REPERE METODOLOGICE PENTRU APLICAREA CONFORMĂ A PROGRAMEI ȘCOLARE DE MATEMATICĂ
PENTRU ÎNVĂȚĂMÂNTUL GIMNAZIAL-nivel de bază
Clasa a VII-a
Programa școlară de matematică reprezintă o componentă esenţială a curriculumului național, în acord cu Planul-cadru de învățământ pentru învățământul gimnazial,
aprobat prin OMENCS nr. 3590/05.04.2016, urmărind respectarea caracteristicilor ciclurilor de dezvoltare cognitivă a elevului şi utilizarea eficientă a resurselor didactice
disponibile. Disciplina este inclusă în aria curriculară Matematică şi ştiinţe ale naturii din trunchiul comun și este prevăzută în planul-cadru de învăţământ cu un buget de timp de 4
ore/săptămână.
În procesul de proiectare curriculară s-au avut în vedere: profilul de formare al elevului de gimnaziu, programele şcolare pentru ciclul primar la disciplina Matematică,
competenţele-cheie pentru învățarea pe tot parcursul vieții din cadrul european de referință, rezultatele înregistrate la evaluările naţionale şi internaţionale pentru învăţământul
gimnazial şi principiile de construcţie curriculară.
În clasa a VII-a se realizează trecerea de la metodele predominant intuitive, abordate în clasele anterioare, la definirea unor noi concepte, demonstrarea
unor proprietăţi şi la aplicarea unor algoritmi de calcul.
Fiecare dintre cele șase competențe generale ale programei de Matematică pentru gimnaziu are câte șapte competențe specifice (câte una pentru fiecare
conținut din programă, în această ordine: 1. Mulțimea numerelor reale, 2.Ecuații și sisteme de ecuații liniare, 3. Elemente de organizare a datelor, 4. Patrulaterul,
5. Cercul, 6. Asemănarea triunghiurilor, 7. Relații metrice în triunghiul dreptunghic).
Competențele specifice (CS) au, fiecare, câte un cod format din două cifre, în care prima cifră este dată de numărul competenței generale, iar a doua cifră
este a conținutului. De exemplu, CS1.3 este o competență derivată din prima competență generală Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în
contextul în care acestea apar, pentru conținutul 3. Elemente de organizare a datelor.
Precizări referitoare la abordarea conținuturilor
Programa pentru algebră vizează continuarea studiului mulţimilor de numere prin introducerea mulţimii numerelor reale, pentru a fi folosite în rezolvarea de
ecuații și sisteme de ecuații liniare, pentru organizarea datelor și pentru calcule din cadrul geometriei.
Studiul geometriei se caracterizează prin trecerea de la studiul intuitiv al caracteristicilor matematice ale figurilor geometrice, la studiul calitativ al acestora, bazat
pe demonstraţie. Una dintre finalităţile aşteptate ale studiului geometriei prin proprietăți este modelarea configurațiilor geometrice pentru a calcula lungimi de
segmente, măsuri de unghiuri, perimetre şi arii.
La tema Ecuaţii şi sisteme de ecuaţii se are în vedere formarea unor deprinderi de rezolvare a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii liniare, utilizând diverse metode
de rezolvare. Comparativ cu clasele anterioare, unde abordarea problemelor practice se realizează prin metode aritmetice, problemele întâlnite în viaţa cotidiană
vor fi rezolvate modelând cu ajutorul simbolurilor informaţiile deduse din enunţ, asociind în acest mod problemei o ecuaţie sau un sistem de ecuaţii.
La tema Patrulatere se vor demonstra: proprietatea liniei mijlocii în triunghi şi în trapez, proprietatea centrului de greutate al unui triunghi, utilizând proprietăţi
ale patrulaterelor particulare. Pornind de la aria dreptunghiului se vor deduce ariile pentru paralelogram, romb, triunghi şi trapez. Astfel, la final se va putea
determina aria unui poligon prin descompunerea acestuia în figuri geometrice studiate. În continuarea studiului din clasa a VI-a al congruenţei triunghiurilor, la
Asemănarea triunghiurilor se vor introduce teorema paralelelor echidistante și teorema lui Thales, ambele fără demonstraţie. Cazurile de asemănare a
triunghiurilor se vor prezenta prin analogie cu cazurile de congruenţă a triunghiurilor.
La Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic se va pune accent pe determinarea elementelor unui triunghi dreptunghic identificat în configuraţii geometrice sau
practice date. Utilizând noţiunile prezentate la Cerc se vor calcula elemente ale poligoanelor regulate studiate. Aceste elemente vor fi utile pentru corpurile
geometrice studiate în clasa a VIII-a.
Competența generală nr. 1 : Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar
CS 1.1.Identificarea numerelor aparținând diferitelor submulțimi ale lui ℝ
Activitatea
precizată în
programă
Exemple de sarcini de lucru/activități de învățare Observații
Identificarea
pătratelor unor
numere naturale
dintr-o enumerare de
numere date
1. Subliniaţi numerele naturale pătrate perfecte din enumerarea: 4, 8, 16, 20, 25, 30,
35, 45, 51, 58, 64, 71.
2. Identificați numerele naturale pătrate perfecte, din enumerarea următoare:
MAI
L M M J V S D
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
În construcţia enumerării de numere, numărul termenilor
va fi mai mic decât 15 (sau relevant pentru specificul
datelor), iar termenii vor fi numere mai mici sau egale cu
100.
Recomandare: enumerarea poate fi de mărimi care au ca
valori asociate numere naturale (vârste, sume de bani,
masă, lungimi, arii etc).
Trebuie avute în vedere contextele matematice sau
interdisciplinare în care identificarea rapidă a pătratelor
perfecte permite rezolvarea unei etape din cadrul unui
raționament (exemplu – relații metrice în triunghi
dreptunghic, aria pătratului).
Identificarea, în
exemple relevante, a
relaţiei între puterea
cu exponent 2 şi
rădăcina pătrată a
pătratului unui
număr natural
1. Stabiliţi valoarea de adevăr a afirmaţiilor:
a) 216 4 ;
b) 16 4 ;
c) 2144 12 ;
d) 144 12 .
2. Scrieți relațiile matematice corecte pentru fiecare dintre următoarele afirmații
adevărate:
a) 9 este pătratul lui 3; 3 este rădăcina pătrată a lui 9;
b) 25 este pătratul lui 5; 5 este rădăcină pătrată din 25.
Se vor alege perechi de tipul 2a x şi a x .
Primul exemplu permite verificarea recunoașterii /
înțelegerii semnificației ridicării la pătrat /rădăcinii
pătrate.
Se poate continua cu exerciții de tipul:
Dacă 216 4 , atunci ... 4
ridicat la puterea a 2-a rădăcina pătartă a sa este
12 .... 12
Al doilea exemplu permite exersarea transpunerii unui
text în limbaj matematic.
3. Utilizați desenul următor pentru a explica legătura dintre un număr natural și
pătratul său, apoi exemplificați pentru o altă pereche de numere aflate într-o
relație similară (număr – pătratul numărului).
Al treilea enunț permite o interpretare geometrică a
relației dintre număr și pătratul sau rădăcina sa pătrată.
Identificarea
rădăcinii pătrate din
pătratul unui număr
natural utilizând
scrierea sub formă
de putere cu
exponent 2
1. Completați tabelul, după model, cu pătratele perfecte mai mici decât 99, apoi completați
și restul datelor.
Pătrate perfecte 0 1 4 25 49 81
Scrierea pătratului perfect
cu ajutorul puterilor
20 23 27 28
Rădăcina pătrată a
pătratului perfect (cu
utilizarea simbolului
radical)
20 24
26 27
Rădăcina pătrată a
pătratului perfect
(rezultat)
0 7
2. Calculaţi: 23 , 2 2(3 ) ,
63 , 14 ,
24 , 34 ,
65 .
