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________________________________________________________________
MMOODDEELLAACCIINN DDEE RREEDDEESSDDEE TTRRAANNSSMMIISSIINN DDEEEENNEERRGGAA EELLCCTTRRIICCAA
________________________________________________________________
LLEEOONNAARRDDOO CCAARRDDOONNAA CC..PPrrooffeessoorr AAssoocciiaaddoo
EESSCCUUEELLAA DDEE IINNGGEENNIIEERRAA EELLCCTTRRIICCAA YY MMEECCNNIICCAAUUNNIIVVEERRSSIIDDAADD NNAACCIIOONNAALL DDEE CCOOLLOOMMBBIIAA
SSEEDDEE MMEEDDEELLLLNNAAGGOOSSTTOO 22000044
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LEONARDO CARDONA C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
CONTENIDO
Pg.
1 INTRODUCCION .......................................................................................... 1
2 IMPEDANCIA SERIE DE UNA RED ....................................................... 5
2.1 RESISTENCIA DE LA LINEA................................................................... 6
2.2 INFLUENCIA DEL EFECTO SKIN EN LA RESISTENCIA................ 8
2.3 INFLUENCIA DEL SISTEMA DE RETORNO EN LARESISTENCIA.............................................................................................. 9
2.4 INDUCTANCIA DE LA LINEA DE TRANSMISION ......................... 10
2.5 INTENSIDAD DE CAMPO MAGNETICO H DEBIDO A LACORRIENTE DE UN SOLO CONDUCTOR ............................................ 12
2.6 CALCULO DEL FLUJO LIGADO TOTAL ............................................... 13
2.7 FLUJO LIGADO SOBRE UN CONDUCTOR DEBIDO A UNGRUPO DE CORRIENTES.......................................................................... 18
2.8 INDUCTANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA CONSIDERANDOSUELO IDEAL............................................................................................. 20
2.9 MATRIZ DE REACTANCIAS INDUCTIVAS DE UNA REDTRIFASICA ................................................................................................. 24
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2.10 INTERPRETACION DE LA MATRIZ DE INDUCTANCIAS ............ 26
2.11 INDUCTANCIAS PARA RED TRIFSICA TRANSPUESTA ........... 26
2.12 INDUCTANCIAS DE SECUENCIA PARA LINEA TRIFASICA...... 30
2.13 IMPEDANCIA SERIE DE UNA RED CON RETORNO PORTIERRA CONSIDERANDO SUELO REAL............................................ 35
2.14 APROXIMACION DE LEWIS PARA CALCULO DE IMPEDANCIASERIE A BAJA FRECUENCIA ................................................................ 38
2.15 LAS IMPEDANCIAS DE SECUENCIA CONSIDERANDO LAAPROXIMACION DE LEWIS ................................................................. 40
2.16 IMPEDANCIA DE UNA RED PARA CONDUCTORES EN HAZ ........ 41
2.17 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFSICADE UN CIRCUITO CON UN CABLE DE GUARDA.............................. 44
2.18 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFASICADE UN CIRCUITO CON DOS CABLES DE GUARDA......................... 45
2.19 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFASICADE DOS CIRCUITOS CON DOS CABLES DE GUARDA................... 47
3. CAPACITANCIA DE UNA RED............................................................... 50
3.1 DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS DEBIDO AUNA DISTRIBUCION LINEAL DE CARGA.......................................... 51
3.2 CAPACITANCIAS DE LINEA TRIFASICA ......................................... 54
3.3 INTERPRETACION FISICA DE LA MATRIZ DECAPACITANCIAS...................................................................................... 57
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3.4 CAPACITANCIA PARA UNA LINEA TRIFASICA CONTRANSPOSICION..................................................................................... 58
3.5 RADIO MEDIO GEOMETRICO Y DISTANCIA MEDIAGEOMETRICA............................................................................................. 62
3.6 CAPACITANCIAS DE SECUENCIA DE UNA RED TRIFASICATRANSPUESTA .......................................................................................... 64
4 REPRESENTACION CIRCUITAL DE LINEAS DETRANSMISION......................................................................................... 66
4.1 LINEAS DE TRANSMISION CORTAS................................................ 67
4.2 LINEAS DE TRANSMISION DE LONGITUD MEDIA...................... 71
4.3 LINEA DE TRANSMISION DE LONGITUD LARGA........................ 74
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS ................................................................ 79
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INTRODUCCIN
Un sistema de transmisin de energa elctrica es una parte constitutiva
de un sistema de potencia elctrico que requiere de una modelacin
adecuada dependiendo del estudio que se est realizando. Estamodelacin depende de parmetros como la distancia, y la frecuencia del
fenmeno motivo de estudio.
Estas notas son el resultado de haber trabajado el tema de la modelacin
de lneas areas de alta tensin inicialmente en el curso de Transporte de
Energa y posteriormente en los cursos de Redes I y Redes II. Con la
utilizacin de herramientas modernas de simulacin como el programa
ATP/EMTP, que considera las redes como elementos polifsicos sin hacer
uso de las componentes simtricas, se hace necesario fortalecer el
concepto de impedancia generalizada de una red polifsica. Este concepto
se construye a partir de las expresiones de Carson y las simplificaciones
propuestas por Lewis para estudios a frecuencia industrial.
Las redes constituyen el elemento ms comn en un sistema elctrico de
potencia. Con fines de anlisis en estado estacionario y diseo delsistema elctrico se podra suponer conductores ideales si la red tuviera
una distancia muy pequea, pero la realidad es otra, ya que las redes se
construyen con el fin de transportar energa de las fuentes al usuario o
entre subestaciones con fines de interconexin.
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Introduccin
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2
Sobre una red aparecen cuatro fenmenos fsicos que no se puedenignorar dependiendo de la distancia y del voltaje de operacin. Estos
fenmenos fsicos son los siguientes:
Efecto resistivo, responsable del calentamiento del conductor y de
cada de tensin a lo largo del conductor. La resistencia depende del
tipo de material del cual est hecho. Este efecto es dominante sobre
los dems en redes de baja tensin, debido al calibre de los
conductores que se emplean en dichos niveles de tensin.
Efecto inductivo, debido a los enlaces de flujo que rodean al
conductor, creados por su propia corriente y por las corrientes de
los otros conductores. Este efecto se ignora generalmente en redes
de baja tensin donde el efecto resistivo es mayor que la reactancia
inductiva. Se empieza a considerar en redes donde los conductores
presentan una reactancia inductiva comparable con el la resistenciareactivo, como es el caso de las redes de distribucin. A medida que
aumenta el nivel de tensin, la resistencia de los conductores
empleados es mucho menor que la reactancia inductiva, como es el
caso de una lnea de 230 kV donde la relacin X1/R1 es del orden de
8 y para una lnea de 500 kV del orden de 14. En redes de alta
tensin el efecto inductivo es el limitante de las transferencias de
potencia activa.
Efecto capacitivo, debido a las corrientes de desplazamiento en
derivacin que se presentan entre conductores y entre estos y el
suelo. Estas corrientes de desplazamiento hace que los conductores
se carguen cuando son energizados, an con la lnea en vaco. La
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Introduccin
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3
capacitancia se desprecia normalmente para redes con longitud por
debajo de 80 km. El efecto capacitivo se empieza a tener en cuentaen redes de longitud mayor a 80 km ya que ste se acenta por
aumento de la corriente de desplazamiento. El efecto principal de la
capacitancia asociada a los conductores es el aumento de la tensin
en el extremo de carga en vaco. Este aumento de tensin depende
de la longitud de la red. Para redes por debajo de 80 km la
regulacin est por debajo de 0.5%, razn por la cual se considera
despreciable el efecto capacitivo. Cuando se trata de cables
aislados las consideraciones de longitud ya no son vlidas y el efectocapacitivo se debe considerar en casi todas las situaciones.
Efecto conductivo. Un cuarto efecto es el de conduccin de
corrientes de fuga debido a las caractersticas del aislamiento de la
red. Estas corrientes se presentan debido a la contaminacin del
medio ambiente que rodea al conductor. Este efecto normalmente se
ignora en lo que respecta al circuito que representa la red enfuncionamiento normal en estado estacionario. Las prdidas de
potencia activa que ocasionan estas corrientes si se tienen en cuenta
en la seleccin de conductores para lneas de alta tensin, cuando se
evalan las prdidas por efecto "corona".
Una vez que se ha tomado la decisin de disear y construir una nueva
red, se hace necesario un modelo que represente adecuadamente la red en
los diferentes estudios donde sta est involucrada. La modelacin paraestudios de estado estacionario de la red, se hace mediante un circuito en
forma general n-fsico.
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Introduccin
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El modelo circuital para una red de transmisin de energa se construye a
partir de las leyes de la Fsica que describen matemticamente losefectos fsicos anteriormente expuestos.
Las redes son del tipo trifsico de uno o varios circuitos. Es usual en
Colombia el utilizar cable de guarda como medio de apantallamiento contra
descargas atmosfricas, en redes areas, debido al alto nivel cerunico
que se presenta en la mayora de las regiones. El cable de guarda hace las
veces de conductor neutro al estar elctricamente en contacto con la
torre.
Para estudios transitorios rpidos, los modelos deben involucrar las
variables tiempo y desplazamiento, dando lugar a los modelos distribuidos
de onda viajera, los cuales manejan un concepto relativista, ya que un
evento que aparezca al inicio de la lnea necesita de un tiempo
determinado para propagarse, dado por la velocidad con que las ondas de
corriente y voltaje se desplazan a lo largo de la red.
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IMPEDANCIA SERIE DE UNA REDAREA
La cada de voltaje lo largo de un conductor que transporta una corriente
alterna se debe a dos fenmenos fsicos: efecto resistivo propio del
conductor y el efecto de la autoinduccin motivado por la presencia decampo magntico variable en el tiempo que rodea al conductor. Las lneas de
campo magntico son ocasionadas por la propia corriente y por corrientes
de lneas paralelas vecinas, para el caso de lneas con varios conductores.
