51638754 Metode Numerice Avansate Metal Modelling

8/7/2019 51638754 Metode Numerice Avansate Metal Modelling

1/202


2/202

2009 EDITURA UNIVERSITII TRANSILVANIA BRAOVAdresa: 500091 Braov,

B-dul Iuliu Maniu 41A

Tel:0268 476050

Fax: 0268 476051E-mail : [email protected]

Tiprit la:Tipografia Universitii "Transilvania" din BraovB-dul Iuliu Maniu 41A

Tel: 0268 476050

Toate drepturile rezervate

Editur acreditat de CNCSISAdresa nr. 1615 din 29 mai 2002

Refereni tiinifici: Prof. univ. dr. ing. Cornel SAMOIL

Membru corespondent al Academiei de tiine Tehnice din RomniaCercettor princ. dr. Victor SOFONEA

Descriere CIP a Bibliotecii Naionale a RomnieiLEOVEANU, IOAN SORIN

Metode numerice avansate : aplicaii n modelarea metalelor / Ioan

Sorin Leoveanu, Mircea Horia ierean. - Braov : Editura Universitii

"Transilvania", 2009

Bibliogr.

ISBN 978-973-598-671-1

I. ierean, Mircea Horia

519.63


3/202

Ioan Sorin Leoveanu

Mircea Horia ierean

METODE NUMERICE AVANSATE

APLICAII N MODELAREA METALELOR

2009EDITURA UNIVERSITII TRANSILVANIA BRAOV

ISBN 978 973 598 671 1


4/202

Cuprins

CUPRINS

1. Mecanismul fenomenelor de transport .... 5

1.1. Propagarea cldurii ... 5

1.1.1. Conducia. Legea Fourier a conduciei ... 5

1.1.2. Convecia . 7

1.1.3. Radiaia .... 10

1.2. Transferul de mas ... 11

1.2.1. Difuzia. Legea Fick a difuziei ............................................... 12

1.2.2. Transferul convectiv de mas .. 14

1.3. Curgerea fluidului .. 16

1.3.1. Transferul vscos al impulsului. Legea Newton a vscozitii .... 17

1.3.2. Transferul convectiv al impulsului ....20

2. Ecuatiile ce guverneaza fenomenele de transport .... 22

2.1. Ecuaiile ce guverneaz transferul de mas . 22

2.1.1. Forma integral a ecuaiei de conservare a masei .............. 22

2.1.2. Forma diferenial a ecuaiei de conservare a masei. Ecuaiade continuitate .... 24

2.2. Ecuaiile ce descriu transferul impulsului .................... 27

2.2.1. Forma integral a ecuaiei de echilibru pentru impulsuri ..... 27

2.2.2. Forma diferenial a ecuaiei de conservare a impulsului.Ecuaia micrii fluidului 29

2.2.3. Condiiile pe frontier . 30

2.3. Ecuaia de conservare a energiei ... 312.3.1. Forma integral a ecuaiei de conservare a energiei .......... 31

2.3.2. Forma diferenial a ecuaiei conservrii energiei termice ......... 33

2.3.3. Condiiile iniiale i la limit ............................ 34

2.4. Ecuaiile ce descriu difuzia elementelor . 36

2.4.1. Forma integral a conservarii masei pentru un component A alunui amestec ............................................................ 36

2.4.2. Forma diferenial a ecuaiei de conservare a componentelorchimice ....................................................................................... 37

2.4.3. Condiiile iniiale i pe frontier .... 37

3. Similariti ale celor trei fenomene de transport .. 39

3.1. Legile de baz pentru difuzia fluxurilor .. 39

3.2. Transferul convectiv .. 42

3.3. Ecuaiile de guvernare ............................................. 43

4. Metoda diferenelor finite ... 46

4.1. Introducere ......................................... 46

4.2. Metoda diferenelor finite .. 48

4.2.1. Formularea cu serii Taylor .... 48

4.2.2. Metoda integralelor .... 52

4.2.3. Metoda volumelor finite. Soluionarea cu ajutorul volumelor decontrol .................................................................................. 55


5/202

Metode numerice avansate

5. Conducia cldurii n regim staionar ....... 60

5.1. Fundamentarea matematic ............................. 60

5.1.1. Ecuaiile ce guverneaz procesul .... 60

5.1.2. Condiii la limit (pe frontiere) ... 61

5.2. Metoda volumelor finite pentru cazul staionar ...............63

5.2.1. Calculul gridului .. 63

5.2.2. Obinerea ecuaiilor cu diferene finite ................................. 64

5.2.3. Rezolvarea sistemului de ecuaii algebrice liniare ............... 72

5.3. Rezolvarea problemelor pentru cazuri multidimensionale ..... 72

5.3.1. Probleme bidimensionale .. 72

5.3.2. Cazul 3D .. 73

5.4. Exemple de calcul ..... 74

6. Propagarea n regim nestaionar a cldurii .......................... 93

6.1. Formularea matematic 93

6.1.1. Ecuaiile care guverneaz procesul .... 93

6.1.2. Condiiile iniiale i la limit (pe frontier) ... 946.2. Calculul cu volume finite pentru probleme nestaionare ..... 94

6.2.1. Stabilirea discretizrii. (Gridul de calcul) ........... 94

6.2.2. Derivarea ecuaiilor cu diferene finite ................... 94

6.3. Metode de rezolvare . 95

6.3.1. Metodele explicite ... 97

6.3.2. Metoda implicit .. 99

6.3.3. Metoda Crank-Nicolson ..... 100

6.4. Analiza stabilitii metodelor de rezolvare Metoda von Neumann .... 101

6.5. Probleme multidimensionale ... 106

6.6. Exemplul 6.1 .. 107

7. Modelarea modificrilor de faz .................................... 114

7.1. Introducere ..... 114

7.2. Metodele de rezolvare a modificrii de faz ..... 116

7.2.1. Metode numerice .... 117

7.2.2. Solidificarea aliajelor .. 118

7.3. Exemplul 7.1 .. 130

8. Curgerea fluidelor incompresibile .... 137

8.1. Ecuaii constitutive .... 138

8.1.1. Lichide Newtoniene ............................................... 142

8.2. Modelarea turbulenei ... 150

8.3. Condiii iniiale i pe frontier .. 1568.3.1. Condiii iniiale ..... 156

8.3.2. Condiii pe frontiera .... 157

8.4. Exemplul 8.1 .. 171

Anexe ... 187

Bibliografie ..... 197


6/202

Mecanismul fenomenelor de transport

CAPITOLUL 1

MECANISMUL FENOMENELOR DE TRANSPORT

Analiza fenomenelor de transport n ingineria materialelor implicurmtoarele trei moduri de transfer:

- transferul energiei, n principal transportul energieitermice;

- transportul de mas, cu accent asupra fenomenele dedifuzie a unor componente n medii lichide;

- transportul de fluide prin fenomene de curgere.

Dei exista o bibliografie extrem de vast n acest domeniu la

prezentarea metodelor de rezolvare a problemelor ridicate deacest fenomene compexe s-a urmarit o cale mai apropiata deingineria materialelor. Astfel s-au folosit cu precdere notaiile,denumirile i modul de verificare a algoritmilor n conformitate cuurmtoarele lucrri [1-6]. Pe parcursul crii, atunci cnd a fostnecesar s-au specificat i alte referine bibliografice.

1.1. Propagarea cldurii

Transferul termic apare atunci cnd exist o diferen detemperatur n interiorul unui corp sau ntre mai multe corpuri.Acest proces ireversibil este numit transfer termic saupropagarea cldurii. O scurt descriere a procesului de transfertermic poate fi fcut mai palpabil prin considerareamecanismului de rcire n atmosfer a unei plci din oel avnd ofa nclzit (fig. 1.1.a). Cldura se propag att n interiorulcorpului ct i n atmosfera nconjurtoare prin trei moduridistincte. Aceste moduri sunt general cunoscute ca fiind

conducie, convecie i radiaie.

1.1.1. Conducia. Legea Fourier a conduciei

Fenomenul de conducie poate fi definit ca fiind transportul decldur dinspre zonele cu temperatur mai mare, ctre cele cutemperatura mai mic, dintr-un corp solid sau fluid, cu ajutorulmicrii electronilor i a ionilor (n medii cristaline) sau a


7/202


moleculelor n cazul mediilor fluide. In majoritatea aplicatiiloringinereti este foarte important descrierea ct mai corect aacestui proces. S considerm un caz unidemensional, ca nfigura 1.2, avnd distribuia iniial de temperaturT(x).

Temperatura n punctulx =0este mai mare dect temperatura npunctulx=Li deci cldura va fi condus dinsprex=0sprex=L, nconformitate cu ecuaia Fourier a conduciei, exprimat sub forma:

dx

dTqx = . (1.1.1)

Fluxul termic qx care reprezintcantitatea de cldur care estetransferat pe direcia x prin

unitatea de arie, esteproporional cu gradientul termic,dT/dx. Constanta de propor-ionalitate fiind conductivitateatermic, . Unitile de msur in

SI sunt, q [W/m2],[W/(m K)].

Figura 1.2. Modelul unidimensionalal conduciei printr-un perete

a) b)Figura 1.1. a) Mecanismul de transfer al cldurii. b). Distribuia temperaturiirezultate n urma procesului de rcire al unui corp prin conducie, convecie

i radiaie


8/202


1.1.2. Convecia

Energia poate fi transportat nu numai datorit gradientului termic,dari prin intermediul curgerii fluidului ce se afl n jurul corpului.

Pentru a putea descrie mai succint acest fenomen, sconsiderm curgerea unui fluid printr-o conduct cu o configuraiemai complex, ca in figura 1.3. Mrimile care definesc fluidul sunttemperatura, viteza de curgere, cldura specific iconductivitatea termic (T ,u ,, cp ).

Figura 1.3. Reprezentarea fluxurilor n procesul de transport printr-un tub

Se considera temperatura peretelui tubului ca fiind Ts.

Dac exist o diferent de gradient termic n fluid, pe direciacurgerii acestuia i dacTeste diferit de Ts, atunci, temperaturafluidului va fi guvernat de dou moduri diferite de transfer termic;

a) un mod de transfer termic aprut n interiorul fluiduluidatorit curgerii acestuia,

b) un mod de transfer termic ce decurge din schimbul

termic ntre peretele tubului i fluid.

a) Fluxul de cldur datorat curgerii fluidului

S considerm transferul de cldur efectuat pe directia curgerii,transfer care are loc n interiorul mediului fluid. Acest transferpoate fi definit prin mprtirea sa n urmtoarele componente:

- o component conductiv n interiorul fluidului,


9/202


- o component produs de micarea fluidului, numit iconvectiv.