3, Se inscripționează cartoane cu câte un număr, pătrat perfect, mai mic sau egal cu 100
sau cu rădăcina pătrată a acestora ( 0, 1, 4 și 9 sunt și pătrate și rădăcini pătrate în
condițiile date). Fiecare elev va trage un carton și se va deplasa pentru a-și găsi
perechea, fie pătratul perfect, fie rădăcina pătrată .
Care sunt numerele fără pereche?
Ce perechi s-au format?
Ce triplete s-au format?
Exercițiile trebuie să permită exersarea suficientă a
relației număr natural – pătrat perfect, scrierea unui
număr ca puterea a doua a unui număr natural, rădăcina
pătrată pentru numere naturale pătrate perfecte aduse la
forma de putere a doua.
Se pot construi enumerări care conţin numere de forma na cu a pătrat perfect (eventual n impar) sau 2kb .
Recunoaşterea
numerelor naturale,
întregi, raţionale
1. Considerăm numerele:
a) 4; –7; 0,6; 23 ; –1,2(3);
11
5; 11.
b) 4 ; 23 ;
2( 3) ; 0,81; 2,3(5); 23
11 .
A se avea în vedere ca tipul de activitate să fie axat pe
recunoaștere, deci forma de reprezentare a numerelor
trebuie să fie una care să nu necesite calcule laborioase.
Evident se poate solicita aplicarea unor proprietăți și/sau
reguli de calcul, dar nu mai mult de o operație/regulă
utilizată pe fiecare număr.
Realizați câte un tabel pentru fiecare dintre cele două subpuncte, încadrând numerele în
mulțimea corespunzătoare:
2. Deschideți manualele de fizică și de chimie la pagina 50. Enumerați toate numerele pe
care le identificați în textele asociate acelor pagini. Încadrați numerele în mulțimile
studiate (mulțimea numerelor naturale, mulțimea numerelor întregi, mulțimea numerelor
raționale). Există și numere pe care v-a fost dificil sau imposibil de încadrat?
Exemplul al doilea utilizează resurse de la discipline din
aria curriculară pentru a evidenția necesitatea dobândirii
competențelor de numerație
Recunoaşterea unui
număr iraţional
dintr-o mulţime de
numere date
1. Din mulţimea 9
2, 4, 5, , 12, 254
A
, alegeţi submulţimea B care conține
numere raţionale şi submulţimea C care conține numere iraţionale.
Indicaţie: 2 este iraţional (2 nu este pătrat perfect), deci îl repartizăm în C, iar 4 2, deci îl repartizăm în B.
2. Formulați o cerință similară exercițiului anterior dar rezolvați cerința propusă de un
coechipier.
În construcţia mulţimii A nu se vor folosi numere mari,
care să necesite descompunerea (pentru a verifica dacă
sunt pătrate perfecte). Un exemplu/model trebuie să
însoțească problema.
Este foarte important să verificăm și capacitatea de
transfer. În aceste condiții, activitatea verifică modul în
care un model dat poate fi recreat de către elev;
elementele alese vor da informații asupra
dependenței/independenței de exemplu iar rezolvarea
exercițiului propus permite atât autoevaluarea, cât și
interevaluarea.
Identificarea unei
forme convenabile
de scriere a unui
număr real în funcţie
de un context dat
1. Completaţi tabelul conform modelului:
Aria
pătratului
2l
2 2cm
4 2dm
6
...
9
dam2
17
km2
Latura
pătratului
( )l
2
cm
4 dm
2 dm
... m
...
...
2. Preţul unui produs este exprimat printr-un număr care reprezintă lei şi bani. Care dintre
următoarele numere, 5 lei, 5,30 lei, 26 lei sau 5,(25) lei ar putea corespunde preţului
obiectului ? Argumentați răspunsul.
a.
3. Aria unui pătrat este 2 2cm . Latura pătratului identificată de 3 rezolvitori este:
a) 1,4 cm; b) 1,41 cm; c) 2 cm.
Care este răspunsul tău? De ce?
Se recomandă ca activitatea de rezolvare de probleme să
debuteze cu exerciții care au la bază modele de rezolvare.
Referitor la primul exercițiu se poate cere asocierea
datelor cu dimensiuni din realitate (pătrat de arie 2 cm2
poate corespunde suprafeței (feței) unei bomboane sau
unei radiere; un pătrat de latură 17 km nu va permite
elevului o raportare directă la realitate, dar un pătrat cu
latura de aproximativ 4 km poate sugera o suprafață
aproximativ la fel de întinsă cu cea pe care se află
localitatea în care locuiește.
:
“
3.Rezolvarea problemei ne conduce la ecuaţia 4 26x a
cărei soluţie se poate scrie 26
4x sau 6,5x . Referitor
la contextul problemei, forma convenabilă nu este 26
4 sau
Alegerea răspunsului din perspectiva matematicianului va coincide cu cea a unui
meșter care ar trebui să renoveze o suprafață cu aria respectivă? Argumentați.
3.Pentru construcţia unui gard sunt necesari 26 de metri de bară de fier. Într-un
magazin, bara de fier pusă în vânzare are lungimea de 4 metri. Câte bare de fier trebuie
cumpărate?
13
2 , ci fracția zecimală 6,5 (care ne va duce la răspunsul:
7 bare).
CS 1.2. Identificarea unei situații date rezolvabile prin ecuaţii sau sisteme de ecuaţii liniare
Activitatea precizată în
programă
Exemple Observații
Recunoaşterea unor
relaţii matematice care
reprezintă ecuaţii
1. Recunoaşteţi ecuaţiile dintre următoarele relaţii matematice:
a) 2 1 3x ;
b) 2 2 1 3 ;
c) 5 3 7a ;
d) 3x ;
e) 2 3 15a b ;
f) 2 4x .
Argumentați încadrarea relațiilor alese la categoria ecuații (condiții
necersare/suficiente).
2. Dați exemple de relații matematice care reprezintă ecuații.
Se va argumenta la fiecare exemplu de ce este/nu este
ecuație, fără a aduce în discuție o definiție formală.
Astfel, împărțiți pe grupe omogene, elevii vor primi doar
relațiile a) – f), fiind liberi să decidă ce trebuie să facă
(să rezolve, să transforme, să asocieze valoare de adevăr
etc). Se poate aduce în discuție ce verb se potrivește mai
bine fiecărei relații: a afla sau a verifica?
Elevii pot fi provocați să grupeze relații pe diferite
criterii de asemănare (similitudini).
Printr-o învățare dirijată, se va ajunge în final la
clasificarea corectă a relațiilor.
Elevii vor fi provocați cu întrebări de tipul:
Afirmația „4 caiete costă 9 lei” corespunde unei relații
matematice de tip ecuație?
Identificarea
necunoscutei,
coeficienților, termenilor
liberi ai unei ecuații
1. Pe câte o foaie cartonată A4 se înscrie fie un număr (care va juca rolul de
coeficient sau termen liber – cel mult 3 cartoane) fie o literă (necunoscută - 1
carton), fie o operație, iar pe unul dintre cartoane este înscris semnul egal.
Elevii sunt rugați să se așeze în linie, cu cartoanele inscripționate spre ceilalți
colegi din clasă. Prin așezarea lor aleatoare se poate ajunge la formarea unor
relații/ecuații.
De exemplu, pentru utilizarea simbolurilor 5,2,0, x +,.,=, se pot forma relații
precum 5 2 0x sau 2 0 5x
Completaţi tabelul conform modelului:
Ecuaţia Necunoscuta Coeficientul
necunoscutei
Termenul
liber
–5x+2=0 x –5 2
a+1=0
2 4 0x
Pe grupe, elevii pot crea propriile cartoane și apoi vor
face schimb între grupe, creând relații pe care apoi să le
rezolve.
