Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR -...

125
1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE În limbajul uzual, prin construcţie se înţelege o clădire executată din zidărie, lemn, metal, beton, etc., pe baza unui proiect, care serveşte la adapostirea oamenilor, animalelor, obiectelor, etc. (1 DEX). Terminologia tehnică defineste construcţia ca structură sau sistem fizic , aflat in permanentă acţiune cu mediul inconjurător. Intrările in sistem sunt acţiunile exercitate de mediu asupra structurii, iar răspunsul structurii la aceste acţiuni constituie iesirile din sistem . Orice construcţie are un schelet sau o structură de rezistenţă, alcătuită din elemente simple numite elemente de construcţii ( bare, plăci, blocuri). Având în vedere elementele care intră în componenţa structurilor de rezistenţă, acestea pot fi grupate în: - structuri din bare (articulate sau legate rigid în noduri); - structuri alcătuite din pereţi structurali (de zidărie portantă, din beton turnat monolit sau în panouri prefabricate, din materiale compozite, etc.); - structuri mixte, alcătuite din bare şi pereţi structurali. Proiectarea unei construcţii este un proces complex în care ponderea cea mai mare o are analiza şi proiectarea structurii de rezistenţă (“structural analysis and design”). Prin această proiectare se urmăreşte realizarea unei structuri care să satisfacă exigenţele esenţiale funcţionale şi economice, cu asigurarea cerinţelor de rezistenţă, rigiditate, stabilitate şi durabilitate, deci a siguranţei in exploatare. 1.2. MODELAREA FIZICĂ A STRUCTURII, REAZEMELOR ŞI ACŢIUNILOR Avănd în vedere complexitatea de alcatuire a strucurilor de rezistenţă, a legăturilor interioare şi exterioare (rezemărilor), precum şi complexitatea încărcărilor şi a comportării materialelor constitutive, analiza şi proiectarea structurală se face pe un model structural simplificat (idealizat). Aceasta presupune schematizarea construcţiei şi a elementelor de construcţii componente ca formă, dimensiuni geometrice, materiale constitutive şi chiar neglijând unele elemente neportante (cu rol de compartimentare, de izolare higrotermică şi acustică, decorativ etc.). Similar, legăturile exterioare ale structurii (reazemele) şi cele interioare, dintre elemente, se idealizează reducându-se la trei tipuri fundamentale: reazem simplu, articulaţie, încastrare.

Transcript of Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR -...

Page 1: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

1

METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS

1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA

CONSTRUCŢIILOR

1.1. INTRODUCERE

În limbajul uzual, prin construcţie se înţelege o clădire executată din zidărie, lemn,

metal, beton, etc., pe baza unui proiect, care serveşte la adapostirea oamenilor, animalelor,

obiectelor, etc. (1 DEX). Terminologia tehnică defineste construcţia ca structură sau sistem fizic,

aflat in permanentă acţiune cu mediul inconjurător. Intrările in sistem sunt acţiunile exercitate de

mediu asupra structurii, iar răspunsul structurii la aceste acţiuni constituie iesirile din sistem .

Orice construcţie are un schelet sau o structură de rezistenţă, alcătuită din elemente

simple numite elemente de construcţii ( bare, plăci, blocuri).

Având în vedere elementele care intră în componenţa structurilor de rezistenţă, acestea

pot fi grupate în:

- structuri din bare (articulate sau legate rigid în noduri);

- structuri alcătuite din pereţi structurali (de zidărie portantă, din beton turnat monolit

sau în panouri prefabricate, din materiale compozite, etc.);

- structuri mixte, alcătuite din bare şi pereţi structurali.

Proiectarea unei construcţii este un proces complex în care ponderea cea mai mare o are

analiza şi proiectarea structurii de rezistenţă (“structural analysis and design”). Prin această

proiectare se urmăreşte realizarea unei structuri care să satisfacă exigenţele esenţiale funcţionale şi

economice, cu asigurarea cerinţelor de rezistenţă, rigiditate, stabilitate şi durabilitate, deci a

siguranţei in exploatare.

1.2. MODELAREA FIZICĂ A STRUCTURII, REAZEMELOR ŞI

ACŢIUNILOR Avănd în vedere complexitatea de alcatuire a strucurilor de rezistenţă, a legăturilor

interioare şi exterioare (rezemărilor), precum şi complexitatea încărcărilor şi a comportării

materialelor constitutive, analiza şi proiectarea structurală se face pe un model structural

simplificat (idealizat). Aceasta presupune schematizarea construcţiei şi a elementelor de construcţii

componente ca formă, dimensiuni geometrice, materiale constitutive şi chiar neglijând unele

elemente neportante (cu rol de compartimentare, de izolare higrotermică şi acustică, decorativ etc.).

Similar, legăturile exterioare ale structurii (reazemele) şi cele interioare, dintre elemente,

se idealizează reducându-se la trei tipuri fundamentale: reazem simplu, articulaţie, încastrare.

Page 2: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

2

Reazemele se diferenţiază în cazul plan, respectiv spaţial, prin numărul şi direcţia gradelor de

libertate blocate (total în cazul reazemelor fixe, parţial în cazul reazemelor elastice).

Acţiunile (încărcările) pe care trebuie să le preia o construcţie în decursul vieţii sale sunt

foarte variate ca natură, provenienţă şi mod de manifestare. Ele se schematizează şi se reduc la forţe

şi momente concentrate, respectiv distribuite, deplasări impuse, variaţii de temperatură. Clasificarea

acţiunilor se poate face după mai multe criterii, cum ar fi (RM1):

- după criteriul frecvenţei de apariţie la anumite intensităţi (acţiuni permanente – P,

acţiuni temporare – T, acţiuni excepţionale – E);

- după locul de aplicare (forţe masice sau de volum şi forţe de suprafaţă – active sau

reactive);

- după modul de acţiune în timp (acţiuni statice, respectiv dinamice);

- după poziţia acţiunilor în timp (acţiuni fixe, respectiv mobile).

În conceptul sistemic acţiunile constituie modelul de încarcare al structurii, definit prin

parametrii de intrare cunoscuţi (P).

Modelul structural căruia i se ataşează modelul de încarcare formează modelul

structural de calcul.

1.3. MODELAREA COMPORTĂRII MATERIALELOR Comportarea structurii de rezistenţă a oricărei construcţii este influenţată semnificativ de

materialele constitutive. Caracteristicile fizico-mecanice şi elastice ale materialelor se obţin pe

cale experimentală, prin încercări pe probe standardizate, în urma cărora se obţin curbe

caracteristice specifice fiecărui material. Diversitatea de curbe caracteristice ale materialelor

frecvent utilizate în construcţii a impus schematizarea lor prin folosirea unor modele de deformare

(reologice) simple, corespunzătoare celor trei tipuri de deformaţii elementare: elastice, plastice,

văscoase (JUD). Din acest punct de vedere există trei categorii de materiale, după cum urmează:

- materiale cu comportare elastică liniară, schematizează printr-un resort (modelul

fundamental Hooke), având curba carasteristică din fig. 1.1.a; comportarea elastică liniară este

descrisă matematic în cazul unei solicitări uniaxiale de legea lui Hooke:

σ = Eε (1.1)

unde E – constanta elastică a resortului este modulul de elasticitate longitudinal al

materialului. La solicitări bi sau triaxiale legătura σ – ε este precizată de legea generalizată a lui

Hooke;

- materiale cu comportare plastică, schematizează printr-o patină (modelul fundamental

Saint-Venant), curba caracteristică fiind cea din fig. 1.1.b; ecuaţia de stare (reologică) la solicitare

uniaxială este

σ = σc (1.2)

Page 3: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

3

unde σc – valoarea tensiunii la care este invinsă frecarea dintre patine (limita de curgere a

materialului); la solicitări bi sau triaxiale se utilizează criterii (teorii) de curgere;

- materiale cu comportare văscoasă, la care viteza de deformare variază liniar sau

neliniar în raport cu tensiunea (beton, materiale plastice, etc.); modelul de deformare este

schematizat printr-un piston (modelul fundamental Newton- fig. 1.1.c), iar ecuaţia de stare care

descrie comportarea văscoasă este

σ = µέ (1.3)

unde µ - caracteristica pistonului ( coeficientul de văscozitate al materialului ), έ – viteza

de deformare.

Curbele caracteristice ale multor materiale cu comportare elastica sau văscoasă sunt

neliniare sau prezintă porţiuni neliniare. Un material cu comportare elastică pronunţat neliniară este

cauciucul (fig. 1.1d).

Fig. 1.1

Materialul constitutiv al unei construcţii poate avea, la un moment dat, două sau chiar

toate cele trei tipuri de deformaţii elementare, desigur în procente diferite, funcţie de material,

gradul de solicitare, temperatură, etc.

De aceea a fost necesară crearea de modele reologice compuse, obţinute prin legarea în

serie sau ăn paralel a modelelor fundamentale, ecuaţiile de stare obţinându-se similar, pe baza

condiţiilor de echilibru şi de compatibilitate geometrică a modelului compus.

Page 4: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

4

Un astfel de model, prin care se aproximează comportarea elasto-plastică a oţelului, este

obţinut prin legarea în serie a unui resort cu o patină. Modelul elastic-perfect plastic obţinut

conduce la curba caracteristică din figura 1.2 a, numită şi curba Prandtl. Matematic, comportarea

acestui model se traduce printr-o ecuaţie de stare discontinuă;

σ = Eε – pentru ε < εe (σ < σc ) (1.4)

σ = σc - pentru ε > εe

unde εe - deformaţia specifică la limita de elasticitate a materialului.

Curba caracteristică a oţelului (fig. 1.2 b) poate fi aproximată şi mai bine printr-un

model elasto-plastic cu consolidare (fig. 1.2 c).

Fig. 1.2

În literatura de specialitate se întâlnesc şi alte modele complexe de comportare a

diverselor materiale, cărora le corespund curbe caracteristice specifice (modelul biliniar, modelul

neliniar elasto-plastic, curba Ramberg-Osgood, etc.).

Comportarea mecanică a materialelor de construcţii care, aşa cum s-a văzut, este de

natură experimentală, se exprimă mai general prin ecuaţii reologice de forma:

f(σ,σ,……ε,έ,……,t,T) = 0 (1.5)

adică o funcţie de tensiuni, deformaţii specifice şi derivatele lor în raport cu timpul,

precum şi de timpul (t) şi temperatura (T). În spaţiul σ- ε- t ecuaţia (1.5) reprezintă o suprafaţă

caracteristică având ca proiecţii în fiecare plan curba caracteristică σ- ε şi curba de fluaj sau curgere

lentă ε-t

Modelul structural obţinut prin schematizarea construcţiei, la care se ataşează modelele

simplificate ale legăturilor, încărcărilor şi ale comportării materialelor constitutive formează

modelul fizic al structurii reale.

1.4. MODELAREA EXPERIMENTALĂ La unele construcţii unicat sau speciale, de mare importanţă, ce trebuie proiectate sau

sunt deja executate, dar a căror capacitate de a fi utilizate în continuare trebuie expertizată, se

Page 5: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

5

impune efectuarea unor cercetări experimentale pe modelele fizice structurale. Dacă este posibil,

aceste modele pot fi identice cu structura reală, caz în care modelul experimental este un prototip.

În caz contrar, modelul experimental se realizează la o scară redusă, pe baza legilor de similitudine

cu structura reală. Aceste legi se referă la stabilirea dimensiunilor geometrice şi a modulului de

rezemare, la alegerea materialului constitutive şi a schemei de încărcare a modelului.

Modelul experimental se echipează cu aparatură şi dispozitive de acţionare, de

înregistrare, măsurare şi prelucrare a unor parametri de răspuns (deplasări, deformaţii, acceleraţii,

etc.).

Modelul fizic este încercat pe baza unui program experimental,obţinându-se valori ale

parametrilor de răspuns, fie direct prin măsurare, fie după unele prelucrări, de obicei automate,

bazate pe teoria similitudinii.

Rezultatele obţinute se folosesc la stabilirea modului de comportare a structurii reale, la

confruntarea cu rezultatele teoretice obţinute prin analiza modelului structural de calcul şi, pe aceste

baze la luarea unor decizii de îmbunătăţire a modelului structural de calcul şi a proiectării structurii

reale.

În anumite situaţii, costul mare şi durata îndelungată a unui program experimental pot fi

evitate prin înlocuirea cu un program de simulare numerică a experimentărilor.

1.5. MODELAREA MATEMATICĂ A COMPORTĂRII

STRUCTURILOR ŞI DETERMINAREA RĂSPUNSULUI 1.5.1.Consideraţii introductive

Comportarea sub acţiuni a oricărei structuri de rezistenţă (reale sau model de calcul) este

un proces a cărui evaluare se face printr-o serie de parametri fizico-mecanici (variabile), X(x,y,z,t),

care sunt funcţii continue de coordonatele spaţiale şi de timp (procesul este staţionar dacă t=0,

respectiv nestaţionar dacă t≠0). Unele dintre aceste variabile, q, care constituie parametrii de

intrare, în sistem şi parametrii proprii ai sistemului, pot fi cunoscute sau stabilite apriori: acţiunile

(P), unele dimensiuni geometrice (L), caracteristicile fizico-mecanice ale materialului (E), condiţiile

la limită. Restul de u variabile, reprezentând parametrii de răspuns ai structurii, constituie

necunoscutele problemei: deplasări, eforturi (tensiuni), temperaturi, viteze, etc. Prin urmare,

parametrii de răspuns sau de ieşire ai structurii pot fi reprezentaţi prin funcţii, în general continue,

dependente de parametrii de intrare şi de parametrii proprii ai sistemului:

Y=Y(x,y,z,t,P,L,E,T) (1.6)

Determinarea parametrilor de răspuns necesită folosirea unui model matematic

(analitic), care se formulează pe baza a trei tipuri de condiţii pe care trebuie să le îndeplinească

structura deformată sub acţiuni:

- condiţii de echilibru (static sau dinamic);

Page 6: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

6

- condiţii de compatibilitate geometrică;

- condiţii fizice (de comportare a materialelor constitutive).

Corespunzător acestor condiţii se stabilesc trei tipuri de ecuaţii (ecuaţii de echilibru,

ecuaţii geometrice sau de deformaţie şi ecuaţii fizice sau constitutive) care, împreună cu condiţiile

la limită şi cu cele de continuitate a deformaţiilor, permit determinarea variabilelor alese ca

necunoscute.

Trebuie precizat că între diversele clase de parametri de răspuns există relaţii de

legătură, încât pentru definirea completă a stării deformate a structurii este suficient să se determine

numai parametrii dintr-o anumită clasă (de exemplu, a deplasărilor prin metoda matricei de

rigiditate sau metoda deplasărilor, respectiv a eforturilor sau tensiunilor prin metoda forţelor sau a

matricei de flexibilitate).

În esenţă, formularea unui model matematic pentru orice sistem fizic rezidă în a stabili o

relaţie matematică între parametrii u şi q, prin aplicarea legilor fizice caracteristice sistemului.

Această relaţie, numită şi ecuaţie operaţională, este de natura unui sistem de ecuaţii de definiţie

de forma:

L(q1, q2,……..,qm, u1, u2,……..,un) = 0 (1.7)

sau, mai compact

L(u) + fv = 0 (1.8)

pe domeniul de definiţie V al variabilelor u şi q, unde L este un operator liniar sau neliniar, de tip

algebric (matricial), diferenţial, integral sau integro-diferenţial.

La ecuaţia operaţională se ataşează un set de condiţii la limită, precizat prin relaţia

generică

C(q1, q2,……..,qm, u1, u2,……..,un) = 0 (1.9)

sau compact

C(u) = fs (1.10)

pe frontiera S a domeniului V.

În probleme staţionare condiţiile la limită sunt condiţii de rezemare (pe contur, pe

frontieră), iar operatorul C se poate nota Cf, în probleme nestaţionare sunt necesare şi condiţii

iniţiale Ci la timpul de origine t0.

Ecuaţiile de definiţie (1.8) împreună cu condiţiile la limită (1.10) constituie ecuaţiile

de guvernare ale sistemului, care au soluţii de forma

u = u(q1, q2,……..,qm) (1.11)

În ecuaţiile de guvernare L şi C sunt operatori liniari sau neliniari, q sunt parametrii

proprii şi de intrare ai sistemului, u sunt necunoscutele problemei, iar fv şi fs sunt funcţii date pe V

respectiv S.

Page 7: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

7

Exemple de ecuaţii de guvernare

a) Calculul deplasărilor w la încovoierea barelor drepte (fig. 1.3. a)

Ecuaţia operaţională: EI

xpdx

wd )(4

4

= ( operatorul L= 4

4

dxd ; p(x) – intensitatea încărcării;

EI – rigiditatea secţiunii la încovoiere);

Condiţii la limită:

- pentru x = 0 →wA = w(0) = 0;

- pentru x = l →wB = w(l) = 0.

b) Determinarea stării de tensiune la elemente structurale aflate în stare plană de

tensiune (pereţi structurali, planşee acţionate în planul lor etc.) – fig. 1.3 b.

Ecuaţia operaţională: ;02 4

4

22

4

4

4

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

yF

yxF

xF

Operatorul L=∆∆=∆2∆2= 4

4

22

4

4

4

2yyxx ∂∂

+∂∂∂

+∂∂ se aplică lui F(x,y) – funcţia de tensiuni

sau funcţia lui Airy;

Condiţii la limită (pe contur) – sub forma analogiei de cadru:

Fcontur = Mcadru; cadrucontur

NnF

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

A B

lx w(x)

x

y

b

a

p(x,y)

z

Fig. 1.3

c) Încovoierea plăcilor plane dreptunghiulare (fig. 1.3 c)

Ecuaţia operaţională: ;),(2 4

4

22

4

4

4

Dyxp

yw

yxw

xw

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

Operatorul L=∆∆=∆2∆2= 4

4

22

4

4

4

2yyxx ∂∂

+∂∂∂

+∂∂ se aplică deplasării normale w(x,y); D –

rigiditatea plăcii la încovoiere.

Page 8: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

8

Condiţii pe contur:

x = 0 → w = 0; ;0=∂∂

=xw

x = a → w = 0; Mx = 0 → ;02

2

=∂∂

xw

y = 0 → w = 0; My = 0 → ;02

2

=∂∂

yw

y = b → w = 0; ;0=∂∂

=yw

Mărimea unui parametru de răspuns (ca de exemplu deplasarea unui punct sau a unei

secţiuni a structurii) poartă numele de grad de libertate (GDL). Întrucăt aceşti parametri de

răspuns sunt funcţii continue de poziţia punctului sau secţiunii, rezultă că structura are o infinitate

de grade de libertate, care definesc starea deformată a acesteia. Din acest punct de vedere structurile

reale ca şi unele modele structurale de calcul pot fi considerate sisteme continue.

Adesea însă modelele structuralede calcul sunt prevăzute cu un număr finit de grade de

libertate (egal cu numărul n al parametrilor de răspuns necunoscuţi u), caz în care structura este

considerată un sistem fizic discret.

Problemele care apar la sistemele continue sau discrete se pot grupa în:

- probleme staţionare (de echilibreu şi de valori proprii);

- probleme nestaţionare (de propagare).

Componenţa ecuaţiilor de guvernare pentru fiecare tip de problemă de mai sus este

precizată în tabelul 1.1 (Pacoste).

Tabel 1.1

Ecuaţiile de guvernare Tipul problemei

Sisteme continue Sisteme discrete

ECHILIBRU

Ecuaţii diferenţiale ordinare sau cu

derivate parţiale cu condiţii de margine

impuse

Sistem de ecuaţii algebrice

VALORI PROPRII

Ecuaţii diferenţiale ordinare sau cu

derivate parţiale cu condiţii de margine

impuse

Sistem de ecuaţii algebrice

sau ecuaţii diferenţiale

ordinare reductibile la ecuaţii

algebrice

PROPAGARE Ecuaţii cu derivate parţiale cu condiţii

iniţiale şi de margine impuse

Sistem de ecuaţii diferenţiale

ordinare cu condiţii iniţiale

impuse

Page 9: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

9

Există mai multe posibilităţi de analiză a comportării unei structuri şi de determinare a

răspunsului acesteia.

Astfel, pentru proiectare este obligatorie efectuarea unei analize printr-un calcul de

ordinul I liniar-elastic, care implică scrierea condiţiei de echilibru static pe structura nedeformată

(ipoteza micilor deplasări şi a micilor deformaţii), materialul având o comportare liniar-elastică.

La unele structuri ipoteza micilor deplasări nu mai este aplicabilă,echilibrul trebuind să

fie scris pe structura deformată (neliniaritate geometrică), materialul având însă comportare liniar-

elastică. Această analiză printr-un calcul de ordinul al II-lea liniar-elastic, este necesară la

structuri cu deplasări mari (structuri suspendate pe cabluri, structuri cu deschideri mari, structuri

înalte şi svelte –probleme de stabilitate).

La construcţiile speciale, de importanţă deosebită, la expertizări ale construcţiilor

existente, etc., pentru a stabili modul de cedare al structurii de rezistenţă, se apelează la un calcul de

ordin superior şi la analize mai sofisticate, dintre care enumerăm :

- analiza elasto-plastică prin calcul biografic, când echilibrul se scrie pe structura

nedeformată, iar materialul are comportare elasto-plastică;

- analiza elasto-plastică bazată pe identificarea directă a mecanismului de cedare prin

teoria plastică simplă;

- analiza elasto-plastică bazată pe identificarea directă a mecanismului de cedare şi

luarea în considerare a efectului forţei axiale asupra formării articulaţiei plastice.

- analiza neliniară cu luarea în considerare a ambelor tipuri de neliniaritate

(geometrică şi fizică);

Fazele principale ale modelării precum şi legăturile între parametrii implicaţi în procesul

de proiectare sau expertizare a unei construcţii se prezintă în fig. 1.4.

1.6. METODE DE CALCUL PENTRU DETERMINAREA

RĂSPUNSULUI STRUCTURILOR Determinarea parametrilor de răspuns, care să satisfacă ecuaţiile de guvernare ale unei

structuri (ecuaţia operaţională şi condiţiile la limită aferente), se poate face prin două tipuri de

metode:

- metode analitice (“exacte”), care se bazează pe exprimarea variabilei de răspuns

căutate prin funcţii analitice, valabil pentru orice punct al câmpului (domeniului) care se referă. Ca

soluţii analitice se pot folosi polinoamele algebrice, funcţiile transcendente elementare

(trigonometrice, hiperbolice, etc.), seriile trigonometrice, seriile de puteri, funcţiile Bessel etc.

Găsirea unor soluţii analitice însă, nu este posibilă decât într-un număr redus de cazuri

particulare de geometrie, rezemare şi încărcare a structurii. Chiar şi în acele cazuri, calificativul de

Page 10: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

10

soluţie “exactă” nu îşi merită utilizarea pe deplin, deoarece modelul matematic pe care se operează

are la bază un model fizic obţinut prin simplificări şi idealizări ale structurii reale.

- metode numerice (aproximative) care constau în determinarea unor valori ale

funcţiilor necunoscute (parametri de răspuns) dintr-un număr finit de puncte ale modelului

structural (considerat sistem discret), sau a unor funcţii care să aproximeze soluţiile exacte, adică să

satisfacă, cu o eroare controlată şi acceptabilă, ecuaţiile de guvernare. Dacă funcţiile aproximante

au ca domeniu de definiţie întregul model structural, atunci aceasta are o infinitate de GDL (este un

sistem continuu), iar dacă definirea funcţiilor aproximante şi determinarea lor se face numai pe

subdomenii din modelul structural, atunci aceasta are un număr finit de GDL (este un sistem

discret).

Întrucât volumul de calcule pe care îl implică metodele numerice este foarte mare, nu se

poate vorbi de o folosire raţională a acestor procedee, decât în cazul cuplării lor cu folosirea unor

programe de calcul automat. Cu toate acestea, metodele numerice, de calcul au căpătat o dezvoltare

vertiginoasă o dată cu dezvoltarea şi creşterea performanţelor calculatoarelor electronice.

Progresele în sectorul hardware antrenează în paralel dezvoltarea şi perfecţionarea

softului necesar (algoritmi, tehnici şi metode numerice, programe de calcul, etc.).

Dintre metodele numerice (aproximative) se reţin în continuare numai cele trei grupuri

de metode, care pot fi formulate şi pe cale matricilală []:

- metodele matriciale directe, care au la bază teoremele lucrului mecanic virtual;

- metodele variaţionale, care au la bază un criteriu de staţionaritate impus energiei

potenţiale a structurii;

- metodele reziduale, care se bazează pe condiţia de staţionaritate a funcţiei reziduale

(funcţia reziduu exprimă diferenţa dintre soluţia exactă şi soluţia aproximativă a

problemei).

În cele ce urmează, se va aborda numai metoda elementelor finite (MEF), care

actualmente este cea mai utilizată metodă numerică, întrucât oferă cele mai mari posibilităţi,

referitor atât la modelarea fizică a structurilor, căt şi la procedurile numerice folosite. Formularea

MEF se poate face utilizând oricare dintre criteriile considerate anterior în clasificarea metodelor

numerice de calcul (fig. 1.5).

Page 11: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

11

ACŢIUNEA MEDIULUI

Parametri de intrare

Fig.1.4

RĂSPUNSUL STRUCTURII

- Parametri de ieşire

CONSTRUCŢIA -SISTEM FIZIC

-Proiectare sau expertizare -Structura de rezistenţă

CO

MPO

RT

AR

E P

RO

TO

TIP

MODELUL STRUCTURAL DE CALCUL

MODEL EXPERIMENTAL

-Teoria similitudinii *geometrie *legaturi *material *actiuni -Program experimental

MODEL STRUCTURAL

-Schematizări prototip *elemente de construcţii *legaturi *comportare material

MODEL DE INCARCARE *Parametri de intrare(P)

- Proiectare: calculul de rezistenta (stabilitate, etc. ) - Expertizare: com

portare (consolidare) prototip

MODEL MATEMATIC

- Grade de libertate *numar infinit (continuu) *numar finit (discret) - Parametri de intrare (P) - Parametri interni (K,F) - Parametri de iesire (Y)

PROBLEMA MATEMATICA

- ecuatie operational ape structura : L(X,K,P,Y)=0 - conditia de rezemare: Cf(K,P,Y)=0 - cond. initiala: Ci(K,P,Y)=0

CORP DEFORMABIL

- Conditia de echilibru - Conditia de compatibilitate - Conditia fizica

PARAMETRI DE IESIRE

EXPERIMENTALI

- masurati - deteriminati prin identificare METODA DE REZOLVARE

- Parametri de iesire (Y) *deplasari(D) *eforturi(S) sau tensiuni(σ) *acceleratii (D) etc. VALIDARE

MODEL STRUCTURAL MODEL MATEMATIC METODA DE REZOLVARE

Page 12: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

12

METODE DE ANALIZĂ A STRUCTURILOR

METODE NUMERICE

(APROXIMATIVE)

Integrale particulare Separarea variabilelor Integrare prin parti Transformari Fourier Transformari Laplace Functii generalizate

Fig. 1.5

METODE ANALITICE (EXACTE)

METODE DIRECTE

Metoda fortelor

Metoda deplasarilor

METODA ELEMENTELOR

FINITE (Metoda fasiilor finite)

METODE VARIATIONALE

Diferente finite Ritz Kantorovici Trefftz

METODA ELEMENTELOR FINITE

(Metoda fasiilor finite) Metoda elementelor de

frontiera

METODE ENERGETICE

METODE REZIDUALE

Erori absolute Colocatiei Subdomeniului Ortogonalizarii Galerkin Cele mai mici patrate

METODA ELEMENTELOR

FINITE Metoda elementelor de

frontiera

Page 13: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

13

2. MEF PENTRU BARE SI STRUCTURI DIN BARE

2.1. PROBLEME UNIDIMENSIONALE. BARE SOLICITATE AXIAL

In problema unidimensionala deplasarile, deformatiile tensiunile si incarcarile depind numai

de variabila x

)();();();();( xppxffxxxuu ===== σσεε (2.1)

Incarcarile sunt de 3 tipuri (fig. 1)

-forte masice (de volum), f [F/L3]; greutatea proprie

-forte de suprafata (de tractiune), p [F/L2]; forta de frecare, amortizarea vascoasa, forte de suprafata

-forte concentrate in puncte, Pi [F]

Elementul de volum diferential se scrie:

AdxdV = (2.2)

x

p

f

P2

P1

Fig. 1

Modelarea cu element finit

-Discretizarea (divizarea ) in elemente finite

Se considera bara din fig. 1. Primul pas este modelarea barei ca un arbore in trepte, constand

dintr-un numar discret de elemente fiecare avand o sectiune transversala constanta.

De exemplu sa modelam bara utilizand 4 elemente finite. O schema simpla pentru a face

aceasta este de a divide bara in 4 regiuni (subdiviziuni, tronsoane), ca in fig. 2a. Se evalueaza aria

sectiunii transversale medii in cadrul fiecarei regiuni si apoi este utilizata pentru a defini un element

cu sectiunea transversala uniforma (constanta). Modelul de element finit rezultat (modelul structural

discretizat) cu m =4 e.f. si n = 5 noduri (puncte nodale) este aratat in fig. 2b

Page 14: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

14

a)b)

Fig. 25

4

3

2

1

4

3

2

1

x

Fiecare e.f. se conecteaza prin 2 noduri. Numerele ce indica elementele finite sunt incercuite

pentru a le distinge de numerele nodurilor.

Pe langa sectiunea transversala, fortele masice si de suprafata sunt de asemenea tratate ca

fiind constante pe element. Totusi acestea pot diferi de la element la element. Aproximatii mai bune

sunt obtinute prin cresterea numarului de elemente. Este convenabil a defini un punct nodal in

fiecare loc unde este aplicata o forta concentrate.

-Acordarea de grade de libertate la noduri (fig. 3)

Intr-o problema unidimensionala fiecare nod are permisa deplasarea doar in directia ±x, deci

are numai un grad de libertate (DOF sau GDL). Deplasarile de-a lungul fiecarui GDL sunt notate cu

D1, D2,… D5. Ele alcatuiesc vectorul deplasare global (vectorul deplasarilor nodale ale structurii),

notat {D}iar { }F este vectorul incarcarilor globale obtinut prin reducerea echivalent la noduri a

tuturor tipurilor de incarcari.

D5F5

F4 D4

F3 D3

D2F2

D1F1

Fig. 3

Page 15: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

15

{ }

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

=

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

=

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

UUUUU

DDDDD

D ; { }

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

=

5

4

3

2

1

FFFFF

F -vectorul incarcare global obtinut

Informatia cu privire la conectivitatea elementelor poate fi reprezentata convenabil ca in fig.

4. Suplimentar se poate da un tabel de conectivitate a elementelor. In acest tabel capetele 1 si 2 se

refera la numerele locale de nod ale unui e.f. si, corespunzator, numerele de nod de pe corp

(structura) sunt denumite numere globale. Conectivitatea stabileste astfel corespondenta local-

global.

4 5

3 4

32

21

21

4

3

2

1

eElemente Noduri

U2

e

U1

D4D3D2D1

x4321

D5

Fig. 4 Conectivitatea elementelor

In acest exemplu simplu, conectivitatea poate fi usor generata deoarece nodul local 1 este

acelasi cu numarul elementului e si nodul local 2 este e+1. Alte moduri de numerotare a nodurilor

sau geometrii mai complicate sugereaza necesitatea unui tabel de conectivitatea. Acest lucru va fi

mai evident in probleme bi si tri-dimensionale.

In MEF sunt importante si trebuie bine intelese conceptele de:

- grad de libertate (GDL);

- deplasari nodale;

- forte nodale echivalente;

- conectivitatea elementelor.

FUNCTII DE COORDONATE SI DE FORMA

Se considera un element finit tipic (standard) e ca in fig. 5, cu nodurile 1 si 2 (in

schema de numerotare locala). Se noteaza cu x1, respectiv x2 – coordonatele (abscisele)

nodurilor 1 si 2 in sistemul de coordonate global (al structurii). Definim un sistem de

coordonate natural sau intrinsec, notat cu ξ, prin relatia:

Page 16: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

16

( ) 121

12

−−−

= xxxx

ξ (2.3)

1 e 2 1 2

x1

x ξ=-1 ξ ξ=+1 x2

a) b)

Fig. 5

Lungimea unui element este acoperita cand ξ variaza de la -1 la +1.

Utilizam acest sistem de coordonate in definirea functiilor de forma care sunt folosite la

interpolarea campului de deplasare. Campul de deplasare necunoscut din interiorul unui element va

fi interpolat printr-o distributie liniara (Fig. 6).

u liniaru necunoscut

d2d2=u2

2121

d1d1=u1

ee

Fig. 6. Interpolarea liniara a campului de deplasare pe un e.f.

Pentru a implementa aceasta interpolare liniara, se vor introduce functiile de forma liniare

cu expresiile:

21)(;

21)( 21

ξξξξ +=

−= NN

Graficele functiilor de forma N1 si N2 sunt aratate in fig. 7a, respectiv 7b.

