Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ Proba F, tipul subiectului MT3, programele M4, M5

Rezolvare: 1. Condiţia: n ∈ ; ( ) ( )3 ! 20 2 !n n+ = ⋅ + 3 20 17n n⇔ + = ⇔ = ∈ -soluţia ecuaţiei .

2. 2

2 1x x− = ⇔ { }2 0 0,1x x x− = ⇔ ∈ . Mulţimea soluţiilor ecuaţiei { }0,1 .

3. Termenii sumei sunt în progresie aritmetică cu 1 6,a = raţia 10, 96nr a= = . Numărul termenilor se determină din formula termenului general:

( ) ( )1 1 96 6 1 10 1 9 10na a n r n n n= + − ⇒ = + − ⇔ − = ⇔ = ;

110 10 10

2 9 12 9010 10 510

2 2

a rS S S

+ += ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ = .

4. Vectorii sunt coliniari dacă există k { }0∈ − astfel încât 1 2r k r= ⋅ ;

1 3

7.2

k

k

αα

+ = −⇔ = − =

5. Relaţiile lui Viète sunt:2

1 2 1 24 2

;m m

x x x xm m

− − −+ = ⋅ = ;

Relaţia din problemă devine: 1 21 2 1 2

1 2

1 12 2 2

1 2

x xx x x x

x x x x

++ = ⇔ = ⇔ + = ⋅ ⋅⋅

;

{ }24 2

2 2,0 (1)m m

mm m

− − −= ⋅ ⇔ ∈ − ; { }m 0 (2)∈ − ; Din 1 şi 2 rezultă { }2m ∈ − .

6. În ABC ( )( )90m A = : sin ; sin ; cos ; cosb c c b

B C B Ca a a a

= = = = ;

Înlocuind în relaţia din problemă, în primul membru, obţinem:

( )( )sin sin cos cosb c c b

c B b C c B b C c b c ba a a a

+ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =

2 2 2

2 2b c c b b c a

a a a a

⋅ + ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 2 22 2 sin sinb c

a a B Ca a

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ .