Esantionare Discretizare

7/21/2019 Esantionare Discretizare

1/31

46

Cap.2.Semnale eantionate

2.1.Eantionarea ideal. Teorema lui Shannonn anumite condiii, semnalele analogice pot fi reprezentate complet printr-o

succesiune de eantioane luate la momente de timp discrete. Vom considera

succesiunea de eantionare distanate egal n timp cu mrimea eT , ca nFig.2.1.

n Fig.2.1. sunt desenate 3 semnale care au valori identice la momente detimp care sunt multipli de eT care se numete i perioad de eantionare. ngeneral, exist o infinitate de semnale analogice care pot s genereze acelai set deeantioane.Ne intereseaz n ce condiii un anume set de eantioane genereaz nmod unic un semnal analogic.

Eantionarea unui semnal analogic cu eantioane luate la momenteechidistante de timp se numete eantionare uniform sau periodic. Mrimea

e

eT

f1

se numete frecven de eantionare, iar ee

e fT

22

este frecvena

unghiular de eantionare.Semnalul eantionat este un semnal discretizat n timp. Acesta poate fireprezentat ca o funcie de variabila eTnt sau funcie de raporul dintre variabila

ti eT , adic de formaeT

tn , deci ca funcie de variabila timp discret normat

n . Dac la un moment eTnt , un semnal analogic )(tx prezint o discotinuitate,se convine s se considere:

eee nTxnTxnTx0

lim2

1 (2.1)

Expresia n timp a semnalului eantionat ideal este: ttxtx Te (2.2)

iar expresia analitic a succesiunii periodice de funcii t cu perioada eT este:

n

eT Tntt (2.3)

Astfel se obine:

n

eee nTtnTxtx (2.4)

Modelul ideal al eantionrii este reprezentat nFig.2.2.

Fig.2.1.

1(t)

t

2(t)

3(t)

Te 2Te 3Te 4Te 5Te 6Te 7Te


2/31

47

Transformata Fourier a semnalului eantionat este txFX ee i obinemurmtorea convoluie n frecven:

tFXttxFX TTe

*2

1})({ (2.5)

Se tie c

k

T ktF undee

eT

2 i vom avea

folosind relaia (2.5):

kXkXX

kk

e

*

2

*

2

1

Vom avea, folosind definiia produsului de convoluie:

ke

e dkXT

X 1

Folosind proprietile distribuiei Diracn domeniul timp:

txdtx ce

au echivalen n domeniul frecven:

XdX , vom obine:

ke

e kXT

X 1 (2.6)

Relaia (2.6)aratc funcia de densitate spectral a semnalului eantionat eX

este o repetare periodic, cu perioadaeT

2 , a funciei densitate spectral a

semnalului neeantionat X .Semnalul neeantionat poate fi cu:

I.Band de frecven nelimitat, caz n care R,0 X

II.Band de frecven limitat, i atunci avem: MX pentru,0

Fig.2.2.

x(t) xe(t)

T(t)

T(t)

Te2Te

3Te kTe

t

-2Te-Te

xe(t)

Te2Te

3Te kTe

t

-2Te-Te

x(t)

t


3/31

48

Pentru cazul I., X i eX sunt reprezentate nFig.2.3.

Dup cum se poate vedea n Fig.2.3., nu se poate reconstitui semnalul )(tx dinsemnalul eantionat datorit spectrelor adiacente suprapuse (n limba englez-

aliasing).Pentru cazul II., X este reprezentat grafic nFig.2.4i avem 3 situaii:

>>1.n prima situaieFig.2.4-b).nu avem suprapunere spectral deoarece:MMM 2 sau Me fF 2

Fig.2.4.

X()1

M-M

Xe()

eT/1

M-M -M +M--M -+M

-

Xe()

M-M

-M +M--M -+M-

Xe()

M-M

-M +M--M -+M

-

a.).

b.).

c.).

d.).

eT/1

eT/1

Fig.2.3.

X()

Xe()eT/1

1

0 20-0


4/31

49

i astfel semnalul )(tx poatefi reconstituit din eantioanele sale.

>>2.n aceast situaieFig.2.4-c).nu avem suprapunere spectral la limit, adic:MMM 2 sau Me fF 2

i semnalul )(tx mai poatefi reconstituit din eantioanele sale la limit.

>>3.A treia situaieFig.2.4-d). care poate aprea la eantionarea unui semnal deband de frecven limitat este:

MMM 2 sau Me fF 2 i se observ c apare suprapunerea spectrelor adiacente i, ca urmare, semnalul

)(tx nu mai poatefi reconstituit din eantioanele sale.

n situaia cnd semnalul )(tx poate fi recuperat din eantioanele sale,aceast reconstituire se realizeaz printr-un proces de filtrare trece-jos.Observaiile demai sus stau la baza Teoremei Eantionrii, care se mai numete iTeorema lui Shannon.Teorema lui Shannon: Un semnal )(tx cu banda de frecven limitat

MX pentru0 poate fi reconstituit din eantioanele sale luate la momente

de timp echidistante, dac distana n timp, eT , ntre 2 eantioane succesive,satisface relaia:

M

ef

T2

1 (2.7)

Perioada maxim de eantionare este:

M

ef

T2

1max_ i se mai numete iperioad Nyquist

Corespunztor perioadei maxime de eantionare avem frecvena minim deeantionare este Me fF 2min_ - numit ifrecven Nyquist.

2.2 Reconstituirea unui semnal din eantioanele sale

Dac avem un semnal )(tx de band de frecven limitat MX pentru,0 , iar eantioanele sale sunt luate la momente de timp

conform Teoremei lui Shannon, se poate scrie pentru intervalul MM , expresia:

eeXTX pentru toate frecvenele M (2.8)

Relaia anterioar (2.8) provine din relaia (2.6)

ke

e kXT

X 1 ,

considernd intervalul M .

Totodat, relaia (2.8) poate fi interpretat ca o filtrare trece-jos ideal asemnalului txe pentru a obine la ieirea filtrului semnalul tx . Funcia de

transfer a filtrului trece-jos ideal este:


5/31

50

pentru0

pentru2

1

M

M

M

ef

TH

(2.9)

Funcia pondere a acestui filtru este:

sin2211

tthde

T

deHHFth Matjetj M

M

(2.10)Funciile )(H i )(th sunt reprezentate grafic nFig.2.5.

Relaia (2.8)mai poate fi scris i sub forma: HXX e (2.11)

Aplicnd Transformata Fourier invers relaiei (2.11) i folosind expresia

semnalului eantionat en

ee nTtnTxtx

vom avea:

n

eMa

n

eee

e

n

e

n

ee

n

ee

n

eee

nTtnTxnTthnTx

dnTthnTx

dnTthnTx

nTtthnTx

nTtnTxththtxtx

sin

*

**

eMn

ae nTtnTxtx

sin (2.12)

Relaia (2.12) exprim reconstituirea semnalului )(tx din eantioanele sale prinextrapolare n timp ca nFig.2.6.

