8/9/2019 Proiect la metode numerice

1/22

Facultatea de Matematica si InformaticaSpecializarea: Informatica Aplicata

Proiect

Metode numerice

Student: Ciurgauan Delia

An III, grupa 3

200!20"0

1.Metoda aproximatiilor succesive

Metoda de apro#imatii succesi$e determina o solutie apro#imati$a a uneiecuatii neliniare prin construirea unui sir de apro#imatii succesi$e care, in

"

8/9/2019 Proiect la metode numerice

2/22

anumite conditii, con$erge catre solutia e#acta% In acest caz, nu seactioneaza asupra inter$alului in care a fost izolata solutia e#acta% Acestinter$al este folosit numai pentru sta&ilirea apro#imatiei initiale, care poate 'aleasa, in principiu, oriunde in interiorul acestuia% Din categoria metodelor deapro#imatii succesi$e fac parte metoda contractiei si metoda (e)ton%

Metoda apro#imatiilor succesi$e consta in construirea unui sir de forma:

*0din inter$alul +a,& - dat

*n."/g*n1 - sirul apro#imatiilor successi$e

Teorema:

Daca i1 g+a,&1 apartine +a,&

ii1 g contactie stricta oricare ar ' c din inter$alul +0,"1,

oricare ar ' # si din inter$alul +a,&, a$em g#14g1 5/c

#4 1

Atunci oricare ar ' alegerea lui *0din inter$alul +a,& iteratia initiala1 , sirul

*neste con$ergent *n 46 #7 , #7 este unicul punct '# al lui g1%

*n4#75/ cn!"4c1 7 *"4*0

Programul Maple rulat pentru aceasta metoda este ilustrat mai 8os% Acestacontine si e#emple concrete%

Cazurile concrete pentru rulare:

12

1)(

++

=x

xxg

00 =x

169

2=c

610=

(umarul de iteratii n/9

2

8/9/2019 Proiect la metode numerice

3/22

Programul rulat in Maple:

3

8/9/2019 Proiect la metode numerice

4/22

8/9/2019 Proiect la metode numerice

5/22

2.Metoda lui Newton

Se porneste de la metoda apro#imatiilor succesi$e, dar a$and ordinal cel putin 2%

Ideea lui (e)ton a fost sa ia g#1 / # . ;#17f#1, unde ; este functia necunoscuta%

Determinarea functiei ; se face a%i% g

>

8/9/2019 Proiect la metode numerice

6/22

Programul rulat in Maple:

?

8/9/2019 Proiect la metode numerice

7/22

9

8/9/2019 Proiect la metode numerice

8/22

3.Metoda lui Newton modifcata

Algoritmul are la &aza liniariazarea unei ecuatii neliniare formulele lui @alor1

Se $a o&tine formula generala #n." / #n 4 f#n1!f

8/9/2019 Proiect la metode numerice

9/22

8/9/2019 Proiect la metode numerice

10/22

"0

8/9/2019 Proiect la metode numerice

11/22

4.Metoda coardei

Metoda coardei apro#imeaza radacina ecuatiei printr4un punct de intersectieal coardei cu a#a B#%

Formula generala a sirului:

*0/ a=

*"/ &=

*n ."/ #07f#n1 - #n7f#011 ! f#n1 - f#011

Pentru e'cienta se folososesc formulele lui Fourrier : f#17f

8/9/2019 Proiect la metode numerice

12/22

"2

8/9/2019 Proiect la metode numerice

13/22

"3

8/9/2019 Proiect la metode numerice

14/22

"

8/9/2019 Proiect la metode numerice

15/22

5. Metodalui Gauss cu pivotare partiala

Metoda lui auss cu pi$otare partiala se desfasoara in doua etape:

"% triung;iularizarea superioara1 a sistemului

2% rezol$area sistemului triung;iularizat

tapa ": triung;iularizarea superioara1 a sistemuluiizare

@riung;iularizarea se desfasoara in n4" pasi%

=

nnnnnn

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

......*

...

............

...

...

2

1

2

1

21

22221

11211

Pasul ": Pi$otarea partiala impune ca prima ecuatie a sistemului sa 'e aceea

care are coe'cientii lui #" in modul cel mai mare% Deci, se recurge e$entual

la sc;im&area liniei " cu cele una din cele n4" linii ramase pentru a a$ea

indeplinita conditia de mai sus%

B&ser$atie: Daca toti coe'cientii lui #" $or ' nuli, atunci detA1/0 /6sistemul nu are solutie unica si oprim rezol$area lui%

Pasul 2: Pi$otarea partiala impune ca ecuatia a doua a sitemului o&tinut la

pasul anterior sa ai&a coe'cientii lui #2 cei mai mari in modul comparati$e cu

urmatoarele n42 ecuatii% Ermeaza eliminarea lui #2 din ultimele n42 ecuatii a

sistemului dupa aceleasi formule ca la pasul anterior% Dupa al n4" -ulea pas

sistemul de$ine:

=

nnnn

n

n

b

b

b

x

x

x

a

aa

aaa

......*

...00

............

...0

...

2

1

2

1

222

11211

">

8/9/2019 Proiect la metode numerice

16/22

tapa 2: rezol$area sistemului triung;iularizat de 8os in sus, adica:

*n/ &nn1! annn1

Pentru i de la n4" la "

*r/ &rr1- 1 ! arrr1

Programul Maple rulat pentru aceasta metoda este ilustrat mai 8os% Acestacontine si e#emple concrete%

"?

8/9/2019 Proiect la metode numerice

17/22

"9

8/9/2019 Proiect la metode numerice

18/22

"

8/9/2019 Proiect la metode numerice

19/22

6.actori!area "#

Fie sistemul A#/z de tip Cramer=

=

nn

nnn

ba

cba

cba

cba

cb

A

0...0

...0

..................

0...0

0...0

0...00

111

333

222

11

Factorizarea E se &azeaza pe reprezentarea matricei A su& forma:

A/7E

Matricea a 'ind strict diagonal dominanta $a a$ea toti minorii principalinenuli, deci $a admite o factorizare E ce se o&tine prin calcul direct% Maie#act:

=

n

nn

n

n

d

cd

cd

cd

cd

l

l

l

l

UL

0.........0

0......0

..................

0...00

0...00

0...00

*

10......0

01......0

..................

0...010

0...001

0...0001

*

11

33

22

11

1

3

2

B&ser$atii:"% Pentru a il determina pe tre&uie sa determinam diagonala de su&

diagonala principala%2% Pentru a il determina pe E tre&uie sa determinam diagonala principala,

intrucat diagonala de deasupra de diagonala principala are aceleasielemente ca matricea A%

"

8/9/2019 Proiect la metode numerice

20/22

Determinarea matricilor si E se efectueaza in n pasi:

Pasul ": &"/d"Pasul 2: a2/l27d"/6 l2/a2!d"

&2/l27c".d2/6 d2/&24l27c"/ &24 a27c"1!d"G%%Pasul i: ai/li7di4"/6 li/ai!di4"

&i/li7ci4".di di/&"4li7ci4"

cuatia A#/z se poate scrie ca:/zE#/

Astfel, pentru a se determina matricea coloana #, se $or rezol$a pe rand cele

doua sisteme%

Programul Maple rulat pentru aceasta metoda este ilustrat mai 8os% Acestacontine si e#emple concrete%

20

8/9/2019 Proiect la metode numerice

21/22

>

>

2"

8/9/2019 Proiect la metode numerice

22/22