Fluxul de cldur nsumeaz astfel cele dou componente i pe

direciaxpoate fi exprimat cu relaia:

+= uTCpdx

dTq ffftotalx )( . (1.1.2)

Componenta convectiv a fluxului termic poate fi exprimat cuajutorul naturii curgerii. Dac fluidul este pompat prin conduct,atunci avem o convecie forat, dac ns micarea fluidului esteliber, dat de fenomenul de schimb termic ce apare ntre doumedii, atunci convecia se numete liber.

b) Zona n care are loc schimbul termic dintre dou medii

S considerm transferul de cldur care apare ntre un fluid nmicare i o suprafa de separaie solid n cazul n care existo diferen de temperatur ntre cele doua medii. Acestmecanism de transfer de cldur este denumit tot convecie, dincauza rolului pe care micarea fluidului l are n procesul dedeterminare a cantitii de cldur schimbate.

Aa cum este prezentat n figura 1.4, din cauza interaciunii dintrefluidul n micare i suprafaa solid pe care o spal ca i dincauza efectului pe care vscozitatea fluidului l are asupra acesteizone de interfa, viteza fluidului scade de la valoarea din mediulfluid ula zero pe suprafaa solid.

Figura 1.4. Zonele limit pentru impuls, temperaturi mas n cazulfrontierei dintre dou medii


10/202


Aceast zon poate fi denumiti zona de frontier pentru vitez,sau zona de afectare avitezeim. Zona este definit, din punct devedere dimensional, ca fiind lungimea pe care viteza de curgeresufer o variaie de 99% fa de viteza de curgere a mediului fluid,sau:

99.0)(

x

xx

uu

uyu

atunci cnd ux= 0, relaia poate fi exprimat sub forma:

99.0)(

u

yux .

In mod similar, poate fi definit i o zon n care temperaturavariaz de la temperatura suprafeei solide Ts la temperatura dininteriorul mediului fluid T.

Zona stratului n care are loc variaia temperaturii ntre cele doumedii poate fi privit ca o zon de frontier pentru temperatur,sau o zon limit a schimbului de cldur dintre cele dou mediiT.Mrimea acestei zone poate fi exprimat similar cu cea pentru

viteze, sub forma:

99.0)(

S

S

TT

TyT.

Cu creterea vitezei de curgere a fluidului att zona limit pentruvitez ct i cea pentru temperatur se vor micora i astfel attgradienii vitezei ct i ai temperaturii vor crete.

Astfel fenomenul de transfer termic ntre o suprafa solidi un

fluid poate fi modelat prin desprirea sa n dou componente:- o component ce descrie schimbul termic n imediata

apropiere a suprafeei solide, unde viteza fluidului esteneglijabil. In aceast subzon, cldura este transmisprin micarea dezordonat a moleculelor de fluid,antrenate de amplitudinea oscilaiilor termice ale reeleicristaline din pereii conductei,

- o component bazat pe transferul de cldur datoratmicrii fluidului.


11/202


In majoritatea aplicaiilor inginereti, fluxul termic ce apare ntreun fluid i o suprafa solid poate fi exprimat cu o ecuaie deforma:

)(Sconvy TThq = . (1.1.3)

Fluxul termic dintre o suprafa solid i un fluid poate ficonsiderat ca fiind proporional cu diferena de temperatur dintrecele dou medii printr-un coeficient de proporionalitate h.Constanta de proporionalitate h este denumit coeficientul deconvecie a cldurii i se exprim n SI n [W/(m2 K)].

Aceast expresie mai este cunoscuti sub denumirea de legeaNewton a conveciei.

Determinarea coeficientului de convecie h este foarte complexdeoarece el depinde de condiiile de curgere pe frontier,(laminar sau turbulent), geometria suprafeei, proprietile fiziceale fluidului, etc.

1.1.3. Radiaia

Dac placa de oel, din figura 1.1.a se gsete ntr-o incintvidat, schimbul de cldur dintre aceasta i mediul nconjurtor

nu se mai face prin conducie i nici prin convecie, deoareceaceste mecanisme de transfer termic se bazeaz pe micareaunor molecule.

Orice corp avnd o temperatur mai mare dect zero absolutemite energie sub form de unde electromagnetice, energie careeste proporional cu temperatura la care acest corp se gsete.Acest fenomen de transport termic se numete radiaie termic.

Fluxul maxim transmis prin radiaie de un corp aflat la

temperatura TSpoate fi exprimat cu legea Stefan-Boltzmann:4

Sh TE = , (1.1.4)

unde TS reprezint temperatura absolut [K], iareste constantaStefan-Boltzmann (=5,6710-8 [W/(m2K4)]. Mrimea Eh estedenumit puterea de emisie a corpului negru absolut i doar uncorp ideal, negru absolut, poate emite n conformitate cu aceastlege.


12/202


13/202


a) b)

Figura 1.5.a) Mecanismele transferului de mas, difuzia i convecia.

b) Variaia concentraiei n funcie de timp, n cazul prismei de oel

La suprafaa plcii de oel aflat la temperatur ridicat, ncontact cu carbonul aflat n oel va avea loc reacia:

COCOC 22 =+ .

Acest fapt va conduce la reducerea concentraiei carbonului lasuprafaa n contact cu mediul bogat n CO2 i deci la apariiaunei diferene de concentraie ntre suprafaa plcii de oel izonele interioare ale acesteia. Va avea loc deci un transport alcarbonului din zonele interioare ale plcii spre cele exterioareprintr-un proces difuziv de transport de mas. In acest mod,transferul de mas difuziv ca i cel convectiv, dinspre interioruloelului spre suprafaa exterioar va continua pn n momentul

n care potenialul chimic al carbonului aflat n placa de oel i celal carbonului aflat n atmosfera exterioar acestuia vor fi egale.Modul n care concentraia carbonului din placa de oel variaz ntimp este reprezentat in figura 1.5.b).

1.2.1. Difuzia. Legea Fick a difuziei

La fel ca i fenomenul de conducie a cldurii, termenul difuzieeste utilizat pentru a defini procesul de transport al elementelorchimice ce formeaz un amestec dinspre zonele n care


14/202


concentraiile acestora sunt mari spre zonele n careconcentraiile acestora sunt mai reduse. Acest proces este bazatpe activitatea molecular.

S considerm un proces de difuzie pe o singur direcie, ca nfig. 1.6, proces ce are loc dinspre faa stnga P1 spre faa dreaptaP2 a unei plci. Dac concentraia elementului A esteA(x) sau

CA(x) ndeplinete condiia A(P1;x=0) > A(P2;x=L), atuncitransportul elementului A va avea loc dinspre punctul P1 spre P2.

Prin analogie cu ecuaia conduciei termice, fluxul elementului A,dintr-un amestec binar format din elementele A i B este definitprintr-o lege scalar, cunoscut sub numele de legea Fick adifuziei.

Figura 1.6. Difuzia printr-un perete pentru o singur dimensiune

In cazul n care se utilizeaz concentraia masei, legea areaspectul,

dx

dDj AABxA

=, , (1.2.1a)

undereprezint densitatea total a amestecului binar=A +B,

iarAreprezint fracia masic a elementului A, definit prinA =

A / i A + B = 1. Dac densitatea este constant, atunciecuaia se simplific mult, avnd forma mai des utilizat,


15/202


dx

dDj AABxA

=, . (1.2.1b)

In cazul utilizrii concentraiei molare,

dx

dMDCJ AABxA =, , (1.2.2a)

unde Ceste concentraia molar a amestecului binar (C = CA +CB) i MA reprezint fracia molar a componentului A, definitprin MA = CA/Ci MA + MB = 1.

DacCeste considerat constant, ecuaia se simplific la:

dx

dCDJ AABxA =, . (1.2.2b)

Fluxul componentului A se exprim n SI n [kg/(m2 s)] fiind definitca reprezentnd masa componentului A care strbate n unitateade timp unitatea de arie pe direciax.

Legea Fick exprim faptul c fluxul masic este proporional cugradientul de concentraie al elementului pe direcia analizat.Constanta de proporionalitate DAB reprezint difuzivitateamasic sau coeficientul de difuzie fiind exprimat n SI n [m2/s].

Pentru expresia molar, fluxul JA,xse exprim n [kmol/(m2 s)].

Semnul minus al expresiei indic faptul c transferul de mas areloc n sensul descreterii concentraiei.

1.2.2. Transferul convectiv de mas

Pentru a putea analiza transferul de mas care are loc printr-un

fluid n micare, s considerm curgerea unui fluid printr-oconduct cu perei solizi, formai dintr-un aliaj ce conine uncomponent chimic solubil n fluid. Concentraia n fluidul de intrarea elementului solubil fiind A, (sau CA, ) i n peretele conductei

A,s (respectiv CA,s) aa cum rezult din figura 1.3. Astfel,componentul A se va dizolva n fluid i va difuza n masa acestuia,

mbogind concentraia fluidului la ieirea din conduct.

La fel ca i n cazul transferului termic, vor fi considerate doumoduri de transfer masic, pentru zona n care fluidul spal


16/202


peretele solid al conductei, respectiv pentru zona de fluid aflat lao deprtare mai mare de peretele conductei, deci se consider;

a) transferul de mas pe direcia curgerii fluidului datorit

micrii acestuia,b) transferul de mas produs ntre fluidul n micare i

suprafaa conductei cauzat de diferena de concentraie.

a) Fluxul masic n interiorul fluidului

Se consider ca ca i pentru cazul transferului termic ocomponent difuziv i una convectiv a fluxului masic.Componenta difuziv a fluxului masic din interiorul fluidului se

datoreaz diferenei de concentraie dintre dou seciuniapropiate din fluid n timp ce componenta convectiv reprezintaportul vitezei cu care se deplaseaz fluidul la transferul de mas.

Ecuaia ce exprim fluxul de mas are forma:

+= udx

dDn A

A

ABxA ,,

, (1.2.3)

iar n cazul utilizrii expresiei molare:

+= uCdx

dCDN A

A

ABxA ,, . (1.2.4)

In acest caz, nA,xi NA,xreprezint fluxurile totale masice respectivmolare care sunt transportate n interiorul fluidului.

b) Transferul de mas n zona de frontier

Reprezint transferul de mas ntre fluid i suprafaa solid pecare acesta o spal. Ca un rezultat al procesului de difuzie,concentraia fluidului A(y) n apropierea suprafetei solide esteafectat de procesul de dizolvare a componentului A din solid,concentraia acestuia fiind cuprins ntreA,Sla suprafaa soliduluii A, n mediul fluid. Ca i n cazul zonei de frontier pentruschimbul termic prin convecie, n cazul transferului de mas,zona numiti zon de variaie a concentraiei,C, poate fi definit


17/202


ca fiind distana de la suprafaa solid pn la care concentraiaadimensional atinge 0,99, aa cum rezult din figura 1.4.

Mrimea adimensional C a concentraiei i condiia impus

asupra acesteia poate fi exprimat matematic sub forma:

99,0)(

,,

,

SAA

SAA y

.

Determinarea fluxului de mas schimbat prin convecie, poate fifcut cu ajutorul unui coeficient de transfer masic convectiv KC,avnd o form matematic similar cu cea utilizat la calcululcmpului termic. Relaia de calcul, pentru transferul masic

convectiv are forma:

)( ,,, SAACyA Kn = . (1.2.5)

In forma fluxului molar, se obine:

)( ,,, SAACyA CCKN = . (1.2.6)

Ca i n cazul fluxului termic convectiv, valoarea coeficientului de

transfer masic convectiv, KC depinde de caracteristicile curgeriifluidului, de proprietile acestuia ca i de geometria sistemuluifiind determinat experimental. In SI, KCse exprim n [m/s].

1.3. Curgerea fluidului

Dup ce au fost prezentate aspectele fundamentale aletransferului de clduri de mas, poate fi analizat i nteles uncomponent mult mai complex, legat de transportul de fluid. In

literatura de specialitate, transportul fluidului se bazeaz peanaliza impulsurilor volumelor infinitezimale care formeaz corpulrespectiv. Atunci cnd ne referim la un corp n micare, prinimpuls se ntelege produsul dintre masa i viteza acestuia. Deci,

n cazul unui fluid, viteza acestuia ntr-un punct dat, poate fideterminat ca un raport ntre impulsul acestuia i masa acestuia

n punctul considerat. Astfel definit curgerea unui fluid, variaiilevitezelor dintr-un mediu fluid, pot fi exprimate cu ajutorul


18/202


transportului impulsului, la fel ca n cazul determinarii temperaturiii concentraiilor rezultate prin transportul de clduri mas.

In analiza curgerii fluidelor, se disting dou regimuri importante

de curgere, curgerea laminari cea turbulent. In cazul curgeriilaminare, micarea particulelor de fluid este o micare ordonat,paralel direciei de curgere fr s apar amestec ntre acestea.Acest tip de curgere apare atunci cnd viteza de curgere estemic, iar numrul Reynolds (Re) are valoare mic. Atunci cndviteza de curgere creste, ceea ce corespunde unui numr Remare, micarea particulelor de fluid devine neregulat i aparfluctuaii n valoarea vitezei de curgere, ceea ce conduce la ocurgere turbulent.

Tranziia de la curgerea laminar la cea turbulent a foaststudiat experimental de Reynolds n 1883. Pe baza observaiilorexperimentale, Reynolds a constatat faptul c natura curgeriidepinde de urmtoarele mrimi, viteza fluidului (u), densitateaacestuia (), vscozitatea () i diametrul conductei (D), fiinddefinit cu relaia:

DuRe

= . (1.3.1)

Aceast mrime adimensional este numit numrul Re.Valoarea critic a numrului Re la care are loc tranziia de lacurgerea laminar la cea turbulent este 2100 pentru majoritateaaplicatiilor inginereti legate de curgerea fluidului prin conductecirculare.

1.3.1. Transferul vscos al impulsului. Legea Newton avscozitii

Pentru a determina transportul de impuls, s considerm o zonde fluid cuprins ntre dou plane paralele, ca n figura 1.7. Lamomentul t = 0 planul inferior este pus n micare cu viteza uSprin aplicarea unei fore Fx, iar planul superior se pstreaz nrepaus. Cu micarea planului inferior, fluidul n contact cu acestase va deplasa i el cu aceeai vitez. Acest fenomen estecunoscut sub denumirea de condiie de frontier fr alunecare.


19/202


Viteza fluidului n contact cu planul superior, aflat n repaus, estenul. Cu trecerea timpului, micarea planului inferior conduce la ocretere a vitezelor fluidului dup direcia ux aflat ntre cele douplane de la zero la o valoare pozitiv oarecare, i n final

distribuia vitezelor n starea de echilibru, va fi ca n figura 1.7,pentru t . Acest lucru conduce la concluzia c impulsulfluidului pe direcia x este transportat pe direcia yde la regiuneainferioar ctre cea superioar ca o funcie de gradient a vitezelordin fluid.

Pstrarea planul inferior n micare cu viteza constantuS, se vaface prin pstrarea unei fore constante Fx, care poate fiexprimat cu relaia:

y

S

y

x

L

u

A

F= , (1.3.2)

unde Ly reprezint distana dintre cele dou plane, iar este oconstant de proporionalitate.

Raportul for pe aria unitar (Fx/Ay) este tensiunea de forfecareatunci cnd fora acioneaz tangenial pe aria plcii Ay. Laechilibru, profilul vitezelor va fi liniar aa cum rezult din figura 1.7.

Expresia tensiunii tangeniale va fi n acest caz:

dy

duxyx = , (1.3.3)

unde constanta de proporionalitateeste vscozitatea fluidului.

Primul indice al tensiunii tangeniale, reprezint aria normal laaxa Oy pe care aceasta acioneax (direcia transportuluiparticulelor de fluid), iar cel de-al doilea indice indic direcia pe

care tensiunea acioneaz. In mod convenional, semnul minusreprezint faptul c impulsul este transferat dinspre nivelul inferioral fluidului spre cel superior, pe direcia de descretere a vitezei,deci dux/dyeste negativ.

Aceast relaie empiric este cunoscut ca fiind legea Newton avscozitii, iar fluidele care respect aceast lege se numescfluide Newtoniene.


20/202


Tensiunea se exprim n SI n [P = kg/(m s)], iar vscozitatea nPs.

In majoritatea problemelor inginereti, se utilizeaz vscozitatea

cinematic, , care este definit ca fiind raportul ntrevscozitatea fluidului i densitatea acestuia,

= . (1.3.4)

Vscozitatea cinematic este exprimat n [m2/s] i la fel ca idifuzivitatea masei, mrimea fiind numit i difuzibilitateaimpulsului.

Figura 1.7. Procesul de stabilizare a profilului vitezelor ux(y) n cazul curgeriiiniializate de micarea planului inferior cu viteza uS


21/202


22/202


care a sugerat mprirea acestei zone n dou subzone, unafoarte putin extins, n apropierea suprafeei solide, n care vitezafluidului este redus datorit vscozitii i restul subzonei n careviteza este uniform, iar efectul vscozitii nu mai este att de

important.

S considerm forma fluxului n subzona limit din apropiereasolidului. In aceast subzon transferul de impuls se realizeazdoar prin intermediul fluxului vscos deoarece nu se considermicarea fluidului. Astfel fluxul impulsului prin zona interfeeifluid/solid este dat de:

0

0

=

=

=

y

x

yyx y

u . (1.3.6)

In mod similar cu transferul convectiv de masi cldur poate fidefinit un coeficient privind transferul de moment dup cumurmeaz:

S

y

x

yx

yyx

fuu

y

u

uuC

=

=

=

=

= 0

0

0'

. (1.3.7)

Fluxul convectiv al impulsului dintre suprafaa solidi fluid poatefi scris sub forma:

)('0 Sfyyx

uuC = = . (1.3.8)

Aceast relaie este similar cu legea Newton a rcirii.


23/202


CAPITOLUL 2

ECUAIILE CE GUVERNEAZA FENOMENELE DE

TRANSPORT

Problemele legate de modelarea proceselor ce analizeazfenomenele din inginerie n general constau n determinareaconcentraiei unor elemente, a temperaturilor i a vitezelor unoramestecuri lichide sau gazoase. Pentru a putea modela acestefenomene cu ajutorul metodelor matematice trebuie s le putemexprima cu ajutorul ecuaiilor ce le guverneaz. Ecuaiile ceguverneaz aceste procese pot fi determinate utiliznd dou

metode generale;- pe baza legilor de conservare;- prin exprimarea variaiilor fluxurilor.

Fenomenele complexe care guverneaz procesele ingineretianalizate pot fi exprimate pe baza a trei legi constitutive:

- legea conservrii masei;- legea conservrii impulsului, (legea a doua a micrii a

lui Newton);- legea conservrii energiei (prima lege a termodinamicii).

Forma general a ecuaiei de tip conservare (balan) pentru unsistem material poate fi exprimat sub forma:

+

=

analizate

marimilor

agenerare

derata

analizate

marimilor

aparasire

derata

analizate

marimilor

apatrundere

derata

analizate

marimilora

acumulare

derata

. (2.0.1)

2.1. Ecuaiile ce guverneaz transferul de mas

2.1.1. Forma integral a ecuaiei de conservare a masei

S considerm un volum elementar ipotetic, aflat undeva ninteriorul unui fluid care curge, ca n figura 2.1. Vom denumi acestvolum, volum de control i suprafaa care l delimiteaz de restul

fluidului, suprafa de control i s o notm cu. S analizm


24/202

Ecuaiile ce guverneaz fenomenele de transport

legea conservrii masei n interiorul volumului de control, pentrucazul unui fluid omogen n interiorul cruia nu se produc reaciichimice. Ecuaia de balan a fluxurilor va avea forma:

=

controldevolumul

parasestecemasa

decantitatea

controldevolumul

inpatrunde

cemasa

decantitatea

controldevolumul

inacumulata

masa

decantitatea

. (2.1.1)

Figura 2.1. Noiuni privind calculul cu volume finite. Caracteristicile volumuluifinit

Termenii ecuaiei legii de conservare a masei pot fi evaluai dupcum urmeaz.

Cantiatatea de mas acumulat ntr-un element infinitezimal de

volumd este d. Obinerea cantitii totale de mas care se

geste n interiorul volumului de control poate fi realizat prinintegrarea peste elementele infinitezimale care l alctuiesc:

dt

. (2.1.2a)

Pentru analizarea masei care intr i iese prin suprafaa decontrol, aceasta este mprit n elemente infinitezimale de arie

d.


25/202


Rata fluxului de mas ce prsete volumul de control prin aria

infinitezimal este dat de relaia ( u) (d cos), unde esteunghiul dintre vectorul vitezei ui direcia normalei exterioare, n

la suprafaa infinitezimal d. Utiliznd expresia algebreivectoriale, se obine relaia de calcul:

== dnunuddu )()cos()cos)((rrrr

.

