coliniaritateaatreipuncte
2
Coliniaritatea a trei puncte. Aria unui triunghi M 1 (x 1 ,y 1 ), M 2 (x 2 ,y 2 ), M 3 (x 3 ,y 3 ); M 1 , M 2, M 3 coliniare ⇔ 0 = ∆ , unde 1 1 1 3 3 2 2 1 1 y x y x y x = ∆ M 1 , M 2, M 3 necoliniare ∆ = ⇒ ∆ 2 1 3 2 1 M M M A , unde 1 1 1 3 3 2 2 1 1 y x y x y x = ∆ Test 1 1. Se dau punctele A(2;3),B(-2;2),C(-1;5),D(1;6),E(-3; -1). a) Să se calculeze aria triunghiului ABC; b) Să se calculeze aria patrulate rului ABCD; c) Să se verifice dacă punctele B,C,E sunt coliniare; d) Să se determine un pun ct M astfel încât punctele A,B,M şi C,D,M să fie coliniare. 2. Se dau punctele A n (n,n 2 ), n ∈ N. a) Să se calculeze aria triunghiului A 0 A 1 A 2 ; b) Să se demonstreze că aria ∆A n A n+1 A n+2 nu depinde de n; c) Să se determine valorile lui n pentru care pun ctele A 0 , A 1 , A n sunt coliniare; d) Să se arate că oricare trei puncte diferite A m , A n , A p sunt necoliniare. 3.Să se arate că punctele A(-5;5),B(0;2),C(10;-4) sunt coliniare. 4.Fie dreptele (d 1 ): x-11y-29=0, (d 2 ): x+ y-5=0 şi (d 3 ): 5x-7y-1=0. Să se afle aria triunghiului determinat de punctele de intersecţie a celor trei drepte. 5. Fie M(3;3) şi triunghiul ABC determinat de dreptele (AB):x+2y-4=0, (BC):3x+y-2=0, (AC):x-3y-4=0. a) Determinaţi coordonatele vârfurilor triunghiului ABC; b) Să se calculeze aria triunghiului ABC; c) Determinaţi coordonatele proiecţ iilor P,Q,R ale punctului M pe OA,OB şi AB ; d) Demonstraţi că punctele P,Q,R sunt coliniare.
-
Upload
andrei-baciu -
Category
Documents
-
view
132 -
download
0
Transcript of coliniaritateaatreipuncte
5/12/2018 coliniaritateaatreipuncte - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/coliniaritateaatreipuncte 1/3
Coliniaritatea a trei puncte. Aria unui triunghi
M1(x1,y1), M2(x2,y2), M3(x3,y3); M1, M2, M3 coliniare ⇔ 0=∆ , unde1
1
1
33
22
11
y x
y x
y x
=∆
M1, M2, M3 necoliniare ∆=⇒∆
2
1
321MMM
A , unde1
1
1
33
22
11
y x
y x
y x
=∆
Test 1
1. Se dau punctele A(2;3),B(-2;2),C(-1;5),D(1;6),E(-3;-1).
a) Să se calculeze aria triunghiului ABC;
b) Să se calculeze aria patrulaterului ABCD;
c) Să se verifice dacă punctele B,C,E sunt coliniare;
d) Să se determine un punct M astfel încât punctele A,B,M şi C,D,M să fie coliniare.
2. Se dau punctele An(n,n2), n∈N.
a) Să se calculeze aria triunghiului A 0A1A2;
b) Să se demonstreze că aria ∆AnAn+1An+2 nu depinde de n;
c) Să se determine valorile lui n pentru care punctele A0, A1, An sunt coliniare;
d) Să se arate că oricare trei puncte diferite Am, An, A p sunt necoliniare.
3.Să se arate că punctele A(-5;5),B(0;2),C(10;-4) sunt coliniare.
4.Fie dreptele (d1): x-11y-29=0, (d2): x+ y-5=0 şi (d3): 5x-7y-1=0. Să se afle aria triunghiului determinat d
punctele de intersecţie a celor trei drepte.
5. Fie M(3;3) şi triunghiul ABC determinat de dreptele (AB):x+2y-4=0, (BC):3x+y-2=0, (AC):x-3y-4=0.
a) Determinaţi coordonatele vârfurilor triunghiului ABC;
b) Să se calculeze aria triunghiului ABC;
c) Determinaţi coordonatele proiecţiilor P,Q,R ale punctului M pe OA,OB şi AB ;
d) Demonstraţi că punctele P,Q,R sunt coliniare.
5/12/2018 coliniaritateaatreipuncte - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/coliniaritateaatreipuncte 2/3
Soluţii
1.a) AABC=1/2|∆ |=11/2; b) AABCD= AABC+ AACD=9; c) ∆=0; d) ∆ 1=0, ∆ 2=0⇒ x-4y+10=0, x-2y+11=0⇒ x
12, y=-1/2.
2.a) A0(0,0),A1(1,1),A2(2,4)⇒ ∆ A =1; b) An(n,n2),An+1(n+1,(n+1)2),An+2(n+2,(n+2)2) ⇒ ∆ A =1; c) A0(0,0
A1(1,1), An(n,n2) coliniare⇒ ∆=0⇒ n2-n=0⇒ n=0 sau n=1; d) Am, An, A p coliniare⇒ m=n sau m=
saun=p.
3. Se verifica ∆=0
4. d1 ∩ d2={A(7;-2)}, d2 ∩ d3={B(3;2)}, d3 ∩ d1={C(-4;-3)} ⇒ AABC=1/2|∆ |=24
5.a) A(4;0), B(0;2), C(1;-1); b) AABOC= AABO+ AAOC=6; c) P(3;0), Q(0;3), R(m,n) şi condiţiile A,R,B coliniar
MR ⊥ AB⇒ ∆=0, mMR mAB=-1⇒ m=2, n=1⇒ R(2;1); d) ∆=0⇒ P,Q,R coliniare
5/12/2018 coliniaritateaatreipuncte - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/coliniaritateaatreipuncte 3/3
