5/12/2018 coliniaritateaatreipuncte - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/coliniaritateaatreipuncte 1/3

 

Coliniaritatea a trei puncte. Aria unui triunghi

M1(x1,y1), M2(x2,y2), M3(x3,y3); M1, M2, M3 coliniare ⇔   0=∆ , unde1

1

1

33

22

11

 y x

 y x

 y x

=∆

M1, M2, M3 necoliniare ∆=⇒∆

2

1

321MMM

 A , unde1

1

1

33

22

11

 y x

 y x

 y x

=∆

Test 1

1. Se dau punctele A(2;3),B(-2;2),C(-1;5),D(1;6),E(-3;-1).

a) Să se calculeze aria triunghiului ABC;

 b) Să se calculeze aria patrulaterului ABCD;

c) Să se verifice dacă punctele B,C,E sunt coliniare;

d) Să se determine un punct M astfel încât punctele A,B,M şi C,D,M să fie coliniare.

2. Se dau punctele An(n,n2), n∈N.

a) Să se calculeze aria triunghiului A 0A1A2;

 b) Să se demonstreze că aria ∆AnAn+1An+2 nu depinde de n;

c) Să se determine valorile lui n pentru care punctele A0, A1, An sunt coliniare;

d) Să se arate că oricare trei puncte diferite Am, An, A p sunt necoliniare.

3.Să se arate că punctele A(-5;5),B(0;2),C(10;-4) sunt coliniare.

4.Fie dreptele (d1): x-11y-29=0, (d2): x+ y-5=0 şi (d3): 5x-7y-1=0. Să se afle aria triunghiului determinat d

 punctele de intersecţie a celor trei drepte.

5. Fie M(3;3) şi triunghiul ABC determinat de dreptele (AB):x+2y-4=0, (BC):3x+y-2=0, (AC):x-3y-4=0.

a) Determinaţi coordonatele vârfurilor triunghiului ABC;

 b) Să se calculeze aria triunghiului ABC;

c) Determinaţi coordonatele proiecţiilor P,Q,R ale punctului M pe OA,OB şi AB ;

d) Demonstraţi că punctele P,Q,R sunt coliniare.

5/12/2018 coliniaritateaatreipuncte - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/coliniaritateaatreipuncte 2/3

 

Soluţii

1.a) AABC=1/2|∆ |=11/2; b) AABCD= AABC+ AACD=9; c) ∆=0; d) ∆ 1=0, ∆ 2=0⇒ x-4y+10=0, x-2y+11=0⇒ x

12, y=-1/2.

2.a) A0(0,0),A1(1,1),A2(2,4)⇒ ∆ A =1; b) An(n,n2),An+1(n+1,(n+1)2),An+2(n+2,(n+2)2) ⇒ ∆ A =1; c) A0(0,0

A1(1,1), An(n,n2) coliniare⇒ ∆=0⇒ n2-n=0⇒ n=0 sau n=1; d) Am, An, A p coliniare⇒ m=n sau m=

saun=p.

3. Se verifica ∆=0

4. d1 ∩ d2={A(7;-2)}, d2 ∩ d3={B(3;2)}, d3 ∩ d1={C(-4;-3)} ⇒ AABC=1/2|∆ |=24

5.a) A(4;0), B(0;2), C(1;-1); b)  AABOC= AABO+ AAOC=6; c) P(3;0), Q(0;3), R(m,n) şi condiţiile A,R,B coliniar

MR ⊥ AB⇒ ∆=0, mMR mAB=-1⇒ m=2, n=1⇒ R(2;1); d) ∆=0⇒ P,Q,R coliniare

5/12/2018 coliniaritateaatreipuncte - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/coliniaritateaatreipuncte 3/3