Deoarece n este vectorul normalei exterioare, cantitatea de mascare intr n volumul de control prin unitatea de arie a acestuia

este (un)d, i cantitatea de mas total ce este schimbat cumediul exterior prin ntreaga suprafa de control poate fi

exprimat prin nsumarea pe ntreaga suprafa :

dnu )(rr

. (2.1.2b)

Inlocuind ecuaiile (2.1.2a) i (2.1.2b) n (2.1.1) se obine formaintegral a ecuaiei conservrii masei:

=

dnudt

)(rr

sau sub form mai cunoscut a conservrii masei dintr-un volumde control:

+

dnudt

)(rr

. (2.1.3)

2.1.2. Forma diferenial a ecuaiei de conservare a masei.Ecuaia de continuitate

Aspectul diferenial al ecuaiei continuitii poate fi obinut pedou ci distincte;

- printr-o procedur pur matematic, care const ntransformarea cu ajutorul teoremei divergenei luiGauss[7] a ecuaiei integrale ce exprima conservareamasei,

- aplicarea directa a conceptului conservrii masei asupraunui element diferenial al volumului de control, ca n


26/202


figura 2.2. Prin aceast metod, sunt obinute cuuurint formele difereniale ale ecuaiei n coordonatecarteziene, cilindrice i sferice, n funcie de formaelementului de volum diferenial

[8].

Figura 2.2. Simbolizarea fluxurilor prin suprafeele unui volum de controlparalelipipedic

Prima metod se bazeaz pe transformarea integralei de

suprafa din ec. (2.1.3) n integral pe volum cu ajutorulteoremei Gauss a divergenei, dup cum urmeaz:

= dudnu )()(rrr

. (2.1.4)

Inlocuirea ecuaiei 2.1.4 n ecuaia 2.1.3 conduce la:

0)( =

+

dut

r

. (2.1.5)

Deci, integrala trebuie s se anuleze pentru un volum de control

arbitrar,iar integrantul reprezint o funcie continu, rezult cintegrantul trebuie s se anuleze. Se ajunge astfel la formadiferenial a legii de conservare a masei, dup cum urmeaz:

0)( =+

u

t

r

. (2.1.6)


27/202


Aceast ecuaie se numete ecuaia de continuitate.Pentru un fluid incompresibil, ecuaia se reduce la:

0= ur

. (2.1.7)

A doua metod se bazeaz pe utilizarea conceptului deconservare a masei pentru un volum de control infinitezimal,prezentat n figura 2.2. S considerm cazul unor coordonatecarteziene.

Componenta stng a ecuaiei 2.1.1, cea care exprim cantitatea

de mas acumulat n interiorul volumului de control xyz,poate fi exprimat cu relaia:

)( zyxt

. (2.1.8a)

Partea deapt a ecuaiei 2.1.1 se descompune dup cele treidirecii ale sistemului de coordonate astfel:

- fluxul masic net care va intra n volumul de control dupdireciax, exprimat cu relaia:

( ) zyuuxxxxx

+

, (2.1.8b)

- fluxul masic net care va intra n volumul de control dupdireciay:

xzuuyy

yy

y + , 2.1.8c)

- fluxul masic net care intr n volumul de control dupdirecia z:

yxuuzzzzz

+

. (2.1.8d)

Ecuaia 2.1.1 poate fi astfel exprimat cu ajutorul fluxurilor subforma:


28/202


( ) ( )

( ) ( ) yxuuxzuuzyuuzyx

t

zzzzzyyyyy

xxxxx

+++

=

++

+

. (2.1.9)

Prin mprirea laxyza ecuaiei 2.1.9 i impunnd cax,yi

zs tind spre zero se obine forma diferenial a legii:

( ) ( ) ( ) 0=

+

+

+

zyx u

zu

yu

xt

(2.1.10)

sau sub form vectorial:

( ) 0=+

ut

r

. (2.1.11)

2.2. Ecuaiile ce descriu transferul impulsului

2.2.1. Forma integral a ecuaiei de echilibru pentruimpulsuri

Utiliznd un volum de control, ca i n cazul legii de conservare amasei, se poate formula o lege ce defineste i balana impulsului,sub forma:

+

=

)4(

)3()2()1(

controldevolumul

in

actioneazacare

fortelorsuma

controldevolumul

paraseste

careimpuls

defluxul

controldevolumul

inpatrunde

careimpuls

defluxul

controldevolumul

inacumuleaza

secareimpuls

decantitatea

(2.2.1a)

Primul i al doilea termen din partea sting a ecuaiei pot fiexprimai cu ajutorul fluxurilor convective i de transfer de impulsi ecuaia 2.2.1a poate fi exprimat sub forma:


29/202


+

=

)4(

)3()2(

.)1(

sistem

peactioneaza

ceforte

desuma

iiviscozitatdatorat

impulsde

netfluxul

controldevol

inpatrundece

convectivfluxul

acumulataimpuls

decantitatea

. (2.2.1b)

In mod analog cu legea de conservare a masei, se obineurmtoarea forma integral pentru termenii legii 2.2.1 pe volumul

de controlprezentat n figura 2.3.

Figura 2.3. Orientarea normalei la suprafa de control n cazul utilizriiformei integrale a legilor de modelare a fenomenelor de transport de

moment

(1) - Cantitatea de impuls acumulat:

( )

dut

r ;

(2) - Fluxul net de convecie al impulsului particulelor ceptrund n volumul de control:


30/202


dnuu )(rrr

;

(3) - Fluxul impulsului datorat vscozittii fluidului:

dnr

;

(4) Suma forelor ce acioneaz asupra volumului de control

, datorate presiunii fluidului ce acioneaz pe suprafaa decontrol, P i a forelor interne fb cum ar fi fora gravitaional,fore centrifuge, fore datorate cmpurilor magnetice ielectrice, etc:

+ dfdnP br

.

Expresia termenului (4) din ecuaia balanei fluxurilor ceacioneaz asupra volumului de control poate fi scris utilizndteorema Gauss a divergenei sub forma:

dPfb )( . (2.2.2)

Legea de conservare a impulsului sub form integral va aveaaspectul:

( ) ( ) ( ) +=

dPfdndnuudut

b

rrrrr . (2.2.3)

2.2.2.Forma diferenial a ecuaiei de conservare aimpulsului. Ecuaia micrii fluidului

Ca i n cazul ecuaiei de conservare a masei sub formdiferenial, forma diferenial a ecuaiei de conservare aimpulsului, numiti ecuaia micrii, are urmtorul aspect:

( )( )

bfPnuut

u+=

rrrr

. (2.2.4)


31/202


Dac substituim legea Newton a vscozitii n ec. 2.2.4 i

considerm c vscozitateai densitatea sunt constante, seobine forma redus a legii:

)(2 bfPuuut

u+=+

rrrr . (2.2.5)

(1) (2) (3) (4)

Considernd doar fora gravitaional ca fiind unica for ceacioneaz n interiorul volumelor de control infinitezimale ce

alctuiesc domeniul analizat, atuncifb =gi se obine ecuaia demicare pentru un fluid incompresibil, cunoscut sub numele deNavier-Stokes.

Termenul (1) reprezint cantitatea de impuls acumulat nunitatea de timp n interiorul unui volum de control diferenial,termenii (2) i (3) reprezint cantitile de impuls datoratconveciei i vscozitii care intri prsesc volumul de controldiferenial prin feele acestuia, iar termenul (4) reprezint forelede presiune i cele datorate forei gravitaionale. Ecuaia mai esteexprimati utiliznd derivata generalizat

zuyuxutDt

D

zyx

+

+

+

=

(2.2.6)

sub forma:

bfPuDt

uD+=

rr

2 . (2.2.7)

Ecuaia (2.2.7) este de fapt o reprezentare a legii a doua a luiNewton sub forma diferenial. Termenul din partea sting a

ecuaiei reprezint masa () x acceleraia (Du/Dt), termen careeste egal cu suma forelor datorate vscozitii ( )ur2 , a forei depresiune ( )P i a forei gravitaionale (fb).

2.2.3.Condiiile pe frontier

Rezolvarea ecuaiei de micare, pentru un domeniu cunoscut,poate fi fcut doar dac sunt impuse valorile iniiale alemrimilor ca i condiiile pe frontiera acestui domeniu.


32/202


Condiiile iniiale se refer la valorile vitezelor, u, n momentulnceperii analizei (t = 0), pentru cazul unei analize nestaionare ntimp ce condiiile pe frontier (sau la limit) se refer la valorilevitezeloru, existente n anumite poziii pe frontier.

Condiiile pe frontier cele mai des ntlnite pentru ecuaiamicrii sunt:

1) Condiii impuse pentru viteze la intrarea sau la ieireafluidului. Fluidul intr n domeniul de analiz printr-o anumitzon n care sunt cunoscute vitezele acestuia sau prestedomeniul analizat cu viteze cunoscute.

2) Condiii de curgere liber.Aceste condiii se refer la aducerea la zero a gradientului

vitezelor n interiorul lichidului pentru anumite condiii speciale,cum ar fi:

- pe planele sau axele de simetrie;- pe interfeele lichid-gaz, denumite i suprafee libere.

3) Curgere fr alunecare.Sunt condiii ntilnite pe interfeele solid-fluid. Fluidul seconsider staionar pe suprafaa solid cu care este n contact,deci pe aceste suprafee vitezele vor fi nule. Dac suprafeelesolide se gsesc n micare, atunci viteza fluidului pe acestea

se consider egal cu viteza de micare a suprafeei solide.

4) Pe interfeele lichid-lichid, se pune condiia ca fluxulimpulsului perpendicular pe interfa i vitezele celor doufluide s aib o trecere continu de la un lichid la cellalt.

2.3.Ecuaia de conservare a energiei

2.3.1.Forma integral a ecuaiei de conservare a energiei

Legea de conservare a energiei reprezint primul principiu altermodinamicii, putnd fi exprimat pentru aplicaiile ingineretisub forma ecuaiei generale a cldurii:

+

=

)5()4()3()2()1(

generata

caldurade

rata

mecanic

lucrude

rata

iesita

energiede

rata

intrata

energiede

rata

acumulate

energiei

variatia

(2.3.1)


33/202


Termenii (1),(2) i (3) exprim energia termic, cinetic ipotenial a unui volum de control cu fluid, avnd forma:

++= potentialaenergia

uTCE

V 2

2

.

Termenul (4) include lucrul mecanic efectuat de fluid asupramediului ce nconjuar volumul de control, incluznd lucrulmecanic datorat presiunii i vscozitii fluidului.

Termenul (5) reprezint cldura generat, de exemplu prin efectJoule prin transformare de faz, prin reacii chimice, etc.

