REPERE METODOLOGICE PENTRU APLICAREA CONFORMĂ A PROGRAMEI ȘCOLARE DE MATEMATICĂ

PENTRU ÎNVĂȚĂMÂNTUL GIMNAZIAL-nivel de bază

Clasa a VII-a

Programa școlară de matematică reprezintă o componentă esenţială a curriculumului național, în acord cu Planul-cadru de învățământ pentru învățământul gimnazial,

aprobat prin OMENCS nr. 3590/05.04.2016, urmărind respectarea caracteristicilor ciclurilor de dezvoltare cognitivă a elevului şi utilizarea eficientă a resurselor didactice

disponibile. Disciplina este inclusă în aria curriculară Matematică şi ştiinţe ale naturii din trunchiul comun și este prevăzută în planul-cadru de învăţământ cu un buget de timp de 4

ore/săptămână.

În procesul de proiectare curriculară s-au avut în vedere: profilul de formare al elevului de gimnaziu, programele şcolare pentru ciclul primar la disciplina Matematică,

competenţele-cheie pentru învățarea pe tot parcursul vieții din cadrul european de referință, rezultatele înregistrate la evaluările naţionale şi internaţionale pentru învăţământul

gimnazial şi principiile de construcţie curriculară.

În clasa a VII-a se realizează trecerea de la metodele predominant intuitive, abordate în clasele anterioare, la definirea unor noi concepte, demonstrarea

unor proprietăţi şi la aplicarea unor algoritmi de calcul.

Fiecare dintre cele șase competențe generale ale programei de Matematică pentru gimnaziu are câte șapte competențe specifice (câte una pentru fiecare

conținut din programă, în această ordine: 1. Mulțimea numerelor reale, 2.Ecuații și sisteme de ecuații liniare, 3. Elemente de organizare a datelor, 4. Patrulaterul,

5. Cercul, 6. Asemănarea triunghiurilor, 7. Relații metrice în triunghiul dreptunghic).

Competențele specifice (CS) au, fiecare, câte un cod format din două cifre, în care prima cifră este dată de numărul competenței generale, iar a doua cifră

este a conținutului. De exemplu, CS1.3 este o competență derivată din prima competență generală Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în

contextul în care acestea apar, pentru conținutul 3. Elemente de organizare a datelor.

Precizări referitoare la abordarea conținuturilor

Programa pentru algebră vizează continuarea studiului mulţimilor de numere prin introducerea mulţimii numerelor reale, pentru a fi folosite în rezolvarea de

ecuații și sisteme de ecuații liniare, pentru organizarea datelor și pentru calcule din cadrul geometriei.

Studiul geometriei se caracterizează prin trecerea de la studiul intuitiv al caracteristicilor matematice ale figurilor geometrice, la studiul calitativ al acestora, bazat

pe demonstraţie. Una dintre finalităţile aşteptate ale studiului geometriei prin proprietăți este modelarea configurațiilor geometrice pentru a calcula lungimi de

segmente, măsuri de unghiuri, perimetre şi arii.

La tema Ecuaţii şi sisteme de ecuaţii se are în vedere formarea unor deprinderi de rezolvare a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii liniare, utilizând diverse metode

de rezolvare. Comparativ cu clasele anterioare, unde abordarea problemelor practice se realizează prin metode aritmetice, problemele întâlnite în viaţa cotidiană

vor fi rezolvate modelând cu ajutorul simbolurilor informaţiile deduse din enunţ, asociind în acest mod problemei o ecuaţie sau un sistem de ecuaţii.

La tema Patrulatere se vor demonstra: proprietatea liniei mijlocii în triunghi şi în trapez, proprietatea centrului de greutate al unui triunghi, utilizând proprietăţi

ale patrulaterelor particulare. Pornind de la aria dreptunghiului se vor deduce ariile pentru paralelogram, romb, triunghi şi trapez. Astfel, la final se va putea

determina aria unui poligon prin descompunerea acestuia în figuri geometrice studiate. În continuarea studiului din clasa a VI-a al congruenţei triunghiurilor, la

Asemănarea triunghiurilor se vor introduce teorema paralelelor echidistante și teorema lui Thales, ambele fără demonstraţie. Cazurile de asemănare a

triunghiurilor se vor prezenta prin analogie cu cazurile de congruenţă a triunghiurilor.

La Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic se va pune accent pe determinarea elementelor unui triunghi dreptunghic identificat în configuraţii geometrice sau

practice date. Utilizând noţiunile prezentate la Cerc se vor calcula elemente ale poligoanelor regulate studiate. Aceste elemente vor fi utile pentru corpurile

geometrice studiate în clasa a VIII-a.

Competența generală nr. 1 : Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar

CS 1.1.Identificarea numerelor aparținând diferitelor submulțimi ale lui ℝ

Activitatea

precizată în

programă

Exemple de sarcini de lucru/activități de învățare Observații

Identificarea

pătratelor unor

numere naturale

dintr-o enumerare de

numere date

1. Subliniaţi numerele naturale pătrate perfecte din enumerarea: 4, 8, 16, 20, 25, 30,

35, 45, 51, 58, 64, 71.

2. Identificați numerele naturale pătrate perfecte, din enumerarea următoare:

MAI

L M M J V S D

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31

În construcţia enumerării de numere, numărul termenilor

va fi mai mic decât 15 (sau relevant pentru specificul

datelor), iar termenii vor fi numere mai mici sau egale cu

100.

Recomandare: enumerarea poate fi de mărimi care au ca

valori asociate numere naturale (vârste, sume de bani,

masă, lungimi, arii etc).

Trebuie avute în vedere contextele matematice sau

interdisciplinare în care identificarea rapidă a pătratelor

perfecte permite rezolvarea unei etape din cadrul unui

raționament (exemplu – relații metrice în triunghi

dreptunghic, aria pătratului).

Identificarea, în

exemple relevante, a

relaţiei între puterea

cu exponent 2 şi

rădăcina pătrată a

pătratului unui

număr natural

1. Stabiliţi valoarea de adevăr a afirmaţiilor:

a) 216 4 ;

b) 16 4 ;

c) 2144 12 ;

d) 144 12 .

2. Scrieți relațiile matematice corecte pentru fiecare dintre următoarele afirmații

adevărate:

a) 9 este pătratul lui 3; 3 este rădăcina pătrată a lui 9;

b) 25 este pătratul lui 5; 5 este rădăcină pătrată din 25.

Se vor alege perechi de tipul 2a x şi a x .

Primul exemplu permite verificarea recunoașterii /

înțelegerii semnificației ridicării la pătrat /rădăcinii

pătrate.

Se poate continua cu exerciții de tipul:

Dacă 216 4 , atunci ... 4

ridicat la puterea a 2-a rădăcina pătartă a sa este

12 .... 12

Al doilea exemplu permite exersarea transpunerii unui

text în limbaj matematic.

3. Utilizați desenul următor pentru a explica legătura dintre un număr natural și

pătratul său, apoi exemplificați pentru o altă pereche de numere aflate într-o

relație similară (număr – pătratul numărului).

Al treilea enunț permite o interpretare geometrică a

relației dintre număr și pătratul sau rădăcina sa pătrată.

Identificarea

rădăcinii pătrate din

pătratul unui număr

natural utilizând

scrierea sub formă

de putere cu

exponent 2

1. Completați tabelul, după model, cu pătratele perfecte mai mici decât 99, apoi completați

și restul datelor.

Pătrate perfecte 0 1 4 25 49 81

Scrierea pătratului perfect

cu ajutorul puterilor

20 23 27 28

Rădăcina pătrată a

pătratului perfect (cu

utilizarea simbolului

radical)

20 24

26 27

Rădăcina pătrată a

pătratului perfect

(rezultat)

0 7

2. Calculaţi: 23 , 2 2(3 ) ,

63 , 14 ,

24 , 34 ,

65 .