Una red est formada en general por nconductores acoplados entre si.
Este acoplamiento es tanto resistivo como inductivo.
En la obtencin de la impedancia serie de una red trifsica area se vaseguir la siguiente metodologa:
Clculo de la resistencia AC del conductor incluyendo algunos efectos
como la temperatura y el retorno por tierra.
Planteamiento de la ecuacin bsica para el flujo ligado sobre un
conductor, creado por su propia corriente.
Determinacin del flujo ligado sobre un conductor debido a un grupo
de varias corrientes.
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Impedancia serie de una red area 6
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Con la generalizacin anterior se particulariza para una red trifsica
de un conductor por fase. Se considera el caso de suelo ideal
(perfectamente conductor).
Se le da una interpretacin a la matriz de reactancias inductivas, para
el caso de red trifsica.
Se determinan las inductancias de secuencia, haciendo las
consideraciones de red completamente transpuesta.
Se hacen las correcciones a las expresiones de impedancia serie
obtenidas para suelo ideal, al considerar las caractersticas de suelo
real. Se plantean las expresiones de Carson y se considera finalmente
una solucin prctica a 60 hz, que es la aproximacin de Lewis.
Se plantea el caso de una fase constituida por un grupo de
conductores formando un haz.
Se considera el efecto que tienen los cables de guarda sobre la
impedancia de secuencia cero de una red trifsica.
2.1 RESISTENCIA DE LA LINEA
Los conductores que normalmente se utilizan en lneas areas son dealuminio y alma de acero reforzado (ACSR), conductor totalmente de
aluminio (AAC), conductor totalmente de aleacin de aluminio (AAAC),
conductor de aluminio reforzado (ACAR). Estos conductores de estos
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Impedancia serie de una red area 7
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materiales ofrecen buenas caractersticas a la traccin mecnica (caso del
ACSR), buena conductividad y adems poseen poco peso.
Para determinar el efecto resistivo de los conductores se puede hacer por
clculos o por mediciones. En primera instancia parece sencillo el clculo de
la resistencia de un conductor, pero hay varios factores que complican dicho
clculo. Estos factores son los siguientes: la temperatura, efecto skin
(pelicular), la forma espiral de los hilos que componen el conductor
(espiralizacin), la frecuencia de la corriente, la tierra como sistema de
retorno.
El valor de la resistencia efectiva se puede obtener a partir de la medicin
de prdida de potencia y del valor efectivo de la corriente. El valor de la
resistencia obtenido de esta manera sera:
I
conductorelenpotenciadeprdidas=R
2(2.1)
La resistencia DC de un conductor de material uniforme se puede calcular
como:
A
l=RDC (2.2)
donde,
RDC = resistencia DC del conductor en .A = rea de la seccin transversal del conductor, en m
l = longitud del conductor, en m.
= resistividad del material del conductor, en .m
2.83 x 10-8.m para el aluminio a 20 C.
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Impedancia serie de una red area 8
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La resistividad del material del conductor vara en forma aproximadamente
lineal con la temperatura. Esta variacin se puede calcular con la siguiente
expresin:
T+T
T+T=01
0212 (2.3)
donde,
T2,T1 son las temperaturas en C correspondientes a lasresistividades 2 y 1 respectivamente.
T0 es una constante que puede tomar los siguientes valores,
234.5 para cobre recocido de 100% de conductividad,
241 para cobre estirado en fro de 97.3% de conductividad,
228 para aluminio estirado en fro de 61% de conductividad.
2.2 INFLUENCIA DEL EFECTO SKIN EN LA RESISTENCIA
La resistencia tambin se ve afectada por el efecto skin (pelicular o
superficial). Este consiste en la tendencia que tiene la corriente alterna a
concentrarse en la superficie del conductor, efecto que se incrementa con
la frecuencia. La resistencia se ve incrementada con este efecto ya que
disminuye al rea efectiva del conductor para transportar la corriente. El
clculo del incremento de la resistencia debido al efecto skin es complejo,
dando lugar a ecuaciones tipo Bessel. Para efectos prcticos la correccin
por este efecto se va a considerar al tomar el valor de resistencia a la
corriente alterna de las tablas que suministran los fabricantes. Este valor
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se da para la frecuencia de trabajo del conductor, a una temperatura
determinada y para diferentes valores de corriente (pequeas y 75% de la
corriente nominal).
2.3 INFLUENCIA DEL SISTEMA DE RETORNO EN LARESISTENCIA.
Cuando el sistema de retorno de una corriente es un conductor fsico o una
tierra de caractersticas ideales (=0.0), la resistencia total sersimplemente la suma de las dos resistencias de los respectivos conductores,
el de fase y el de retorno. Cuando el sistema de retorno lo constituye la
tierra fsica la resistencia total est dada por las correcciones de Carson:
R+R=R ACTOTAL (2.4)
donde R es una serie infinita,
...
fh10.10-
8f10.8=R 4-3
44-
(2.5)
donde,
h es la altura del conductor con respecto a la superficie del suelo en
m.
f es la frecuencia de la corriente en hz. es la resistividad del suelo en .m.
Para clculos a 60 hz. una solucin que se considera prctica es considerar
nicamente el primer trmino de la serie. Para este caso la correccin sera
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un trmino constante que es independiente de la altura del conductor. En lo
sucesivo a este trmino constante de correccin por retorno por tierra se
le llamar Rn, y su valor ser:
Km0.0592=Rn
(2.6)
2.4 INDUCTANCIA DE LA LINEA DE TRANSMISION
La fuerza electromotriz (FEM) inducida a lo largo de un conductor, de
acuerdo a la Ley de Faraday de la Induccin, se calcula de la manera
siguiente:
B.dSdt
d-=
dt
d-=E.dl=FEM=e
SL (2.7)
De acuerdo a la anterior ecuacin, la fuerza electromotriz est definida
como la integral de lnea del campo elctrico. Igualmente se puede evaluar lafem como la variacin del flujo ligado con respecto al tiempo. El signo
menos se introduce de acuerdo a la Ley de Lenz, para definir el sentido de
la diferencia de potencial que se opone a la corriente que produjo la cada
de tensin.
La relacin entre el flujo ligado, la inductancia y la corriente, se puede
obtener a partir de la siguiente ecuacin:
dt
d=
dt
dN=
dt
diL=v=e
(2.8)
De donde se puede establecer:
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Impedancia serie de una red area 11
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iL= (2.9)
Donde, corresponde al flujo ligado.
De la ecuacin 2.8 se puede establecer que el flujo ligado es igual al flujo
magntico multiplicado por el factor N. Este factor N tiene un significado
un poco diferente al que normalmente tiene en una bobina, por ejemplo,
(donde corresponde al nmero de vueltas). Para el caso de puntos
exteriores a un conductor, N tiene un valor de uno (1.0) y para puntos
interiores N corresponde a la fraccin de corriente total que es rodeadapor un diferencial de flujo.
La anterior ecuacin (teorema del flujo ligado) nos dice que existe una
relacin directa entre el flujo ligado y la corriente. El flujo ligado total
sobre un conductor es el resultado del flujo ligado interno del conductor y
el flujo ligado externo al conductor.
La Ley de Ampere permite calcular la fuerza magnetomotriz (FMM), en
amperios-vuelta alrededor de una trayectoria cerrada:
I=H.dl=FMM encerrada (2.10)
donde,
H = Intensidad de campo magntico, A/m
l = Distancia a travs del paso de integracin, m
I = Corriente encerrada por la trayectoria de integracin, A.
Si se escoge una trayectoria de integracin adecuada, la integral cerrada se
puede evaluar de manera fcil. Ver Figura 2.1.
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FIGURA 2.1 Lneas de intensidad de campo magntico Hx creadas por una corriente
2.5 INTENSIDAD DE CAMPO MAGNETICO H DEBIDO A LACORRIENTE DE UN SOLO CONDUCTOR
En puntos interiores del conductor, es decir para valores de x r, se tiene:
Ir
x=I 2
2
encerrada (2.11)
Ir
x=.dlH 2
2
x (2.12)
En la trayectoria escogida de integracin Hx tiene un valor constante,
Ir
x=Hx2 2
2
x (2.13)
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De lo anterior se deduce que para puntos interiores, la intensidad de campo
magntico se puede evaluar,
Ir2
x=H 2x
(2.14)
Para puntos exteriores, lo nico que cambia en la evaluacin de la ecuacin
2.10 es la corriente encerrada por la trayectoria de integracin, que en este
caso ya corresponde a la totalidad de la corriente I.
x2
I=HI=.dlH xx
(2.15)
El campo Hx para puntos interiores y exteriores se ilustra en la Figura 2.1,
donde se observa que para valores de x r la intensidad de campo
magntico vara linealmente con la distancia al centro del conductor y para
valores de x > r, el campo decrece y lo hace de manera inversa al incremento
de x.
2.6 CALCULO DEL FLUJO LIGADO TOTAL
Tal como qued establecido en la ecuacin 2.9 para calcular la inductancia
de un conductor en el espacio (sin efecto del suelo), hay que evaluar el flujo
ligado total que produce la corriente que circula por el conductor. En la
Figura 2.2 se ilustra este flujo ligado total hasta un punto exterior que esta una distancia D del centro del conductor.
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FLUJO LIGADO EXTERNO
FLUJO LIGADO INTERNO
SUPERFICIE DEL CONDUCTOR
D
r
FIGURA 2.2 Flujo ligado total debido a una corriente
Para la evaluacin del flujo ligado interno, se realiza la integracin en una
trayectoria radial desde x=0 hasta x=r, y tomando un diferencial de rea
como se ilustra en la Figura 2.3.
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dAHx
dx
FIGURA 2.3 Trayectoria para clculo de flujo ligado interno
Para la evaluacin del correspondiente flujo ligado externo se realiza la
respectiva integracin desde x=r hasta un punto externo a una distancia
genrica D y tomando un diferencial de rea como el que se ilustra en la
Figura 2.4.