Fig.2.5.

h(t)

t

1

Te 2Te

3Te

4Te

5Te

-Te-2Te

-3Te

-4Te

-5Te

H()

M

ef

T2

1

M-M


6/31

51

Funcia pondere )(th dat de relaia (2.10) sin tth Ma are proprietatea c:

0npenru0

0npentru1nTh (2.13)

Expresia (2.13) ne asigur c semnalul recuperat trece prin valorile eantioanelorsale la momentele de timp Tnt , Zn . Se tie c, dac )(tx este de band defrecven limitat, reconstrucia semnalului este perfectpentru orice valoare avariabilei timp t.Facem urmtoarea notaie:

eeMan nTthnTtth sin (2.14)Funcia )()(0 thth se mai numete funcie de interpolare sau funcie eantion.

Astfel, semnalul reconstituit din relaia (2.12) eMn

ae nTtnTxtx

sin devine:

n

ne thnTxtx (2.15)

Seria (2.15) de reconstrucie a semnalului din eantioanele sale se mai numete iseria cardinala lui )(tx .

Se poate demonstra c relaia (2.15) este o serie Fourier generalizat, iarsetul de funcii

Znn th

este ortogonal pentru Rt cuptratulnormei:

nmpentru0nmpentru,

2,

*

2**

Tthth

deT

dtthththth

mn

nmj

mnmn

M

M

Astfel, ne rezult c semnalul )(tx poate fi scris ca o sum ponderat desemnale elementare )(thn ca la Seria Fourier Generalizat.

n

nn thatx

unde coeficienii na pot fi exprimai prin relaia:

dtthtx

Ta nn

1 (2.16)

Prelucrnd relaia (2.16) i innd cont de faptul c Tjnn eHH

Fig.2.6.

(t)

t

1

Te 2Te 3Te 4Te5Te-Te-2Te-3Te

-4Te-5Te


7/31

52

i de proprietatea de simetrie a transformatelor Fourier direct i invers:

nTxdeXa

deTXT

dHXT

a

xXtxF

XF

Tjnn

Tjn

nn

1

21

2

1

2

1

2tX F;

Astfel, se poate concluziona c relaia (2.16), reprezint Seria Fouriergeneralizat, dezvoltat cu funciide interpolare pentru )(tx .

Observaie Important:n realitate, semnalele ce apar n aplicaiile reale nu au unspectru definitpe suport mrginit. Astfel, frecvena M care delimiteaz banda defrecven este evaluat astfel nct s includ domeniul de frecven al

informaieicare intereseaz. Practic, nainte de a fi eantionat, semnalul fizic estetrecut printr-un filtru trece jos(se mai numete filtru de gard) ce va asiguracondiia MX pentru,0 , eliminndu-se astfel distorsiunile datorate

suprapunerilor spectrale. Deoarece filtrul de gard nu poate fi realizat n practic nmod ideal, blocarea componentelor spectrale n vecintatea lui M nu este perfecti de aceea este necesar s se lucreze cu frecvene(perioade) de eantionare pestelimita impus de condiia Nyquist.

2.3 Reconsti tui rea semnalelor eantionate prin extrapolare polinomialConsiderm o susccesiune de eantioane )( enTx . Se pune problema

reconstituirii semnalului continual )(tx din care au provenit eantioanele. O metodcunoscut n acest sens se bazeaz pe dezvoltarea n serie de puteri a semnalului

)(tx n intervalul dintre 2 momente de eantionare: eTn )1( i enT .

2)(!2

)())(()()( e

eeeen nTt

nTxnTtnTxnTxtx

+ (2.17)

Evaluarea derivatelor pe intervalul ee nTTn ,)1( se poate realiza cu formulele:

eeee TnxnTxTnTx )1(

1

)( (2.18)

ee

e

ee

ee

ee

e

e

TnxTnxT

TnxnTxTT

TnxnTxT

nTx

)2()1(1

)1(11

)1(1

)(

eeeee

TnxTnxTnxnTxT

)2()1()1(12

eeee

TnxTnxnTx

T

)2()1(212

(2.19)


8/31

53

Din relaia (2.17) avem n mod evident c semnalul )(tx este cu att mai binereprezentat de )(txn cu ct numrul termenilor crete. Avnd n vedere formulelede calcul ale derivatelor, se poate observa necesitatea utilizrii unor eantioanevechi, practic ntrziate fa de momentul curent enT . ntrzierile ntr-un sistemautomat au ns efecte nedorite asupra stabilitiii de aceea, n mod uzual seria(2.17) este trunchiatla unul sau cel mult 2 termeni.

2.3.1.Extrapolatoru l de ordin zeroAtunci cnd din seria (2.17) se folosete doar primul termen, extrapolatorul

este denumit de ordin zero, i vom avea:)()( en nTxtx (2.20)

Rspunsul la impuls pentru extrapolatorulde ordin zero are forma din Fig.2.7

Transformata Laplace a rspunsului la impuls din Fig.2.7, respectiv funcia detransfer a extrapolatorului de ordin zero este:

s

ee

ssTttLsH

sTsT

ee

e

e

111)(1)(1)(0 (2.21)

Forma semnalului reconstituit cu ajutorul extrapolatorului de ordin zero estereprezentat nFig.2.8

Aa cum se observ i din Fig.2.8, semnalul reconstituit verific urmtoarearelaie:)()( en nTxtx pentru ee TnnTtNn )1(,, (2.22)

2.3.2.Extr apolatorul de ordin unuAtunci cnd din seria (2.17) se folosesc primii 2 termeni, extrapolatorul este

denumit de ordin unu, i vom avea:))(()()( eeen nTtnTxnTxtx (2.23)

unde avem:

eee

e TnxnTxT

nTx )1(1)( (2.24)

Din (2.23), (2.24) vom avea:

t

)( enTx

Semnal eantionat

Fig.2.8.

t

)(txn

Semnal reconstituit

t t

)(t

eT eT2

)(0 the

eT eT2

Fig.2.7.Funcia pondere

entru extrapolatorul deordin zero

1


9/31

54

eeeeeeeeeen

eee

e

ee

e

en

eee

e

en

TnxnTnTxnTnTxTT

tTnxnTxT

tx

nTTnxnTxT

tTnxnTxT

nTxtx

nTtTnxnTxT

nTxtx

)1()(1

)1(1

)(

)1(1

)1(1

)()(

)()1(1

)()(

btatxn )( (2.25)

unde

eeeeee

e

ee

e

TnxnTnTxnTnTxTT

b

TnxnTxT

a

)1()(1

)1(1

pentru ee TnnTtNn )1(,,

Astfel, extrapolatorul de ordin unu furnizeaz la ieire un semnal de forma dintede ferestreu, cu panta determinat de ultimele dou valori ale semnalului

eantionat ca nFig.2.9.

