7/26/2019 c8-variabilealeatoare
1/8
1
1
VARIABILE ALEATOARE
2
Variabile aleatoare
au valori ce nu pot fi prognozate cucertitudine
se cunoate distribuia valorilor
tipuri:
- unidimensionale
- discrete
- continue
-multi-dimensionale
3
Variabile aleatoare
Se numete variabilaleatoare pe un spaiu fundamentalEi se noteazprin X, o funcie definitpe E cu valori nmulimea numerelor reale.
Unei variabile aleatoare X i se pot asocia diferite probabiliticu care aceast variabil aleatoare poate lua anumitevalori:
Pr( X = a) - probabilitatea ca X sia valoarea a;Pr( a X b ) - probabilitatea ca X sia valoarea sa
n intervalul [a,b].O variabilaleatoare se numete discretdacea poate lua un
numr finit sau cel mult numrabil de valori.
4
Variabile aleatoare
Exemple: Numrul de internri ntr-un spital ntr-un
interval de timp dat X={0,1,2,...,n,...}.Aceasta este o variabil aleatoare discretinfinit.
Numrul de bacterii ntr-un mililitru de apX={0,1,2,...,n,...}.
Numrul de indivizi cu RH-negativ dintr-ungrup de n persoane luate la ntmplareX={0,1,2,...,n}. Aceasta este o variabilaleatoare discretfinit.
5
Variabile aleatoare
O variabil aleatoare este continu atuncicnd variaz n mod continuu ntr-un
interval i poate lua o mulime
nenumrabil de valori.
Exemple de acest fel de variabile aleatoare
sunt: temperatura corporal, concentraia
unei substane n snge, capacitatea
pulmonar, etc.
6
Variabile aleatoare
Distribuia sau legea de probabilitate a
variabilei aleatoare Xdiscretse noteazprin:
X :1 2 n
1 2
x x ... x
p(x ) p(x ) ... p( nx )
.
Probabilitile care apar n distribuia unei
variabile aleatoare finite X verific:
ip(xi 1
n) 1
= = .
7/26/2019 c8-variabilealeatoare
2/8
2
7
Exemplu -zarul
Probabilitatea de apariProbabilitatea de apariie a uneiaie a uneia
dintre fedintre feele {1,2,3,4,5,6} ale unui zarele {1,2,3,4,5,6} ale unui zar
este 1/6.este 1/6.
8
Variabile aleatoare
Funcia F:RR, definitprin:
==xxi
)p(xix)Pr(XF(x)
se numete o funcie de repartiie pentru variabilaaleatoare X.
9
Variabile aleatoare
Variabilele aleatoare X i Y se numescindependente dac
Pr(X x i Y y) = Pr(X x) Pr(Y y), pentru orice valori posibile x i y ale celor
douvariabile aleatoare, sau n cazul n
care X i Y sunt discrete Pr(X = x i Y = y) = Pr(X = x) Pr(Y = y), pentru orice valori posibile x i y ale celor
douvariabile aleatoare.
10
Variabile aleatoare
Media (sperana matematic, valoareaateptat) a unei variabile aleatoare discreteFie X o v. a. finitavnd distributia:
X :1 2 n
1 2
x x ... x
p(x ) p(x ) ... p( nx )
.
Media sau sperana matematic a lui X se
definete prin:
M(X) x p(xii 1
n
i= = ) .
11
Variabile aleatoare
- Daclegea de probabilitate a lui X este uniform, adic
p(xi) = 1/n , pentru orice i=1,2,...,n, atunci M(X) estemedia aritmetica numerelor x1 , x2, ..., xi, ..., xn.
- Se poate uor arta cdaca este o constanti Y este
o alt variabil aleatoare iar X i Y sunt
independente, atunci:
(6) M(a X) = a M(X)(7) M(X + a ) = M(X) + a(8) M(X + Y) = M(X) + M(Y).
12
Variabile aleatoare
Variaiavariabilei aleatoare X:
V(X) =M( [X- M(X)]2)
sau
V(X) i[xi 1
nM(X)] i
p(x )2==
baterea standardeste:
(X) V(X)= .
7/26/2019 c8-variabilealeatoare
3/8
3
13
Variabile aleatoare -proprietati
V(a X) = a2 V(X)
(a X) = a (X),V(X + a) = V(X)
(X + a) =(X).
Obs.: aeste o constant
14
Variabile aleatoare
VARIABILE ALEATOARE CENTRATE
REDUSE
Unei variabile aleatoare X cu media M(X) i
abaterea standard (X) i se poate asocia o variabil
aleatoare Y numitvariabilaleatoare centratredus
definitprin:
YX M(X)
X
=
( ).
Proprieti: M(Y) =0
(Y)=1.
15
Variabile aleatoare
Variabile aleatoare definite pe un spaiu
fundamental infinit
Cazul discret
Noiunile i proprietile prezentate anterior
pentru variabilele aleatoare finite se pot introduce n
mod analog pentru cazul variabilelor aleatoarediscrete avnd o mulime infinit de valori, prin
nlocuirea sumei finite i
n
=
1
cu una infiniti=
1
.
16
Variabile aleatoare
Cazul continuu
In cazul unei variabile aleatoare continue X, se
consider o funcie f:RR numit densitate derobabilitate, care are proprietile:
(i) =b
a
f(x)dxb)XPr(a
(ii) f(x) 0, xR,
(iii) f(x)dx 1=
.
17 18
Variabile aleatoare
Cazul continuu
In cazul unei variabile aleatoare continue X, se
consider o funcie f:RR numit densitate derobabilitate, care are proprietile:
(i) =b
a
f(x)dxb)XPr(a
(ii) f(x) 0, xR,
(iii) f(x)dx 1=
.
7/26/2019 c8-variabilealeatoare
4/8
4
19
Variabile aleatoare
Funcia de repartiieF asociatv. a. X este:
=x
-
f(t)dtx)Pr(X=F(x).
20
Variabile aleatoare
De asemenea, media lui Xeste definitprin :
M(X) =xf(x)dx
,
iar variaia lui X
V(X) =[x- M(X)] f(x)dx2
.
Observatie:In cazul variabilelor aleatoare continue, media, variaia i
abaterea standard verifica aceleasi proprietati ca si in cazul
discret.
21
Principalele distributii de probabilitate
Pentru variabilele aleatoare discrete : legea BINOMIAL pentru cazul variabilelor
aleatoare finite
legea lui POISSON pentru cazul variabilelor
aleatoare discrete infinite.
Pentru variabilele aleatoare continue : legea normala Z (Gauss)
legea STUDENT(t)
legea
2 a lui PEARSON
legea F a lui FISHER.22
Principalele distributii de probabilitate
Legea normal
Variabila aleatoareX este normala de tipul N(m, )
daca distribuia ei depinde de doi parametri: media m
si abaterea standard i are densitatea de
probabilitate:
f(x)
x m
=
1
2
1
22
e
( )
.
Pentru variabila normalX au loc :
M(X) = m
V(X) = .
23
Distributia normala (Gauss)
24
Principalele distributii de probabilitate
Legea NormalredusEste evident c exist o gam infinit de legi normale, care
corespund cte unei perechi de parametri (m, ). Toate aceste
distribuii normale se pot reduce la una singur, avnd media 0 i
abaterea standard 1, cu ajutorul unei schimbri de variabil:
UX m
=
.
Aceasta este legea normal redus cu densitatea deprobabilitate:
f(x)= 1
2
1
2
2
xe .
7/26/2019 c8-variabilealeatoare
5/8
5
25
Distribuia normal
26
Distribuia normal
27
Distributia normala redusa Z
28
Principalele distributii de probabilitateLegea BINOMIALsau distribuia lui
BERNOULLIModelul legii binomiale este urmtorul:
1. Un experiment este alctuit din repetarea unei
ncercri elementare de n ori, n fiind un numr natural
dat.
2. Rezultatele posibile ale fiecrei ncercri
elementare sunt doar douevenimente numite de obicei:
succes(S) i eec(E).3. Probabilitile p de succes i q = 1 - p de eec
sunt constante de la o ncercare la alta.
4. Cele n ncercri repetate sunt independente una
de cealalt.
29
Principalele distributii de probabilitate
Legea binomialNumrul de succese obinute din cele n ncercri
repetate este o variabilaleatoare de tip binomial care
depinde de parametrii n i p i este de obicei notat
prin Bi(n,p). Aceastvariabilaleatoare X poate sia
valorile 0, 1, 2, ..., n i are tabelul de distribuie:
X:k
C p qnk k n k
adic
P( X = k ) = C p qnk k n k
.
30
Principalele distributii de probabilitate
Legea binomial
Media sau Sperana matematica legii binomiale este:M(X) = n p,
iar variaiaV(X) =n p q,
i deci abaterea standard
(X) = npq .
7/26/2019 c8-variabilealeatoare
6/8
6
31
Principalele distributii de probabilitate
X fiind Bi(p,q), variabilaleatoare binomial
X= X/n, exprimfrecvena relativkn a succesului
X:
kn
n
k k n k C p q
, adica P( X =
kn ) = C p qn
k k n k .
Pentru variabila aleatoare X cau loc relaiile:
M(X) = p, V(X) =pq
n ,(X')
pq
n= .
32
Principalele distributii de probabilitate
Comportarea la limita legii binomiale cnd n
este mareSe poate arta catunci cnd np 10 i nq
10, distribuia variabilei binomiale X (frecvena
absolut a succeselor) tinde s se apropie de o
lege normalN(np, npq ).
De asemenea, cnd n este mare, distribuia
variabilei aleatoare X (frecvena realtiv a
succesului) tinde sse apropie de o lege normal
de tipul N(p,pq
n ).
33
Principalele distributii de probabilitate
Legea lui POISSON
Variabila aleatoare POISSON ia o infinitate
numrabil de valori: 0,1,2,...,k,... , care reprezint
numrul de realizri ntr-un interval dat de timp sau
spaiu ale unui eveniment (numrul de intrri pe an
ntr-un spital, numrul de bacterii ntr-un mililitru de
ap, numrul de dezintegrri ale unei substaneradioactive ntr-un interval de timp T dat, etc).