3, Se inscripționează cartoane cu câte un număr, pătrat perfect, mai mic sau egal cu 100

sau cu rădăcina pătrată a acestora ( 0, 1, 4 și 9 sunt și pătrate și rădăcini pătrate în

condițiile date). Fiecare elev va trage un carton și se va deplasa pentru a-și găsi

perechea, fie pătratul perfect, fie rădăcina pătrată .

Care sunt numerele fără pereche?

Ce perechi s-au format?

Ce triplete s-au format?

Exercițiile trebuie să permită exersarea suficientă a

relației număr natural – pătrat perfect, scrierea unui

număr ca puterea a doua a unui număr natural, rădăcina

pătrată pentru numere naturale pătrate perfecte aduse la

forma de putere a doua.

Se pot construi enumerări care conţin numere de forma na cu a pătrat perfect (eventual n impar) sau 2kb .

Recunoaşterea

numerelor naturale,

întregi, raţionale

1. Considerăm numerele:

a) 4; –7; 0,6; 23 ; –1,2(3);

11

5; 11.

b) 4 ; 23 ;

2( 3) ; 0,81; 2,3(5); 23

11 .

A se avea în vedere ca tipul de activitate să fie axat pe

recunoaștere, deci forma de reprezentare a numerelor

trebuie să fie una care să nu necesite calcule laborioase.

Evident se poate solicita aplicarea unor proprietăți și/sau

reguli de calcul, dar nu mai mult de o operație/regulă

utilizată pe fiecare număr.

Realizați câte un tabel pentru fiecare dintre cele două subpuncte, încadrând numerele în

mulțimea corespunzătoare:

2. Deschideți manualele de fizică și de chimie la pagina 50. Enumerați toate numerele pe

care le identificați în textele asociate acelor pagini. Încadrați numerele în mulțimile

studiate (mulțimea numerelor naturale, mulțimea numerelor întregi, mulțimea numerelor

raționale). Există și numere pe care v-a fost dificil sau imposibil de încadrat?

Exemplul al doilea utilizează resurse de la discipline din

aria curriculară pentru a evidenția necesitatea dobândirii

competențelor de numerație

Recunoaşterea unui

număr iraţional

dintr-o mulţime de

numere date

1. Din mulţimea 9

2, 4, 5, , 12, 254

A

, alegeţi submulţimea B care conține

numere raţionale şi submulţimea C care conține numere iraţionale.

Indicaţie: 2 este iraţional (2 nu este pătrat perfect), deci îl repartizăm în C, iar 4 2, deci îl repartizăm în B.

2. Formulați o cerință similară exercițiului anterior dar rezolvați cerința propusă de un

coechipier.

În construcţia mulţimii A nu se vor folosi numere mari,

care să necesite descompunerea (pentru a verifica dacă

sunt pătrate perfecte). Un exemplu/model trebuie să

însoțească problema.

Este foarte important să verificăm și capacitatea de

transfer. În aceste condiții, activitatea verifică modul în

care un model dat poate fi recreat de către elev;

elementele alese vor da informații asupra

dependenței/independenței de exemplu iar rezolvarea

exercițiului propus permite atât autoevaluarea, cât și

interevaluarea.

Identificarea unei

forme convenabile

de scriere a unui

număr real în funcţie

de un context dat

1. Completaţi tabelul conform modelului:

Aria

pătratului

2l

2 2cm

4 2dm

6

...

9

dam2

17

km2

Latura

pătratului

( )l

2

cm

4 dm

2 dm

... m

...

...

2. Preţul unui produs este exprimat printr-un număr care reprezintă lei şi bani. Care dintre

următoarele numere, 5 lei, 5,30 lei, 26 lei sau 5,(25) lei ar putea corespunde preţului

obiectului ? Argumentați răspunsul.

a.

3. Aria unui pătrat este 2 2cm . Latura pătratului identificată de 3 rezolvitori este:

a) 1,4 cm; b) 1,41 cm; c) 2 cm.

Care este răspunsul tău? De ce?

Se recomandă ca activitatea de rezolvare de probleme să

debuteze cu exerciții care au la bază modele de rezolvare.

Referitor la primul exercițiu se poate cere asocierea

datelor cu dimensiuni din realitate (pătrat de arie 2 cm2

poate corespunde suprafeței (feței) unei bomboane sau

unei radiere; un pătrat de latură 17 km nu va permite

elevului o raportare directă la realitate, dar un pătrat cu

latura de aproximativ 4 km poate sugera o suprafață

aproximativ la fel de întinsă cu cea pe care se află

localitatea în care locuiește.

:

“

3.Rezolvarea problemei ne conduce la ecuaţia 4 26x a

cărei soluţie se poate scrie 26

4x sau 6,5x . Referitor

la contextul problemei, forma convenabilă nu este 26

4 sau

Alegerea răspunsului din perspectiva matematicianului va coincide cu cea a unui

meșter care ar trebui să renoveze o suprafață cu aria respectivă? Argumentați.

3.Pentru construcţia unui gard sunt necesari 26 de metri de bară de fier. Într-un

magazin, bara de fier pusă în vânzare are lungimea de 4 metri. Câte bare de fier trebuie

cumpărate?

13

2 , ci fracția zecimală 6,5 (care ne va duce la răspunsul:

7 bare).

CS 1.2. Identificarea unei situații date rezolvabile prin ecuaţii sau sisteme de ecuaţii liniare

Activitatea precizată în

programă

Exemple Observații

Recunoaşterea unor

relaţii matematice care

reprezintă ecuaţii

1. Recunoaşteţi ecuaţiile dintre următoarele relaţii matematice:

a) 2 1 3x ;

b) 2 2 1 3 ;

c) 5 3 7a ;

d) 3x ;

e) 2 3 15a b ;

f) 2 4x .

Argumentați încadrarea relațiilor alese la categoria ecuații (condiții

necersare/suficiente).

2. Dați exemple de relații matematice care reprezintă ecuații.

Se va argumenta la fiecare exemplu de ce este/nu este

ecuație, fără a aduce în discuție o definiție formală.

Astfel, împărțiți pe grupe omogene, elevii vor primi doar

relațiile a) – f), fiind liberi să decidă ce trebuie să facă

(să rezolve, să transforme, să asocieze valoare de adevăr

etc). Se poate aduce în discuție ce verb se potrivește mai

bine fiecărei relații: a afla sau a verifica?

Elevii pot fi provocați să grupeze relații pe diferite

criterii de asemănare (similitudini).

Printr-o învățare dirijată, se va ajunge în final la

clasificarea corectă a relațiilor.

Elevii vor fi provocați cu întrebări de tipul:

Afirmația „4 caiete costă 9 lei” corespunde unei relații

matematice de tip ecuație?

Identificarea

necunoscutei,

coeficienților, termenilor

liberi ai unei ecuații

1. Pe câte o foaie cartonată A4 se înscrie fie un număr (care va juca rolul de

coeficient sau termen liber – cel mult 3 cartoane) fie o literă (necunoscută - 1

carton), fie o operație, iar pe unul dintre cartoane este înscris semnul egal.

Elevii sunt rugați să se așeze în linie, cu cartoanele inscripționate spre ceilalți

colegi din clasă. Prin așezarea lor aleatoare se poate ajunge la formarea unor

relații/ecuații.

De exemplu, pentru utilizarea simbolurilor 5,2,0, x +,.,=, se pot forma relații

precum 5 2 0x sau 2 0 5x

Completaţi tabelul conform modelului:

Ecuaţia Necunoscuta Coeficientul

necunoscutei

Termenul

liber

–5x+2=0 x –5 2

a+1=0

2 4 0x

Pe grupe, elevii pot crea propriile cartoane și apoi vor

face schimb între grupe, creând relații pe care apoi să le

rezolve.