Funcia de transfer se determin similar cazului anterior i are expresia :

se

essTttLsH

sTsT

ee

e

e

111

)(1)(1)(1

s

ee

ssTtbtatbtaLsH

sTsT

ee

e

e

111)(1)(1)(1

2

1

11)(

s

e

T

sTsH

sT

e

ee

e

(2.26)

t

)( enTx

Semnal eantionat

Fig.2.9.

t

)(txn

Semnal reconstituit


10/31

55

2.4.Transformata Z. ProprietiFie 0, kyk un ir de numere. Aceste numere pot fi valorile unei funcii de

timp pentru ekTt , deci vom nota ek kTyy , unde eT -perioada de eantionare.Transformata Z reprezint o coresponden ntre mulimea de numere

0kky i

planul complex, numitplanul z.Rezultatul l reprezint funcia complex )(zY .Transformarea in z poate fi considerat o generalizare a transformrii Fourier a

semnalelor discrete. Ea joac n analiza i sinteza semnalelor i sistemelor n timp

discret rolul transformrii Laplace n analiza i sinteza sistemelor n timpcontinuu.

Numim aceast transformaretransformarea Z direct, i se noteaz:

0

kkyZzY . (2.27)

n acelai mod se definetetransformarea Z inversi se noteaz: zYZy

kk

1

0

. (2.28)

Legtura ntre cele 2 transformri este reprezentat nFig.2.10.

Formula fundamental de definire a transformatei Z directe:

0

)(k

k

kk zyyZkTyZzY (2.29)

Seria de puteri (2.29), care defineste transformata Z este o serie Laurent.Zona din planul variabilei complexe z, determinat de ansamblul valoriloracesteia pentru care seria converge, se numeste domeniu de convergen.Pentrudeterminarea domeniului de convergen, se utilizeaza criteriul Cauchy referitor laconvergena seriilor, criteriu ce afirm co serie de tipul:

...........2100

n

n

n aaaaa (2.30)

este convergent dac i numai daceste ndeplinit condiia:

1lim1

nn

na (2.31)

Aplicarea acestui criteriu pentru seria (2.29) conduce la inegalitatea:

1limlim 111

zyzy kk

k

kk

kk

(2.32)

Prin introducerea notaiei kkk

c yR1

lim

vom avea c:

0)( kky )(ty )(zy

EANTIONARE

ekTt

(univoc)

NVEL ITOARE

(neunivoc)

Z{}

(univoc)

Z- {}

(univoc)

ir de

numere

Funcie de

timp

Planul

complex

Fig.2.10


11/31

56

cc Rz

z

R 1 (2.33)

Astfel, seria

0k

k

kzyzY (din relatia (2.29)) reprezint transformata Z a unui

semnal cauzal, care este convergent n exteriorul cercului de raz cc RzR : , adic

se poate spune ca transformata Za semnalului discret cauzal are convergendeexterior.

Functia de variabil complex )(zY , definitprin seria Laurent (2.29) este ofuncie analitic n domeniul de convergen, adica transformata Y(z) i derivateleacesteia sunt continue.Astfel, rezult c )(zY nu are singulariti(adic poli) ndomeniul de convergen, iar zerourile pot fi plasate oriunde n planul complex.

Astfel, dac1

p este un pol al semnalului )(zY , i el este plasat n exteriorul

cercului de raz cR care reprezint i domeniul de convergen, acest lucrusemnific faptul c

1p este o singularitate a functiei )(zY adico nedeterminare de

forma0

1 , ceea ce nseamn c )(zY nu este o funcie continu(convergent la o

valoare finit). Dac2

p este n afara domeniului de convergen(adic n cercul deraz cR ), rezult cn acest fel, aproximarea )(zY converge ctre o valoare finit.

Putem considera c transformata Zpoate fi aplicat i unei funcii de timporiginal )(ty .

ZkRzzkTytyZzYc

k

k

;;0 (2.34)unde irul de numere

0kky cruia i se aplic transformata Z este reprezentat de

valorile obinute prin relaia kTyyk .Acest proces de obinere a irului de numere ky , din valorile funciei de timp

)(ty pentru ekTt , se numete proces de eantionare, avnd variabila eT caperioad de eantionare.

Transformarea Z invers

Aceasttransformare are ca obiectiv determinarea secvenei )()( ekTyky ndomeniul timp ekTt , atunci cnd se cunosc transformata )(zY i domeniul de

Rc

Re{z}

Im{z}

Fig.2.11p1

p2


12/31

57

convergen al acesteia. Suportul teoretic pentru aceasta transformare invers lreprezint teorema integralei Cauchy(cunoscut din teoria funciilor de variabilcomplex), referitoare la integrarea de-a lungul unui contur ce nconjoaroriginea planului complex n sensul acelor de ceasornic. Aceast teorem afirmc:

0,00,1

21 1

kptkptdzz

jI k

(2.35)

ntr-adevr, considernd conturul un cerc n planul z, ca n Fig.2.12 iexprimnd variabilazn coordonate polare, jez , cu djedz j )2,0[ integrala (2.35) devine:

0,1

}0{,0)(sin

)1(222

1 2

0

2

)1(1

kpt

Zkptkce

ejkjk

edeje

jI

jkk

kjkjkk

jkjk

(2.36)

Prin schimbarea variabilei de sumare k cu n i multiplicarea relatiei (2.29)

0

)(k

k

kk zyyZkTyZzY , care defineste transformata )(zY cu termenul1kz ,

se obine :

0

11)(

n

nn

kkzyzzYz (2.37)

Iar prin integrarea relatiei (2.37) de-a lungul unui contur nchis-cerc prindomeniul de convergen, vom avea :

dzzj

ydzzzyj

dzzzYj

nk

n

nk

n

nn

k 1)(

0

1

0

1

21

21)(

21

(2.38)

In conformitate cu rezultatul (2.35)

0,0

0,1

2

1 1

kpt

kptdzz

jI k

, integrala din

ultima paranteza a relatiei (2.38) este nul pentru 0 nk si unitar pentru

0 nk , adic pentru nk . Astfel, suma

0n

ny se reduce doar la termenul ky ,

adic: ][)(2

1 1kyydzzzY

j k

k

Prin revenirea la variabila n pentru variabila discret k, se obine formula cedefinete transformata zinvers, notat convenional cu ...1Z :

Re{z}

Im{z}

Fig.2.12


13/31

58

dzzzYj

zYZyny n

n

11)(

2

1)}({][

(2.39)

Conturul , de-a lungul cruia se calculeaz integrala de inversiune trebuie saparin domeniului de convergenal transformatei )(zY , i trebuie parcurs n senstrigonometric, adic n sens invers acelor de ceasornic.

