Facultatea de Construcii Timioara 2010/2011 Tudor Clipii & Agneta Tudor
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 100
NCOVOIERE CU FOR AXIAL
8.1 IPOTEZE DE CALCUL Calculul la starea limit ultim n seciuni normale la aciunea momentului ncovoietor cu/fr
for axial se face pe baza urmtoarelor ipoteze simplificatoare: seciunile rmn plane i dup deformarea elementului; armtura i betonul nconjurtor au aceeai deformaie specific; contribuia betonului ntins dintre fisuri se neglijeaz; distribuia eforturilor unitare de compresiune n beton rezult din curba (fig. 6.7
sau fig. 6.8); cc
efortul unitar n armtur rezult din diagrama ss (fig. 6.11). Calculul seciunii transversale se face pe baza diagramei de deformaii specifice din figura 8.1, avnd n vedere urmtoarele precizri:
pentru seciunile supuse la compresiune axial, deformaia specific a betonului se limiteaz la (fig. 6.7) sau (fig. 6.8); 2c 3c
pentru seciunile care prezint i zon ntins, deformaia specific a betonului comprimat se limiteaz la (fig. 6.7) sau 2cu 3cu (fig. 6.8);
pentru cazuri intermediare, deformaia specific la compresiune se obine presupunnd c seciunea se rotete n jurul pivotului C.
n cazul utilizrii curbei cu consolidare, deformaiile specifice ale armturii se limiteaz la , valoarea recomandat fiind . Pentru armturile la care ramura superioar a curbei
este orizontal nu este necesar s se verifice deformaia ultim.
ss ud uk9,0
ss n cazul seciunilor cu armare simetric supuse unei fore de compresiune se va lua n considerare
o excentricitate minim 2030he0 = mm, h fiind nlimea seciunii corespunztoare planului de ncovoiere. Aceasta nseamn c dac momentul ncovoietor produs de ncrcri este mai mic dect
atunci = . 0EdeN EdM 0EdeN
8.2 STAREA DE DEFORMAII Cedarea unei seciuni supuse la ncovoiere cu for axial este ilustrat de diagrama deformaiilor
specifice pe nlimea seciunii transversale, care trebuie s treac n mod obligatoriu prin unul din cele trei puncte A, B sau C reprezentate n figura 8.1 - regula celor trei pivoi. Din punct de vedere grafic, pivoii reprezint punctele definite prin deformaiile specifice limit ale betonului i armturii. Se disting trei domenii, n funcie de modul cum se poate produce cedarea seciunii.
Poziia pe vertical a pivotului C se obine din asemnarea triunghiurilor OBO i DBC (fig. 8.1):
s
2c2cu2cudh
= , rezultnd h1d2cu
2cs
=
i hd
2cu
2ci
= , respectiv
s
3c3cu3cudh
= , rezultnd h1d3cu
3cs
=
i hd
3cu
3ci
=
DOMENIUL 1 - pivot A
Acest domeniu este caracterizat de cedarea prin deformaii excesive a celei mai ntinse armturi As1, n care s-a atins deformaia specific ultim ud. Efortul unitar de calcul n aceast armtur este s1 = fyd. n cazul n care exist un moment ncovoietor se produce rotirea seciunii n jurul pivotului
Facultatea de Construcii Timioara 2010/2011 Tudor Clipii & Agneta Tudor
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 101
A. Subdomeniul 1a reprezint ntinderea centric (dreapta AA) sau ntinderea excentric cu mic excentricitate. Seciunea este fisurat n ntregime, axa neutr fiind plasat n afara acesteia. Creterea momentului ncovoietor conduce la subdomeniul 1b, care reprezint ntinderea excentric cu excentricitate mare sau ncovoierea n cazul elementelor cu procente reduse de armare. Axa neutr este plasat n seciune astfel nct exist beton comprimat. n mod curent, deformaia specific a betonului comprimat este mai mic dect deformaia specific limit.
Limita dintre domeniul 1 i 2 este definit de atingerea simultan a deformaiilor limit a celor dou materiale (dreapta AB).