–0,3+2t=0

Furnizarea unor exemple

de relaţii matematice

care reprezintă ecuaţii

sau sisteme de ecuaţii

liniare

1. Completați enunțurile pentru a reprezenta ecuații:

a) 3 ......5x ;

b) 4 ... 2 0 ;

c) ... 7 9x .

2. Daţi exemplu de:

a) ecuaţie cu coeficientul necunoscutei egal cu –1;

b) ecuaţie cu termenul liber egal cu 3,4.

c) ecuaţie având ca soluţie numărul 2.

d) sistem de două ecuaţii cu două necunoscute.

3. Utilizați corect conjuncțiile și – sau pentru ca afirmațiile următoare să exprime

adevăruri matematice:

a) “ 5x ” este echivalent (la fel) cu „ 5x ...... 5x ”

b) 3 este soluție a sistemului de ecuații 3 0

5 2 1

x

x

pentru că 3 3 0 ....

5 2 3 1

Exercițiul 1 este pregătitor pentru a rezolva exercițiul al

doilea, accentuând o serie de caracteristici definitorii

ale ecuației: relație de egalitate, existența cel puțin a

unei necunoscute, existența sau nu a soluțiilor.

Exercițiul 2 vizează recunoașterea necunoscutei,

termenilor liberi, coeficienților, sistemelor de ecuații

Exercițiul 3 vizează caracteristicile unui sistem de

ecuații atât din perspectiva soluției ca valoare sau valori

ce verifică toate ecuațiile sistemului, cât și a conectorilor

logici implicați de asocierea a două sau mai multor

relații în cadrul unui sistem (utilizarea corectă a lui și)

Identificarea și notarea

datelor cunoscute și a

datelor necunoscute în

cazul problemelor care

se rezolvă cu ajutorul

ecuațiilor sau sistemelor

de ecuații

1.Un drum a fost parcurs în două zile astfel: în prima zi, două treimi din drum, iar a

doua zi 6 km. Calculaţi lungimea drumului.

2. Utilizați manualele de fizică și chimie și identificați câte un exemplude problemă

care presupune scrierea și rezolvarea de ecuații sau sisteme de ecuații. Formați pereche

cu colegul/colega de bancă și discutați problema aleasă din perspectiva noțiunilor

matematice implicate.

Exemplul ataşat activităţii se referă la „dialogul” iniţial

dintre profesor şi elev la debutul rezolvării unei

probleme ce implică studiul ecuaţiilor sau sistemelor de

ecuaţii:

Se aşteaptă ca elevul să poată identifica:

- necunoscuta: lungimea drumului;

- date cunoscute:

- prima zi: 2/3 din lungimea drumului

- a doua zi: 6 km

Un astfel de exercițiu întărește legătura

interdisciplinară. Elevii au în față două categorii de

provocări:

- depistarea și înțelegerea corectă a contextului

științific specific disciplinei de care aparține textul

sursă, precum și interpretarea rezultatelor obținute;

- depistarea, transpunerea în relații matematice a

textului sursă și rezolvarea matematică a problemei.

CS 1.3. Identificarea unor informații din tabele, grafice și diagrame

Activitatea

precizată în

programă

Exemple Observații

Extragerea unei

informaţii dintr-un

tabel, grafic sau

diagramă

1. Considerăm tabelul

Vârsta 10 ani 11 ani 12 ani 13 ani 14 ani

Număr

persoane

cu vârsta

...

24 31 41 19 8

Numărul persoanelor care au vârsta de 13 ani este ...

2. Construiți tabele similare, precizând informația care trebuie extrasă din tabel.

3. Utilizați internetul și, folosind un motor de căutare, identificați date organizate în tabele/grafice

/diagrame. Precizați criteriul pe care l-ați folosit (ce tip de date ați căutat) și formulați două întrebări

privind datele respective propunând colegului de bancă furnizarea răspunsurilor.

4. În desenul alăturat sunt reprezentate numărul de zile în care doi colegi Andrei și Mihai au stat

acasă în timpul anului școlar din motive medicale. Știind că absențele lui Andrei sunt marcate cu

albastru și cele ale lui Mihai cu roșu, precizați analizând desenul:

a) Cine a lipsit mai multe zile în 2016 ?

b) Care este diferența între numărul absențelor celor doi colegi în 2018 ?

Se vor avea în vedere exerciţii în care se

solicită doar extragerea informaţiei, fără a

implica calcule. De exemplu:

- extragerea numărului de elevi care au

luat o anumită notă din tabelul

corespunzător;

- extragerea semestrului cu cel mai mare

câstig dintr-o diagramă cu bare, care

reprezintă câştigurile semestriale ale

unei firme ;

- extragerea preţului dintr-o anumită

lună/identificarea lunii în care a fost cel

mai mic preţ dintr-un grafic care

reprezintă evoluţia preţului unui obiect

pe parcursul unui an, .

Pentru o astfel de activitate este indicat de a fi

utilizate surse on-line sau ale bibliotecii (de

exemplu, un anuar al școlii, cu date și

informații structurate) pe care să se realizeze

activitatea de extragere informații.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018

andrei mihai

Identificarea

modului adecvat

de reprezentare a

unor date

1. Se realizează un sondaj pe un grup de 20 de copii, având la bază întrebarea:

„Care dintre melodiile următoare este preferata dumneavoastră şi pe care aţi dori să o ascultaţi? ”

Au fost propuse 8 melodii, fiecare copil trebuind să opteze pentru un singur titlu.

În vederea prelucrării informaţiilor, rezultatele pot fi reprezentate prin tabel, diagramă sau grafic.

Care dintre cele 3 reprezentări ar fi mai utilă, dacă vrem să răspundem la următoarele întrebări:

a) Care este melodia cea mai ascultată?

b) Care este diferenţa, ca număr de persoane, pentru cea mai ascultată şi cea mai puţin ascultată

melodie?

c) Ce procent din numărul total de respondenţi îl reprezintă cei care preferă melodia ... ?

1. Colaborați cu colegul de bancă pentru a aplica un sondaj bazat pe alegerea unui răspuns dintr-

o listă de răspunsuri referitoare la o caracteristică dată, populația chestionată fiind colegii de clasă (de

exemplu, lunile în care au data de naștere, mediile la o disciplină, sporturile practicate etc). Aplicați

sondajul, organizați datele în tabele, apoi alegeți o formă potrivită de reprezentare a datelor. Turul

galeriei.

Se vor avea în vedere exerciţii astfel încât

elevul să poată alege o formă convenabilă de

reprezentare.

Pentru exemplul prezentat, la punctul a)

reprezentarea ar fi mai convenabilă într-o

diagramă cu bare, deoarece s-ar evidenţia

imediat melodia cea mai ascultată (bara cea

mai înaltă).

În cazul în care la nivelul clasei se pot utiliza

noile tehnologii, se poate utiliza, sub

îndrumarea profesorului, din pachetul Office,

programul Excel, elevii fiind încurajați să

introducă date în foaie de lucru, apoi să

selecteze diferite forme de reprezentare a

datelor. Discuție privind reprezentări

numerice/ reprezentări procentuale.

Identificarea unor

exemple de

corespondenţe

matematice în

contexte variate

1. Observați cu atenție diagrama din imagine:

https://fantourist.webnode.ro/prelucrarea-datelor-statistice/

a) Formulați 3 întrebări și asociați răspunsurile potrivite acestor întrebări, privind evoluția

numărului de turiști la care răspunsul să se bazeze pe lectura grafică dată ca sursă.

b) Formulați 2 motive pentru care numărul de turiști este în creștere.