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LINEAS DE CAMPO MAGNETICO
dA
CORRIENT
EI
x dx
l
E
H
CONDUCTOR
Hx
FIGURA 2.4 Trayectoria de integracin para clculo de flujo ligado externo
Las ecuaciones bsicas para obtener el flujo ligado total seran:
dN=d (2.16)
B.dA=d (2.17)donde,
B = Densidad de flujo magntico
El diferencial se toma por cada unidad de longitud, es decir,
dx=l
l.dx=dA (2.18)
De las ecuaciones 2.16, 2.17, 2.18 y adems recordando la relacin queexiste entre la intensidad de campo magntico H y la densidad de campo
magntico B (B=H), un diferencial de flujo ligado en cualquier punto se
puede evaluar como:
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dxHN=d (2.19)
Haciendo la correspondiente integracin se obtiene la expresin para el
flujo ligado interno:
8
I=interno (2.20)
Para el flujo ligado externo, se obtiene:
r
D
2
I=externo ln
(2.21)
El flujo ligado total, ser entonces:
r
D+
2
I= 4
1total ln
(2.22)
Como el flujo ligado interno resulta independiente del radio del conductor,
la ecuacin 2.22 se puede expresar de manera que se elimine el flujo ligado
interno y quede expresado el flujo ligado total en funcin de un radio
ficticio (r'), que representa un conductor sin flujo interno,
r
D
2
I=total
ln
(2.23)
donde,er.=r 4
1- (2.24)
Segn la ecuacin 2.23 la inductancia de un conductor cilndrico, sera:
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Impedancia serie de una red area 18
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r
D
2=L
ln
(2.25)
2.7 FLUJO LIGADO SOBRE UN CONDUCTOR DEBIDO A UN GRUPODE CORRIENTES
Sobre un conductor adems de su propia corriente, tambin tienen
influencia las corrientes de conductores vecinos. Estos ltimos crean
enlaces de flujo que rodean al conductor sobre el que se desea calcular el
flujo ligado total. Ver Figura 2.5
D12
D2P
D1PPUNTO P
I1
I2
CREADO POR LA CORRIENTE I1
FLUJO LIGADO SOBRE EL CONDUCTOR 1
CREADO POR LA CORRIENTE I2
FLUJO LIGADO SOBRE EL CONDUCTOR 1
FIGURA 2.5 Flujo ligado debido a un grupo de conductores
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Impedancia serie de una red area 19
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Para el clculo del flujo ligado total sobre un conductor debido a un grupo
de corrientes, se puede utilizar la ecuacin 2.23 para la evaluacin del flujo
ligado total debido a su propia corriente. El clculo del flujo ligado sobre el
conductor debido a otras corrientes, se puede hacer con la ecuacin 2.21,
pero evaluado desde una distancia D1 hasta una distancia D2 al centro del
conductor:
1
2ln
D
D
2
I=externo
(2.26)
Tal como se ilustra en la Figura 2.5, solamente se va a considerar un grupo
de dos corrientes actuando sobre un conductor y a partir del resultado se
hace la correspondiente generalizacin.
12111 += (2.27)
D
D
2
I+
r
D
2
I=12
2P2
1
1P11 lnln
(2.28)
Haciendo la siguiente descomposicin,
D
1I+
r
1I+DI+DI
2=
122
112P21P11 lnlnlnln
(2.29)
Como la suma de corrientes debe ser cero, se puede expresar I2 en funcin
de I1. Agrupando trminos la ecuacin 2.29 se puede expresar de lasiguiente manera:
D
DI+D
1I+
r
1I
2=
2P
1P1
122
111 lnlnln
(2.30)
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En la ecuacin anterior el ltimo trmino tiende a cero, cuando se evala el
flujo ligado hasta un punto P muy alejado. La ecuacin 2.30 queda reducida
a:
D
1I+
r
1I
2=
122
111 lnln
(2.31)
Generalizando la anterior ecuacin,
D
1I+...+
r
1I+...+
D
1I+
D
1I
2=
inn
ii
i22
i11i lnlnlnln
(2.32)
La anterior ecuacin corresponde al flujo ligado por unidad de longitud
sobre un conductor genrico i (i ), debido a un grupo de n corrientes.
2.8 INDUCTANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA CONSIDERANDOSUELO IDEAL
Inicialmente se va a considerar el caso de una lnea monofsica, que
transporta una corriente I, y se encuentra sobre un suelo ideal
(conductividad infinita). Sobre la superficie del terreno ideal, el campo
magntico, creado por la corriente del conductor, es tangente. Ver Figura2.6.
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CORRIENTE IMAGEN
CORRIENTE I
LINEASDECAMPOMAGNETICO
FIGURA 2.6 Corriente sobre un suelo perfectamente conductor
Para cumplir con la anterior condicin de borde, el suelo se puede
reemplazar por una corriente imagen situada a una distancia 2h del
conductor que transporta la corriente y con una direccin contraria.
Para una red trifsica se puede aplicar el mismo recurso de las corrientes
imgenes. Ver Figura 2.7.
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Haa' Hbb' Hcc'
a
b
c
a'
b'
c'
Dab
Dac
Dbc
Hab'
Hbc'
Ia
Ib
Ic
-Ia
-Ib
-Ic
FIGURA 2.7 Lnea trifsica y corrientes imgenes
Para calcular el flujo ligado sobre los conductores a,b,c, se utiliza laecuacin 2.32 incluyendo la contribucin de las corrientes imgenes. El flujo
ligado sobre el conductor a, sera:
H
1I-
H
1I-
H
1I-
D
1I+
D
1I+
r
1I
2=
cac
bab
aaa
acc
abb
aaa lnlnlnlnlnln
(2.33)
La ecuacin 2.33 se puede utilizar para evaluar el flujo ligado para las dos
fases restantes. El resultado se puede expresar matricialmente:
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Impedancia serie de una red area 23
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I
I
I
r
H
D
H
D
H
D
H
r
H
D
H
D
HD
Hr
H
2
=
c
b
a
c
cc
cb
bc
ca
ac
bc
cb
b
bb
ba
ab
ac
ca
ab
ba
a
aa
c
b
a
lnlnln
lnlnln
lnlnln
(2.34)
I
I
I
LLL
LLL
LLL
=
c
b
a
cccbca
bcbbba
acabaa
c
b
a
(2.35)
La anterior ecuacin tiene la misma forma de la ecuacin 2.9 ( iL= ).
Se concluye que la matriz de inductancias para una lnea trifsica sobre
suelo ideal, es la siguiente:
7/31/2019 Induc Secu
28/83
Impedancia serie de una red area 24
LEONARDO CARDONA C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
r
H
D
H
D
H
D
H
r
H
D
H
D
HD
Hr
H
2
=
c
cc
cb
bc
ca
ac
bc
cb
b
bb
ba
ab
ac
ca
ab
ba
a
aa
abcL
lnlnln
lnlnln
lnlnln
(2.36)
La ecuacin 2.35 escrita en forma compacta,
IL abc.abc=abc (2.37)
La correspondiente generalizacin de un elemento de la matriz de
inductancias para una lnea de n conductores sera:
r
H2
=Li
iiii
ln
(2.38)
jiparaDH
2=L
ij
jiij
ln (2.39)
La permeabilidad magntica para el aire se toma igual a la del vaco. Este
valor corresponde a:
Km
mH0,2=
2
m
H10x4== 7-0
(2.40)
2.9 MATRIZ DE REACTANCIAS INDUCTIVAS DE UNA REDTRIFASICA
7/31/2019 Induc Secu
29/83
Impedancia serie de una red area 25
LEONARDO CARDONA C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
La ecuacin 2.37 puede llevarse a una ecuacin fasorial que relacione las
cadas de potencial con las corrientes,
j w=Vdt
(t)d=V(t) (2.41)
La ecuacin 2.34 se puede convertir en una relacin entre las diferencias de
potencial en los conductores y las corrientes de lnea,
I
I
I
r
H
D
H
D
H
D
H
r
H
D
H
D
HD
Hr
H
2
wj=
V
V
V
c
b
a
c
cc
cb
bc
ca
ac
bc
cb
b
bb
ba
ab
ac
ca
ab
ba
a
aa
c
b
a
lnlnln
lnlnln
lnlnln
(2.42)
I
I
I
XXX
XXX
XXX
j=
V
V
V
c
b
a
cccbca
bcbbba
acabaa
c
b
a
(2.43)
Las diferencias de potencial y corrientes en las dos ecuaciones anteriores
son variables fasoriales. La ecuacin 2.42 en forma compacta:
I.X=V abcabcabc (2.44)
7/31/2019 Induc Secu
30/83
Impedancia serie de una red area 26
LEONARDO CARDONA C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
2.10 INTERPRETACION DE LA MATRIZ DE INDUCTANCIAS
La interpretacin de cada uno de los trminos de la matriz de inductancias
para una lnea trifsica se ilustra en la Figura 2.8.
a'
b'
c'c
Laa
Lbb
Lcc
Lab
Lbc
Lac
Ia
Ib
Ic
Laa Lab Lac
Lba Lbb Lbc
Lca
Lcb
Lcc
FIGURA 2.8 Circuito inductivo para lnea trifsica
Los trminos de la diagonal principal corresponden a las inductancias propias
de cada fase o de cada conductor, para el caso de un conductor por fase.
Los trminos fuera de la diagonal principal corresponden a las inductancias
mutuas entre fases.
2.11 INDUCTANCIAS PARA RED TRIFSICA TRANSPUESTA
En una red trifsica cuando los conductores no tienen una disposicin
geomtrica equiltera, las inductancias propias no son exactamente iguales
7/31/2019 Induc Secu
31/83
Impedancia serie de una red area 27
LEONARDO CARDONA C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
entre si. Similarmente sucede con las inductancias mutuas. El balance de las
tres fases puede lograrse, intercambiando la posicin de los conductores a
intervalos regulares a lo largo de la lnea. Para el caso de una lnea trifsica
de un solo circuito, la lnea se divide en tres tramos, tal como se ilustra en la
Figura 2.9.
a
b
c
Laa
Lbb
Lcc
Lab
Lbc
Lac Lac
Lbc
Lab
Lcc
Lbb Lac
Lbc
Lab
Lcc
Lbb
I1
I2
I3
TRAMO #1 TRAMO #2 TRAMO #3
FIGURA 2.9 Ciclos de transposicin
En la Figura 2.9 las posiciones geomtricas se representan por las letras a,b
y c.
