, 1

78, 67 10,86 41,8 2 (43, 69 16,87 1,35) 182, 27sn

iji j

4) Calculul termenilor liberi: Termenii liberi se calculează cu relaţia generală:

( )1

ikic i kL R

Unde :

- 1 - acţiunea virtuală 1iX ;

- i - deplasarea după direcţia 1iX ;

- ( )ikR reacţiunile din reazemul k.

Sistemul încărcat cu acţiunea virtuală 1 1X


TEMA 2

- 18 -

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

Rx1,1

X1

Rx1,2

1,1 1 5, 25 5, 25xR kN m

1,1 1 1xR kN

1

1, 4 3,14151 0 1 0 5, 25 0,128

180cL


3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

Rx2,1

X2

Rx2,2

2,1 1 5, 07 5, 07xR kN m

2,1 1 1xR kN

2

1, 4 3,14151 0 1 0 5, 07 0,124

180cL


TEMA 2

- 19 -


3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

Rx3,2

X3

Rx3,1

3,1 1 1, 27 1, 27xR kN m

3,1 1 1xR kN

2

1, 4 3,14151 0, 01 1 0 1, 27 0, 021

180cL

1

0,128 0,124 0, 021 0, 017sn

ici

L

5) Verificarea termenilor liberi: Termenii liberi sunt corect calculaţi dacă este îndeplinită următoarea relaţie:

( )

1

( 1 ) ( )sn

skic sc i k

i

L L R


TEMA 2

- 20 -

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

Rs3

X3

Rs2

X1

X2

Rs1

1 1sR kN

2 2sR kN

3 1 1, 27 1 5, 25 1 5, 07 1, 09sR kN

1, 4 3,14151 0, 01 1 0 2 0 1, 09 0, 017

180scL

Deci termenii liber sunt corect calculaţi.

6) Reolvarea sistemului de ecuaţii: Produsul:

7 4 3 20 2,1 10 72 10 151, 2 10E I kN m

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

c

c

c

X X X L

X X X L

X X X L

31 2 3

31 2 3

31 2 3

78, 67 16,87 43, 69 19,3536 10

16,87 10,86 1,35 18, 7488 10

43,39 1,35 41,8 3,1752 10

X X X

X X X

X X X



TEMA 2

- 21 -

X

391.395

2.302 103

258.775

7) Trasarea diagramelor de eforturi: Sistemul de bază devine:

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

258,775

2302

391,395

Diagrama de forţe axiale:


TEMA 2

- 22 -

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D E

2302

2043,225

391,395

Diagrama de forţe tăietoare:

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

DE

391,395

258,775

391,395

2043,225


TEMA 2

- 23 -

Diagrama de momente:

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

983,345

1071,478

1174,185190,84 9287,672

1071,478

M

8) Verificarea diagramei de momente, prin LMV:

391,395

2302

258,775

9287

,672

( ) 9287, 672 258, 775 2302 1, 27 2302 5, 07 391,395 5, 25

11671,14 11671,14 0

LMV


TEMA 2

- 24 -

ACŢIUNEA VARIAŢIEI DE TEMPERATURĂ

3) Să se caluleze prin metoda forţelor, structura din figura.3, la acţiunea variaţiilor neuniforme de

temperatură, din fig. 3:

35 5 2 4

0

40 603,8 ; 3 ; 10 ; 2,1 10 / ;

12tL m H m E daN cm I cm


TEMA 2

- 25 -

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D

E

100100

100 200

80

Din relaţia:

34

0

40 60

12I cm

- Pentru corpul cu moment de inerţie 0I 3

0 0, 4 ; 0, 612

b hI b m h m

34 4

0

40 600, 0072

12I cm m

- pentru corpul cu momentul de inerţie 02I

0

0

42 4

22 0, 0072 0,8112

II

b hh m

- pentru corpul cu moment de inerţie 04I

0

0

44 4

44 0, 0072 0,96412

II

b hh m

1) Sistemul de bază:


TEMA 2

- 26 -

- se adoptă acelaşi sistem de bază şi, ca urmare, coeficienţii sistemului de ecuaţii de condiţie nu se modifică.