Deoarece n majoritatea aplicaiilor legate de procesarea

metalelor sau analiza mediului, energia cinetic i potenial,termenii (1) i (3) sunt neglijabili n comparaie cu energia termic,se va analiza doar forma particular a energiei termice, ec. 2.3.1se va reduce la:

+

=

)4()3()2()1(

generatetermice

energieirata

iesitetermice

energieirata

introduse

termice

energieirata

acumulate

termice

energieirata

.(2.3.2a)

Termenii (2) i (3) reprezint rata de energie schimbat cu

exteriorul prin suprfaaa volumului de control prin convecie iprin conducie i deci este mai convenabil exprimarea sub forma:

+

=

)4()3()2()1(

generate

calduriirata

conductieprin

schimbate

termice

energieirata

convectieprin

schimbate

termice

energieirata

acumulate

termice

energieirata

. (2.3.2b)

Forma integral a ecuaiei 2.3.2b poate fi scris pentru un volum

de control , ca n figura 2.4, similar cu cea a ecuaiei deconservare a masei:

( ) ( )( ) ( ) +=

dgdnqdnuTCdTCt

VV&

rrrr . (2.3.3)

(1) (2) (3) (4)


34/202


Termenul (1) reprezint rata de energie acumulat n volumul.Termenii (2) i (3) se refer la cantitatea de cldur schimbat

ntre volumul i mediul nconjurtor prin suprafaa de control ,prin fenomenul de convecie (2) i conducie (3). Din aceastcauz acestea mai sunt numite i fenomene de suprafa.Termenul (4) reprezint cldura generat n interiorul volumuluide control.

Figura 2.4. Forma fluxurilor termice prin suprafaa de control

2.3.2.Forma diferenial a ecuaiei conservrii energieitermice

Folosind una dintre cele dou ci de obinere a formei difereniale,fie din legea sub form integral prin transformarea integralelorde suprafa n integrale pe volumul delimitat de ace suprafa,fie prin utilizarea volumelor de control difereniale se obine legeade conservare a cldurii sub forma general:

( ) ( ) ++=

gqTCTCtVV &

r

. (2.3.4)

In ecuaia 2.3.4reprezint cldura disipat datorit vscozitii,fiind influenat de mrimea vscozitii i a tensiunilortangeniale. Acest termen devine semnificativ n cazul curgeriifluidelor cu viteze mari, caz ntlnit la zonele n care este depaitviteza sunetului prin fluidul respectiv, zone n care gradieniivitezelor sunt foarte mari i n care i vscozitatea fluidului crete


35/202


semnificativ. Pentru majoritatea proceselor acest fenomen esteneglijabil.

Prin nlocuirea termenului (3) cu expresia fluxului de cldur de

conducie (Ec. 1.1.1) i considernd i CV constante, rezultforma general a legii cutate:

gTTuCt

TC Vv &

r++=

2 . (2.3.5a)

(1) (2) (3) (4)

Termenii (1),(2),(3) i (4) reprezint forma diferenial atermenilor (1)...(4) din ecuaia 2.3.2b. Dac se utilizeazoperatorul de derivare D/Dti ec. 2.3.5a se pune sub forma:

gTTut

TCV &

r+=

+

2 , (2.3.5b)

se obine o form aproximativ legii a doua a lui Newton:

gTDt

DTCV &+=

2 . (2.3.6.)

2.3.3.Condiiile iniiale i la limit

Rezolvarea ecuaiei difereniale care guverneaz transferul termicse poate face doar dac se impun condiiile iniiale i cele pefrontiera domeniului.

Condiiile iniiale constau n introducerea temperaturii lamomentul iniial al calculului, i constau n impunerea uneitemperaturi constante pe intreg domeniul de calcul sau prinutilizarea unei funcii ce depinde de variabilele spaiale:

0),,(00 === tpentruzyxTTsauTT . (2.3.7)

Condiiile pe frontier cele mai des ntlnite n analiza detemperatur sunt de forma:

1) Temperatura impus pe frontier:

bbbb zzyyxxpeTT ==== ;; , (2.3.8)


36/202


unde bT reprezint temperatura impus punctelor de pe frontier

(x = xb, y = yb,z = zb).

2) Fluxul termic prescris pe frontier:

b

b

b

b

b

b

z

zz

y

yy

x

xx

qz

T

qy

T

qx

T

=

=

=

=

=

=

. (2.3.9)

Atunci cnd exist o simetrie termic, pe planul de simetriebx

q = 0,

dac simetria este fa de planul Oyz, etc.

3) - Convecie (n acest caz sunt impuse valorile Th ; ):

)(

)(

)(

S

b

S

b

S

b

zz

zz

yy

yy

xx

xx

TThz

T

TTh

y

T

TThx

T

=

=

=

=

=

=

, (2.3.10)

unde TxS, TyS i TzS sunt temperaturile suprafeei solide ce

mrginete volumul de control diferenial d.

4) Radiaia (, hri Tinctrebuie introduse pe suprafa):

)(Sincr

xx

TThx

T

b

=

=

, (2.3.11)

unde TS este temperatura suprafeei i Tinc este temperaturaperetilor incintei, iar hr este coeficientul de transfer termic prinradiaie fiind determinat cu relaia:

( )( )22 SincSincr TTTTh ++= . (2.3.12)


37/202


2.4. Ecuaiile ce descriu difuzia elementelor

2.4.1. Forma integral a conservarii masei pentru uncomponent A al unui amestec

S considerm un volum de controlmrginit de o suprafat decontrolstrbtut de un fluid format din dou componente, A i B,ca n figura 2.5. Dac se urmrete descrierea legii deconservare a componentei A din amestec atunci vor trebui luai nconsideraie i termenii care guverneaz generarea acestuicomponent ca i dispariia sa datorit reaciilor chimice care pot

avea loc n interiorul volumului.

Legea care descrie fenomenul are aspectul:

+

+

=

)4()2()1(

Aicomponente

generariirata

(3)

difuzieprin

Aicomponente

imodificarirata

convectieprin

Aicomponente

imodificarirata

Acomponenta

acumuleazase

careinrata

(2.4.1)

Figura 2.5. Aplicarea fluxurilor pe suprafata de control n cazul transferului

de mas

Aplicnd ecuaia 2.4.1 volumului se obine ecuaia integral:

+=

drdnjdnudt

AAAA

rrrr . (2.4.2)

Ecuaia este forma integral sau forma utiliznd volumele decontrol a ecuaiei de conservare a componentelor unei soluii.


38/202


2.4.2.Forma diferenial a ecuaiei de conservare acomponentelor chimice

Urmrind acelai raionament cu cel folosit la exprimarea legii

difereniale a ecuaiei cldurii se obine forma diferenial aecuaiei 2.4.2:

( )AAA

A rjut

+=

rr

, (2.4.3a)

sau sub forma:

( )( )

AAA

A rjut

+=

rr

. (2.4.3b)

Dac se consider constantei DABi se nlocuiete legea dedifuzie Fick n ecuaia 2.4.3 se obine:

AAABA

A rDut

+=+

2r . (2.4.4)

(1) (2) (3) (4)

Termenii (1)...(4) exprim forma diferenial a acelorai termeni aiecuaiei (2.4.1). DAB reprezinta coeficientul de difuzie acomponentului A n soluia format din componentele A i B.

Ecuaia 2.4.4 poate fi exprimat utiliznd operatorul de derivaregeneralizatD/Dtconducnd la urmtoarea expresie:

AAABA rD

Dt

D+=

2 . (2.4.5)

2.4.3.Condiiile iniiale i pe frontier

Aa cum a fost subliniat i n cazul cmpului termic, rezolvareaecuaiei necesit impunerea condiiilor iniiale i pe frontiereledomeniului.

Condiiile iniiale constau n impunerea concentraieicomponentelor n momentul de start al procesului de calcul.Concentraia iniial poate fi egal cu o constant sau exprimat


39/202


cu ajutorul unei funcii care s descrie concentraia n fiecarepunct al domeniului de calcul, dup cum urmeaz:

0),,(00 === tlazyxsau AAAA . (2.4.6)

Cele mai des ntlnite condiii pe frontier n procesele de transferde mas sunt:

1) Concentraie impus:

bbAA xxin == , , (2.4.7)

unde pe frontier, n punctulx=xb se impune concentraiaA,b.

2) Flux masic impus:

bA

xx

AAB j

xD

b

,=

=

. (2.4.8)

undejA,b reprezint fluxul masic al componentului A n punctul defrontierx=xb.

3) Transferul convectiv de mas (KCiA,inf sunt impuse):

( )SAAC

xx

A

ABK

tD

b

,,

=

=

, (2.4.9)

unde KC i rA,inf sunt coeficientul de transfer masic convectiv irespectiv concentraia componentei A n interiorul fluidului, iarrA,Seste concentraia componentei A n fluidul ce spal suprafaasolid.


40/202

Similariti ale celor trei fenomene de transport

CAPITOLUL 3

SIMILARITI ALE CELOR TREI FENOMENE DE

TRANSPORT

n primele dou capitole, au fost prezentate succint mecanismelefenomenelor de transfer a masei, impulsului i energiei termice cai ecuaiile care le descriu. Se observ cu uurin c existsimilitudini ntre aceste fenomene, similitudini care sunt ntlnitei ntre ecuaiile ce le descriu. n consecin, nelegerea irezolvarea unuia dintre aceste fenomene poate conduce la

nelegerea i rezolvarea celorlalte fenomene de transport, ceea

ce uureaz procesul de modelare. Pentru a putea face cuuurint acest lucru este foarte important nelegereasimilitudinilori a diferenelor dintre aceste trei tipuri de fenomenede transport pentru a putea rezolva problemele practice legate demodelarea proceselor din inginerie.

Scopul acestui capitol const n analizarea similitudinilor careexist ntre cele trei fenomene de transport. Aceste similitudinivor fi analizate pentru fluxurile difuzive, pentru transferulconvectiv i pentru ecuaiile care guverneaz aceste procese[1,6].

3.1.Legile de baz pentru difuzia fluxurilor

n primul capitol s-au analizat aspectele fundamentale aleproblemelor legate de propagarea cldurii, a masei i a impulsuluiprin prisma problemelor ridicate de ingineria materialelor ngeneral ca i modul de tratare numeric a acestora.