Para el primer tramo, la relacin entre voltajes y corrientes es:
I
I
I
LLL
LLL
LLL
=
3
2
1
cccbca
bcbbba
acabaa
3
2
1
(2.45)
Para el segundo tramo,
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32/83
Impedancia serie de una red area 28
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I
I
I
LLL
LLL
LLL
=
1
3
2
cccbca
bcbbba
acabaa
1
3
2
(2.46)
Para el tercer tramo,
I
I
I
LLL
LLL
LLL
=
2
1
3
cccbca
bcbbba
acabaa
2
1
3
(2.47)
El flujo ligado por unidad de longitud sobre cada conductor para toda la
longitud de la lnea se puede evaluar como el promedio de los flujo ligados
que tiene cada conductor en los tres tramos.
I
I
I
3L+L+L
3L+L+L
3L+L+L
3L+L+L
3L+L+L
3L+L+L
3L+L+L
3L+L+L
3L+L+L
=
3
2
1
ccbbaaacbacbabbcca
caabbcccbbaacbacba
bacbacbccaabccbbaa
3
2
1
(2.48)
Se observa en la matriz de inductancias para lnea transpuesta que los
trminos de la diagonal principal son iguales entre si, lo mismo que las
7/31/2019 Induc Secu
33/83
Impedancia serie de una red area 29
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inductancias mutuas. Teniendo en cuenta las anteriores consideraciones, la
matriz de inductancias tiene la siguiente forma,
LLL
LLL
LLL
=abc
SMM
MSM
MMS
L (2.49)
La nueva ecuacin matricial de los flujos ligados en funcin de las corrientes
de lnea sera,
I
I
I
LLL
LLL
LLL
=
c
b
a
SMM
MSM
MMS
c
b
a
(2.50)
Las expresiones para LS y LM son las siguientes,
3cba
3ccbbaa
Sr.r.r
H.H.H2
=L
ln
(2.51)
3bcacab
3cbcaba
MD.D.D
H.H.H2
=L
ln
(2.52)
Al trmino 3 bcacab D.D.D se le denomina distancia media geomtrica entre
fases o DMG .
Al trmino 3 cba r.r.r se le denomina el radio medio geomtrico de la red o
MGR , que para el caso de conductores iguales es equivalente al radio medio
geomtrico del conductor (0,7788*r para conductor macizo).
7/31/2019 Induc Secu
34/83
Impedancia serie de una red area 30
LEONARDO CARDONA C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
2.12 INDUCTANCIAS DE SECUENCIA PARA LINEA TRIFASICA
Tal como se indic en el circuito equivalente inductivo de una lnea trifsica,
ste constituye un sistema acoplado. Un circuito magntico con acoples
dificulta mucho los clculos que se hagan sobre el sistema de potencia.
Si la lnea es completamente transpuesta o se puede asumir como tal, la
transformacin de componentes simtricas ofrece una alternativa muy
atractiva con el fin de simplificar el circuito inductivo. La realidad es la de
que muy pocas lneas son completamente transpuestas, pero se puedeasumir para poder utilizar de manera sencilla la transformacin de
componentes simtricas.
Definiendo los flujos ligados sobre las fases y las corrientes de lnea en
funcin de los flujos ligados de secuencia y de las corrientes de secuencia,
012abc .T= (2.53)
I.T=I 012abc (2.54)
Reemplazando las ecuaciones 2.53 y 2.54 en la ecuacin 2.50,
I.T.L=T. 012abc012 (2.55)
Premultiplicando por T-1 1 en ambos miembros de la ecuacin anterior,
I.T.L.T= 012abc-1
012 (2.56)L 012
7/31/2019 Induc Secu
35/83
Impedancia serie de una red area 31
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aa1
aa
1
111
LLLLLL
LLL
aa1a
a1
111
=
2
2
SMM
MSM
MMS
2
2
3
1
L012
(2.57)
L-L00
0L-L0
00L2+L
=
MS
MS
MS
L012 (2.58)
La ecuacin 2.58 corresponde a la matriz de inductancias de secuencia. Lamatriz es completamente diagonal, lo cual indica que en el dominio de las
componentes de secuencia existen tres circuitos inductivos independientes.
Ver Figura 2.10.
La ecuacin 2.56 quedara como,
I
I
I
L00
0L000L
=
2
1
0
2
1
0
2
1
0
(2.59)
7/31/2019 Induc Secu
36/83
Impedancia serie de una red area 32
LEONARDO CARDONA C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
a'
b'
c'
a
b
c
Ia
Ib
Ic
L0
L 1
L2
0 0
0
0 0
0
L0
L 1
L2
I0
I1
I2
LS LM
LS
LS
LM
LMLM
LM LM
LS
LS
LS
LM
LM
LM
FIGURA 2.10 Inductancias de secuencia
La inductancia de secuencia positiva y negativa para una lnea trifsica,
sera:
3cba
3cbcaba
3bcacab
3ccbbaa
21r.r.r.H.H.H
D.D.D.H.H.H2
=L=L ln
(2.60)
Para una lnea, la anterior ecuacin se puede aproximar a:
KmmH
3cba
3bcacab
21 MGR
DMG0,2=
MGR
DMG
2=
r.r.r
D.D.D2
=L=L
lnlnln
(2.61)
La inductancia de secuencia cero sera:
3cba
3bcacab
2
3cbcaba
23
ccbbaa
0
r.r.r.D.D.D
H.H.H.H.H.H
2=L ln
(2.62)
Haciendo un ordenamiento de la ecuacin anterior,
7/31/2019 Induc Secu
37/83
Impedancia serie de una red area 33
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3cba
3bcacab
2
9 2
cb
2
ca
2
baccbbaa
3
0
r.r.r.D.D.DH.H.HH.H.H
2=L ln (2.63)
Matemticamente una distancia media geomtrica (DMG ) entre un grupo
de elementos de un conjunto con otro grupo de elementos de otro conjunto,
se define como la raz n-sima de todas las distancias posibles, entre cada
uno de los elementos del primer conjunto con los elementos del segundo
conjunto. En la Figura 2.11 se observan las distancias posibles entre unconjunto de 2 elementos y otro conjunto de 5 elementos.
c
d
e
fg
a
b
FIGURA 2.11 Distancias posibles entre conjuntos de 2 y 5 elementos
Para el caso ilustrado la DMG est definida como:
10bgbfbebdbcagafaeadac D.D.D.D.D.D.D.D.D.D=DMG (2.64)
El concepto de DMG se puede aplicar tambin a ms de dos conjuntos de
elementos. Para el caso de tres conjuntos unitarios, como es el caso de una
lnea trifsica de un conductor por fase, la distancia media geomtrica
corresponde a la raz cbica de las distancias entre elementos.
7/31/2019 Induc Secu
38/83
Impedancia serie de una red area 34
LEONARDO CARDONA C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Haciendo uso del concepto de la distancia media geomtrica, la ecuacin
2.63 puede ser escrita de la siguiente manera:
DMG.MGRDe
2=L 2
3
0
ln
(2.65)
donde,
De es la distancia media geomtrica entre las corrientes de los
conductores de fase y sus respectivas imgenes.
DMG es la distancia media geomtrica entre fases.
MGR corresponde al radio medio geomtrico. Dato que
normalmente se obtiene de las tablas de fabricantes de
conductores.
Una interpretacin, acerca de una red trifsica con retorno por tierra, que
se puede hacer a partir de la expresin de la inductancia de secuencia cero,sera la de una red equivalente que tiene como sistema de retorno un
conductor ficticio situado a una distancia igual a De . Ver Figura 2.12
7/31/2019 Induc Secu
39/83
Impedancia serie de una red area 35
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Haa' Hbb' Hcc'
a
b
c
a'
b'
c'
Dab
Dac
Dbc
Hab'
Hbc'
Ia
Ib
Ic
-Ia
-Ib
-Ic
Ic
Ib
Ia
Dbc
Dac
Dab c
b
a
DeDe
De
CONDUCTOR FICTICIO
DE RETORNO
FIGURA 2.12 Lnea trifsica con conductor de retorno equivalente
2.13 IMPEDANCIA SERIE DE UNA RED CON RETORNO POR TIERRA
CONSIDERANDO SUELO REAL
Hasta ahora se ha considerado el suelo con unas caractersiticas ideales, es
decir de una conductividad infinita. Partiendo del hecho de que no es
posible resolver el problema teniendo en cuenta las caractersticas
desiguales de la superficie del suelo, y capas con diferentes resistividades,
Carson estudi el problema considerando la tierra como un plano slido
semi-infinito y homogneo. Las soluciones que obtuvo Carson son
correcciones a las que se han obtenido considerando suelo ideal.
Las expresiones de impedancia serie desarrolladas por Carson para un
conductor genrico i son las siguientes:
7/31/2019 Induc Secu
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Impedancia serie de una red area 36
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Para la impedancia propia del conductor,
Kmiii
iiiiiii X+
r
H2
wj+R+Rac=Z
ln
(2.66)
Para las impedancias mutuas,
Kmijij
jiijij X+
D
H2
wj+R=Z
ln
(2.67)
donde,Raci Resistencia AC del conductor en /Km
ri Radio corregido del conductor i . RMG de tablas de
fabricante.
H ii Distancia del conductor i a su imagen
Hji Distancia del conductor i a la imagen del conductor j
Dij Distancia del conductor i al conductor j
Las anteriores definiciones se pueden observar en la Figura 2.13
7/31/2019 Induc Secu
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Impedancia serie de una red area 37
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i
j
j
i
Hij
Dij
Hii
Xij
FIGURA 2.13 Geometra de torre para dos conductores genricos
Las correciones en la impedancia mutua Rij , Xij dependen del ngulo
ilustrado en la Figura 2.13, de la distancia entre el conductor i y la imagendel conductor j , adems de depender de la resistividad y de la frecuencia.