2. Anca, Bianca și Corina s-au înscris la clubul de atletism. La ultimul antrenament, fetele au

scos următorii timpi la cele doua probe la care s-au întrecut:

100 m 200 m

Anca 15 s 27 s

Bianca 13,5 s 25 s

Se vor propune probleme care se referă, de

exemplu, la:

- preţ fixat, dependenţa dintre cantitate şi

suma plătită;

- se cunosc distanţa parcursă şi timpul, se

cere dependența vitezei de cele două

mărimi date;

- evoluția mediilor semestriale pentru

cele 4 semestre corespunzătoare celor 2

ani de studiu încheiați (a V-a și a VI-a).

Recomandare: accesare baze date furnizate

de INS pentru a fi utilizate în procesul de

învățare, variabilitatea caracteristicilor

permițând multiple corelații interdisciplinare.

Corina 14 s 30 s

a) Realizați clasamentul fetelor pentru cele două probe.

b) Stabiliți pentru fiecare dintre fete în care probă a fost mai rapidă( comparați vitezele pe cele două

distanțe).

Indicație: Este suficient ținând cont de corespondența v = d/t, să se compare fracțiile 100

15 ,

200

27? Din

v1 < v2, deducem că Anca a alergat mai repede pe distanța de 200 m.

3. În graficul de mai jos este reprezentată dependența prețului plătit de o persoană pentru

achiziționarea unui număr diferit de pixuri de același fel.

a) Cât au costat 4 pixuri ? Dar 5 pixuri ?

b) Care este relația dintre cele două mărimi reprezentate ? Puteți preciza cât va trebui să plătească o

persoana care dorește să cumpere 25 de pixuri ?

CS 1.4. Identificarea patrulaterelor particulare în configurații geometrice date

Activitatea precizată

în programă

Exemple Observații

Identificarea

patrulaterelor pe

corpuri geometrice

sau pe desfăşurări ale

acestora

1. În desfăşurarea cubului, conform desenului alăturat, identificaţi suprafețe

pătrate sau dreptunghiulare.

Desfăşurările unor corpuri – cub, paralelipiped dreptunghic, prismă

triunghiulară, prismă patrulateră cu baza pătrat – pot fi prezentate

de pe o planşă, cu ajutorul videoproiectorului, pe fişe împărţite pe

grupe de elevi (de exemplu în cadrul unei activităţi pe grupe), etc.

3. Pe fiecare foaie cartonată pe care ați primit-o este desenată

desfășurarea unui corp geometric cunoscut.

a) decupați desfășurarea și identificați tipuri de suprafețe de patrulatere

care au fost descrise în clasele anterioare;

b) realizați, prin lipire, corpul geometric căruia îi corespunde

desfășurarea. Notați etapele de raționament pe care le-ați folosit

pentru realizarea corpului.

4. Decupați, apoi faceți schimb cu colegul de bancă, pentru a

reconstrui prin utilizarea tuturor părților figuri de formă patrulateră.

https://johnrausch.com/PuzzlingWorld/chap01.htm

Elevii trebuie încurajați să compare între ei strategiile utilizate. Mai

mult, este foarte benefic să verbalizeze etapele de

construcție/reconstrucție. Pot înțelege diferența dintre o abordare

intuitivă și una bazată pe raționament; aceasta va permite transferul

metodei în situații similare.

Recunoaşterea

patrulaterelor în

cotidian (în sala de

clasă, mediul

înconjurător etc.)

1. Daţi exemple de suprafețe patrulatere observate la obiectele din clasă sau

la sala de clasă.

Mediul înconjurător este bogat în structuri prin care se pot

exemplifica configurații geometrice care vor fi aprofundate în clasa a

VII-a, recomandarea este de a contextualiza învățarea prin trimiteri

la realitate.

Referitor la al doilea exemplu, pentru elevii care au porţiuni de drum

în comun, se pot „compara” răspunsurile acestora.

2. Daţi exemple de suprafețe patrulatere observate pe drumul de acasă la

şcoală.

O temă de reflecție potrivită acestui context: Care sunt tiparele/

formele geometrice ale construcțiilor realizate de om? Care sunt

tiparele naturii? Tiparele macro față de tiparele micro diferă (forma

plantelor față de forma unor structuri anorganice )?

Identificarea

patrulaterelor

particulare în mediul

înconjurător

1. Daţi exemple de patrulatere particulare observate în curtea şcolii.

2. Cu ajutorul unui aparat foto sau a camerei foto de la telefon, realizați

fotografii în care să surprindeți exemple de suprafețe patrulatere particulare,

observate pe drumul de acasă la şcoală. Grupați fotografiile după tipul

patrulaterelor particulare. Identificați care dintre tipurile particulare de

patrulatere este cel mai frecvent întâlnit. Comparați concluzia cu a colegilor.

Formulați 2 argumente care să susțină concluzia privind cea mai mare

frecvență a tipului de patrulater fotografiat.

Sarcina 1 de lucru va fi abordată individual. Se recomandă

compararea exemplelor identificate pentru a valoriza fiecare elev.

Se recomandă crearea de situații în care să fie utilizate noile

tehnologii.

Plus valoare se poate aduce activității în condițiile în care se creează

contexte de identificare comentată a patrulaterelor (mi-a atras atenția

culoarea, materialul, este parte a altei suprafețe patrulatere etc).

Identificarea

paralelogramelor

particulare într-o

reprezentare

geometrică dată

1. În desenul alăturat, identificaţi: 2 dreptunghiuri, 2 pătrate, 2

paralelograme (care nu sunt pătrate sau dreptunghiuri).

2. Alegeți o imagine/planșă și identificați toate tipurile de paralelograme

particulare învățate.

3. Imaginea alăturată reprezintă o colecție de motive tradiționale românești:

http://blog.allboutique.ro/motivele-romanesti-si-semnificatia-lor/

a) Care sunt formele geometrice de bază utilizate în crearea motivelor

tradiționale?

Profesorul realizează diverse configuraţii/desene care să conţină

diverse patrulatere şi se cere identificarea: a două dreptunghiuri,

două pătrate, două paralelograme care nu sunt dreptunghiuri etc.

Desenele pot fi prezentate de pe o planşă, cu ajutorul

videoproiectorului, pe fişe împărţite pe grupe de elevi (de exemplu în

cadrul unei activităţi pe grupe), etc.

Accentul se pune pe identificare (în principiu vizuală), dar elevul

poate fi încurajat să folosească instrumente geometrice pentru

verificarea afirmaţiilor.

Activitatea 3 este un bun exemplu de utilizare la nivel primar a unor

configurații geometrice. Activitatea poate fi dezvoltată sub titlul: De

la simplu la complex! (simplu – elementele de bază ale unui motiv,

complex – motivul realizat).

Mai mult, accesând sursa dată (link), elevii pot afla semnificații

asociate simbolurilor / motivelor populare.

Se recomandă încurajarea elevilor de a experimenta. Se pot face

fotografii (fără bliț ( ) pentru umbrele obținute clasificarea lor.

b) Ce tehnică permitea meșteșugarilor să creeze motive tradiționale,

fără a cunoaște în detaliu proprietățile geometrice ale elementelor

utilizate?

c) Alegeți un tip de patrulater particular și, utilizând o foaie

milimetrică (caroiaj), realizați un tipar prin repetarea și combinarea

figurilor.

4.Jocul umbrelor. Se vor utiliza cartoane de diferite forme

particulare de patrulater și cu ajutorul unei surse de lumină se vor identifica

suprafețele proiectate (umbrele). Discuție la nivelul clasei.

5. Folosiți un set de paie pentru băuturi răcoritoare și bucăți de sfoară.

Tăiați paiele astfel încât să obțineți mai multe lungimi (dar să vă rămână

destule din fiecare lungime), apoi alegeți câte 4 paie pe care să le înșirați pe

o sfoară. Veți obține o linie poligonală. Încercați să uniți capetele sforii. Ce

fel de patrulater obțineți?

Ceumbră se poate obține pentru proiectarea unei suprafețe de tip

pătrat? ...