N 2

1 ξ−=N N

21 ξ−

=N u 2211 uNuNu +=

1 1 u1 u2 ξ=-1 ξ=0 ξ=+1 ξ=-1 ξ=0 ξ=+1 1 2

a)Functia de forma N1 b)Functia de forma N2 c)Interpolare liniara intre N1 si

N2

Fig. 7

Page 17: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

17

Odata ce functile de forma sunt definite, campul de deplasare liniar din interiorul

elementului poate fi scris in functie de deplasarile nodale u1 si u2

2211 uNuNu += (2.5) sau, in notatie matriciala

}]{[][2

121 edN

uu

NNu =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= (2.6)

Se poate observa ca transformarea de la x la ξ in rel. (2.3) se scrie in functie de N1 si N2

astfel:

2211 xNxNx += (2.7)

Comparând (2.5) si (2.7) se vede ca atat deplsarea u cat si coordonata ξ sunt interpolate pe

element utilizand aceeasi fuctie de forma N1 si N2. Acest lucru este cunoscut in literatura de

specialitate ca o formulare izoparametrica.

Desi mai sus au fost utilizate functii de forma liniare, si alte alegeri sunt posibile (de

exemplu functii de forma cuadratice). In general functiile de forma trebuie sa satisfaca urmatoarele

conditii:

1. Primele derivate trebuie sa fie finite pe un e.f.

2. Deplasarile trebuie sa fie continue pe frontiera elementului.

Relatia deformare-deplasare (ecuatia geometrica) este:

dxdu

x == εε (2.8)

Utilizând regula de diferenţiere obtinem

dxd

ddu ξξ

ε ⋅= (2.9)

Din relatia dintre x si ξ (rel. 2.3) avem

12

2xxdx

d−

=ξ (2.10)

De asemenea din →+

+−

=+= 212211 21

21 uuuNuNu ξξ

221 uu

ddu +−

(2.11)

Cu care ecuatia (2.8) devine

( )211212

21 122

uuxxxx

uu+−

−=

−⋅

+−=ε (2.12)

Ecuaţia (2.12) poate fi scrisa matricial ca: [ ]{ }edB=ε (2.13)

unde matricea [B] de dimensiuni (1x2), denumita matrice deformatie-deplasare de element, este

data de

Page 18: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

18

[ ] [ ] [ ]111111

12

−=−−

=elxx

B (2.14)

Nota. Folosirea de functii de forma liniare conduce la o matrice [B] constanta si din acest motiv, la

o deformatie constanta pe element.

Tensiunea, din legea lui Hooke, este:

{ } { } [ ]{ }edBEE == εσ (2.15)

Tensiunea data de ecuatia de mai sus este de asmenea, constanta pe element. In

scopul interpolarii, totusi tensiunea obtinuta din (2.15) poate fi considerata a fi valoarea din centrul

elementului.

Expresiile { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ }eee dBEdBdNu === σε ;;

asociază deplasarea, deformatia si respectiv tensiunea in functie de valorile deplasarilor nodale.

Aceste expresii vor fi acum inlocuite in expresia energiei potentiale a barei pentru a obtine matricea

de rigiditate si de incarcare ale elementului.

ABORDARE CU AJUTORUL ENERGIEI POTENTIALE

Expresia generala pentru energia potentiala data in mecanica structurilor

∑∫∫∫ −⋅−⋅−⋅=−=+=i

iiL

T

L

T

L

Teiexi PudxpudxfAudxALUUU εσπ

21 (2.16)

In ultimul termen de mai sus, Pi, reprezinta o forta actionand in punctul i iar ui este

deplasarea din punct pe directia x. Sumarea dupa „i” da energia potentiala datorata incarcarilor din

toate punctele. Intrucat continutul a fost discretizat in elementele finite, expresia pentru π devine:

∑∫∑∫∑∫∑ −⋅−⋅−⋅=i

iie

T

ee

T

ee

T

eDPdxpudxfAudxAεσπ

21 (2.17)

Ultimul termen de mai sus presupune ca fortele punctuale Pi sunt aplicate la noduri. Ec.

(2.17) mai poate fi scrisa ca:

∑∫∑∫∑∑ −⋅−⋅−=i

iie

T

ee

T

eee DPdxpudxfAuUπ (2.18)

unde ∫ ⋅=e

Te dxAU εσ

21 (2.19)

este energia de deformatie a elementului finit.

MATRICEA DE RIGIDITATE A ELEMENTULUI

Inlocuind pe [ ]{ }edBE=σ si [ ]{ }edB=ε in relaţia de mai sus rezulta

Page 19: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

19

{ } [ ] [ ]{ }∫=e

eTT

ee AdxdBEBdU21 (2.20 a)

Sau

{ } [ ] [ ]( ){ }ee

Tee dAdxBEBdU ∫=

21 (2.20 b)

In modelarea cu elemete finite, aria sectiunii transversale a elementului e , notata cu Ae, este

constanta. De asemenea, [B] este o matrice constanta.

Transformarea din x in ξ (rel. 2.3) 22

1212 xxxxx ++

−= ξ

Conduce la ξξ dl

dxx

dx e

2212 =

−= (2.21)

Unde 11 +≤≤− ξ si 12 xxle −= este lungimea elementului finit.

Acum, energia de deformatie a elementului, Ue, se scrie:

{ } [ ] [ ] { }eT

ee

cT

ee ddBBEl

AdU ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∫

1

1221 ξ (2.22)

Unde Ee este modulul Young al elementului e . Notand cu 21

=∫−

ξd , si înlocuind [B] din

(2.14), gasim:

{ } [ ]{ }ee

eeeT

ee dl

ElAdU 11111

21

2 −⎭⎬⎫

⎩⎨⎧+−

= (2.23)

care conduce la { } { }ee

eeTee d

lEA

dU ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=11

1121 (2.24)

Ecuaţia de mai sus este de forma:

{ } [ ]{ }eeT

ee dkdU21

= (2.25)

Unde s-a notat cu [kc] – matricea dse rigiditate a elementului

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−1111

e

eee l

EAk (2.26)

TERMENII FORTA (INCARCARE)

Se considera mai intai, termenul fortei masice de element ∫e

T fAdxu , care apare in energia

potetiala totala. Înlocuind 2211 uNuNu += avem:

( ) dxuNuNfAfAdxuT

e ee

T∫ ∫ += 2211 (2.27)

Page 20: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

20

[ ]{ }( ) { }⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

==∫

∫∫ ∫

ee

ee

Te

T

e eee

T

dxNfA

dxNfAddxdNfAfAdxu

2

1

(2.28)

Integralele din functie de forma pot fi evaluate facand substitutia (2.21): ξdl

dx e

2=

Atunci

∫ ∫

∫ ∫

=−

=

=−

=

e

ee

e

ee

ld

ldxN

ld

ldxN

1

12

1

11

221

2

221

2

ξξ

ξξ

(2.29)

Geometric, ∫e

dxN1 este aria de sub curba N1, cum se arata in fig. 8, care este egala cu

21

21 e

el

l =⋅ . Similar ∫ =⋅=e

ee

lldxN

21

21

2

Termenul funcţiei masice din (2.28) se reduce la:

{ } { } { }eT

ee

ee

Te

T fdl

fAdfAdxu =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=∫ 11

2 (2.29)

1 ∫ =⋅==e

ee

lldxNAria

21

21

1

le

Fig. 8 Integrala din functia de forma

Astfel, vectorul fortei masice de element, {fe}, este { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧11

2flA

f eee (2.30)

Vectorul fortei masice de element are o explicatie fizica simpla. Deoarece Aele este

volumul elementului si f este forta masica pe unitatea de volum, vedem ca Aelef da forta masica

totala care actioneaza pe element. Factorul ½ in ec. (2.30) arata ca forta masica totala este egal

distribuita la cele doua noduri ale elementului.

Se considera acum termenul fortei de tractiune pe element care apare in expresia energiei

potentiale totale. Avem:

Page 21: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

21

( ) [ ]∫ ∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=+=e e e

TTT pdx

uu

NNpdxuNuNpdxu2

1212211 (2.31)

Deoarece forta de tractiune este constanta pe element, avem:

{ }∫∫

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=e

e

eTe

T

dxNp

dxNpdpdxu

2

1

(2.32)

S-a arata deja ca 221e

ee

ldxNdxN == ∫∫ si ec. (2.32) este de forma

{ } { }∫ =e

eT

eT pdpdxu (2.33)

unde vectorul fortei de tractiune pe element, {pe} este { } { }ee

e Qpl

p =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=11

2 (2.34)

Avand [ke], {fc}, {pe} si {de} la nivelul elementului finit e se stabileste relatia fizica

elementala (modelul numeric elemental)

[ ]{ } { }eec Fdk = (2.35)

Daca se neglijeaza fortele masice si se iau in considerare numai fortele distribuite pe

suprafata (de tractiune) si fortele concentrate in noduri, atunci vectorul fortelor nodale se poate

scrie.

{ } { } { }eee RSF −= = { } { } { } { }eeee QSpS +=+ (2.36)

unde { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2

1

NN

Se - vectorul eforturilor din nodurile e.f. si { } { }ee pR −= - vectorul reactiunilor

date de incarcarile distribuite pe element

ASAMBLAREA

Este operatiunea de refacere a structurii din elementele finite componente.

Dupa ce s-au stabilit matricele de rigiditate [ke] si vectorul reactiunilor din incarcarile

distribuite {Re} (sau vectorul actiunilor distribuite reduse echivalent la noduri, {Qe}), pentru toate

elementele finite, este necesara asamblarea lor in matricea de rigiditate a intregii structuri [k],

respectiv in vectorul {Q} (sau {R} daca se lucreaza cu reactiunile {Re})

Pe baza incidentei componentelor fiecarui vector {de} (e=1,2,3,...,m) cu componentele vectorului

{D}, al deplasarilor nodale din structura se realizeaza expandarea relatiei fizice elementale

respective la dimensiunile vectorului {D}, obtinandu-se:

[ ]{ } { }ee FDk = unde { } { } { }eee QSF += (2.37)

Page 22: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

22

care reprezinta modelul numeric elemental expandat ; aceasta incidenta intre gradele de libertate

elementale si structurale se face direct, deoarece deplasarile din cele doua sisteme de axe (global

sau structural, respectiv local sau elemental) coincid ca directie, iar elementul finit leaga doua

noduri consecutive.

3x

U2U121

........................

D i+1DiD2

i+1ii-121 n

Dn

D1

D1 D2 Di Di+1 Dn

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

+

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

+

.

.

.2/2/

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........

........

........

......

......

........

........

........

........

........

2

1

1

2

1

2221

1211

i

i

n

i

i

plpl

NN

D

DD

DD

kkkk

Conditia de echilibru static a fiecarui nod, exprimata printr-o ecuatie de proiectie dupa axa generala

X, presupune adunarea membrului stang al relatiei expandate (2.37) pentru toate elementele finite si

egalarea rezultatului cu {F} – vectorul fortelor nodale echivalente, obtinandu-se:

[ ]{ } { }FDK = unde (2.39)

[ ] [ ]∑=e

ekK ; { } { } { }QPF += sau { } { } { }RPF −=

{ } { }∑= eQQ , sau { } { }∑=e

eRR (2.40)

[K] – matricea de rigiditate globala a structurii (simetrica dar singulara, deci neinversabila). In cazul

barelor drepte aceasta matrice este de tip banda deoarece elementele nenule se gasesc in imediata

apropiere a diagonalei principale.

Observatie. Pentru ca un element finit leaga doua noduri consecutive, incidenta, expandarea

se pot face direct in constructia matricei [K]; se incepe de la o extremitate a barei, care constituie

nodul 1 si se pune matricea primului e.f. (1-2); urmeaza matricea celui de-al doilea e.f. (2-3) si asa

mai departe:

Page 23: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

23

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−−+−

+−−

322

321

312

311

222

221

212

211

122

121

112

111

kkkkkk

kkkkkk

In casutele care se suprapun, componenetele a doua matrice elementale se aduna, datorita

faptului ca nodul respectiv apartine la doua e.f. vecine (este extremitatea dreapta -2 pt e.f. din stanga

si extremitatea stanga -1 pentru e.f. din dreapta.

Matricea [K] devine nesingulara prin introducerea conditiei la limita, adica a conditiei de

rezemare a structurii. Pentru a pune in evidenta necunoscutele problemei, relatia (2.39) se

partitioneaza si se ordoneaza (rearanjeaza) sub forma:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

r

n

r

n

r

n

rrrn

nrnn

PP

QQ

DD

KKKK

(2.41)

Unde {Dn}, {Qn}, {Pn}- subvectorii deplasarilor, actiunilor distributie reduse la noduri si al

actiunilor exterioare concentrate, dupa directia GDL libere ({Dn}- deplasarea necunoscutelor) {Dr},

{Qr}, {Pr} – subvectorii respectivi dupa directiile GDL constranse (dupa directiile legaturilor

structurii)

Din (2.41) rezulta doua ecuatii matriciale, care reprezinta ecuatiile de conditie ale structurii

si a caror rezolvare depinde de legaturile sale:

[Knn]{Dn}+[Knr]{Dr}={Pn}+{Qn} a)

[Krn]{Dn}+[Krr]{Dr}={Pr}+{Qr} b) (2.42)

REZOLVAREA SISTEMULUI DE ECUATII si determinarea starii de deformare si de eforturi

La rezolvarea euatiei matriciale (2.42) se pot intalni 3 situatii in functie de legaturile

structuriila teren sau la baza fixa de rezemare.

a) Cazul legaturilor fixe sau rigide, cand {Dr}=0 (2.43) si din (2.42 a) rezulta deplasarile

nodale necunoscute:

{Dn}=[Knn]-1{Fn}=[Knn]-1({Pn}+{Qn}) (2.44)

si reactiunile structurii din (2.42 b)

{Pr}=[Krn]{Dn}-{Qr} (2.45)

Eforturile de la extremitatile fiecarui element finit se deduc din ecuatia fizica elementala

{Se}=[ke]{de}-{Qe} (2.46)

Unde {de} se extrage din vectorul {D}, care este complet cunoscut.

Cu eforturile {Se} se traseaza diagrama de forta axiala N.

b)cazul legaturilor (reazemelor) cu cedari cunoscute, deci {Dr}este cunoscut si atunci din

(2.42 a) rezulta deplasarile necunoscute

Page 24: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

24

{Dn}=[Knn]-1({Pn}+{Qn}-[Knr]{Dr}) (2.47)

iar din (2.42 b) reactiunile structurii:

{Pr}=[Krn]{Dn}+[Krr]{Dr}-{Qr} (2.48)

c) Cazul legaturilor (reazemelor) elastice, care permit deplasari proportionale cu reactiuile

respective, adica:

{Dr}=[Frr]{Pr} (2.49)

unde [Frr] – o matrice patrata cunoscuta, de obicei diagonala ale carei elemente sunt caracteristicile

elastice ale legaturilor,

introducand (2.49) in (2.42) se obtine:

[Knn]{Dn}+[Knr][Frr]{Pr}={Pn}+{Qn} a)

[Krn]{Dn}+([Krr][Frr]-{Irr}){Pr}={Qr} b) (2.50)

unde [Irr] – matricea unitate.

Din (2.50 b) rezulta

{Pr}=([Krr][Frr]-[Irr])-1({Qr}-[Krn]{Dn}) (2.51)

Care introdusa in (2.50 a), permite calculul dseplasarilor cu relatia

{Dn}=[Knn*]-1{Pnn

*} (2.52)

Unde

[Knn*]=[Knn]-[Knr][Frr]([Krr][Frr]-[Irr])-1{Qn} (2.53)

{Pnn*}={Pn}-{Qn}-[Knr][Frr]([Krr][Frr]-[Irr])-1{Qr}

Introducand {Dn} din (2.52) in (2.51) rzulta reactiunle {Pr} si din (2.46) eforturile din

extremitatile fiecarui e.f cu care se traseaza diagrama N.

Tensiunile in fiecare e.f. se calculeaza cu relatia

e

e

AN

=σ (2.54)

Algoritmul prezentat este in intregime programabil si pe baza lui s-au realizat programe de

calcul automat specifice.(FEM1D)

Page 25: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

25

2.2. GRINZI SOLICITATE LA INCOVOIERE

Se considera o grinda cu una sau mai multe deschideri astfel rezemata si actionata de

incarcarile exterioare, incat este solicitata la incovoiere plana; grinda se deformeaza pana ajunge in

pozitia de echilibru elastic deformat (fig 2.2.1). Aceasta pozitie deformata este definita prin

deplasarile punctelor a barei, care constituie GDL ale structurii. in general, datorita continuitatii

materialului numarul GDL este infinit, ceea ce revine la determinarea functiei de deplasare W(x);

dar pozitia deformata poate fi definita in mod aproximativ prin deplasari numai ale unor puncte

precizate ale axel barei; in acest caz se spune ca structura are un numar finit de GDL.

a) b)

Fig 2.2.1

In pozitia de echilibru elastic deformat a structurii sunt satisfacute 3 conditii:

- conditia de echilibru static, dintre actiunile exterioare si reactiuni, pe de o parte, si

dintre actiunile exterioare si reactiuni si fortele interne (eforturi si tensiuni), pe de alta parte;

- conditia de compatibilitate geometrica, care consta pe de o parte in continuitatea si

netezimea (panta continua) deformatiei precum si din satisfacerea conditiilor de rezemare a

structurii;

- conditia fizica de comportare elastic liniara a materialului din care este realizata

structura (valabilitatea legii lui Hooke)

2.2.1 Ecuatiile diferentiale care guverneaza echilibrul elastic

Cand conditia de echilibru static se exprima pe axa nedeformata a barei (calculul de ordinul

I, elastic liniar), pozitia de echilibru elastic al barei satisface o diferentiala de ordinul al II-lea.

( ) ( ) ( )4

4

d w xEI x p x

dx= (2.2.1)

unde EI – rigiditatea sectionala la incovoiere in planul xz;

w(x) – functia de deplasare (sageata);

p(x) – intensitatea sarcinii exterioare.

Nu s-a luat in considerare efectul deformatiilor de lunecare produse de forta taietoare.

Page 26: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

26

Pentru determinarea constantelor de integrare, ecuatia diferentiala (2.2.1) trebuie sa i se

ataseze conditia la limita (de rezemare), care de exemplu, pentru grinda din fig 2.2.1a sunt:

w(0)=0 ; w(L)=0 ;

M(0)=0 => w’’(0)=0 ; θ(L)=0 => w’(L)=0 (2.2.2)

si depind de modul de rezemare al grinzii. De asemenea, eforturile dintr-o sectiune curenta a barei

sunt date de relatiile:

( ) ( )2 3

2 3 ; Q x ( )d w d wM x EI EI V xdx dx

= − = − = (2.2.3)

Determinarea deplasarilor la incovoiere a unei bare, deci rezolvarea ecuatiei diferentiale

(2.2.1) cu conditia la limita (2.2.2) se poate face prin urmatoarele metode:

- metoda integrarii directe;

- metoda grinzii conjugate;

- metoda parametrilor in origine (care sub forma matriciala conduce la metoda matricei de

transfer);

- metoda diferentelor finite;

- metoda elementelor finite.

Primele 3 metode sunt metode analitice pentru ca dau posibilitatea sa se determine functia de

deplasare W(x), deci structura se considera cu o infinitate de GDL.

Metoda diferentelor finite si metoda elementelor finite, care va fi tratata in continuare, sunt

metode numerice pentru ca ele dau posibilitatea determinarii deplasarii numai in anumite puncte ale

structurii.

2.2.2 Metoda elementelor finite MEF

In cele ce urmeaza, pentru rezolvarea problemei (2.2.1) se va folosi metoda elementelor finite

in formularea reziduala (cu ajutorul teoremelor reziduurilor ponderate cu ponderea de tip Galerkin),

care este adecvata pentru integrarea numerica a ecuatiei diferentiale.

Aceasta metoda comporta mai multe etape.

Stabilirea modelului structural discretizat cu un numar finit de grade de libertate.

• Bara se discretizeaza in „m” tronsoane (elemente finite unidimensionale), pentru care

sectiunea grinzii si eventual incarcarea se pot considera constante; aceste elemente finite sunt legate

intre ele prin noduri (puncte materiale definite ca intersectia axelor e.f. conexe care se numeroteaza

cu cifre (fig. 2.2.2)

Page 27: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

27

Fig. 2.2.2

• Intr-un sistem de axe general XYZ, fiecarui nod i se acorda cate 2 GDL, care corespund celor

2 deplasari independente ale nodului – sageata (deplasarea liniara dupa axa Z) notata Diz si rotirea

in jurul axei Y, notata Diθ, (fig. 2.2.2); deplasarile liniare sunt pozitive in sensul pozitiv al axei Z,

iar rotirile sunt pozitive in sens antiorar.

Cu aceste deplasari se construieste vectorul deplasarilor nodale:

{D}={ D1z D1θ ... Diz Diθ ... Dnz Dnθ}T (2.2.4)

in care unele deplasari sunt: nule, daca nodul este blocat prin anumite legaturi (reazeme fixe sau

rigide); cunoscute ca marime , daca legaturile respective sufera cedari; proportionale cu reactiunile

din legaturi, daca acestea sunt legaturi elastice; necunoscute ca marime daca nodul este liber.

Corespunzator vectorului {D} se construieste vectorul fortelor nodale concentrate.

{P}={ P1z P1θ ... Piz Piθ ... Pnz Pnθ}T (2.2.5)

care au acelasi numar de componente ca si vectorul {D}si este ordonat in sensul ca Piz este forta

(corespunzatoare deplasarilor liniare, iar Piθ este moment; unele din acele componente sunt

necunoscute si reprezinta reactiunile din reazeme, iar celelalte sunt cunoscute si reprezinta actiunile

exterioare concentrate aplicate in noduri; fortele sunt pozitive in sensul axei Z, iar momentele sunt

pozitive in sens antiorar.

Analiza elementului finit pentru a obtine modelul numeric elemental

• Se considera un element finit unidimensional curent de bara incovoiata, cu sectiunea

constanta si axa rectilinie, caruia i se acorda cate doua grade de libertate la fiecare

extremitate, in concordanta cu GDL acordate nodurilor modelului structural discretizat.

Deplasarile corespunzatoare celor 2 GDL de la fiecare extremitate, intr-un sistem de axe

local (propriu e.f.) xyz , sunt deplasarea liniara dupa axa z (sageata W) si rotirea in jurul

axei y, θ (fig. 2.2.3)

Page 28: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

28

Fig. 2.2.3

• Cu aceste 4 deplasari se alcatuieste vectorul deplasarilor nodale

{de}={W1 Q1 W2 Q2}T (2.2.6)

si in mod corespunzator vectorul eforturilor (fortelor) elementale:

{Se}=}={ Q1 M1 Q2 M2}T (2.2.7)

Pentru acest element finit ramane valabila ecuatia diferentiala (2.2.1), dar conditiile la limita

constau in satisfacerea de catre functia de deplasare W(x) a deplasarilor nodale elementale {de}

• Solutia unei astfel de probleme cu conditii la limita depinde de incarcarea p(x) din lungul

elementului finit, dar se poate aproxima, in general prin functii polinomiale. Astfel se

propune drept solutie aproximativa, polinomul de gradul 3 cu coeficienti nedeterminati:

we=α0+α1x+α2x2+α3x3 (2.2.8)

ceea ce revine la a accepta o variatie liniara pentru momentul incovoietor (derivata a doua) si o forta

taietoare constanta (derivata a treia). Aceste variatii nu sunt valabile daca in lungul barei actioneaza

incarcari distribuite. Din (2.2.8) rezulta pentru rotire expresia:

θe(x)=we’=α1+2α2x+3α3x2 (2.2.9)

• Coeficientii αi(i=0,1,2,3) din relatiile (2.2.8) si (2.2.9) se exprima prin componentele

vectorului deplasarilor elementale pe baza conditiilor la limita.

( ) ( )( ) ( )

0 1 1 1

2 3 21 2 3 2 1 2 3 2

. 0 0 ; 0

. ; 2 3e e

e o e

pt x w w

pt x l w l l l l w l l l

α θ α θ

α α α α θ α α α θ

− = ⇒ = = = =

− = ⇒ = + + + = = + + =

care reprezinta un sistem de 4 ecuatii algebrice cu 4 necunoscute; solutia este:

0 1 1 1 2 1 2 1 22 2

3 1 2 1 23 3 2 2

3 3 2 1 ; ; ;

2 2 1 1

w w wl l l l

w wl l l l

α α θ α θ θ

α θ θ

= = = − + − −

= − + − (2.2.10)

Page 29: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

29

care introdusa in (2.2.8) da pentru solutia aproximativa expresia:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]

2 31 1 1 2 1 2 1 2 1 22 2 3 3 2 2

2 3 2 3 2 3 2 3

1 1 2 22 3 2 2 3 2

1

11 1 2 1 3 2 4 2 1 2 3 4

2

2

3 3 2 1 2 2 2 1

3 2 2 3 21

ew x w x w w x w w xl l l l l l l l

x x x x x x x xw x wl l l l l l l l

w

N x w N x N x w N x N N N Nw

θ θ θ θ θ

θ θ

θθ θ

θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − + − − + + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + − + + − + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎧⎪⎪= + + + = ⎨ [ ] { }T

eN d

⎫⎪⎪ =⎬

⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

(2.2.11)

unde s-au introdus notatiile:

( ) ( )

( ) ( )

2 3 2 3

1 22 3 2

2 3 2 3

3 42 3 2

3 2 21 ; ;

3 2 ; .

x x x xN x N x xl l l l

x x x xN x N xl l l l

= − + = − +

= − = − + (2.2.12)

care se numesc functii de forma de tip l’Hermite; impreuna cu derivatele lor satisfac proprietatile la

limita, usor de verificat, prezentate in tabelul 1:

Limita N1 N1’ N2 N2’ N3 N3’ N4 N4’

x=0 1 0 0 1 0 0 0 0

x=l 0 0 0 0 1 0 0 1

Observatia 1: aceste functii de forma reprezinta ecuatiile deformatei elementului finit, supus insa

numai la o deplasare de capat unitara; de exemplu N1(x) este (x) este W1(x) produs de W1=1 si toate

celelalte deplasari de capat nule (fig. 2.2.4); in acest caz, in capetele barei apar reactiunile

prezentate direct in figura (rigiditatile la deplasare ale barei dublu incastrate) si, aplicand MPO

rezulta ecuatia sagetii We(x) care reprezinta N1(x) tinandu-se seama de noua conventie de semne

adoptata

N1(x)

Fig. 2.2.4

Page 30: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

30

• Pentru ca expresia We(x) din (2.2.11) este o solutie aproximativa a ecuatiei diferentiale

(2.2.1), rezulta ca fiind introdusa in aceasta va da un reziduu (eroare sau discrepanta):

( ) ( )

2 41 2

2 31 3

4

4

6

12

0e

EIM kl

EIQ kl

d wx EI p xdx

ε

= =

= = −

= + ≠

(2.2.13)

in care s-a tinut seama ca in conventia de semne a e.f., W(x) are semnul pozitiv invers celui din

rezistenta materialelor.

• Cu acest reziduu se construiesc functionalele reziduurilor ponderate, cu ponderea chiar

functiile de forma (procedeul Galerkin):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4

40 0 0

0, 1, 2,3,4l l l

ei i i i

d wN x x dx EI N x dx N x p x dx idx

π ε= ⋅ = + ⋅ = =∫ ∫ ∫

(2.2.14)

Conditia ca reziduul sa fie minim, adica functia de deplasare We(x) sa aproximeze cat mai bine

solutia exacta a ecuatiei diferentiale (2.2.1), se traduce prin anularea acestor patru functionale;

ponderea in relatia functionala a reziduurilor confera o aceeasi importanta pentru functiile implicate

in minimizarea acestei functionale.

Aceste functionale reprezinta formal exprimarea echilibrului elastic al e.f. prin procedeul

lucrului mecanic virtual, caci functiile de forma pot fi considerate deplasari virtuale; in acest caz

cele doua integrale din (2.2.14) ar reprezenta lucrul mecanic interior, respectiv lucrul mecanic

exterior. de asemenea rel. (2.2.14), obtinuta este absolut necesar pentru MEF.

In prima integrala din (2.2.14) se efectueaza integrarea prin parti de doua ori, obtinandu-se:

( ) ( )4 3 2 2 2

1 4 3 2 2 20 00 0

, 1, 2,3,4l ll l

e e i e i ei i

d w d w dN d w d N d wI EI N x dx N x EI EI EI dx idx dx dx dx dx dx

= = − + =∫ ∫

(2.2.15)

In noua conventie se tine seama de MEF rel. (2.2.3) din Rezistenta materialelor devenind

2 3

2 3( ) ; ( ) ( )e ed w d wEI M x EI Q x V xdx dx

= − = + = (2.2.16)

deoarece sagetii si momentului li s-au schimbat semnul, iar forta taietoare a ramas cu acelasi semn.

Introducand aceste relatii in (2.2.15) rezulta:

Page 31: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

31

( ) ( ) '' ''1 0 0

0

( ) ' ( ) ( ) ( ) , 1, 2,3,4l

l li i i eI N x Q x N x M x EI N x w x dx i= + + =∫ (2.2.17)

din care, in baza proprietatilor la limita ale functiilor de forma din tabelul 1 si a expresiei sagetii din

(2.2.11), rezulta:

1 1

1 1'' '' '' '' ''1 1 2 3 4

2 20

2 2

( ) , 1, 2,3, 4l

i

Q wM

I EI N x N N N N dx iQ wM

θ

θ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡ ⎤= − + =⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎣ ⎦

⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

∫ (2.2.18)

sau

( )( )

( )( )

2'' '' '' '' '' '' ''1 1 2 1 3 1 4

1 2'' '' '' '' '' '' ''2 1 2 2 3 2 41

1 2'' '' '' '' '' '' ''2 0 3 1 3 2 3 3 4

2 2'' '' '' '' '' '' ''4 1 4 2 4 3 4

l

N N N N N N NQ

N N N N N N NMI EI dx

Q N N N N N N NM

N N N N N N N

⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎜ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎜ ⎢ ⎥⎪ ⎪= − +⎨ ⎬ ⎜ ⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎜ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎜ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎜ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎝ ⎠

1

1

2

2

w

θ

⎧ ⎫⎟⎪ ⎪⎟⎪ ⎪⎨ ⎬⎟⎪ ⎪⎟⎪ ⎪⎟⎩ ⎭⎟

(2.2.19)

Tinand seama de expresiile functiilor de forma (2.2.12), dupa efectuarea integralelor rezulta:

1 12 2

1 11 3

2 22 2

2 2

12 6 12 6 6 4 6 2l

12 6 12 6 6 2 6 4

l l w QMl l lEII

l l w QlMl l l l

θ

θ

−⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− − − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

(2.2.20)

Cea de-a dou integrala din (2.2.14), in cazul unei incarcari uniform distribuite p(x)=p,

conduce la:

{ } { }

2 3

2 3

2 3 2

2

2 2 30 0

2 3

22 3

2

3 212

212( ) ( )

3 22

12

l l

i e e

x x ll lx x lxl lI N x p x dx p dx p R Q

lx xl l

lx xl l

⎧ ⎫ ⎧ ⎫− +⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪− +⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = = = = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−− + ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭

∫ ∫ (2.2.21)

Page 32: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

32

care reprezinta reactiunile de grinda dublu incastrata produse de incarcarile distribuite in lungul

elementului finit; pentru alte incarcari se pot utiliza reactiunie date in tabele si determinate prin

metoda fortelor din statica constructiilor (cu semnul – aceste reactiuni reprezinta actiunile

distribuite reduse echivalent la noduri).

Tinand seama de (2.2.20) si (2.2.21), conditia de anulare a functionalelor Galerkin (2.2.14)

devine:

1 12 2 2

1 13

2 22 2 2

2 2

12 6 12 6 / 2 6 4 6 2l /12

12 6 12 6 / 2 6 2 6 4 /12

l l lw QMl l l lEI p

l l w l QlMl l l l l

θ

θ

−⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− − − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎢ ⎥ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(2.2.22)

sau [ ]{ } { } { }e e e ek d R S+ = - relatia fizica elementala (2.2.23)

(modelul numeric elemental)

[ke] – matricea de rigiditate a e.f.; {Re} – vectorul reactiunilor de la extremitatile e.f., produse de

incarcarile distribuite pe element.

Matricea [ke] de ordinul al IV-lea se poate partitiona in 4 submatrice de ordinul al II-lea:

[ ] 11 12

21 22

e

k kk

k k⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.2.24)

unde k11 si k22 – eforturile din cele doua extremitati, 1 si 2 (primul indice), produse de deplasari

unitare date in nodurile 1, respectiv 2 (al doilea indice);

k12 – eforturile din extremitatea 1 produse de deplasari unitare date in nodul 2

k21 – eforturile din extremitatea 2 produse de deplasari unitare date in nodul 1.

Se observa ca submatricele laterale satisfac conditia: k12=(k21)T (2.2.25)

unde prin T s-a notat operatia matriciala de transpunere.

Observatia 1. O coloana din matricea de rigiditate [ke] reprezinta eforturile (rigiditatile) din

extremitatile barei dublu incastrate produse de deplasarea corespunzatoare unitara, toate celelalte

deplasari fiind nule. Astfel in fig. 2.2.4 sunt prezentate rigiditatile produse de W1=1, care reprezinta

coloana intaia din matricea ke in conventia de semne adoptata.

Observatia 2. Pe baza observatiei 1 se pot construi matricele de rigiditate si vectorul

reactiunilor pentru bare (e.f.) cu articulatii sau reazeme simple la una din extremitati.

Asamblarea e.f. pentru a obtine modelul numeric structural.