Altfel spus, o funcie de timp tyty inv poate fi obinut dintr-un ir denumere 0, kyk nlocuind, de exemplu

eTtk . Aceasta este numai una din

funciile nvelitoare, o funcie continu care trece prin punctele kyk, . Acestproces se numete proces de acoperire uniform:

Ttkkinv

ytyty

De exemplu: Presupunem 0;12

k

k

kyk .

Putem crea o funcie de timp 1

2

T

t

T

t

tyty inv

Prin acest proces de acoperire, valorile irului sunt forate s fie consideratedistribuite egal n timp, chiar dac irul, posibil, nu are nimic de-aface cu variabilatimp.

Relaia dintre transformata Laplace si transformata Z

Fie )(ty un semnal analogic cauzal si )(tye semnalul rezultat prin

eantionarea sa ideal, modelat matematic prin relaia :

0

)()()()()(n

eeTe nTtnTyttyty (2.40)

Transformata Laplace a acestuia este:

00

)()}({)()}({n

snT

e

n

eeeeenTynTtLnTytyL (2.41)

Dar semnalului eantionat i se poate asocia semnalul discret:)(][ en nTynyy , (2.42)

caruia i corespunde transformata Z:

0

][)(]}[{n

nznyzYnyZ (2.43)

Cu notatia (2.42) transformata Laplace a semnalului eantionat se mai poate scrie:

0

][)}({n

snT

e enytyL (2.44)

Comparnd formulele (2.43) i (2.44) se pot stabili relaiile de trecere de latransformata Laplace a semnalului eantionat la transformata zi invers:

zetyLnyZzY

sTe )}({]}[{)( (2.45)

sTe eznyZtyL

]}[{)}({ (2.46)


14/31

59

Corespondenta dintre planele s i z

Schimbarea de variabil utilizat n relaiile (2.45) i (2.46): sTez ,realizeaz o aplicaie a planului complex s pe planul z i invers. Exprimndvariabila s n form algebric i variabila z n form polar, schimbarea devariabildevine:

jTjTjTjsT

eeeeee

;)(

(2.47)Rezolvarea sistemului cu necunoscutele i conduce la soluia: lnln 1

TT (2.48)

kT

kkT 00 22

; (2.49)

cuTT

2;0

Concluzia este c unui punct 000

jez din planul z i corespunde n planul s, oinfinitate de puncte echidistante, situate pe o paralela la axa imaginar( 0 ):

jksjkjkjjsk 00000 )()( (2.50)Aceasta coresponden este ilustrat nFig.2.13

Se pot face urmtoarele observaii importante:

>>1.Fiecrui punct dinplanul zii corespunde nplanul s cte un punct n fiecarefie de lime , adic:

2,

22,

2],( 000 kkkk (2.51)

Astfel corespondena nu este biunivoc.

>>2.Considernd transformarea de laplanul slaplanul z, sunt valabile relaiile :

10

100

10

T

T

T

e

e

e

(2.52)

0

Re{z}

Im{z}

Fig.2.13

0

0z

2/

Re{s}

Im{s}

00 ln1

T

0

2/

2/3

2/3

0s

jss 01

jss 01

202 jss

Plan s Plan z


15/31

60

Aceasta arat caxa j dinplanul strece n conturul cercului de razunitate dinplanul z, semiplanul stng din planul s trece n interiorul cercului unitate, iarsemiplanul drept n exteriorul cercului unitate.

innd cont de observaiile 1. i 2., se poate afirma c dac punctul0

z baleeaz ntregplanul z, atunci punctul

0s acoper o fie de lime dinplanul s,

situat n intervalul

2

,2

, iar punctele ks cu Zk , vor acoperi de

asemenea cte o fie de lime din planul s, situat n intervalul

2,

2kk .

Prin urmare, fiecare fie din orizontala de lime din planul s setransform n ntregplanul z, conform corespondenei dinFig.2.14

Concluzie : cu alte cuvinte, transformata Laplace a semnalului eantionat esterepetarea periodic a funciei )(zY n fiecare dintre aceste fii.

Formula cu reziduuri de calcul a transformatei Z directe.

Aceast formul folosete transformata Laplace a unei funcii pure de timp)(ty

, iar transformata Z se aplic unei funcii de timp sau unei funcii nvelitoare tyty inv , chiar dac, conform teoriei, transformata Z se aplic unui ir pur denumere 0, kyk .

Ylui1

1

1Re

po liiT

ezYztyZzY (2.53)

Pentru cazul polului avem urmtoarea formul de calcul al reziduului: ( polul estepunctul

0z i are ordinul de multiplicitate m )

1000

lim!1

1,Re

mmf

mfz

(2.54)

n aceast formul )(sY este transformata Laplace a lui )(ty sau tyinv i expresia Y se obine prinsimpla nlocuire a lui s prin , adic

ssYY .

0

Re{z}

Im{z}

Fig.2.14

0

0z

2/

Re{z}=

Im{z}= j

2/

2/3

2/3

jss 01

Plan s Plan z

M

B

AL


16/31

61

Exemple :

>>1.Fie 1ky ; 0k ; Acest ir poate fi obinut din )(1)( tty sau din 1

T

tkk

yty , pentru 0t

Aplicm formula fundamental:

0

10,11k

kzkZtZzY

Folosind dezvoltarea n serie Laurent, n caz general :

zzzz

1

1............1 32 cu raza de convergen 1cR (vezi Breviar)

Deci

01 11

11

k

k

z

z

zzzY cu cR1z

Acelai rezultat se obine prin cea de-a doua metod.

Y

11

11Re1

111

luipo lii

TezztZzY

YsYs

tL

Pentru cazul polului avem urmtoarea formul de calcul al reziduului: (polul estepunctul

0 i are ordinul de multiplicitate k)

1000

lim!1

1,Re

kkf

kfz

n cazul nostru avem polul 00 , de ordin de multiplicitate 1.

Aplicnd formula i considerm

s

1z;11

1

1

1lim

1

11lim

!0

1

1

11Rez

110

sY

101

cT

luipo lii

TT

Rz

z

zezzY

ezezzY

2.Considerm 0; kkTyk . Putem crea o funcie de timp (nvelitoare):

0

2

............

1

k

kkTzkTZzY

s

sYtty

Fiind mai dificil de evaluat dezvoltarea n serie de mai sus, vom folosi a douametod:

21lui

122 1

11Re

1

po liiTez

zzYs

sY

Aplicnd formula cu reziduuri pentru polii de mai sus, avem polul 0 cuordin de multiplicitate 2k .