Para el caso de las correcciones en la impedancia propia se utilizan las
mismas expresiones para las correcciones en la impedancia mutua haciendo
el ngulo igual a 0 y la distancia Hji en la distancia del conductor a su
imagen, es decir en 2*h. Las correcciones para impedancias mutuas son:
Km
4-
ii .P10w.4=.P22.w.=R
(2.68)
Km4-
ij .Q10w.4=.Q2
2.w.=X
(2.69)
7/31/2019 Induc Secu
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Impedancia serie de una red area 38
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En las dos ecuaciones anteriores w corresponde a la frecuencia angular
(rad/seg) y los trminos P y Q a valores adimensionales cuyas expresiones
son las siguientes:
...4.1536
k-245
3.k+2.sen.16k+
k
2+0,6728*2.
16k+k.
23
1-
8=P
432
2
coscos
lncoscos
(2.70)
...1,0895+k
2.
384
4.k-.sen4384
.k-
245
3.k
+2.64
k
-.k.23
1
+k
2
+0,0386-=Q44
32
2
1
ln
cos
cos
coscosln
(2.71)
donde,
f.H.102.81x=k ji
3- (2.72)
H
Xsen=
ji
ij1-
(2.73)
Las ecuaciones para P y Q corresponden a los primeros trminos de una
serie infinita. Los trminos que se han indicado en las ecuaciones 2.70 y 2.71
dan una buena precisin para todos los clculos que se hagan a baja
frecuencia.
2.14 APROXIMACIN DE LEWIS PARA CLCULO DE IMPEDANCIASERIE A BAJA FRECUENCIA
Una aproximacin que se considera prctica para clculos a baja frecuencia
es la denominada aproximacin de Lewis. Esta aproximacin considera
7/31/2019 Induc Secu
43/83
Impedancia serie de una red area 39
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solamente el primer trmino en la serie de P para el clculo de R . Para el
clculo de la correccin X considera los dos primeros trminos para Q .
Las ecuaciones 2.66 y 2.67 considerando la aproximacin de Lewis
quedaran:
Km
k
2+0,0386-x2+
r
H2
wj+
8.10.w4+Rac=Z 2
1
i
ii4-iii
lnln
(2.74)
Reemplazando el valor de kde acuerdo a la ecuacin 2.72, se llega a lasiguiente expresin:
r
f658,86
2
wj+wx10x+Rac=Z
i
4-21
iii
ln (2.75)
Rn
Para una frecuencia industrial de 60 hz y definiendo,
hzenf
m.enparam
f658,86=De
(2.76)
Km
r
De0,0754j+0.0592+Rac=Z
iiii
ln (2.77)
Para las impedancias mutuas,
Km
D
De0,0754j+0,0592=
D
De
2
wj+Rn=Z
ijijij
lnln
(2.78)
7/31/2019 Induc Secu
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Impedancia serie de una red area 40
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2.15 LAS IMPEDANCIAS DE SECUENCIA CONSIDERANDO LAAPROXIMACION DE LEWIS
Para una red trifsica la matriz de impedancias serie Zabc tendra la
siguiente forma:
r
De
D
De
D
De
D
De
r
De
D
De
D
De
D
De
r
De
w
jRnRacRnRn
RnRnRacRn
RnRnRnRac
=
ccbca
bcbba
acaba
c
b
a
abc
Z
+
++
+
lnlnln
lnlnln
lnlnln
2
(2.79)
Si la lnea es completamente transpuesta o se considera como tal, la matriz
de impedancias tendr la forma:
ZZZ
ZZZ
ZZZ
=
SMM
MSM
MMS
abcZ (2.80)
donde,
MGR
De
2
wj+Rn+Rac=ZS
ln
(2.81)
DMG
De
2
w
j+Rn=ZM ln
(2.82)
Las impedancias de secuencia de acuerdo a la aproximacin de Lewis seran:
7/31/2019 Induc Secu
45/83
Impedancia serie de una red area 41
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MGR
DMG
2
wj+Rac=Z2=Z1
ln
(2.83)
DMGMGxRDe
2
wj+Rn3+Rac=Z0
2
3
ln
(2.84)
Si se comparan las ecuaciones anteriores, con las ecuaciones 2.61 y 2.65 se
concluye que la impedancia de secuencia positiva no se ve afectada por el
sistema de retorno, es decir que las consideraciones que se hagan del suelo
(ideal o no), no afecta el resultado. La impedancia de secuencia cero, por el
contrario, si se ve afectada por el sistema de retorno. La variacin de laimpedancia de secuencia cero, teniendo en cuenta la influencia de un suelo
real, se ve reflejada en la modificacin de la distancia De. En este caso,esta distancia ya no corresponde a la distancia media geomtrica entre las
corrientes de conductores y sus correspondientes imgenes, sino que se
evala a partir de la ecuacin 2.76. Lo anterior sera equivalente a
considerar una lnea con un conductor ficticio de retorno, situado a una
distancia de los conductores de fase igual a metrosf/658,86=De .
2.16 IMPEDANCIA DE UNA RED PARA CONDUCTORES EN HAZ
Los conductores en haz se pueden manejar matemticamente como
conductores independientes, y luego mediante un proceso de reduccin,
considerando que estn en paralelo, se reduce la lnea a una de tipo
equivalente de un conductor por fase. Un mtodo simple consiste en reducirel haz a un conductor equivalente antes de empezar cualquier clculo.
7/31/2019 Induc Secu
46/83
Impedancia serie de una red area 42
LEONARDO CARDONA C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Para la determinacin del equivalente para un haz de conductores,
consideremos, por ejemplo una fase formada por un haz de tres
conductores (Ver Figura 2.14).
IT
I1 I2 I3
FIGURA 2.14 Haz de tres conductores
La relacin entre las cadas de voltaje a lo largo de los tres conductores y
las respectivas corrientes de lnea est dada por la siguiente ecuacin:
I
I
I
ZZZ
ZZZ
ZZZ
=
V
V
V
3
1
1
333231
232221
131211
3
2
1
(2.85)
Suponiendo que las tres corrientes son iguales entre si, la diferencia de
potencial ( V ) se puede calcular como el promedio de las tres diferenciasde potencial sobre los tres conductores,
Ix9
Z+Z+Z+Z+Z+Z+Z+Z+Z=3
V+V+V=V T333231232221131211321 (2.86)
7/31/2019 Induc Secu
47/83
Impedancia serie de una red area 43
LEONARDO CARDONA C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Utilizando las ecuaciones 2.75 y 2.78 para expresar cada trmino Zij ,
IxD.D.D.D.D.D.r.r.r
De
2
wj+Rn+
3
Rac=V T
9323123211312
321
ln
(2.87)
Segn la ecuacin anterior el radio equivalente para representar el haz de
tres conductores sera:
9323123211312 D.D.D.D.D.D.rrr=MGR 321 .. (2.88)
El radio equivalente ( MGR ) para diferentes configuraciones de haz de
conductores se ilustran en la Figura 2.15.
d
d
d
d
r
Ar
d.r=MGR 3 2d.r=MGR 4 3d.r1,0905=MGR n 1-nArn=MGR
FIGURA 2.15 Diferentes tipos de haz de conductores
En la Figura 2.15 la expresin para el MGR del haz de cinco conductores es
general, o sea que se puede aplicar a cualquier tipo de haz con la condicin
que el radio A est definido.
7/31/2019 Induc Secu
48/83
Impedancia serie de una red area 44
LEONARDO CARDONA C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
2.17 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFSICADE UN CIRCUITO CON UN CABLE DE GUARDA
Cuando una lnea tiene cables de guarda aterrizados, el retorno por tierra
se ve afectado por la presencia de estos conductores. El efecto de los
conductores de guarda es ofrecer un camino alterno para la circulacin de
corrientes de secuencia cero y por eso nicamente afecta la impedancia de
secuencia cero.
Para determinar la expresin correspondiente consideremos todos losacoples que estn presentes entre las fases y el cable de guarda. Ver Figura
2.16.
El circuito trifsico se alimenta con una fuente de voltaje de secuencia
cero. Para obtener la impedancia de secuencia cero (Z0 ) basta con
determinar la relacin I/V 00 .
Zm
Zfg
Zg
Io
Igo
Vo
+
-
Zs
Zs
Zs
Io
Io
FIGURA 2.16 Lnea trifsica de un circuito y un cable de guarda
7/31/2019 Induc Secu
49/83
Impedancia serie de una red area 45
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La diferencia de potencial en las fases es igual a V0 y se puede evaluar en
una de las tres ramas,
I.Z-I.Z2+I.Z=V 0gfg0M0s0 (2.89)
En la rama correspondiente al cable de guarda,
Z
I.Z3=Ig
0fg0g (2.90)
Reemplazando 2.90 en 2.89 se obtiene la relacin para la impedancia de
secuencia cero,
ZgZ3-Z=
Z
Z3-)Z2+Z(=Z2fg
0g
2fg
MS0E (2.91)
2.18 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFASICADE UN CIRCUITO CON DOS CABLES DE GUARDA
En la Figura 2.17 se observa los acoples de impedancias que se presentan
entre las tres fases de un circuito y los dos cables de guarda.
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Impedancia serie de una red area 46
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Zm
Zg
Io
Igo
Vo
+
-
Zs
Zs
Zs
Io
Io
IgoZgZgg
Zfg
Zfg
FIGURA 2.17 Lnea trifsica de un circuito y dos cables de guarda
La ecuacin de voltajes sobre una malla correspondiente a una de las fases,
I.Z2-I)Z2+Z(=V 0gfg0M00 (2.92)
La ecuacin de voltajes sobre uno de los cables de guarda,
IZ+Z
Z3=I_I.Z-I.Z3=Z.I 0ggg
fg0g0ggg0fgg0g (2.93)
La impedancia de secuencia cero ser entonces,
Z+ZZ6-Z=
Z+ZgZ6-)Z2+Z(=Z
ggg
2fg0
gg
2fgMS0E (2.94)
2.19 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFASICADE DOS CIRCUITOS CON DOS CABLES DE GUARDA
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Impedancia serie de una red area 47
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Una lnea trifsica de dos circuitos con dos cables de guarda y los acoples
de impedancia se observa en la Figura 2.18.