Dupa ce s-au stabilit matricele de rigiditate [ke] si vectorul reactiunilor din incarcari {Re}

pentru toate elementele finite, este necesara asamblarea lor in matricea de rigiditate k a intregii

structuri si in vectorul reactiunilor {R}

Page 33: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

33

• Pe baza incidentei componentelor fiecarui vector {dc} (e=1,2,...,m), componentele

vectorului {D} al deplasarilor nodale din (2.2.4) se realizeaza expandarea rel. fizice

elementale respective, la dimensiunile vectorului {D} obtinandu-se:

{ } { } { }ee ek D R S⎡ ⎤ + =⎣ ⎦ (2.2.26)

care reprezinta modelul numeric elemental expandat, aceasta incidenta intre GDL elementale si

structurale se face direct, deoarece deplasarile din cele doua sisteme de referinta global (structural)

si local (elemental) coincid ca directie, asa cum se vede in schema de expandare, iar e.f. leaga doua

noduri consecutive.

! 1 1 1, 1, z iz i i z i nz nD D D D D D D Dθ θ θ θ+ +L L !

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

k k k kk k k kk k k kk k k k

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

L L L L L L L L L LL L L L L L L L L LL L L L L LL L L L L LL L L L L LL L L L L LL L L L L L L L L LL L L L L L L L L L

1

1

12

1

1, 22

21,

/ 2/12

/ 2/12

z

iz

i

i z

i

nz

n

DD

D pl QD MplD pl Q

MD pl

DD

θ

θ

θ

θ

+

+

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩⎩ ⎭⎩ ⎭

L LL L

L L L

LLLLLLL

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(2.2.27)

• Conditia de echilibru static a fiecarui nod, exprimata printr-o ecuatie de proiectie dupa axa

generala Z si o ecuatie de moment, presupune adunarea membrului stang al ecuatiei

expandate (2.2.26) si egalarea rezultatului cu vectorul actiunilor nodale {P}, obtinandu-se:

[ ]{ } { } { }K D R P+ = - relatia fizica structurala (2.2.28)

(modelul numeric structural)

unde [ ] { } { } ; eee e

k k R R⎡ ⎤= =⎣ ⎦∑ ∑ (2.2.29)

cu matricea [k] simetrica, dar singulara, numita matricea de rigiditatea globala a barei. In cazul

barelor drepte, aceasta matrice este o matrice banda, caci elementele nenule se gasesc concentrate in

imediata apropiere a diagonalei principale.

Page 34: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

34

Observatie. Pentru ca un e.f. leaga doua noduri consecutive, incidenta, expandarea si

sumarea se pot face direct in constructia matricei [k], se incepe de la o extremitate a barei, care

constituie nodul 1 si se pune matricea primului e.f. (1-2) (hasurata de la dreapta la stanga, se pune

apoi matricea celui de-al doilea element finit (2-3) (hasurata pe figura de la stanga la dreapta)

s.a.m.d.

1 111 121 1 2 221 22 11 12

2 2 3 322 32 11 32

3 3 421 22 11

k k

k k k k

k k +k

k k

k k

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1

1

2

2

z

z

DDDD

θ

θ

⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⋅ ⋅ ⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦

M

• Matricea [k] devine nesingulara prin introducerea conditiilor la limita (conditii de

rezemare a structurii. Pentru aplicatiile ulterioare rel. fizica structurala (2.2.28) se

rearanjeaza sub forma:

nn nr n n n

rn rr r r r

k k D R Pk k D R P⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

+ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

(2.2.30)

unde {Dn}, {Rn}, {Pn} –subvectorii deplasarilor, reactiunilor din incarcarile exterioare ce actioneaza

in lungul elementelor finite si al actiunilor exterioare concentrate, dupa directia GDL libere;

{Dr}, {Rr}, {Pr} – subvectorii respectivi dupa directiile legaturilor structurii.

Din (2.2.30) => 2 ecuatii matriciale, care reprezinta ecuatiile de conditie ale structurii:

[ ]{ } [ ]{ } { } { }[ ]{ } [ ]{ } { } { }

nn n nr r n n

rn n rr r r r

k D k D P R

k D k D P R

+ = −

+ = − (2.2.31)

a caror rezolvare depinde de legaturile barei.

Rezolvarea sistemelor de ecuatii si determinarea starii de deformare si de eforturi a

structurii

La rezolvarea ecuatiei matriciale (2.2.31) se pot intalni 3 situatii, in functie de legaturile

structurii la teren sau baza de rezemare:

• Cazul legaturilor fixe (reazeme complet blocate) cand {Dr}=0 si din prima relatie (2.2.31)

rezulta deplasarile:

{ } [ ] { } { }( )1n nn n nD k P R= − (2.2.32)

Page 35: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

35

iar din a doua relatie (2.2.31) => reactiunile structurii

{ } [ ]{ } { }r rn n rP k D R= − (2.2.33)

Eforturile de la extremitatile fiecarui e.f. se determina din

{ } [ ]{ } { }e e e eS k d R= + (2.2.34)

cu care se traseaza diagramele de eforturi respective.

• Cazul legaturilor cu cedari cunoscute, deci {Dr} este cunoscut si atunci din relatia (2.2.31)

rezulta deplasarile:

{ } [ ] { } { } [ ]{ }( )1n nn n n nr rD k P R k D−= − − (2.2.35)

apoi reactiunile:

{ } { } [ ]{ } [ ]{ }r r rn n rr rP R k D k D= + + (2.2.36)

si eforturile din extremitatile fiecarui e.f. din (2.2.34), cu care se traseaza diagramele de eforturi.

• Cazul legaturilor elastice, care permit deplasari proportionale cu reactiunile respective,

adica : {Dr}=[Frr]{Pr} (2.2.37)

unde [Frr] – o matrice patrata cunoscuta, de obicei diagonala, ale carei elemente sunt caracteristicile

elastice ale legaturilor.

Introducand (2.2.37) in (2.2.31) se obtine:

[ ]{ } [ ][ ]{ } { } { }[ ]{ } [ ][ ] [ ]( ){ } { }

nn n nr rr r n n

rn n rr rr rr r r

k D k F P P R

k D k F I P R

+ = −

+ − = − (2.2.38)

unde [Irr] – matricea unitate.

Din ultima ecuatie matriciala rezulta:

{ } [ ][ ] [ ]( ) { } [ ]{ }( )1r rr rr rr r rn nP k F I R k D

−= − − + (2.2.39)

care introdusa in prima, conduce la calculul deplasarilor cu relatia:

{ } { }1* *n nn nnD k P

−⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (2.2.40)

unde [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]( ) { }

{ } { } { } [ ][ ] [ ][ ] [ ]( ){ }

1*

1*

nn nn nr rr rr rr rr rn

nn n n nr rr rr rr rr r

k k k F k F I R

P P R k F k F I R

⎡ ⎤ = − −⎣ ⎦

= + + − (2.2.41)

Introducand {Dn} in (2.2.39) rezulta reactiunile {Pr}si din (2.2.34) eforturile din

extremitatile fiecarui e.f., cu care se traseaza diagramele.

Metoda prezentata este in intregime programabila la calculator si in aceste programe se

utilizeaza metode specifice de introducere a conditiilor de rezemare.

Page 36: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

36

2.3 GRINZI SOLICITATE LA COMPRESIUNE CU INCOVOIERE

La astfel de structuri, actionate in general atat de incarcari normale pe axa barei cat si de

incarcari dirijate dupa axa, se ridica doua probleme de calcul: - cunoscandu-se incarcarile dupa axa barei si incarcarile transversale, trebuie determinate

deplasarile si eforturile, care sa tina seama de influenta fortei axiale asupra deplasarilor din incovoiere; acesta constituie calculul geometric neliniar sau de ordinul al II-lea;

- presupunand ca incarcarea dupa axa barei ar putea creste trebuie determinata acea valoare a acesteia, care conduce la echilibrul indiferent al structurii, numita incarcare critica; acesta constituie calculul de stabilitate al structurii – incarcare transversala poate sa existe si atunci pierderea de stabilitate se produce prin divergenta echilibrului sau pot sa nu existe incarcarile transversale si pierderea de stabilitate se produce prin bifurcarea echilibrului (flambaj).

1. Stabilirea ecuatiei diferentiale care guverneaza echilibrul elastic

Relatia diferentiala dintre eforturi si incarcari: - proiectie dupa axa Z

( ) 0Q dQ Q p x dx+ − + ⋅ = ⇒ ( )dQ p xdx

= − (1)

- moment in raport cu punctul G

( ) ( )2dxM Q dx N dw p x dx M dM+ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − + =

dM dwQ Ndx dx

= + (2)

≈ 0

dx

Daca efectul deformatiilor din forta taietoare cat si scurtarea grinzii sunt neglijate, atunci axa

deformata satisface ecuatia: 2

2

d wEI Mdx

= − (3)

EI – rigiditatea la incovoiere in planul x w(x) – sageata Derivand de doua ori ecuatia (3) si tinand seama de (1) si (2) =>

4 2 2

4 2 2

d w d M dQ d wEI Ndx dx dx dx

= − = − − ⇒4 2

4 2 ( )d w d wEI N p xdx dx

+ = (4)

Page 37: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

37

Ecuatia (4) generalizeaza ecuatia diferentiala a incovoierii plane si pentru determinarea

constantelor de integrare, trebuie atasate acestei ecuatii conditii la limita, care depind de modul de rezemare a grinzii. Solutia ecuatiei diferentiale (4) de ordinul al IV-lea cu coeficienti constanti, se poate obtine prin:

metoda integrarii directe;metoda parametrilor in origine;

−−

metode analitice

metoda diferentelor finite;metoda elementelor finite.

−−

metode numerice

2. Metoda elementelor finite

Stabilirea modelului structural discretizat • Structura se raporteaza la un sistem de axe general (structural sau global) X1Z, si se

discrediteaza in elemente finite (tronsoane de bara), care se leaga intre ele prin noduri ca in fig. 2.

Fig. 2

Fiecarui nod i se acorda cate 2 G.D.L. (deplasarea liniara dupa axa Z – sageata wi si rotirea in jurul axei Y – θi) si se construieste vectorul {D} al deplasarilor nodale, iar in corespondenta biunivoca cu acesta vectorul {P} al actiunilor nodale concentrate la noduri:

{D}={ D1z D1θ ... Diz Diθ ... Dnz Dnθ}T={w1θ1 ... wiθi ... wnθn}T {P}={ P1z P1θ ... Piz Piθ ... Pnz Pnθ}T

Analiza elementului finit

• Elementul finit unidimensional curent este raportat la un sistem de axe propriu (local) – fig. 3

Fig. 3

• Fiecarei extremitati i se acorda cate 2 GDL (sageata si rotirea) si se construieste vectorul deplasarilor elementale, respectiv al eforturilor elementale:

{de}={W1 θ1 W2 θ 2}T

Page 38: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

38

{Se}={ Q1 M1 Q2 M2}T

• Drept solutie aproximativa a ecuatiei diferentiale (4) se alege polinomul

3

2 3e 0 1 2 3

2e 1 2

= + x+ x + x

( )= = +2 x+3 x e

wdwxdx

α α α α

θ α α α (5) care in forma matriciala se scriu

{ }

02 3

12

2

3

( ) 1 ( )( ) 0 1 2 3 ' ( )

Te

Te

w x x x x P xx x x P x

αα

αθ α

α

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

(6)

• Conditiile la limita conduc, in baza relatiei (6) la sistemul de ecuatii algebrice

0 1

1 12 3

2 22

3 2

1 0 0 00 1 0 01 0 1 2 3

w

l l l wl l

αα θαα θ

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦

(7) sau [L]{α}={de} (7’)

din care rezulta, prin inversarea matricii [L]:

0 1

1 1

2 22 2

3 23 2 3 2

1 0 0 00 1 0 0

3 2 3 1

2 1 2 1

w

wl l l l

l l l l

αα θαα θ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬− − −⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎩ ⎭ − −⎢ ⎥⎣ ⎦

(8) sau{α}=[L]-1{de} (8’)

Introducand (8) in (5) sau in prima linie a vectorului (6) => pentru sageata

1

12 3

2 22

23 2 3 2

1 0 0 00 1 0 0

3 2 3 1( ) 1

2 1 2 1

e

w

w x x x xwl l l l

l l l l

θ

θ

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎢ ⎥⎡ ⎤= ⎨ ⎬− − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭− −⎢ ⎥⎣ ⎦

(9)

sau ( ){ }[ ] { } ( ) { }1( )

TTe e i ew x P x L d N x d− ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (10)

unde {Ni(x)} este vectorul functiilor de forma de tip l’Hermite

Page 39: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

39

{ }

2 3

2 3

2 31

22

2 33

2 34

2 3

2

3 21

( ) 2( )

( )( ) 3 2( )

i

x xl l

N x x xxN x l lN xN x x xN x l l

x xl l

⎧ ⎫− +⎪ ⎪

⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎪ ⎪

− +⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪

⎪ ⎪− +⎪ ⎪⎩ ⎭

(11)

• Introducand solutia aproximativa (10) in ecuatia diferentiala (4), se obtine reziduul

(eroarea sau discrepanta) 4 2

4 2( ) ( ) 0e ed w d wx EI N p xdx dx

ε = + + ≠ (12)

Cu acest reziduu se construiesc functionalele reziduurilor ponderate de tip Galerkin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 2

4 2 20 0 0 0

0l l l l

e e ei i i i i

d w d w d wN x x dx EI N x dx N N x dx N x p x dxdx dx dx

π ε= ⋅ = + + ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫

1, 2,3, 4i = (13) care trebuie sa se anuleze pentru ca we(x) sa tinda catre solutia exacta. Efectuand de doua ori integrarea prin parti in prima integrala din (13) si odata in cea de-a doua integrala, se obtine:

( )

( ) ( )

3 2

3 200 0

0 0 0

'( ) ''( ) ''

( ) ' ' ( ) 0, 1, 2,3,4

l l le e

i i i i e

l l le

i i e i

d w d wN x EI N x EI EI N x w dxdx dx

dwNN x N N x w dx N x p x dx idx

π = − + +

+ − + = =

∫ ∫ (14)

Din (3) si (2) rezulta:

3

3e ed w dwdMEI Q N

dx dx dx= − = − − (15) in conventia de semne din R.M. sau

3

3e ed w dwEI Q N

dx dx= − (16) in conventia de semne din M.N.

Tinand seama de (16) si (3) rel. (14) devine:

( )

( ) ( )

000 0

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ''( ) ''

( ) ' ' ( ) 0, 1, 2,3,4

l ll le

i i i i i e

l l le

i i e i

dwN x Q x NN x N x M x EI N x w dxdx

dwNN x N N x w dx N x p x dx idx

π = − + + +

+ − + = =

∫ ∫ (17)

care prin reducerea termenilor asemenea si in baza proprietatilor la limita a functiilor de forma rezulta:

Page 40: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

40

{ } { }1 1

1 1'' '' '' '' '' ' ' ' ' '1 2 3 4 1 2 3 4

2 20 0

2 2

0

( )

( ) ( ) 0, 1, 2,3, 4

l l

i i i

l

i

Q wM

EI N N N N N dx N N x N N N N dxQ wM

N x p x dx i

θπ

θ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − + − +⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

+ = =

∫ ∫

(18)

unde s-a tinut seama de expresia sagetii data de (10). Dezvoltand aceasta relatie se obtine:

( )( )

( )( )

( )2 2'' '' '' '' '' '' '' ' ' ' ' ' ' '1 1 2 1 3 1 4 1 1 2 1 3 1 4

2'' '' '' '' '' '' '' ' '2 1 2 2 3 2 4 2 1

2'' '' '' '' '' '' ''0 3 1 3 2 3 3 4

2'' '' '' '' '' '' ''4 1 4 2 4 3 4

l

N N N N N N N N N N N N N N

N N N N N N N N N NEI dx N

N N N N N N N

N N N N N N N

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫( )

( )( )

12' ' ' ' '2 2 3 2 4 1

2' ' ' ' ' ' ' 20 3 1 3 2 3 3 4

22' ' ' ' ' ' '4 1 4 2 4 3 4

1 1

2 1

3 20

24

( )

l

l

wN N N N

dxwN N N N N N N

N N N N N N N

N QN M

p x dxN Q

MN

θ

θ

⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎪ ⎪+⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥

⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎜ ⎟⎢ ⎥

⎣ ⎦⎝ ⎠⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

(19)

Tinand seama de expresiile functiilor de forma (11) si efectuand calculele in (19) =>

2 2 2 2

3

2 2 2 2

12 6 12 6 36 3 36 3 6 4 6 2l 3 4 3 l

12 6 12 6 36 3 36 330 6 2 6 4 3 3 4

l l l ll l l l l lEI N

l l l ll ll l l l l l l l

⎛ ⎞− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

1 12

1 1

2 22

2 2

/ 2/12

/ 2/12

lw QMl

pw l Q

Ml

θ

θ

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭

(20)

sau, mai compact [ ]( ){ } { } { }Ge e e e ek k d R S⎡ ⎤− + =⎣ ⎦ !!! (21)

care reprezinta relatia fizica a elementului finit (modelul numeric elemental), unde: [ke] – matricea de rigiditate elastica a elementului finit (aceeasi cu cea din cazul e.f. de bara

incovoiata) [ke

G] – matricea de rigiditate geometrica a elementului finit, care tine seama de efectul fortei axiale N asupra deformarii barei (neliniaritate geometrica);

{Re} – vectorul reactiunilor de grinda dublu incastrata incovoiata produse de incarcarile p uniform distribuite din lungul e.f. (pentru alte incarcari se pot folosi reactiunile din tabele)

Asamblarea elementelor finite

Dupa determinarea relatiilor fizice elementale (21) pentru fiecare e.f., urmeaza asamblarea lor in vederea obtinerii relatiei fizice pentru intreaga structura. Aceasta se face ca la bara incovoiata.

• Pe baza incidentei fiecarui vector {de}(e=1,2,3,...,m), cu componentele vectorului {D} si expandarea relatiei fizice elementale respective se obtine:

( ){ } { } { }Gee ee ek k d R S⎡ ⎤⎡ ⎤ − + =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(22)

Page 41: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

41

• Se aduna aceste relatii elementale expandate ale tuturor e.f., ceea ce reprezinta scrierea conditiilor de echilibru static al nodurilor, pentru eforturile elastice si geometrice, reactiunile date de sarcinile distribuite si fortele concentrate din noduri, obtinandu-se modelul numeric structural:

[ ]( ){ } { } { }Gk k D R P⎡ ⎤− + =⎣ ⎦ !!! (23)

unde

[ ] { } { }; ; GG

ee ee e e

k k k k P R⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑ (24)

[k] si [kG] reprezinta matricele globale de rigiditate elastica si geometrica ale intregii bare, ambele simetrice, dar singulare deoarece structura poate avea o miscare de corp rigid (nu s-au pus conditiile de rezemare). Tinand seama ca un element finit leaga doua noduri consecutive, operatia de constituire a matricelor [k], [kG] (de asamblare) se poate face direct, asa cum s-a aratat in cursurile precedente, cele doua matrice avand o forma speciala de matrice banda; de exemplu, matricea [k] are pe diagonala principala submatricea de ordinul al II-lea de forma: 1 1

11 11 22...( )...l l nnnk k k k−+ , deasupra

diagonalei o submatrice de forma ki12 (la fel si pentru matricea [kG]).

• Aceste matrice devin nesingulare prin introducerea conditiilor de rezemare, care presupune ordonarea vectorului {D} in doi subvectori, {Dn} – subvectorul deplasarilor nodale din legaturile structurii. Aceasta ordonare a vectorului {D} presupune si o ordonare corespunzatoare a vectorilor {R}, {P} si a matricelor [k], [kG] din relatiile (23) si (24), obtinandu-se:

nn nr

rn rr

G Gnn nr n n n

G Grn rr r r r

k kk k D P Rk k D P Rk k

⎛ ⎞⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎜ ⎟⎢ ⎥− = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ (25)

sau, dupa dezvoltare: ( ) ( ) { } { } { }

( ) ( ) { } { }nn nr

rn rr

G Gnn n nr r n n n

G Grn n rr r r r

k k D k k D P R F

k k D k k D P R

− + − = − =

− + − = − (26)

care reprezinta doua ecuatii matriciale a caror rezolvare depinde de legaturile barei.

Rezolvarea sistemului ecuatiilor de conditie Ecuatiile matriceale (26) pot fi folosite pentru rezolvarea a doua tipuri de probleme:

• Calculul geometric neliniar (calculul de ordinul al II-lea) In acest caz exista incarcari transversale cunoscute, concentrate in noduri si/sau distribuite in lungul elementelor finite si incarcari dirijate dupa axa barei, de asemenea cunoscute, care produc forta axiala in fiecare e.f. Elementele matricelor k si kG sunt constante, iar din (26), in care s-au introdus conditiile de rezemare, se poate determina starea de deformare si de eforturi din structura, care tine seama de influenta fortei axiale asupra deformarii din incovoiere (calculul geometric neliniar sau calculul de ordinul al II-lea). Din punctul de vedere al conditiilor de rezemare se pot intalni cele trei tipuri de legaturi: fixe (Dr=0); cu cedari (Dr≠0, cu valori cunoscute) si legaturi elastice, la care cedarile sunt proportionale cu reactiunile din legaturi (Dr=Frr·Pr). De exemplu, in cazul legaturilor fixe (Dr=0), din (26) rezulta:

[ ]( ){ } { } { }

[ ]( ){ } { } { }nn

rn

Gnn n n n

Grn n r r

k k D P R

k k D P R

⎡ ⎤− = −⎣ ⎦

⎡ ⎤− = −⎣ ⎦ (27)

din care se obtin:

Page 42: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

42

- deplasarilor nodurilor: { } [ ]( ) { } { }( )1

nn

Gn nn n nD k k P R

−⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ (28)

- reactiunile din legaturi: { } { } [ ]( ){ }rn

Gr r rn nP R k k D⎡ ⎤= + − ⎣ ⎦ (29)

- eforturile de la extremitatile fiecarui element finit: { } [ ]( ){ } { }

e

Ge e e eS k k d R⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ (30)

cu care se traseaza diagramele de eforturi. Rezolvarea celorlalte cazuri de rezemare se face in mod similar.

• Calculul de stabilitate in acest caz forta N, care actioneaza dupa axa barei, nu este cunoscuta ca marime ci numai ca distributie si trebuie determinata acea valoare care conduce la pierderea stabilitatii barei; incarcari transversale pot sa existe sau nu, iar legaturile structurii se considera fixe (Dr=0) (cazul cedarilor de reazeme sau cel al reazemelor elastice se rezolva asemanator). - daca nu exista incarcari transversale, pentru un e.f. considerat ca etalon, in rel. fizica (20) se poate da factor comun EIet / l3

et si =>

[ ]( ){ } { }**3

Getet et et e e

et

EI k k d Sl

υ ⎡ ⎤− =⎣ ⎦ (31)

unde3

30et et

etet

N lEI

υ = se numeste factor de compresiune etalon. Prin [ke]*, [keG]* s-au notat matricele de

rigiditate elastice si geometrice cu elemente constante, neafectate de factorii EIet / l3et , respectiv EIet

/30 let. Relatiile fizice ale celorlalte e.f. se pot exprima cu ajutorul celei a e.f. etalon, astfel:

[ ]( ){ } { }**3

Gete et e e e

et

EI k k d Sl

υ ⎡ ⎤− =⎣ ⎦ (32)

unde matricea [ke*] se obtine prin inmultirea elementelor matricei [ke] neafectata de factorul numeric EI / l3, cu coeficientul numeric

3

ete

et

lII l

α ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(33)

iar matricea [keG]* se obtine prin inmultirea elementelor matricei [ke

G] neafectata de factorul N/30l , cu coeficientul numeric

2

ete

et et

IN lN l I

β⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(34)

Prin asamblarea relatiilor fizice elementale astfel prelucrate si prin introducerea conditiilor de rezemare, rel. (27a) devine:

[ ]( ){ }3 0Getnn et nn n

et

EI k k Dl

υ ⎡ ⎤− =⎣ ⎦ (35)

Tinand cont ca 3 0et

et

EIl

≠ si notand υet=λ – valoare proprie=>

[ ]( ){ } 0nn

Gnn nk k Dλ ⎡ ⎤− =⎣ ⎦ (36)

care reprezinta un sistem de ecuatii algebrice omogene. • Acest sistem admite solutie diferita de cea banala daca:

[ ]det 0Gnn nnk kλ ⎡ ⎤− =⎣ ⎦ (37)

ce reprezinta o problema de valori si vectori proprii sub forma generala. Cea mai mica valoare proprie, conduce la valoarea incarcarii critice:

minmin3 3

30 30et etcr et

et et

EI EINl l

υ λ= = (38)

ce produce pierderea stabilitatii barei prin bifurcarea echilibrului (flambaj) – Fig. 4a.

Page 43: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

43

Fig. 4 - Daca exista si incarcari transversale, cunoscute ca marime, prin aceleasi rationamente, se obtine din prima relatie (27a) sistemul de ecuatii algebrice:

[ ]( ){ } { } { }3Get

nn et nn n n net

EI k k D P Rl

υ ⎡ ⎤− = −⎣ ⎦ (39)

In acest caz pierderea stabilitatii barei se produce prin cresterea nelimitata a deplasarilor, respectiv prin divergenta echilibrului (fig. 4b). Pentru ca deplasarilor {Dn} sa tinda la infinit, trebuie ca determinantul coeficientului necunoscutelor di (39) sa se anuleze, ceea ce revine la impunerea cond. (37), obtinandu-se aceeasi problema de valori si vectori proprii generala din cazul precedent. Rezulta ca pentru incarcarea critica se obtine aceeasi valoare, indiferent de modul de pierdere a stabilitatii.

Page 44: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

44

2.4. VIBRTII LIBERE TRANSVERSALE NEAMORTIZATE LA GRINZI

In analiza vibratiilor libere transversale (de incovoiere) a barelor se va admite ipoteza

micilor oscilatii si se va considera ca acestea se produc in planul principal de incovoiere. Stabilirea ecuatiilor diferentiale care guverneaza fenomenul oscilator Se considera o grinda dreapta cu una sau mai multe deschideri avand masa distribuita

continuu, care oscileaza liber fata de pozitia de echilibru static, datorita unei cauze care a fost indepartata.

Sistemmul avand masa si rigiditatea distribuita se numeste sistem continuu sau sistem cu parametri distribuiti; teoretic el are un numar infinit de grade de libertate si miscarea sa este reprezentata de o ecuatie cu derivate partiale.

Fig. 1

Pentru un anumit moment de timp, t, al miscarii, se produce incovoierea barei, iar

deformatia dinamica este caracterizata de doua variabile independente (abscisa x si timpul t), respectiv sageata este functie de cele doua variabile si la fel vor fi eforturile, tensiunile, etc. In timpul miscarii (oscilatiei, vibratiei) apare o forta de inertie distribuita, proportionale cu acceleratia miscarii, factorul de proportionalitate fiind masa proprie a barei pe unitatea de lungime data de relatia:

m A Agγρ= = (1)

unde ρ – densitatea materialului; γ – greutatea specifica; g – acceleratia gravitationala; A – aria sectiunii transversale a barei.

Distributia masei in lungul grinzii coincide cu variatia sectiunii transversale. Intensitatea fortei de inertie, conform legii lui Newton, va fi:

2

2( , ) wp x t ma mt

∂= − = −

∂ (2)

si este indreptata in sens invers miscarii (deformarii barei) – fig. 1

Tinand cont ca oscilatia libera este o deformata de incovoiere sub actiunea fortei de inertie, rezulta ca sageata va satisface ecuatia diferentiala a fibrei medii deformate:

4

4 ( , )wEI p x tx

∂=

∂ (3)

Page 45: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

45

care, in baza rel (2) devine:

4 2

4 2 0w wEI mx t

∂ ∂+ =

∂ ∂ (4)

ce reprezinta o ecuatie diferentiala cu derivate partiale de ordinul al IV-lea. Prin aceasta ecuatie se tine seama numai de fortele de inertie si fortele elastice, neglijandu-se fortele de amortizare, care pot fi de natura vascoasa sau histeretica. Eforturile dintr-o sectiune a barei vor fi date de relatiile:

2 3

2 3( , ) ; ( , )w wM x t EI Q x t EIx x

∂ ∂= − = −

∂ ∂ (5)

Pentru determinarea constantelor, care apar la integrarea ec. (4), trebuie sa se ataseze doua tipuri de conditii: - conditii la limita impuse de modul de rezemare a grinzii; - conditii initiale, care se refera la cunoasterea la timpul t=0 a:

• sagetii w(x,0)=wo; (6)

• vitezei de deformare 0( ,0)w x wt

∂=

Solutia ecuatiei diferentiale (4) se poate determina prin: - metoda analitica, ce permite exprimarea sagetii prin parametrii in origine (parametri

initiali); - metode numerice, bazate pe exprimarea prin diferente finite a derivatelor in raport cu

variabila spatiala x si cu cea temporala t. O alta metoda numerica este cea a elementului finit, care va fi dezvoltata in continuare. Metoda elementului finit In aplicarea MEF pentru determinarea solutiei ecuatiei diferentiale cu derivate partiale (4),

se parcurg aceleasi etape ca la rezolvarea problemei precedente.

Stabilirea modelului structural discretizat

• Se considera o grinda cu una sau mai multe deschideri, care se raporteaza la un sistem de axe general, XY(fig. 2) si se discrediteaza in m=n-1 elemente finite interconectate in n puncte nodale (noduri).

• Fiecarui nod i se acorda doua grade de libertate, sageata si rotirea, iar cu deplasarile corespunzatoare se construieste vectorul:

{D}={ D1z D1θ ... Diz Diθ ... Dnz Dnθ}T , i=1,2,...,n (7)

ale carui componente sunt functii de timp; pentru ca vibratiile sunt libere, nu exista actiuni concentrate in noduri si in consecinta, in vectorul {P} apar numai reactiunile din legaturi:

Fig. 2

Page 46: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

46

Analiza elementului finit

• Un element finit curent, cu rigiditate la incovoiere EIe=const. si masa pe unitatea de lungime me=const, se raporteaza la sistemul de referinta local (propriu) xyz (fig. 3)

• Pentru fiecare extremitate se acorda doua grade de libertate construindu-se vectorii deplasarilor si eforturilor elementale:

{ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }{ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }

1 1 2 2

1 1 2 2

Te

Te

d w t t w t t

S Q t M t Q t M t

θ θ=

= (8)

Fig. 3 Functia de deplasare w(x,t) pe elementul finit se aproximeaza cu un polinom de gradul al III-lea in variabila x, ai carui coeficienti αi depind de timpul t, adica:

2 30 1 2 3( , ) ( ) ( ) ( ) ( )ew x t t t x t x t xα α α α= + + + (9)

• Conditiile la limita conduc la exprimarea vectorului coeficientilor {α(t)} prin vectorul

{de(t)}, obtinandu-se: { } ( ){ }( , ) ( ) , i=1,2,3,4T

e i ew x t N x d t= (10)

unde { }2 3 2 3 2 3 2 3

2 3 2 2 3 2

3 2 2 3 2( ) 1 ; ;Ti

x x x x x x x xN x xl l l l l l l l

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎪ ⎪= − + − + − − +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎩ ⎭

(11)

este vectorul functiilor de forma de tip l’Hermite, aceleasi ca cele din paragrafele anterioare. • Introducand solutia aproximativa we(x,t) in ecuatia diferentiala (4) se obtine reziduul

4 2

4 2( , ) 0e ed w d wx t EI mdx dt

ε = + ≠ (12)

care trebuie sa fie minim. • Cu acest reziduu se construiesc functionalele reziduurilor ponderate de tip Galerkin

( ) ( ) ( ) ( )4 2

4 20 0 0

, 0 i=1,2,3,4l l l

e ei i i i

d w d wN x x t dx EI N x dx m N x dxdx dt

π ε= ⋅ = + =∫ ∫ ∫ (13)

care trebuie sa fie minim. Daca in prima integrala din (13) se efectueaza integrarea prin parti de doua ori si se tine seama ca relatiile sageata – eforturi din rezistanta materialelor (5) devine in noua conventie de semne.