17/31

62

2

21

1

21

1

0

)1(

10

12

12

2

0

1

11lim

1

1lim

1

11lim

!12

1

zTzzY

z

Tz

ez

Tez

ezzY

ezzY

T

T

T

T

Formula fundamental de calcul al Transformatei Z invers

Avnd o funcie complex )(zY care este analitic ntr-un domeniu

21 RzR i este orice curb simpl ce separ 1R i 2R , atunci:

dzzzYj

y k

k

1

2

1

Mai simplu, putem spune c este orice curb nchis din planul z careinclude toi polii finii ai lui 1kzzY .

Dac funcia )(zY este raional i cauzal, atunci integrala de mai sus sepoate calcula simplu folosind teorema reziduurilor(vezi Breviar).

1

11 Re)(2

1][

kzzY

po lii

kk zzYzdzzzYj

ky

(2.55)

Daca0

z este polul de ordin de multiplicitate m , vom avea:

1011

0 )(lim!1

1,Re

0

km

m

m

zzzzYzz

dz

d

mzfz (2.56)

irul rezultat ky poate fi interpretat ca fiind valorile unei funcii de timp:

kTtk tykTyy

Exemplu:

Fie

1

1

1

1

1

1Re

1

1

kzz

po lii

k

k zz

zyz

zY

Trebuie s verificm dac numrul de poli este diferit pentru diferite valori ale lui

k.Pt.

zz

po lii zzyk

1

1

1

0

1

1

10 ; deci vom avea 2 poli: 0, 1.

Conform formulei 1 vom avea:

0111

1

11

!0

11

1

10

!0

1limlim

100

zzz

zzzy

zz

Pt.

1

1

1

1

1

1Re1

k

zz

po lii

k

k zz

zyk ;

Avem un singur pol n 1z , cu ordin de multiplicitate 1


18/31

63

11

11lim

!0

1 11

k

zk z

zzy

Teoremele transformrii Z

Aceste teoreme expun cteva proprieti utile pentru calculul rapid al

transformatei Z:

>>Teorema liniaritii: Dac 0k

a

ky sau tya i

0kb

ky sau tyb admit

transformata Z: tyZyZzY

tyZyZzY

bb

k

b

aa

k

a

atunci, pentru orice , reale sau complexe, semnalele sunt liniare daca: zYzYyyZ babkak (2.57)

>>Teorema deplasr i i n real(domeniul timp)Dac exist corespondena:

)(],[ zYny cu domeniul de convergen cRz , atunci deplasarea n

timp, de tip ntrziere sau de tip avans, conduce la multiplicarea transformatei cufactotul noz respectiv noz :

)(][;)(][ zYzpnyzYzpny pp (2.58)Obs(important):1. ntrzierea cu 1p , respectiv avansul cu 1p , conduc la multiplicarea

transformatei cu )(zY cu1

z respectiv cu z. Acest fapt determin atribuireadenumirilor de operator de ntrziere unitar(z-1) respectiv de operator de avansunitar(z).

2. n cazul transformatei Z unilaterale(cazul semnalelor cauzale), proprietateareferitoare la transformata z a secvenei ][ pny are o formmai special, deoareceavansul cu p uniti poate transforma semnalul cauzal n semnal necauzal.

kp

k

pk

k

p

pk yZzyzYzpTtyZyZ

zYunde;)(

1

0

)( (2.59)

unde termenul care se scade reprezint exact transformata Za poriunii de semnal

devenit anticauzal n urma deplsrii. Evident acest termen poate fi nul dacsuportul semnalului ][ky este pentru 1kk iar avansul s-a realizat n numr de pai

1kp .

>>Scalarea n z:

a

zYnyaZ n ][ (2.60)

Aceast proprietate de scalare, evideniaz faptul c printr-o multiplicare asemnalului cu o funcie exponenial na se poate modifica poziia polilor i a

zerourilor transformatei Z, n sensul apropierii sau deprtrii de origine.


19/31

64

>>Teorema valorii iniiale:Aa cum indic i numele, teorema este valabil numaipentru semnale cauzale, i permite calculul esantionului ]0[y direct dintransformata )(zY , fr evaluarea expresiei ][ny . Exprimarea transformatei Z aunui astfel de semnal:

0 2

...][

....]2[]1[

]0[][)(n n

n

z

ny

z

y

z

yyznyzY

ceea ce conduce imediat la relaiapentru determinarea valorii iniiale: zYy

zlim]0[

(2.61)

>>Teorema valor ii finale: Teorema este valabil de asemenea pentru semnalecauzale. Se considersemnalul auxiliar:

][][]1[][ nunynynx Transformata Zpoate fi exprimat n 2 moduri:

a).Prin utilizarea proprietatii de deplasare (2.59): ]0[)()1()(]0[)()( zyzYzzYyzYzzX b).Prin utilizarea definiiei:

....])[]1[(.....]1[]2[(])0[]1[(][)( 1

0

nn

n znynyzyyyyznxzX

Egalarea limitelor functiei )(zX pentru 1z , obinute cu cele 2 exprimri,conduce la relaia de calcul a valorii finale direct din )(zY

zYzyz

1][ lim1

(2.62)

Daclimita n domeniul timp exist, atunci funcia zYz 1 nu are poli pesau nexteriorul cercului unitar dinplanul z.

>>Teorema deplasrii n complex.

kkk yZzYyZ zYunde;1 (2.63)Demonstraie:

0 0

1

1

1

1k k

k

z

k

k

k

k

w

k

k zYzYzyzyyZ

k

>>Teorema sumei de convoluie reale

Fie ty a i ty b dou funcii original, avnd: zYtyZ aa i zYtyZ bb

Aceast teorem, una dintre cele mai importante din Teoria Sistemelor, afirm ctransformata Za aa numitei sume de convoluie a 2 irurieste chiar produsulalgebric al transformatelor Z corespunztoare:

zYzYTikyiTyZ bak

i

ba

0

(2.64)

Invers, transformata Z invers a produsului a 2 transformate Z este suma deconvoluie:


20/31

65

Sistem pur discret

Fig.2.15

0kk

y 0kk

u

ir de numere(vector)

ir de numere(vector)

k

i

k

i

bababa iTyTikyTikyiTyzYzYZ0 0

1 (2.65)

2.5. Sisteme pur discrete n domeniul timp

Un sistem pur discret n timp este un sistem orientat, ale crui intrri sunt

iruri de numere i ieirile sunt iruri de numere de asemenea. Relaia intrare -ieirepentru un sistem cu o intrare i o ieire este o ecuaie cu diferene.

>>Implementarea de ordinul I a unui sistem pur discret

Vom considera o ecuaie cu diferene de ordinul I:1k;1 kkk buayy

Aceast relaie poate fi materializat printr-un program ce ruleaz pe un calculatori n afara coeficienilor a, b, care sunt parametrii structurali, trebuie s maicunoatem condiia iniial 011 yy kk .