41/202


Figura 3.1. a) Transportul pe direcia 0y. b) Transferul unei componente. c)Transferul impulsului. d) Transferul cldurii

Pentru a uura nelegerea acestor probleme se reprezint graficn figura 3.1 fluxul de conducie, fluxul masic al unui component A,(A) ca i cel al impulsului ( ux) care apar pe direciiledescresctoare ale temperaturii, concentraiei si vitezei, (T, A

sau CA respectiv ux). Cele trei fluxuri au urmtoarea form:- Transferul de cldur (Legea Fourier a conduciei)

dy

dTq yy = . (3.1.1)

- Transferul de mas (Legea Fick a difuziei)Pentru expresia n funcie de concentraia masic

dy

dDj AAByA

=, . (3.1.2a)

Pentru expresia n funcie de concentraia molar

dy

dCDJ AAByA =, . (3.1.2b)

- Transferul impulsului (Legea Newton a vscozitii)


42/202


dy

duxyx = . (3.1.3)

n aceste expresii, DABispecific coeficieni ai mrimilor detransport, iar T,A (sau CA) i ux reprezint mrimile transportate.Dac unitile de msur ale acestor coeficieni vor fi unificateatunci aceste ecuaii pot fi complet analoage. Aa cum a fost dejaspecificat, unitatea de msur pentru difuzia masei i a impulsuluisunt n SI m2/s. Rmne deci s cutm un mod de a definicoeficientul ce descrie fluxul termic. Se poate utiliza astfeldifuzibilitatea termic, coeficient ce are forma:

= pC , (3.1.4)

unde, n acst caz, difuzibilitatea termic, a se exprim n SI cuurmtoarea unitate de msur, [m2/s]. Cp reprezint clduraspecific la presiune constant. n acest mod, expresiile fluxurilorpot fi rescrise sub forma:

1) Fluxul termic de conducie:

dy

TCdq

p

y

)( =

. (3.1.5)

2) Transferul masei:

( )dy

dDj AAByA

=, (3.1.6a)

sau

( )dy

CxdDJ AAByA =, . (3.1.6b)

3) Transferul impulsului:

( )dy

ud xyx

=

. (3.1.7)


43/202


Termenii ( Cp T),A (sau CxA) i ux se refer la energie,masi impuls i sub aceast form legile care exprim fluxurilepot avea o form unitar:

{ } { } { }ieiconcentratgradientultateadifuzibiliflux = . (3.1.8)

S-a obinut astfel o analogie ntre cldur, mas sau impuls itoate aceste fluxuri pot fi exprimate cu aceeai relaie. Aceastobservaie face posibil abordarea fenomenelor de transport cuajutorul unor coeficieni de transport (difuziviti) i a unor mrimice exprim potenialele (sau concentraiile). n acest mod, osoluie cunoscut pentru una dintre mrimile de transport poate ficu uurin transformat pentru a studia celelalte mrimi.

3.2.Transferul convectiv

n cadrul rezolvrii problemelor de transport, trebuie s estimmfenomenele ce se produc pe suprafeele de separaie dintre lichidi solid, ceea ce de fapt reprezint o frontier ntre faze.

Descrierea proceselor ce au loc n aceste zone sunt descrise prinfluxuri de convecie legate de micarea fluidului care coexist cufluxurile difuzive, guvernate de un proces deja analizat nparagraful precedent.Ecuaiile fluxurilor pentru cldur, masi impuls pot fi puse subforma:

1) Transferul de cldur convectiv:

( )SS

y

yyTTh

TT

y

T

=

=

=

0

0

. (3.2.1)

2) Transferul de mas convectiv:


44/202


( )SAAC

SAA

y

AAB

yyA

yD

n ,,,,

0

0,

=

=

= . (3.2.2)

3) Transferul convectiv al impulsului:

( )SfS

x

yyxuuC

uu

x

u

=

='

0

, (3.2.3)

unde h, KCi Cf sunt coeficienii convectivi pentru cldur, masi impuls ntre un fluid i o suprafa solid care o mrginete.Termenii din parantez descriu diferena de potenial dintre fluidul

n micare i fluidul aflat n imediata vecintate a suprafeei solide.Astfel ecuaiile ce descriu transferul convectiv, pot fi puse sub oforma unitar,

=

potential

de

diferenta

transfer

de

ulcoeficient

frontierade

zonape

fluxul

. (3.2.4)

3.3.Ecuaiile de guvernare

S considerm forma integral a ecuaiilor constitutive:

(conservarea masei)

( ) ( ) { } { }00 ++= dnudtrr , (3.3.1)

(conservarea impulsului)

( ) ( ) ( ) ( ) +=

dPfdndnuudut b

rrrrr , (3.3.2)

(conservarea cldurii)


45/202


( ) ( ) ( ) +=

dgdndnTCudTTCt

VV&

rrr ,(3.3.3)

(conservarea componentelor)

( ) ( ) ( ) +=

drdnjdnudt

AAAA

rrrr . (3.3.4)

Ecuaiile (3.3.1)...(3.3.4) au o form similari pot fi reduse laforma general:

+

+

=

)4()3()2()1(

rgenerarilo

rata

viscoase

saudifuzive

fluxurilorrata

convective

fluxurilorrata

oracumularil

rata

. (3.3.5)

Pentru ecuaia de continuitate rata fluxurilor difuzive ca si ratagenerarii sunt nule.

Ecuaia (3.3.5) poate fi exprimat sub o form unitar prinintroducerea mrimilor ce definesc parametrii generali,fi g:

( ) +=

dgdnfdnudt )()(

rrrr

. (3.3.6)(1) (2) (3) (4)

Termenii (1)...(4) din ecuaia 3.3.6 definesc formele integrale aletermenilor (1)...(4) din ecuaia (3.3.5).

S considerm ecuaiile sub form diferenial pentruconservarea masei, a impulsului, a cldurii i a concentraiei:(conservarea masei)

{ } { }00)( ++=

u

t

r

, (3.3.7)

(conservarea impulsului)

)()()(

Pfuut

ub +=

rrrr

, (3.3.8)

(conservarea cldurii)


46/202


( )( ) gqTCu

t

TCV

V&

rr+=

, (3.3.9)

(conservarea componentelor amestecurilor)

( )( )

AAA

A rjut

+=

rr

. (3.3.10)

n mod similar cu expresia sub form integral a acestor legi,utiliznd parametrii , figse obine forma general a legilorde conservare:

( )( ) +=

gfu

t

rr

. (3.3.11)

(1) (2) (3) (4)

Termenii (1)...(4) din ecuaia 3.3.11 descriu forma diferenial aacelorai termeni din ecuaia 3.3.5.


47/202


CAPITOLUL 4

METODA DIFERENELOR FINITE

n capitolele 1, 2 i 3 s-au analizat aspectele fundamentale alemasei, cldurii i impulsului ca i legile integrale i difereniale aleecuaiilor care le descriu. n acest capitol ne vom ocupa deaspectele privind metodele de rezolvare numeric a acestora,utiliznd metode derivate din metodele bazate pe diferene finite.

4.1.Introducere

n majoritatea problemelor legate de optimizarea proceseloringinereti, n care distribuia temperaturii, a concentraiilor unorcomponente a modului de curgere i a vitezelor componentelortrebuie s fie cunoscute pentru a putea efectua procesul deoptimizare. Pentru a putea rezolva aceste probleme estenecesar stabilirea unui sistem de ecuaii cu derivate pariale ide condiii pe frontier care trebuie satisfcute n interioruldomeniului i pe frontiera acestuia. Aceste metode matematicevor fi incluse n termenul mai general formularea matematic a

problemei.Formularea matematic a unui proces tehnologic specificconduce astfel la obinerea unui sistem de ecuaii diferenialecare trebuie rezolvate. Pot exista de regul dou moduri desoluionare a formulrii matematice, n funcie de metodele derezolvare utilizate. Exist astfel metode analitice sau numericecare pot fi utilizate pentru rezolvarea problemei tehnice transpus

n formulare matematic.

Metodele analitice pentru rezolvarea ecuaiilor cu derivate

pariale au fost dezvoltate pentru problemele legate de transferulde cldur i mas prin metoda separrii variabilelor,transformrilor Laplace, etc., [15,16] metode care conduc laobinerea soluiilor sub form de formule matematice, serie deputeri etc. Aceste soluii satisfac ecuaiile difereniale n fiecarepunct al mediului. n procesul de rezolvare, se consider deregul un corp infinit sau o plac semiinfinit n care proprietilematerialului sunt aceleai indiferent de temperaturi de poziiapunctului din corp. De regul soluiile obinute cu aceste ecuaii


48/202

Metoda diferenelor finite

sunt mult mai complicate atunci cnd se urmrete iconsiderarea unor procese de schimbare de faz.

Din aceast cauz se consider c metodele numerice au un

potenial mult mai ridicat deoarece pot rezolva i cazuri n carepot apare i neliniariti pe anumite zone ale domeniului.

Metodele numerice pot fi clasificate n funcie de algoritmii derezolvare n

- metode bazate pe diferene finite;- metode bazate pe elemente finite;- metode bazate pe elemente de frontier.

Metoda diferenelor finite (Finite Difference Method) a fost

dezvoltat de Dusinberre[17]

i se bazeaz pe utilizrii seriilorTaylor.

Metoda ofer avantaje mari prin prisma formulrii algoritmilornumerici, a pregtirii datelor i al timpului de calcul, dar nupermite abordarea problemelor avnd complexitate geometricridicat din cauza restriciilor impuse asupra formei celulelor.

Metoda elementelor finite (Finite Element Method) a fost iniialdezvoltat pentru rezolvarea problemelor legate de rezistenamaterialelor (obinerea tensiunilori deformaiilor n structuriile cu

geometrie complex) dar a fost ulterior extins i la analize decmp termic[18] i la schimbri de faz[19].

Metoda elementelor de frontier (Boundary Element Method) sebazeaz pe combinarea metodei ecuaiilor integrale i a metodeireziduurilor a fost utilizat de asemenea la analiza termic[20]i laprobleme legate de schimbarea de fazi solidificare[21].

Recent a fost dezvoltati a fost utilizat cu succes n abordareaproblemelor de transport pentru configuraii complexe i interfee

ntre mai multe medii o nou metod bazat pe metoda FDM.Aceast metod se numete metoda volumelor finite, (FiniteVolume Method). Aceast metod este utilizat n ultimul timp larezolvarea problemelor de cmp termic, transfer de mas,curgere de fluide compresibile i incompresibile[22] ca i la analizaplasmei. n metoda volumelor finite, ecuaiile cu diferene finitesunt obinute prin constrngerea formei integrale a ecuaiilor ceguverneaz procesul analizat la un volum finit de control iconservarea energiei, masei, constituenilor chimici i a


49/202


impulsurilor pe acest element de control i pe suprafeele ce lmrginesc.

n acest capitol vom cuta s ne familiarizm cu metoda

diferenelor finite.

4.2.Metoda diferenelor finite

n grupul de metode care poart acest nume se gsesc metodedestul de deosebite ntre ele, cum ar fi:

- metodele bazate pe descompunere n serii Taylor;- metoda integral;- metoda volumelor finite sau a volumelor de control.

4.2.1.Formularea cu serii Taylor

A) Dezvoltarea n serii Taylor

Figura 4.1 prezint un grid dup o singur direcie destinatdezvoltrii n serii Taylor.

Figura 4.1. Parametrii discretizrii pentru o analiz unidimensional

Dac definim derivata unei funcii(x,y)n punctulx = x0i y = y0sub forma:

x

yxyxx

xx

+=

),(),(lim 0000

0(4.2.1)


50/202


i dacx este suficient de mic, dar finit astfel ca eroarea deaproximate a derivatei s fie rezonabil, atunci derivata poate fiaproximat cu primul termen al dezvoltrii Taylor al funciei n

jurul punctuluix0:

...!3

)(

!2

)()()(

3

3

32

2

2

00

000

+

+

+

+=+

x

x

x

xx

xxxx

xxx

(4.2.2)

...!3

)(

!2

)()()(

3

3

32

2

2

00

000

+

+

=

x

x

x

xx

xxxx

xxx

. (4.2.3)

Cele dou expresii reprezint modul de baz al exprimriiderivatelor

x

i2

2

x

ntr-un punct curentx0.