–0,3+2t=0
Furnizarea unor exemple
de relaţii matematice
care reprezintă ecuaţii
sau sisteme de ecuaţii
liniare
1. Completați enunțurile pentru a reprezenta ecuații:
a) 3 ......5x ;
b) 4 ... 2 0 ;
c) ... 7 9x .
2. Daţi exemplu de:
a) ecuaţie cu coeficientul necunoscutei egal cu –1;
b) ecuaţie cu termenul liber egal cu 3,4.
c) ecuaţie având ca soluţie numărul 2.
d) sistem de două ecuaţii cu două necunoscute.
3. Utilizați corect conjuncțiile și – sau pentru ca afirmațiile următoare să exprime
adevăruri matematice:
a) “ 5x ” este echivalent (la fel) cu „ 5x ...... 5x ”
b) 3 este soluție a sistemului de ecuații 3 0
5 2 1
x
x
pentru că 3 3 0 ....
5 2 3 1
Exercițiul 1 este pregătitor pentru a rezolva exercițiul al
doilea, accentuând o serie de caracteristici definitorii
ale ecuației: relație de egalitate, existența cel puțin a
unei necunoscute, existența sau nu a soluțiilor.
Exercițiul 2 vizează recunoașterea necunoscutei,
termenilor liberi, coeficienților, sistemelor de ecuații
Exercițiul 3 vizează caracteristicile unui sistem de
ecuații atât din perspectiva soluției ca valoare sau valori
ce verifică toate ecuațiile sistemului, cât și a conectorilor
logici implicați de asocierea a două sau mai multor
relații în cadrul unui sistem (utilizarea corectă a lui și)
Identificarea și notarea
datelor cunoscute și a
datelor necunoscute în
cazul problemelor care
se rezolvă cu ajutorul
ecuațiilor sau sistemelor
de ecuații
1.Un drum a fost parcurs în două zile astfel: în prima zi, două treimi din drum, iar a
doua zi 6 km. Calculaţi lungimea drumului.
2. Utilizați manualele de fizică și chimie și identificați câte un exemplude problemă
care presupune scrierea și rezolvarea de ecuații sau sisteme de ecuații. Formați pereche
cu colegul/colega de bancă și discutați problema aleasă din perspectiva noțiunilor
matematice implicate.
Exemplul ataşat activităţii se referă la „dialogul” iniţial
dintre profesor şi elev la debutul rezolvării unei
probleme ce implică studiul ecuaţiilor sau sistemelor de
ecuaţii:
Se aşteaptă ca elevul să poată identifica:
- necunoscuta: lungimea drumului;
- date cunoscute:
- prima zi: 2/3 din lungimea drumului
- a doua zi: 6 km
Un astfel de exercițiu întărește legătura
interdisciplinară. Elevii au în față două categorii de
provocări:
- depistarea și înțelegerea corectă a contextului
științific specific disciplinei de care aparține textul
sursă, precum și interpretarea rezultatelor obținute;
- depistarea, transpunerea în relații matematice a
textului sursă și rezolvarea matematică a problemei.
CS 1.3. Identificarea unor informații din tabele, grafice și diagrame
Activitatea
precizată în
programă
Exemple Observații
Extragerea unei
informaţii dintr-un
tabel, grafic sau
diagramă
1. Considerăm tabelul
Vârsta 10 ani 11 ani 12 ani 13 ani 14 ani
Număr
persoane
cu vârsta
...
24 31 41 19 8
Numărul persoanelor care au vârsta de 13 ani este ...
2. Construiți tabele similare, precizând informația care trebuie extrasă din tabel.
3. Utilizați internetul și, folosind un motor de căutare, identificați date organizate în tabele/grafice
/diagrame. Precizați criteriul pe care l-ați folosit (ce tip de date ați căutat) și formulați două întrebări
privind datele respective propunând colegului de bancă furnizarea răspunsurilor.
4. În desenul alăturat sunt reprezentate numărul de zile în care doi colegi Andrei și Mihai au stat
acasă în timpul anului școlar din motive medicale. Știind că absențele lui Andrei sunt marcate cu
albastru și cele ale lui Mihai cu roșu, precizați analizând desenul:
a) Cine a lipsit mai multe zile în 2016 ?
b) Care este diferența între numărul absențelor celor doi colegi în 2018 ?
Se vor avea în vedere exerciţii în care se
solicită doar extragerea informaţiei, fără a
implica calcule. De exemplu:
- extragerea numărului de elevi care au
luat o anumită notă din tabelul
corespunzător;
- extragerea semestrului cu cel mai mare
câstig dintr-o diagramă cu bare, care
reprezintă câştigurile semestriale ale
unei firme ;
- extragerea preţului dintr-o anumită
lună/identificarea lunii în care a fost cel
mai mic preţ dintr-un grafic care
reprezintă evoluţia preţului unui obiect
pe parcursul unui an, .
Pentru o astfel de activitate este indicat de a fi
utilizate surse on-line sau ale bibliotecii (de
exemplu, un anuar al școlii, cu date și
informații structurate) pe care să se realizeze
activitatea de extragere informații.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
andrei mihai
Identificarea
modului adecvat
de reprezentare a
unor date
1. Se realizează un sondaj pe un grup de 20 de copii, având la bază întrebarea:
„Care dintre melodiile următoare este preferata dumneavoastră şi pe care aţi dori să o ascultaţi? ”
Au fost propuse 8 melodii, fiecare copil trebuind să opteze pentru un singur titlu.
În vederea prelucrării informaţiilor, rezultatele pot fi reprezentate prin tabel, diagramă sau grafic.
Care dintre cele 3 reprezentări ar fi mai utilă, dacă vrem să răspundem la următoarele întrebări:
a) Care este melodia cea mai ascultată?
b) Care este diferenţa, ca număr de persoane, pentru cea mai ascultată şi cea mai puţin ascultată
melodie?
c) Ce procent din numărul total de respondenţi îl reprezintă cei care preferă melodia ... ?
1. Colaborați cu colegul de bancă pentru a aplica un sondaj bazat pe alegerea unui răspuns dintr-
o listă de răspunsuri referitoare la o caracteristică dată, populația chestionată fiind colegii de clasă (de
exemplu, lunile în care au data de naștere, mediile la o disciplină, sporturile practicate etc). Aplicați
sondajul, organizați datele în tabele, apoi alegeți o formă potrivită de reprezentare a datelor. Turul
galeriei.
Se vor avea în vedere exerciţii astfel încât
elevul să poată alege o formă convenabilă de
reprezentare.
Pentru exemplul prezentat, la punctul a)
reprezentarea ar fi mai convenabilă într-o
diagramă cu bare, deoarece s-ar evidenţia
imediat melodia cea mai ascultată (bara cea
mai înaltă).
În cazul în care la nivelul clasei se pot utiliza
noile tehnologii, se poate utiliza, sub
îndrumarea profesorului, din pachetul Office,
programul Excel, elevii fiind încurajați să
introducă date în foaie de lucru, apoi să
selecteze diferite forme de reprezentare a
datelor. Discuție privind reprezentări
numerice/ reprezentări procentuale.
Identificarea unor
exemple de
corespondenţe
matematice în
contexte variate
1. Observați cu atenție diagrama din imagine:
https://fantourist.webnode.ro/prelucrarea-datelor-statistice/
a) Formulați 3 întrebări și asociați răspunsurile potrivite acestor întrebări, privind evoluția
numărului de turiști la care răspunsul să se bazeze pe lectura grafică dată ca sursă.
b) Formulați 2 motive pentru care numărul de turiști este în creștere.