DOMENIUL 2 - pivot B
Acest domeniu este caracterizat prin zdrobirea betonului comprimat. Efortul unitar n cele dou armturi depinde de deformaia specific corespunztoare. n subdomeniul 2a cedarea seciunii se produce prin curgerea armturii ntinse As1 i zdrobirea betonului comprimat. Acest domeniu corespunde ncovoierii, respectiv solicitrilor excentrice cu excentricitate mare. Subdomeniul 2b este caracterizat prin creterea nlimii zonei comprimate, motiv pentru care cedarea seciunii se produce prin zdrobirea betonului comprimat i curgerea armturii comprimate, fr ca armtura ntins s curg. Limita dintre cele dou subdomenii (dreapta BB) reprezint starea de balans: iniierea curgerii armturii ntinse simultan cu zdrobirea betonului comprimat. n subdomeniul 2c toate armturile sunt comprimate, ns n armtura As1 efortul unitar de compresiune este mai mic dect limita de curgere. Axa neutr atinge, la limit, marginea inferioar a seciunii, care devine comprimat n ntregime.
ntindere ()
O compresiune ()
c2 cu2 (c3 cu3)
ud yd
1b 1a
2c 2b 2a 3
B
yd = fyd/Es
D
A O D B
A
di
ds
d2
d h
d1
As2
As1
C
Fig. 8.1 Diagrama deformaiilor specifice sub efectul ncovoierii cu for axial
DOMENIUL 3 - pivot C
Seciunea este comprimat n ntregime, axa neutr fiind plasat n afara seciunii. Betonul comprimat se zdrobete, pentru valori ale deformaiei specifice n fibra cea mai comprimat aflate n intervalul c2 ... cu2 (c3 ... cu3). Rotirea seciunii n jurul pivotului C atrage dup sine modificarea deformaiei specifice maxime la compresiune a betonului, care ncepe s scad, deprtndu-se de ( ) i tinznd spre ( ), care corespunde compresiunii centrice (dreapta DD). Pe msura creterii deformaiei specifice din fibra inferioar, starea de deformaii devine tot mai uniform, apropiindu-se de cazul solicitrii centrice. Rotirea seciunii se produce n jurul pivotului C, deoarece n dreptul acestui punct deformaia specific este ( ). Atunci cnd deformaiile specifice ale celor dou armturi ating valoarea
2cu3cu 2c 3c
2c 3cyd, acestea vor ncepe s curg.
Analiznd diagrama deformaiilor specifice, n conexiune cu poziia axei neutre, se disting trei modaliti de cedare a seciunii:
ntindere preponderent (1a): ntindere centric precum i ntindere excentric cu mic excentricitate;
ncovoiere preponderent (1b, 2): ntindere excentric cu excentricitate mare, ncovoiere pur i compresiune excentric cu excentricitate mare;
compresiune preponderent (3): compresiune excentric cu excentricitate mic.
Facultatea de Construcii Timioara 2010/2011 Tudor Clipii & Agneta Tudor
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 102
8.3 EVALUAREA REZULTANTEI COMPRESIUNILOR DIN BETON n cele ce urmeaz, se face referire numai la diagrama parabol dreptunghi (fig. 6.7), pentru beton de clas C50/60. Valoarea rezultantei compresiunilor n beton i poziia ei fa de axa neutr se determin pe baza modelelor i relaiilor principiale din figura 8.2.
Fc
fcd cs
yFc
c2
ci
cy
Fc
yFc
b) seciune comprimat n ntregime
a) axa neutr n seciune
c c fcd cy
G
by
y dy x
h by G
y
dy x
fcd
cy
cyci
h
=x
0ycyc dybF
=x
0ycy
cFc ydybF
1y
= hhx
ycyc dybF
= hhx
ycyc
Fc ydybF1y
ds
Fig. 8.2 Rezultanta compresiunilor n beton n cazul seciunilor monosimetrice
Evaluarea rezultantei din zonele comprimate ale seciunilor dreptunghiulare i T, precum i poziia acesteia, se face lund n considerare un efort unitar mediu de compresiune
cF
cdfcm f= , uniform distribuit pe nlimea zonei comprimate, conform celor de mai jos.