B) Aproximaia cu diferene finite pentru prima derivat

Privind ecuaiile anterioare, se constat faptul c neglijndderivatele de ordinul 2 putem obine formula cu diferene finiteatt pentru metoda nainte ct i pentru metoda napoi. Cele dou

expresii vor fi:

)()()( 00

0

xErrx

xxx

x x+

+=

(metoda nainte) (4.2.4)

)()()( 00

0

xErrx

xxx

x x+

=

(metoda napoi). (4.2.5)

Err(x) reprezint eroarea de trunchiere, eroare care descriediferena dintre valoarea exact a derivatei i cea obinututiliznd difereniala. Aceast eroare depinde de mrimea pasuluidiscretizrii,x. Cu ctxva fi mai mic, cu att precizia va fi maimare.

Dac vom face diferena dintre cele dou derivate se va obine oeroare mai mic pentru valoarea derivatei. Expresia derivatei npunctulx0 va depinde de valorile funciei n punctelex0+xix0-x, conform relaiei:


51/202


52/202


D) Aplicarea aproximrii cu diferene finite

Ca un exemplu simplu, s considerm un exemplu de ecuaie cudiferene finite n expresie unidimensional. Fie aceasta ecuaia

unui proces de transport nestaionat ce conine att termeniiconveciei ct i pe cei ai difuziei:

2

2

xxu

t

+

=

. (4.2.12)

(1) (2) (3)

Termenul (1) descrie variaia n timp a parametrului considerat ntimp ce termenii (2) i (3) descriu fluxurile convective respectiv

difuzive.Aplicnd diferenele nainte pentru derivata de ordinul I n funciede timp i diferene centrate pentru derivatele de ordinul I i II nraport cu spaiul, se obine urmtoarea ecuaie cu diferene finite:

2

1111 2

2 xxu

t

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

tt

i

++

=

+++

. (4.2.13)

n ecuaia ce descrie procesul, treprezint nivelul de timp curent

iar t+t nivelul de timp viitor. Rezolvarea problemei const ndeterminarea it+t n funcie de valorile deja cunoscute, deci celecare depind doar de t. Rezolvarea acestei probleme nu este chiarsimpl deoarece mai trebuie ndeplinite i condiiile de stabilitatea soluie. Aceste constrngeri vor fi studiate mai trziu.

Dac n ecuaia 4.2.12 termenul (2) care creaz cele mai mariprobleme de stabilitate i conduce la micorarea t i x.Evitarea acestui lucru poate fi fcut prin utilizarea diferenelor

napoi pentru exprimarea derivatelor n raport cu timpul iobinerea unui alt tip de ecuaie cu diferene finite. Acest tip dediscretizare conduce la o schema explicit de calcul n timp ceevitarea constrngerilor amintite conduce la o schem de tipimplicit.


53/202


4.2.2. Metoda integralelor

Ca i n cazul dezvoltrii n serii Taylor, s considerm cazulrezolvrii ecuaiei 4.2.12 folosind o alt metod.

Pentru integrarea ecuaiei cu derivate pariale n funcie devariabile independente (n cazul nostru x i t) pe o celul agridului aflat n jurul punctului (x,t) ca n figura 4.2 va trebui sne folosim de asemenea de expresii ale ecuaiilor n diferenefinite.

Figura 4.2. Parametrii discretizarii pentru un model 2D

Dac integrm ambii termeni ai ecuaiei pe intervalul t la t+ti ntre suprafeele ce delimiteaz celula gridului, vest i est, vomavea:

i

tt

t

i

tt

t

i

tt

t

ddtx

ddtx

uddtt

iii

+

=

+

+

+

2

2

. (4.2.14)

n cazul unui domeniu dreptunghiular pentru sistemulunidimensional, domeniul poate fi considerat cuprins ntresuprafetele Wi E.

Ecuaia (4.2.14) se simplific la forma:

dxdtx

dxdtx

udxdtt

E

W

E

W

E

W

tt

t

tt

t

tt

t

+

+

+

+

=

2

2

. (4.2.15)

(1) (2) (3)


54/202


S evalum termen cu termen ecuaia (4.2.15).

Temenul (1) conduce la:

( ) xdxdxdtt

t

x

tt

x

xx

xx

t

x

tt

x

tt

t

E

W

== +

+

++

2

2

. (4.2.16)

Termenul (2) conduce la:

dtu

dtdxx

udxdtx

u

dxdtx

u

tt

tx

xx

x

tt

t

xx

xx

xx

xx

tt

t

tt

t

E

W

+

+

+

+

+

+

+

==

=

22

2

2

2

2

. (4.2.17a)

n continuarea integrrii, se consider valoarea medie a mrimii integrate, sub forma:

+

xx

x

fdxf )()( unde [ )xxx + , .

Cu aceste consideraii, integrarea pe timp conduce la:

tudtutt

t

t

xx

t

xxx

xx

x=

+

+

+ 2222

. (4.2.17b)

Dac nsumm termenii din nodurile vecine atunci putem scrie:

( )ti

t

i

t

x

tx

x

tx

x+=

+= 1

22 2

1

2

1 . (4.2.17c)

nlocuind ecuaia (4.2.17c) n (4.2.17b) se obine termenul (2)cutat:

( ) tudxdtx

ut

i

t

i

tt

t

E

W

=

+

+

1121 . (4.2.18)


55/202


56/202


2

1111 2

2 xxu

t

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

tt

i

++

=

+++

. (4.2.21)

4.2.3. Metoda volumelor finite. Soluionarea cu ajutorulvolumelor de control

n metodele bazate pe dezvoltarea n serii Taylor ca i n metodaintegral s-a utilizat forma diferenial a legilor de guvernare aproceselor analizate. Obinerea soluiei s-a fcut utiliznd metodematematice pentru dezvoltatrea n volume finite. n abordarea cuvolume finite, forma matematic bazat pe ecuaii cu derivatepariale, nu mai este absolut necesar, fiind utilizat legea

general a conservrii masei, impulsului i energiei pentru fiecarevolum finit care aparine domeniului analizat. Astfel, utilizareametodei volumelor finite confer o apropiere mai bun defenomenul fizic dect metoda diferenelor finite.

Figura 4.3. Modul de reprezentare in teoria volumelor finite pentru un grid 1D

Ca un exemplu, s considerm o problem nestaionarconvectiv-difuziv analizati pentru celelelalte metode:

2

2

xxu

t

+

=

, (4.2.22a)

ecuaia poate fi scrisi sub forma integral:


57/202


( ) ( )

+=

dnqdnud

t

rrrr . (4.2.22b)

(1) (2) (3)

sau forma general:

+

=

)3()2()1(

difuzie

prinschimbat

luipotentialu

altotalfluxul

convectie

prinschimbat

luipotentialu

altotalfluxul

inacumulata

luipotentialurata

. (4.2.22c)

Termenul (1) reprezint mrimea cu care potenialul crete sauscade n interiorul volumului n unitatea de timp.Termenii (2) i (3) reprezint cantitatea de potenial care intri iese din volumul prin suprafaa de control prin fenomenulde conducie respectiv difuzie. De menionat faptul c relaia(4.2.22c) este valabil pentru orice form geometric orict decomplicat.

Dac se va aplica relaia integral (4.2.22b)[22] sau cea general(4.2.22c)[23] pentru o anumit zon a domeniului , zon pe care

o definim volum de control vom obine ecuaia n diferene finitepentru acea zon. S analizm termenul (1) al legii sub formgeneral. Pentru a defini ct mai corect acest lucru, se considervaloarea potenialului n punctul (x) ca fiind valoarea medie avolumului de control (i) dezvoltat n jurul punctului (x)i cretereatotal a acestuia n intervalul de timp t t+t n volumul decontrol va fi:

i

t

i

tt

i

Vtdt

=

+

. (4.2.23)

Unde cu i s-a notat valoarea potenialului n nodul ial reelei is-a considerat c aceasta este constant pe ntreg volumul Vi alcelulei reelei. Termenul (2) din ecuaia generale reprezint fluxultotal schimbat de volumul de control cu mediul nconjurtor prinsuprafaa care l delimiteaz prin convecie. Forma integral aacestuia este:


58/202


59/202


( )

+ =2

11

t

i

t

iudnurr . (4.2.29)

n cazul fluxurilor difuzive,qEi qW, estimarea acestora trebuiefcut pe baza considerrii legii difuziei, cum ar fi legea Fourier,legea Fick sau Newton a vscozitii. Ca i n celelalte exemples considerm prima lege a lui Fourier a conduciei:

W

W

E

E

xq

xq

=

=

. (4.2.30)

S exprimm gradienii potenialului cu ajutorul unei scheme cudiferene de tipul nainte pentru expresiile acestora din ecuaia(4.2.30):

W

t

i

t

i

t

E

t

i

t

i

t

xx

xx

W

E

=

=

+

1

1

. (4.2.31)

Pentru a simplifica ecuaia cutat i pentru a putea comparaexpresia acesteia indiferent de metoda de obinere sconsiderm cxE =xW=x, deci volumele de control au aceaidimensiune i acelai volum. Din aceleai motive s considermc potenialul din volumul de control din vest W este mai maredect cel din volumul de control din est (E) ceea ce conduce laun flux difuziv pe direcia vest est (W E, respectiv, n

simbolizarea cu indici, i-1

i) Se obine astfel urmtoareaexpresie matematimatic a fluxului difuziv prin suprafaa laterala volumului de control aflat la poziiax(indicele i):

( ) ( )

xx

AqAqdnq

t

i

t

i

t

i

t

i

WWEE

=

=

+

11

rr

. (4.2.32)


60/202


Prin nlocuirea n ecuaia general a balanei fenomenului seobine:

xuxt

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

tt

i

+

+

=

+++

111 2

2 . (4.2.33a)

Sau mprind cux,

2

111 2

2 xxu

t

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

tt

i

++

=

+++

. (4.2.33b)

Se observ c utiliznd cele trei metode de calcul, pentru aceaiexpresie a ecuaiei difereniale pariale se obine acelai rezultat.

Cu toate acestea, metoda volumelor finite are un grad mult maimare de generalitate att n ceea ce privete posibilitile de

mprire a domeniului n volume de control ct i n descriereafenomenului fizic care se analizeaz. Din aceast cauz, n ultimiiani a cunoscut o foarte rapid dezvoltare.