2. Anca, Bianca și Corina s-au înscris la clubul de atletism. La ultimul antrenament, fetele au
scos următorii timpi la cele doua probe la care s-au întrecut:
100 m 200 m
Anca 15 s 27 s
Bianca 13,5 s 25 s
Se vor propune probleme care se referă, de
exemplu, la:
- preţ fixat, dependenţa dintre cantitate şi
suma plătită;
- se cunosc distanţa parcursă şi timpul, se
cere dependența vitezei de cele două
mărimi date;
- evoluția mediilor semestriale pentru
cele 4 semestre corespunzătoare celor 2
ani de studiu încheiați (a V-a și a VI-a).
Recomandare: accesare baze date furnizate
de INS pentru a fi utilizate în procesul de
învățare, variabilitatea caracteristicilor
permițând multiple corelații interdisciplinare.
Corina 14 s 30 s
a) Realizați clasamentul fetelor pentru cele două probe.
b) Stabiliți pentru fiecare dintre fete în care probă a fost mai rapidă( comparați vitezele pe cele două
distanțe).
Indicație: Este suficient ținând cont de corespondența v = d/t, să se compare fracțiile 100
15 ,
200
27? Din
v1 < v2, deducem că Anca a alergat mai repede pe distanța de 200 m.
3. În graficul de mai jos este reprezentată dependența prețului plătit de o persoană pentru
achiziționarea unui număr diferit de pixuri de același fel.
a) Cât au costat 4 pixuri ? Dar 5 pixuri ?
b) Care este relația dintre cele două mărimi reprezentate ? Puteți preciza cât va trebui să plătească o
persoana care dorește să cumpere 25 de pixuri ?
CS 1.4. Identificarea patrulaterelor particulare în configurații geometrice date
Activitatea precizată
în programă
Exemple Observații
Identificarea
patrulaterelor pe
corpuri geometrice
sau pe desfăşurări ale
acestora
1. În desfăşurarea cubului, conform desenului alăturat, identificaţi suprafețe
pătrate sau dreptunghiulare.
Desfăşurările unor corpuri – cub, paralelipiped dreptunghic, prismă
triunghiulară, prismă patrulateră cu baza pătrat – pot fi prezentate
de pe o planşă, cu ajutorul videoproiectorului, pe fişe împărţite pe
grupe de elevi (de exemplu în cadrul unei activităţi pe grupe), etc.
3. Pe fiecare foaie cartonată pe care ați primit-o este desenată
desfășurarea unui corp geometric cunoscut.
a) decupați desfășurarea și identificați tipuri de suprafețe de patrulatere
care au fost descrise în clasele anterioare;
b) realizați, prin lipire, corpul geometric căruia îi corespunde
desfășurarea. Notați etapele de raționament pe care le-ați folosit
pentru realizarea corpului.
4. Decupați, apoi faceți schimb cu colegul de bancă, pentru a
reconstrui prin utilizarea tuturor părților figuri de formă patrulateră.
https://johnrausch.com/PuzzlingWorld/chap01.htm
Elevii trebuie încurajați să compare între ei strategiile utilizate. Mai
mult, este foarte benefic să verbalizeze etapele de
construcție/reconstrucție. Pot înțelege diferența dintre o abordare
intuitivă și una bazată pe raționament; aceasta va permite transferul
metodei în situații similare.
Recunoaşterea
patrulaterelor în
cotidian (în sala de
clasă, mediul
înconjurător etc.)
1. Daţi exemple de suprafețe patrulatere observate la obiectele din clasă sau
la sala de clasă.
Mediul înconjurător este bogat în structuri prin care se pot
exemplifica configurații geometrice care vor fi aprofundate în clasa a
VII-a, recomandarea este de a contextualiza învățarea prin trimiteri
la realitate.
Referitor la al doilea exemplu, pentru elevii care au porţiuni de drum
în comun, se pot „compara” răspunsurile acestora.
2. Daţi exemple de suprafețe patrulatere observate pe drumul de acasă la
şcoală.
O temă de reflecție potrivită acestui context: Care sunt tiparele/
formele geometrice ale construcțiilor realizate de om? Care sunt
tiparele naturii? Tiparele macro față de tiparele micro diferă (forma
plantelor față de forma unor structuri anorganice )?
Identificarea
patrulaterelor
particulare în mediul
înconjurător
1. Daţi exemple de patrulatere particulare observate în curtea şcolii.
2. Cu ajutorul unui aparat foto sau a camerei foto de la telefon, realizați
fotografii în care să surprindeți exemple de suprafețe patrulatere particulare,
observate pe drumul de acasă la şcoală. Grupați fotografiile după tipul
patrulaterelor particulare. Identificați care dintre tipurile particulare de
patrulatere este cel mai frecvent întâlnit. Comparați concluzia cu a colegilor.
Formulați 2 argumente care să susțină concluzia privind cea mai mare
frecvență a tipului de patrulater fotografiat.
Sarcina 1 de lucru va fi abordată individual. Se recomandă
compararea exemplelor identificate pentru a valoriza fiecare elev.
Se recomandă crearea de situații în care să fie utilizate noile
tehnologii.
Plus valoare se poate aduce activității în condițiile în care se creează
contexte de identificare comentată a patrulaterelor (mi-a atras atenția
culoarea, materialul, este parte a altei suprafețe patrulatere etc).
Identificarea
paralelogramelor
particulare într-o
reprezentare
geometrică dată
1. În desenul alăturat, identificaţi: 2 dreptunghiuri, 2 pătrate, 2
paralelograme (care nu sunt pătrate sau dreptunghiuri).
2. Alegeți o imagine/planșă și identificați toate tipurile de paralelograme
particulare învățate.
3. Imaginea alăturată reprezintă o colecție de motive tradiționale românești:
http://blog.allboutique.ro/motivele-romanesti-si-semnificatia-lor/
a) Care sunt formele geometrice de bază utilizate în crearea motivelor
tradiționale?
Profesorul realizează diverse configuraţii/desene care să conţină
diverse patrulatere şi se cere identificarea: a două dreptunghiuri,
două pătrate, două paralelograme care nu sunt dreptunghiuri etc.
Desenele pot fi prezentate de pe o planşă, cu ajutorul
videoproiectorului, pe fişe împărţite pe grupe de elevi (de exemplu în
cadrul unei activităţi pe grupe), etc.
Accentul se pune pe identificare (în principiu vizuală), dar elevul
poate fi încurajat să folosească instrumente geometrice pentru
verificarea afirmaţiilor.
Activitatea 3 este un bun exemplu de utilizare la nivel primar a unor
configurații geometrice. Activitatea poate fi dezvoltată sub titlul: De
la simplu la complex! (simplu – elementele de bază ale unui motiv,
complex – motivul realizat).
Mai mult, accesând sursa dată (link), elevii pot afla semnificații
asociate simbolurilor / motivelor populare.
Se recomandă încurajarea elevilor de a experimenta. Se pot face
fotografii (fără bliț ( ) pentru umbrele obținute clasificarea lor.
b) Ce tehnică permitea meșteșugarilor să creeze motive tradiționale,
fără a cunoaște în detaliu proprietățile geometrice ale elementelor
utilizate?
c) Alegeți un tip de patrulater particular și, utilizând o foaie
milimetrică (caroiaj), realizați un tipar prin repetarea și combinarea
figurilor.
4.Jocul umbrelor. Se vor utiliza cartoane de diferite forme
particulare de patrulater și cu ajutorul unei surse de lumină se vor identifica
suprafețele proiectate (umbrele). Discuție la nivelul clasei.
5. Folosiți un set de paie pentru băuturi răcoritoare și bucăți de sfoară.
Tăiați paiele astfel încât să obțineți mai multe lungimi (dar să vă rămână
destule din fiecare lungime), apoi alegeți câte 4 paie pe care să le înșirați pe
o sfoară. Veți obține o linie poligonală. Încercați să uniți capetele sforii. Ce
fel de patrulater obțineți?
Ceumbră se poate obține pentru proiectarea unei suprafețe de tip
pătrat? ...