În sprijinul activității 5, se poate folosi ca exemplu de resursă un

patrulater cu laturi mobile și care permite măsurarea unghiurilor

acestuia:

https://www.youtube.com/watch?v=-pLPeWBEBgg

Identificarea

pătratelor dintr-o

mulțime de

dreptunghiuri și

romburi

Recunoașteți pătratele dintre figurile geometrice decupate (dreptunghiuri

pătrate, romburi), aşezate în diverse poziţii pe tablă/catedră

Observație: de exemplu, un pătrat este aşezat cu una dintre laturi

paralelă cu marginea tablei/catedrei şi acelaşi pătrat este rotit cu 450)

Un alt exemplu se bazează pe desfășurările, de la corpuri, folosite în

prima activitate a acestui tabel.

Desenele/reprezentările pot fi prezentate cu ajutorul unui

videoproiector.

Accentul se pune pe identificare. De exemplu, identificarea pătratelor

dintr-o mulţime de romburi, nu necesită justificare pe baza

proprietăţilor, însă elevul poate fi încurajat să folosească raportorul

sau orice alt instrument geometric pentru a verifica corectitudinea

afirmaţiilor pe care le face.

CS 1.5. Identificarea elementelor cercului şi/sau poligoanelor regulate în configurații geometrice date

Activitatea precizată în

programă

Exemple Observații

Recunoaşterea elementelor

unui cerc pe configuraţii

geometrice date

1. Folosind desenul alăturat, recunoașteți și

completați tabelul:

Desenele/configuraţiile nu vor conţine multe

puncte/segmente.

Foarte util ar fi ca elevii să realizeze din bucăți de sârmă

cercuri și segmente de diferite lungimi pe care le vor utiliza

fie pentru coarde, inclusiv diametru, fie pentru rază.

Exemplu pentru contextualizarea învățării:

Centru Rază Diametru Coardă Unghi la

centru

Unghi

înscris

2. Construiți un alt desen în vederea completării unui tabel asemănător.

Utilizați cadranul unui ceas pentru a face legături cu cercul,

centrul, raza și diametrul. Dați exemplu de o oră la care

acele ceasornicului sunt dispuse pe un diametru. Poate fi

exprimată ora cu exactitate?

Identificarea unor proprietăţi

ale arcelor, coardelor şi a

diametrului perpendicular pe

o coardă

1. Identificaţi: segmente congruente şi arce congruente în figura alăturată.

2. Construiți o figură simplă care să conțină trei coarde, dintre care unul să fie

diametru, două să fie paralele și cel puțin o coardă să fie perpendiculară pe

diametru.

Un alt exemplu ar putea fi: desen cu un cerc, două/trei

drepte paralele ce intersectează cercul şi identificarea unor

arce (şi eventual coarde) congruente.

Desenele nu vor avea un grad ridicat de complexitate care

să necesite aplicarea unor demonstraţii.

Recomandare: utilizarea aplicației Geogebra pentru

simulări de construcții geometrice.

Identificarea poligoanelor

regulate înscrise într-un cerc

1. În configuraţia alăturată, triunghiul echilateral este:

a) ABF ; b) ABC ; c) BEC ; d) ACD .

2. Identificați poligoanele regulate înscrise în cercurile din imagine/planșă.

Se recomandă utilizarea unor construcții prin care

validarea încadrării în categoria poligon regulat să fie

făcută prin măsurători (la triunghi, la patrulater, la

hexagon).

Pe baza unor imagini/planșe/desene prezentate/realizate de

profesor se identifică poligoane regulate înscrise în cerc.

CS 1.6. Identificarea triunghiurilor asemenea în configurații geometrice date

Activitatea precizată în

programă

Exemple Observații

Identificarea unor imagini

care își păstrează forma prin

mărire sau micșorare (de

exemplu: zoom, microscop)

.

Proiectarea unui fascicol de lumină, de la diverse distanțe.

Folosind videoproiectorul se prezintă situaţii corespunzătoare

activităţii, inclusiv contraexemple. Se recomandă colaborarea

cu profesorul de TIC/Biologie pentru identificarea unor

exemple comune.

Instrumentele de geometrie folosite la tablă pot fi exemple

utile.

În acest context se poate aduce în discuție și noțiunea de

fractali. Doar ca exemplificare prin imagini.

Recunoașterea

proporţionalităţii lungimilor

unor segmente care reprezintă

laturi ale unor triunghiuri

1. Scrieți relațiile corespunzătoare care să justifice faptul că, pentru

fiecare caz în parte triunghiurile au lungimile laturilor

proporţionale:

a) : 2 cm, 3 cm, 4 cmABC AB BC CA ;

: 4 cm, 6 cm, 8 cmDEF DE EF DF

b) ... : 2 cm, 3 cm, 4 cmABC AB BC CA ;

: 8 cm, 4cm, 6 cmDEF DE EF DF

Ce diferă la cele două cazuri?

La ce trebuie să fim atenți

când afirmăm că două

triunghiuri au sau nu laturi

proporționale? Discuție la

nivelul clasei.

2. Precizaţi dacă lungimile laturilor din configuraţia următoare sunt

proporţionale:

Se vor compune probleme în care elevul observă că lungimile

laturilor unuia dintre triunghiuri este dublul/triplul (de 10 ori

mai mare) lungimilor laturilor celuilalt triunghi.

Nu se recomandă folosirea unor valori numerice mari.

Se recomandă ca enumerările de lungimi să nu fie mereu într-

o ordine care să genereze directa porporționalitate, în aceste

cazuri insistând pe o reordonare a lungimilor pentru a

evidenția proporționalitatea.

Identificarea laturilor

omoloage ale unor triunghiuri

asemenea

1. Dacă ABC DEF , identificaţi laturile omoloage.

2. Dacă în triunghiurile ABC şi DEF se ştie că A D şi B F ,

identificaţi laturile omoloage ale asemănării celor două triunghiuri

Se recomandă ca identificarea corespondențelor de

laturi/unghiuri omoloage să fie realizată pe decupaje de

carton pe care elevul să le poziționeze convenabil pentru a

justifica intuitiv corespondențele.

Se recomandă folosirea cât mai frecventă a acestui tip de

sarcini de lucru la debutul activităților referitoare la

asemănarea triunghiurilor.

Identificarea vârfurilor

omoloage ale unor triunghiuri

asemenea

1. Dacă ABC DEF identificaţi vârfurile omoloage.

2. Dacă în triunghiurile ABC şi DEF se ştie că A D şi B F ,

identificaţi vârfurile omoloage ale asemănării celor două triunghiuri.

CS 1.7. Recunoașterea elementelor unui triunghi dreptunghic într-o configuraţie geometrică dată

Activitatea precizată în

programă

Exemple Observații

Identificarea

triunghiurilor

dreptunghice în

configurații geometrice

date

Identificare triunghiurilor dreptunghice dintr-un:

a) triunghi în care se construiește o înălțime / două înălțimi/ toate cele 3

înălțimi;

b) dreptunghi cu diagonalele desenate;

c) romb cu diagonale desenate;

d) trapez dreptunghic cu diagonalele desenate;

e) trapez isoscel în care se construiesc înălțimile cu vărfurile în capetele bazei

mici;

f) într-un cerc, cu ipotenuza triunghiurilor un diametru fixat și vârful opus

acestuia mobil pe cerc;

g) într-un hexagon regulat în care se construiesc toate diagonalele.

Se vor găsi și alte configurații, eventual din mediul

înconjurător.

Se poate utiliza un baston de tip segment sau un băț simplu

care să aibă aibă un capăt sprijint de un perete, celălalt capăt

pe podea și să fie cu toate punctele în contact cu alt perete (se

va folosi un colț al sălii de clasă).