( )4 2

4 2, ; ( , )e ed w d wEI Q x t EI M x tdx dx

= + = − (14)

si rezulta:

Page 47: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

47

( )

( )

000

0

( , ) '( ) ( , ) ''( ) ''( , )

' 1, 2,3, 4

ll l

i i i i e

l

i e

N x Q x t N x M x t EI N x w x t dx

m N x w dx i

π = − + +

+ =

∫ && (15)

Introducand expresia functii deplasarii din (10) si tinand seama de proprietatile functiilor de forma Ni(x) din (15) se obtine:

{ } { }11 1

1 1 1'' '' '' '' '' ' ' ' '1 2 3 4 1 2 3 4

2 2 20 0

2 2 2

( ) ( ) =0l l

i i i

wQ wM

EI N x N N N N dx m N x N N N N dxQ w wM

θ θπ

θ θ

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

∫ ∫

&&&&

&&&&

i=1,2,3,4 (16) din care rezulta:

( )( )

( )( )

( )2 2'' '' '' '' '' '' ''1 1 2 1 3 1 4 1 1 2 1 3

12'' '' '' '' '' '' ''2 1 2 2 3 2 4 1

2'' '' '' '' '' '' '' 20 3 1 3 2 3 3 4

22'' '' '' '' '' '' ''4 1 4 2 4 3 4

l

N N N N N N N N N N N Nw

N N N N N N NEI dx m

wN N N N N N N

N N N N N N N

θ

θ

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪+⎨ ⎬⎢ ⎥

⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭

⎢ ⎥⎣ ⎦

∫( )

( )( )

1 41 12

2 1 2 2 3 2 4 1 12

2 20 3 1 3 2 3 3 4

22 24 1 4 2 4 3 4

l

N Nw Q

N N N N N N N Mdx

w QN N N N N N NM

N N N N N N N

θ

θ

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎢ ⎥

⎣ ⎦

&&&&

&&&&

(17) Tinand seama de expresiile functiilor de forma din (11), dupa efectuarea calculelor in (17) se obtine:

2 2 2 2

3

2 2 2 2

12 6 12 6 156 22 54 -13 6 4 6 2l 22 4 13 3l

12 6 12 6 54 13 156 22420 6 2 6 4 -13 3 22 4

l l l ll l l l l lEI ml

l l l lll l l l l l l l

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢− − − − − −⎢ ⎥ ⎢

− − −⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1

1 1

2 2

22

w QM

w QM

θ

θ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎩ ⎭⎩ ⎭

&&&&

&&&&

(18)

sau compact: [ ] { } [ ]{ } { }e e e e ek d m d S− + =&& (18’)

care reprezinta relatia fizica a elementului finit (modelul numeric elemental). unde: [ke] – matricea de rigiditate elastica; [me] – este matricea consistenta a maselor (matrice de inertie); { }ed&& - este vectorul acceleratiilor nodale elementale.

Matricea de inertie [me] se poate partitiona in 4 submatrice de ordinul al II-lea

[ ] 11 12

21 22

c

m mm

m m⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

(19)

unde m11, m22 – eforturile inertiale (forta si moment) din extremitatile 1 si 2 produse de acceleratiile unitare din extremitatile respective; m12, m21 – eforturile inertiale din extremitatile 1 si 2 produse de acceleratiile unitare din extremitatile 2, respectiv 1. Se poate sesiza ca submatricele laterale satisfac conditia [m12] = [m21]T.

Page 48: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

48

Observatie. Solutia problemelor de vibratii a sistemelor elastice este influentata major de matricea de rigiditate elastica si mai putin de matricea de inertie; de aceea, pentru stabilirea matricei de inertie se pot folosi functii de forma de grad mai mic decat 3.

Cazul 1: cand sageata se aproximeaza prin polinomul de gradul I 0 1( , )ew x t xα α= + (20)

iar cei doi coeficienti se determina din conditia la limita - pt. x=0 => 1 0(0, ) ( )ew t w t α= = (21)

- pt. x=l => 2 12 1 1 1( , ) ( )e

w ww l t w t w ll

α α −= = + ⇒ =

Inlocuind in (20) rezulta:

{ }

1

11 2 1 2 3 4

2

2

( , ) (1 ) N N N Ne

w

x xw x t w wwl lθ

θ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= − + = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

(22)

in care functiile de forma sunt:

1 2 3 4( , ) 1 , ( ) 0, ( ) , N ( ) 0x xN x t N x N x xl l

= − = = =

Folosind (22) si (23) numai in cea de-a doua integrala din (17) se obtine matricea semiconsistenta a maselor de inertie:

[ ]

2 0 1 00 0 0 01 0 2 060 0 0 0

emlm

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

prin care se tine seama numai de fortele de inertie coreespunzatoare deplasarilor liniare (sagetilor) de la capetele elementului finit, dar cu influente reciproce una asupra celeilalte (cuplate).

Cazul 2. Cand se pot utiliza chiar functii de forma constante, definite dupa cum urmeaza:

1( )N x = 1,

2

0, 2

lx

l x l

≤ ≤; [ ]2 ( ) 0, 0,N x x l= ∈

(25)

3 ( )N x = 0,

2

1, 2

lx

l x l

<

≤ ≤; [ ]4 ( ) 0, 0,N x x l= ∈

care introduse numai in cea de-a doua integrala din (17) conduce la matricea maselor concentrate:

[ ]

1 0 0 00 0 0 00 0 1 0 60 0 0 0

emlm

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(26)

prin care se tine seama numai de fortele de inertie corespunzatoare deplasarilor liniare (sagetilor) de la capetele elementului finit, independente intre ele.

Page 49: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

49

Asamblarea elementelor finite

Dupa determinarea relatiilor fizice elementale (18) pentru fiecare element finit urmeaza

asamblarea lor in vedera obtinerii relatiei fizice pentru intreaga structura (modelul numeric structural).

• Aceasta asamblare se face pe baza incidentei fiecarui vector {de}(e=1,2,..., m), cu componentele vectorului {D} si expandarea relatiei fizice elementale respective, obtinandu-se:

{ } { } { },e e ee ek D m D S⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

&& (27)

• Se aduna aceste relatii elementale expandate, respectiv se exprima conditiile de echilibru

a nodurilor numai pentru eforturile elastice si de inertie, deoarece nu exista incarcari in lungul elementelor finite si mici actiuni concentrate la noduri, obtinandu-se modelul numeric structural.

[ ] { } [ ]{ } 0k D M D⋅ + =&& (28)

unde [ ] [ ], e ee e

k k M m⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑ (29)

si reprezinta matricele de rigiditate si de inertie (a maselor) pentru intreaga structura. Aceste matrice sunt simetrice si singulare, deoarece structura poate avea o miscare de corp rigid. Matricea maselor poate fi consistenta (cu raspunsuri – eforturi inertiale corespunzatoare tuturor deplasarilor), semiconsistenta (cu forte inertiale dependente corespunzatoare numai deplasarilor liniare – sagetilor) sau diagonala (cu mase concentrate numai pe diagonala principala – forte de inertie independente corespunzatoare numai deplasarilor liniare) Matricele globale [K], [M] au forma speciala tridiagonala pentru ca un element finit leaga doua noduri consecutive. Relatia (28) devine nesingulara prin introducerea conditiilor de rezemare, care presupune ordonarea vectorilor {D}, {D} in cate doi subvectori { } { }n nD , D&& corespunzatori deplasarilor si

acceleratiilor nodale libere si { } { }r rD , D&& corespunzator deplasarilor si acceleratiilor din legaturile barei. Aceasta ordonare a celor doi vectori presupune si ordonarea corespunzatoare a matricelor [K], [M], obtinandu-se:

0 0

nn nr nn nrn n

rn rr rn rrr r

k k M MD Dk k M MD D

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪+ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

&&

&& (30)

sau dupa dezvoltare: [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }

0

0

nn n nr r nn n nr r

rn n rr r rn n rr r

k D k D M D M D

k D k D M D M D

+ + + =

+ + + =

&& &&

&& && (31)

care reprezinta doua ecuatii matriceale, la rezolvarea carora se pot intalni cele trei tipuri de reazeme fixe, cu cedari sau reazeme elastice.

• In cazul reazemelor fixe, {Dr}=0 si prima relatie din (31) devine: [ ]{ } [ ]{ } 0nn n nn nk D M D+ =&& (32)

care este un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul al II-lea cu coeficienti constanti si la care trebuie atasate conditiile initiale (deplasarea D0 si viteza 0D&& la timpul t=0)

Rezolvarea sistemului de ecuatii dinamice

Sistemul de ecuatii diferentiale (32) se poate rezolva prin: metode specifice sistemelor de ecuatii diferentialede ordinul al II-lea, precum si

- metoda diferentelor finite; - metoda Newmark;

Page 50: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

50

- metoda Wilson. metode de integrare numerica specifice sistemelor de ecuatii diferentiale de ordinul intai,

cum ar fi: - metoda Euler; - metoda Runge Kutta; - metoda Adams; - metoda Milne, etc. Pentru aceasta este necesara transformarea sistemelor de ecuatii diferentiale de ordinul al II-

lea (32) intr-un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul I. • Analiza modala In acest paragraf se va rezolva sistemul (32)prin metoda analizei modale. In acest sens,

pentru vectorul deplasarilor nodale se presupune o variatie armonica in timp, de forma: { } { }0 sin( )n nD D tω ϕ= + (33)

unde { }0nD - vectorul amplitudinilor vibratiilor, ω-pulsatia proprie (frecventa circulara); φ -

diferenta de faza. Cu {Dn} din (33) vectorul acceleratiilor nodale devine: { } { }0 sin( )n nD D tω ϕ= + (34) Introducand (33) si (34) in ecuatia de miscare (32) si avand in vedere ca amplitudinile maxime ale vibratiilor se obtin pentru sin(ωt+φ)=1, rezulta: [ ] [ ]( ){ }2 0 0nn nn nk M Dω− = (35) care este un sistem de ecuatii omogen. Acest sistem admite solutie diferita de cea banala daca: [ ] [ ]2det 0nn nnk Mω− = (36) Sistemul de ecuatii (35) se mai poate prelucra in felul urmator

[ ] [ ] { }4 2

* * 03 0

420nn nn nEI mlk M Dl EI

ω⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (37)

Notand cu 4 2

420ml

EIωλ = - un scalar numit valoare proprie si avand in vedere ca EI/l3 ≠0 =>

[ ] [ ]( ){ }* * 0 0nn nn nk M Dλ− = (38)

care este forma generala a unei probleme de valori si vectori proprii [ ] [ ]( ){ } 0A B xλ− = Problema generala se reduce la forma standard [ ] [ ]( ){ } 0H I yλ− = folosind procedeul cunoscut. Prin metodele matematice cunoscute se rezolva problema (40) obtinandu-se valorile proprii λi si vectorii proprii {Y(i)} ai problemei standard. Din valorile proprii λi se obtin pulsatiile proprii (frecventele circulare) ale oscilatiei:

4

420 [rad/s]i iEI

mlω λ= (41)

si apoi vectorii proprii ai problemei generale {Xi}, cu care se pot construi formele sau modurile proprii de vibratie ale barei analizate.

Page 51: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

51

2.5. ANALIZA STRUCTURILOR DIN BARE PRIN

METODA ELEMENTELOR FINITE

Orice constructie are o structura de rezistenta, alcatuita dintr-un ansamblu de elemente de constructie legate intre ele si la o baza fixa (teren), capabila sa preia incarcarile si sa le transmita la teren. Elementele de constructie din alcatuirea unui structuri pot fi:

- de tip bara (elemente unidimensionale – la care o dimensiune – lungimea, este preponderenta comparativ cu cele dopua dimensiuni ale sectiunii transversale);

- de tip placa (elemente bidimensionale – la care doua dintre dimensiuni sunt mult mai mari decat cea de-a treia – grosimea)

- de tip bloc sau masiv (elemente tridimensionale – la care toate cele trei dimensiuni sunt comparabile intre ele ca ordin de marime)

In functie de tipul elementelor de constructie care alcatuiesc structurile de rezistenta, acestea se pot clasifica in:

- structuri din bare - cu noduri articulate (grinzi cu zabrele) - cu noduri rigide (cadre)

- de zidarie - structuri din pereti - din diafragme plane, neplanare si nuclee din beton armat turnate

monolit - din panouri prefabricate din beton armat

- structuri mixte, alcatuite din elemente de tip bara si pereti legate intre ele, care sunt de doua tipuri:

* stalpi si diafragme (nuclee), ca elemente de rezistenta verticalelegate prin rigle de cuplare si plansee; * stalpi dispusi numai la parter si apoi continuati cu diafragme (structuri cu parter flexibil) – mai putin indicate in zone seismice. In acest capitol vor fi analizate structurile de bare pentru ca:

- sunt destul de folosite ca structuri de rezistenta la constructii industriale, social-culturale, de locuinte, poduri, telecomunicatii etc.

- celelalte tipuri de structuri – din pereti sau mixte – se pot modela pentru calcul prin modele structurale din bare, pe baza unor simplificari si schematizari;

- metodologia de analiza a structurilor din bare poate fi adaptata si extinsa la analiza celorlalte tipuri de structuri.

2.5.1 ANALIZA STRUCTURILOR DIN BARE CU NODURI ARTICULATE

Structurile de rezistenta din bare metalice, imbinate la noduri prin sudura, nituire sau bulonare se modeleaza pentru calcul prin modele structurale din bare cu noduri articulate. In functie de modul de dispunere a barelor aceste structuri sunt:

- plane, cand barele se gasesc intr-un plan: grinzi cu zabrele cu una sau mai multe deschideri, arce cu zabrele etc. (fig. 1a); in general orice structura din bare cu inima plina se poate realiza din bare cu zabrele;

- spatiale, cand barele dispuse in spatiu, din care enumeram acoperisurile reticulare, semnalele geodezicxe, turnurile cu zabrele, antenele radio si televiziune, stalpii de inalta tensiune, turnuri de rafinarii, stalpi ai barelor industriale etc. (fig 1b)

Page 52: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

52

In barele unor astfel de structuri actiunile exterioare, aplicate de obicei la noduri, produc cu preponderenta eforturi axiale, care se predetermina prin metoda deplasarilor sub forma matriciala stabilita pe baza principiului metodei elementului finit. In aceasta metoda nu are importanta daca structura cu noduri articulate este static determinata sau static nederminate si datorita acestei generalitati, este utilizata cu preponderenta la elaborarea uno programe de calcul.

Analiza unor astfel de structuri comporta: - determinarea deplasarilor nodurilor si eforturilor axiale din bare, produse de actiunile

statice exterioare, printr-un calcul de ordinul I sau printr-un calcul de ordinul al II-lea (geometric neliniar), in care conditia de echilibru static se exprima pe structura nedeformata, respectiv deformata;

- determinarea caracteeristicilor dinamice sau eventual determinarea variatiei in timp a deplasarilor nodurilor si eforturilor din barele structurii printr-un calcul de ordinul I, in cazul unor actiuni dinamice;

- stabilirea incarcarii critice de pierdere a stabilitatii echilibrului prin divergenta.

Page 53: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

53

Calculul static si dinamic geometric liniar (de ord. I) prin MEF

Stabilirea modelului structural discretizat

• Structura plana (fig 2a) se raporteaza la un sistem de axe XY si se discretizeaza in bare si noduri (aceasta discretizare este in acest caz naturala);

• Fiecarui nod i se acorda cate doua grade de libertate de translatie dupa axele X, Y si cu deplasarile respective se construieste vectorul:

{D}=[{D1x D1y}T ... {Dix Diy}T ... {Dnx Dny}T]T (1) numit vectorul deplasarilor nodurilor si in mod corespunzator vectorul:

{P}=[{P1x P1y}T ... {Pix Piy}T ... {Pnx Pny}T]T (2) numit vectorul fortelor nodale.

Diz

Diy

Dix

PzPy

PxP2x

P4y DiyDixi

a) b) Fig. 2

• Pentru structura spatiala raportata la sistemul de axe XYZ (fig. 2b) se acorda cate 3 grade de libertate – translatiile dupa cele trei axe – astfel ca vectorul {D} cuprinde subvectori de forma:

{Di}={Dix Diy Diz }T (3) si la fel vectorul fortelor concentrate din noduri

{Pi}={Pix Piy Piz }T (4) In cazul calculului static componenetele acestor vectori sunt constante iar in cazul calculului

dinamic ele variaza in timp. In vectorul {D}componentele deplasarilor dupa directia legaturilor structurii pot fi: nule

(legaturi fixe), cunoscute ca marime(cedari de reazeme) sau proportionale cu reactiunile (legaturi elastice), iar in vectorul {P}, componentele corespunzatoare reprezinta fortele din legaturi (reactiuni) necunoscute.

Analiza barei dublu articulate ca element finint in calculul de ordinul I - Bara curenta din structura, considerata element finit, se raporteaza la un sistem de axe

propriu (local) XY si, in fiecare extremitate a sa, se acorda cate un grad de libertate, translatia dupa axa barei.

- Cu cele doua deplasari se construieste vectorul deplasarilor nodale elementale si, in mod corespunzator, vectorul fortelor (eforturilor) nodale (fig. 3a).

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2

1

uu

de ; { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2

1

NN

Se (5)

Page 54: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

54

N2= EAl

lEAN1=

u2=0

u1=1

N2

N1

N2

u2

ux

qx

u1

N1

a) b) c)

Fig. 3

- Campul deplasarilor se aproximeaza printr-un polinom de gradul I, adica se considera ca are o variatie liniara:

( ) =+== )(21 xxuux αα [1 x] ( )[ ]{ }αα

αxP=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

1 (6)

Care trebuie sa exprime deplasarile oricarui punct al elementului finit. Aceasta functie contine cate un coeficient necunoscut αi pentru fiecare grad de libertate al elementului finit. - Parametrii αi, i=1,2 coordonate generalizate) trebuie exprimati prin vectorul {de}, pe baza conditiilor la limita, adica a conditiilor ca valorile functiei de deplasare de la extremitatile elementului finit sa fie egale cu deplasarile acestor extremitati: ux(0)=u1 ; ux=(l)=u2 (7) Din care rezulta:

l

uuu 12

211 ;−

== αα (8)

Astfel ca functia de deplasare 6 devine:

( )xNulxu

lxxuux 121 [1)( =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −== ( ) ( ) { }ei dxN

uu

xN ][]2

12 =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

(9)

Unde ( )xN i , i=1,2 sunt functii de forma (sau de interpolare) Deplasarile ux se exprima deci prin vectorul linie [ ( )xN i ] al functiilor de forma si vectorul deplasarilor nodale elementale; functiile de forma variaza liniar in lungul barei si au valorile unitare sau nule la extremitati (fig. 3b); ele sunt functii de aproximare tip Lagrange.

• Campul deformatiilor specifice, stabilit pe baza relatiei dintre deplasari si deformatiile specifice, are expresia:

( ) 1[1121 −=+−==

luu

ldxdux

xε [ ]{ }edBuu

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

1]1 (10)

Se observa ca deformatiile specifice liniare sunt constante si se exprima prin vectorul deplasarilor elementale.

• Legea fizica (Hooke), care leaga tensiunile de deformatiile specifice. }]{[ exx dBEE == εσ (11)

Unde E – modulul de elasticitate longitudinal si s-a tinut seama de (10). Astfel si tensiunile s-au exprimat prin vectorul deplasarilor elementale.

• Conditia de echilibru static a e.f., exprimata cu ajutorul LMV permite legarea eforturilor nodale de deplasarile nodale. Aceasta conditie se exprima prin relatia:

ULext δδ = , (12)

Page 55: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

55

adica variatia lucrului mecanic exterior este egala cu variatia energiei potentiale de deformare sau altfel spus, eforturile nodale elementale trebuie sa fie static echivalente cu tensiunile interne. Deplasarea virtuala infinitezimala consta dintr-o variatie a deplasarilor nodale elementale{ }edδ , o variatie a campului de deplasari:

1[}{ Nux =δ { } { } Ti

Teei NddN

uu

N ][][]2

12 δδ

δδ

==⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

(13)

in baza rel. (9) si o variatie a campului deformatiilor specifice: { } { } [ ]TT

ee BddB δδδε == }]{[ (14) in conformitate cu rel. (10). - Daca in lungul barei existasi o intensitate de incarcare qx (fig. 3a) atunci variatia lucrului mecanic exterior este:

{ } { } { } ∫∫ ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=++=l

xT

ee

Tl

exxext dxqN

NdSddxquNuNuL

0 2

1

02211 δδδδδδ (15)

sau: { } { } { })( eeT

eext QSdL += δδ (16)

unde: { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧ −= ∫ 1

12

1

0

lqdxq

lx

lx

Q xx

l

e (17)

reprezinta vectorul reactiunior de la extremitatile elementului finit produs de incarcarile qx considerate uniform distribuite. Daca nu exista astfel de incarcari acest vector este nul iar pentru alte tipuri de incarcari reactiunile se determina cu rel. (17). Variatia energiei potentiale de deformare este:

{ }{ } { } [ ] [ ] { } { } [ ]{ }eeT

eeV

TTe

Vx dkdddVBEBddVU

e

δδσδεδ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∫∫

2

(18)

Unde s-a tinut seama de expresiile (11) si (14) ale deformatiei specifice virtuale si a tensiunii; s-a notat:

[ ] [ ] [ ] 1[1

12 −

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

== ∫ lEdVBEBk

eV

Te ⎥

⎤⎢⎣

⎡−−

=∫∫ 1111

]10 l

EAdxdAl

Ae

(19)

care reprezinta matricea de rigiditate a e.f. (bara dublu articulata) Tinand seama de expresiile (16) si (18), conditia de echilibru static: { } { } { } { } [ ]{ }T

eeT

eeeT

e dkdQSd δδ =+ )( (20) sau dupa simplificarea cu [ ]{ } { } { }eeee SQdk =− (21) Care reprezinta relatia fizica elementala sau modelul numeric elemental in sistemul de axe local (propriu), XY, utilizata in calculul static al structurilor cu noduri articulate. Obs. 1 Aceasta relatie elementala poate fi obtinuta si prin procedeul staticii constructiilor astfel (fig. 3.3c): - se da o deplasare u1=1, iar extremitate 2 este blocata (u2= ), in extremitatea 2 reactiunea

este N2=N1= lEA

− ;

- s-a obtinut astfel prima coloana din matricea de rigiditate [ke]; - considerand u1=0 si u2=1 se obtine cea de-a doua coloana. In cazul vibratiilor longitudinale libere neamortizate, in lungul barei actioneaza fortele de inertie: qx=-mü=-ρAüx (22) unde: m – intensitatea de masa (masa pe unitatea de lungime); ρ – densitatea materialului;

A – aria sectiunii transversale;

Page 56: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

56

üx – acceleratia. Tinand seama de expresia deplasarii data de (6), relatia (22) devine: [ ]{ }eix dNmq &&−= (23)

unde { }ed&& - vectorul acceleratiilor nodale elementale. Variatia lucrului mecanic exterior este:

{ } { } [ ] [ ] { }e

lT

e

Tl

exT

xext ddxNNmSddxumuNuNuL &&&& ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−+= ∫∫

002211 }{ δδδδδ (24)

unde s-a tinut seama de (13) si (23); aceste relatii se pot scrie sub forma: { } { } [ ]{ }( )eee

Teext dmSdL &&−= δδ (25)

unde [me] – matricea consistenta a maselor (sau de inertie): 2

21 21

220 02 1 2

x1 1- 2 1l

1 26x 1 l

l l

x xN N N l l mlI m dx m dx

x xN N Nl l

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥= = = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ (26)

Tinand seama de rel. (25) si (28) a lucrului mecanic exterior si a energiei potentiale de deformare, conditia de echilibru dinamic (12) devine: { } { } [ ]{ }( ) { } [ ]{ }T T

e e e e e e ed S m d d k dδ− =&& sau

[ ]{ } [ ]{ } { }e e e e ek d m d S+ =&& (27)

e reprezinta relatia fizica elementala (modelul numeric elemental) in sistemul de axe propriu xy, utilizata in calculul dinamic al structurii din bare.

Obs. 2 In fenomenele dinamice efectul matricei de rigiditate este mai important decat efectul matricei de inertie; de aceea se pot utiliza functii de forma constante, definite prin:

1 1

2 2

l l( ) 1 daca x< ; ( ) 0 daca x2 2

l l( ) 0 daca x ; ( ) 1 daca x2 2

N x N x

N x N x

= = ≥

= ≤ = > (28)

care introduse in (26) conduc la matricea maselor concentrate la extremitatile e.f.

[ ] 1 00 12e

mlm⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

(29)

Relatiile fizice elementale din calculul static sau dinamic (21) sau (27), din sistemul de axe local xy, trebuie trecute in sistemul de axe structural (global sau general); aceasta se face pe baza relatiei de transformare a vectorilor in doua sisteme de axe. In cazul structurilor plane, deplasarea u1 dupa axa x a barei se descompune dupa directiile X si Y ale sistemului de axe global (fig. 4a), rezultand relatia de transformare: O relatie asemmanatoare se obtine pentru deplasarea u2, astfel ca o exprimare matriciala rezulta:

1

11

2 2

2

cos sin 0 0 0 0 cos sin

x

y

x

y

DDu

u DD

α αα α

⎧ ⎫⎪ ⎪

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎩ ⎭

(31)

Page 57: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

57

sau compact { } [ ]{ }e e ed T D= (32) unde [Te] – matricea de transformare elementala; {De} – subvectorul deplasarilor nodale corespunzator nodurilor 1 si 2 pe care le leaga bara.

u1(N1)D1y(S1y)

D1x (S1x)

a

Daca in sistemul de axe general nodurile i,j pe care le leaga bara au coordonatele i(Xi,Yi), respectiv j(Xj,Yj), atunci:

( ) ( )2 2 j jx ; cos = ; sin =i i

j i j i

x y yl x x y y

l lα α

− −= − + − (33)

In cazul structurilor spatiale, matricea detransformare din cele doua sisteme de axe, local si structural (fig. 4b) este:

[ ] xY xZ

xY xZ

C C 0 0 0 0 0 0 C C

xXe

xX

CT

C⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

(34)

unde Cxx, Cxy, Cxz – cosinusii directori ai axei barei (1x) in raport cu axele sistemului structural de axe. Daca in sistemul de axe general nodurile i, j, pe care le leaga bara, au cooordonatele i(Xi, Yi, Zi) respectiv j(Xj, Yj, Zj), atunci:

( ) ( ) ( )2 2 2

j i j i j il x x y y z z= − + − + − (35)

In mod similar se transforma vectorul eforturilor nodale elementale.

{ } [ ]{ }

1

11e

2 2

2

cos sin 0 0 S *

0 0 cos sin

x

ye e

x

y

SSN

T SN S

S

α αα α

⎧ ⎫⎪ ⎪

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪= ⇒ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎩ ⎭

cazul plan (36)

1

1

xY xZ1 1

2 xY xZ 2

2

2

C C 0 0 0 0 0 0 C C

x

y

xX z

xX x

y

z

SS

CN SN C S

S

S

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

cazul spatial {Se}* - vectorul eforturilor (fortelor nodale) elementale in sistemul de axe general. Pentru cele ce urmeaza este necesara legatura inversa dintre {Se}* si {Se} care nu se poate obtine prin inversarea matricei [Te] deoarece aceasta e dreptunghiulara. Se apeleaza la conditia de

Page 58: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

58

echivalenta statica a celor doua sisteme de forte {Se} si {Se}*, exprimata prin LMV; din relatia (31) rezulta ca intre deplasarile virtuale corespunzatoare celor doua sisteme de forte exista relatia: { } [ ]{ }e e ed T Dδ δ= (37) deoarece matricea [Te] are elemente constante. Lucrul mecanic virtual efectuat de sistemul de forte {Se} pe deplasarile virtuale {δde} corespunzatoare este:

[ ] { } { }11 1 2 2 1 2

2

Text e e

NL u N u N u u d S

Nδ δ δ δ δ δ

⎧ ⎫= + = =⎨ ⎬

⎩ ⎭ (38)

iar cel produs de sistemul de forte {Se}* pe deplasarile virtuale corespunzatoare{δDe}, este: { } { }T

ext e eL d Sδ δ= (39) Conditia de echivalenta statica a celor doua sisteme de forte impune egalitatea celor doua expresii, adica: { } { } { } { } { } [ ] { } { } { }* sau * astfel ca T T T T T

e e e e e e e e ed S d S d T S d Sδ δ δ δ= =

{ } [ ] { }* Te e eS T S= (40)

unde s-a tinut seama de (37) si de faptul ca operratia matriciala de transpunere satisface relatia: ( )T T TA B B A⋅ = ⋅ Premultiplicand relatia fizica elementala din calculul static (21) __ [Te]T si tinand seama de (31) rezulta:

[ ] [ ][ ]{ } [ ] { } [ ] { }T T Te e e e e e e eT k T D T Q T S− = ⇒ [ ] { } { } { }* * *e e e ek D Q S− = (41)

care reprezinta relatia fizica elementala (modelul numeric elemental) in sistemul de axe global ({Qe}*=0 daca nu exista incarcari distribuite in lungul barei) utilizata in calculul static al structurilor plane cu noduri articulate. Matricea de rigiditate elementala in sistemul de axe global (dupa efectuarea calculelor) va fi:

[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ]

0 0

0 0

- k*

kT

e e e e

kEAk T k Tl k

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦ (42)

unde

[ ] [ ]

2xx xx2

20 0 xx xy2

2xx xy

C Ccos cos sin

; C Ccos sin sin

C C

xx xy xz

xy xy xz

xz xz xz

C C C

k k C C C

C C C

α α α

α α α

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥⎣ ⎦

(43)

pentru structuri plane pentru structuri spatiale Premultiplicand relatia fizica elementala din calculul dinamic (27) cu [Te]T se obtine: { } [ ] { } [ ]{ }* *e e e e eS k D m D= + (44) care reprezinta relatia fizica elementala in sistemul de axe global, utilizate in calculul dinamic al structurilor din bare cu noduri articulate. Matricea consistenta de inertie in sistemul de axe global, dupa efectuarea calculelor va fi:

[ ] [ ] [ ][ ] 0 0

0 0

2 *

26T

e e e e

k kmlm T m Tk k⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥⎣ ⎦

(45)

sau matricea maselor concentrate:

[ ] 0

0

0*

0 2e

kmlmk

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦ (46)

Page 59: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

59

Asamblarea relatiilor fizice elementale din sistemul de axe general Dupa ce au fost definite caracteristicile celor doua componente ale modelului structural

discretizat – bare si noduri – caracteristicile structurii se vor obtine prin reunirea lor pe baza conditiilor de echilibru.

Se efectueaza mai intai incidenta componentelor vectorului {De} cu componentele corespunzatoare ale vectorului {D}.

La intersectia liniilor si coloanelor componentelor respective se pun termenii matricelor [ke]*, respectiv [me]* si in rest se completeaza cu zero. In fig. 5 se prezinta incidenta si expandarea in cazul structurilor plane cand nodurile i,j au doua grade de libertate; in cazul structurilor spatiale, in nodurile i,j ar mai interveni si deplasarile Diz, Djz.

La fel se procedeaza cu matricea de inertie [me]* si vectorii {Qe}* si {Se}*.

1 1

* * * *11 12 13 14* * * *21 22 23 44

k k k k

k k k k

x y ix iy jx jy nx nyD D D D D D D D⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

L

M M

M

1

1

* * * *31 32 33 34* * * *41 42 43 44

:

:

k k k k

k k k k :

x

y

ix

iy

jx

jy

nx

n

DD

DD

D

D

DD

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

M

M M

y

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Se obtin astfel relatiile elementale expandate:

- pentru calculul static { } { } { }* **e eek D Q S⎡ ⎤ − =⎣ ⎦ (47)

- pentru calculul dinamic { } { } { } { }* **e e ek D m D S⎡ ⎤ + =⎣ ⎦

&& (48)

care sunt raportate la dimensiunea vectorului {D}. Aceste relatii fizice expandate ale tuturor e.f. sunt sumate si egalate cu vectorul actiunilor nodale {P}, obtinandu-se: [ ]{ } { } { }k D P Q= + pentru calculul static (49) [ ]{ } [ ]{ } { }k D M D P+ =&& pentru calculul dinamic (50) care reprezinta relatiile fizice structurale (modelele numerice structurale). Prin aceste operatii de sumare si egalare cu {P} se realizeaza conditia de echilibru a nodurilor, in care eforturile {Se}* echilibreaza actiunile exterioare {P}; eforturile din bare in calculul static constau din eforturile elastice [ke]*{De} si reactiunile produse de incarcarile din lungul barei {Qe}*, iar in cazul dinamic constau din eforturile elastice si cele de inertie [me]*{De}. Matricea [k] din rel. (49) si (50) reprezinta matricea de rigiditate a structurii si este singulara pentru ca structura se poate deplasa ca un rigid.

Introducerea conditiilor de rezemare Aceasta presupune ordonarea vectorilor {D} si {P} astfel:

{ } { } ; n n

r r

D PD P

D P⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(51)

Page 60: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

60

[ ]{ } { } { }[ ]{ } { } { }

nn n n n

rn n r r

k D P Q

k D P Q

= +

= +

unde {Dn} – subvectorul deplasarilor nodale libere (necunoscute); {Pn} – subvectorul actiunilor nodale exterioare corespunzatoare; {Dr} – subvectorul deplasarilor dupa directiile legaturilor structurii; {Pr} – subvectorul reactiunilor din legaturile respective. Cazul cel mai frecvent intalnit in practica este cel al legaturilor fixe (rigide), astfel ca deplasarile corespunzatoare sunt nule ({Dr}=0). In mod similar trebuie rearanjate matricele [k] si [M], prin mutarea liniilor si coloanelor respective, astfel ca relatiile (49) si (50) devin:

nr

rr

k k 0

nn n nn

rn r r

k P QDk P Q

+⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫= ⇒⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ +⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

(52)

sau, pentru calculul dinamic

nr nr

rr rr

k M,

k M0 0nn nn nn n

rn rn r

k M PD Dde unde

k M P⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫

+ = ⇒⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

&& (53)

[ ]{ } [ ]{ } { }[ ]{ } [ ]{ } { }

nn n nn n n

rn n rn n r

k D M D P

k D M D P

+ =

+ =

&&

&& (54)

Calculul static se efectueaza pe baza relatiei (52) si rezulta: {Fn}

- deplasarile: { } [ ] { } { }( )1n nn n nD k P Q−= + (55)

- reactunile: { } [ ]{ } { }r rn n nP k D Q= − (56) - eforturile in sistemele de axe global si local { } [ ] { } { } { } [ ]{ }* * ; *e e e e e e eS k D Q S T S= − = (57) astfel ca problema de calcul static este complet rezolvata. Calculul dinamic se efectueaza pe baza primei relatii din (54) prin metode de integrare numerica specifice. De asemenea, calculul dinamic se poate efectua prin analiza modala, care presupune determinarea caracteristicilor dinamice a structurii, ce definesc vibratiile libere ({Pn}=0): - frecventele proprii; - vectorii (formele proprii) de vibratie. In acest scop, pentru deplasari se presupun variatii armonice in timp: { } { } ( )0 sinn nD D Tω ϕ= + (58) unde {Dn

0} – vectorul amplitudinilor, ω – pulsatia (frecventa circulara), φ – unghiul de defazare. Introducand (58) in prima relatie (54) se obtine: [ ] [ ]( ){ }2 0 0nn nn nk M Dω− = (59) ce reprezinta o problema de valori si vectori proprii generala. Prin rezolvarea acestei probleme se obtin matricele spectrala si modala:

[ ] [ ] [ ]i 1

; ...

nω φ φ φ⎡ ⎤⎢ ⎥Ω = =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

O

O (60)

folosite in analiza dinamica a structurilor prin metoda suprapunerii modale.

Page 61: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

61

2.5.2. ANALIZA STRUCTURILOR DIN BARE CU NODURI RIGIDE PRIN

M.E.F Structurile de rezistenta din bare cu noduri rigide numite si cadre, sunt alcatuite din stalpi si grinzi (rigle). Analiza unor astfel de structuri comporta: -determinarea starii de deformare si de eforturi indusa de actiuni statice in barele structurii,printr un calcul de ordinul I(conditia de echilibru este scrisa pe structura nedeformata)sau de ordinul al II-lea(se tine seama de influenta fortei axiale asupra deformatiei din incovoiere); -determinarea caracteristicilor dinamice sau determinarea variatiei in timp a deplasarilor si eforturilor(time history)din structura printr un calcul de ordinul I; -stabilirea incarcarii critice de pierdere a stabilitatii echilibrului prin divergenta. CALCULUL STATIC SI DINAMIC,GEOMETRIC LINIAR(DE ORDIN I) PRIN METODA ELEMENTULUI FINIT In principiu trebuie parcurse aceleasi etape ca la calculul structurilor cu noduri articulate.

• Stabilirea modelului structural discretizat cu numar finit de grade de libertate Structura din bare se raporteaza la sistemul de axe structural(general sau global)plan xy sau spatial xyz(figura 1 a,b)

a)

b) Fig. 1

• Discretizarea modelului structural in elemente finite(bare) si noduri naturala(evidenta);totusi,daca bara are sectiunea variabila(in trepte sau sub alta forma) se

Page 62: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

62

introduc noduri rigide suplimentare celor naturale(intersectii stalp-rigla)si plasate in lungul barelor

• Fiecarui nod i se acorda cate 3 GDL pentru structura planului (translatiile dupa axele x, y -Dix,Diy si rotirea Diθ-in raport cu axa perpendiculara pe planul xy si sensul pozitiv anterior (fig 1.b) si bare GDL pentru structura spatiala(translatiile Dix,Diy,Diz si rotirile Diθx,Diθy,Diθz cu sensul pozitiv corespunzator regulei burghiului (fig 1a).Vectorii deplasarilor nodale vor fi formati din n subvectori 1, 2{ } { ,....., ,....., }T

i nD D D D D= (1)

cu trei componente ptr plan { , , }Ti xi yi iD D D Dθ= (1a)

si cu sase componente pentru spatiu { , , , , , }i xi yi zi xi yi ziD D D D D D Dθ θ θ= (1b) unde n-numarul nodurilor modelului discretizat , incluziv al celor de reazem cunoscute :nule,daca legaturile sunt fixe(rigide),cu marime precizata daca legaturile au suferit cedari sau cu marime proportionala cu reactiunile,daca legaturile sunt flexibile

• In mod corespunzator se construieste vectorul actiunilor nodale{P},format din „n”

subvectori cu 3 respectiv 6 componente: 1 2{ } { , ,..., ,..., }Ti nP P P P P= (2)

unde pentru plan { } { }Ti ix iy iP P P M= (2a)

iar pentru spatial { } { }Ti ix iy iz ix iy izP P P P M M M= (2b)

In vectorul {P} reactiunile din legaturile structurii sunt necunoscute si toate celelalte componente sunt actiunile exterioare date

Analiza barei ca element finit • Bara curenta din structura se raporteaza la un sistem de axe propriu (local)plan,xy,sau

spatial,xyz,cu originea intr o extremitate(fig 2a,b) • Fiecarei extremitati a barei i se acorda cate 3 GDL,pentru bara plana(translatiile u,v dupa

axele x,y si rotirea θ in raport cu axa perpendiculara pe planul xy si sensul pozitiv antiorar-fig 2a)si 6 GDL pentru bara din structura spatiala(translatiile u,v,w dupa cele 3 axe si rotirile respective, xθ -din torsiune, zsi yθ θ din incovoiere) Cu aceste deplasari se construiesc vectorii deplasarilor elementale cu 6 componente ,respectiv 12 componente

1 1 1 2 2 2{ } { } Ted u v u vθ θ= in plan (3a)

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2{ } { } Te x z y x z yd u v w u v wθ θ θ θ θ θ= in spatiu (3b)

Page 63: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

63

Fig. 2 In mod corespunzator se alcatuiesc vectorii elementali ai eforturilor(fortelor)elementale:

e 1 1 1 2 2 2{S } { Q M N Q M } TN= in plan (4a)

e 1 y1 z1 x1 z1 y1 2 y2 z2 x2 z2 y2{S }={N Q Q M M M N Q Q M M M } in spatiu (4b) • Campul deplasarilor dintr o bara a structurii plane se aproximeaza prin polinoame de gradul I

pentru deplasarea dupa axa barei si de gradul al III –lea pentru deplasarea transversala,astfel ca:

1

2

32 3

42

5

6

( ) 1 0 0 0 0{ ( )} ( ) 0 0 1 [ ( )]{ } (5a)

( ) 0 0 0 1 2 3

u x xd x v x x x x P x

x x x

ααα

αα

θαα

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Unde s-a tinut seama ca θ(x)=v’(x). Pentru bara din structura spatiala,campul deplasarilor se aproximeaza prin urmatoarele polinoame:

1

2

3

42 3

52 3

6

72

82

9

10

11

12

( ) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( ) 0 0 1 0 0 0 0 0 0( ) 0 0 0 0 0 0 1 0 0

{ ( )}( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1( ) 0 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0( ) 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 0 0

x

z

y

u x xv x x x xw x x x x

d xx xx x xx x x

αααααα

θ αθ αθ α

ααα

⎧⎪⎪⎪⎪

⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= = ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎣ ⎦⎩ ⎭

[ ( )]{ } (5b)P x α

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎬⎪⎪⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

⎭ Unde s-a tinut seama ca zθ (x)=v’(x) si yθ (x)=w’(x).

Se observa ca in polinoamele alese,numarul coeficentilor generalizati αi coincide cu numarul GDL al barelor respective.

• Deplasarile generale anterioare,{d(x)},se exprima prin deplasarile nodale,{d}, pe baza conditiilor la limita,deoarece deplasarile nodale reprezinta valorile deplasarilor generale pt x=o si x=l;pentru cazul plan,din relatia (5a)rezulta:

Page 64: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

64

1 1

2 21 2

3 32 31 2

4 421 2

5 5

6 6

u 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0{d(0)}= v 0 0 1 0 0 0 ;{ ( )} 0 0 1 (6)

0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 3

u ld l v l l l

l l

α αα αα αα α

θ θα αα α

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

care se scriu in forma matriceala mai compacta astfel:

1 1

1 2

1 3

2 42 3

2 52

2 6

1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0

(0) 0 0 0 1 0 0{ } [ ]{ } (7)

( ) 1 0 0 0 00 0 10 0 0 1 2 3

e

uv

dd A

d l u lv l l l

l l

αα

θ αα

αα

θ α

⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = => =⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

Procedand similar pentru cazul spatial rezulta din (5b):

2 3

2 3

2

2

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

[ ]1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 2 3 0 0

Al

l l ll l l

ll l

l l

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(8)

Vectorul parametrilor necunoscuti {αi}poate fi obtinut prin inversarea relatiei (7)

1{ } [ ] { }eA dα −= (9)

Page 65: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

65

1

2 2

3 2 3 2

1 0 0 0 0 0

1 10 0 0 02

0 1 0 0 0 0[ ]

0 0 1 0 0 0

3 2 3 10 0

2 1 2 10 0

l

A

l l l l

l l l l

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

-pentru cazul plan (10a)

iar pentru cazul spatial:

2 2

3 2 3 21

2 2

3 2 3 2

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

3 2 3 10 0 0 0 0 0 0 0

2 1 2 10 0 0 0 0 0 0 0[ ]

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

3 2 3 10 0 0 0 0 0 0 0

2 1 2 10 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0

l l

l l l l

l l l lA

l l l l

l l l l

l l

⎡⎢⎢⎢ −⎢⎢⎢⎢⎢

− −

−=

− −

−⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

(10b)

Introducand (9) si (10a) in functiile de deplasare din (5a),fara a considera insa si functia rotire ,care este derivata sagetii,se obtine pentru cazul plan

Page 66: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

66

1

1

1 2 12 3

21 2 3 4

2

22 2

3 2 3 2

1 0 0 0 0 0

1 10 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0( ) 1 0 0 0 0{ ( )}

( ) 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0

3 2 3 10 0

2 1 2 10 0

redus

ul lv

N Nu x xd x

uv x x x x N N N Nv

l l l l

l l l l

θ

θ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎧ ⎫⎢ ⎥

⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎢ ⎥= = = ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎭− −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

sau { ( )} [ ( )]{ }redusi ed x N x d= (11)

unde -{ ( )}iN x matricea functiilor de forma

1 2

2 3 2 31 22 3 2

2 3 2 33 42 3 2

( ) 1 ; ( )

3 2 2 1( ) 1 ; ( ) (12)

3 2 1 1( ) ; ( )

x xN x N xl l

N x x x N x x x xl l l l

N x x x N x x xl l l l

= − =

= − + = − +

= − = − +

Care reprezinta functiile de forma cunoscute din cursurile precedente. La fel,pentru cazul spatial rezulta:

1

1

1

1

1 2 1

11 2 3 4

21 2 3 4

21 2

2

2

2

2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( )( ) 0 0 0 0 0 0 0 0

{ ( )} (13)( ) 0 0 0 0 0 0 0 0( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

x

z

yredus

x

x

z

y

uvw

N Nu xv x N N N N

d xuw x N N N Nvx N Nw

θθθ

θ

θθθ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

cu aceleasi functii de forma. Campul deplasarilor se exprima astfel prin deplasarile nodale

{ ( )} [ ( )]{ }redusi ed x N x d= (14)

• Relatiile dintre deformatiile specifice si deplasari permit exprimarea campului deformatiilor specifice prin vectorul deplasarilor nodale.Pentru bara dintr o structura plana solicitata la intindere(compresiune) si incovoiere plana,in calculul de ordinul I deformatia specifica

Page 67: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

67

liniara a unei fibre aflata la distanta y de planul neutru este data de relatia: 2

2u v

x x xdu d vydx dx

ε ε ε= + = − (15)

Primul termen corespunde solicitarii de indindere (compresiune),iar cel de al doilea termen corespunde incovoierii,asa cum rezulta din figura 3a,ce reprezinta incovoierea unui element infinit zecimal de bara;dreapta BC este paralela cu OA si deci CD reprezinta alungirea fibrei de la distanta y de planul neutru.Din asemanarea triunghiurilor curbilinii OAB si BCD rezulta:

v3

2 2

'' sau ''[1 ( ') ]

vx x

y vy yvv

ε ερ

±= = = −

+ (16)

pentru ca se poate neglija 2( ')v in raport cu 1. Pentru bara dintr o structura spatiala,solicitata la intindere(compresiune)cu incovoiere oblica si torsiune libera,deformatiile specifice,liniara si unghiulara,vor fi exprimate prin:

2 2

2 2 ; (17)u v w xx x x x

ddu d v d wy z rdx dx dx dx

θε ε ε ε γ= + + = − − =

Fig. 3

Unde in xε s-a adaugat termenul datorat si incovoierii din plan xz,iar pentru γ relatia rezulta din figura 3b:

' xBB dx rdγ θ= = (18) Tinand seama ca sectiunea s-a rotit cu dθx. Introducand (14) in (16)sau (17) ⇒def. specifice exprimate prin deplasarile nodale elementale{ }cd ;ptr bara din structura plana rezulta:

1

1

11 1 2 2 3 4

2

2

2

' '' '' ' '' '' [ ]{ } (19a)x e

uv

N yN yN N yN yN B duv

θε

θ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤= − − − − =⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

respectiv

Page 68: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

68

{ } 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4

1 2

' '' '' 0 '' '' ' '' '' 0 '' ''{ } (19b)

0 0 0 ' 0 0 0 0 0 ' 0 0x

e

N yN zN yN zN N yN zN yN zNd

rN rN

εε

γ

⎡ ⎤− − − − − − − −⎧ ⎫= =⎢ ⎥⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎢ ⎥⎣ ⎦

pentru bara din structura spatiala .General e{ }=[B]{d }ε⇒ (19c)

• Tensiunile din bara se evalueaza cu ajurotul deformatiilor specifice din (19) prin legea fizica de comportare a materialului(legea lui Hook)

o pentru bara din structura plana [ ]{ }x x eE E B dσ ε= = o pentru bara din structura spatiala:

e[ ][ ]{ } { }=[E][B]{d } (20)x xe

E OE B d

O Gσ ε

στ γ

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

• Conditia de echilibru a barei exprimata cu ajutorul principiului LMV

extL Uδ δ= (21) adica variatia lucrului mecanic exterior trebuie sa fie egala cu variatia energiei potentiale de deformare. Deplasarea virtuala se obtine printr o variatie infinitezecimala a deplasarilor nodale elementale { }edδ si a functiilor de deplasare { ( )} [ ( )]{ } (22)i cd x N x dδ δ= care in baza relatiilor (14)si (19)produc o variatie a deformarii specifice: { } [ ]{ }cB dδε δ= (23) In cazul calculului static,efectueaza lucru mecanic virtual exterior eforturile de la capetele elementului finit si incarcarile distribuite in lungul sau,pe deplasarile corespunzatoare.Daca se noteaza cu {p(x)} vectorul intensitatilor incarcarilor din lungui barei,atunci:

( )0 0

{ } { } { ( )} { ( )} { } { } [ ( )] { ( )} (24)

{ } { } { }

l lstatic T T T T

ext e e c c i

static Text e e e

L d S d x p x dx d S N x p x dx

L d S Q

δ δ δ δ

δ δ

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠= −

∫ ∫

unde s-a tinut seama de (22) si de relatia ([ ][ ]) [ ] [ ]T T TA B B A= . Pentru cazul plan,vectorul intensitatilor incarcatorilor are 2 componente(fig 2.a),iar pentru bara din structura spatiala are 4 componente(fig.2b).Tinand seama de(11)-plan sau (14)-spatial rezulta: -plan

11

11

22

0 0 22

33

44

0

0

( )0{ } { } { } { } { } {

( )0

0

0

x

y

l lx ystatic T T T

ext e e e e e ey x

y

y

p NNp NN

p x p NNL d S dx d S d S

p x p NN

p NNp NN

δ δ δ δ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎢ ⎥

⎧ ⎫ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥= − = − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎩ ⎭⎝ ⎠

∫ ∫ ( )} { } (25a)eQ−

-spatial

Page 69: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

69

1

1

1

1

2

2

0 0 2

3

3

2

4

4

{ } { } [ ( )] { } { }

x

y

z

x

yxl l

y zstatic T T Text e e i e e

z x

xy

z

x

y

z

p N

p N

p N

m N

p Npp p N

L d S N x dx d S dxp p Nm p N

p N

m N

p N

p N

δ δ δ

⎛ ⎧ ⎫⎜ ⎪ ⎪⎜ ⎪ ⎪⎜ ⎪ ⎪⎜ ⎪ ⎪⎜ ⎪ ⎪⎜ ⎪ ⎪⎜ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎜ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎜ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟= − = −⎜⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎝ ⎠ ⎜ ⎪ ⎪⎜ ⎪ ⎪⎜ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎝

∫ ∫ ( ){ } { } { } (25b)Te e ed S Qδ

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟= −⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

unde { }eQ -vectorul reactiunilor de bara dublu incastrata produsa de actiunile exterioare distribuite in lungul barei. Pentru incarcari uniform distribuite,componentele vectorului reactiunilor obtinut prin efectuarea integralelor din (25a) respectiv (25b) vor fi:

1

21

1

2

2

2

2

2

2

12{ }

2

2

12

x

y

y

e

x

y

y

lp

lpHV lpM

Q planH lpV

lM p

lp

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎩ ⎭

;

Page 70: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

70

2

1

1

21

1

21

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

12

12{ }

2

2

2

2

12

12

x

y

z

x

yx

z

zy

e

x

yx

zz

y

x

y

z

lp

lp

lpH

lmVW lpMM lpM

QH lpVW lpM

lM pM

lm

lp

lp

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪⎪−⎩ ⎭

(26)spatiala−

⎪⎪

Pentru alte incarcari se pot utiliza tabelele cu reactiuni din statica.Intensitatiile incarcarilor s-au considerat pozitive cand actioneaza invers deplasarilor ,dupa conventia din R.M. si de aceea LMV efectuat de aceste incarcari este negativ. In cazul calculului dinamic,campul deplasarilor depinde de variabilele spatiale si temporale,iar lucrul mecanic virtual exterior este efectuat de eforturile elementale si fortele de inertie distribuite in lungul barei,in functie de distributia masei si a acceleratiilor{ ( , )} { ( , )} [ ( )]{ ( )} (27)in i ep x t m d x t m N x d t= − = −&& && unde s-a tinut seama de relatia(14)si ca functiile de forma depind numai de abcisa x,iar deplasarile nodale depind numai de timp. Rezulta ptr LMV exterior expresia:

( )0 0

0

{ } { } { ( )} { ( , )} { } { } { } [ ( )] [ ( )] { }

{ } { } ( [ ( )] [ ( )] ){ }

l ldinamic T T T T T

ext e e in e e e i i e

lT T

e e i i e

L d S d x p x t dx d S d N x m N x dx d

d S m N x N x dx d

δ δ δ δ δ

δ

⎛ ⎞= − = + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

&&

&&

{ } ( ) [ ]{ }dinamic Text e e e eL d S m dδ δ= − && (28)

Page 71: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

71

unde [ ]em reprezinta matricea de inertie elementala(matricea maselor)

0

[ ] [ ( )] [ ( )]l

Te i im m N x N x dx= ∫ (29)

In cazul barei din structura plana,tinand seama de (11)rezulta: 2

1 1 2121 1 2 1 3 1 41

22 1 2 2 1 2 2 3 2 4

20 02 1 2 3 4 1 2 2

23 3 1 3 2 3 3 4

24 4 1 4 2 4 3 4

0 0 0 000 00

0 0 0 0 0 0 0[ ]

0 0 0 0 0 0 00 0 00 0 0

l l

e

N N NNN N N N N N NN

N N N N N N N N N Nm m dx m

N N N N N N N NN N N N N N N NN N N N N N N N

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫ (30)

sau daca se considera masa uniform distribuita(bara avand sectiunea constanta m=ρA)),dupa efectuarea calculelor,se obtine matricea de inertie consistenta elementala sub forma:

3 2

2 2

1 10 0 0 03 6

13 11 17 130 035 210 210 42011 13 30 0210 105 420 420[ ] (31)

1 10 0 0 06 3

17 13 13 110 0210 420 35 21013 3 110 0

420 420 210 105

e

l l

l l l l

m ml

l l

l l l l

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

care surprinde efectul vibratiilorlongitudinale si transversale plane necuplate intre ele;evident ca se poate renunta la vibratiile longitudinale si atunci prima si a patra linie si coloana din matrice vor avea toate elementele nule. Observatie.Pentru ca influenta matricei de inertie asupra raspunsului structurii este mai mic decat cel al matricei de rigiditate,pentru determinarea matricei de inertie se pot folosi si -------- v(x) functii de forma liniare: 21 1 2 3 4( ) ( ); ( ) 0; ( ) ( ); ( ) 0 (32)N x N x N x N x N x N x= = = = care indroduse in relatia(30) conduce la:

Page 72: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

72

1 10 0 0 03 6

1 10 0 0 03 6

0 0 0 0 0 0[ ] (33)

1 10 0 0 06 3

1 10 0 0 06 3

0 0 0 0 0 0

em ml

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ce reprezinta matricea semiconsistenta a maselor. Se pot defini functii de forma unitare,definite pe jumatate de deschidere pentru amblele deplasari u(x) si v(x) si atunci se obtine

1 10 0 0 02 2

1 10 0 0 02 2

0 0 0 0 0 0[ ] (34a)

1 10 0 0 02 2

1 10 0 0 02 2

0 0 0 0 0 0

em ml

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ce reprezinta matricea maselor concentrate.

Similar se obtine [ ]em pentru bara din structura spatiala

Page 73: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

73

2 2

2 2

1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 03 6

13 11 17 130 0 0 0 0 0 0 035 210 210 420

13 11 17 -13l0 0 0 0 0 0 0 035 210 210 420

1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 03 6

11 13 30 0 0 0 0 0 0 0210 105 420 420

11 13 30 0 0 0 0 0 0 0210 105 420 420[ ]

1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 06 3

17 13 13 110 0 0 0 0 0 0210 420 35 2

e

l l

l

l l l l

l l l l

m ml

l l

=

− −

2 2

2 2

010

17 13 13 110 0 0 0 0 0 0 0210 420 35 210

1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 06 3

13 3 11 l0 0 0 0 0 0 0 0420 420 210 105

13 3 11 l0 0 0 0 0 0 0 0420 420 210 105

l l

l l l

l l l

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥−⎣ ⎦

(34b)

Ca si in cazul barelor din structura plana se pot stabili ptr bara din structura spatiala matrice de inertie semiconsistente sau matrice de inertie cu mase concentrate

• Variatia energiei potentiale de deformare,care se inmagazineaza in bara,indiferent de tipul actiunii exterioare este

T Te e e e

v v

U= { } { } { } [ ] [ ][ ] {d }={ d } [ k ]{d } (35) T TedV d B E B dVδ δε σ δ δ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

unde s-a tinut seama de (20) si (23)si s-a notat matricea de rigiditate elementala

[ ] [ ] [ ][ ]Te

v

k B E B dv= ∫ (36)

In cazul barei din structura plana

1

1

221 1 2 3 4

2

3

4

'

''

''[ ] [ ' '' '' N ' '' '' ]

'

''

''

ev

N

yN

yNk E N yN yN yN yN dx

N

yN

yN

⎧ ⎫⎪ ⎪−⎪ ⎪

⎪ ⎪−⎪ ⎪= − − − −⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪−⎩ ⎭

Page 74: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

74

221 1 1 1 2 1 1 3 1 4

2 2 2 2 21 1 1 1 2 1 2 1 3 1 4

2 2 2 2 21 2 1 2 2 2 2 1 3 2 4

22 21 2 2 2 2 2 3

' ' '' ' '' ' ' ' '' ' ''

' '' '' '' '' '' ' '' '' '' ''

' '' '' '' '' '' ' '' '' '' ''[ ]

' ' '' ' '' ' ' ' ''e

N yN N yN N N N yN N yN N

yN N y N y N N yN N y N N y N N

yN N y N N y N yN N y N N y N Nk

N N yN N yN N N yN N y

− − − −

− −

− −=

− − − −0 2 4

2 2 2 2 2 21 3 1 3 2 3 2 3 3 3 4

2 2 2 2 21 4 1 4 2 4 2 4 3 4 4

(' ''

' '' '' '' '' '' ' '' '' '' ''

' '' '' '' '' '' ' '' '' '' ''

l

N N

yN N y N N y N N yN N y N y N N

yN N y N N y N N yN N y N N y N

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥

⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

Tinand seama ca 20, (38)z

A A

ydA y dA I= =∫ ∫

si de expresiile functiilor de forma (12),dupa efectuarea integralelor⇒

3 2 3 2

2 2

z

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 4 6 20 0[ ] ;I=I

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 2 6 40 0

e

EA EAl l

EI EI EI EIl l l lEI EI EI EIl l l lk

EA EAl l

EI EI EI EIl l l lEI EI EI EIl l l l

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−

− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

(39)

Pentru o bara dintr o structura spatiala matricea de rigiditate se obtine in mod similar si are dimensiunea 12x12:

Page 75: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

75

2 23 2 3 2

3 2 3 2

2 2 22 2

2 2

23

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

12 6 12 60 0 0 0 0 0 0 0

12 6 12 60 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 4 6 20 0 0 0 0 0 0 0

6 4 6 20 0 0 0 0 0 0 0[ ]

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

120 0 0

Z Z

Y Y Y Y

t t

z

Y Y Y Y

e

EA EAl l

EI EI EI EIl l l l

EI EI EI EIl l l l

GI GIl l

EI EI EI EIl l l l

EI EI EI EIl l l lk

EA EAl l

EIl

−=

− 22 3 2

3 2 3 2

22 2

2 2 2

6 12 60 0 0 0 0

12 6 12 60 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 2 6 40 0 0 0 0 0 0 0

6 2 6 40 0 0 0 0 0 0 0

Z Z

Y Y Y Y

t t

Z Z Z

Y Y Y Y

EI EI EIl l l

EI EI EI EIl l l l

GI GIl l

EI EI EI EIl l l l

EI EI EI EIl l l l

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢⎢⎢ − −⎢ −⎢⎢

−⎢⎢⎢

−⎢⎢

−⎢⎢⎣ ⎦

(40)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

Introducand expresiile variatiei llucrului mecanic exterior static si a variatiei energiei potentiale de deformare in cond. de echilibru,se obtine:

e e e e

{ } ({ } { }) { } [ ]{ } (41a)

[k ]{d }={S }-{Q } (41)

T Te c e e e ed S Q d k dδ δ= − =

care reprezinta relatia fizica a e.f. in sistemul de referinta local(modelul numeric elemental)pentru calculul static al structurilor. Relatia fizica elementala pentru calculul dinamic rezulta:

[ ]{ } [ ]{ } { } (42)e e e e ek d m d S+ =&&

• Relatiile fizice elementale din sistemul de axe local trebuie trecute in in sistemul de axe general(structural),in vederea scrierii cond. de echilibru pentru intreaga structura.In cazul plan,deplasarile 1, 1 1,u v θ din sist de axe local au componentele , ,xi yi iD D θ in sistem de axe general si conf fig 4.:

1

1

cos sinsin cos (43)

xi yi

xi yi

i

u D Dv D D

α α

α α

θ

= +

= − +

=

Figura 4

Page 76: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

76

Relatii similare se scriu si pentru nodul 2 astfel ca:

1

1

1

2

2

2

cos sin 0 0 0 0sin cos 0 0 0 00 0 1 0 0 0

{ } [ ]{ }0 0 0 cos sin 00 0 0 sin cos 00 0 0 0 0 1

xi

yi

ie e e

xi

yi

j

DuDvD

d T DDuDvD

θ

θ

α αα α

θα αα α

θ

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪= → =⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

La fel se face transformarea eforturilor intre cele 2 sisteme de axe

e e e{ } [ ]{ } * ( ) {Q }= [T ]{Q }*e e eS T S b= (44) si a reactiunilor produse de actiunile distribuite in lungul barei.Elementele matricii [Tc] de transformare din sistemul de axe local in sistemul de axe general,se calculeaza cu coordonatele nodurilor:

j2 2 y( ) ( ) ; cos ; sin = (45)j i i

j i j i

x x yl x x y y

l lα α

− −= − + − =

Relatiile fizice transformate in sistemul de axe general se scriu:

e e e e ea) { }* [ ]*{ } { }* {S }*=[k ]*{D }+[m ]*{D } b) e e e eS k D Q= + (46) unde matricele de rigiditate si de inertie ale barei in sistemul general:

Te e[ ]* [ ] [ ][ ] ; [m ]*=[T ] [ ]{ }T

e e e e e ek T k T m T= (47) Matrice de transformare se mai poate scrie:

00

0

cos sin 0[ ] [0]

[ ] cu T sin cos 0[0] [ ]

0 0 1e

TT

T

α αα α

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

-plan a)

si spatial (48)

[ ]

0xx

00

0

0

[ ] 0 0 0C

0 [ ] 0 0[ ] cu [T ]=

0 0 [ ] 00 0 0

xy xz

e yx yy yz

zx zy zz

TC C

TT C C C

TC C C

T

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

b)

Ansamblarea relatiilor fizice elementale -expandare -sumare

a)expandare { }* [ ]*{ } { }*

{ }* [ ]*{ } [ ]*{ }

ee e

e ee

S k D Q static

S k D m D dinamic

= + −

= + −&& (49)

b)sumare e[ ] [ ]*; [ ] [ ]*; {Q}= {Q }*e ek k M m= =∑ ∑ ∑ (50) Rzulta relatiile fizice structurale: [ ]{ } { } { } { }[ ]{ } [ ]{ } 0k D F P Q statick D M D dinamic

= = − −

+ = −&& (51)

Page 77: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

77

3. METODA ELEMENTELOR FINITE ÎN ANALIZA CONTINUULUI MATERIAL

O problemă importantă în extinderea metodei elementelor finite la sistemele structurale

continue (plane şi spaţiale) o constituie faptul că acestea nu prezintă linii materiale care să indice modul de alegere a elementelor finite ca în cazul structurilor din bare. Câmpurile de deplasare, de tensiune şi de deformaţie din sistemele structurale supuse la diverse acţiuni pot fi descrise cu ajutorul unor ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale. Formele variate ale structurilor, modul de rezemare, cuplarea elementelor componente, neomogenităţile şi anizotropia, complexitatea acţiunilor, etc., nu permit să se obţină totdeauna soluţii analitice şi, mai ales, soluţii simple, care să poată fi utilizate în practică. De aceea MEF constituie un instrument puternic, care permite abordarea celor mai complexe situaţii reale, folosind ca instrument de lucru calculatorul.

În cazul structurilor continue divizarea în elemente finite este întrucâtva arbitrară, dar necesită introducerea în studiu a unor aspecte noi, specifice. Structura idealizată se discretizează în subdomenii disjuncte, prin linii în cazul plan (bidimensional) şi prin suprafeţe în cazul spaţial (tridimensional). Aceste subdomenii, asupra cărora se fac unele conjecturi şi cărora li se atribuie o serie de proprietăţi specifice problemelor abordate, se numesc elemente finite, ca şi în cazul structurilor din bare.

Frontierele dintre elementele finite sunt linii, respectiv plane, iar intersecţiile lor determină puncte nodale. Fiecărui punct nodal i se ataşează un număr minim de grade de libertate (cinematică): două în plan şi trei în spaţiu. Gradele de libertate deplasări ataşate nodurilor sunt de ordinul I. Prin considerarea şi a altor mărimi, ca de exemplu a derivatelor de ordinul I şi chiar de ordinul al II-lea, se introduc grade de libertate de ordin superior.

Nodurile determinate de intersecţia liniilor şi/sau suprafeţelor de diviziune se numesc primare, dar se pot utiliza şi puncte de conexiune suplimentare, situate pe liniile de intersecţie, respectiv pe suprafeţele de intersecţie, numite noduri externe secundare sau se pot folosi puncte interne nelegate de alte elemente finite.

Gradul de nedeterminare cinematică nc a structurii discretizate (partiţionată în elemente finite) este dat de numărul de puncte nodale n, de numărul de grade de libertate al unui nod l şi de numărul de deplasări nodale impuse r. Dacă l este acelaşi pentru orice nod, nc se calculează cu relaţia:

rnlnc −= (1) Gradul de nedeterminare cinematică este deci egal cu numărul de deplasări nodale

necunoscute. Elementele finite individuale se consideră acţionate de încărcările de pe suprafaţă, forţele

masice, eventual de temperatură, de forţele de interacţiune care iau naştere pe frontierele de contact. Toate aceste acţiuni se pot înlocui echivalent cu forţe situate numai în noduri. Echivalenţa rezultă din principiul de minim al energiei potenţiale totale sau din teorema lucrului mecanic virtual. Se obţine astfel o relaţie de conexiune între forţele nodale echivalente şi deplasările nodale. Pentru materiale liniar elastice relaţia dintre vectorul forţelor nodale echivalente şi vectorul deplasărilor nodale este de proporţionalitate şi se realizează prin intermediul matricei de rigiditate a elementului.

Reconstituirea sau asamblarea structurii se face cu păstrarea proprietăţilor topologice ale sistemului discretizat, prin cuplarea elementelor finite pe baza condiţiilor de continuitate şi a condiţiilor de echilibru exprimate direct sau cu ajutorul lucrului mecanic virtual. Rezultă astfel un sistem de ecuaţii având ca necunoscute deplasările nodale. Coeficienţii acestui sistem formează matricea de rigiditate a structurii, corespunzătoare discretizării adoptate. Cunoaşterea deplasărilor nodale permite determinarea stării de deformaţie şi a stării de tensiune din structură.

Elementele finite unidimensionale au două noduri la extremităţi (fig. 1 a), în timp ce cele bi- şi tri- dimensionale au mai multe noduri, în funcţie de gradul de rafinare al metodelor de analiză (fig. 1 b, c, d, e, f, g).