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D

E

100100

100 200

80

X1

X2

X3

2) Sistemul de ecuaţii de condiţii:

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

0

0

0

t

t

t

X X X

X X X

X X X

3) Coeficienţii:

2 2111

0 0 00

0 0 0 0

1 1 2 2, 25 1( 3 3) ( 3) (2 3 2 5, 25 2 3 5, 25) 5, 25 5, 07 5, 25

2 2 3 6 4

4,5 39, 23 34,94 78, 67

l Mdx

EI E I E I E I

EI EI EI EI


TEMA 2

- 27 -

22

220 00

1 1 2 10,865,07 5,07 5,07

4 2 3

l Mdx

EI E I EI

23

330 00

2 2

0

0 0 0 0

1 1 2 13,8 3,8 3,8 3,8 2, 25 3,8

4 2 3

5, 07(2 3,8 2 1, 27 2 3,8 1, 27)

6 4

4,57 32, 49 4, 74 41,8

l Mdx

EI E I E I

E I

EI EI EI EI

1 212 21

0 00

1 5,07 16,87(5,25 5,07)

4 2

l M Mdx

EI E I EI

1 313 31

00

0

0 0 0

2, 25(2 3 3,8 2 5, 25 3,8 3 3,8 5, 25 3,8)

6

5,07(2 5, 25 3,8 2 5,25 1,27 5,25 1, 27 5, 25 3,8)

6 4

35,27 8,42 43,69

l M Mdx

EI E I

E I

EI EI EI

2 323 32

0 00

5,07 1,35(2 5,07 1,27 5,07 3,8)

6 4

l M Mdx

EI E I EI

4) Calculul termenilor liberi:

Termenii liberi se calculează ce relaţia generală:

oo

it t ax i t i

tt N M

h

În care:

t - coeficientul de dilatare termică liniară;

oaxt - temperature în axul barei:

2

o oo i eax

t tt

;

ot - diferenţa de temperatură între fibrele extreme ale secţiunii transversale a barei: o o oi et t t ;

h - înălţimea secţiunii transversale a barei;


TEMA 2

- 28 -

- Trasarea diagramelor de forţe axiale:

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D E

X =11

N1

1

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D E

X =12

N2

1

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D E

X =12

N3

1

- Determinarea temperaturilor în ax şi a diferenţelor de temperatură:

2

o oo o o oi eax i e

t tt t t t

Valorile pe bare, sunt date în tabelul de mai jos:

BARA ti te Dt tax


TEMA 2

- 29 -

AB 20 10 10 15

BC 20 10 10 15

BD 10 10 0 10

DE 10 8 2 9

Fibrele tensionate de diferenţa de temperature, sunt prezentate în figura de mai jos:

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D E

100100

100 200

80

X1

X2

X3

Termenii liberi:

1 1 1 111 , , , , ,

5 5

5

( )

10 1 210 9 5,07 10 ( 3 3 0 0 5,07 5,25)

0,81 2 0,964

156,41 10

o o o oo AB BD BC DE

t t ax DE tN M AB M BD M BC M DEAB BD BC DE

t t t tt

h h h h


TEMA 2

- 30 -

2 2 2 222 , ,2, , , , , ,

5 5

5

( ) ( )

2 110 ( 15 3 10 2,25) 10 (0 0 0 5,07 5,07)

0,964 2

40,84 10

o o o oo o AB BD BC DE

t t ax AB ax BD tN AB N BD M AB M BD M BC M DEAB BD BC DE

t t t tt t

h h h h

3 3 3 33 , 3, , , , ,

5 5

5

( )

10 1 2 1 110 10 2,25 10 [0 0 3,8 3,8 ( 3,8 3,8 1,27 1,27)]

0,964 2 0,964 2 2

39,086 10

o o o oo AB BD BC DE

t t ax BD tN BD M AB M BD M BC M DEAB BD BC DE

t t t tt

h h h h

5 5( 156,41 40,84 39,086) 10 158,164 10it

5) Verificarea termenilor liberi:

Termenii liberi sunt corect calculaţi dacă este îndeplinită condiţia:

oo

it st t ax s t s

tt N M

h


TEMA 2

- 31 -

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D E

Ns

1

2

1

3,8 1,27

2,25

3Mss

3

3,8

9,05

1,09

6,8

5 5

5

10 1 10 110 ( 15 3 10 4,5 9 5,07) 10 [ 3 3 3,8 3,8

0,81 2 0,964 2

2 1 1( 4,25 9,05 1,09 0,545)] 158,14 10

0,946 2 2

st

6) Rezolvarea sistemului de ecuaţii:

7 4 3 20 2,1 10 72 10 151, 2 10E I kN m

1 2 3

1 2 3

1 2 3

78,67 16,87 43,69 236,5

16,87 10,86 1,35 61,75

43,69 1,35 41,8 59,1

X X X

X X X

X X X

Soluţia:

X

35.177

55.809

36.379


TEMA 2

- 32 -

7) Trasarea diagramelor de efortui secţionale:

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D

E

100100

100 200

80

36,379

55,809

35,177

55,809kN

19,43kN

35,177kN

NQ

35,177kN

19,43kN

36,379kN


TEMA 2

- 33 -

105,53

138,24

52,07

46,44

M

32,71


TEMA 2

- 34 -

ECUAŢIA CELOR TREI MOMENTE

Calculul grinzilor continue

B C D

6,3m 3,15m 4,2m

40kN

A

1) Gradul de nedeterminare:

6 3 3sn

2) Sistemul de bază:

Structura este static nedeterminată de 3 ori, sistemul de bază static determinat se obţine suprimând

legaturile de continuitate corespunzătoare momentelor din încastrarea 1, respective din reazemele 2, 3 (apar articulaţii), care legături se înlocuiesc cu momentele corespunzătoare, care constituie necunoscutele problemei.

Aşadar sistemul de bază:

2 3 4

6,3m 3,15m 4,2m

40kN

1M1 M2 M2 M3 M3 M4

Ecuaţia celor trei momente, se aplică astfel:


TEMA 2

- 35 -

i-1 i

Mi-1 Mi-1 Mi Mi

i+1

Mi+1Mi+1

li li+1

Pentru nodul i:

'' '1 1 1 1 , 1 1 , 12 ( ) 0i i i i i i i i i i i i il M l l M l M l m l m

Conform relaţiei de mai sus,pentru grinda dată se pot scrie următoarele relaţii:

1 2 1,21 0 0 2 (0 6,3) 6,3 0 0 6,3 ' 0nod M M m

1 2 3 2,1 2,32 6,3 2 (6,3 3,15) 3,15 6,3 '' 3,15 ' 0nod M M M m m

2 3 4 3,2 3,43 3,15 2 (3,15 4,2) 4,2 3,15 '' 4,2 ' 0nod M M M m m

- pe bara 1-2, nu sunt incărcarcări exterioare, deci

1 2

1 2 3 2,3

2 3 3,2 3,4

12,6 6,3 0

6,3 18,9 3,15 3,15 ''

3,15 14,7 (3,15 '' 4, 2 ' )

M M

M M M m

M M m m

Coeficienţii m’’, respective m’ se gasesc în tabele standardizate. Se inlocuiesc coeficienţii m’’ şi m’ , se rezolva sistemul, apoi cu rezultatele obţinute, se ia fiecare bară

separate incărcată cu momentele rezultate din sIstem, şi se rezolvă ca o grindă simplu rezemată. În final se asamblează toate diagramele.

22,3 3,2' '' 0,25 (40 3,15 ) 99,225m m

23,4 4,3' '' 0,25 (40 4,2 ) 176,4m m

1 2

1 2 3

2 3

12,6 6,3 0

6,3 18,9 3,15 312,56

3,15 14,7 1053, 44

M M

M M M

M M



TEMA 2

- 36 -

1

2

3

4

2.88

-5.759

-70.428

0

M

M

M

M

2

6,3m

1

2,88 5,759

1,37 1,37

Q1,37

M2,88

5,759


TEMA 2

- 37 -

2 3

3,15m

42,47 83,53

5,759 70,428

40

Q

42,47

83,53

1,062

M

70,428

22,55

5,759

3 4

4,2m

40kN70,428 0

100,77 67,23

Q

100,77

67,23

2,51

70,428

56,5

M


TEMA 2

- 38 -

B C D

6,3m 3,15m 4,2m

40kN

A

100,77

67,53

42,47

83,53

1,37

70,428

31,21822,55

5,759

2,88

Q

M

CADRE STATIC NEDETERMINATE

4) Rezolvarea grinzii de mai jos, prin metida forţelor.


