1
Esantionarea semnalelor
Discretizarea variatiei in timp a semnalului.
Toerema esantionarii
Esantionarea ideala
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
12 2
0
;
e
e
e e e
e e ek k
e e Tk k
T e ek
u t t t
x t u t x u t
x t u t kT x kT u t kT
x t u t kT x kT u t kT
lim u t t
lim u t kT t kT t
x t x t t x kT t kT
∆
∆ ∆
∆ ∆∞ ∞
∆ ∆=−∞ =−∞
∆∆→
∞ ∞
∆∆→ =−∞ =−∞
∞
=−∞
⎡ ⎤∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞= σ + −σ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∆ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦≅
− ≅ −
− ≅ −
= δ
− = δ − = δ
= δ = δ −
∑ ∑
∑ ∑
∑
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )eT e e
kx t x t t x kT t kT
∞
=−∞= δ = δ −∑
Spectrul semnalului esantionatideal
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ∑∑
∑
∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π−ω=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π−ωδ∗ω=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π−ωδπ∗ωπ
=δ=ω
ω=π⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π−ωδπ↔δ
keee
ke
kee
T
^
ee
kee
T
TkX
TTkX
T
Tk
TXttxX
TTk
Tt
e
e
2121
2221
222
F
;
3
( ) ∑∞
−∞= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π−ω=ωk
ee
^
TkX
TX 21
Eroarea de aliere.
Teorema esantionarii semnalelorde banda limitata
( ) er
MecM
Me
TH =
ω−ω≤ω≤ωω>ω
0aliere. apareNu
2
4
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) a.p.t ,
1
0
txtx
,XpTkXT
HXXthtxtx
,,T
pTH
r
kee
e
rrrr
MecMc
ceer
c
c
=
ω=ωω−ω=
=ω⋅ω=ω↔∗=
ω−ω≤ω≤ω⎩⎨⎧
ω>ωω≤ω
=ω=ω
∑∞
−∞=ω
ω
alierea. Apare
MMe ω<ω−ω
5
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )eM
eM
ker
Me
ec
ece
ke
c
e
ece
kee
ce
ke
ek
ec
err
cerer
kTtkTtsinkTxtx
kTtkTtsinkTx
kTtkTtsinTkTxkTt
ttsinTkTx
kTtkTxttsinTtxthtx
ttsinTthpTH
c
−ω−ω=
ω=ω−ω−ω
ωω=
=−π−ω=−δ∗
πω=
=−δ∗πω=∗=
πω=↔ω=ω
∑
∑
∑∑
∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
ω
:devine
tiereconstruc de formulaNyquist frecventa la iiesantionar cazulIn Nyquist. eesantionar de frecventa de denumirea poarta si 2 este minima eesantionar de Frecventa
2
Teorema WKS (Whittaker, Kotelnicov, Shannon)
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
.kTtkTtsinkTxtx
tx,ZnnTx
tx,Xtx
MecMc
ec
ec
e
c
ke
Me
M
M
ω−ω≤ω≤ωω−ω−ω
ωω=
ω≥ω∈
ω>ω≡ωω
∑∞
−∞=
: relatia satisfaca saincat ales astfel fie sa ca conditiacu
2:relatiaprin a.p.t sale, leesantioanedin ireconstitu poate se
initial semnalul sus mai de conditiileIn maxime. frecventei dublulputin cel este eesantionar de frecventa adica ,2 daca sale
lor esantioane multimea de determinat unic este atuncipentru 0 ca sensulin , la limitata banda de este semnalul Daca
e
6
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2
2
2
10
c ece
e c ek
c e ece e
e c e ek
eM M e
e ek
e n ,k ek
n ,k
sin t kTx t x kT