În sprijinul activității 5, se poate folosi ca exemplu de resursă un
patrulater cu laturi mobile și care permite măsurarea unghiurilor
acestuia:
https://www.youtube.com/watch?v=-pLPeWBEBgg
Identificarea
pătratelor dintr-o
mulțime de
dreptunghiuri și
romburi
Recunoașteți pătratele dintre figurile geometrice decupate (dreptunghiuri
pătrate, romburi), aşezate în diverse poziţii pe tablă/catedră
Observație: de exemplu, un pătrat este aşezat cu una dintre laturi
paralelă cu marginea tablei/catedrei şi acelaşi pătrat este rotit cu 450)
Un alt exemplu se bazează pe desfășurările, de la corpuri, folosite în
prima activitate a acestui tabel.
Desenele/reprezentările pot fi prezentate cu ajutorul unui
videoproiector.
Accentul se pune pe identificare. De exemplu, identificarea pătratelor
dintr-o mulţime de romburi, nu necesită justificare pe baza
proprietăţilor, însă elevul poate fi încurajat să folosească raportorul
sau orice alt instrument geometric pentru a verifica corectitudinea
afirmaţiilor pe care le face.
CS 1.5. Identificarea elementelor cercului şi/sau poligoanelor regulate în configurații geometrice date
Activitatea precizată în
programă
Exemple Observații
Recunoaşterea elementelor
unui cerc pe configuraţii
geometrice date
1. Folosind desenul alăturat, recunoașteți și
completați tabelul:
Desenele/configuraţiile nu vor conţine multe
puncte/segmente.
Foarte util ar fi ca elevii să realizeze din bucăți de sârmă
cercuri și segmente de diferite lungimi pe care le vor utiliza
fie pentru coarde, inclusiv diametru, fie pentru rază.
Exemplu pentru contextualizarea învățării:
Centru Rază Diametru Coardă Unghi la
centru
Unghi
înscris
2. Construiți un alt desen în vederea completării unui tabel asemănător.
Utilizați cadranul unui ceas pentru a face legături cu cercul,
centrul, raza și diametrul. Dați exemplu de o oră la care
acele ceasornicului sunt dispuse pe un diametru. Poate fi
exprimată ora cu exactitate?
Identificarea unor proprietăţi
ale arcelor, coardelor şi a
diametrului perpendicular pe
o coardă
1. Identificaţi: segmente congruente şi arce congruente în figura alăturată.
2. Construiți o figură simplă care să conțină trei coarde, dintre care unul să fie
diametru, două să fie paralele și cel puțin o coardă să fie perpendiculară pe
diametru.
Un alt exemplu ar putea fi: desen cu un cerc, două/trei
drepte paralele ce intersectează cercul şi identificarea unor
arce (şi eventual coarde) congruente.
Desenele nu vor avea un grad ridicat de complexitate care
să necesite aplicarea unor demonstraţii.
Recomandare: utilizarea aplicației Geogebra pentru
simulări de construcții geometrice.
Identificarea poligoanelor
regulate înscrise într-un cerc
1. În configuraţia alăturată, triunghiul echilateral este:
a) ABF ; b) ABC ; c) BEC ; d) ACD .
2. Identificați poligoanele regulate înscrise în cercurile din imagine/planșă.
Se recomandă utilizarea unor construcții prin care
validarea încadrării în categoria poligon regulat să fie
făcută prin măsurători (la triunghi, la patrulater, la
hexagon).
Pe baza unor imagini/planșe/desene prezentate/realizate de
profesor se identifică poligoane regulate înscrise în cerc.
CS 1.6. Identificarea triunghiurilor asemenea în configurații geometrice date
Activitatea precizată în
programă
Exemple Observații
Identificarea unor imagini
care își păstrează forma prin
mărire sau micșorare (de
exemplu: zoom, microscop)
.
Proiectarea unui fascicol de lumină, de la diverse distanțe.
Folosind videoproiectorul se prezintă situaţii corespunzătoare
activităţii, inclusiv contraexemple. Se recomandă colaborarea
cu profesorul de TIC/Biologie pentru identificarea unor
exemple comune.
Instrumentele de geometrie folosite la tablă pot fi exemple
utile.
În acest context se poate aduce în discuție și noțiunea de
fractali. Doar ca exemplificare prin imagini.
Recunoașterea
proporţionalităţii lungimilor
unor segmente care reprezintă
laturi ale unor triunghiuri
1. Scrieți relațiile corespunzătoare care să justifice faptul că, pentru
fiecare caz în parte triunghiurile au lungimile laturilor
proporţionale:
a) : 2 cm, 3 cm, 4 cmABC AB BC CA ;
: 4 cm, 6 cm, 8 cmDEF DE EF DF
b) ... : 2 cm, 3 cm, 4 cmABC AB BC CA ;
: 8 cm, 4cm, 6 cmDEF DE EF DF
Ce diferă la cele două cazuri?
La ce trebuie să fim atenți
când afirmăm că două
triunghiuri au sau nu laturi
proporționale? Discuție la
nivelul clasei.
2. Precizaţi dacă lungimile laturilor din configuraţia următoare sunt
proporţionale:
Se vor compune probleme în care elevul observă că lungimile
laturilor unuia dintre triunghiuri este dublul/triplul (de 10 ori
mai mare) lungimilor laturilor celuilalt triunghi.
Nu se recomandă folosirea unor valori numerice mari.
Se recomandă ca enumerările de lungimi să nu fie mereu într-
o ordine care să genereze directa porporționalitate, în aceste
cazuri insistând pe o reordonare a lungimilor pentru a
evidenția proporționalitatea.
Identificarea laturilor
omoloage ale unor triunghiuri
asemenea
1. Dacă ABC DEF , identificaţi laturile omoloage.
2. Dacă în triunghiurile ABC şi DEF se ştie că A D şi B F ,
identificaţi laturile omoloage ale asemănării celor două triunghiuri
Se recomandă ca identificarea corespondențelor de
laturi/unghiuri omoloage să fie realizată pe decupaje de
carton pe care elevul să le poziționeze convenabil pentru a
justifica intuitiv corespondențele.
Se recomandă folosirea cât mai frecventă a acestui tip de
sarcini de lucru la debutul activităților referitoare la
asemănarea triunghiurilor.
Identificarea vârfurilor
omoloage ale unor triunghiuri
asemenea
1. Dacă ABC DEF identificaţi vârfurile omoloage.
2. Dacă în triunghiurile ABC şi DEF se ştie că A D şi B F ,
identificaţi vârfurile omoloage ale asemănării celor două triunghiuri.
CS 1.7. Recunoașterea elementelor unui triunghi dreptunghic într-o configuraţie geometrică dată
Activitatea precizată în
programă
Exemple Observații
Identificarea
triunghiurilor
dreptunghice în
configurații geometrice
date
Identificare triunghiurilor dreptunghice dintr-un:
a) triunghi în care se construiește o înălțime / două înălțimi/ toate cele 3
înălțimi;
b) dreptunghi cu diagonalele desenate;
c) romb cu diagonale desenate;
d) trapez dreptunghic cu diagonalele desenate;
e) trapez isoscel în care se construiesc înălțimile cu vărfurile în capetele bazei
mici;
f) într-un cerc, cu ipotenuza triunghiurilor un diametru fixat și vârful opus
acestuia mobil pe cerc;
g) într-un hexagon regulat în care se construiesc toate diagonalele.
Se vor găsi și alte configurații, eventual din mediul
înconjurător.
Se poate utiliza un baston de tip segment sau un băț simplu
care să aibă aibă un capăt sprijint de un perete, celălalt capăt
pe podea și să fie cu toate punctele în contact cu alt perete (se
va folosi un colț al sălii de clasă).