TEMA 2

- 39 -

3m

42kN

3m 3m

42kN

2,25m

1

3 5

2 4 6

1) Stabilirea gradului de nedeterminare statică:

( ) 2 (3 10) 2 6 1sn r b N

- structura este static nedeterminată 1 dată. 2) Alegerea sistemului de bază:

- se inlocuieşte bara 2-5, cu necunoscuta X1

3m

42kN

3m 3m

42kN

2,25mX1

X1

1

3

2 4 6

5

Deplasarea relativă pe direcţia necunoscutei X1 este egală cu deformaţia axială a barei 2-5

1 2 511 1 1p

X lX

EA


TEMA 2

- 40 -

În cazul general când gradul de neterminare este mai mare de 2: - coeficienţii principali se calculează cu relaţia:

2i

iib

N l

EA

;

- coeficienţii secundari:

i j

ijb

N N l

EA

Unde: ,i jN N forţele axiale din barele sistemului de bază, statict determinat, produse de încărcări egale cu unitatea. - termenii liberi se calculează cu:

p i

ipb

N N l

EA

;

Unde pN forţele axiale produse de încărcările reale pe sistemul de bază static determinat.

Determinarea forţelor iN

3m 3m 3m

2,25m

1

1

3

2 4 6

5

1

V =01

H =01

V =06

H =06N 2-4 N 4-2

N 3-5 N 5-3

N 3-4

N 4-3

N 2-3

N 2-4

2,25cosN N

2-3

3-2


TEMA 2

- 41 -

- reacţiunile:

1 6 0H H

1 6 0V V

2 5 9 5,0625 3,75l

2,25 3 2,250,75; cos 0,8; sin 0,6

3 3,75 3,75tg

La o primă vedere se poate constata că:

1 2 1 3 6 5 6 4 0N N N N

Secţionăm barele: 2-4, 3-4, 3-5, şi putem scrie:

2 4 1 cosN

2 3 1 sinN

3 2 4 2 4

5 2 4 3 4 3 4

4 3 5 3 5

0 1 cos 2,25 2,25 0 cos

0 2,25 2,25 cos 0 1

0 2,25 2 1 2,25 cos 0 cos

stg

stg

stg

M N N

M N N N

M N N

- izolăm nodul 2:

2

1

N 2-4

N 2-3

N 1-2


TEMA 2

- 42 -

2 40 cosX N

2 30 sinY N

Determinarea forţelor pN

3m

42kN

3m 3m

84kN

2,25m

1

3

2 4 6

5

V =56kN1

H =01

V =70kN6

H =06

Nodul 1:

1

V =56kN1

H =01N1-2

N1-3

1 21 1 2 1 3

1 31 3

cos560 cos 0 sin

10 42 sin 0 56sin

NX H N N

Y N N

Nodul 2:


TEMA 2

- 43 -

2N2-1 2-4N

N2-3

1 2 2 4 2 4

2 32 3

cos0 0 56sin

0 0 0

X N N N

Y N N

Nodul 3

42kN3

N3-1

N3-4

N3-5

N3-2

3 43 1 3 4 3 5

3 2 3 1 3 43 5

1140 cos cos 0 sin

cos0 sin sin 42 0 70sin

NX N N N

Y N N N N

Prin analogie:

6 4

6 5

cos70

sin1

70sin

N

N

Bara lungimea

l 1N EA pN 21N l 1pN N l 1X N

1-2 3 0 EA -74,67 0 0 38,34 -74,67

1-3 3,75 0 EA 94,33 0 0 38,34 94,33

2-4 3 -0,8 EA 74,67 1,92 -179,208 38,34 43,998

2-3 2,25 -0,6 EA 0 0,81 0 38,34 -23,004


TEMA 2

- 44 -

3-5 3 -0,8 EA 94,33 1,92 -226,392 38,34 63,658

3-4 3,75 1 EA -24,33 3,75 -91,2375 38,34 14,01

4-6 3 0 EA -94,33 0 0 38,34 -94,33

5-6 3,75 0 EA 116,67 0 0 38,34 116,67

4-5 2,25 -0,6 EA 0 0,81 0 38,34 -23,004

9,21/EA 496,838/EA d11 D1p

11 1

9,21 496,838 3,7538,34

XX X kN

EA EA EA

ARCE STATIC NEDETERMINATE

5) Rezolvarea arcului din figură prin metoda forţelor

70kN40kN

1

2

3

18m 9m 9m

5m

1. Gradul de nedeterminare:

5 3 2sn

2. Alegerea sistemului de bază:


TEMA 2

- 45 -

70kN40kN/m

A

C

B

18m 9m 9m

5m

X1

X2

y

xSistem de baza

70kN40kN/m

Grinda incastrata atasata sistemului de baza

3. Ecuaţiile de echilibru elastic:

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

0

0

p

p

X X

X X

4. Ecuaţia arcului: - în sistemul xAy arcul are următoarea ecuaţie:

2

4( ) ( )

f xy x l x

l

5. Determinarea coeficienţilor:

- cosiderăm sistemul de bază încărcat cu necunoscuta 1X


TEMA 2

- 46 -

1

2

3

18m 9m 9m

5m

X1

y

xSistem de bazay

x

i

Într-o secţiune i putem scrie:

11 1

11 1

, cos

, ( )

N N X

M M X y x

Deplasarea relativă pe direcţia lui 11( ) 1X X , este dată de:

111 111

0 0

l lN N M Mds ds

EA EI

Unde:

1 210

0 0 0 00 0 0 0

( 1 cos ) ( 1 cos ) 1 1 1cos

cos

l l l lN N lds ds dx dx i l

EA EA E A E A EA EI

2

1 201

00 0 0 0

( 1 ( )) ( 1 ( )) ( ) 1( )

l l l l IM M y x y x y xds ds ds y x ds

EI EI EI EI I

Deci:

22 20

11 00 00 0

( ) 1( )

l l Iy x lds y x ds i l

EI EA EI I

Momentul dintr-o secţiune i :


TEMA 2

- 47 -

2

4 20( ) ( ) (36 )

36

f x xy x l x x

l

1( ) ( )M x X y x

- cosiderăm sistemul de bază încărcat cu necunoscuta 2X

1

2

3

18m 9m 9m

5m

X1

y

xSistem de bazay

x

i

Deplasarea relativă pe direcţia lui 22 ( ) 1X X , este dată de:

22

22

, 1 sin

, 1

N N

M M x

211 222

0 0

l lN N M Mds ds

EA EI

Unde:

21 21

00 00 0 0 0

( 1 sin ) ( 1 sin ) 1 cos 1 1l l l lN Nds ds ds dx i l

EA EA EA EA EI

2

22

0 0 0

(1 ) (1 )l l lM M x x xds ds ds

EI EI EI

Deci:


TEMA 2

- 48 -

2 2022 0

0 00

1 1l Ix ds l i

EI I EI

Momentul dintr-o secţiune i :

2 2

4 20( ) ( ) (36 )

36

f x xy x l x x

l

2( )M x X x

Termenii 12 , 21

01 2 1 212 21

00 0 0 0

1l l l l IN N M M y xds ds ds y xds

EA EI EI EI I

Termenii liberi se calculează cu:

1 1 01

00 0 0 0 0

cos 1l l l l lp p p p

p p

N N M M N M y Ids ds ds ds M yds

EA EI EA EI EI I

2 2 02

00 0 0 0 0

sin 1l l l l lp p p p

p p

N N M M N M x Ids ds ds ds M xds

EA EI EA EI EI I

Deci in final obţinem:

22 2 2

11 0 20 00 0

363 4 3

00 0

1 1 20( ( ) ) ( ( (36 )) )

36 12

1 25 1 481[ ( 18 432 ) 1,08]104976 5

l l x hy x ds i l x dx l

EI EI

x x xEI EI

362 2 3

220 00 0 0

1 15552

3

l lx x xds dx

EI EI EI EI


TEMA 2

- 49 -

363 4

12 20 0 00 0 0

0

1 1 20 1 5 5( (36 )) ( )

36 27 1296

2160

l l x x xy xdx x xdx

EI EI EI

EI

Pe grinda încastrată, ataşată sistemului de bază, momentul are urmăoarea lege de variaţie: - pe intervalul:

0 18 0pM

18 27 70 ( 18)pM x

( 27)27 36 70 ( 27) 40 ( 27)

2p

xM x x

Asadar avem:

27 272

1 2 20 00 18 18

0 0

1 1 20 20[ ( 70 ( 18) (36 ) ( 70 ( 27) 20 ( 27) ) (36 ) ]

36 36

1 22005( 12403,125 9601,875)

l

p p

x xM yds x x dx x x x dx

EI EI

EI EI

27 272

20 00 18 18

0 0

1 1[ ( 70 ( 18) ( 70 ( 27) 20 ( 27) )

1 529740( 272160 257580)

l

p pM xds x xdx x x xdxEI EI

EI EI

Rezolvăm sistemul şi obţinem:

1 20 0 0

1 20 0 0

481 2160 220050

2160 15552 5297400

X XEI EI EI

X XEI EI EI

A cărui soluţie este:

1

2

285

74

XkN

X


TEMA 2

- 50 -

70kN 40kN

A

C

B

5m

y

x

4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5

1

23 4

5

6

74

285

Determinarea elementelor geometrice ale secţiunilor arcului:

secţiunea ix iy tg sin cos

A 0 0,0 0,556 0,486 0,874

1 4,5 2,2 0,417 0,385 0,923

2 9 3,8 0,278 0,268 0,964

3 13,5 4,7 0,139 0,138 0,990

C 18 5,0 0,000 0,000 1,000

4 22,5 4,7 -0,139 -0,138 0,990

5 27 3,8 -0,278 -0,268 0,964

6 31,5 2,2 -0,417 -0,385 0,923

B 36 0,0 -0,556 -0,486 0,874

285 cos 74 sin 285 0,874 74 0, 486 285

285 sin 74 cos 285 0, 486 74 0,874 74

0

A

A

A

N

A T

M

1

1

1

285 cos 74 sin 285 0,923 74 0,385 292

1 285 sin 74 cos 285 0,385 74 0,923 41

74 4,5 285 2, 2 294

N

T

M

2

2

2

285 cos 74 sin 285 0,964 74 0, 268 295

2 285 sin 74 cos 285 0, 268 74 0,964 5

74 9 285 3,8 417

N

T

M


TEMA 2

- 51 -

3

3

3

285 cos 74 sin 285 0,99 74 0,138 292

3 285 sin 74 cos 285 0,138 74 0,99 34

285 13,5 74 4,7 3500

N

T

M

285 cos 74 sin 285 1 285

285 sin 74 cos 74 1 74

285 18 74 5 4760

C

C

C

N

C T

M

4

4

4

285 cos (74 70) sin 285 0,99 (74 70) ( 0,138) 282

4 285 sin (74 70) cos 285 ( 0,138) (74 70) 0,99 43

285 22,5 74 4,7 70 4,5 5750

N

T

M

5

5

5

285 cos (74 70) sin 285 0,964 (74 70) ( 0, 268) 274

5 285 sin (74 70) cos 285 ( 0, 268) (74 70) 0,964 80

285 27 74 3,8 70 9 6784

N

T

M

6

6

6

285 cos (74 70 40 4,5) sin 285 0,923 (74 70 40 4,5) ( 0,385) 331

6 285 sin (74 70 40 4,5) cos 285 ( 0,385) (74 70 40 4,5) 0,923 53

4,5285 31,5 74 2,2 70 13,5 40 4,5 7465

2

N

T

M

285 cos (74 70 40 9) sin 285 0,874 (74 70 40 9) ( 0,486) 422

285 sin (376 70 40 90) cos 285 0,486 (74 70 40 9) 0,874 173

9285 36 74 0 70 18 40 9 7380

2

B

B

B

N

B T

M


TEMA 2

- 52 -

1

2 3 4

56

C

A BT

74

41

5

34

74

443

80

53

173

1

2

3 45

6

C

A B

N285

292

295292

285 282

331

422

274


TEMA 2

- 53 -

1

2

3 4

5

6

C

A B

M

294

417

3500

4760

5750

74657380

6784


TEMA 2

- 54 -

42683184 Metoda Fortelor Structuri Static Nedeterminate

Documents

Transcript of 42683184 Metoda Fortelor Structuri Static Nedeterminate