7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
1/78
Cercetari Operationale
Metode numerice in calculul variatiilor
Student: Burtea Andrei-CristianLogistica Transporturilor
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
2/78
Metode numerice in calculul variatiilor
Analiza numeric are o istorie lung i bogat: Arhimede, e!ton sau"auss, spre e#emplu, a$%nd contribu&ii semni'icati$e (n acest domeniu) *nsmetodele numerice moderne, aa cum le 'olosim astzi, sunt caracterizate de
sinergia dintre calculatoarele electronice programabile, analiza matematic, precumi oportunitatea i necesitatea de a rezol$a probleme comple#e din di$erse domeniicum ar 'i ingineria, medicina, economia sau tiin&ele sociale) +ei a e#istat(ntotdeauna o str%ns interac&iune (ntre matematic, pe de o parte i tiin&e itehnologie, pe de alt parte, aceast interac&iune s-a intensi'icat (n ultimele decenii)Creterea utilizrii metodelor numerice a 'ost cauzat nu numai de creterea
per'orman&ei calculatoarelor, ci i de (mbunt&irea algoritmilor
Teorema variaional fundamental
ieHun spa&iu ilbert real,D Hun subspa&iu dens iA : DHun operator liniar)
Definiie. Operatorul
A se numete strict pozitiv dac
Au,u >., oricare ar
fi u H. Operatorul
A
se numete simetric
dac
Au,v =u,Av ,
pentru
orice u, v D.
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
3/78
*n cele ce urmeaz $om presupune c operatorul
A este simetrici strict
poziti$) ie
f H) unc&ionala ptratic
F /u0=Au,u 1f ,u
, u D,
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
4/78
se numete
funcionala energetic a operatorului
A) Are loc
Teorema .
Pentru ca
u D
s realizeze minimul funcionalei energetice este
necesar i suficient ca acesta s satisfac
Au! f .
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
5/78
Dac un astfel de element e"ist, el este unic.
Demonstraie. #ecesitatea) 2resupunem c
u.
D
realizeaz
minimul
'unc&ionalei /3.0) ie $
un element arbitrar din
D
i
t un numr real arbitrar)
Atunci
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
6/78
F /u.4t$0F /u.0
)
5ezult c 'unc&ia real
/t0 =F/u.+t$0 (i atinge minimul pentrut6.,
deci dac este deri$abil (n
., atunci
=. )
Cum
A este simetric, un
/.0
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
7/78
calcul direct conduce la
t 3[/t0/.0]=1
Au.f ,$
+t A$,$
, / 0 $ D)
Trec%nd la limit cu
t ., ob&inem
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
8/78
Au.f ,$ =. , / 0$ D
i cum D
este dens (n
H,
rezult Au.! f
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
9/78
%uficiena )
S presupunem acum c
u.
satis'ace ecua&ia )+ac
u D,uu.,
atunci
u ! u.4v,vH) Atunci, cum
A este simetric, prin calcul
ob&inem
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
10/78
F/u0 6F/u.0 4 1Au.f ,v + Av,v )
u.
+ar
satis'ace ecua&ia /330, deci
F/u0 6F/u.0 4 Av,v )
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
11/78
Operatorul
A
'iind strict poziti$
i vH,
rezult c
Av,v >.
i (n
consecin&
F/u0 7F/u.0) Aceasta (nseamnc(n punctul u.
'unc&ionala /3.0 (i
atinge minimul)
F (i
2entru unicitate, s presupunem c e#ist (nc un element u3 (n care
atinge minimul) Con'orm celor de
mai sus
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
12/78
F/u30 7F/u.0) *n acelai mod ca mai
sus, se poate
arta
c
F/u.0 7
F/u30)
+in
contradic&ia
ob&inut rezult c
'unc&ionala /3.0 (i poate atinge minimul (ntr-un singur punct i teorema estedemonstrat) 8
Observa ie &eorema sta'ilete ec$ivalena (ntre pro'lema rezolvrii ecuaieiAu ! fi aceea a aflrii minimului funcionalei energetice dac una din aceste pro'leme esterezolva'il, atunci i cealalt este rezolva'il i soluia uneia dintre ele este i solu iaceleilalte. &eorema nu sta'ilete dac aceste pro'leme au soluie. )ai mult, esteposi'il s nu avem soluie pentru pro'lema formulat.