Zm
Zg
Io
Igo
Vo
+
-
Zs
Zs
Zs
Io
Io
IgoZgZgg
Zfg
Zfg
Zs
Zs
Zs
Zp
Zfg
SEGUNDO
CIRCUITO
PRIMER
CIRCUITO
FIGURA 2.18 Lnea trifsica de dos circuitos y dos cables de guarda
Para este caso existe acople de secuencia cero entre los dos circuitos
trifsicos. Para el caso de que no existieran los cables de guarda o
estuvieran aislados, este acople sera deZ.3 P .
La ecuacin de voltajes sobre una fase del primer circuito sera:
0I.Z2-I)Z2+Z(=V gfgOMS0 (2.95)
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Impedancia serie de una red area 48
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La ecuacin de voltajes sobre uno de los cables de guarda,
IZ+Z
Z3=0II.Z=0I.Z-I.Z3 0ggg
fgggogggg0fg _ (2.96)
La impedancia de secuencia cero para cada circuito sera entonces:
Z+Z
Z6-Z=Z+Zg
Z6-)Z2+Z(=Zggg
2fg
0gg
2fg
MS0E (2.97)
El voltaje que aparece inducido sobre el circuito abierto sera,
I.Z+Z
Z6-Z3=IZ2-I.Z3=V 0ggg
2fg
P0gfg0Pind
(2.98)
Se concluye entonces que el acople de secuencia cero entre circuitos sera,
Z+Z
Z6-Z=Z+Z
Z6-Z3=Zggg
2fgM
0ggg
2fg
PM0E
(2.99)
La red de secuencia cero para esta configuracin de lnea se ilustra en la
Figura 2.19.
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Impedancia serie de una red area 49
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Z0EM
Z0E
Z0E
REFERECIA DE SEC. CERO FIGURA 2.19 Red de secuencia cero para lnea doble circuito y dos cables de guarda
La red de la Figura 2.19 es general para una red trifsica, que tenga hasta
dos circuitos.
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CAPACITANCIA DE UNA RED AREA
Una red formada por un solo conductor tiene las caractersticas de un
condensador donde una placa es un cilindro metlico y la otra placa es lasuperficie del terreno (Ver Figura 3.1)
++
++++++
++++
FIGURA 3.1 Configuracin cilindro plano de una red
Cuando la red tiene una distancia considerable, el efecto capacitivo trae
como consecuencia un nivel de voltaje en vaco, en el extremo de carga,
superior al nivel de voltaje de la fuente. (Figura 1.1)
La capacitancia de la red normalmente no se considera para distanciascortas (d
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Capacitancia de una red area 51
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empieza a ser considerable, hasta el punto que las redes de mayor nivel de
voltaje, deben ser compensadas mediante reactores.
Para llegar a un modelo capacitivo de una red trifsica se van a seguir los
siguientes pasos:
Como una red trifsica est formada por una serie de conductores,
cada uno de stos se considera como portador de una carga lineal
uniformemente distribuida. Se plantea una expresin general paracalcular la diferencia de potencial entre dos puntos en el espacio
debido a una distribucin lineal de carga.
Aplicando la metodologa de las cargas imgenes, una red trifsica
sobre un suelo conductor se considera equivalente, a un sistema
compuesto de las cargas reales de los conductores de fase y sus
respectivas imgenes de carga. Se plantea para una red trifsica de un
conductor por fase la relacin entre voltajes inducidos y las cargas delos mismos. Las capacitancias asociadas a una red aparecen expresadas
desde el punto de vista matricial.
Se plantea una interpretacin fsica de la matriz de capacitancias de
una red.
Se calculan las capacitancias de secuencia para una red sin considerarel efecto de los cables de guarda y suponiendo que hay transposicin
completa.
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Capacitancia de una red area 52
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3.1 DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS DEBIDO AUNA DISTRIBUCIN LINEAL DE CARGA
Considerando un tramo de conductor (Figura 3.2) de longitud l.
x
l
dA
Q
Dx ds
SUPERFICIE GAUSSIA
FIGURA 3.2 Superficie gaussiana rodeando un conductor cargado
La superficie gaussiana alrededor de un tramo de conductor tiene las
siguiente caractersticas:
El flujo elctrico en las caras circulares es cero porque no hay lneas
de campo en esta direccin.
En la superficie cilndrica la densidad de flujo elctrico (Dx ) es
constante. Esto permite evaluar con facilidad la ecuacin de la Ley de
Gauss.
l.q=Q=q=D.dA= encerradaerficieE sup (3.1)
donde,
E = Flujo elctrico
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Capacitancia de una red area 53
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D = Densidad de flujo elctrico, C/m
q = Carga lineal por unidad de longitud, Q/m
Sobre la superficie cilndrica la densidad de flujo elctrico es constante y
ser igual a:
x2
q=Dx
(3.2)
El campo elctrico en la superficie gaussiana depende de la permitividad
elctrica del medio (aire),
. Esta permitividad o constante dielctrica sepuede asumir aproximadamente como la del vaco ( mF-9
361
0 10x= ).
V/mx2
q=Ex
(3.3)
La diferencia de potencial en el aire debido a una distribucin lineal de
carga se puede evaluar a partir de la ecuacin 3.3 y recordando que el
campo elctrico se calcula como el gradiente del potencial multiplicado por(-1).
En la Figura 3.3 se observa la trayectoria seguida en la integracin del
campo elctrico para evaluar la diferencia de potencial entre los puntos P1 y
P2.
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Capacitancia de una red area 54
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P1
P2
D1
D2
FIGURA 3.3 Trayectoria de integracin para el campo elctrico
2
1
2
1 2.
D
D
D
D12 dx
x
q=dxE=v
(3.4)
DD
12 12
2
q=v ln
(3.5)
3.2 CAPACITANCIAS DE LINEA TRIFASICA
Para determinar la capacitancia de una red trifsica, hay que considerar el
efecto del suelo.
FIGURA 3.4 Lneas de campo elctrico para conductor sobre una superficie planametlica
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Capacitancia de una red area 55
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Sobre la superficie del suelo el campo elctrico es perpendicular. La
distribucin de cargas sobre la superficie del suelo se puede reemplazar por
una carga imagen. Ver Figura 3.4.
Una red trifsica formada de un conductor por fase sobre un suelo
conductor es equivalente al sistema de cargas y cargas imgenes que
aparece en la Figura 3.5.
Haa' Hbb' Hcc'
a
b
c
a'
b'
c'
Dab
Dac
Dbc
Hab'
Hbc'
qa
qb
qc
-qa
-qb
-qc
FIGURA 3.5 Conductores cargados e imgenes de carga para red trifsica
La ecuacin 3.5 permite calcular la diferencia de potencial entre cada
conductor y su imagen debido a la superposicin de las seis cargas (qa, qb,
qc, -qa, -qb, -qc)
H
Dq-H
Dq-H
rq-D
Hq+D
Hq+r
Hq2
1=V
ca
acc
ba
abb
aa
aa
ac
cac
ab
bab
a
aaaaa lnlnlnlnlnln
(3.6)
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Capacitancia de una red area 56
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D
Hq+D
Hq+r
Hq2
1==V
ac
cac
ab
bab
a
aaa2
Van
aa lnlnln
(3.7)
Igualmente se puede evaluar Vbn y Vcn
Expresando en forma matricial,
c
b
a
c
cc
cb
bc
ca
ac
bc
cb
b
bb
ba
ab
ac
ca
ab
ba
a
aa
cn
bn
an
q
q
q
r
H
D
H
D
H
D
H
r
H
D
H
D
HD
Hr
H
2
1=
V
V
V
lnlnln
lnlnln
lnlnln
(3.8)
q
PPP
PPP
PPP
=VV
V
c
b
a
cccbca
bcbbba
acabaa
cn
bn
an
(3.9)
La ecuacin 3.9 escrita en forma compacta,
abc.
abc=
abcQPV (3.10)
La matriz Pabc se denomina de coeficientes capacitivos de Maxwell.
De la ecuacin 3.10 se concluye la forma de calcular la matriz de
capacitancias,
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PC 1-abc=abc (3.11)
3.3 INTERPRETACION FISICA DE LA MATRIZ DECAPACITANCIAS
Para comprender con mayor facilidad el significado fsico de la matriz de
capacidades es conveniente llevar la ecuacin (8) al dominio fasorial y en vez
de cargas, determinar la ecuacin matricial para corrientes capacitivas.
qj w=Idt
dq=i r
r
(3.12)
La correspondiente ecuacin matricial para las corrientes fasoriales de
desplazamiento (corrientes capacitivas), sera:
[ ]
VCj w
I abcabc=
abc
rr
(3.13)
Para un sistema circuital genrico la ecuacin anterior tiene la forma:
[ ]VYI =rr
(3.14)
donde,
I Vector de corrientes de inyeccin nodales
Y Matriz de admitancias nodal
V Vector de voltajes nodales
Los elementos de la matriz tienen significados bien definidos:
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Capacitancia de una red area 58
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Los elementos de la diagonal principal, se determinan como la sumatoria de
las admitancias de las ramas que estn conectadas al nodo respectivo.
Los elementos fuera de la diagonal principal, se determinan como el inverso
negativo de la admitancia de conexin de los nodos correpondientes a la fila
y columna respectiva.
Si el circuito es completamente capacitivo, los elementos de la matriz ][Y
seran susceptancias capacitivas. Las relaciones entre matriz y circuito
sern como se ilustra en la Figura 3.6.
