GRINZI CU ZBRELE STATIC NEDETERMINATE1.Stabilirea gradului de nedeterminare static
Sunt structuri cu zbrele cu noduri articulate care prezint un numr mare de legturi la teren i/s-au interioare fa de minimum necesar pentru a avea asigurat fixarea la teren i invariabilitatea geometric. n cazul structurilor cu zbrele cu noduri articulate se disting trei tipuri de ndeterminri:
A. Structuri cu zbrele cu noduri articulate nedeterminate exterior. Sunt structuri care prezint un numr mare de legturi fa de minimum necesar asigurrii fixrii la teren:
Fig. 1.72
B. Nedeterminarea interioar cnd structura prezint un numr mare de baze fa de minimum necesar asigurrii invariabilitii geometrice:
Fig. 1.73
C. Nedeterminarea mixt, cnd structura prezint att legturi la teren i bare suplimentare ct i minimum necesar pentru a avea asigurat invariabilitatea geometric i fixarea la teren:
Fig. 1.74
2. S.B. i necunoscutele metodeiS.B. este o structur cu zbrele cu noduri articulate static determinat
obinut prin suprimarea fie a reazemelor suplimentare, fie a barelor suplimentare, fie a reazemelor ct i a barelor suplimentare, alegerea S.B. depinznd de tipul de nedeterminare.
Necunoscutele problemei vor fi reaciunile i/s-au eforturile axiale din reazemele i barele suprimate i care necunoscute se noteaz cu iX .
Astfel, n cazul structurilor nedeterminate de tipul 1, S.B. se obine prin suprimarea rezemelor suplimentare:
Fig. 1.75
n cazul structurilor de tip 2, S.B. se obine suprimnd bara suplimentar:
Fig. 1.76
n cazul structurilor de tip 3 S.B. se obine suprimnd att reazemul ct i o bar suplimentar:
Fig. 1.77
3. Alctuirea ecuaiilor de condiii sau compatibilitateEcuaiile de condiii sau de compatibilitate exprim faptul c S.B. static
determinat trebuie s aib aceeai comportare n ceea ce privete deplasrile ca i structura static nedeterminat.
A. Structuri cu nedeterminare exterioarO ecuaie i de compatibiliate exprim condiia ca deplasarea absolut n
S.B. pe direcia necunoscut iX produs de toate necunoscutele i forele
exterioare s fie egal cu zero. Forma general: 01
ipj
sn
jij X (1.41)
B. Structuri cu nedeterminare interioarO ecuaie i de compatibiliate exprim condiia ca deplasarea relativ n
S.B. pe direcia necunoscut iX produs de toate necunoscutele i de ncrcrile exterioare s fie egal cu deformaia barei suprimate i are forma general:
rqipj
sn
jij lX
1(1.42)
Deformaia unei bare supuse unui efort axial este:
rqi
rq
rqrq
rq EAX
EA
Nl
(1.43), i
rqipj
sn
jij XEA
X
1
(1.44)
C. Nedeterminarea mixt:Pentru necunoscutele iX reaciuni, ecuaiile de condiii sunt de tipul 1, iar
pentru necunoscutele iX eforturi din bare, ecuaiile de condiii sunt de tipul 2.
4. Semnificaia coeficienilorSe disting dou grupe de coeficieni:A. Coeficieni principali de tipul iiExprim condiia ca deplasarea absolut ( iX reaciune) sau relativ iX
efort) n S.B. produs pe direcia necunoscutelor iX de o for egal cu 1 (unu) aplicat pe direcia necunoscutelor iX .
Se determin cu Mohr-Maxwell particularizat pentru structuri cu zbrele
cu noduri articulate:EA
NN jiii
(1.45), n care: Ni sunt forele axiale din barele
S.B. produse de o for egal cu 1 (unu) aplicat pe direcia necunoscutelor iX . Cele dou fore axiale sunt identice (formal); sunt lungimile barelor structurii; EA reprezint rigiditile axiale ale barelor; se refer la toate elementele S.B.
B. Coeficieni laterali ijReprezint deplasarea n S.B. pe direcia necunoscutelor iX produs de o
fora egal cu 1 (unu), aplicat pe direcia necunoscutelor jX i se determin cu
relaia: jijiijij EANN
EA
NN (1.46) i avnd n vedere c produsul
este comutativ, iar forele axiale jN i iN (produse de o fora real sau virtual egal cu 1 (unu), aplicat pe direcia jX ) sunt formal identice.
Matricea coeficienilor este o matrice simetric.
5. Semnificaia i calculul termenilor liberiUn termen liber ip reprezint deplasarea absolut ( iX -reaciune) sau
relativ ( iX - for axial) n S.B. pe direcia necunoscutei iX produs de forele
exterioare date i se determin cu relaia: EA
NN ipip
(1.47), n care pNsunt forele axiale din barele S.B. produse de forele exterioare date.