Page 78: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

78

Fig.1

Continuitatea în structură la elementele unidimensionale se realizează numai în noduri (fig. 2 a). În cazul structurilor cu elemente bi- şi tri- dimensionale se poate realiza un anume grad de continuitate şi între noduri, pe laturile sau feţele adiacente (fig. 2 c, d).

Fig.2

În funcţie de modul de asigurare a continuităţii în structură elementele finite sunt: 1. elemente finite neconforme, care realizează continuitatea numai în noduri; 2. elemente finite conforme, care realizează continuitatea în noduri şi între noduri, pe

frontierele dintre elementele finite şi care, la rândul lor, pot fi: a) elemente finite cu deplasări conforme sau geometric-compatibile, la care în lungul

frontierelor comune se menţine continuitatea în deplasări; b) elemente finite cu tensiuni conforme, la care pe frontierele comune dintre elemente,

tensiunile în acelaşi punct sunt egale; c) elemente finite cu conformare mixtă, la care în lungul frontierelor comune continuitatea

se realizează parţial în deplasări şi partial în tensiuni; 3. elemente finite cvasiconforme (cu continuitate parţială). Continuitatea poate fi în deplasări

dar şi de ordin superior. Fiecare element finit se raportează la un sistem de referinţă propriu sau local. Structura se

raportează la un sistem de referinţă general sau global. În particular, sistemele de referinţă ale elementelor finite şi cel al structurii pot fi paralele, coplanare etc.

Pe subdomenii, deci pe elemente finite, câmpul de deplasare se exprimă sub o formă parametrică aproximativă, de obicei polinomială.

Folosind ecuaţiile geometrice şi fizice şi condiţiile de echilibru pe element, exprimate direct sau cu ajutorul lucrului mecanic virtual, se stabileşte o legătură biunivocă între forţele echivalente din noduri (reprezentând interacţiunea cu structura) şi deplasările corespunzătoare.

Forţele şi deplasările nodale, ca forţe şi deplasări generalizate, sunt coliniare şi constituie componentele unor vectori:

- vectorul forţelor nodale {Fe}; - vectorul deplasărilor nodale {de};

a) b) c)

i j

a) b) c)

d) e) f) g)

Page 79: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

79

În cazul liniar elastic relaţia dintre vectorul forţelor nodale şi vectorul deplasărilor nodale pentru un element finit este liniară. Proporţionalitatea dintre cei doi vectori este realizată de matricea de rigiditate a elementului finit. Pentru a determina această relaţie, deci matricea de rigiditate a unui element finit, sunt necesare următoarele etape:

• exprimarea câmpului de deplasări în funcţie de deplasările nodale, necesitând un proces de interpolare;

• determinarea câmpului de deformaţie şi respectiv de tensiune cu ajutorul ecuaţiilor geometrice şi fizice ale elasticităţii;

• exprimarea condiţiilor de echilibru a fiecărui element finit (echilibrul părţilor în virtutea echilibrului general al structurii), în mod frecvent folosind principiul lucrului mecanic virtual.

În continuare se fac referiri la rezolvarea prin metoda elementelor finite a structurilor care se pot discretiza în elemente finite plane.

3.1. ELEMENTE FINITE PLANE

3.1.1. ELEMENTUL FINIT TRIUNGHIULAR ÎN COORDONATE CARTEZIENE

Se consideră un element structural de tipul unei plăci acţionată de forţe situate în planul ei şi care se discretizează în elemente finite de formă triunghiulară (fig. 3).

Fig. 3

Fie un element finit triunghiular oarecare din structura considerată, raportat la sistemul de referinţă propriu xOy (fig. 4). Punctele nodale ale elementului finit coincid cu vârfurile triunghiului (noduri primare) şi se numerotează cu i, j, k, numerotarea de la i la k făcându-se în sens trigonometric (antiorar). Fiind vorba de o problemă de elasticitate plană, fiecare punct nodal are două grade de libertate, deplasările ui,j,k şi vi,j,k în direcţiile axelor de coordonate (fig. 4 b). Deplasările se consideră pozitive dacă sunt în sensul pozitiv al axelor şi negative în caz contrar.

Fig. 4

x

i

j

k

x

y

O a) b)

i j

k

y

Fxi ui

Fxk uk

Fyk

vk

vi

Fyi

vj

Fyj

e uj Fxj

e

Page 80: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

80

Câmpul de deplasare reprezentat de funcţiile u(x,y) şi v(x,y) se ia sub forma unor polinoame liniare, fiind de clasă cel puţin C1 (cu derivatele de ordinul I nenule):

yaxaayxvyaxaayxu

654

321

),(),(

++=++=

(2)

unde ai (i = 1, 2, ..., 6) sunt parametri generalizaţi, numărul lor fiind egal cu cel al gradelor de libertate nodale ale elementului finit. Deplasările unui punct oarecare aparţinând elementului finit reprezintă componentele vectorului deplasare d{u(x,y); v(x,y)}T (exponentul T indică operaţia de transpunere). În formulare matriceală relaţiile (2) se scriu:

{ } [ ]{ }ada

a

yxyx

yxvyxu

ψ=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

6

1

10000001

),(),(

Μ (3)

în care

[ ] { } { }Taaaayx

yx621,

10000001

Λ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=ψ (4)

Parametrii generalizaţi, reprezentaţi prin componentele vectorului {a}, vor fi exprimaţi cu ajutorul parametrilor nodali, care formează un vector {de} = {ue ve}T, unde subvectorii {ue} şi {ve} sunt:

{ } { } { } { }Tkji

Te

Tkji

Te vvvvuuuu == ; (5)

Deplasările nodale pot fi exprimate în raport cu parametrii generalizaţi folosind relaţiile (2), în care coordonatele (x, y) iau pe rând valorile din punctele i, j, k

iiiiii yaxaavyaxaau 654321 ++=++=

jjjjjj yaxaavyaxaau 654321 ++=++= (6)

kkkkkk yaxaavyaxaau 654321 ++=++= sau compact,

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }veue aAvaAu 11 ; == (7)

unde [ ]⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

kk

jj

ii

yxyxyx

A111

1 (8)

Vectorul deplasărilor nodale {de} se poate scrie:

{ } [ ] [ ][ ] [ ] ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=v

u

e

ee a

aA

Avu

d1

1

00

(9)

sau { } [ ]{ }aAde = (10) Submatricele [0] sunt, ca şi [A1], de dimensiune 3x3. Rezolvând sistemele de ecuaţii (6), respectiv (7), sau sistemul echivalent (10), se obţin parametrii generalizaţi în funcţie de deplasările nodale. Soluţia sistemului (10) se poate obţine prin inversarea matricei [A]: { } [ ] { }edAa 1−= (11) Matricea [A] fiind diagonală, [A]-1 va avea forma:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] ⎥

⎤⎢⎣

⎡= −

−−

11

111

00

AAA (12)

Se inversează matricea [A1] dată de ( 8), obţinându-se:

Page 81: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

81

[ ] [ ] ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−−−−−−−

=−

ijkijk

jiikkj

ijjikiikjkkj

xxxxxxyyyyyy

yxyxyxyxyxyx

AA

1

11 det2

1 (13)

În continuare, în expresia vectorului deplasare (3) se înlocuieşte {a} cu expresia sa dată de (11) şi rezultă: { } [ ][ ] { } [ ]{ }ee dyxNdAd ),(1 == −ψ (14) Matricea [N(x,y)] se poate explicita după cum urmează:

( )[ ] [ ][ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== −

kji

kji

NNNNNN

AyxN000

000, 1ψ (15)

unde Ni, Nj, Nk se numesc funcţii de formă şi au expresiile:

( )yxxybS

N jkjkie

i ++=1 (16)

unde Se – suprafaţa (aria) elementului finit şi ( )kjjkkjjkjkkji xxxyyyyxyxb −−=−=−= ,, ,

iar Nj şi Nk se obţin din (16) prin permutări circulare. Deplasările u(x,y) şi v(x,y) rezultă:

( )( ) ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

e

e

kji

kji

vu

NNNNNN

yxvyxu

000000

,,

(17)

sau

( )( ) kkjjii

kkjjii

vNvNvNyxvuNuNuNyxu

++=

++=

,,

(18)

Folosind ecuaţiile geometrice, care în cazul plan sunt

xv

yu

yv

xu

xyyx ∂∂

+∂∂

=∂∂

=∂∂

= γεε ,, (19)

se obţin deformaţiile specifice, care sub formă matriceală se scriu:

{ } ( )( )⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

∂∂

+∂∂∂∂∂∂

=⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

=yxvyxu

xy

y

x

xv

yu

yvxu

xy

y

x

,,

0

0

γεε

ε (20)

Matricea simbolică

[ ]*0

0

B

xy

y

x=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(21)

este un operator diferenţial, care aplicat vectorului {d(x,y)} conduce la: { } [ ][ ]{ }edyxNB ),(*=ε (22) în care [ ][ ] ( )[ ]yxByxNB ,),(* = (23) şi în continuare { } ( )[ ]{ }edyxB ,=ε (24) unde [B(x,y)] în formă dezvoltată este

Page 82: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

82

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

xN

xN

xN

yN

yN

yN

yN

yN

yN

xN

xN

xN

yxB

kjikji

kji

kji

000

000

),( (25)

În general, [B(x,y)] depinde de x şi y, dar în cazul analizat deplasările u şi v fiind funcţii liniare, termenii matricei [N] depind liniar de x şi y şi derivatele lor sunt constante. Tensiunile se obţin cu ajutorul legii lui Hooke, după cum urmează: - pentru starea plană de tensiune

{ }⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

=

xy

y

x

xy

y

x E

γεε

νν

ν

ντσσ

σ

2100

0101

1 2 (26)

- pentru starea plană de deformaţie

{ } ( )( )( )

( )⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−

−+−

=⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

=

xy

y

x

xy

y

x E

γεε

νν

νν

νν

ννν

τσσ

σ

122100

011

01

1

2111 (27)

Ecuaţiile (26) şi (27) se pot scrie compact într-o singură formă: { } [ ]{ }εσ E= (28) în care [E] este matricea de elasticitate a materialului. Se remarcă asemănarea dintre forma (28) şi legea lui Hooke pentru solicitări monoaxiale. Dacă în relaţia (28) se înlocuieşte {ε} din (24) rezultă: { } [ ][ ]{ }edyxBE ),(=σ (29) Cunoscând deplasările nodale ale elementelor finite se pot determina deformaţiile şi tensiunile. Din echilibrul structurii rezultă echilibrul părţilor componente, deci al fiecărui element finit, acţionat de forţele masice proprii şi de forţele de pe contur reprezentând efectul legăturilor interne cu restul structurii. Pentru exprimarea echilibrului unui element finit se foloseşte principiul lucrului mecanic virtual în varianta deplasărilor virtuale, anume: ULe δδ = (30) Lucrul mecanic virtual al forţelor exterioare se scrie: ( ) ( )∫∫∫∫∫ +++=

Snynx

Ve dSvpupdVvYuXL δδδδδ (31)

unde X, Y – componentele intensităţii forţelor masice; pnx, pny – intensităţile forţelor pe conturul elementului finit; δu, δv – deplasările virtuale compatibile cu legăturile; dV – elementul infinitezimal de volum (în cazul bidimensional al elementului finit cu grosimea t = const., dV = tdS = tdxdy); dS – elementul infinitezimal de arie de pe frontiera elementului finit. Variaţia energiei potenţiale de deformaţie δU corespunzătoare deplasărilor virtuale are expresia: ( )dVU

Vxyxyyyxx∫∫∫ ++= δγτδεσδεσδ (32)

unde σx, σy, τxy – tensiunile generate de forţele masice şi de pe frontiera elementului finit; δεx, δεy, δγxy – variaţiile virtuale ale deformaţiilor.

Page 83: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

83

Cu notaţiile vectoriale { } { } { } { } { } { }{ } { } { } { }T

xyyxT

xyyx

TTnynxn

TM vudpppYXF

δγδεδεδετσσσ

δδδ

,,,,,

,,,,,

==

=== (33)

relaţia ( 30) ia forma: { } { } { } { } { } { }∫∫∫∫∫∫∫∫ =+

V

T

Sn

T

VM

T dVdSpddVFd σδεδδ (34)

Ţinând cont de relaţiile (14) şi respectiv (24), rezultă: { } [ ]{ } { } [ ]{ }ee dBdNd δδεδδ == , (35) Dacă în condiţia (34) se introduc variaţiile virtuale ale vectorului de deplasare {δd} şi respectiv de deformaţie {δε} din (35) şi vectorul tensiunilor dat de relaţia ( 28), aceasta devine:

{ } [ ] { } { } [ ] { }

{ } ( )[ ] [ ] ( )[ ]{ }∫∫∫

∫∫∫∫∫=

=+

Ve

TTe

Sn

TTe

VM

TTe

dVdyxBEyxBd

dSpNddVFNd

,,δ

δδ (36)

Vectorul {δde}T poate fi scos de sub integrală şi se simplifică rezultând: [ ] { } [ ] { }

( )[ ] [ ] ( )[ ] { }eV

T

Sn

T

VM

T

ddVyxBEyxB

dSpNdVFN

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=+

∫∫∫

∫∫∫∫∫

,, (37)

Integralele din membrul întâi reprezintă forţele echivalente în noduri, care formează vectorul {Fe}. Integrala din membrul al doilea dintre parantezele rotunde defineşte matricea de rigiditate a elementului finit şi se notează [ke]:

[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]∫∫∫=V

Te dVyxBEyxBk ,, (38)

Dacă elementul finit are grosime constantă, atunci dV = tdS, unde t – grosimea, dS – element de arie de pe suprafaţa mediană. Condiţia (37) cu notaţiile introduse devine: { } [ ]{ }eee dkF = (39) Matricea [ke] este pătrată, de dimensiune nexne, unde ne este numărul gradelor de libertate acordate elementului finit. Pentru analiza pe structură se face o reordonare a deplasărilor nodale, implicând permutări corespunzătoare ale liniilor din matricea de rigiditate, anume: 654321 ,,,,, ekekejejeiei dvdudvdudvdu ====== Forţele nodale echivalente se consideră coliniare cu deplasările nodale. Ţinând cont de cele de mai sus, relaţia (39) se mai poate scrie:

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

=

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

=

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

6

5

4

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

e

e

e

e

e

e

yk

xk

yj

xj

yi

xi

e

e

e

e

e

e

dddddd

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

FFFFFF

FFFFFF

(40)

Termenii de pe o coloană a matricei de rigiditate reprezintă forţele nodale corespunzătoare unei deplasări unitare, celelalte deplasări fiind nule. De exemplu, coloana 2 se obţine pentru de2 = 1 şi de1 = de3 = de4 = de5 = de6 = 0. Condiţia de echilibru a elementului finit conduce la sumă nulă pentru valorile termenilor oricărei coloane din matricea de rigiditate. În (41) se dau expresiile elementelor matricei de rigiditate

Page 84: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

84

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+= 32133123112232

223111 2

1;2

1 xxyySkxySk νν

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+= 233211421322312113 21;

21 yxSkxxyySk νν

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+= 3212232111631322313115 21;

21 xyyxSkyxyxSk νννν

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+= 21133112123213

231122 2

1;2

1 xxyySkxySk νν

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+= 311312523133132124 21;

21 yxSkxxyxSk νν

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+= 12133121126 21 yxyxSk νν (41)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+= 23211232134221

212133 2

1;2

1 yxyxSkxySk ννν

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+= 122113631211213135 21;

21 yxSkyxyxSk ννν

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+= 31233213145223

232144 2

1;2

1 yyxxSkyxSk νν

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+= 231

21315512233221146 2

1;2

1 yxSkyyxxSk νν

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+= 212

22116631122113156 2

1;2

1 yxSkyyxxSk νν

unde s-au făcut notaţiile ( ) jiijjiije yyyxxxEtSS −=−=−= ,,/14 2

1 ν (42) Din cele prezentate mai sus se desprinde faptul că la un element finit dat, pentru exprimarea

relaţiei de legătură dintre forţele nodale şi deplasările nodale, esenţială este determinarea matricei de rigiditate cu relaţia (38), care îşi conservă forma pentru oricare tip de element finit. Modificările de conţinut ale acestei relaţii se datorează procesului de interpolare, numărului de puncte nodale şi formei elementului finit.

3.1.2. ELEMENTE FINITE TRIUNGHIULARE ÎN COORDONATE NATURALE În continuare, pentru elementul finit triunghiular se folosesc coordonatele de arie sau

naturale, care conduc la unele simplificări, mai evidente îndeosebi în cazul creşterii numărului de puncte nodale pe element.

Elementul finit triunghiular cu trei puncte nodale primare, prezentat anterior, se caracterizează prin variaţia liniară a deplasărilor şi se numeşte element finit liniar. Pentru creşterea preciziei de calcul se folosesc:

- elementul finit cuadratic, cu trei puncte nodale primare şi trei puncte nodale secundare situate pe mijloacele laturilor;

- elementul finit cubic, cu trei puncte nodale primare şi şase puncte nodale secundare, câte două pe fiecare latură, astfel încât să formeze câte trei segmente egale.

3.1.2.1. Element finit liniar Funcţiile de interpolare se obţin folosind coordonatele de arie sau naturale. Fie 1, 2, 3

vârfurile triunghiului având coordonatele carteziene (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) şi un punct P(x,y) ε Ae (Ae = A – domeniul ocupat de elementul finit). Coordonatele de arie ale punctului P (fig. 5) sunt:

Page 85: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

85

3

333

2

222

1

111 ,,

hs

AAL

hs

AAL

hs

AAL ====== (43)

Rezultă 1321 =++ LLL şi deci, numai două dintre coordonatele de arie ( )3,2,1=iLi sunt independente; evident AAAA ∈321 ,, şi ( )1,0,, 321 ∈LLL .

Laturile triunghiului se definesc prin ecuaţiile: latura 1, L1 = 0; latura 2, L2 = 0; latura 3, L3 = 0. Coordonatele de arie ale vârfurilor sunt: 1(1,0,0), 2(0,1,0), 3(0,0,1), iar cele ale centrului geometric (de greutate) al elementului finit L1 = L2 = L3 = 1/3.

Fig. 5

Relaţiile dintre coordonatele carteziene ale punctului generic P şi coordonatele sale de arie sunt liniare:

332211

332211

yLyLyLyxLxLxLx

++=++=

(44)

La acestea se adaugă relaţia de dependenţă scrisă în forma: 3211 LLL ++= (45) S-a format un sistem de ecuaţii care se poate scrie matriceal:

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

3

2

1

321

321

1111 LLL

yyyxxx

yx

(46)

Exprimând L1, L2, L3 funcţie de x, y prin inversarea matricei coordonatelor din (46) se obţine:

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

121

12212112

31131331

23323223

3

2

1

yx

yxyxxyyxyxxyyxyxxy

ALLL

(47)

în care A este aria elementului finit triunghiular, iar y23 = y2-y3, x32 = x3-x2, y31 = y3-y1 etc. În cazul elementului finit liniar există egalitatea Li = Ni. Pentru efectuarea derivatelor şi integralelor care intervin, se consideră variabilele independente L1 şi L2. Derivatele parţiale în raport cu aceste variabile se scriu:

[ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

∂∂∂∂

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

∂∂∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

∂∂∂∂

y

xJ

y

xyxyx

L

L2323

1313

2

1 (48)

Page 86: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

86

De asemenea, se pot exprima derivatele x∂∂ şi

y∂∂ :

[ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

∂∂∂∂

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

∂∂∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

∂∂∂∂

2

11

2

1

1332

3123

21

L

LJ

L

Lxxyy

Ay

x (49)

Componentele deformaţiilor se exprimă prin patru derivate ale deplasărilor:

{ } [ ] [ ]

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

∂∂∂∂∂∂∂∂

=⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

=

y

x

y

x

xy

y

x

vvuu

T

yvxvyuxu

T

,

,

,

,

γεε

ε (50)

unde matricea [T] are forma [ ]⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

011010000001

T (51)

Se defineşte vectorul deformaţiilor naturale ca fiind:

{ }T

N Lv

Lv

Lu

Lu

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=2121

ε (52)

şi folosind (49) şi (50) se obţine:

{ } [ ] { }NJJ

T εε ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1

1

00

(53)

Deplasările u şi v pot fi exprimate iniţial prin intermediul unor deplasări generalizate, qx şi qy, astfel încât:

{ } { }{ } { }y

Tx

T

qv

qu

ψ

ψ

=

= (54)

unde {ψ} este vectorul termenilor polinomiali exprimat în coordonate de arie. Vectorul deformaţiilor naturale se poate scrie:

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

y

x

N

NN q

qP

P0

0ε (55)

unde [PN] se defineşte ca fiind:

[ ]⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡=

2

1

,1

,1

LT

LT

NPψψ

(56)

Astfel, deformaţiile în coordonate carteziene se exprimă prin relaţia:

{ } [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

y

x

N

N

qq

PP

JJ

T0

00

01

1

ε (57)

Ţinând cont de aceste exprimări, matricea de rigiditate generalizată va avea forma:

[ ] [ ] dVqq

PP

HP

Pk

y

x

N

N

VT

N

TN

e⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∫∫∫ 0

00

0 (58)

unde

[ ] [ ] [ ][ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1

1

1

1

00

00

JJ

TCTJ

JH T (59)

Page 87: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

87

Pentru elementul finit cu deformaţii constante {ψ1}T se poate lua sub forma: { } { }3211 LLLT =ψ (60) Presupunând că:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

e

e

y

x

vu

qq

(61)

şi ţinând cont de (56) rezultă:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=110101

NP (62)

Astfel matricea de rigiditate [ke] va fi complet definită. Calculul matricei de rigiditate elementale presupune efectuarea unor integrale, care pentru

probleme plane vor avea forma:

( ) AcbacbadALLLI

A

cba 2!2

!!!3212 ⋅

+++== ∫ (63)

unde a, b, c sunt constante întregi. Pentru aplicaţii practice s-au realizat şi tabele cu rezultate ale integrării. Legătura între coordonatele carteziene x, y şi cele de arie L1, L2, L3 se poate exprima după cum urmează:

∑ ∑∑ ∑ ====3

1

3

1

3

1

3

1

; iiiiiiii yNyLyxNxLx (64)

Cîmpul deplasărilor se determină cu relaţii analoge:

∑∑ ==3

1

3

1; iiii vNvuNu (65)

ui, vi (i = 1, 2, 3) fiind deplasările nodale. 3.1.2.2. Elementul finit triunghiular cuadratic La elementul finit cuadratic (fig. 6 a), funcţiile de interpolare Ni (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) se exprimă în raport cu coordonatele de arie L1, L2, L3 după cum urmează:

- noduri primare ( ) 3,2,1,12 =−= iLLN iii (66 a)

- noduri secundare 136325214 4,4,4 LLNLLNLLN === (66 b)

Coordonatele globale (x, y) şi deplasările (u, v) se determină cu relaţii similare:

∑∑

∑∑

==

==

6

1

6

1

6

1

6

1

,

,

iiii

iiii

vNvuNu

yNyxNx (67)

Page 88: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

88

a)

b)

Fig.6 3.1.2.3. Elementul finit triunghiular cubic Pentru elementul finit cubic (fig. 6 b), avînd nouă puncte nodale, cele nouă funcţii de interpolare sunt:

- noduri primare

( )( ) 3,2,1,23132

=−−= iLLLN iii

i (68 a)

- noduri secundare

( ) ( )1329,13

29

251214 −=−= LNLLLN

( ) ( )1329,13

29

23272326 −=−= LLLNLLLN (68 b)

( ) ( )1329,13

29

21393138 −=−= LLLNLLLN

Coordonatele globale (x, y) şi deplasările (u, v) se determină cu relaţii de forma (67), sumarea făcându-se de la 1 la 9.

Observaţia 1. Prin utilizarea coordonatelor de arie s-a ajuns la exprimarea coordonatelor (x, y) în sistemul de referinţă global şi a câmpului de deplasare (u, v) cu ajutorul aceloraşi funcţii de interpolare N(x,y). Acest sistem de referinţă se include astfel în clasa mai largă a sistemelor de referinţă izoparametrice.

Page 89: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

89

3.1.3. ELEMENT FINIT PATRULATER 3.1.3.1. Elementul finit patrulater liniar Elementul finit patrulater este frecvent utilizat în cazul stării plane de tensiune, stării plane de

deformaţie, a plăcilor plane aflate în stare de membrană. Elementul finit triunghiular poate fi considerat ca un caz particular al celui patrulater.

Elementul finit patrulater cel mai simplu este cel numai cu noduri primare, având deci patru puncte nodale în vârfuri şi opt grade de libertate.

Câmpul de deplasare al elementului finit patrulater poate fi generat de un polinom având opt parametri generalizaţi. Pentru a determina relaţia dintre forţele nodale echivalente şi deplasările nodale şi, implicit, matricea de rigiditate a elementului finit, este mai potrivit sistemul de referinţă intrinsec (al coordonatelor curbilinii), în care un punct se obţine prin intersecţia a două linii de coordonate de pe suprafaţă, s = constant, t = constant. Aceste coordonate sunt adimensionale şi pot fi legate direct de sistemul de referinţă al structurii. Într-un astfel de sistem de coordonate, funcţiile de interpolare care generează câmpul de deplasare, definesc totodată şi forma elementelor finite, deci sunt coordonate izoparametrice.

Fără a restrânge generalitatea, elementul finit patrulater liniar (cu patru noduri primare) se prezintă cu ajutorul dreptunghiului (fig. 7 a).

a)

b)

Fig. 7

Page 90: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

90

Coordonatele carteziene ale colţurilor, reprezentând punctele nodale sunt (x1, y1), (x2, y2), (x3,

y3), (x4, y4). Se introduc coordonatele adimensionale după cum urmează: ( ) ( )

cyyt

bxxs 00 2,2 −

=−

= (69)

astfel că pentru punctele nodale rezultă coordonatele adimensionale 1(-1, -1), 2(1, -1), 3(1, 1), 4(-1, 1). Se consideră un element finit patrulater (fig. 7 b), raportat la sistemul de referinţă cartezian local x, y; sistemul de referinţă local al coordonatelor de suprafaţă s, t, care înjumătăţesc laturile, conduce la coordonate adimensionale pentru noduri, similare celor ale dreptunghiului, anume: 1(-1, -1), 2(1, -1), 3(1, 1), 4(-1, 1). Funcţiile cu ajutorul cărora se generează coordonatele (x, y), respectiv (s, t), pot fi alese sub forma:

( )( ) ),

),

4321

4321

bstbtbsbbtsfaxyayaxaayxf

+++=+++=

(70)

Pentru a determina coeficienţii ai (i = 1, 2, 3, 4), respectiv bi (i = 1, 2, 3, 4), se procedează la interpolare. În continuare se pun condiţii în noduri pentru determinarea coeficienţilor bi: nod 1 → f1 = b1 – b2 – b3 + b4 nod 2 → f2 = b1 + b2 – b3 – b4 (71) nod 3 → f3 = b1 + b2 + b3 + b4 nod 4 → f4 = b1 – b2 + b3 – b4 Se rezolvă acest sistem de ecuaţii în raport cu b1, b2, b3, b4, rezultând:

( ) ( )

( ) ( )4321443213

4321243211

41;

41

41;

41

ffffbffffb

ffffbffffb

−+−=++−−=

−++−=+++= (72)

Parametrii generalizaţi bi (i = 1, 2, 3, 4) se introduc în (70 b) şi se obţine:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) =−+−+++++

+−−++−−−=

43

21

1411

41

1411

41,

fsttsfstts

fsttsfsttstsf

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) =+−++++

+−++−−=

43

21

114111

41

114111

41

ftsfts

ftsfts (73)

4433221144332211 fffffNfNfNfN Φ+Φ+Φ+Φ=+++= , unde s-au notat funcţiile de formă:

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )tsNtsN

tsNtsN

+−=++=

−+=−−=

1141,11

41

1141,11

41

43

21

(74)

Se constată că pentru ( ) AAts e =∈, , 14321 =+++ NNNN (75) În exprimare vectorial – matriceală relaţia (73) se scrie:

( ) [ ] [ ] { }fN

ffff

NNNNtsf T=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

4

3

2

1

4321, (76)

Page 91: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

91

În continuare, f(s,t) se precizează după necesităţi. Astfel se pot determina coordonatele x(s,t) şi y(s,t):

( ) [ ] ∑=

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=4

1

4

3

2

1

4321,i

ii xN

xxxx

NNNNtsx (77)

Analog se obţine:

∑=

=4

1iii yNy (78)

Procedând similar se deduc relaţiile pentru deplasările u(s,t), v(s,t):

∑∑==

==4

1

4

1

,i

iii

ii vNvuNu (79)

Relaţiile (77), (78) şi (79) sunt analoge şi folosesc aceleaşi funcţii Ni. Din acest motiv coordonatele se numesc, cum s-a mai arătat, izoparametrice, în fapt fiind un caz particular de coordonate curbilinii. Laturile elementului finit descris cu relaţiile (77) şi (78) sunt rectilinii şi, de aceea, este numit element finit liniar. Pentru o precizie superioară se utilizează elemente finite izoparametrice cuadratice şi cubice. 3.1.3.2. Elementul finit patrulater cuadratic

Elementul finit cuadratic are patru puncte nodale primare şi patru puncte nodale secundare pe mijloacele laturilor patrulaterului curbiliniu. În acest caz elementului finit îi corespund 2x8 parametri generalizaţi şi funcţia generatoare este de forma:

( ) 28

27

265

24321, stbtsbtbstbsbtbsbbtsf +++++++= (80)

Ecuaţiile laturilor şi coordonatele punctelor nodale în sistemul de referinţă (s,t) sunt prezentate pe figura 8.

Fig. 8

Printr-un raţionament similar cu cel de la elementul finit liniar se determină parametrii generalizaţi şi funcţiile Ni (i = 1, 2, ..., 8), care au expresiile:

( )( )( ) ( )( )tsNtstsN −−=++−−−= 1121,111

41 2

21

( )( )( ) ( )( )243 11

21,111

41 tsNtstsN −+=+−−+−=

Page 92: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

92

( )( )( ) ( )( )tsNtstsN +−=−−−+−= 1121,111

41 2

65 (81)

( )( )( ) ( )( )287 11

21,111

41 tsNtstsN −−=−++−−=

Coordonatele unui punct curent sunt date de relaţiile:

∑∑==

==8

1

8

1

,i

iii

ii yNyxNx (82)

Câmpul de deplasare pentru elementul finit izoparametric va fi:

∑∑==

==8

1

8

1,

iii

iii vNvuNu (83)

3.1.3.3. Elementul finit patrulater cubic În acest caz elementul finit are 12 puncte nodale (4 primare şi 8 secundare, câte două pe fiecare latură). Funcţia generatoare este de forma:

( )

312

311

310

29

28

37

265

24321,

statsatastatsasa

tastasatasaatsf

++++++

++++++= (84)

Coordonatele în sistemul de referinţă local sunt date în figura (9).

Fig.9

Coordonatele (x,y) şi deplasările (u,v) se determină cu relaţiile (82) şi (83), schimbând indicele superior de sumare, 8 cu 12. Funcţiile Ni (i = 1, ..., 12) au expresiile următoare:

( )( ) ( )[ ] ( )( )( )tssNtstsN −−−=−+−−= 1311329;10911

321 2

222

1

( )( )( ) ( )( ) ( )[ ]10911321;1311

329 22

42

3 −+−+=−+−= tstsNtssN

( )( )( ) ( )( )( )ttsNttsN 3111329;3111

329 2

62

5 +−+=−−+= (85)

( )( ) ( )[ ] ( )( )( )tssNtstsN ++−=−+++= 1311329;10911

321 2

822

7

( )( )( ) ( )( ) ( )[ ]10911321;1311

329 22

102

9 −++−=+−−= tstsNtssN

( )( )( ) ( )( )( )tssNttsN 3111329;3111

329 2

122

11 −−−=+−−=

Page 93: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

93

În bibliografia citată se găsesc şi alte dezvoltări privind elementele finite plane, îndeosebi privind punctele nodale şi procesul de interpolare. Se menţionează rezultatul integrării pentru matricea de rigidtate:

3

!!!!