34
Principalele distributii de probabilitate
Legea lui POISSON
Modelul acestei variabile aleatoare presupune c :
i) numrul de realizri ale evenimentului ntr-un interval esteindependent de numrul de realizr i n orice alt interval(repartiie aleatoare n timp sau spaiu),
ii) numrul ateptat de realizri ntr-un interval esteproporional cu dimensiunea sa i nu depinde de poziia sa ntimp sau spaiu,
iii) ntr-un interval suficient de mic probabilitatea de a observamai mult de o realizare a evenimentului este neglijabil nraport cu probabilitatea de a observa una singur(nesimultaneitatea realizrii a dou evenimente n timp sauspaiu).
35
Principalele distributii de probabilitate
Variabila aleatoare Poisson
Este caracterizat de un parametru care reprezintnumrul mediu teoretic (ateptat) de realizri ale
evenimentului n intervalul considerat i are
urmtoarea lege de distribuie:
X:
k
ek
k
!, P( X = k ) =
e k
k
! .
Despre variabila aleatoare de tip Poisson X se
mai spune ceste de tipul Po().Sperana matematici variaia sunt:
M(X) = V(X) = . 36
Principalele distributii de probabilitate
Variabila aleatoare Student (t)
Variabila aleatoare Student t este o variabil aleatoare
continu care ia valori n intervalul (- , + ), a creifuncie densitate de probabilitate depinde de un singur
parametru k numit numrul de grade de libertate.
Distribuia acestei variabile aleatoare este simetric n
raport cu origineai are o form de clopot:
P[ tk< -x ] = P[ tk> x].
Atunci cnd k tinde la , distribuia Student tinde ctre odistribuie normal redus.
Aceast variabil aleatoare este utilizat, n testul de
comparaie a mediilor numiti testul Student sau testul t.
7/26/2019 c8-variabilealeatoare
7/8
7
37
Distributia Student t
38
Principalele distributii de probabilitate
Distribuia 2a lui Pearson
Distribuia 2 descrie comportarea unei sume de
ptrate a unor variabile independente normal distribuite,
fiecare avnd o medie egal cu zero i abatere standard
egalcu 1. Astfel variabila U, definitprin egalitatea
U X X X n= + + +12
2
2 2.. . ,
unde X i2 reprezint ptratul unei observaii selectate
aleator dintr-o populaie normal distribuit avnd media
zero i deviaia standard 1, este 2distribuit.
39
Principalele distributii de probabilitate
Distribuia 2a lui Pearson
Forma acestei distribuii depinde de numrul de termeni
X i2independeni din sum. Numrul de termeni X i2 independeni
se numete numrul de grade de libertate .Fiecrui nivel d al gradelor de libertate i se asociaz o
distribuie 2distinct. Media i variaia unei distribuii 2sunt
:
M(
2) = d, V(
2) = 2 d,
unde d este numrul de grade de libertate.
40
Principalele distributii de probabilitate
Distribuia F a lui Fisher
Distribuia F introdus de R. A. Fisher, este definitpe [0, +
) i descrie comportarea ctului a dou variabile cudistribuie 2 fiecare fiind mprit prin numrul gradelor
sale de libertate.
Un membru al acestei clase de distribuii este determinat
prin numrul de grade de libertate ale numrtorului dn
i
respectiv numrul de grade de libertate ale numitorului dm,
distribuiile F distincte fiind determinate de perechi (dn, dm)
distincte.
41
Principalele distributii de probabilitate
Distribuia F a lui Fisher
In general, pentru dn i dm > 2 distribuia F este
unimodal i pozitiv asimetric. Atunci cnd
numrul gradelor de libertate crete distribuia F se
apropie pe domeniul su de definiie de o distribuie
normal.
Aceast distribuie este utilizat n testele de
comparaie a variaiilor i ca aplicaie a acestora n
testele ANOVA.
42
Problema 1
Considerm cX este o variabilaleatoare reprezentnd numrul deepisoade de otitn primii doi ani de via. Presupunem caceastvariabilaleatoare are distribuia:
a) Care este numrul ateptat (mediu) de episoade de otitn primiidoi ani de via?
b) Care este abaterea standard i variaia acestei variabile aleatoare?
=
017.0039.0095.0185.0271.0264.0129.0
6543210X
M(X) = 0 0.129 + 1 0.264 + 2 0.271 + ... + 6 0.017 = 2.038
V(X) = 1.967
7/26/2019 c8-variabilealeatoare
8/8
8
43
Problema 2
Care este probabilitatea ca un copil n cel puin 3 din 20 familii sfacbronitcronic, tiind cprobabilitatea de a face boala n oricefamilie este de 0.05 ?
Numrul de familii n care copii au bronitcroniceste de 3 i respectodistribuie binomialcu parametrii n = 20 i p = 0.05.
Probabilitatea ca sse observe cel puin 3 cazuri din 20 este:
= 1 - (0.3585 + 0.3774 + 0.1887) = 0.0754
=
=
=
=
=
2
0
202020
3
)95.0()05.0(20
1)95.0()05.0(20
)3Pr(K
KKKK
K KKX
Top Related