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
13/78
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
14/78
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
15/78
1.Metoda Ritz
Creatorul
metodei directe clasice este considerat matematicianul el$e&ian
9) 5itz /3;-3n .
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
16/78
+vident u- d, pentru
orice
u >n)
Aadar, dac funciile i/"0 ,i =
3, n
,
formeaz o 'az a
su'spaiului >n, atunci vom cuta soluia apro"imativ su' forma
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
17/78
ntroducere (n metoda elementului finit
n
u/"0=cii/"0,
i=3
numerele reale
c3,c1, ... ,cn, urm/nd a fi determinate. 0nlocuindu dat de (n
funcionala ,
rezult u- ! c3, c1, ...,
cn-i deci pro'lema minimizrii
funcionalei
este (nlocuit cu pro'lema
determinrii e"tremelor funciei
: RnR. De remarcat c cele dou pro'leme nu sunt ec$ivalente, deoarece s*a
trecut de la funcionala la funcia , prin intermediul funciilor 3, 1, ..., n,
iar alegerea acestora este la dispoziia noastr1 eficiena acestei metode, care semai numete i metoda 5a?leigh-5itz, depinde (n mare msur de alegerea
funciilor 3, 1, ... , n. 2alorile parametrilor c3, c1, ... ,cnse determin, dup cum
se cunoate, din sistemul de ecuaii
3
=. , i=
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
18/78
,
3, n
ci
adic
n
F c
ci
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
19/78
4=3
44 =. , i=3, n .
0n seciunile urmtoare, vom arta pe e"emple concrete, cum se aleg
funciile 3, ... , n.
0n continuare, vom prezenta metoda 5a6leig$*5itz ca metod de cea mai 'unapro"imare 7(n energie8. Fie +un su'spaiu dens al unui spaiu Hil'ert , iarA :+ un operator liniar, simetrici pozitiv definit. Presupunem c
pentru un
' dat, ecuaia Au 6 '
admite o soluie unic u. +. Fiind dat un
su'spaiu
n*dimensional >n +,
vrem
s apro"imm soluia
prin un >n,
9 n=%p( {3,))),n}). Deci cutmun6 c334 ))) 4 cnn
astfel ca
u.un
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
20/78
s
fie mic. 0n ipotezele formulate asupra operatorului A,
vom defini un produs
scalar, numit 7produs energie8 (n
+,
astfel
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
21/78
u,vA=Au,v
,
iar
uA= Au,u .
2om nota cu A completatul lui
+ (n raport cu norma
A. %paiul
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
22/78
Ase numetespa&iul energetic al operatoruluiA. onform &eoremei ;, e"isti
este unic un element un>n, element de cea mai 'un apro"imaie, adic
u.un
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
23/78
A=min
u.v
A.
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
24/78
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
25/78
v 9n
Definiia)
=ectorul
unic un
cu
proprietatea /1@0 se
numete apro#imanta
5a?leigh-5itz a solu&iei
u. dup subspa&iul 'init dimensional
>n)
Dac
9 n=%p( {3,))),n}),
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
26/78
atunci apro"imanta 5a6leig$*5itz a soluiei
u.a ecuaiei
Au 6 ' este datde
un6 c334 ))) 4 cnn)
Fie funcia
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
27/78
gc , c
, ... ,c
n
-!
u
n
u
1 .
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
28/78
3
1
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
29/78
.
A
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
30/78
Determinm
c3, ..., cn-
punctul de minim al funciei g.