4321

43214321

4321

++++=∫∫∫ nnnn

nnnndVLLLL nnn

V

n (86)

3.1.4. TRECEREA DE LA SISTEMUL DE REFERINŢĂ LOCAL AL ELEMENTULUI LA CEL GENERAL AL STRUCTURII Adesea sistemele de referinţă locale ale elementelor finite au axele paralele cu ale sistemului de referinţă XY al structurii. Dacă paralelismul nu se realizează, atunci se face trecerea de la sistemul de referinţă local xy la cel general XY. În fig. 10 sunt reprezentate forţele din nodul i, raportate la sistemul de referinţă local şi notate cu Fxi, Fyi. Direcţiile ox şi OX fac între ele unghiul φ. Exprimând { } { }Tyixiei FFF = în raport

cu { } { }TYiXiei FFF =* rezultă:

ϕϕ

ϕϕcossin

sincos

YiXiyi

YiXixi

FFFFFF+−=+=

→ { } [ ]{ }*eiei FtF = (87)

în care [t] este matricea cosinuşilor directori

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=ϕϕϕϕ

cossinsincos

t (88)

Se poate arăta direct că [ ][ ] [ ]Itt T = , unde [I] este matricea unitate şi întrucât [ ][ ] [ ]Itt =−1 rezultă că: [ ] [ ] 1−= tt T (89) deci matricea [t] este ortogonală. Exprimări similare se pot face şi pentru celelalte noduri. Urmează că, pentru un element finit, între forţele nodale din sistemul de referinţă local şi cele din sistemul general există relaţia: { } [ ]{ }*

ee FTF = (90) în care, pentru elementul finit triunghiular liniar,

[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]⎥

⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

tt

tT

000000

(91)

este de asemenea o matrice ortogonală şi [ ] [ ] 1−= TT T (92) Un raţionament analog conduce la relaţia: { } [ ]{ }*

ee dTd = (93) Din expresia (90), ţinând cont de (92), rezultă: { } [ ] { } [ ] { }e

Tee FTFTF == −1* (94)

Între forţele nodale şi deplasările nodale ale elementului finit, în sistemul de referinţă local, există relaţia de forma (39): { } [ ]{ }eee dkF = (95)

Înlocuind { }ed din ( 95) cu expresia sa din ( 93) şi ducând apoi { }eF astfel obţinut în ( 94), se obţine legătura dintre forţele nodale şi deplasările nodale în sistemul de referinţă general: { } [ ] [ ][ ]{ }**

eeT

e dTkTF = (96) sau { } [ ]{ }***

eee dkF = (97)

Page 94: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

94

unde [ ] [ ] [ ][ ]TkTk e

Te =* (98)

este matricea de rigiditate a elementului finit în sistemul de referinţă general. 3.1.5. ASAMBLAREA STRUCTURII. DETERMINAREA DEPLASĂRILOR După ce s-au constituit matricele de rigiditate ale tuturor elementelor finite din structura divizată, urmează procesul de reconstituire prin asamblarea părţilor componente. Asamblarea elementelor finite din structură se face, aşa cum s-a mai arătat, pe baza a două categorii de condiţii:

- condiţii de continuitate în noduri; - condiţii de echilibru pe fiecare nod. Pentru exemplificare se consideră o structură plană încărcată în planul său (fig. 11 a), divizată

în elemente finite (fig. 11 b).

a)

b)

Fig. 11

Page 95: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

95

Se determină matricele de rigiditate ale elementelor finite separate din structură (fig. 12), pe

care sunt figurate şi direcţiile deplasărilor şi forţelor nodale. Sistemele de referinţă ale elementelor finite se consideră paralele cu sistemul de coordonate al structurii.

a)

b)

Fig.12

Fie un nod oarecare, de exemplu 3, al structurii discretizate; condiţia de continuitate în nod implică:

Page 96: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

96

33333

33333

vvvvv

uuuuudcba

dcba

====

==== (99)

deci, deplasările nodale ale elementelor finite convergente într-un punct de conexiune sunt egale cu ale structurii discretizate. Echilibrul nodului presupune condiţiile:

033333

33333

==+++

=+++

yd

yc

yby

ay

xd

xc

xb

xa

x

PFFFF

PFFFF (100)

adică, forţele nodale ale elementelor finite, convergente într-un nod şi forţele exterioare echivalente, de pe structură, în acelaşi nod, îşi fac echilibru. Pentru întreaga structură se obţine un sistem de ecuaţii, care poate fi pus sub forma: [ ][ ] { }sss PDK = (101) unde [Ks] – matricea de rigiditate a structurii (asamblată); {Ds} – vectorul deplasărilor nodale; {Ps} – vectorul forţelor nodale exterioare ale structurii. Matricea [Ks] se formează din matricele de rigiditate ale elementelor finite componente ale structurii. Asamblarea se realizează fie direct, pe baza ecuaţiilor de echilibru (100), fie prin exprimarea echilibrului global cu ajutorul lucrului mecanic virtual. Pentru identificarea ecuaţiilor, se renumerotează nodurile structurii divizate, fiecare cu două numere succesive (fig. 12 b). Astfel, pentru nodul i (în notaţia iniţială) numerele ecuaţiilor vor fi 2i-1 şi 2i. Elementele matricei de rigiditate a structurii rezultă de forma: ∑ ∑==

h g

gijij

hiiii KKKK , (102)

unde h sunt numerele de identificare ale elementelor finite care au comun gradul de libertate i, iar g sunt numerele de identificare ale elementelor finite care au comune gradele de libertate i şi j.

Dacă i nu este adiacent cu j atunci Kij = 0. Matricea [Ks] este de tip bandă, lăţimea benzii fiind funcţie de modul în care se face numerotarea nodurilor. Ca exemplu se consideră prima ecuaţie din (100), care în numerotarea din fig.12 b corespunde la gradul de libertate 5. Notarea s-a făcut la fiecare nod pentru deplasări pe direcţia x cu numere impare (2i-1) şi pe direcţia y cu numere pare (2i). Componentele nodale ale forţelor exterioare primesc aceiaşi indici ca şi gradele de libertate corespunzătoare nodurilor. Dezvoltând condiţiile de echilibru şi ţinând cont de relaţiile (102) rezultă:

( ) ( ) ( ) ( ) ++++++++ 45454353532525215151 DkkDkkDkkDkk cacababa ( ) ( ) +++++++++ 656565656555555555 DkkkkDkkkk dcbadcba ( ) ( ) ( ) ( ) =++++++++ 10510510959598585875757 DkkDkkDkkDkk dcdcdbdb

510510959858757656

555454353252151

PDkDkDkDkDkDkDkDkDkDk

=++++++++++=

(103)

Ca verificare se pot face înlocuiri direct şi după gruparea termenilor se ajunge la rezultatul de mai sus.

Întrucât sistemul de ecuaţii (101) a fost alcătuit fără a lua în considerare condiţiile pe frontieră, matricea [Ks] este singulară. Interesează în continuare matricea de rigiditate a structurii fixate, [K], care se obţine eliminând din matricea [Ks] liniile şi coloanele corespunzătoare deplasărilor nule. Evident, din vectorul deplasărilor dispar termenii nuli, iar din cel al forţelor nodale se înlătură forţele de pe direcţiile gradelor de libertate fixate (reacţiunile).

Prin partiţionare, sistemul ( 101) se pune sub forma:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′′′′

RP

DD

KKKK

rT (104)

unde {D} – vectorul deplasărilor necunoscute ale structurii; {Dr} – deplasările pe direcţiile legăturilor structurii; {P} – vectorul forţelor nodale de pe direcţiile deplasărilor {D} (forţele active);

Page 97: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

97

{R} – vectorul componentelor forţelor reactive. În mod frecvent { } 0=rD şi din (104) rezultă: [ ]{ } { }PDK = (105) [ ]{ } { }RDK T =′ (106) Rezolvând primul sistem de ecuaţii se obţin deplasările nodale: { } [ ] { }PKD 1−= (107) Având deplasările {D}, acestea se introduc în ( 106) şi se obţin reacţiunile: { } [ ]{ } [ ][ ] { }PKKDKR TT 1−′=′= (108) În continuare se determină starea de tensiune din elementele finite componente ale structurii. 3.2. ELEMENTE FINITE AXIAL SIMETRICE Se precizează că în continuare se consideră elemente sau structuri, care faţă de una din axe

(numită axă de revoluţie) prezintă simetrie geometrică, elastică şi de încărcare. Evident, această simetrie poate să varieze în direcţia axei de revoluţie. Ca exemple se pot da rezervorul cilindric supus presiunii hidrostatice, coşul de fum sub acţiunea forţelor gravitaţionale şi a variaţiei de temperatură, sfera supusă acţiunilor gravitaţionale etc.

Discretizarea unei astfel de structuri se realizează în inele sau, mai general, elemente sub forma unui tor, având secţiunile transversale, spre exemplu, triunghiulare (fig. 13). Se subliniază că un nod este de fapt un cerc; de exemplu, nodul i este cercul de rază ri. Elementul de volum dV poate fi exprimat sub forma dzdrrdV ⋅⋅⋅= π2 (dacă axa de revoluţie este, spre exemplu z). În fond este vorba de elemente tridimensionale particulare, cu secţiunile transversale în acelaşi plan. Întrucât condiţia de simetrie axială cere ca v = 0 (după axa θ, tangentă la circumferinţă), deplasările nenule sunt u şi w, situate în planul rz şi deci se pot extinde toate consideraţiile de la problema elasticităţii plane în coordonate polare. În prezentul paragraf se folosesc coordonatele cilindrice r, θ, z.

Deformaţiile specifice nenule sunt εr, εz,εθ, γrz, care se definesc în funcţie de deplasările u, w ce formează vectorul { } { }Twuzrd ,),( = :

rw

zu

ru

zw

ru

rzzr ∂∂

+∂∂

==∂∂

=∂∂

= γεεε θ ,,, (109)

sau

{ } [ ]{ }),(01

0

0

zrdBwu

rz

r

z

r

rw

zu

ruzwru

rz

z

r

∗=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

∂∂

+∂∂

∂∂∂∂

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

γεεε

εθ

(110)

Fig. 13

Page 98: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

98

Deformaţiile datorate variaţiei temperaturii ce respectă simetria axială sunt: { } { }T

T TTT 0αααε = (111) În baza legii lui Hooke, se pot exprima tensiunile funcţie de deformaţiile specifice după cum urmează:

{ }

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−−−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−−

−−

−+=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

rz

z

r

rz

z

r

TTT

E

γαεαεαε

νννν

νννννν

νντσσσ

σθθ

221000

010101

)21)(1( (112)

unde matricea constitutivă [E] are forma:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−−

−−

−+=

221000

010101

)21)(1( νννν

νννννν

ννEE (113)

Deplasările u şi w se adoptă sub forma unor funcţii liniare, după cum urmează:

( )( ) zaraazrw

zaraazru

654

321

,,

++=++=

(114)

sau

( ){ } ( )( )

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

6

5

4

3

2

1

10000001

,,

,

aaaaaa

zrzr

zrwzru

zrd (115)

În formă compactă, relaţia precedentă se scrie: ( ){ } ( )[ ]{ }azrzrd ,, ψ= (116) Vectorul {a} al deplasărilor generalizate se poate exprima în funcţie de vectorul deplasărilor nodale deci, procedând la interpolare:

kkk

jjj

iii

zaraau

zaraauzaraau

321

321

321

++=

++=++=

(117)

sau, în formă compactă { } [ ]{ }ue aAu 1= (118) unde

[ ]⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

kk

jj

ii

zrzrzr

A111

1 ( 119)

În mod similar se obţine:

kkk

jjj

iii

zaraaw

zaraawzaraaw

654

654

654

++=

++=++=

(120)

sau { } [ ]{ }we aAw 1= (121) Din ecuaţiile (118) şi (121) se exprimă {au} şi {aw} în funcţie de {ue} şi respectiv {we}:

Page 99: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

99

{ } [ ] { } { } [ ] { }eweu wAauAa 11

11 ; −− == (122)

unde [A1]-1 are expresia:

[ ] [ ] ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=−

kji

kji

kji

cccbbbaaa

AA

1

11 det2

1 (123)

cu următoarele semnificaţii ale termenilor

ijkjikijjik

kijikjkiikj

jkikjijkkji

rrczzbzrzra

rrczzbzrzrarrczzbzrzra

−=−=−=

−=−=−=

−=−=−=

(124)

Ecuaţiile date de relaţiile (122) se pot pune sub forma:

{ } [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] { }ee

e

w

u dAwu

AA

aa

a 11

1

11

00 −

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= (125)

Se introduce relaţia (125) în relaţia (116) şi se obţine: ( ){ } ( )[ ][ ] { } [ ]{ }ee dNdAzrzrd == −1,, ψ (126) în care matricea funcţiilor de formă [N] are expresia

[ ] ( )[ ][ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== −

kji

kji

NNNNNN

AzrN000

000, 1ψ (127)

unde

[ ]( )

[ ]( )

[ ]( )zcrbaA

N

zcrbaA

N

zcrbaA

N

kkkk

jjjj

iiii

++=

++=

++=

1

1

1

det21

det21

det21

(128)

Introducând relaţia (126) în relaţia (110) se exprimă vectorul deformaţiilor cu ajutorul deplasărilor locale {de}: { } [ ] ( ){ } [ ][ ]{ }edNBzrdB ∗∗ == ,ε (129) Aplicând matricea operator [B*(r,z)] matricei funcţiilor de formă [N(r,z)], se obţine [B(r,z)], deci: { } ( )[ ]{ }edzrB ,=ε (130) în care,

( )[ ] ( )[ ][ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

== ∗

rN

rN

rN

zN

zN

zN

rN

rN

rN

zN

zN

zN

rN

rN

rN

NzrBzrB

kjikji

kji

kji

kji

000

000

000

,, (131)

În particular, pentru expresiile lui u şi w adoptate, matricea [B] devine:

[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

=

kjikji

kji

kji

kji

bbbcccddd

cccbbb

AB

000000

000

det21

1

(132)

Page 100: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

100

Coeficienţii de tipul b şi c sunt cei din relaţiile ( 124), iar coeficienţii de tipul d au expresiile:

rzcb

rad

rzc

bra

d

rzcb

rad

kk

ki

jj

jj

ii

ii

++=

++=

++=

(133)

Ţinând cont de relaţia ( 112), tensiunile {σ}={σr σz σθ τrz}T se scriu: { } [ ]{ } [ ] ( )[ ]{ }( )TeT dzrBEE εεεσ −=−= , (134) Aplicând teorema lucrului mecanic virtual, rezultă expresia matricei de rigiditate a elementului finit: [ ] [ ] [ ][ ]∫=

eV

Te dVBEBk (135)

Pentru acest tip de element finit, elementul de volum se poate scrie dV = 2πrdrdz şi relaţia (135) devine: [ ] [ ] [ ][ ]∫=

eV

Te drdzBEBrk π2 (136)

Întrucât matricea [B] este funcţie de r şi z, integrala dată de relaţia (136) nu este simplu de rezolvat şi este necesar să se utilizeze metode numerice de integrare. 3.3. ELEMENTE FINITE SPAŢIALE Pentru analiza stării de tensiune şi de deformaţie în structurile masive sau corpuri tridimensionale solicitate, se folosesc elemente finite spaţiale. Cele mai utilizate forme sunt tetraedrul şi hexaedrul. Acestea au ca noduri primare vârfurile, iar ca noduri secundare (când este cazul) puncte amplasate pe muchii şi, eventual, în interior. 3.3.1. ELEMENTUL FINIT TETRAEDRAL CU 4 NODURI ÎN COORDONATE CARTEZIENE

Elementul finit tetraedral este o generalizare la spaţiul cu trei dimensiuni a elementului finit triunghiular din cazul plan. În figura 14 este reprezentat elementul tetraedral având patru noduri (primare), pe care sunt figurate gradele de libertate, câte trei pe fiecare nod, deci 12 pe întregul element finit.

Fig. 14

Page 101: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

101

Vectorul deplasărilor unui punct curent, ( ){ } { }Twvuzyxd ,,,, = , poate fi reprezentat prin polinoame de gradul I în x, y, z:

( )( )( ) zayaxaazyxw

zayaxaazyxvzayaxaazyxu

1211109

8765

4321

,,,,,,

+++=+++=+++=

(137)

Aceste expresii pot fi puse sub formă matriceală:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

12

2

1

100000000000010000000000001

a

aa

zyxzyx

zyx

wvu

Μ (138)

sau în reprezentare compactă, ( ){ } ( )[ ]{ }azyxzyxd ,,,, ψ= (139) Din relaţiile (137), (138) şi (139), înlocuind succesiv x, y, z cu coordonatele punctelor 1, 2, 3, 4 se obţine:

{ } [ ]{ }aAdaaa

AA

A

wvu

e

w

v

u

e

e

e

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

1

1

1

000000

(140)

unde { } { } { } { }{ } { } { } { }{ } { } { } { }T

wT

e

Tv

Te

Tu

Te

aaaaawwwww

aaaaavvvvv

aaaaauuuuu

12111094321

87654321

43214321

;

;

;

==

==

==

(141)

[ ] { }⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

w

v

u

aaa

a

zyxzyxzyxzyx

A ;

1111

444

333

222

111

1 (142)

Rezolvând ecuaţia dată de relaţia (140), se găseşte: { } [ ] { }edAa 1−= (143)

unde

[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] ⎥

⎥⎥

⎢⎢⎢

=−

11

11

11

1

000000

AA

AA (144)

Inversarea matricei [A1], de dimensiuni 4x4, se poate efectua prin procedee elementare. Substituind (143) în (139) se obţine: ( ){ } ( )[ ][ ] { } ( )[ ]{ }ee dzyxNdAzyxzyxd ,,,,,, 1 == −ψ (145) în care

( )[ ] ( )[ ][ ]

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

== −

4321

4321

4321

1

000000000000000000000000

,,,,

NNNNNNNN

NNNNAzyxzyxN ψ

(146)

Componentele deformaţiilor corespunzând deplasărilor u, v, w sunt:

Page 102: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

102

zu

xw

zw

yw

zv

yv

xv

yu

xu

zxz

yzy

xyx

∂∂

+∂∂

=∂∂

=

∂∂

+∂∂

=∂∂

=

∂∂

+∂∂

=∂∂

=

γε

γε

γε

;

;

;

(147)

Relaţiile (147), reprezentând ecuaţiile geometrice, se pot exprima în notaţie matriceală:

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂∂∂∂∂∂∂

=

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

wvu

xz

yz

xy

z

y

x

zu

xw

yw

zv

xv

yu

zwyvxu

zx

yz

xy

z

y

x

0

0

0

00

00

00

γγγεεε

(148)

sau, în formă compactă { } ( )[ ] ( ){ } ( )[ ] ( )[ ]{ }edzyxNzyxBzyxdzyxB ,,,,,,,, ∗∗ ==ε (149) Operatorul de derivare [B*(x,y,z)], de dimensiune 6x3, aplicat matricei [N(x,y,z)], de dimensiune 3x6, conduce la matricea [B(x,y,z)], de dimensiune 6x6, care are forma:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] == ∗ zyxNzyxBzyxB ,,,,,, (150)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

xN

xN

xN

xN

zN

zN

zN

zN

yN

yN

yN

yN

zN

zN

zN

zN

xN

xN

xN

xN

yN

yN

yN

yN

zN

zN

zN

zN

yN

yN

yN

yN

xN

xN

xN

xN

43214321

43214321

43214321

4321

4321

4321

0000

0000

0000

00000000

00000000

00000000

Funcţiile de formă N1, N2, N3, N4 fiind liniare, rezultă că [B(x,y,z)] este constantă. Prin urmare, elementul finit tetraedru, având ca puncte nodale nodurile primare, este un element finit cu deformaţii constante. Vectorul tensiunilor { } { }Tzxyzzyx xy

τττσσσσ = se determină din legea lui Hooke,

{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] ( )[ ]{ }edzyxBEEC ,,=== εεσ (151) unde [C] = [E] este matricea constitutivă sau a constantelor elastice, care pentru materialul izotrop are forma:

[ ] [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

++

+

==

GG

GG

GG

EC

000000000000000000200020002

λλλλλλλλλ

(152)

Page 103: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

103

Din teorema lucrului mecanic virtual (exprimat în deplasări virtuale), se obţine matricea de rigiditate a elementului finit: [ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]∫=

eV

Te dVzyxBCzyxBk ,,,, (153)

care pentru elementul finit cu 12 grade de libertate are dimensiunea de 12x12. 3.3.2. ELEMENT FINIT TETRAEDRAL ÎN COORDONATE NATURALE 3.3.2.1. Element finit tetraedral liniar Se consideră un element finit sub formă de tetraedru raportat la sistemul de referinţă cartezian xyz şi local în coordonate L – naturale (fig. 15), având patru noduri primare.

a)

b)

Fig. 15

Coordonatele L – naturale sau de volum ale unui punct curent P(x,y,z) sunt:

VVL

VVL

VVL

VVL 4

43

32

21

1 ,,, ==== (154)

unde 1234412334122341 ,,, PPPP VVVVVVVV ==== (155)

Page 104: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

104

Evident, există relaţia: 14321 =+++ LLLL (156) În figura 15b sunt date coordonatele naturale ale vârfurilor elementului finit şi ecuaţiile feţelor tetraedrului. Între coordonatele carteziene x, y, z şi cele naturale se stabilesc relaţii liniare:

=

=

=

=+++=

=+++=

=+++=

4

144332211

4

144332211

4

144332211

iii

iii

iii

zLzLzLzLzLz

yLyLyLyLyLy

xLxLxLxLxLx

(157)

Rezolvând sistemul de ecuaţii (157), la care se adaugă şi (156), în raport cu Li (i = 1, 2, 3, 4), rezultă:

( ) ( )4,,1,61

Λ=+++= izdycxbaV

L iiiii (158)

în care

111

,111

,111

,

1111

6

44

33

22

1

44

33

22

1

44

33

22

1

444

333

222

1

444

333

222

111

yxyxyx

dzxzxzx

czyzyzy

b

zyxzyxzyx

a

zyxzyxzyxzyx

V

=−=−=

==

(159)

Prin permutări circulare se obţin ceilalţi coeficienţi pentru i = 2, 3, 4. Deplasările u, v, w, ale unui punct aparţinând elementului, se determină cu relaţiile:

∑∑∑===

===4

1

4

1

4

1,,

iii

iii

iii wLwvLvuLu (160)

3.3.2.2. Element finit tetraedral cuadratic Acest element are 10 noduri, 4 primare în vârfuri şi 6 secundare în mijloacele muchiilor(fig. 16), şi permite o mai bună discretizare a contururilor curbe şi o precizie superioară a rezultatelor.

Fig. 16

Page 105: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

105

Coordonatele unui punct curent P(x,y,z) se determină cu relaţiile:

∑∑∑===

===10

1

10

1

10

1,,

iii

iii

iii zNzyNyxNx (161)

Analog rezultă câmpul deplasărilor:

∑∑∑===

===10

1

10

1

10

1,,

iii

iii

iii wNwvNvuNu (162)

Funcţiile de interpolare sau de formă Ni (i = 1, ..., 10) în raport cu Li (i = 1, ..., 10), pot fi exprimate după cum urmează:

( ) ( )

3210319218

347146245

4,4,44,4,4

4,3,2,112

LLNLLNLLNLLNLLNLLN

jLLN jjj

======

=−=

(163)

3.3.2.3. Element finit tetraedral cubic Elementul finit tetraedral cu 16 puncte nodale (fig. 17), din care 4 puncte nodale primare în vârfuri şi câte două pe muchii, astfel încât realizează diviziuni echidistante, se numeşte element tetraedral cubic.

Fig. 17

Coordonatele punctelor nodale secundare sunt:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0,31,

32,016;0,

32,

31,015;0,

31,0,

3214;0,

32,0,

3113

0,0,32,

3112;0,0,

31,

3211;

32,

31,0,010;

31,

32,0,09

32,0,0,

318;

31,0,0,

327;

32,0,

31,06;

31,0,

32,05

Ca şi în cazurile precedente, coordonatele unui punct curent (x, y, z) şi deplasările corespunzătoare se determină cu relaţiile:

∑∑∑===

===16

1

16

1

16

1,,

iii

iii

iii zNzyNyxNx (164)

Page 106: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

106

∑∑∑===

===16

1

16

1

16

1,,

iii

iii

iii wNwvNvuNu (165)

Funcţiile de interpolare Ni (i = 1, ..., 16) au următoarele expresii:

( )( ) ( )4,,123132

Λ=−−= jLLL

N jjj

j

( ) ( ) ( )132

9,132

9,132

94

1472

2464

245 −=−=−= LLLNLLLNLLLN

( ) ( ) ( )132

9,13

29

,132

93

14104

3491

148 −=−=−= L

LLNL

LLNL

LLN (166)

( ) ( ) ( )132

9,13

29

,132

91

31131

21122

2111 −=−=−= L

LLNL

LLNL

LLN

( ) ( ) ( )132

9,13

29

,132

93

32162

32153

3114 −=−=−= L

LLNL

LLNL

LLN

Pentru determinarea matricei de rigiditate a elementului finit se exprimă în continuare deformaţiile specifice, tensiunile şi condiţia de echilibru prin lucrul mecanic virtual. 3.3.3. ELEMENTUL FINIT HEXAEDRAL 3.3.3.1. Element finit paralelipipedic În coordonate carteziene se consideră cazul paralelipipedului, care este un hexaedru particular. Punctele sale nodale sunt în vârfuri, deci are 8 noduri, iar pe fiecare nod câte 3 grade de libertate(deplasările în direcţiile celor trei axe de coordonate). Numărul total al gradelor de libertate pe element este 8x3 = 24 (fig. 18).

Fig. 18

Polinomul generator pentru o deplasare va avea 8 termeni, după cum urmează: xyzzxyzxyzyx1 (167) În lungul unei muchii deplasările variază liniar. Procedeul de interpolare pentru paralelipiped este asemănător cu cel utilizat la tetraedru. Matricea [A] a coordonatelor este, ca şi în celelalte cazuri, cvasidiagonală,

[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]⎥

⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

1

1

1

000000

AA

AA (168)

Page 107: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

107

Submatricea [A1] este de dimensiune 8x8. Pentru a inversa [A] (de dimensiune 24x24) este suficient să se inverseze [A1]. Vectorii deformaţiilor şi tensiunilor sunt similari cu cei ai tetraedrului (relaţia 149, respectiv 151). Dimensiunea matricei [N] = [ψ][A]-1 este 3x24, iar a matricei [B], 6x24. Matricea de rigiditate are aceeaşi formă standard (153). 3.3.3.2. Element finit hexaedral izoparametric Conceptul funcţiilor izoparametrice de interpolare pentru elemente bidimensionale se extinde la elementul finit hexaedral tridimensional. Mai întâi se consideră paralelipipedul rectangular (fig. 19 a), pentru care se folosesc coordonate adimensionale faţă de centrul C, de coordonate carteziene xC, yC, zC. Laturile paralelipipedului sunt 2a, 2b, 2c, iar coordonatele adimensionale ξ, η, ζ se exprimă:

czz

byy

axx CCC −

=−

=−

= ςηξ ,, (169)

Fig. 19

Valorile coordonatelor unui punct se situează între -1 şi +1, şi o singură coordonată variază în lungul unei muchii. Coordonatele colţurilor paralelipipedului au valorile:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1,1,18,1,1,17,1,1,16,1,1,15

1,1,14,1,1,13,1,1,12,1,1,11−−−−

−−−−−−−−

Se consideră, de asemenea, un hexaedru regulat orientat arbitrar (fig. 19 b). Se definesc coordonatele ξ, η, ζ astfel încât feţele corespund la ±1:

1;1;11;1;1

6,7,3,28,7,6,57,8,4,3

5,8,4,14,3,2,16,5,2,1

=⇒=⇒=⇒

−=⇒−=⇒−=⇒

ξζηξζη

SSSSSS

Coordonatele vârfurilor hexaedrului sunt aceleaşi cu ale paralelipipedului. Deplasările u, v, w sunt componentele vectorului ( ){ } { }Twvuzyxd ,,,, = , iar deplasările nodale

formează trei subvectori { } { } { }eee wvu ,, , având fiecare câte 8 componente:

{ } { } { } { } { } { }Te

Te

Te wwwwvvvvuuuu 821821821 ;; ΛΛΛ === (170)

La hexaedrul cu 24 grade de libertate nodale funcţiile de interpolare sunt de gradul I şi variază liniar în lungul unei laturi. Se pot stabili funcţii de interpolare folosind funcţia: ( ) ξηζαξζαηζαξηαζαηαξααζηξ 87654321,, +++++++=f (171)

Se obţin următoarele funcţii de formă:

( )( )( ) 8,,2,111181

Λ=+++= iN iiii ζζηηξξ (172)

Este remarcabil faptul că pentru determinarea coordonatelor carteziene ale unui punct generic şi pentru determinarea deplasărilor nodale se folosesc aceleaşi funcţii de formă:

Page 108: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

108

∑∑∑===

===8

1

8

1

8

1

,,i

iii

iii

ii zNzyNyxNx (173)

∑∑∑===

===8

1

8

1

8

1

,,i

iii

iii

ii wNwvNvuNu (174)

Matricea de rigiditate a unui element finit are expresia cunoscută: [ ] [ ] [ ][ ]∫∫∫=

eV

Te dVBCBk (175)

unde [ ] [ ][ ]NBB ∗= (176) iar [C] este matricea constitutivă. Pentru a determina [B] se foloseşte jacobianul şi transformarea de coordonate:

[ ] [ ] )); 1 b

f

f

f

J

zfyfxf

a

zyx

zyx

zyx

J

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

∂∂∂∂∂∂

=

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

∂∂∂∂∂∂

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= −

ζ

η

ξ

ζζζ

ηηη

ξξξ

(177)

Elementul diferenţial de volum dV se exprimă: [ ] ζηξ dddJdxdydzdV == (178) unde [J] este valoarea absolută a determinantului jacobian. Pentru laturi curbe se pot folosi funcţii de interpolare de ordin superior. Astfel se pot obţine elemente finite cuadratice (patratice) şi cubice, care corespund unei variaţii pătratice, respectiv cubice a coordonatelor în lungul muchiilor. Un astfel de element poate fi cel cu 8 puncte nodale primare (în vârfuri) şi 12 în mijloacele muchiilor, în total 20 de puncte nodale (fig. 20); fiecare nod având trei grade de libertate, elementul finit are 60 de grade de libertate.

Fig. 20

Funcţiile de interpolare depind de poziţiile nodurilor şi au expresiile:

- nodurile 1, ..., 8

( )( )( )( )211181

−+++++= ζζηηξξζζηηξξ iiiiiiif (179)

- nodurile 13, ..., 16

( )( )( )ηηξξζ iiif ++−= 11141 2 (180)

- nodurile 9, 11, 17, 19

Page 109: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

109

( )( )( )ζζηηξ iiif ++−= 11141 2 (181)

- nodurile 10, 12, 18, 20

( )( )( )ζζξξη iiif ++−= 11141 2 (182)

Coordonatele carteziene ale unui punct curent şi deplasările corespunzătoare se calculează cu relaţii de forma ( 173) şi respectiv ( 174), în care sumarea se face de la 1 la 20. În continuare se parcurg aceleaşi etape ca la celelalte tipuri de elemente finite analizate. 4. PLACI PLANE SI CURBE 4.1 CALCULUL PLACILOR INCOVOIATE PRIN METODA ELEMENTELOR FINITE 4.1. 1Consideratii preliminare Se considera placi plane actionate de forte normale pe planul median. Se analizeaza cazul placilor plane subtiri cu deformatii mici, neglijabile fata de unitate si deplasari mici in raport cu grosimea. Prin urmare conditiile de echilibru se exprima pe structura nedeformata. Se admite ipoteza segmentului normal si drept consecinta distributiile tensiunilor xyyx τ,σ,σ sunt liniare pe grosime. Placa se partitioneaza in subdomenii disjuncte numite elemente finite, care in general pot avea forma de dreptunghi, triunghi, patrulater. In continuare se considera elemente finite dreptunghiulare, respectiv triunghiulare, frecvent folosite in practica. Punctele nodale se iau in colturi si eventual pe laturi. Fiecarui punct nodal i se ataseaza un numar convenabil de grade de libertate. Punctele nodale din colturi, gradele de libertate sunt, cel putin, deplasarile normale pe planul median, w si rotirile normale la planul median in jurul laturilor notate,

.θ,θ yx Unui punct nodal de colt i se ataseaza deci minimum trei grade de libertate. Numarul gradelor de libertate pe nod poate creste si cu alti parametri, ca de exemplu curburile suprafetei mediane deformate in punctele nodale. 4.1. 2 Element finit dreptunghiular Se considera cazul cel mai simplu de element finit dreptunghiular cu puncte nodale in colturi. Deci un element finit are patru noduri si douasprezece grade de libertate.

Fig 1

Vectorul deplasarilor nodale are patru subvectori, fiecare cu cate trei componente(Fig 1a)

Page 110: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

110

Te ei ej ek e1

i j k i

ei xi ej xj ek xk el xi

yi yj yk yi

{d }={{d }{d }{d }{d }}

W W W W{d }= θ {d }= θ {d }= θ {d }= θ

θ θ θ θ

ì ü ì ü ì ü ì üï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïí ý í ý í ý í ýï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïî þ î þ î þ î þ

Fortele nodale care reprezinta echivalent efectelor sumate ale sarcinilor exterioare aferente, fortelor masice, altor actiuni, formeaza de asemenea un vector cu patru subvectori care la randul lor au cate trei componente, o forta normala si doua cupluri in jurul laturilor (Fig 1b)

Te ei ej ek e1

i j k 1

ei xi ej xj ek xk e1 x1

yi yj yk y1

{F }={{F }{F }{F }{F }}

Q Q Q Q{F }= M {F }= M {F }= M {F }= M

M N N N

ì ü ì ü ì ü ì üï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïí ý í ý í ý í ýï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïî þ î þ î þ î þ

Intre vectorul fortelor nodale e{F } si vectorul deplasarilor nodale e{d } se stabileste o relatie, in particular liniara pentru placi din materiale care asculta de legea lui Hooke. Proportionalitatea intre 2 vectori de aceeasi dimensiune se realizeaza, deci prin intermediul unei matrici patrate. Functia de deplasare w(x, y) se alege sub forma unui polinom cu douasprezece parametri corespunzator numarului gradelor de libertate nodale:

2 2 3 2 2 3 3 31 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12w(x,y)=a +a x+a y+a x +a xy+a y +a x +a x y+a xy +a y +a x y+a xy (1)

in care e e(x,y) S (S fiind domeniul pe care este definit elementul finit)Î . Un punct M din planul median al elementului finit se regaseste in M* pe suprafata deformata a acestuia la distanta w masurata pe normala la planul median(Figura 2)Curbele de pe suprafata deformata, obtinute prin intersectia cu plane la axele de coordinate au in M* pantele x yθ si θ a caror expresii se obtin din (1) prin derivare.