t kT
sin nT kTx nT x kT
nT kT
T
sin n kx nT x kT
n k
x kT x nT
, n k, n k
∞
=−∞∞
=−∞
∞
=−∞∞
=−∞
ω −ω=ω ω −
ω −ω=
ω ω −ω
ω = ⇒ ω = π
π −= =
π −
= δ =
=⎧δ = ⎨ ≠⎩
∑
∑
∑
∑
Reconstructia prin filtrare trece-jos ideala
Reconstructia prin interpolare( )
2
2
2
e
r ee
TsinH T T
ω⎛ ⎞⎜ ⎟
ω = ⎜ ⎟ω⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
7
Reconstructia prin extrapolare de ordinul zero
( )
( )
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
e
e
e
e
e
er T
eTj
eTje
e
eTjr e
e
je
e
Th t p t
Tsine
Tsine T T
TsinH e T T
sine
ω−
ω−
ω−
ω− πω
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
ω
↔ =ωω
=ω
ω
ω = =ω
ωπω
= ωπω
( ) ( ) ( ) ( )
( )
Spetrul semnalului reconstruit:
1e
e
je
r r e ee k
e
je
ek
e
sinX X H X k T e
T
sine X k
ω∞ − πω
=−∞
ω∞ − πω
=−∞
ωπ⎛ ⎞ ω
ω = ω ω = ω− ω =⎜ ⎟⎜ ⎟ ω⎝ ⎠ πω
ωπω
= ω− ωωπω
∑
∑
Eroarea scade daca e M .ω ω
8
Esantionarea ideala a semnalelor periodice
( )( )
( )
0 0 e 00
0 0 0
0 0
0 0 0
e 0
2 ; ;
Pentru ca sa nu apara suprapunerea lobilor centrali este necesar ca:N
Diferenta dintre si trebuie sa fie de forma:
, R=1,2,...sau
M
e
N MT
N M N
M N N
M N N R
M
πω = ω ω = ω = ω
ω < ω − ω = ω −
ω − ω
ω − − ω = ω
ω = ω = ( )
( )
0
e 0 0
2adica
2 2 ; R=1,2,...M
N R
N R R
+ ω
ω = + ω = ω + ω
( ) ( ) 0 0
e 0 0 0
; N0
Pentru a evita aparitia erorilor de aliere este necesar ca: sau 2 2
Spre deosebire de semnalele aperiodice unde 2 pentru semnalele p
c
e cr e c e
c
e M
e M
T ,H T p N
,
N N N,
ω⎧ ω ≤ ω⎪ω = ω = ω < ω < ω − ω⎨ ω > ω⎪⎩
ω − ω > ω ω > ω = ωω ≥ ω
eriodice trebuie sa esantionam astfel incat 2 Pe perioada celei mai rapide componente spectrale
trebuie sa prelevam mai mult de doua esantioane (adica cel putin3).
e M .ω > ω
9
( ) ( )0
e 0e 0
0
Daca este perioada fundamentalei si daca esantionarea se2 2face conform relatiei 2 atunci 2 ; T
R=1,2,...sau 2
Doar 2N+R esantioane pot fi distincte ca urmare a periodicitatii
e
T
N R N RT
TT
N R
π πω = + ω = +
=+
0
semnalului supus esantionarii. Toate pot fi prelevate intr-o singura perioada a fundamentalei T .
( ) ( ) ( )0 0
00 0
Acelasi rezultat se poate obtine si preluand esantioane succesive din perioade succesive.
2Aceasta posibilitate este valorificata in constructia osciloscoapelo
e e e
e e
x kT x T kT x kT kTT
T ' kT T kTN R
= + = +
= + = ++
r cu esantionare.
10
http://www.jhu.edu/~signals/sampling/index.html
Relatii energetice
( ) ( )
( ) ( )0
22
22
0
Pentru semnale aperiodice esantionate este adevaratarelatia de tip Rayleigh:
Pentru semnale periodice esantionate este valabila relatiade tip Parseval:
1 1 ; M
e ek
eT
W x t dt T x kT
P x t dt x kTT M
∞ ∞
=−∞−∞
= =
= =
∑∫
∫1
0=2N+R, R=1,2,...
Energia sau puterea pot fi calculate fie din forma de variatie in timpfie in domeniul frecventa.