6. S.B. ncrcat cu forele exterioare datePractic, pentru calculul coeficienilor i a termenilor liberi se procedeaz
astfel:- Se ncarc succesiv S.B. cu fore egale cu 1 (unu sau unu barat) (1) pe
direcia fiecrei necunoscute iX n parte i cu forele exterioare date i se determin forele axiale corespunztoare ii NN respectiv pN .
- Particulariznd relaiile (1.41), (1.42), (1.43) se determin coeficienii i termenii liberi.
- Calculul se conduce tabelar.
- Dup calculul coeficienilor i a termenilor liberi, se nlocuiesc valorile respective n sisteme de ecuaii de condiii care se rezolv cu obligaia verificrii soluiilor.
- Forele axiale finale din barele structurii reale static nedeterminate se determin aplicnd principiul suprapunerii efectelor i innd seama de comportarea liniar-elastic a structurii (proporionalitatea dintre forele axiale din bare i ncrcrile care le produc).
- Astfel fora axial final dintr-o bar se determin cu relaia:
i
sn
iip
fc XNNN
1 (1.48)
7. APLICAIES se determine eforturile din barele grinzii cu zbrele static nedeterminat
( 045 ).
Fig. 1.78
A. Stabilirea gradului de nedeterminare static: 2621021122Nbrns
B. Stabilirea S.B. static determinat i scrierea ecuaiilor de condiie:
Fig. 1.79
- se suprim reazemul suplimentar i bara suplimentar necunoscutele X1, X2, scriindu-se ecuaiile de condiie:
n
jipjij
n
ii
qripjij
X
XEA
X
1
1
0
, n care qr este
lungimea barei suprimate:
22222121
1212111
822
0
22X
EA
.XX
XX
p
p
qrinzii
C. Calculul coeficienilor se realizeaz cu relaiile:
EANN ii
ii , EANN
EA
NN jiijjiij
D. Calculul termenilor liberi: EANN ip
ip
E. Se ncarc grinda cu 1,1F pe direcia Xi i Xj;a. Calculul reaciunilor i a eforturilor din barele grinzii cu zbrele ncrcat cu 1,1F pe direcia X1:
Fig. 1.80
00 1Hx RF , 5002140 551 .RRM VV , 5002140 115 .RRM VV , A..RRF VVy 0505000 51
nod 2
Fig. 1.81
0
0
0
0
21
24
N
N
F
F
y
x
nod 6
Fig. 1.82
0
1
0
0
65
64
N
N
F
F
y
x
nod 1
Fig. 1.83
50
7070
0145
05045
0
0
13
14
1413
14
.N
.N
sinNN
.sinN
F
F
y
x
nod 3
Fig. 1.84
0
50
0
0
34
35
N
.N
F
F
y
x
nod 5
Fig. 1.85
7070
7070
04550
045
0
0
53
54
54
5354
.N
.N
sinN,
NcosN
F
F
y
x
b. Calculul reaciunilor i a eforturilor din barele grinzii cu zbrele ncrcat cu 1,1F pe direcia X2: 00 1Hx RF
Fig. 1.86
Avnd acelai suport, 051 VV RRnod 6
Fig. 1.87
0
0
0
0
65
64
N
N
F
F
y
x
nod 2
Fig. 1.88
7070
7070
0451
0451
0
0
21
24
21
24
.N
.N
sinN
sinN
F
F
y
x
nod 5
Fig. 1.89
0
0
00
045
0
0
54
53
54
5453
N
N
N
sinNN
F
F
y
x
nod 3
Fig. 1.90
7070
7070
0451
0451
0
0
31
34
31
34
.N
.N
sinN
sinN
F
F
y
x
c. Calculul reaciunilor i a eforturilor din barele grinzii cu zbrele ncrcat cu forele exterioare:
Fig. 1.91 00 1Vx RF 20024040 551 VV RRM 20024040 115 VV RRM
ARRF VVy 020402000 51
nod 2
Fig. 1.92
0
0
0
0
6521
6424
NN
NN
F
F
y
x
nod 1
Fig. 1.93
4514
3513
14
1314
2828
20
02045
045
0
0
N.N
NN
sinN
NcosN
F
F
y
x
nod 3
Fig. 1.94
0
0
0
0
3531
34
NN
N
F
F
y
x
d. Calculul coeficienilor:
EA
.82511 , EA
.
EA
.. 64982682222
, EA
.29312112
e. Calculul termenilor liberi:EA
p
401
, EA
.p
031082
f. Rezolvarea sistemului de la punctul B:
254
7811
2
1
.X
.X
g. Pentru determinarea eforturilor finale din barele grinzii cu zbrele, se aplic principiul suprapunerii efectelor:
n
1iiip
f XNNN , n care, Np
sunt eforturile axiale din sistemul de baz ncrcat cu forele exterioare:
22111 XNXNNN pf , 00325470707811500012 .....N
68142547070781170702013 .....N 2024254178117070282814 .....N
003254707078110024 ....N 003254707078110034 ....N 892525407811502035 ....N
2024254078117070282845 .....N 7811254078111046 ...N 0254078110056 ..N ,
7811223 .XN
Tabel 1.1
Top Related