Se pot evalua anumite triunghiuri din perspectiva existenței

unui unghi drept, folosind măsurători sau suprapuneri/alte

strategii).

Identificarea catetelor și a

ipotenuzei într-un

triunghi dreptunghic dat

1. Pentru triunghiurile identificate la punctul anterior precizați care laturi

sunt:

a) catete;

b) ipotenuze.

Verificarea retenției:

2. Triunghiul ABC are lungimele laturilor cunoscute

3, 6, 4AB BC AC Cunoscând aceste date putem afirma că BC este

ipotenuza triunghiului dat? Pentru a vă asigura, construiți triunghiul pe caiet,

folosindu-vă de lungimile cunoscute și verificați dacă sunt îndeplinite condițiile

pentru răspunsul dat.

Se poate aduce în discuție interpretarea în context a

semnificațiilor unor segmente ( de exemplu înălțimea într-un

triunghi va fi catetă pentru alt triunghi, sau chiar ipotenuză

dacă vom construi încă o înălțime; diagonala pătratului este

ipotenuză pentru triunghiurile determinate în pătrat de

construcția sa).

Se pot folosi creioane sau bucăți de sârmă de diferite lungimi

standard (3k, 4k, 5k, 12k, 13k) pentru a construi triunghiuri și

a menționa tipul laturilor.

Folosirea instrumentelor

geometrice pentru a

identifica proiecţia unui

punct/segment pe o

dreaptă

1. Pe configuraţia alăturată

identificaţi:

a) proiecţia punctului B pe AC;

b) proiecţia punctului A pe BC;

c) proiecţia punctului D pe AB;

d) proiecţia segmentului BC pe

dreapta AC;

e) proiecţia segmentului BE pe

dreapta BC;

f) proiecţia segmentului AD pe dreapta AB.

2. Folosiți o hârtie prin care ați creat o fantă liniară. Folosiți o sursă de

lumină fixă (lampă de birou) și luminați fanta astfel încât pe birou să puteți

vedea urma lăsată de lumina ce trece prin fantă. Ce reprezintă aceatsă urmă?

Poziționați foaia de hârtie sub înclinații diferite. Ce remarcați? Discutați la

nivelul clasei și formulați concluzii în contextul proiecțiilor.

Identificarea proiecţiei punctului B pe AC necesită, eventual,

folosirea raportorului, pentru a verifica care dintre cele 3

ceviene este perpendiculară pe AC. Altă strategie , de

exemplu, având la dispoziție doar riglă gradată constă în

măsurarea lungimilor segmentelor BD, BF și BE și

excluderea variantelor BF și BE ca fiind segmente de lungimi

mai mari decît lungimea segmentului BD.

Încurajați creativitatea elevilor în identificarea de alte

strategii, chiar dacă răspunsul nu poate fi confirmat cu

exactitate. Ideile apărute vor permite discuții care să

întărească învățarea.

Deşi pe desen sunt marcate unele unghiuri drepte, se

recomandă ca elevul să folosească instrumentele geometrice

pentru verificarea perpendicularităţii.

Identificarea proiecţiei

unui segment pe o dreaptă

1. Proiectați laturile unui pătrat pe diagonalele sale, folosind echerul.

2. Proiectați diagonalele unui dreptunghi pe fiecare din laturile sale.

3. Proiectați laturile unui paralelogram pe una din laturile alăturate.

Pentru captarea atenției: solicitați doi voluntari. Cereți-le să

spună ce înălțime au. Spuneți-le că sunt fiecare câte un

în diferite configuraţii

geometrice

4. Folosiți o foaie de hârtie milimetrică (caroiaj). Desenați o dreaptă pe foaie,

fixați un punct pe dreaptă. Folosind o pioneză și bețișor de lemn fixați bețișorul

în pioneză (evitând fixarea sa în mijlocul bețișorului) apoi fixați pioneza în

punctul stabilit pe dreaptă. Rotiți pioneza. Pentru fiecare rotire, bețișorul va fi

într-o anumită poziție față de dreaptă. Proiectați bețișorul (segmentul

corespunzător) pe dreaptă. Măsurați lungimea proiecției și comparați cu

lungimea bețișorului. Repetați procedeul de încă 9 ori. Notați lungimile și rețineți

poziția bețișorului corespunzătoare fiecărei lungimi. Discutați la nivelul clasei și

formulați concluzii care întăresc învățarea!

segment cu lungimea pe care au precizat-o. Care dintre ei

poate fi proiecția celuilalt?

Realizarea unor decupaje

după indicații date (de

exemplu, decuparea unui

triunghi de-a lungul unei

înălțimi)

1. Desenaţi pe o foaie de hârtie un triunghi oarecare ABC.

a) Decupaţi triunghiul ABC;

b) Descompuneți triunghiul ABC în două triunghiuri dreptunghice prin

decupare de-a lungul înălţimii corespunzătoare laturii BC.

2. Desenaţi triunghiul dreptunghic ABC, cu A unghi drept. Decupaţi triunghiul

de-a lungul mediatoarei corespunzătoare laturii AB.

Se va avea în vedere construcţia înălţimii/mediatoarei cu

instrumente geometrice, dar se pot folosi şi tehnici de îndoire.

Referitor la al doilea exemplu, se poate completa cerinţa cu

întrebarea:

„Ce figuri geometrice obţineţi în urma decupării?”

Competența generală nr. 2: Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale

CS 2.1. Aplicarea regulilor de calcul pentru estimarea şi aproximarea numerelor reale

Activitatea precizată

în programă

Exemple Observații

Scrierea unui număr

real în diverse forme

1. Exerciţiu de tip asociere, în care pe prima coloană sunt numere raţionale scrise sub formă

de fracţie ordinară, iar pe a doua coloană scrise sub formă de fracţie zecimală.

2. Completaţi tabelul conform modelului:

4 8

2

16

15

3

81

Profesorul va sugera elevilor adăugarea la tabel încă

3 linii similare.Elevii vor realiza sarcina individual.

Aproximarea unui

număr real și

reprezentarea acestuia

pe axa numerelor

1. Aproximaţi numerele 2, 3, 7, 21

prin lipsă, la un număr natural.

2. Reprezentaţi pe axa numerelor cele patru numere din exercițiul anterior.

La reprezentarea pe axă nu se va pune accent pe

faptul că este mai aproape de partea întreagă sau de

partea întreagă plus unu. De exemplu, nu se pune

accent pe faptul că 2 este mai aproape de 1, dar

este important că este în stânga lui 3

, atunci când

amândouă se reprezintă pe axă între 1 şi 2. Elevilor li se va cere să dea exemplu de un număr

rațional și unul irațional între numerele 3 și 4. Determinarea opusului,

a modulului şi a

inversului unui număr

real

1. Completați un tabel de forma de mai jos pentru numere de diferite tipuri.

Număr Opus Modul Invers

2. Completaţi următorul tabel conform exemplului:

Număr Opus Modul Invers

5 –5 5 1

5 –7

2

3

1

3

Număr natural, fracţie ordinară, radical (fără

raţionalizare). De preferinţă nu se vor folosi fracţii

zecimale pentru că nu ne dorim aici să facă

transformarea în fracţie ordinară (pentru invers). Profesorul va cere elevilor care sunt formați în

echipe să alcătuiască un tabel după modelul de la 2.,

apoi să-l propună spre completare unei alte echipe.

Compararea numerelor

reale utilizând modulul,

aproximări, încadrarea

unui număr real între

doi întregi consecutivi,

scoaterea factorilor de

sub radical,

introducerea factorilor

sub radical

1. Comparaţi: 7,24 cu 7,3; –7 cu 4,5;

15

7

cu

13

7

; 17

cu 19

2. Încadraţi între două numere întregi consecutive următoarele numere: 2,7; –3,(4);

15

4 ;

7, 31, 17.

3. Comparaţi: 2 2 cu 3; 18

cu 2 2 ; 5 2 cu 51

.

Prima comparaţie de la exerciţiul 3 se poate discuta

în contextul reprezentării pe axă.

Se poate propune şi un exercţiu de genul:

Pe axa numerelor, numărul 2 este poziţionat

astfel:

Comparaţi 2 2 cu 3.

CS 2.2. Utilizarea regulilor de calcul cu numere reale pentru verificarea soluţiilor unor ecuaţii sau sisteme de ecuaţii liniare

Activitatea precizată în programă Exemple Observații

Verificarea, prin calcul, că un număr

dintr-o enumerare este soluţie a unei

ecuații

1. Verificaţi dacă:

a) numărul 2 este soluţie a ecuaţiei 2 4x

;

b) numărul –1 este soluţie a ecuaţiei 3 2x

;

Se vor folosi ecuaţii pentru care

verificarea implică maximum 2 calcule:

, 0,ax b ax b ax b c .

2. Compuneți un exercițiu asemănător pentru colegul de bancă.

Verificarea, prin calcul, a soluţiei unui

sistem de ecuaţii liniare

Verificaţi dacă perechea (2, 3) este soluţie a:

a) ecuaţiei 4 2 2x y ,

b) sistemului 4 2 2, 2 7x y x y .

2. Compuneți un exercițiu asemănător și rezolvați-l.

Se vor folosi ecuaţii în cadrul sistemelor

care să nu depăşească 3 calcule la

verificarea soluţiei

Verificarea, prin calcul, că un număr real

este soluție comună a unor ecuații

1. Verificaţi dacă numărul 2 este soluţie a ecuaţiilor:

a) 2 4 0x

;

b) 2 4x

;

c) 6 3 0x

.

2. Compuneți un exercițiu similar.

Exemplele pot implica 3 ecuaţii, din care

două au aceeaşi soluţie şi a treia nu.

CS 2.3. Prelucrarea unor date sub formă de tabele, grafice sau diagrame în vederea înregistrării, reprezentării și prezentării acestora

Activitatea precizată în

programă

Exemple Observații

Prelucrarea statistică a

unor date reprezentate în

tabel

1. Considerăm tabelul

Vârsta 10 ani 11 ani 12 ani 13 ani 14 ani

Număr

persoane cu

vârsta ...

24 31 41 19 8

a)Numărul persoanelor care au vârsta cel puţin egală cu 12 ani este egal cu ...

b)Cel mai mare număr de elevi corespunde vârstei de ... ani.

c)Propuneți colegului de bancă alte 3 cerințe.

2. În diagrama de mai jos sunt reprezentate numărul de cărți împrumutate de la bibliotecă de elevii

claselor a VII-a dintr-o școală.

Raportându-ne la problemele propuse/

construite la CS 1.3. acestea pot fi

folosite la prelucrarea datelor. De

exemplu:

- extragerea numărului de elevi

care au luat mai mult decât o

anumită notă din tabelul

corespunzător ;

- aflarea diferenței dintre

câştigurile obținute semestrial de

o firmă folosind o diagramă cu

bare, ,

- identificarea perioadelor de

creştere, descreştere sau stagnare

a preţului dintr-un grafic care

reprezintă evoluţia preţului unui

obiect pe parcursul unui an

a) Treceți într-un tabel cu două linii (ziua, nr. cărți), informațiile din desen.

b) Câte cărți au împrumutat elevii în cele 5 zile ?

c) Care este media setului de date reprezentate ?

Reprezentarea unor date

prin diagrame, grafice

circulare sau grafice cu

bare

Răspunsurile elevilor unei clase de 25 de elevi la întrebarea: „Câți frați/surori aveți ?” au fost

următoarele : 7 copii sunt singuri la părinți, 10 copii au răspuns că au un singur frate sau soră, 5

copii au spus că au 2 frați/surori, iar restul au spus că în familie sunt câte patru copii.

a) Realizați un tabel în care să treceți informațiile de mai sus (nr. de familii/ nr. de copii din

familie).

b) Plecând de la tabelul de la a), alegeți o modalitate de reprezentare a acestor date prin

desen(diagrame cu bare sau circulare).

Se vor avea în vedere exerciţii de

reprezentare a unor date din tabele cu

cel mult 4 coloane.

Profesorul formulează cerințe având ca

subiect reprezentarea unor date prin

diagrame sub diverse forme, acestea

fiind adresate elevilor care sunt grupați

pe echipe.

Reprezentarea unor date în

tabele cu una sau cu două

intrări

Completați tabelul ca urmare a efectuării de măsurători în diverse încăperi din școală :

Încăpere Sala clasă ... ...

Lungime

Lăţime

.Se poate realiza un proiect pe grupe. De

exemplu:

Fiecare grupă face măsurători pentru

diverse încăperi din şcoală: sala clasă,

hol, bibliotecă etc.

Se pot verifca datele din tabele prin

compararea rezultatelor obţinute de

către diverse grupe, calculul ariilor etc.

CS 2.4. Descrierea patrulaterelor utilizând definiții și proprietăți ale acestora, în configuraţii geometrice date

Activitatea precizată în

programă

Exemple Observații

0

5

10

15

20

25

30

35

40

luni marti miercuri joi vineri

Recunoașterea patrulaterelor

convexe în configurații

geometrice date

1. Numiţi patrulaterele convexe dintre cele de mai jos:

2. Referitor la configuraţia alăturată, numiţi un patrulater

convex şi un patrulater concav:

Profesorul realizează configuraţii/desene

care să conţină diverse patrulatere.

Desenele pot fi prezentate pe o planşă, cu

ajutorul videoproiectorului, pe fişe împărţite

pe grupe de elevi (de exemplu în cadrul unei

activităţi pe grupe) etc.

Accentul se pune pe identificare (în principiu

vizuală), dar elevul poate fi încurajat să

folosească instrumente geometrice pentru

verificarea afirmaţiilor.

Descrierea unor proprietăți ale

laturilor, unghiurilor și

diagonalelor unor patrulatere

particulare

Se poate realiza o fişă, pe care elevul o completează pe măsură ce parcurge lecţiile:

Patrulater Proprietăţi ale

laturilor unghiurilor diagonalelor

Fişa va face parte din portofoliul elevului.

. Se recomandă folosirea cât mai frecventă în

debutul problemelor referitoare la patrulatere

particulare.

Recunoaşterea paralelogramelor

particulare pe baza unor

proprietăţi precizate

1.Paralelogramul cu un unghi drept este ...

2. Rombul cu un unghi drept este ...

.

Recunoașterea trapezului isoscel

sau a trapezului dreptunghic 1. Se consideră trapezul ABCD,

AB CD,

AB CD. Precizaţi dacă trapezul este isoscel,

în cazurile:

a) 24, 12AB BC CD DA ;

b) 0 070 , 110A C

;

c) 0

90B ;

d) 12, 6, 5AB BC CD DA .

2. Pentru problema anterioară, precizaţi dacă trapezul este dreptunghic.

CS 2.5. Descrierea proprietăților cercului şi ale poligoanelor regulate înscrise într-un cerc

Activitatea precizată în programă Exemple Observații

Calcularea măsurii unghiurilor unui

poligon regulat

1. Calculați măsura unghiurilor unui triunghi echilateral înscris în cerc, folosind

reprezentarea pe cerc şi proprietăţi ale măsurii unghiului înscris.

2. Calculați măsura unghiurilor unui pătrat în cerc, folosind reprezentarea pe cerc şi

proprietăţi ale măsurii unghiului înscris.

Pentru triunghiul echilateral şi pentru

pătrat, unde se cunosc deja măsurile

unghiurilor, profesorul va aborda calculul

măsurilor de unghiuri prin metode

alternative de calcul.