M
k
−
=∑
11
Esantionarea cu memorare
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2 2
2
22 2
22
eT
t tj jt
x t x t t h t x t h t
t tsin sinth t p t e e t t
ω∆ ω∆− −∆
⎡ ⎤= δ ∗ = ∗⎣ ⎦ω∆ ω∆
∆⎛ ⎞= − ↔ = ∆⎜ ⎟ ω∆ω⎝ ⎠
Spectrul semnalului esantionat cu memorare
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
1 2
2
2
2
tje
e k
tje
ek
ee
eke
tsinX e t X ktT
tsintX e X ktT
tsinTt X ktTT
ω∆∞ −
=−∞
ω∆ ∞
=−∞
∞
=−∞
ω∆
ω = ∆ ω− ωω∆
ω∆∆ω = ω− ω =ω∆
∆π∆= ω− ω
∆π
∑
∑
∑
12
Pentru a limita erorile ce afecteaza lobul spectral central este necesar sa avem:
2
ceea ce implica scurtarea duratei a impulsurilor.Reconstructia prin extrapolare de ordinul zero este
Mt
t
π ω∆
∆
un cazparticular PAM cu et T .∆ =
Esantionarea naturala
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2
2
22unde
2
e eT T e ek k
j t
t
x t x t q t x t h t t x t x t h t kT x t h t kT
tsinth t p t H e
∞
=−∞ =−∞
ω∆−∆
⎡ ⎤= = ∗δ = − = −⎣ ⎦
ω∆∆⎛ ⎞= − ↔ ω =⎜ ⎟ ω⎝ ⎠
∑ ∑
13
Spectrul semnalului esantionat natural
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2
1 222
2
2
2
2
2
e
e
e
tjT e
e k
ek tje
eek
ek tje
eek
tsinX x t h t t X e t kt T
k tsintX e kk tT
k tsinte X kk tT
ω∆ ∞−
=−∞
ω ∆∞ −
=−∞
ω ∆∞ −
=−∞
ω∆⎡ ⎤⎢ ⎥π⎡ ⎤ω = ∗δ = ω ∗ ∆ δ ω− ω⎢ ⎥⎣ ⎦ ω∆π ⎢ ⎥⎣ ⎦
ω ∆∆= ω ∗ δ ω− ω =ω ∆
ω ∆∆= ω− ω
ω ∆
∑
∑
∑
F
Lobii spectrali obtinuti in urma esantionarii naturale nu sunt deformati ca in cazul esantionarii cu memorare. Lobul central este asemanator cu cel obtinut la esantionarea ideala. Filtrand trece jos c
( )
u
si o amplificare , se poate recuperasemnalul initial,
M c e M
eT / t
x t .
ω ≤ ω ≤ ω −ω∆
( )0
ec
c
T,
H t,
⎧ ω ≤ ω⎪ω = ∆⎨⎪ ω > ω⎩
14
Relatia dintre spectrul unui semnal discret si spectrul
semnalului analogic din care provine
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1Se stie ca este spectrul semnalului esantionat ideal.
se poate calcula si prin aplicarea directa a transformatei Fourier semnalului
F F
a ee k
a e a e ek k
X X kT
X x t .