2 9 2 2 3x 2 4 3 7 8 11 12

2 2 3 2y 3 3 6 8 9 10 11 12

δwθ (x,y)= =a +2a x+a y +3a x +2a xy+a y +3a x y+a yδxδwθ (x,y)= =a +a x+2a y+a x +2a xy+3a y +a x +3a xyδy

(2

Fig. 2

Page 111: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

111

Functa de deplasare w(x, y)si pantele xθ si yθ sunt continue in orice punct din interiorul domeniului S e . Pe frontiera continuitatea trebuie verificata. Daca deplasarile pe frontiera intre doua noduri consecutive se pot exprima in mod univoc in raport cu parametric nodali, se poate conchide ca este realizata continuitatea. In caz contrar continuitatea nu se realizeaza. Fie, de exemplu, latura ij , pentru care expresiile deplasarilor sunt:

2 31 3 6 10

2 32 5 9 10

23 6 102 3

x

y

w a a y a y a ya a y a y a ya a y a y

θ

θ

= + + +

= + + += + +

(3)

Se constata ca deplasarile de pe aceasta latura depind de opt parametri. Se exprima deplasarile din nodurile i si j, pentru y=0 si respectiv y=b e .

2 31 j 1 3 6 10

2 32 xj 2 5 9 12

23 yj 3 6 10

w

2 3

i e e e

xi e e e

yi e e

w a a a b a b a b

a a a b a b a b

a a a b a b

θ θ

θ θ

= = + + +

= = + + +

= = + +

(4)

Deplasarile w si yθ din (4), depind de patru parametri 1 3 6 10( , , , )a a a a care pot fi exprimati univoc

in raport cu deplasarile nodale , , , .i j yi yjw w θ θ Urmeaza ca w(x, y) si ( , )y x yθ sunt continue pe

frontiera ij. Panta(rotirea) xθ in directia normala la frontiera ij depinde de patru parametri

2 5 9 10( , , , )a a a a , iar conditiile in nodurile i si j, in numar de doua, sunt insuficente pentru determinarea parametrilor generalizati in raport cu deplasarile nodurilor adiacente, prezentand discontinuitati. Analizand intreaga frontiera se ajunge la concluzii asemanatoare. Functia de deplasare w(x, y)din (1) nu asigura continuitatea pentru pantele in directia normala de contur. Deplasarile w(x, y), x yθ (x,y),θ (x,y) formeaza un vector T

y{d(x,y)}={w }xθ θ , care in raport cu

vectorul parametrilor generalizati T1 2 12{a}={a a .....a } are expresia:

{d(x,y)}=[f(x,y)]{a} (5) unde

2 2 3 2 2 3 3 3

2 2 2 3

2 2 3 2

1 x y x[f(x,y)]= 0 1 0 2 0 3 2 0 3

0 0 1 0 2 0 2 3 3

xy y x x y xy y x y xyx y x xy y x y y

x y x xy y x xy

é ùê úê úê úê úê úë û

(6)

Folosind tehnica interpolarii se vor exprima parametrii generalizati in functie de parametrii nodali. Pentru aceasta, mai intai, se exprima cu ajutorul ecuatiei (5), deplasarile in nodurile elemntului finit. Deci pentru )0=y,0=x(i ii ,

j j k e k l e l ej(x =0,y =0),k(x =a ,y =0),l(x =a ,y =b ) se obtine:

ei i i

ej j j e

ek k k e

el l l e e

{d }=[f(x ,y )]=[f(0,0)]{a}{d }=[f(x ,y )]=[f(0,b )]{a}{d }=[f(x ,y )]=[f(a ,0)]{a}{d }=[f(x ,y )]=[f(a ,b )]{a}

(7)

Page 112: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

112

Particularizarea coordonatelor s-a facut pentru sistemul de referinta local utilizat (Fig. 2). S-a obtinut un system de douasprezece ecuatii in care cei doisprezece parametri generalizati se considera necunoscute ce urmeaza sa se exprime in functie de parametrii localizati (deplasarile din nodurile elementului finit). Se face notatia:

i i

ej j

ek k

e el l

[f(0,0)][f(x ,y )][f(0,b )][f(x ,y )]

[A]= =[f(a ,0)][f(x ,y )][f(a ,b )][f(x ,y )]

é ùé ùê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úë û ë û

(8)

care este o matrice patrata de 12x12, nesingulara. Sistemul(7) devine { } [ ]{ }ed A a= (9) in care xi yi j xj k xk yk l xl yl{ } { w w w }T

e i yjd w θ θ θ θ θ θ θ θ= este vectorul deplasarilor nodale.

Inversand matricea [A] si inmultind cu 1[ ]A - ambii membri ai ecuatiei (10), se obtin parametrii generalizati in functie de deplasarile din noduri{d e } 1{ } [ ] { }ea A d-= (10) Introducand vectorul {a} din (10) in expresia (5) vectorul {d(x, y)}, ia forma: -1

e e{d(x,y)}=[f(x,y)][A ]{d }=[N(x,y)][d ] (11) Deformatiile specifice x y xyε ,ε ,λ exprimate in raport cu w(x, y) sunt date de relatiile

2 2 2

x y xy2 2

δ w δ w δ wε =-z , ε =-z , γ =-2zδw δy δxδy

(12)

Vectorul deformatiunilor specifice {τ }= y xy{ }Txτ τ γ se poate pune sub forma

x

y x

xy y

δ0 0δxε w(x,y)

δε =-z 0 0 θ (x,y) =-z[B*(x,y)]{d(x,y,z)}δy

γ θ (x,y)δ δ0δy δx

é ùê úê úé ù ì üê úï ïï ïê ú ê úï ïï ïê ú ê úí ýê ú ê úï ïê ú ï ïê úï ïê ú ï ïë û î þê úê úê úë û

(13)

sau { } e eε =-z[B*(x,y)][N(x,y)]{d }=-z[B(x,y)]{d } (14) unde [B(x,y)]=[B*(x,y)][N(x,y)] (15) Pentru determinarea tensiunilor se foloseste legea lui Hooke { } eσ =[E]{τ}=-z[E][B(x,y)]{d } (16) Matricea de elasticitate sau rigiditate, [E], caracterizeaza materialul. In particular pentru placi ortotrope legea constitutive are forma

Page 113: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

113

{ }x x x

y y y

xy xy

σ E' E'' 0 eσ = σ = E'' E' 0 e =[E]{ε}

τ 0 0 G γ

ì ü ì üé ùï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïê úí ý í ýê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïë ûï ï ï ïî þ î þ

(17)

Pentru placi izotrope aceasta devine:

{ }x x

y y2

xy xy

σ 1 υ 0 eEσ = σ = υ 1 0 e =[E]{ε}

1-υτ 1-υ γ0 0

2

é ùê úì ü ì üï ï ï ïê úï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïê úí ý í ýï ï ï ïê úï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïî þ î þê úê úë û

(18)

In continuare se foloseste teorema lucrului mecanic virtual in varianta deplasarilor virtuale L= Uδ δ unde δL este variatia lucrului mechanic al fortelor exterioare cu deplasarile virtuale{δd e }. Primul membru δL al relatiei (21) este generat de fortele echialente aplicate in noduri si de sarcinile aplicate pe suprafata elementului finit sub forma de forte si cupluri distribuite e θ xθ yθ e x y{Q ={P M M }, {q }={p m m } (20) Care parcurg deplasarile virtuale {δd e }, respective (δd(x, y)). In vectorul {q e } se introduc si fortele din greutatea proprie. Se exprima lucrul mecanic virtual al fortelor exterioare T T T T T

e e e e e e eB B

δL={δd } {Q }+ (δd) {q }dS={δd } {Q }+{δd } [N] {q }dSòò òò (21)

Variatia deplasarilor conduce la variatii virtuale ale deformatiilor specifice si implicit a energiei potentiale

{ }τ

x x y y xy xyV V

δU= (δε σ +δε σ +δγ τ )dV= δε {σ}dVòòò òòò (22)

Vectorul (δε) poate fi exprimat in functie de vectorul (δd e ) dupa cum urmeaza: e{δε}=-z[B(x,y)]{δd } (23) Variatia energiei potentiale, tinand cont de (16 ) si (23) devine:

2

VδU= { } [ ( , )] [ ][ ( , )]{ }

TT

e ed B x y E B x y d z dVδòòò (24)

Egaland (21) si (24) si simplificand cu { }T

edδ se obtine :

e

T T 2e e e

SV

{Q }+ [N] {q }dS= ([B(x,y)] [E][B(x,y)]z dV){d }òò òòò (25)

In primul membru sunt fortele nodale echivalente globale:

Page 114: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

114

Te e e

S

{F }={Q }+ [N] {q }dSòò (26)

In membrul al doilea al relatiei (25) se distinge vectorul deplasarilor nodale {d e } si matricea de rigiditate a elementului finit [k e ] care are expresia

e

T 2e

V[k ]= [B(x,y)] [E][B(x,y)]z dVòòò (27)

Daca domeniul ocupat de elemental finit grosimea acestuia se considera constanta , separand integralele rezulta

2 3

2

2

12

h

h

hz dz-

si

3

[ ] [ ( , )] [ ][ ( , ) ]12

Te

S

hk B x y E B x y dS= òò (28)

Pentru calcule practice, adesea sunt necesare eforturile , ,x y xyM M M . Plecand de la relatiile de definitie se obtine

2 2 3

2

2 2

[ ][ ( , )]{ } [ ][ ( , )]{ }12

h hx x

y y e eh h

xy xye

MhM zdz E B x y d z dz E B x y d

M

σστ- -

ì ü ì üï ï ï ïï ï ï ïï ï ï ïï ï ï ï= = - = -í ý í ýï ï ï ïï ï ï ïï ï ï ïï ï ï ïî þ î þò ò (29)

Comparand (12) cu (13), rezulta: [ ( , )]{ } ( )e eB x y d χ= - (30) unde

( )

2

2

x 2

y 2e

xy 2e

e

w-xχwχ = χ = -

w-x y

ì üï ï¶ï ïï ïï ï¶ï ïì üï ï ï ïï ï ï ï¶ï ï ï ïï ïí ý í ýï ï ï ï¶ï ï ï ïï ï ï ïï ïî þ ï ï¶ï ïï ïï ï¶ ¶ï ïî þ

(31)

Deci:

x 3 3

y e e

xy

Mh hM =- [E][B(x,y)]{d }= (χ)12 12

M

ì üï ïï ïï ïï ïí ýï ïï ïï ïï ïî þ

(32)

Page 115: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

115

4.1. 3 Determinarea deplasarilor, eforturilor si tensiunilor Conditiile de continuitate(compatibilitate) si de echilibru exprimate pentru nodurile structurii discretizate, conduc la un sistem de ecuatii care in notatia matriceala se reprezinta: G G G[K ]{D }={P } (33) unde [K G ] -matricea de rigiditate globala a structurii, {D G } -vectorul deplasarilor din nodurile structurii, {P G } -vectorul fortelor nodale. Matricea [K G ]este singulara, inainte de a introduce conditiile de rezemare a placii. Intrucat in nodurile de rezemare deplasarile sunt nule, se retin numai ecuatiile corespunzatoare deplasarilor necunoscute. Aceasta revine la a suprima din matricea [K G ]liniile si coloanele ce corespund deplasarilor din reazeme. Mai general, se efectueaza o partitionare a matricei [K G ] si a vectorilor {D G } si {P G }

[K] [ ''] { } { }[K''] [ '] { '} { '}

K D PK D P

é ùì ü ì üï ï ï ïï ï ï ïê ú =í ý í ýê úï ï ï ïï ï ï ïë ûî þ î þ (34)

Unde {D}-vectorul deplasarilor necunoscute, {D'}-vectorul deplasarilor din nodurile de reazem,{P}-vectorul fortelor exterioare aplicate in noduri,{P'}={R}-vectorul reactiunilor .

In cazul rezemarii rigide {D’}=(0) si se obtine [K]{D}={P} (35) cu solutia {D}= -1[K] {P} (36) Si reactiunile {R}=[K’’] H {D} (37) Un caz mai general , este acela al rezemarii elastice reactiunile fiind proportionale cu deplasarile r{R}=-[K ]{D'} (38) unde [K r ] este matricea rigiditatii reazemelor. Ecuatiile (34), tinand cont de (38), devin a. [K]{D}+[K'']{D'}={P} (39) b. T

r[K''] {D}+[K']{D'}=-[K ]{D'} Acest sistem se reorganizeaza sub forma

Tr

[K] [K''] {D} {P}=

[K''] [K']+[K ] {D'} {O}é ùì ü ì üï ï ï ïï ï ï ïê úí ý í ýê úï ï ï ïï ï ï ïî þ î þë û

(40)

sau

Page 116: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

116

c c[K ]{D}={P } (41) unde c[K ] este matricea corectata. Inversand matricea c[K ] se determina vectorul {D}, iar cu ecuatia (38) se calculeaza reactiunile. Daca in nodurile cu rezemari elastice, exista si forte exterioare aplicate, cunoscute, atunci vectorul

G{P }={{P} {P}={R}+{P}} iar in membrul doi al ecuatiei (40) apare vectorul T{{P} {P}} .Avand deplasarile nodale cu ajutorul relatiei (29) se determina eforturile. Pentru punctele date se localizeaza matricea [B]. 4.1. 4. Element finit triunghiular In cazul unor placi de alte forme, decat dreptunghiulare se utilizeaza adesea elemente finite triunghiulare . In literature exista mai multe rezolvari care au in vedere numarul de puncte nodale , numarul de parametric pe nod, tipul functiei de forma, alegerea sistemului de referinta local, etc. . Se prezinta amplificare cazul elementului finit triunghiular in coordonate carteziene , avand trei grade de libertate pe nod, deplasare w, normala la suprafata mediana si pantele la suprafata mediana deformata in directia axelor de coordinate din planul elementului

x yx i y iδw δwθ = =w ,θ = wδx δy

. Punctele nodale sunt in varfurile triunghiului(noduri primare).

Figura 3 In Fig. 3, placa triunghiulara este discretizata in elemente finite, de asemenea triunghiulare. In Fig 4 este reprezentat elemental finit cu deplasarile si fortele din noduri. Elementul finit are 3x3 grade de libertate. Se propune pentru deplasarea w(x, y) o relatie polinomiala de forma:

2 2 3 2 2 31 2 3 4 5 6 7 8 9w=a +a x+a y+a x +a xy+a y +a x +a (xy +x y)+a y (42)

Page 117: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

117

Figura 4 Termenul variabil cu care se multiplica parametrul a e s-a luat sub aceasta forma pentru a mentine simetria functiei w(x, y). Vectorul deplasarilor nodale este T

e 1 2 9{d }={d d ...... d } , iar vectorul parametrilor generalizati T

1 2 9{a}={a a .... a } . Deplasarile intr un punct curent al elementului finit sunt w(x, y), x yθ (x,y),θ (x,y) si formeaza vectorul campului de deplasare x y{d(x,y)}={w(x,y) θ (x,y) θ (x,y)}, unde {d(x,y)}=[f(x,y)]{a} (43) in care matricea [f(x, y)] este

2 2 3 2 2 3

2 2

2 2

1[f(x,y)]= 0 1 0 2 0 3 y 2 0

0 0 1 0 2 0 2 3

x y x xy y x xy x y yx y x xy

x y xy x y

é ù+ê úê ú+ê úê ú+ê úë û

(44)

Vectorul deplasarilor nodale {d e }se exprima sub forma {d e }=[A]{a} (45) unde

i i

j j

k k

[f(x ,y )][A]= [f(x ,y )]

[f(x ,y )] 9x9

é ùê úê úê úê úë û

(46)

Inversand matricea [A] se obtine vectorul deplasarilor generalizate in functie de cele nodale

Page 118: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

118

-1e{a}=[A] {d } (47)

si apoi rezulta vectorul campului de deplasare sub forma -1

e e{d(x,y)}=[f(x,y)][A] {d }=[N(x,y)]{d } (48) In continuare se procedeaza ca si la elementul finit dreptunghiular. Pentru descrierea deplasarilor w(x, y) la elementele finite triunghiulare s-a folosit de asemenea functia 2 2 3 2 2 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9w(x,y)=a +a x+a y+a x +a y +a x +a x y+a xy +a y care conduce la rezultate bune. Ansamblarea urmeaza o cale similara celei prezentate la problema plana , cu specificatia ca gradele de libertate pe nod sunt in numar de trei , o translatie normala la suprafata elementului (dupa axa z) si doua rotiri in raport cu axele x si y din planul elementului si acestor grade de libertate le corespund o ecuatie de momente fata de axele x si y. In cazul discretizarii unei placi plane in elemente finite dreptunghiulare , echilibrul unui nod antreneaza conexiuni cu patru elemente finite respectiv opt noduri. Numarul total al deplasarilor structurii discretizate cu n noduri va fi 3n.

5. METODE NUMERICE PENTRU ANALIZA SISTEMELOR DINAMICE

Ecuatiile miscarii(vibratiilor sau oscilatiilor) unui sistem dinamic cu n grade de libertate

sunt: ( )MD CD KD P t+ + =&& & ( 1a) unde M-matricea(consistenta,semiconsistenta sau diagonala cu mase concentrate)de inertie, C-este matricea de amortizare, D,D,D&&& -vectorii deplasarilor gradelor de libertate (nodale),al vitezelor,respectiv al acceleratiilor, P(t)- vectorul actiunii dinamice. In general,matricea de amortizare se poate exprima ca o combinatie liniara de matrice a maselor si de rigiditate sub forma: C=αM+βK ( 1b) unde α ,β -constante numerice determinate experimental. Daca C=0 vibratiile sunt neamortizate,in caz contrar sunt amortizate. Matricele M,C,K reprezinta caracteristicile primare ce descriu un sistem dinamic,care s-au stabilit in capitolele precedente prin metoda elementului finit. Actiunea dinamica poate fi si actiune seismica ,de forma: gP(t)=-MrQ ( 1c) unde r- vector cu componentele proiectii ale unui vector unitar (versor),al seismului pe directia gradului de libertate corespunzator, gQ -acceleratia seismica

Page 119: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

119

Daca P(t)=0 vibratiile sunt libere,iar in caz contrar sunt fortate. In sistemul de ecuatii ( 1a) se considera ca au fost introduse,deja,conditiile de rezemare ale structurii,dar pentru determinarea constantelor de integrare in raport cu timpul trebuie precizate conditiile initiale,care pot fi: t=0 0 t=0D =D , D =0 ( 1d) adica se cunosc la timpul initial valorile deplasarilor si vitezelor(daca sunt nule structura isi incepe vibratiile din repaos). Sistemul de ecuatii ( 1a) are ecuatiile cuplate prin intermediul matricei de rigiditate ,chiar daca matricea maselor si de amortizare sunt matrice diagonale(deci exista si decuplare inertiala si de amortizare). Variatiile in timp ale deplasarilor (D),vitezelor ( D&) si acceleratiilor ( D&&),care se numesc si coordonate dinamice,caracterizeaza raspunsul fortat total pe timpul istoric al aplicarii actiunii dinamice,P(t),evaluat in marimi absolute.Acest raspuns total poate fi determinat prin : -suprapunere nodala, -integrare directa 5.1 METODA SUPRAPUNERII MODALE Stabilirea raspunsului dinamic liber sau fortat ,al unui sistem dinamic,prin analiza modala, consta in exprimarea celor n ecuatii dinamice cuplate de conditie ( 1a) printr un sistem de n ecuatii independente ,in care intervin in exclusivitate caracteristicile dinamice proprii ale fiecarui mod de vibratie. Se realizeaza deci o decuplare a ecuatiilor ( 1a),cu ajutorul unor coordonate independente ,in care intervin in exclusivitate caracteristicile dinamice proprii ale fiecarui mod de vibratie. Avantajele metodei consta in aceea ca: -pune in evidenta contributia si efectul fiecarei componente nodale in estimarea raspunsului dinamic total si -da posibilitatea trierii modurilor de vibratie in functie de importanta lor calitativa si cantitativa. Asa cum s-a prezentat anterior ,caracteristicile dinamice proprii ale unui sistem dinamic se obtin din problema generala valori si vectori proprii: 3( - ) 0K Mω φ = ( 2a) unde φ -vectorul formei de vibratie Rezolvarea acestei probleme conduce la determinarea matricelor ce caracterizeaza sistemul dinamic : -matricea speciala Ω = , -matricea modala 1[ ....... ]nφ φ φ= In matricea modala fiecare coloana este un vector propriu.Cu ajutorul acestor matrice,problema de valori si vectori proprii ( 2a)se poate scrie si sub forma : K Mφ φΩ= ( 2b)

Page 120: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

120

Pe baza proprietatilor de ortogonalitate a vectorilor proprii din φ ,iin raport cu matricele primare M,C,K, se obtin matricele generalizate ,diagonale,ce caracterizeaza un sistem dinamic si care se evalueaza cu relatiile: -matricea generalizata de inertie sau matricea maselor nodale * TM Mφ φ= ( 3a) -matricea generalizata de amortizare sau matricea de amortizare nodala: * TC Cφ φ= ( 3b) -matricea generalizata de rigiditate sau matricea de rigiditate nodala: * TK Kφ φ= ( 3c) De asemenea ,in vederea exprimarii rapunsului dinamic decuplat ,matricea modala φ este folosita ca o transformare liniara de coordonate: D(t)=φη(t) ( 4a) unde η -vectorul coordonatelor generalizate (normale,principale sau modale).Prin derivari succesive a relatiei ( 4a) se obtin vectorii vitezei ,respectiv acceleratiei: ( ) ( ) , ( ) ( )D t t D t tφη φη& &&& &&= = ( 4b) Introducand relatiile( 4) in sistemul de ecuatii ( 1a)se obtine: ( )M C K P tφη φη φη&& &+ + = ( 5a) sau prin premultiplicarea cu Tφ si tinand seama de ( 3)rezulta: * * *M η+C η+K η=P(t)&& & ( 5b) unde * TP (t)=φ P(t) -vectorul actiunilor generalizate . Forma ( 5b) a ecuatiilor miscarii unui sistem dinamic,exprimat in coordonate modale ,in care matricele generalizate sunt diagonale,pune in evidenta decuplarea ecuatiilor de miscare initiale din ( 1a) exprimate in coordonate dinamice totale .Prin aceasta decuplare s-a obtinut un sistem de n ecuatii independente ,care depind numai de caracteristicile modale proprii de vibratie asa cum rezulta din ( 3). Din punct de vedere formal,ecuatia matriceala ( 5b )si oricare ecuatie din acest sistem,este identica cu ecuatia de miscare a unui sistem cu un grad de libertate. Intrucat toate ecuatiile din sistemul decuplat sunt identice ca forma,in urma integrarii lor se va determina o solutie cu caracter general,care prin particularizare conduce la expresia coordonatei generalizate pentru fiecare mod propriu de vibratie. Forma integrabila a ecuatiei modale ( 5b) se obtine prin premultiplicarea acesteia cu inversa matricei de inertie,obtinandu-se:

-1 -1 -1 -1* * * * * * * *M M η+M C η+M K η=M P&& & ( 5d) care se mai poate simplifica.

Page 121: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

121

Daca se considera cazul sistemelor dinamice cu amortizare vascoasa liniara slaba,atunci in relatia ( 1b) se poate considera β =0 si prin analogie cu sistemele dinamice cu un grad de libertate ,matricea de amortizare se poate pune sub forma: C=αM=2νωM ( 6a) unde ν -fractiunea din amortizarea critica. Valoarea lui ν depinde de tipul structurii,mai ales de natura materialului din care este realizata si de modul propriu de vibratie si se obtine pe cale experimentala. Fractiunea din amortizarea critica are o larga utilizare in dinamica structurilor si in special in ingineria seismica; ν este un numar adimensional si caracterizeaza capacitatea de amortizare a structurii. In cazul ν=1 amortizarea se numeste critica si miscarea e aperiodica,pierzandu-si caracterul oscilator. Daca ν>1 amortizarea este supracritica si de asemenea miscarea este aperiodica. In aceste miscari aperiodice sistemul dinamic,care a fost scos din pozitia de echilibru revine la pozitia initiala fara a oscila(figura 1) Din punct de vedere practic intereseaza cazul cand ν<1,iar miscarea e pseudoarmonica cu pulsatia: * 2

1 1ω =ω 1-ν si amplitudinea descrescand exponential. In cazul ν=0,oscilatiile sunt neamortizate si miscarea este aromonica cu pulsatia 1ω .

Figura 1

In conformitate cu ( 3) produsele din ( 5d) devin:

-1

-1 -1 -1 -1

* *

* * * * * *

2 2 2T T

M M I

M C M C M M M M Iφ φ νω φ φ νω νω

=

= = = = = ( 6b)

-1 -1 -1 -1* * * * * *T TM K M K M M M Mφ φ φ φ= = Ω = Ω = Ω unde s-a tinut seama si de ( 2b).In baza acestor relatii sistemul de ecuatii ( 5d) devine:

Page 122: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

122

( 7a) adica un sistem de n ecuatii independente (decuplate) de forma:

*2 i

i i i i i i *i

Pη +2ν ω η +ω η =M

i=1,........,n

&& & ( 7a)

La aceste ecuatii trebuie atasate conditii initiale in coordonate generalizate ,care se obtin din conditiile initiale( 1d) in coordonate dinamice.Relatia de transformare a coordonatelor ( 4a)este premultiplicata cu Tφ M obtinandu-se *T TMD M Mφ φ φη η= = ( 8a) tinand seama de prima relatie de ortogonalitate ( 3); din aceasta relatie rezulta

1* TM MDη φ−

= ( 8b) care reprezinta transformarea inversa de coordonate si din care rezulta prin derivare:

1* TM MDη φ−

= && ( 8c) Din relatiile ( 8b)si ( 8c) considerate la momentul initial,t=0,rezulta:

1 1* *0 0 0 0 , T TM MD M MDη φ η φ

− −

= = && ( 9a) sau

0 0

0 0* * ,

t t

i ii i

MD MDM M

φ φη η= =&

& ( 9b)

care reprezinta conditiile initiale pentru ecuatiile de miscare( 7) Rezolvarea sistemului de ecuatii ( 7b) cu conditiile la limita ( 9b)se poate face prin doua clase de metode: -exprimarea solutiei generale a sistemului de ecuatii decuplate ca o suma: L Fη η η= + ( 10) unde - Lη -solutia generala a ecuatiilor omogene, - Fη -solutia particulara a ecuatiilor neomogene,a carei forma depinde de actiunea exterioara P(t), -integrarea numerica a fiecarei ecuatii in parte si exprimarea fiecarei functii ( )i tη prin valorile sale la intervale discrete de timp.

Page 123: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

123

In cazul integrarii numerice algoritmii metodelor de integrare numerica realizeaza relatii de recurenta,care leaga valorile functiilor de raspuns modal de la un timp dat ,de cele precedente .Aceste metode pot fi aplicate insa direct sistemelor de ecuatii cuplate . Dupa determinarea parametrilor de raspuns modal ,prin cele doua clase de metode,cu relatiile de transformare ( 4) se determina raspunsul dinamic in coordonate dinamice si apoi starea de eforturi. 5.2 METODE DE INTEGRARE DIRECTA A ECUATIILOR DINAMICE Integrarea directa poate fi aplicata fie ecuatiilor cuplate ( 1a) cu conditiile initiale( 1d),fie ecuatiilor decuplate (in coordonate generalizate)( 7b) cu conditiile ( 9b).In general,se aplica ecuatiilor cuplate pentru ca se obtine direct raspunsul sistemului dinamic la intervale discrete de timp(valorile coordonatelor dinamice),care consta in determinarea deplasarilor D,vitezelor D& si acceleratiilor D&&.Aceasta constituie deci o analiza in timp a raspunsului dinamic numit si istoria in timp(time history). Algoritmii de integrare se bazeaza pe stabilirea unor expresii aproximative,care leaga parametrii de raspuns la un timp dat,de valorile lor din unul sau mai multe momente de timp anterioare;se stabileste deci o evolutie in timp a acestor parametri pornind de la timpul initial,in care valorile acestora sunt cunoscute prin conditiile initiale(fig. 3)

Fig 2

Convergenta si stabilitatea unui algoritm depinde de expresiile selectate pentru legarea parametrilor de raspuns de la un timp dat de valorile istorice ale acestora precum si de finetea de discretizare a intervalelor de timp,in care se face analiza istorica. Exista doua clase de metode de integrare directa a ecuatiilor miscarii: -metode de integrare numerica a ecuatiilor diferentiale sau sitemelor de ecuatii diferentiale de ordinul I si care necesita deci transformarea ecuatiilor miscarii pentru aducerea lor la ordinul I, -metode de integrare a ecuatiilor diferentiale sau sistemelor de ecuatii diferentiale de ordinul al II-lea (ecuatiile miscarii oscilatorii). Metodele din prima clasa sunt mai putin folosite pentru ca prin transformarea ecuatiilor miscarii se dubleaza numarul functiilor necunoscute. 5.2.1.Metode de integrare numerica a ecuatiilor diferentiale de ordinul I

Pentru a aplica astfel de metode ,ecuatiile diferentiale de ordinul al II-lea ale sistemului dinamic cu n grade de libertate,trebuie transformat intr-un sistem echivalent de 2n ecuatii diferentiale de ordinul I.

Page 124: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

124

La sistemul de ecuatii de ordinul al II-lea se adauga o relatie evidenta,adica:

0

( )

MD MD

MD CD KD P t

− =

+ + =

& &

&& & ( 14a)

care scrisa sub forma matriceala este:

0 0 0

0M MD D

M C K PD D−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫

+ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭

&& && ( 14b)

Daca se introduce notatia:

D

XD

⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

& ( 14c)

care reprezinta vectorul necunoscutelor,viteze si deplasari,ale gradelor de libertate,cu 2n componente,atunci( 14b)se poate scrie sub forma AX BX P+ =& ( 14d) unde

0 - 0 0

, , 0

M MA B P

M C K P⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫

= = = ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

( 14e)

reprezinta matrici de ordinul 2nx2n,care au ca elemente matriceale primare ale sistemului dinamic (M,C,K),respectiv vectorul incarcarilor extins. Sistemul de ecuatii diferentiale ( 14d) se paote pune sub forma: 1 * *( )X A P BX P B X−= − = −& ( 14f) in care:

1 1 1 1 1 1

1 * *1 , , B

0 0 0M CM M M P M C M K

A PM I

− − − − − −−

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤−= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

( 14g)

si caruia i se ataseaza conditiile initiale date:

00

0

( 0)D

X t XD

⎧ ⎫= = = ⎨ ⎬

⎩ ⎭

& ( 14h)

Metodele cele mai utilizate pentru integrarea numerica a problemei ( 14f,h)sunt: -metoda dezvoltarii in serii Taylor, -metoda Euler si Euler modificata, -metode de tip Runge-Kutta, -metode de tip predictor corector ca metodele Adams,Milne,etc... 5.2.2 Metode de integrare numerica directa a ecuatiilor miscarii. Aceste metode se bazeaza pe alegerea unor legi de variatie a acceleratiei de raspuns pe durata subintervalelor (pasilor)de timp Δt.

Page 125: Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE

125

Variatiile deplasarilor si vitezelor de raspuns,pe acelasi interval ,se determina prin integrare pe baza relatiilor din mecanica teoretica si vor depinde de valorile acceleratiilor de la extremitatile subintervalelor.Valorile de raspuns de la sfarsitul pasului de calcul devin valori pentru pasul de calcul urmator.Metodele se aplica cu prioritate la structurile compleze cu multe grade de libertate dinamica actionate de incarcari dinamice de scurta durata,dar care tind sa excite multe moduri proprii de vibratie.Durata actiunii fiind redusa discretizarea are putine puncte nodale si efortul de calcul poate fi mai mic decat intr-o analiza modala,la care determinarea tuturor valorilor si vectorilor proprii necesita un efort de calcul insemnat. Metodele de integrare directa au avantajul ca utilizeaza direct caracteristicile primare ale sistemului dinamic(M,C,K) cu elemente constante(calcul elastic liniar),dar pot fi extinse foarte usor la analiza dinamica neliniara a structurii in care matricea K are elemente variabile(depind de deplasari). Exista mai multe metode de integrare numerica in functie de modul cum se considera ca variaza acceleratia pe un pas de timp Δt.

Bibliografie selectivă 1.Jerca St.,Ungureanu N.,Diaconu D.-Metode numerice in proiectarea constructiilor,U.T. Iasi ,1997. 2.Chandrupatla R.T.,Belegundu D.A.-Introduction to Finite Elements in Engineering, Prentince-Hall,Inc.,Englewood Clliffs,New Jersey,1991 3.Avram C.,Bob C.,Friedrich R.,Stoian V.-Structuri din beton armat .Metoda elementelor finite.Teoria echivalentelor ,Ed. Academiei,Bucuresti,1984. 4.Pacoste C. s.a.-Metode moderne in mecanica structurilor,Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti,1988. 5.Pascariu I.Elemente finite.Concepte –aplicatii,Ed. Militara,Bucuresti,1985