Se poate nlocui k prin k+1 i relaia anterioara poate deveni echivalent cuurmatoarea relaie:

0k;11 kkk buayy Prima relaieeste mai potrivit pentru o implementare pe computer, adic este o

relaie pur recursiv, rezultatul actual este dependent de rezultatele anterioare i deintrarea actual i de cele anterioare. Relaia 2 este mai potrivit pentru o tratareanalitic deoarece totul este definit pentru 0k .

Abordarea analitic: Aplicnd transformata Z relaiei a 2-a i folosindTeorema anticiprii n real se obine:

liber

00

fortat

00

termenul

termenul

zH

buy

az

zzU

az

zbzY

uzUzbzaYyzYz

Observm c ieirea este suma a 2 termeni:

zYzuzHzY lzYf

zYf - termenul forat care este dependent numai de intrare (mai precis nu

depinde de condiia iniial)

;zUzHzYf unde az

zb

zH

Operatorul

nuleinitiale.condzU

zYzH ; este funcia de transfer nz.


21/31

66

Def:Funcia de transfer n z este raportul dintre transformata z a mrimii de

ieire i transformata z a mrimii de intrare, n condiii iniiale nule, dac i numai

dac el este acelai pentru orice variabil de intrare.

zYl - termenul liber i este dependent numai de condiiile iniiale (mai precisnu depinde de variabila de intrare).

00 buyaz

zzYl

Aici, termenul liber pare c depinde de 2 condiii iniiale0

y i0

u dei ecuaia cudiferene, de la care am pornit i care este echivalent cu prima, este de ordinulnti i trebuie s depind de o singur condiie iniial.

Totui se poate porni execuia programului pe baza primei relaii cu osingur condiie iniial, deoarece punnd 1k , vom avea 100 aybuy . Astfel

rezult termenul liber 1 ay

az

zzYl ; dependent deci de o singur condiie iniial.

Rspunsul general n timp (forat i liber), poate fi uor calculat aplicndtransformata Z invers.

k

i

likik kyuhzYZy

0

1

unde zHZhk1 - reprezint funcia pondere discret ca transformat Zinvers

a unei funcii de transfer n z.n cazul exemplului considerat,

)(

0000

1

00

Re

zfluipo lii

k

l

k

l

l

buyaybuyzaz

zzy

buyaz

zzY

kk

(conform formulei de calcul a transformatei Z inverse)

2.6.Descri erea intr are-ieire a sistemelor pur discrete n timp.Pentru sistemele liniare invariante n timp discret, relaia intrare-ieire este o

ecuaie cu diferene ordinar cu coeficienii constani:

0a; n00

m

i

iki

n

i

iki ubya (2.66)

Vom avea situaiile:

mnsistem impropriu (ne-cauzal)Aplicnd transformata Z sistemului (2.66), obinem:

m

i

i

ik

ki

k

i

i

i

ik

ki

k

in

i

i zuzuzbzyzYza0

1

0,0

1

0,00

Vom avea:

zL

zM

zL

zIzuzHzY

zY

zY

l

f

zHunde;

)(zH funcia de transfer n z.


22/31

67

01

01

...........

.........

azazazL

bzbzbzM

n

n

m

m

Funcia de transfer n z determin numai rspunsul forat, care va avea n domeniultimp expresia:

k

iikik uhy 0 (2.67)

zHZhk1 - funcie pondere i reprezint rspunsul sistemului la un rspuns

unitar n condiii iniiale nule. Din aceast cauz funcia pondere se mai numeterspuns la impuls

2.7. Descrierea n spaiul strilor a sistemelor discrete n timp

Un sistem discret n timp poate fi exprimat printr-o ecuaie cu diferene deordinul I n form matricial:

kkk

kkk

DuCxy

BuAxx 1

(2.68)unde matricile pxrDnxrCpxnBnxnA ;;;

pentru 1p avemB b

pentru 1r avem C Tc Avnd o funcie de transfer n z, descrierea n spaiul strilor poate fi

obinut ca la sistemele continue n timp, folosind aceleai metode. Orice formcanonic de la sistemele continue n timp poate fi obinut de asemenea pentrusistemele discrete n timp, cu aceleai formule, considernd variabila z n locul

variabilei s.De exemplu, polinomul 0..... bsbsM

m

m , va deveni prinmm zs polinomul

01...... bzbzbzM m

m .Folosind transformata Z, ecuaiile de stare devin:

zBuzAXXzXz 0 Reamintim c transformata Z a unui vector este vectorul transformatelor Z. Deci:

zX

z

zX

zX

x

x

x

x

n

k

k

k

k

n

2

1

2

1

X

.

.

.

.

.

.

Prelucrnd ecuaia, vom avea:

zBuAzIXAzIzzX

zBuzXzAXzzX

z

1

0

1

0

unde vom nota cu z transformata Z a matricei de tranziie k kZAzIAzIzz

111


23/31

68

Vom avea: zBuzz

XzzX 1

0 (2.69)

Rspunsul general n timp (adic n momente ekT ) n raport cu vectorul de stare,este:

1

0

0 1k

i

ik BuikXkx (folosind pentru ultimul termen, teorema

produsului de convoluie a 2 iruri de numere)Transformata Za ieirii se obine prin simpla aplicare a transformatei Z celei

de-a doua ecuaii din sistemul (2.68) i prin substituirea lui X(z) .Vom avea:

zUDBzCz

XzCzY

zDUzCXzY

zH

10

unde DBzCz

zH 1 este matricea de transfer n z.

Pentru sisteme cu o intrare i o ieire, matricea de transfer n zeste chiar funciade transfer nz.

2.8. Structura sistemelor de reglare numeric monovariabilConducerea proceselor bazat pe algoritmi de reglare implementate pe

echipamente numerice (sisteme bazate pe microprocesor) este referit curentdrept conducere numeric sau reglare numeric.

nFig.2.16 se prezint schema-bloc a structurii utilizate n reglarea numericmonovariabil.

Se remarc urmtoarele aspecte fundamentale n funcionarea sistemului ncircuit nchis:==>>Procesul este un sistem continuu, avnd drept mrime de intrare semnalulcontinuu cuantificat )(tu i mrime de ieire semnalul continuu analogic )(ty .