Caa Cab Cac
Cba Cbb Cbc
Cca Ccb Ccc
a b c
-Cac
-Cab -Cbc
Caa+Cab+Cac
Cba+Cbb+Cbc
Cca+Ccb+Ccc
FIGURA 3.6 Relacin entre matriz Cabc y circuito capacitivo
3.4 CAPACITANCIA PARA UNA LINEA TRIFASICA CONTRANSPOSICION
Cuando una red, debido a la disposicin asimtrica de las fases y a una granlongitud, pierde la caracterstica de ser trifsica balanceada.
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Capacitancia de una red area 59
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La transposicin de fases es una accin remedial, esta consiste en que cada
fase ocupe las tres posiciones geomtricas posibles de las disposicin que se
tenga. Realmente la transposicin se hace sobre muy pocas reds.
POSICION a
POSICION b
POSICION c
TRAMO #1 TRAMO #2 TRAMO #3
1
2
3 1
1
2
2
3
3
FIGURA 3.7 Transposicin de una red trifsica
En la Figura 3.7 las letras a,b,c representan la disposicin geomtrica de los
conductores y los nmeros 1,2,3 los respectivos conductores en la red.
La matriz [ ]abcP que depende de la geometra de la red, va a ser la misma en
los tres tramos.
Para el primer tramo, la relacin entre voltajes y cargas es:
q
q
q
PPP
PPP
PPP
=
V
V
V
3
2
1
cccbca
bcbbba
acabaa
3
2
1
(3.15)
Para el segundo tramo,
q
q
q
PPP
PPP
PPP
=
V
V
V
1
3
2
cccbca
bcbbba
acabaa
1
3
2
(3.16)
Para el tercer tramo,
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Capacitancia de una red area 60
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q
q
q
PPP
PPP
PPP
=
V
V
V
2
1
3
cccbca
bcbbba
acabaa
2
1
3
(3.17)
El voltaje sobre los conductores 1,2,3 se puede evaluar como el promedio de
los respectivos voltajes en los tres tramos.
q
q
q
3P+P+P
3P+P+P
3P+P+P
3P+P+P
3P+P+P
3P+P+P
3P+P+P
3P+P+P
3P+P+P
=
V
V
V
3
2
1
ccbbaaacbacbabbcca
caabbcccbbaacbacba
bacbacbccaabccbbaa
3
2
1
(3.18)
La matriz [ ]abcP de la ecuacin 3.18 presenta las siguientes caractersticas:
Los elementos de la diagonal principal son iguales entre si y se evaluan
como el promedio aritmtico de los elementos de la matriz [ ]abcP de la
red sin transposicin.
Los elementos fuera de la diagonal principal son iguales entre si y se
evalan como el promedio aritmtico de los elementos de la matriz[ ]abcP diferentes a la diagonal principal.
La matriz resultante presenta la siguiente forma genrica,
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Capacitancia de una red area 61
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PPP
PPP
PPP
=
SMM
MSM
MMS
abcP (3.19)
La relacin matricial entre los voltajes y las cargas presenta para red
transpuesta la siguiente forma,
q
q
q
PPP
PPP
PPP
=
V
V
V
c
b
a
SMM
MSM
MMS
c
b
a
(3.20)
Los trminos PS y PM son los siguientes,
3cba
3ccbbaa
Sr.r.r
H.H.H2
1=P
ln
(3.21)
3
bcacab
3cbcaba
M
D.D.D
H.H.H
2
1=P
ln
(3.22)
Al trmino 3 bcacab D.D.D , al igual como se hizo con la inductancia, se le
denomina distancia media geomtrica entre fases o DMG y el trmino3
cba r.r.r para una red de conductores iguales es equivalente al radio fsico.
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Capacitancia de una red area 62
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3.5 RADIO MEDIO GEOMETRICO Y DISTANCIA MEDIAGEOMETRICA PARA CONDUCTORES EN HAZ
d
h
r
FIGURA 3.8 Conductores en haz
Cuando en una red aparecen haces de conductores (caso de la lnea de 500
kV) la representacin matricial de todos los conductores dara lugar a
matrices de un orden elevado. Una manera de simplificar el problema es
reducir el haz de conductores a un conductor equivalente.
Con fines de demostracin consideremos una red monofsica de dosconductores en haz. Ver Figura 3.8.
r Re
FIGURA 3.9 Conductor equivalente desde el punto de vista capacitivo
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Capacitancia de una red area 63
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Aplicando la ecuacin 3.9 a la anterior red formada por dos conductores,
q
q
PP
PP=
V
V
2
1
2221
1211
2
1
(3.23)
Suponiendo que los dos voltajes son iguales ( V=V=V 21 ) y las cargas
tambin son iguales ( q=q=q 21 ) y calculando el voltaje como el promedio del
resultante en los dos conductores, resulta la siguiente relacin entre el
voltaje y la carga:
q.RMG
aaH
2
1=q.
.rD.Dr.H.H.H.H
2
1=V
42112
422122111 lnln
(3.24)
De acuerdo a la ecuacin anterior el radio equivalente para representar un
haz de dos conductores para clculo de capacitancias, sera:
r.d=RMG (3.25)
La expresin generalizada para clculo del radio equivalente de un haz de nconductores tiene la misma forma que para clculo de inductancias (Ver
Figura 2.15). La nica diferencia consiste en el radio que se considera. Para
clculo de inductancias se toma el MGR que es el radio corregido al
considerar el flujo interno. Para clculo de capacitancias se toma el radioexterior del conductor.
El radio equivalente para conductores en haz en clculo de capacitancias
tiene la siguiente forma:
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Capacitancia de una red area 64
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A
FIGURA 3.10 Haz de conductores genrico
n 1-n Arn=RMG (3.26)
3.6 CAPACITANCIAS DE SECUENCIA DE UNA RED TRIFASICATRANSPUESTA
En la interpretacin fsica de la matriz de capacitancias que aparece en la
Figura 3.6 se observa que desde el punto de vista capacitivo los tres
conductores de fase estn acoplados.
Una herramienta matemtica de permite desacoplar en tres circuitos
capacitivos independientes desacoplados es la transformacin en
componentes simtricas.
012abc.VT=V (3.27)
012abc Q.T=Q (3.28)
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Reemplazando las ecuaciones 3.27 y 3.28 en la ecuacin 3.20, finalmente
resulta una ecuacin matricial donde las variables en el dominio de las
componentes de secuencia estn desacopladas,
q
q
q
P-P00
0P-P0
00P2+P
=
V
V
V
2
1
0
MS
MS
MS
2
1
0
(3.29)
Haciendo el mismo desarrollo que se hizo para las inductancias de secuencia,
se llega a las expresiones para las capacitancias de secuencia.
KmnF
21
RMG
DMG55,55
=
RMG
DMG
2=C=C
lnln
(3.30)
3ln
3
1
ln
DMG.RMG
De
2
DMG.RMGDe
2=C
22
30
= (3.31)
donde,
De Es la distancia media geomtrica entre las cargas de los
conductores y sus respectivas imgenes. Corresponde a la
misma distancia que se defini para inductancia con suelo ideal.
DMG Es la distancia media geomtrica entre fases. Igual a la
definicin hecha para inductancias.
RMG Corresponde al radio medio geomtrico. Para una fase
compuesta por un solo conductor equivale al radio fsico del
respectivo conductor.
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REPRESENTACION CIRCUITAL DE LINEAS DETRANSMISION
En los dos captulos anteriores se han obtenido las matrices Zabc y Yabc por
unidad de longitud, lo mismo que las matrices Z012 y Y012 en el dominio de las
componentes simtricas. Una primera aproximacin para representar
circuitalmente una lnea, sera la de una conexin en cascada del elemento
que se obtuvo para representar la lnea por unidad de longitud. Esta
representacin se observa en la Figura 4.1.
TRAMO DE 1 Km
[R] [X][C]
FIGURA 4.1 Representacin de lnea trifsica con elementos acoplados en cascada
La representacin circuital de la Figura 4.1 se puede reducir a tres circuitos
monofsicos, si se hace una descomposicin en redes de secuencia. Un
circuito monofsico para cualquiera de las tres secuencias se ilustra en la
Figura 4.2.
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Representacin circuital de lneas de transmisin areas 67
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FIGURA 4.2 Circuito monofsico de una lnea
La representacin circuital de la Figura 4.2 se considera general para
cualquier lnea y se hace mediante parmetros uniformemente distribuidos.
Dependiendo de la longitud de la lnea, esta se suele clasificar en tres tipos:
Lnea corta de menos de 80 Km de longitud.
Lnea media entre 80 y 240 Km de longitud.
Lnea larga de ms de 240 Km.
Para casos donde no se requiera mucha precisin lneas hasta de 300 Km se
podran considerar como de longitud media.
La longitud de las lneas depende bsicamente del nivel de tensin al cual
deben transmitir potencia. Un criterio prctico, pero no generalizado, es el
de que una lnea debe tener como mnimo 1 Kv por cada Km de longitud.
4.1 LINEAS DE TRANSMISION CORTAS
Para una lnea de transmisin corta se puede considerar despreciable el
efecto capacitivo. Para este caso solo se tendra resistencia e inductancia
por unidad de longitud y para toda la longitud de la lnea bastara con
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Representacin circuital de lneas de transmisin areas 68
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multiplicar por la distancia los parmetros obtenidos por unidad de longitud.
El circuito equivalente para lnea corta se observa en la Figura 4.3.
V S V R
I RI SR X
V S V R
I RI SR X
P R Q R
CARGA
FIGURA 4.3 Cuircuito equivalente monofsico para lnea corta
En el circuito anterior R y X representan la resistencia y reactancia total
de la lnea. Para este caso la corriente de la fuente y de la carga son las
mismas. VS y VR corresponden a los voltajes de la fuente y de la carga
respectivamente.
La regulacin de una lnea de transmisin y en general para cualesquierpunto de una red se define como el porcentaje de variacin de la magnitud
del voltaje en vaco (sin carga) con respecto a la magnitud del voltaje a
plena carga y para un determinado factor de potencia de la carga.