X x t t kT x kT t kT
∞
=−∞
∞
=−∞
ω = ω− ω
ω
⎧ ⎫⎪ ⎪ω = δ − = δ −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
∑
∑
( ) ( ) ( )F ej kTa e e a e
k kx kT t kT x kT e
∞
=−∞∞ ∞
− ω
=−∞ =−∞
⎧ ⎫⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
= δ − =
∑
∑ ∑
( ) ( ) ( )
( ) [ ] ( )
S-au obtinut 2 expresii echivalente pentru spectrul
1
Spectrul semnalului discret obtinut in urma esantionarii :
Se observa ca:
ej kTa e a e
e k k
j k j kd d a e
k k
a
X X k x kT eT
X x k e x kT e
x kT
∞ ∞− ω
=−∞ =−∞
∞ ∞− Ω − Ω
=−∞ =−∞
ω = ω− ω =
Ω = =
∑ ∑
∑ ∑
( ) ( )
( ) ( )
( )
si deci :
1 1 2
adica :
1 2
e
e
e
j kT j ke a e
k kT
d a e ae e e ek kT
d ae e ek
e x kT e
X X k X kT T T T
X X kT T T
∞ ∞− ω − Ω
Ωω==−∞ =−∞
∞ ∞
Ωω==−∞ =−∞
∞
=−∞
=
⎛ ⎞Ω πΩ = ω− ω = −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞Ω πΩ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑
∑ ∑
∑
15
Intre cele doua axe de frecventa corespunzatoare spectrului semnalului analogic esantionat respectivspectrului semnalului discret exista relatia: Se explica acum si natura periodica a spectrulueT .Ω = ω
( )
i
semnalului discret Intre si exista relatia: ; d M M M M e eM
X . T T .πΩ Ω ω Ω = ω ≤ω
Esantionarea semnalelor discrete
In prelucrarea numerica a semnalelor apar situatii in care,ulterior achizitionarii esantioanelor, se constata ca frecventade esantionare a fost prea mare. In astfel de situatii, cand nuse mai poate es
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
antiona semnalul analogic, este posibila esantionarea semnalului numeric, retinandu-se tot a N-a valoare. Fie:
Semnalul discret esantionat, x se obtine prin produsul:
Nk
Nk
n n - kN
n ,
x n x n n x n n kN
∞
=−∞
=
δ = δ
= δ = δ −
∑
[ ] [ ]k
x kN n kN .∞ ∞
−∞ =−∞= δ −∑ ∑
16
N=3.
[ ] ( ) ( )
( ) [ ] [ ] ( ) ( )
2
1 2 22
e
e
F ;
Pentru calculul convolutiei circulare se recurge la restrictionarea la perioada principala a celor doi termeni, la calculul c
eN e e ek
N ek
n k , .N
X x n n X k .N N
∞
Ω=−∞
∞
=−∞
πδ ↔Ω δ Ω =Ω δ Ω − Ω Ω =
π πΩ = δ = Ω ⊗ δ Ω − Ω Ω =π
∑
∑
( ) ( ) ( ) ( )1 1
0 0
1 1 2e
onvolutiei necirculare si la prelungireaprin periodicitate a rezultatului obtinut.
, N N
r r e r ek k
X X k X kN N N
− −
= =
πΩ = Ω ∗ δ Ω − Ω = Ω − Ω Ω =∑ ∑
N=3.
17
[ ]Cum , unde este frecventa maxima din spectrul semnalului analogic din care provine ,iar pasul cu care acest semnal analogic a fostesantionat, rezulta:
; ;
S-ar fi
M e M M
e
e e e eM M
Tx n
T
NT T ' T ' NT
Ω = ω ω
π π≤ ≤ =ω ω
( ) e
respectat teorema WKS chiar daca semnalul ar fi fost esantionat cu pasul Daca
apare suprapunerea lobilor spectrali vecini, adicaerori de tip "alias".
e M Mx t T ' . Ω −Ω <Ω
Reconstruirea semnalului discret din esantioanele sale
( ) 2 .
0 in restc
r M c e MN , k
H,
⎧ Ω− π ≤ΩΩ = Ω ≤Ω ≤Ω −Ω⎨
⎩
18
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
c
Raspunsul la impuls al filtrului de reconstructie este:
; .2
Dar 0 pentru si si deci
c er
c
r r
rk
rm m
sinnh n
n N
x n x n h n x n
x n x k h n k
x k k Nm x Nm x Nm
sin n mNx n x Nm h n Nm x Nmn m
N
∞
=−∞
∞ ∞
=−∞ =−∞
Ω Ω π= Ω = =Ω
= ∗ = ⇔
= −
= ≠ =
π⎛ ⎞− π⎜ ⎟⎝ ⎠= − = π − π
∑
∑ ∑
Esantionarea si decimarea unui semnal discret
1Intre doua valori nenule si consecutive ale unui semnal esantionat sunt intercalate valori nule. Prin omiterea acestora se obtine un nou
semnal, numit decimatul semnalului esantionat, care se va n
N −
[ ]
( ) [ ] [ ]
[ ] [ ]
1
ota cu
Din semnalul decimat se poate reconstrui semnalul nedecimat prin simpla inserare a cate zerouri intre doua valori consecutive.
F D D
D
j n
Dn
j mj n N
n
x n .