Se pot evalua anumite triunghiuri din perspectiva existenței
unui unghi drept, folosind măsurători sau suprapuneri/alte
strategii).
Identificarea catetelor și a
ipotenuzei într-un
triunghi dreptunghic dat
1. Pentru triunghiurile identificate la punctul anterior precizați care laturi
sunt:
a) catete;
b) ipotenuze.
Verificarea retenției:
2. Triunghiul ABC are lungimele laturilor cunoscute
3, 6, 4AB BC AC Cunoscând aceste date putem afirma că BC este
ipotenuza triunghiului dat? Pentru a vă asigura, construiți triunghiul pe caiet,
folosindu-vă de lungimile cunoscute și verificați dacă sunt îndeplinite condițiile
pentru răspunsul dat.
Se poate aduce în discuție interpretarea în context a
semnificațiilor unor segmente ( de exemplu înălțimea într-un
triunghi va fi catetă pentru alt triunghi, sau chiar ipotenuză
dacă vom construi încă o înălțime; diagonala pătratului este
ipotenuză pentru triunghiurile determinate în pătrat de
construcția sa).
Se pot folosi creioane sau bucăți de sârmă de diferite lungimi
standard (3k, 4k, 5k, 12k, 13k) pentru a construi triunghiuri și
a menționa tipul laturilor.
Folosirea instrumentelor
geometrice pentru a
identifica proiecţia unui
punct/segment pe o
dreaptă
1. Pe configuraţia alăturată
identificaţi:
a) proiecţia punctului B pe AC;
b) proiecţia punctului A pe BC;
c) proiecţia punctului D pe AB;
d) proiecţia segmentului BC pe
dreapta AC;
e) proiecţia segmentului BE pe
dreapta BC;
f) proiecţia segmentului AD pe dreapta AB.
2. Folosiți o hârtie prin care ați creat o fantă liniară. Folosiți o sursă de
lumină fixă (lampă de birou) și luminați fanta astfel încât pe birou să puteți
vedea urma lăsată de lumina ce trece prin fantă. Ce reprezintă aceatsă urmă?
Poziționați foaia de hârtie sub înclinații diferite. Ce remarcați? Discutați la
nivelul clasei și formulați concluzii în contextul proiecțiilor.
Identificarea proiecţiei punctului B pe AC necesită, eventual,
folosirea raportorului, pentru a verifica care dintre cele 3
ceviene este perpendiculară pe AC. Altă strategie , de
exemplu, având la dispoziție doar riglă gradată constă în
măsurarea lungimilor segmentelor BD, BF și BE și
excluderea variantelor BF și BE ca fiind segmente de lungimi
mai mari decît lungimea segmentului BD.
Încurajați creativitatea elevilor în identificarea de alte
strategii, chiar dacă răspunsul nu poate fi confirmat cu
exactitate. Ideile apărute vor permite discuții care să
întărească învățarea.
Deşi pe desen sunt marcate unele unghiuri drepte, se
recomandă ca elevul să folosească instrumentele geometrice
pentru verificarea perpendicularităţii.
Identificarea proiecţiei
unui segment pe o dreaptă
1. Proiectați laturile unui pătrat pe diagonalele sale, folosind echerul.
2. Proiectați diagonalele unui dreptunghi pe fiecare din laturile sale.
3. Proiectați laturile unui paralelogram pe una din laturile alăturate.
Pentru captarea atenției: solicitați doi voluntari. Cereți-le să
spună ce înălțime au. Spuneți-le că sunt fiecare câte un
în diferite configuraţii
geometrice
4. Folosiți o foaie de hârtie milimetrică (caroiaj). Desenați o dreaptă pe foaie,
fixați un punct pe dreaptă. Folosind o pioneză și bețișor de lemn fixați bețișorul
în pioneză (evitând fixarea sa în mijlocul bețișorului) apoi fixați pioneza în
punctul stabilit pe dreaptă. Rotiți pioneza. Pentru fiecare rotire, bețișorul va fi
într-o anumită poziție față de dreaptă. Proiectați bețișorul (segmentul
corespunzător) pe dreaptă. Măsurați lungimea proiecției și comparați cu
lungimea bețișorului. Repetați procedeul de încă 9 ori. Notați lungimile și rețineți
poziția bețișorului corespunzătoare fiecărei lungimi. Discutați la nivelul clasei și
formulați concluzii care întăresc învățarea!
segment cu lungimea pe care au precizat-o. Care dintre ei
poate fi proiecția celuilalt?
Realizarea unor decupaje
după indicații date (de
exemplu, decuparea unui
triunghi de-a lungul unei
înălțimi)
1. Desenaţi pe o foaie de hârtie un triunghi oarecare ABC.
a) Decupaţi triunghiul ABC;
b) Descompuneți triunghiul ABC în două triunghiuri dreptunghice prin
decupare de-a lungul înălţimii corespunzătoare laturii BC.
2. Desenaţi triunghiul dreptunghic ABC, cu A unghi drept. Decupaţi triunghiul
de-a lungul mediatoarei corespunzătoare laturii AB.
Se va avea în vedere construcţia înălţimii/mediatoarei cu
instrumente geometrice, dar se pot folosi şi tehnici de îndoire.
Referitor la al doilea exemplu, se poate completa cerinţa cu
întrebarea:
„Ce figuri geometrice obţineţi în urma decupării?”
Competența generală nr. 2: Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale
CS 2.1. Aplicarea regulilor de calcul pentru estimarea şi aproximarea numerelor reale
Activitatea precizată
în programă
Exemple Observații
Scrierea unui număr
real în diverse forme
1. Exerciţiu de tip asociere, în care pe prima coloană sunt numere raţionale scrise sub formă
de fracţie ordinară, iar pe a doua coloană scrise sub formă de fracţie zecimală.
2. Completaţi tabelul conform modelului:
4 8
2
16
15
3
81
Profesorul va sugera elevilor adăugarea la tabel încă
3 linii similare.Elevii vor realiza sarcina individual.
Aproximarea unui
număr real și
reprezentarea acestuia
pe axa numerelor
1. Aproximaţi numerele 2, 3, 7, 21
prin lipsă, la un număr natural.
2. Reprezentaţi pe axa numerelor cele patru numere din exercițiul anterior.
La reprezentarea pe axă nu se va pune accent pe
faptul că este mai aproape de partea întreagă sau de
partea întreagă plus unu. De exemplu, nu se pune
accent pe faptul că 2 este mai aproape de 1, dar
este important că este în stânga lui 3
, atunci când
amândouă se reprezintă pe axă între 1 şi 2. Elevilor li se va cere să dea exemplu de un număr
rațional și unul irațional între numerele 3 și 4. Determinarea opusului,
a modulului şi a
inversului unui număr
real
1. Completați un tabel de forma de mai jos pentru numere de diferite tipuri.
Număr Opus Modul Invers
2. Completaţi următorul tabel conform exemplului:
Număr Opus Modul Invers
5 –5 5 1
5 –7
2
3
1
3
Număr natural, fracţie ordinară, radical (fără
raţionalizare). De preferinţă nu se vor folosi fracţii
zecimale pentru că nu ne dorim aici să facă
transformarea în fracţie ordinară (pentru invers). Profesorul va cere elevilor care sunt formați în
echipe să alcătuiască un tabel după modelul de la 2.,
apoi să-l propună spre completare unei alte echipe.
Compararea numerelor
reale utilizând modulul,
aproximări, încadrarea
unui număr real între
doi întregi consecutivi,
scoaterea factorilor de
sub radical,
introducerea factorilor
sub radical
1. Comparaţi: 7,24 cu 7,3; –7 cu 4,5;
15
7
cu
13
7
; 17
cu 19
2. Încadraţi între două numere întregi consecutive următoarele numere: 2,7; –3,(4);
15
4 ;
7, 31, 17.