61/202


CAPITOLUL 5

CONDUCIA CLDURII N REGIM STAIONAR

n capitolele anterioare s-au studiat metodele numerice bazate pedescompunerea n elemente finite de rezolvare a ecuaiilordifereniale cu derivate pariale care definesc fenomenele detransport pentru mas, impuls i cldur. n acest capitol ne vomaxa pe rezolvarea cu ajutorul metodei volumelor finite a ecuaiilorce descriu fenomenele de difuzie. Din cauza similitudinii ntrecldur i transportul de mas pentru cazul amestecurilor, estesuficient studierea unui singur tip de probleme. Se consider

astfel problema conduciei termice n regim staionar. Regimulstaionar este regimul n care desfurarea proceselor analizatenu depinde de timp deci termenii ce descriu rata acumulrilor dinecuaiile generale de guvernare se neglijaz.

5.1. Fundamentarea matematic

5.1.1. Ecuaiile ce guverneaz procesul

Aa cum a fost prezentat n capitolul 2, forma integral aecuaiei ce guverneaz procesele de conducie n regim staionar

n cazul n care proprietile fizice ale materialului sunt constanten funcie de temperatur are expresia:

( )

=+ 0dgdnq &rr . (5.1.1)

n timp ce forma diferenial este:

0=+

g

dxdT

dxd & , (5.1.2)

unde T este temperatura, coeficientul de difuzie(conductibilitatea termic) i g& reprezint rata de generare acldurii.

n capitolul 4 s-a prezentat modul de tratare cu diferene finite icu volume finite a unor legi de conservare sub form integral.


62/202

Conducia cldurii n regim staionar

5.1.2. Condiii la limit (pe frontiere)

Cel mai des ntlnite condiii pe frontier pentru cazul propagriicldurii au fost deja tratate n capitolul 2. n metoda volumelor

finite, condiiile pe frontier sunt n general expresia unor fluxuriimpuse pe suprafaa exterioar a domeniului. De asemenea, naceast metod, ntregul domeniu analizat este mprit nvolume de control care sunt delimitate de suprafee de control. ncazul propagrii cldurii, aceasta se propag prin suprafeele decontrol de la un volum finit la altul, indiferent dac suprafaa decontroldelimiteaz dou volume de control vecine (suprafee decontrol interioare) sau este o zon de contact ntre un volum decontrol i frontiera exterioar a domeniului (suprafee de control

exterioare).Rezolvarea problemei matematice necesit determinareacantitii de cldur care trece n unitatea de timp att prinsuprafeele exterioare ct i prin cele interioare. Pot fi introduseastfel i condiii pe frontier pentru dou sau mai multe regiuniaflate n stare solidi care au coeficieni de conducie termic,densiti i clduri specifice diferie.

n figura 5.1 este descris un domeniu de calcul cu dousubdomenii

i sunt prezentate

i nota

iile pentru diferite tipuri de

condiii pe frontier:

Figura 5.1. Modul de impunere a condiiilor limit pentru un domeniu decalcul alctuit din dou subdomenii avnd proprieti termice diferite


63/202


temperaturi impuse ( condiii de tip 0)

0= TT

r, (5.1.3a)

flux termic ntre dou volume de control separate de ofrontier comun domeniului analizat(condiii 1)

x

Tq

= 1 , (5.1.3b)

flux termic impus (condiii 2)

2

2

2

=

=q

xTq , (5.1.3c)

convecie, se impun hinfi Tinf(condiii de tip 3)

( )TThx

Tq =

=

3

3 , (5.1.3d)

radiaie, se impun

i Tsur(condiii

4)

( )( )22supsup4

4TTTT

x

Tq ++=

=

, (5.1.3e)

transferul de cldur ntre dou solide cu rezistentermic diferit (5)

( )215

5

=

= TThx

T

q in , (5.1.3f)

unde hin este coeficientul de schimb termic pe interfa ntre dousolide i T1 i T2 sunt temperaturile volumelor de controlseparate de cele dou suprafee.


64/202


5.2. Metoda volumelor finite pentru cazul staionar

5.2.1. Calculul gridului

S considerm un caz unidimensional pentru conducia termic,aa cum este prezentat n figura 5.2, n care sunt definitevolumele de control i suprafeele de control ale acestora.

Figura 5.2. Modul de mprire al domeniului n volume finite egale

Prima operaie de pregtire a domeniului n scopul calculriisoluiilor numerice a ecuaiei sub form general const n

mprirea acestuia n volume de control finite. n acest scop vor fidefinite un numr de noduri (puncte nodale) aflate n interiorul

domeniului, cuprinse ntre nodurile aflate pe suprafaa exterioara acestuia (Wi E din figura 5.2.

n figura 5.3 este descris o reprezentare schematic adiscretizrii n elemente de volum finite pentru un domeniuunidimensional. Pentru acest tip de domenii, fiecare nod interior(punct nodal i) se gsete ntre dou noduri vecine (i-1 respectivi+1) i pot fi generate dou suprafee de control ce mpartsegmentele ce leag punctele nodale n dou pri egale.Suparfeele de control aflate la vest i la est de punctul nodal sunt


65/202


notate n figura 5.3 cu W respectiv E. Distana dintre nodurile (i-1) i (i) este notat cu xW, iar cea dintre nodurile (i) i (i+1) estenotat cu xE. Dimensiunea volumului de control ce coninepunctul curent (i) este x.

Figura 5.3. Modul de numerotare i simbolizare a volumelor finite pentrucazul unidimensional

5.2.2. Obinerea ecuaiilor cu diferene finite

Aa cum a fost prezentat n capitolul 4, primul pas n obinerea

ecuaiilor cu diferene finite utiliznd metoda elementelor finiteconst n aplicarea formei integrale asupra legii generale cedescrie procesul asupra volumului de control.

S aplicm forma integral asupra volumului de control (i) dinfigura 5.2. Ecuaia (5.1.1) are forma:

( )

=+ 0dgdnq &rr .

1) Metoda convenional de discretizare

Metoda a fost utilizat n capitolul 4 pentru o ecuaie generalcare descrie un caz nestaionar de transport convectiv i difuziv.

n cazul de fa metoda se va aplica asupra ecuaiei ce definetetermenul de difuzie a ecuaiei 5.1.1 i conduce la urmtoareaabordare:


66/202


( ) ( ) ( ){ }

( ) ( )

E

ii

W

ii

x

TTAx

TTA

AqAq

AqAqdnq

EW

EEWW

WWEE

=

=

=

+

11

rr

. (5.2.1a)

n descompunerea pe fluxuri a ecuaiei 5.2.1a se consider ctemperatura din volumul de control i-1 (Vest) este mai mare dectcea din volumul de control i+1 (Est) i deci fluxulde cldur princonducie va intra n volumul de control analizat (i) prin faa Wiva prsi acest volum prin faa de control E, ca n figura 5.4(a).Termenul care definete sursa termic intern din volumul de

control va fi:

xgdg =

&& . (5.2.1b)

nlocuind n ecuaia (5.1.1) se obine forma cu diferene finite aecuaiei dorite:

011 =+

+

xg

x

TTA

x

TTA

E

ii

W

ii

EW& . (5.2.2a)

Dac, pentru simplificare se consider pentru cazulunidimensional:

xxx

AA

EW

EW

==

== 1 .

Ceea ce nseamn caz unidimensional i discretizare uniform,

rezult aceeai form ca i cea cu diferene finite:

gx

TTT iii &

2

11 2

=+ + . (5.2.2b)

Ecuaiile 5.2.2a ca i cazul su particular 5.2.2b pot fi aplicatedoar asupra volumelor de control care au toate suprafeele decontrol dispuse n interiorul domeniului de calcul. n cazul n carecel puin o suprafa de control se gsete pe frontiera


67/202


domeniului, asupra acesteia vor aciona fluxuri exterioare, fluxuricare vor fi determinate n conformitate cu tipul de condiii pefrontier impuse asupra acestei suprafee de control.

Figura 5.4. Modul de reprezentare a fluxurilor termice n cazulunidimensional. a) Cazul clasic utilizat n metoda diferenelor finite (MDF).

b) Fluxurile termice incidente volumul finit (i) prin suprafeele de controlWi

E. (Metoda general de discretizare)

2) Metoda general de discretizare

S considerm acum o form mai general de discretizare aecuaiilor destinate rezolvrii problemelor legate de propagareaprin conducie a cldurii.

Termenul care definete conducia din integrala 5.1.1 descrietotalitatea fluxurilor care intr i ies din volumul de control prinsuprafaa lateral a acestuia, suprafa numit n acest cazsuprafa de control. Aceste fenomene fizice au fost numite ncapitolul 2, fenomene de suprafa i se refer la totalitateaschimburilor ce au loc prin flux termic ntre volumul de control pecare l mrginesc i vecintile acestuia. n subcapitolulprecedent s-au dezvoltat ecuaiile cu metoda volumelor finite i s-a particularizat cazul diferenelor finite doar pentru suprafeele


68/202


interioare domeniului analizat, ceea ce corespunde cazului 1(fluxuri schimbate prin conducie). Fenomenele de suprafa potinclude i fluxuri schimbate prin convecie i radiaie ca necuaiile (5.1.3a)...(5.1.3f).

Pe baza acestor observaii se poate scrie primul termen alecuaiei integrale sub forma:

( ) ( ) ( )EEWW

AqAqdnq

+= rr , (5.2.3)

unde cuW

q i Eq s-au definit toate fluxurile care intr n volumul

de control prin volumul de control prin suprafeele Wi E, aa

cum s-a reprezentat n figura 5.4b.Ecuaia (5.2.3) poate fi scris acum pentru cazul unui domeniuoarecare sub forma general:

( ) ( )=

=Ncs

mmm

Aqdnq1

rr , (5.2.4)

unde:Ncs numrul suprafeelor de control care mrginesc

volumul de control (i),m indicele curent al suprafeei de control,Am aria suprafeei de control cu indicele m

mq fluxul net prin suprafaa de control ce intr n volumul

de control.

Pot fi astfel dezvoltate volume de control avnd forme geometricemai complexe i care s acopere domenii bidimensionale itridimensionale.

Trebuie menionat faptul c fluxurile sunt doar difuzive i nuinclud componenta convectiv cauzat de curgerea unui fluid prinvolumul de control.

Cel de-al doilea termen al ecuaiei (5.1.1) este dat de ecuaia:

=iVgdg && , (5.2.5)

unde Vi reprezint forma volumului de control cu indicele i.


69/202


Ecuaia general pentru rezolvarea problemelor legate deconvecia staionar a cldurii poate fi scris sub forma:

( ) =+

Ncs

miVgAq

51638754 Metode Numerice Avansate Metal Modelling

Documents

Transcript of 51638754 Metode Numerice Avansate Metal Modelling