N
X x n x n e
x nN e x m e XN
− Ω∞
=−∞Ω∞ −− Ω
=−∞
−
Ω = =
Ω⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
∑m
.∞
=−∞∑
19
( )
( )
Tinand seama de faptul ca spectrul semnalului esantionat reprezinta prelungirea
prin periodicitate a spectrului semnalului de esantionat, relatia
1 2se mai scrie: . In co
D
D
X XN
kX XN N
Ω⎛ ⎞Ω = ⎜ ⎟⎝ ⎠
Ω− π⎛ ⎞Ω = ⎜ ⎟⎝ ⎠
( )1
01 1
0 1
nsecinta 2
1 1 2 1 2 . Dar 2
ca urmare a periodicitatii cu 2 a transformatei Fourier in timp discret. In consecinta
suma di
ND
kN Nk l
k l
X
( k ) lX X X XN N N N N N
−
=− + =
= =
Ω − π =
Ω − + π Ω − π Ω Ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = − π⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
π
∑
∑ ∑
( ) ( ) ( )
1
0
1 2n membrul drept poate fi scrisa sub forma , care reprezinta
tocmai Asadar, s-a demonstrat ca: 2 spectrul semnalului esantionat si decimat este o functie periodica
N
l
D D D
lXN N
X . X X ,
−
=
Ω − π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Ω Ω− π = Ω
∑
( )
de perioada 2 Pentru 0 se obtine 1lobul central, care se anuleaza pentru Intinderea lobilor spectrali
ai lui este de ori mai mare decat intinderea lobilor spectrali
M
D
. k
X .N N N
X N
π =Ω Ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = Ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ω [ ]ai semnalului x n .
20
N=2.
Esantionarea spectrului unui semnal discret de durata finita[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )
Fie un semnal aperiodic in timp discret cu spectrul Se esantioneaza
ideal spectrul prin inmultire cu
Dar
e e
ee e e N ek k
e
x n X .
X , . X X
X k X k k . n
Ω Ω
∞ ∞
Ω=−∞ =−∞
Ω
Ω δ Ω Ω = Ω δ Ω =
= Ω δ Ω− Ω = Ω δ Ω− Ω δ ↔Ω δ Ω =
=Ω δ
∑ ∑
( ) [ ] ( )
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
2 1
1
2
e
-1 -1 -1
; de unde De aceea
F F F
sau , semnalul reprezinta prelungirea prin periodicitate a
semnalului Pentru ca semnalu
e
e e
e Nek
Ne
k
k , n .N
x n X X x n n
Nx n x n kN x n
x n .
∞
Ω=−∞
Ω Ω
∞
=−∞
πΩ− Ω Ω = δ ↔δ ΩΩ
= Ω δ Ω = Ω ∗ δ Ω = ∗ δΩ
= −π
∑
∑
[ ] [ ]l sa poata fi recuperat din semnalul
este ne esar ca suportul sau sa fie marginit.
x n x n
21
[ ]
[ ]
Fie cu suportul 0 1 In urma esantionarii spectrului acestui semnal se obtine 2semnalul periodic de perioada Daca nu se produce suprapunerea
grupurilor temporale corespunzatoare die
x n n M .
x n N . N M
≤ ≤ −π= ≥
Ωverselor valori k.
22
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
2 0 1Prin multiplicarea semnalului cu fereastra temporala rectangulara
0 in rest
se obtine semnalul reconstruit , identic cu semnalul
r
r r r
, n Nx n w n N
,
x n x n : x n x n x n w n .
π⎧ ≤ ≤ −⎪= ⎨⎪⎩
= =
( )[ ]
Daca spectrul se esantioneaza prea rar, , apare suprapunerea
grupurilor temporale, adica erori de tip "alias". Semnalul nu mai poate fi reconstruit din spectrul esantionat.
X M N
x n
Ω <
23
Masuri practice la esantionarea semnalelor analogice
De obicei nu se cunoaste largimea de banda a semnalului ce urmeaza a fi santionat. Acesta poate avea componente spectralede frecventa mare, neinteresante in aplicatia considerata.Acestea pot fi de exemplu cauzate de zgomotul ce insotestesemnalul util. Exista deci riscul aparitiei erorilor de tip "alias".Pentru evitarea lor se prevede in structura lantului de prelucrarea semnalului, inaintea circuitului de esantionare, un filtru trece josnumit filtru "anti-alias" sau filtru de garda.