3. Comparaţi: 2 2 cu 3; 18
cu 2 2 ; 5 2 cu 51
.
Prima comparaţie de la exerciţiul 3 se poate discuta
în contextul reprezentării pe axă.
Se poate propune şi un exercţiu de genul:
Pe axa numerelor, numărul 2 este poziţionat
astfel:
Comparaţi 2 2 cu 3.
CS 2.2. Utilizarea regulilor de calcul cu numere reale pentru verificarea soluţiilor unor ecuaţii sau sisteme de ecuaţii liniare
Activitatea precizată în programă Exemple Observații
Verificarea, prin calcul, că un număr
dintr-o enumerare este soluţie a unei
ecuații
1. Verificaţi dacă:
a) numărul 2 este soluţie a ecuaţiei 2 4x
;
b) numărul –1 este soluţie a ecuaţiei 3 2x
;
Se vor folosi ecuaţii pentru care
verificarea implică maximum 2 calcule:
, 0,ax b ax b ax b c .
2. Compuneți un exercițiu asemănător pentru colegul de bancă.
Verificarea, prin calcul, a soluţiei unui
sistem de ecuaţii liniare
Verificaţi dacă perechea (2, 3) este soluţie a:
a) ecuaţiei 4 2 2x y ,
b) sistemului 4 2 2, 2 7x y x y .
2. Compuneți un exercițiu asemănător și rezolvați-l.
Se vor folosi ecuaţii în cadrul sistemelor
care să nu depăşească 3 calcule la
verificarea soluţiei
Verificarea, prin calcul, că un număr real
este soluție comună a unor ecuații
1. Verificaţi dacă numărul 2 este soluţie a ecuaţiilor:
a) 2 4 0x
;
b) 2 4x
;
c) 6 3 0x
.
2. Compuneți un exercițiu similar.
Exemplele pot implica 3 ecuaţii, din care
două au aceeaşi soluţie şi a treia nu.
CS 2.3. Prelucrarea unor date sub formă de tabele, grafice sau diagrame în vederea înregistrării, reprezentării și prezentării acestora
Activitatea precizată în
programă
Exemple Observații
Prelucrarea statistică a
unor date reprezentate în
tabel
1. Considerăm tabelul
Vârsta 10 ani 11 ani 12 ani 13 ani 14 ani
Număr
persoane cu
vârsta ...
24 31 41 19 8
a)Numărul persoanelor care au vârsta cel puţin egală cu 12 ani este egal cu ...
b)Cel mai mare număr de elevi corespunde vârstei de ... ani.
c)Propuneți colegului de bancă alte 3 cerințe.
2. În diagrama de mai jos sunt reprezentate numărul de cărți împrumutate de la bibliotecă de elevii
claselor a VII-a dintr-o școală.
Raportându-ne la problemele propuse/
construite la CS 1.3. acestea pot fi
folosite la prelucrarea datelor. De
exemplu:
- extragerea numărului de elevi
care au luat mai mult decât o
anumită notă din tabelul
corespunzător ;
- aflarea diferenței dintre
câştigurile obținute semestrial de
o firmă folosind o diagramă cu
bare, ,
- identificarea perioadelor de
creştere, descreştere sau stagnare
a preţului dintr-un grafic care
reprezintă evoluţia preţului unui
obiect pe parcursul unui an
a) Treceți într-un tabel cu două linii (ziua, nr. cărți), informațiile din desen.
b) Câte cărți au împrumutat elevii în cele 5 zile ?
c) Care este media setului de date reprezentate ?
Reprezentarea unor date
prin diagrame, grafice
circulare sau grafice cu
bare
Răspunsurile elevilor unei clase de 25 de elevi la întrebarea: „Câți frați/surori aveți ?” au fost
următoarele : 7 copii sunt singuri la părinți, 10 copii au răspuns că au un singur frate sau soră, 5
copii au spus că au 2 frați/surori, iar restul au spus că în familie sunt câte patru copii.
a) Realizați un tabel în care să treceți informațiile de mai sus (nr. de familii/ nr. de copii din
familie).
b) Plecând de la tabelul de la a), alegeți o modalitate de reprezentare a acestor date prin
desen(diagrame cu bare sau circulare).
Se vor avea în vedere exerciţii de
reprezentare a unor date din tabele cu
cel mult 4 coloane.
Profesorul formulează cerințe având ca
subiect reprezentarea unor date prin
diagrame sub diverse forme, acestea
fiind adresate elevilor care sunt grupați
pe echipe.
Reprezentarea unor date în
tabele cu una sau cu două
intrări
Completați tabelul ca urmare a efectuării de măsurători în diverse încăperi din școală :
Încăpere Sala clasă ... ...
Lungime
Lăţime
.Se poate realiza un proiect pe grupe. De
exemplu:
Fiecare grupă face măsurători pentru
diverse încăperi din şcoală: sala clasă,
hol, bibliotecă etc.
Se pot verifca datele din tabele prin
compararea rezultatelor obţinute de
către diverse grupe, calculul ariilor etc.
CS 2.4. Descrierea patrulaterelor utilizând definiții și proprietăți ale acestora, în configuraţii geometrice date
Activitatea precizată în
programă
Exemple Observații
0
5
10
15
20
25
30
35
40
luni marti miercuri joi vineri
Recunoașterea patrulaterelor
convexe în configurații
geometrice date
1. Numiţi patrulaterele convexe dintre cele de mai jos:
2. Referitor la configuraţia alăturată, numiţi un patrulater
convex şi un patrulater concav:
Profesorul realizează configuraţii/desene
care să conţină diverse patrulatere.
Desenele pot fi prezentate pe o planşă, cu
ajutorul videoproiectorului, pe fişe împărţite
pe grupe de elevi (de exemplu în cadrul unei
activităţi pe grupe) etc.
Accentul se pune pe identificare (în principiu
vizuală), dar elevul poate fi încurajat să
folosească instrumente geometrice pentru
verificarea afirmaţiilor.
Descrierea unor proprietăți ale
laturilor, unghiurilor și
diagonalelor unor patrulatere
particulare
Se poate realiza o fişă, pe care elevul o completează pe măsură ce parcurge lecţiile:
Patrulater Proprietăţi ale
laturilor unghiurilor diagonalelor
Fişa va face parte din portofoliul elevului.
. Se recomandă folosirea cât mai frecventă în
debutul problemelor referitoare la patrulatere
particulare.
Recunoaşterea paralelogramelor
particulare pe baza unor
proprietăţi precizate
1.Paralelogramul cu un unghi drept este ...
2. Rombul cu un unghi drept este ...
.
Recunoașterea trapezului isoscel
sau a trapezului dreptunghic 1. Se consideră trapezul ABCD,
AB CD,
AB CD. Precizaţi dacă trapezul este isoscel,
în cazurile:
a) 24, 12AB BC CD DA ;
b) 0 070 , 110A C
;
c) 0
90B ;
d) 12, 6, 5AB BC CD DA .
2. Pentru problema anterioară, precizaţi dacă trapezul este dreptunghic.
CS 2.5. Descrierea proprietăților cercului şi ale poligoanelor regulate înscrise într-un cerc
Activitatea precizată în programă Exemple Observații
Calcularea măsurii unghiurilor unui
poligon regulat
1. Calculați măsura unghiurilor unui triunghi echilateral înscris în cerc, folosind
reprezentarea pe cerc şi proprietăţi ale măsurii unghiului înscris.
2. Calculați măsura unghiurilor unui pătrat în cerc, folosind reprezentarea pe cerc şi
proprietăţi ale măsurii unghiului înscris.
Pentru triunghiul echilateral şi pentru
pătrat, unde se cunosc deja măsurile
unghiurilor, profesorul va aborda calculul
măsurilor de unghiuri prin metode
alternative de calcul.