Deoarece
g/c3,))),cn0=A/un
u.0,unu.
n
n
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
31/78
Ai,4 1ci
f ,i+
= cic4
i=34=3
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
32/78
din condiiile
+
Au.,u. ,
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
33/78
g
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
34/78
=. ,
i =
,
3, n
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
35/78
ci
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
36/78
rezult c
c3, ... ,cn
sunt soluii ale sistemului liniar
n
i,4
c4= f ,i
,
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
37/78
i =3,n,
A
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
38/78
4=3
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
39/78
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
40/78
sistem care s*ar putea o'ine direct din ;
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
41/78
varia'ilele independente,
de
e"emplu #3,
iar funciile i sunt funcii de
varia'ilele rmase,
#1, ... ,#m,
adic
n
u/"3,))),"m0=i/"30i/"1,))),"m0. i=3
Aceast metod se leag de numele matematicianului rus >. 2. 9antorovici i stla 'aza metodei elementului finit de rezolvare a pro'lemelor nestaionaredependente de timp-.
Exemplul
)
Fie
? =(" ,6)D
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
42/78
E
. % aplicm metoda lui
1
1
9antorovici la rezolvarea apro"imativ a ecuaiei
1u
+
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
43/78
1u
=1,
"1
61
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
44/78
care satisface condiiile la limit
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
45/78
ntroducere (n metoda elementului finit
=. ,
"
,
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
46/78
u ",
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
47/78
1
1
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
48/78
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
49/78
= .,
6
)
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
50/78
u
1
,6
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
51/78
1
>n, su'spaiul funciilor de un singur
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
52/78
%e alege ca su'spaiu apro"imant
argument
?, care conform ;@- satisfac
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
53/78
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
54/78
i
=. , i=3, n .
1
=
i
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
55/78
1
%oluia apro"imativ se caut de forma
n
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
56/78
u/",60=i/"0i/60,
i=3
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
57/78
unde funciile
i
, i=
, se determin astfel ca u s minimizeze funcionala
3, n
corespunztoare pro'lemei date. 0n acest caz
u
1
F /u0=
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
58/78
"
+
?
in/nd seama de ;B-, avem
u
1
+@
d" d6 .
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
59/78
6
1
F /u0=/3,1,))),n0d" =C /3,1,))),n0,
1
unde
n n
1
33,1,...,n- = i4
i=34=3
D
1
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
60/78
n
1
+ i
@id6)
i=3
1
d i
d 4
d6 +
d i
d 6
d 6
d "
d 4
D
1
i4 d6 E+
d "
D
1
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
61/78
Deoarece funciile i , i =3,n , sunt cunoscute, integralele (n ;E- se pot
calcula e"act. %e
pune deci pro'lema determinrii e"tremalelor funcionalei
C /3,1,))),n0.
onform unui rezultat clasic de calcul variaional, coeficienii
i , i=3, n sunt dai de sistemul +uler*>agrange
3
d
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
62/78
3
=. , i=3, n .
i
d"
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
63/78
i
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
64/78
0n consecin
funciile necunoscute i , i =
,
care apar (n soluia
3, n
apro"imativ ;B-, se o'in din sistemul de ecuaii difereniale
n
4di4)='i
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
65/78
(4ci4
,
i =3,n
,
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
66/78
4=3
unde
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
67/78
d4
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
68/78
ci4=
1
d
i
1
1
,
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
69/78
d6 ,
di4=
i4d6 , 'i=
1id6
d6
d6
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
70/78
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
71/78
1
1
1
cu condiiile
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
72/78
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
73/78
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
74/78
=. , i=3, n.
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
75/78
i
= i
1
1
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
76/78
0n general, metoda semidiscret se poate aplica cu condiia ca pro'lemaunidimensional s poat fi rezolvat nemi4locit i e"act.