Esantionarea trebuie facuta cu o frecventa de cel putin 2 ori mai mare decat frecventa deoprire 2De asemenea trebuie sa avem
Deci:
2Cu cat banda de tranzitie
este mai m
s e s
M p
eM p s
s p
.
.
.
ω ω ≥ ω
ω ≤ ω
ωω ≤ ω < ω ≤
ω −ω
are, cu atat frecventade esantionare trebuie sa fie mai mare decat frecventa Nyquist2 M .ω
24
2
Banda de tranzitie mai mare ordin de filtru mai redus, mai putine elemente constructive, mai ieftin.Cu scaderea lui scaderorile de tip "alias" darcresc si deci si s e .
⇒
ε
ω ω
Sisteme de telefonie numerica - 3 4 KHz, 8 KHz.Sisteme de televiziune - 5 MHz, 18 MHz.
M e
M e
f , ff f
= =≅ =
Esantionarea semnalelor trece banda
[ ] [ ]Semnale de tip "trece jos" - spectrul concentrat in benzi care includ frecventa nula.Semnale de tip "trece banda" - au suportul spectrului de forma M m m M, , .−ω −ω ∪ ω ω
Reconstructia perfecta a unui semnal trece banda esantionat ideal se poate realiza pe baza teoremei WKS, 2Uneori semnalele trece banda pot fi reconstruite din esantioanele lor chiar daca s-a fol
e M .ω ≥ ω
osit o frecventa de esantionare mai mica decat frecventa Nyquist.
25
Cazul semnalelor trece banda de banda ingusta
( ) [ ] [ ]
1
Suportul spectrului unui semnal trece banda de banda ingustaesantionat ideal este de forma:
supp
M m
m
e M e m e m e M en Z
.
X n , n n , n .∈
ω −ω<
ω
ω = −ω + ω −ω + ω ∪ ω + ω ω + ω∪
Semnalul trece banda de banda ingusta poate fi reconstruitperfect din esantioanele sale chiar daca a fost folosita o frecventa de esantionare mai mica decat frecventa Nyquist.
[ ] [ ][ ] [ ]
( )M
Conditia de reconstructie perfecta este: ,
Pentru 0 conditia devine adica:
- 22sau 1 1
Daca exista
M e m e m e M e
M e m e m M
e m mMe
M e M
k , k l , l , k l Z .
l , k , k , k Z .
k.
k k k
−ω + ω −ω + ω ω + ω ω + ω =∅ ∀ ∈
= −ω + ω −ω + ω ω ω =∅ ∀ ∈
ω + ω ≤ ω⎧ ωω ≤ ω ≤⎨−ω + + ω ≥ ω +⎩
∩
∩
valori intregi , pentru care aceasta conditie este satisfacuta, atunci exista valori ale frecventei de esantionare inferioare frecventei Nyquist pentru care semnalele trece banda de banda ingusta po
k
t fi reconstruite in urma esantionarii ideale.
26
( )
0
Solutia din multimea numerelor intregi a dublei inecuatii
obtinute este: 0 Notand cu partea intreaga
a fractiei , rezulta ca frecventa de esantionare
va apartine unor intervale de f
m
M m
m M m
k . n
/
ω< ≤
ω −ωω ω −ω
0
m 0
22orma cu 11
Exemplu
8 si 10 Valoarea factorului este 4
Valorile admisibile pentru sunt 1, 2, 3 si 4. Acestor valori lecorespund urmatoarele domenii pentru
mM
mM
m M
, k ,...,n .k k
. n .
k
ωω⎡ ⎤ ∈⎢ ⎥+⎣ ⎦
ωω = π ω = π =
ω −ω
[ ] [ ] [ ] [ ]frecventa de esantionare:
4 5 , 5,33 6 66 , 8 10 , 16 20 , , .π π π π π π π π ∞∪ ∪ ∪ ∪
Top Related