Ministerul Educaiei Naionale

Centrul Naional de Evaluare i Examinare

Prob scris la matematic M_t-nat Model

Filiera teoretic, profilul real, specializarea tiine ale naturii

Pagina 1 din 1

Examenul de bacalaureat naional 2015

Proba E. c)

Matematic M_t-nat

Model Filiera teoretic, profilul real, specializarea tiine ale naturii

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. I. FELADAT (30 pont)

5p 1. Szmtsd ki az ( )1n n

a

szmtani haladvny els hrom tagjnak sszegt, ha 1 3a = s az lland

klnbsg 2r = .

5p 2. Hatrozd meg az :f , ( ) 2 2 2f x x x= + fggvnyhez rendelt parabola cscsnak koordintit!

5p 3. Oldd meg a 2 4 5 1x x + = egyenletet a vals szmok halmazn!

5p 4. Hatrozd meg az { }1, 2, 3, 4, 5 halmaz hromelem rszhalmazainak szmt! 5p 5. Az xOy koordinta-rendszerben adottak az ( )2,3A , ( )2,1B s ( )2,5C pontok. Hatrozd meg

az AM

vektor hosszt, ahol M a BC szakasz felezpontja.

5p 6. Szmtsd ki ctg a rtkt, ha 1

sin3

a = s 0,2

a

.

II. FELADAT (30 pont)

1. Adott az ( )

2

1 3

xA x

=

mtrix, ahol x vals szm.

5p a) Szmtsd ki: ( )( )det 3A . 5p b) Igazold, hogy ( ) ( ) ( )2015 2015 2 0A A A + = .

5p c) Hatrozd meg az x vals szmokat, amelyekre teljesl a ( )( ) 2det A x x= egyenlsg!

2. A [ ]5 X halmazban adott az 3f X aX= + polinom, ahol { }5 0, 1, 2, 3, 4= s 5a . 5p a) Szmtsd ki: ( )0f . 5p b) Hatrozd meg az 5a szmot, ha ( )3 3f = . 5p c) Ha ( ) ( )1 2f f= igazold, hogy ( ) ( )3 4f f= .

III.FELADAT (30 pont)

1. Adott az ( ): 0,f + , ( ) lnx xf xx

+= fggvny.

5p a) Igazold, hogy ( )2

1 ln'

xf x

x

= , ( )0,x + .

5p b) Hatrozd meg az f fggvny grafikus kpnek 0 1x = abszcisszj pontjban, az f fggvny grafikus kphez hzott rint egyenlett!

5p c) Hatrozd meg az f fggvny monotonitsi intervallumait!

2. Adott az ( ): 1,f + , ( ) 11

f x xx

= ++

fggvny.

5p a) Szmtsd ki ( )1

0

1

1f x dx

x

+ .

5p b) Igazold, hogy ( )1

0

4ln 2

3x f x dx = .

5p c) Hatrozd meg a nulltl klnbz n termszetes szmot, ha az f fggvny grafikus kpe, az

Ox tengely, valamint az 0x = s 1x = egyenlet egyenesek ltal hatrolt terlet egyenl

( )21 ln2

n n+ + -el!