Circuitul electronic CAN-convertorul analog/numeric convertete semnalulcontinuu )(ty n semnalul numeric )(ky . Regulatorul numeric elaboreaz, pe baza

Sistem deachizitie(CAN)

000000010010 Regulator

numericSistem decomanda(CNA)

000000010010 Sistem

partea fixay(t)u(t)u(k)y(k)

Ref(k)

CLK

Fig.2.16


24/31

69

unui algoritm numeric ce prelucreaz semnalul Ref(k) i )(ky , semnalul numeric decomand )(ku . Semnalul )(ky achiziionat de regulatorul numeric, ct i )(ku elaborat de regulatorul numeric sunt semnale numerice codificate binar,corespunztor unei reprezentri de tip ntreg.==>>Algoritmul numeric implementat pe RN poate necesita operaii n virgul

mobil, caz n care se fac conversiile aferente. Referina Ref(k) poate fi livrat nreprezentare de tip ntreg sau virgul mobil, n funcie de particularitilealgoritmului de reglare. Semnalul )(ku este convertit de CNA-convertornumeric/analogic n semnalul continuu cuantificat )(tu . Blocul CLK permitesincronizarea temporal a blocurilor CAN, RNi CNAi perioada acestui ceas senumeteperioad de eantionare.==>>Software-ul dedicat conducerii numerice realizeaz o gestionare n timp reala resurselor sistemului de calcul, corelat cu evoluia temporal a procesului reglat.De aceea, blocul CLK este de fapt un ceas de timp real pentru procesul supus

automatizrii.==>>Este evident c blocul RN, avnd drept intrare i ieire semnale numerice iexecutnd un algoritm de tip iterativ este un sistem automat numeric sau un sistem

pur discret. Ca principiu general de funcionare, ceasul de timp real activeazcitirea CAN, execuia unei iteraii a algoritmului de reglare implementat pe RNiscrierea CNA la intervale de timp echidistante, intervalul de timp ntre 2 activriconsecutive numindu-se perioad de eantionare.

Din punct de vedere a naturii semnalelor din structura de reglare dinFig.2.16, toate semnalele sunt electrice (n general n game standardizate de

tensiuni i cureni). Dup cum se tie de la studiul sistemelor continue, n interiorulprii fixe se proceseaz semnale continue de naturi diferite.

2.9. Sisteme automate cu eantionare

Sistemele automate cu eantionare sunt acele sisteme n care informaia estetransmis numai la anumite momente de timp, numite momente de eantionare. Unsistem cu eantioane poate cuprinde o parte continu (ntre elementele creiainformaia se transmite n mod continuu) i o parte cu eantionare. Semnaluleantionat se poate prezenta sub forma unor impulsuri de o anumit amplitudine i

o anumit durat (semnale modulate n amplitudine i semnale modulate n durat).O alt categorie de sisteme cu eantionare o constituie sistemele numerice n caresemnalele eantionate se prezint sub forma unui cod numeric.

nFig.2.17 se prezint un sistem liniar cu eantionare:

SCN EXInstalatie

Tehnologica(t)

u(t)

(t)

V(t)

Fig.2.17

DEDEe(t)+

_

e*(t)


25/31

70

DEdispozitiv de eantionareSCNsistem de conducere numericEXextrapolatorreconstituie semnalul analogic din cel eantionat.

Semnalele ce se transmit unui sistem cu eantionare nu sunt continue ntimp, ci sub forma unor impulsuri aplicate la anumite perioade de timp, ntre 2

impulsuri semnalul este nul. Operaia de eantionare poate fi realizat cu ajutorulunui element fictiv denumit eantionator (DE), semnalul te* avnd forma unuitren de impulsuri de durat p . Dac durata p a impulsului este mic n raport cu

perioada eT atunci eantionarea este uniform.n acest caz, din semnalul )(te continuu, aplicat la intrarea eantionatorului

rezult semnalul discret tep constnd dintr-o succesiune de impulsuri de perioad

eT , durat p i amplitudine )( ekTe . Considernd funcia )(tp de forma unui tren deimpulsuri unitare de perioad eT i durat p ca n Fig.2.18 atunci semnalul

eantionat devine: tetptep * (2.70)

Semnalul periodic )(tp poate fi descompus n serie Fourier exponenial:

k

tjk

keeCtp

(2.71)

undee

e T 2 - frecvena de eantionare iar kC sunt coeficienii Fourier al

dezvoltrii.

Tjk

eC

dteT

dtetpT

C

e

pjk

k

T ptjk

e

tjk

e

k

e

eee

1

110 0

Pentru simplificarea metodelor de analiz i sintez, eantionatorul real senlocuiete cu eantionatorul ideal pentru care trenul de impulsuri )(tp senlocuiete cu un tren de impulsuri Dirac.

n e

n

Te

nTttete

tnTttp

*

Dac presupunem c pentru 0,0 tet

(t)

0 p T T+p 2T+p 3T+p-T+p-T+p 2T-T-2T

t

Fig.2.18


26/31

71

0

*

n

ee nTtnTete

Aplicnd transformata Laplace relaiei anterioare avem:

0 0

*

n n

snT

eeeeenTenTtLnTesE

Relaia anterioar indic posibilitatea de calcul a transformatei Laplace asemnalelor eantionate.

Exemple:

1.Considerm semnalul continuu treapt unitar

0 0

**1

1;1

n n

nTsnTseenTsEteL

ssEtte

Membrul drept al relaiei de mai sus este suma unei progresii geometrice cu raiaTse i va avea valoarea:

q

qesE

nTs

1

1ageometricaprogresia;11 1

*

2.Considerm un semnal de tip ramp:

20

**

2

1

1s E;1

Ts

Ts

n

nTs

e

TenTesEteL

sttte

(prin evaluarea seriei)

3.Considerm

sete t 1s E;

0 0

**

1

1

n nsT

snTnTsTn

eeeesEteL

Din cele prezentate n exemple rezult expresii n funcie de variabila Tse .Dacse face schimbarea de variabil Tsez :

TT

t

ez

z

zezEepentru

z

TzzEttpentru

zz

zzEtpentru

1

21

1

1

1

1te

11te

1111te

Schimbarea de variabil propus aduce transformatele )(zE la expresiipolinomiale nzsauz-1la fel ca i transformata Laplace pentru funcii continue.

Eantionatoarele ideale nu pot fi realizate practic datorit faptului c nu se

pot realiza impulsuri de amplitudine infinit aa cum s-a presupus la eantionatorulideal.


27/31

72

Impulsurile reale de amplitudine finit nu pot conine ntreaga informaiedeoarece aria lor tinde ctre zero dac durata tinde ctre zero. n acest caz,semnalul eantionat nainte de a fi aplicat prii continue a sistemului, trebuie

prelucrat de ctre un dispozitiv, ce se va defini dispozitiv de reconstituire, avndrolul de a reconsitui informaia constituit de semnalul neeantionat.

Eantionatorul ideal permite o analiz matematic mai simpl a sistemelorcu eantionare, dar aceast substituire a eantionatorului real cu cel ideal trebuiecompletat cu dispozitivul de reconstituire, astfel nct ansamblul dispozitiv deeantionare real plus dispozitivul de reconstituire s corespund situaiei reale dinsistem.