100%V
V-V=nRegulaci%
cargaplenaR,
cargaplenaR,vacoR, (4.1)
Para el circuito correspondiente a la Figura 4.3, la regulacin por definicinsera:
100%V
V-V=RegR
RS (4.2)
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Representacin circuital de lneas de transmisin areas 69
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Para lnea corta la regulacin se puede calcular haciendo una serie de
suposiciones. En la Figura 4.4 se observa el diagrama fasorial de voltajes y
corriente para este tipo de lnea. Se ha supuesto una carga del tipo R-L, es
decir con un factor de potencia en atraso.
V R
V S
I.R
I.X
I
V R
V S
I.R
I.X
I
FIGURA 4.4 Diagrama fasorial de voltajes y corriente para lnea corta
El ngulo de desfase entre el voltaje VS y VR es muy pequeo para lnea
corta, se puede suponer entonces que la magnitud del voltaje de la fuente
es igual a su proyeccin sobre el eje horizontal. Con estas consideraciones larelacin entre los voltajes de la fuente y la carga sera:
)X.+(R..I+VV RS coscos (4.3)
donde,
es el ngulo de desfase entre la corriente y el voltaje en la
carga.
La regulacin de voltaje quedara expresada como:
100%V
)X.sen+(R.cosI=Reg
R
(4.4)
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Representacin circuital de lneas de transmisin areas 70
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100%cos.V
)X.sen+(R.cosP
=Reg 2R
R
(4.5)donde,
PR es la potencia trifsica de carga.
En la ecuacin 4.5, el voltaje VR depende de la potencia PR . Una buena
aproximacin es considerar el voltaje de la carga como aproximadamente el
voltaje nominal de operacin de la lnea. Con estas consideraciones la
regulacin se puede expresar con la siguiente expresin:
100%cosV
)X.sen+(R.cosP=Reg2
R
(4.6)
donde,
V es el voltaje de lnea nominal de operacin.
La ecuacin 4.6 corresponde a la manera clsica de clculo de regulacin.
Una mejora en el clculo de regulacin sera expresar el voltaje de la cargaen funcin de la propia potencia de carga ( )P(f=V RR ). Del circuito que se
ilustra en la Figura 4.3 y tomando como referencia de voltaje a VR :
Xj+RV-V.V=jQ+P
RS
*
RRR (4.7)
V--VV=X)j-).(RQj+P( 2RSRRR (4.8)
-V.V=)PX.-Q(R.j+)V+QX.+P(R. SRRR2RRR (4.9)
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En la ecuacin 4.9 se puede eliminar el ngulo al tomar magnitud de las
expresiones fasoriales en ambos miembros y luego elevar al cuadrado. El
resultado es la siguiente ecuacin:
( ) ( ) ( ) 0=Q+P.X+R+VV-)QX.+P2(R.+V 2R2R222R2SRR4R (4.10)
La solucin para VR sera:
B-2
A
+2
A
-=V
2
R
(4.11)donde,
V-)QX.+P2(R.=A 2SRR (4.12)
)Q+P).(X+R(=B2R
2R
22 (4.13)
De esta manera el clculo de regulacin se puede evaluar a partir de la
ecuacin 4.2.
4.2 LINEAS DE TRANSMISION DE LONGITUD MEDIA
En la lnea de longitud media ya es necesario considerar el efecto
capacitivo. La representacin circuital para este tipo de lnea se hace
mediante un circuito PI nominal. Este circuito PI est constituido por la
impedancia serie y por el efecto capacitivo distribuido en dos partes iguales
en los extremos de la lnea. Este circuito se observa en la Figura 4.5.
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Representacin circuital de lneas de transmisin areas 72
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V S V R
I RI SR X
V S V R
I RI SR X
P R Q R
CARGAY/2Y/2
FIGURA 4.5 Circuito PI nominal de una lnea de longitud media
Los parmetros en el circuito PI nominal para lnes de longitud media se
obtienen multiplicando los parmetros por unidad de longitud por la
distancia total de la lnea.
Para el clculo de regulacin, el voltaje de vaco en la carga ya no es el
voltaje de la fuente, como sucede con la lnea de longitud corta, sin una
fraccin de la magnitud del voltaje de la fuente. Esta fraccin es mayor que
uno para una lnea de longitud media.
V.)X.Y/2-(1+)(R.Y/2
1=0V S22R (4.14)
En la Figura 4.6 se observa el diagrama fasorial de voltaje y corriente para
una lnea de longitud media en vaco.
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Representacin circuital de lneas de transmisin areas 73
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V S
I S
V S
I S R X
Y/2 Y/2 V R 0
V S
0V R
Io.X
Io.R
I 0I0
FIGURRA 4.6 Diagrama fasorial de voltaje y corriente para lnea en vaco de longitud
media
En una lnea de este tipo se cumple que RX , razn por la cual el voltajede vaco en la carga puede ser mayor que el voltaje de la fuente.
El voltaje VR a plena carga (VR ) se puede calcular a partir de una expresin
que relacione dicho voltaje con la potencia en la carga,
.Y/2Vj-
Xj+RV-V.V=Qj+P R
RS
*
RRR
(4.15)
V--VV=X)J-.Y/2).(RVj-Qj+P( 2RSR2
RRR (4.16)
( ) ( ) -V.V=VR.Y/2.-)PX.-Q(R.j+VX.Y/2)-(1+)QX.+P(R. SR2RRR2RRR (4.17)
Eliminando de la ecuacin anterior el ngulo se llega a la siguiente
ecuacin:
0=C+VB.+VA. 2R4
R (4.18)
donde,
)X.Y/2-(1+)(R.Y/2=A 22 (4.19)
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V-).(R.Y/2)QX.-Q(R.2+X.Y/2)-).(1QX.+P(R.2=B 2SRRRR (4.20)
)Q+P).(X+R(=C2R
2R
22 (4.21)
La solucin para VR ser:
A
C-
2A
B+
2A
B-=V
2
R
(4.22)
4.3 LINEA DE TRANSMISION DE LONGITUD LARGA
Cuando la lnea de transmisin tiene una distancia considerable (lnea larga)
ya no es muy preciso el considerar que los parmetros estn concentrados,
sino distribudos uniformemente a todo lo largo de la misma.
Para determinar un circuito que represente adecuadamente este tipo de
lnea, hay que resolver las ecuaciones diferenciales, planteadas en un
diferencial de longitud de lnea.
Las ecuaciones diferenciales se van a plantear a partir de las definiciones
hechas en el circuito de la Figura 4.7.
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V(x)
X
Vs
x=dx=0
y . x
I R
VR
I S z . xI (x) I (x + x)
V (x + x)
FIGURA 4.7 Diferencial circuital de lnea
Los parmetros z y y corresponden a la impedancia serie y admitancia
shunt por unidad de longitud. El voltaje y la corriente en cualesquier punto
de la lnea depende de dos variables independientes, la longitud y el tiempo.
Para eliminar la dependencia del tiempo, las ecuaciones se van a plantear en
el dominio de los fasores, es decir que todas las variables involucradas son
fasores.
x.I(x)z.-V(x)=x)+V(x (4.23)
La ecuacin anterior se puede organizar como:
z.I(x)-=x
V(x)-x)+V(x
(4.24)
Tomando limite cuando 0x , se obtiene:
z.I(x)-=dx
V(x)d (4.25)
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y.V(x)-=x
I(x)-x)+I(xx.V(x)y.-I(x)=x)+I(x
(4.26)
y.V(x)-=dx
I(x)d (4.27)
Derivando la ecuacin 4.25 y 4.27 con respecto a x se obtienen las
repectivas ecuaciones diferenciales para el voltaje y para la corriente.
z.y.V(x)=dx
V(x)d2
2
(4.28)
z.y.I(x)=dx
I(x)d2
2
(4.29)
Las ecuaciones par el voltaje V(x) y para la corriente I(x) se pueden
resolver utilizando cualquier mtodo de solucin de ecuaciones
diferenciales. Utilizando por ejemplo el mtodo de la Transformada de
Laplace (LLLL).
( )z.y.V(x)_=dx
V(x)d_2
2
(4.30)
V(s)yz=dx
0)=dV(x-0)=V(xs-V(s)s2 (4.31)
Iz-Vs=y)z-sV(s)( SS2 (4.32)
Izyz-s
1-V
yz-s
s=V(s) S2S2 (4.33)
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Obteniendo la Transformada Inversa de Laplace (LLLL----1111) a la anterior
ecuacin, se obtiene la solucin para el voltaje fasorial en cualquier punto dela lnea,
( ) ( ).xyz.SenhIz/y-.xyz.V=V(x) SS Cosh (4.34)
Definiendo,
j wC
j wL+R
=y
z
=Z=ticaCaractersImpedancia c (4.35)
yz==nPropagacideConstante (4.36)
Para x=d la ecuacin 4.34 se convierte en:
( ) ( ).d.SenhIZ-.d.V=V ScSR Cosh (4.37)
Siguiendo el mismo proceso se obtiene la solucin para la corriente IR ,
( ) ( ).dSenhZ
V-.d.I=Ic
SSR Cosh (4.38)
Las ecuaciones 4.37 y 4.38 en forma matricial,
I
V
.d
Z
.dSenh-
.dSenhZ-.d
=
I
V
S
S
c
c
R
R
Cosh
Cosh
(4.39)
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Mediante un proceso de sntesis de circuitos se determina el circuito
equivalente que cumpla con el sistema de ecuaciones formuladas en la
ecuacin 4.39. Es circuito equivalente es un circuito PI como el de la Figura
4.5, con la diferencia en la forma de evaluar Z y Y/2 .
).dSenh(.Z=Z c (4.40)
).dSenh(.Z
1-).d(=Y/2
c
Cosh (4.41)
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Referencias bibliogrficas 79
Referencias bibliogrficas
1. ELECTRIC POWER RESEARCH INSTITUTE, EPRI. TransmisionLine Reference Book 345 kv and above, Palo Alto California. SegundaEdicin, 1992.
2. WESTINHOUSE CORPORATION. Electrical Transmission andDistribut
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