. Metoda celor mai mici !trateeste o metodmatematicde a ob ine o
solu ie a unui sistem de ecua ii supradeterminat, adic care are mai
multe ecua ii dec%t necunoscute)ele mai mici ptrate(nseamn c solu ia ob inut
minimizeaz suma ptratelor abaterilor 'a de $alorile ecua iilor)
Cea mai important aplica ie este determinarea coe'icien ilor unei 'unc ii
matematice care apro#imeaz c%t mai bine un set de date) Aceast cea mai bun
apro#ima ie minimizeaz ptratele abaterilor dintre $alorile date i cele calculate cu
aFutorul 'unc iei respecti$e)
G#ist dou $ariante a metodei celor mai mici ptrate:
)etoda liniar a celor mai mici ptrate, care rezol$ probleme bazate pe
sisteme de ecua ii liniare) Hn e#emplu de ast'el de aplica ie este regresia
liniar,mult 'olosit (nstatistic i (n prelucrarea datelor e#perimentale)
5ezol$area sistemului de ecua ii rezultat se 'ace de obicei prin metode directe)
)etoda neliniar a celor mai mici ptrate, care rezol$ probleme bazate pe
sisteme de ecua ii neliniare) 5ezol$area sistemului de ecua ii rezultat se 'ace de
obicei prin metode iterati$e, la 'iecare itera ie 'olosindu-se (ns o liniarizare)
Ietoda a 'ost elaborat pentru prima dat de Carl riedrich "auss(n Furul
anului 3;
7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
77/78
ormularea problemei
Obiecti$ul const (n aFustarea coe'icien ilor 'unc iei model/'unc ia de apro#imare0
ast'el ca s se potri$easc cel mai bine cu setul de date) Hn set de date const dee#emplu dinnpuncte /perechi de $alori0 , i6 3, ))),n, unde este $ariabila
independent, iar este $ariabila dependent, a crei $alori au 'ost ob inute
e#perimental) unc ia model are 'orma , care are mparametri/coe'icien i0,
plasa i (n $ectorul ) Scopul este de a gsi $alorile parametrilor ast'el (nc%t $alorile
calculate cu aFutorul 'unc iei model s se potri$easc cel mai bine cu $alorile
e#perimentale) Solu ia optim con'orm metodei celor mai mici ptrate este atunci c%nd
suma a ptratelor reziduurilor
este minim)5eziduuleste abaterea /di'eren a0 (ntre $aloarea $ariabilei dependente
i $aloarea dat de 'unc ia model:
Hn e#emplu de 'unc ie model este o linie dreapt) Consider%nd ordonata la
origine i panta , 'unc ia model este )
Hn punct poate 'i (n 'unc ie de mai multe $ariabile independente i
dependente) +e e#emplu, dac 'unc ia model este un plan care apro#imeaz o
serie de (nl imi / z0 msurate, acest plan este (n 'unc ie de dou $ariabile, s
zicem" i 6) Analog se pot da e#emple cu mai multe $ariabile dependente)
Rezolvarea problemei prin metoda celor mai mici ptrat[
Hn minim al unei 'unc ii /aici al sumei ptratelor abaterilor0 este acolo
unde deri$ata'unc iei se anuleaz) +eoarece 'unc ia model con ine mparametri, se $or
putea scrie mecua ii di'eren iale:
i deoarece ecua iile di'eren iale de$in:
Cele mecua ii cu mparametri /necunoscute0 'ormeaz un sistem de ecua ii determinat,
care, prin rezol$are, 'urnizeaz $alorile parametrilor)
iecare tip de prolem necesit propria sa 'unc ie model i propriile deri$ate ale acestei
'unc ii)
https://ro.wikipedia.org/wiki/Derivat%C4%83https://ro.wikipedia.org/wiki/Derivat%C4%837/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor
78/78
@ Ietoda di'eren&elor 'initeeste una dintre cele mai $echi metodenumerice, dar este cunoscut ca a$%nd un randament limitat) *n cadrul acesteimetode, punctul de plecare este modelul, descris di'eren&ial, al 'enomenului
analizat, trans'ormat (n unul numeric prin utilizarea apro#imrii locale a$ariabilelor de c%mp) Ast'el, sistemul de ecua&ii di'eren&iale $alabil pentru orice
punct al domeniului de analizat se trans'orm (ntr-un sistem de ecua&ii algebriceliniar, $alabil numai pentru anumite puncte ale domeniului) 2unctele se ob&in cuaFutorul a dou sau trei 'amilii de drepte paralele cu a#ele sistemului de re'erin&)Aceast metod este limitat la calculul structurilor i 'enomenelor simple)
Bibliogra'ie:
3Jon 2a$aloiu-Interpolarea si aplicatiile ei
2.Metode numerice-Simina Maris
Top Related