Dispozitivul de reconstituire asigur o valoare )(tu diferit de zero pe totintervalul dintre momentele de eantionare. Dac pe tot intervalul ee TkkT )1(, semnalul )()( ekTutu , atunci dispozitivul de reconstituire poart denumirea deextrapolator de ordin zero, care transform deci un impuls Dirac de arie )( ekTu ntr-

un impuls de durat eT i amplitudine )( ekTu .Conform celor exprimate n cuvinte vom avea:

se

s

Tse

skTutL

TttkTuLsH

Ts

e

1111

2.10. Metode aproximative de discretizare:

*1.Aproximarea operatorului de derivare:>>Aproximarea napoi:

Pentru o funcie de timp x(t), creia i notm valorile eantionate prin kTXXk , aproximarea napoi a derivatei de ordinul I este:

T

XX

dt

tdX kk

kTt

1

>>Aproximarea nainte:

Pentru acelai X(t), aproximarea nainte a derivatei de ordinul I este:

T

XX

dt

tdx kk

kTt

1

Exemplu:

Considerm un sistem descris prin ecuaiile de stare:BuAxx

Aproximarea napoi conduce la:

BTAITGGuFXX

BuTAITXTAIX

BuAXT

XX

kkk

k

G

k

F

k

kkkk

11

1

1

1

1

1

;TA-IFunde

Aproximarea nainte conduce la:


28/31

73

kkkk BuAX

T

XX

1

TBG;TAIFundeX1-kk

11k

1

1

kk

kkk

k

G

k

F

k

GuFXpunand

GuFXX

uTBXTAIX

*2.Aproximarea operatorului de integrareConsiderm c operatorul de integrare se aplic unei funcii u(t) obinndu-

se:

t

tdutxtx

00

Pentru c exist ,k; 000 tTZk astfel nct:

t

Tk

t

Tk

k duxduTkxtx

0 0

00

Integrala este aproximat prin suma nainte sau napoi de dreptunghiuri sautrapeze.

>>Aproximarea integralei prin dreptunghiuri napoi:

k

ki

ikk uTXX10

0

>>Aproximarea integralei prin trapeze napoi:

k

ki

ii

kk

uuTXX

1

1

0

0 2

*3.Substituia Tustin:Bazat pe aproximarea operatorului de integrare, reprezentat n domeniul

complex ca nFig.2.19, printr-o sum de trapeze, se obine un algoritm echivalentpentru operatorul s. Substituia Tustin este o procedur de discretizare a funcieide transfer continue.

Folosind:

k

ki

k

ki

iikkiikk uuT

XXuuT

XX1

1

1

111

0 0

00 22

Fcnd diferena ntre cele 2 relaiivom avea:

112

kkkk uuT

XX

Aplicnd transformata Z relaiei de mai sus, vom avea:

1

1

2

z

zTe

U(z

Fig.2.18

U(t)

s

1

X(t)X(z)


29/31

74

11

2zH:zintransferde

12

111

z

zT

zu

zXfunctia

zuzT

zXz

care ne permite s realizm o coresponden ntre operatorul s i operatorul z.

112

11

21

zz

Ts

zzT

s

Pentru o funcie de transfer )(sH putem obine funcia de transfer n z:)(zH prin simpla substituie:

1

12

z

z

Ts

sHzH

Relaia de mai sus este numit i transformarea biliniar. Ea realizeaz ocoresponden ntre planul s i planul z care transform ntreaga ax j din planul

s ntr-o parcurgere complet a cercului de raz unitar din planul z.


30/31

75

Breviar:

Fie xC inelul seriilor formale cu coeficienii compleci. O serie formal

0n

n

nXCS se numete serie de puteri convergent dac*Cz nct seria

numeric 0

nz

n

nC s fie convergent.

Se spune c seria S este absolut convergent n punctul *Cz dac serianumeric real

0n

n

n zC este convergent.

Fie CA o mulime nevid; se spune c seria S este uniform convergent pe A

dac irul de funcii

m

n

n

nm zCzS0

este uniform convergent pe A.

Fie Cz 0 un punct fixat; seria de puteri

0

0

n

n

n zzC se numete serie de puteri

centrat n punctul0

z definit de seria S.

Teoria seriilor de puteri n corpul complex C este analog teoriei n corpul realR.Fie

0n

n

n xCXCS i Cz 0 - fixat.

Presupunem c seria S este convergent n punctul 01 zz (deci esteconvergent) i fie 001 zz . Atunci seria de puteri centrat n 0z este absolut

convergent n orice punct z din discul 0zz i uniform convergent n discul

compact rzz 0 , pentru orice r cu r0 .

Fie acum:

0n

n0aconvergentCseriasup n

r rRrR

evident R0 i R se numete raza de convergen a seriei S, iar discul RCzRzB 00 z-z, se numete discul de convergen al seriei S.

Propoziie: Fie CA o mulime deschis i CAf : o funcie analitic pe A.Atunci exist derivatele complexe de orice ordinale lui f n A i ntr-o vecintate aoricrui punct Az 0 avem:

0

0!n

nn

zzn

zfzf

Definiie:Se numete serie Laurent centrat n punctul Cz 0 orice serie de funciide forma:

Zn

n

n CzzC n0 C;

Seria de mai sus se numete convergent dac seriile

0

0

n

n zzC i

1 0n

n

n

zzC sunt simultan convergente i n acest caz suma seriei este

urmtoarea:


31/31

0

00

1

0

n

n

n

n

n n

n

n

n zzCzzCzzC

Seria

1

0

n

n

n zzC partea principal a seriei Laurent iar

0

0

n

n

n zzC

partea Taylor a seriei Laurent

Exemple de dezvoltri n serie, cu razele de convergen corespunztoare, caresunt utilizate frecvent:

1....;..........11

1

R..;..........!2

1.......!4!2

1

R..;..........!12

1.............!3!1

R...;..........!

............!2!1

1

32

c

242

c

121

3

c

2

c

nn

nn

nz

Rzzzz

n

zzzz

n

zzzz

n

zzze

1.;..........11

1 32

cRzzzz

Reziduur i .Teorema reziduur il or.

Definiie: Fie

n

n

n zzCzf 0 dezvoltarea n serie Laurent a funciei f n

coroana circularacoroana,0;0 rzB .Coeficientul 1C se numete reziduul funciei f n punctul singular 0z i se

noteaz 0,Re zfz .Propoziie: Fie CrzBf ,0;: 0 o funcie olomorf pe coroana rzB ,0;0 ; cu0r i fie Cz 0 un pol de ordinul 0k pentru f. Atunci:

100 lim0

!1

1,Re

kk

zz

zfzzk

zfz

Teorema lui Cauchy a reziduurilor: Fie CD un domeniu i

CaaaDf k ,.....,,\: 21 o funcie olomorf pentru care kaaa ,...., 21 sunt punctesingulare izolate. Fie k D un compact cu frontiera Frk curb de clas C1pe

poriuni orientat pozitiv astfel nct: k1,2,.....,j, kaj . Atunci:

k

j

jafzidzzf1

,Re2

Sfrit breviar.................................

Esantionare Discretizare

Documents

Transcript of Esantionare Discretizare