3. Calculați măsura unghiurilor unui hexagon regulat înscris în cerc, folosind

reprezentarea pe cerc şi proprietăţi ale măsurii unghiului înscris.

Reprezentarea prin desen a

configuraţiilor geometrice care conţin

un cerc şi elementele sale folosind

instrumente geometrice

1. Desenaţi un cerc cu raza de 4 cm şi:

a) o coardă AB a acestuia, care să nu fie diametru;

b) un diametru perpendicular pe coarda AB.

2. Desenaţi un cerc cu raza de 2 cm şi:

c) un unghi ABC înscris în cerc;

d) un unghi la centru, astfel încât una din laturi să conţină punctul B.

Problemele propuse trebuie să fie echilibrate

din punct de vedere al încărcării figurii.

Se recomandă, de exemplu, la construcţia

diametrului perpendicular pe o coardă, ca

elevii să fie încurajaţi să realizeze desenul cu

echerul, dar şi fără echer (folosind mijlocul

coardei).

Utilizarea instrumentelor geometrice

pentru a reprezenta prin desen

poligoane regulate înscrise în cerc

1. Construiți, folosind instrumente de geometrie:

a) un triunghi echilateral, înscris într-un cerc;

b) un pătrat, înscris într-un cerc;

c) un hexagon regulat, înscris într-un cerc.

2. Construiți, folosind instrumente de geometrie:

a) un triunghi echilateral, înscris într-un cerc de rază 3 cm;

b) un pătrat, înscris într-un cerc de diametru 5 cm;

c) un hexagon regulat de latură 2 cm, înscris într-un cerc.

Elevii vor fi ajutați să remarce, în urma unor

încercări, că ultima construcție necesită un

cerc de rază 2 cm.

CS 2.6. Stabilirea relaţiei de asemănare între triunghiuri

Activitatea precizată în

programă

Exemple Observații

Stabilirea relaţiei de asemănare

între două triunghiuri utilizând

măsurile unghiurilor

1. Stabiliţi dacă triunghiurile următoare sunt asemenea: 0 0: 70 , 30ABC A C

; 0 0: 70 , 30MNP M N

.

2. Folosind datele din figură,

stabiliţi dacă au loc asemănările:

a) ABC EDC

;

b) FGN MHN

3. Stabiliţi asemănarea triunghiurilor din figura alăturată:

Se acceptă şi situaţii de genul: 0 070 , 30A C

, respectiv 0 070 , 80M P

.

Stabilirea relaţiei de asemănare

între două triunghiuri utilizând

proporţionalitatea laturilor

1. Folosind datele din figură, stabiliţi dacă au loc asemănările:

a) ∆𝐻𝐹𝐺 ~∆𝑅𝑁𝑀

b) ∆𝐴𝐵𝐶 ~∆𝑆𝐷𝐸

Exerciţiile se construiesc pe modelul de la activitatea

anterioară, corespunzător activității de învățare

curente.

Profesorul va propune elevilor un exerciţiu în care se

cunosc dimensiunile laturilor şi va cere elevilor să

verifice proporţionalitatea laturilor. Se recomandă şi

folosirea unor desene (triunghiuri) pe care sunt

notate lungimile laturilor.

Stabilirea relaţiei de asemănare

între două triunghiuri utilizând

proporţionalitatea a două

perechi de laturi și congruența

unghiurilor dintre ele

1. Se consideră dreptunghiul ABCD cu AB=12 cm și BC=25 cm și punctul

E pe latura BC astfel încât BE=9cm.

a) Stabiliți dacă triunghiurile ABE și ECD sunt asemenea ;

b) Calculați lungimile laturilor triunghiului ADE și verificați dacă există o

relație de asemănare între acesta și triunghiul EAB.

Exerciţiile se construiesc pe modelul de la activitatea

anterioară, corespunzător activității de învățare

curente.

Profesorul va cere elevilor să propună un exerciţiu în

care se cunosc dimensiunile a două perechi de laturi

şi a măsurilor unghiurilor dintre ele. acesta fiind

rezolvat de colegul de bancă.

Observații : este necesară orientarea elevilor spre

identificarea unghiurilor alterne interne BEA și

EAD și verificarea proporționalității laturilor

acestor unghiuri în cele doua triunghiuri ( punctul

b)

Stabilirea relaţiei de asemănare

între două triunghiuri prin

aplicarea teoremei

fundamentale a asemănării

1. În figura alăturată DE AC

.

a) Stabiliţi dacă este adevărată asemănarea ADE ABC

.

b) Dacă DF AC

, F BC

, stabiliţi dacă este

adevărată asemănarea BDF BAC

.

Exemplele presupun fie configuraţii/desene deja

realizate, fie construirea configurației/desenului de

către elevi. Activitatea se referă identificarea şi

stabilirea relaţiei de asemănare, bazându-se pe

teorema fundamentală a asemănării și nu se limitează

doar la realizarea desenului.

Se recomandă probleme în care desenul nu necesită

multe etape. (de exemplu un triunghi şi 1-2 paralele

sau un paralelogram, o diagonală şi o paralelă la

latură/diagonală etc).

CS 2.7. Aplicarea relaţiilor metrice într-un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente ale acestuia

Activitatea precizată în programă Exemple Observații

Calcularea lungimilor unor segmente

utilizând teorema înălţimii, teorema

catetei sau teorema lui Pitagora

1. În triunghiul ABC, 90 , ,A AD BC D BC .

a) Dacă 4BD cm şi 9CD

cm, calculaţi lungimea

segmentului AD.

b) Dacă 2CD

cm şi 8BC

cm, calculaţi lungimea catetei

AC.

c) Dacă 6AB

cm şi 8AC

cm, calculaţi lungimea

ipotenuzei BC.

Profesorul va avea în vedere probleme în care se aplică direct

teoremele, fără calcule premergătoare. De exemplu: - se cunosc lungimile proiecţiilor catetelor pe ipotenuză şi

se cere lungimea înălţimii;

- se cunoaşte lungimea unei proiecţii şi a ipotenuzei şi se

cere lungimea catetei corespunzătoare proiecţiei;

- se cunosc lungimile catetelor şi se cere lungimea

ipotenuzei.

Calcularea ariei unui triunghi

oarecare folosind descompunerea

suprafeței sale în triunghiuri

dreptunghice

1. Calculaţi aria triunghiului ABC pentru fiecare din

configuraţiile următoare:

Având în vedere că formula pentru aria unui triunghi oarecare şi

pentru triunghiul dreptunghic au fost făcute la finalul capitolului

patrulatere, profesorul va pune accent pe ideea descompunerii

triunghiului în triunghiuri dreptunghice și calculul ariei folosind

această descompunere.

Calcularea sinusului, cosinusului,

tangentei şi cotangentei pentru

unghiuri ascuţite ale unui triunghi

dreptunghic

1. În triunghiul dreptunghic ABC cu unghiul A drept, 5AB

cm

şi 8BC

cm, calculaţi sinusul unghiului C.

2. În triunghiul dreptunghic ABC cu unghiul A drept, 8AB

cm

şi 6AC

cm, calculaţi tangenta şi cotangenta unghiului C.

Profesorii vor avea în vedere probleme în care se aplică direct

formula de determinare a sinusului, cosinusului, într-un triunghi

dreptunghic, fără a fi necesară aplicarea, de exemplu, a teoremei

lui Pitagora pentru determinarea unei laturi.

Coordonatori:

GOLOGAN Radu Nicolae- președinte Comisia Națională de Specialitate -Matematică

NAGHI Elisabeta Ana-președinte executiv Comisia Națională de Specialitate –Matematică

VRINCEANU Gabriel Narcis-coordonator clasa a VII-a, membru Comisia Națională de Specialitate –Matematică

Grup de inspectori și profesori de gimnaziu din învțâmântul preuniversitar din mediu urban și rural, conform anexei.