3. Calculați măsura unghiurilor unui hexagon regulat înscris în cerc, folosind
reprezentarea pe cerc şi proprietăţi ale măsurii unghiului înscris.
Reprezentarea prin desen a
configuraţiilor geometrice care conţin
un cerc şi elementele sale folosind
instrumente geometrice
1. Desenaţi un cerc cu raza de 4 cm şi:
a) o coardă AB a acestuia, care să nu fie diametru;
b) un diametru perpendicular pe coarda AB.
2. Desenaţi un cerc cu raza de 2 cm şi:
c) un unghi ABC înscris în cerc;
d) un unghi la centru, astfel încât una din laturi să conţină punctul B.
Problemele propuse trebuie să fie echilibrate
din punct de vedere al încărcării figurii.
Se recomandă, de exemplu, la construcţia
diametrului perpendicular pe o coardă, ca
elevii să fie încurajaţi să realizeze desenul cu
echerul, dar şi fără echer (folosind mijlocul
coardei).
Utilizarea instrumentelor geometrice
pentru a reprezenta prin desen
poligoane regulate înscrise în cerc
1. Construiți, folosind instrumente de geometrie:
a) un triunghi echilateral, înscris într-un cerc;
b) un pătrat, înscris într-un cerc;
c) un hexagon regulat, înscris într-un cerc.
2. Construiți, folosind instrumente de geometrie:
a) un triunghi echilateral, înscris într-un cerc de rază 3 cm;
b) un pătrat, înscris într-un cerc de diametru 5 cm;
c) un hexagon regulat de latură 2 cm, înscris într-un cerc.
Elevii vor fi ajutați să remarce, în urma unor
încercări, că ultima construcție necesită un
cerc de rază 2 cm.
CS 2.6. Stabilirea relaţiei de asemănare între triunghiuri
Activitatea precizată în
programă
Exemple Observații
Stabilirea relaţiei de asemănare
între două triunghiuri utilizând
măsurile unghiurilor
1. Stabiliţi dacă triunghiurile următoare sunt asemenea: 0 0: 70 , 30ABC A C
; 0 0: 70 , 30MNP M N
.
2. Folosind datele din figură,
stabiliţi dacă au loc asemănările:
a) ABC EDC
;
b) FGN MHN
3. Stabiliţi asemănarea triunghiurilor din figura alăturată:
Se acceptă şi situaţii de genul: 0 070 , 30A C
, respectiv 0 070 , 80M P
.
Stabilirea relaţiei de asemănare
între două triunghiuri utilizând
proporţionalitatea laturilor
1. Folosind datele din figură, stabiliţi dacă au loc asemănările:
a) ∆𝐻𝐹𝐺 ~∆𝑅𝑁𝑀
b) ∆𝐴𝐵𝐶 ~∆𝑆𝐷𝐸
Exerciţiile se construiesc pe modelul de la activitatea
anterioară, corespunzător activității de învățare
curente.
Profesorul va propune elevilor un exerciţiu în care se
cunosc dimensiunile laturilor şi va cere elevilor să
verifice proporţionalitatea laturilor. Se recomandă şi
folosirea unor desene (triunghiuri) pe care sunt
notate lungimile laturilor.
Stabilirea relaţiei de asemănare
între două triunghiuri utilizând
proporţionalitatea a două
perechi de laturi și congruența
unghiurilor dintre ele
1. Se consideră dreptunghiul ABCD cu AB=12 cm și BC=25 cm și punctul
E pe latura BC astfel încât BE=9cm.
a) Stabiliți dacă triunghiurile ABE și ECD sunt asemenea ;
b) Calculați lungimile laturilor triunghiului ADE și verificați dacă există o
relație de asemănare între acesta și triunghiul EAB.
Exerciţiile se construiesc pe modelul de la activitatea
anterioară, corespunzător activității de învățare
curente.
Profesorul va cere elevilor să propună un exerciţiu în
care se cunosc dimensiunile a două perechi de laturi
şi a măsurilor unghiurilor dintre ele. acesta fiind
rezolvat de colegul de bancă.
Observații : este necesară orientarea elevilor spre
identificarea unghiurilor alterne interne BEA și
EAD și verificarea proporționalității laturilor
acestor unghiuri în cele doua triunghiuri ( punctul
b)
Stabilirea relaţiei de asemănare
între două triunghiuri prin
aplicarea teoremei
fundamentale a asemănării
1. În figura alăturată DE AC
.
a) Stabiliţi dacă este adevărată asemănarea ADE ABC
.
b) Dacă DF AC
, F BC
, stabiliţi dacă este
adevărată asemănarea BDF BAC
.
Exemplele presupun fie configuraţii/desene deja
realizate, fie construirea configurației/desenului de
către elevi. Activitatea se referă identificarea şi
stabilirea relaţiei de asemănare, bazându-se pe
teorema fundamentală a asemănării și nu se limitează
doar la realizarea desenului.
Se recomandă probleme în care desenul nu necesită
multe etape. (de exemplu un triunghi şi 1-2 paralele
sau un paralelogram, o diagonală şi o paralelă la
latură/diagonală etc).
CS 2.7. Aplicarea relaţiilor metrice într-un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente ale acestuia
Activitatea precizată în programă Exemple Observații
Calcularea lungimilor unor segmente
utilizând teorema înălţimii, teorema
catetei sau teorema lui Pitagora
1. În triunghiul ABC, 90 , ,A AD BC D BC .
a) Dacă 4BD cm şi 9CD
cm, calculaţi lungimea
segmentului AD.
b) Dacă 2CD
cm şi 8BC
cm, calculaţi lungimea catetei
AC.
c) Dacă 6AB
cm şi 8AC
cm, calculaţi lungimea
ipotenuzei BC.
Profesorul va avea în vedere probleme în care se aplică direct
teoremele, fără calcule premergătoare. De exemplu: - se cunosc lungimile proiecţiilor catetelor pe ipotenuză şi
se cere lungimea înălţimii;
- se cunoaşte lungimea unei proiecţii şi a ipotenuzei şi se
cere lungimea catetei corespunzătoare proiecţiei;
- se cunosc lungimile catetelor şi se cere lungimea
ipotenuzei.
Calcularea ariei unui triunghi
oarecare folosind descompunerea
suprafeței sale în triunghiuri
dreptunghice
1. Calculaţi aria triunghiului ABC pentru fiecare din
configuraţiile următoare:
Având în vedere că formula pentru aria unui triunghi oarecare şi
pentru triunghiul dreptunghic au fost făcute la finalul capitolului
patrulatere, profesorul va pune accent pe ideea descompunerii
triunghiului în triunghiuri dreptunghice și calculul ariei folosind
această descompunere.
Calcularea sinusului, cosinusului,
tangentei şi cotangentei pentru
unghiuri ascuţite ale unui triunghi
dreptunghic
1. În triunghiul dreptunghic ABC cu unghiul A drept, 5AB
cm
şi 8BC
cm, calculaţi sinusul unghiului C.
2. În triunghiul dreptunghic ABC cu unghiul A drept, 8AB
cm
şi 6AC
cm, calculaţi tangenta şi cotangenta unghiului C.
Profesorii vor avea în vedere probleme în care se aplică direct
formula de determinare a sinusului, cosinusului, într-un triunghi
dreptunghic, fără a fi necesară aplicarea, de exemplu, a teoremei
lui Pitagora pentru determinarea unei laturi.
Coordonatori:
GOLOGAN Radu Nicolae- președinte Comisia Națională de Specialitate -Matematică
NAGHI Elisabeta Ana-președinte executiv Comisia Națională de Specialitate –Matematică
VRINCEANU Gabriel Narcis-coordonator clasa a VII-a, membru Comisia Națională de Specialitate –Matematică
Grup de inspectori și profesori de gimnaziu din învțâmântul preuniversitar din mediu urban și rural, conform anexei.
Top Related