Seciunea dreptunghiular Dac axa neutr se gsete n seciune (fig. 8.3a), valoarea rezultantei compresiunilor i poziia ei fa de fibra cea mai comprimat se determin cu relaiile:
cF
cd
; (8.1a, b) ( )cdfc fbxF = xd xc = Dac seciunea este comprimat n ntregime fig. 8.3b), valoarea rezultantei compresiunilor i poziia ei fa de centrul de greutate al seciunii se determin cu relaiile:
cF
ce
; (8.2a, b) ( )cdfc fbhF = hhce =Seciunea T Dac axa neutr este plasat n inima seciunii, valoarea rezultantei compresiunilor n beton i poziia ei fa de axa neutr se determin pe baza procedeului schematizat n figura 8.5.
cF
cy
Facultatea de Construcii Timioara 2010/2011 Tudor Clipii & Agneta Tudor
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 103
fcd
Fcxd xc =
h
b
x
c
cdfcm f=h x
b
fcd
cdfcm f=
Fc
cs
ci he hc =
( )cdfc fbxF = a) axa neutr n seciune b) axa neutr n afara seciunii
( )cdfc fbhF =
Fig. 8.3 Rezultanta compresiunilor n beton pentru seciunile dreptunghiulare
Coeficienii i f x sau se obin din figura 8.4 n funcie de deformaia specific de compresiune a seciunii
hcs .
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
)(c
xf ;
f x 0,415
0,810
a) axa neutr plasat n seciune
0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,50.800.820.840.860.880.900.920.940.960.981.00
( )cs
f
h10
10ci
10;10 cih f
b) axa neutr plasat n afara seciunii Fig. 8.4 Coeficieni pentru calculul rezultantei compresiunilor n seciunile dreptunghiulare
Facultatea de Construcii Timioara 2010/2011 Tudor Clipii & Agneta Tudor
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 104
8.4 SITUAII DE PROIECTARE Avnd ca baz de pornire diagrama deformaiilor specifice din figura 8.1, sunt posibile cele patru
cazuri de distribuii ale eforturilor unitare din figurile 8.6...8.9, pentru fiecare situaie prezentndu-se etapele de calcul pentru stabilirea momentului ncovoietor capabil.
8.4.1. Seciune fisurat n ntregime Seciunea din figura 8.6 este ntins n ntregime, cu axa neutr n afara seciunii, diagrama de eforturi unitare corespunznd ntinderii centrice sau ntinderii excentrice cu excentricitate mic - pivot A(1a). Cedarea seciunii se produce prin deformaii excesive, adic prin atingerea deformaiei specifice ultime ud n armtura cea mai ntins, ceea ce nseamn yd1s f= . Deformaia specific n armtura superioar As2 poate avea orice valoare n intervalul (0...ud], ceea ce nseamn
. yd2s f0 <
hf x
Fc2
Ac
Ac1
Ac1 = bx Ac2 = (b - bw) (x hf) Ac = Ac1 Ac2
Ac2
b
bw
Fc Fc1
Fc = Fc1 Fc2( )cd1f1c1c fAF =
c cf x
1cd
( )cd2f2c2c fAF =
2cdyc1 yc2yc
=i
ci
icici
c F
yFy
Fs
( )( )cf2x2f
c1x1f3.7 fig.
f;f;
==
h
xd 1x,1c = ( )f2x,2c hxd =
dc
z = d dc
d
x - hf
Fig. 8.5 Rezultanta compresiunilor n beton pentru seciuni T
Pentru calculul momentul ncovoietor capabil al seciunii se procedeaz dup cum urmeaz: - se alege o valoare pentru x; - pe baza diagramei deformaiilor specifice se scrie:
dxdx
ud
2
2s+
=+
din care rezult 2s i yds2s2s fE = - valoarea aleas pentru x este corect dac: 0AfAN 2s2syd1sEd = - ecuaia de momente n raport cu fora Fs2 este: ( ) ( ) 0ddfAdyNM 2yd1s22GEdEd =+ momentul ncovoietor capabil n conformitate cu metoda strilor limit condiia de verificare este: ( ) ( )22GEd2yd1sRdEd dyNddfAMM =
8.4.2. Axa neutr situat n seciune Dac axa neutr se afl plasat n seciune se disting dou situaii, i anume, rotirea seciunii n jurul pivotului A (subdomeniul 1b), respectiv rotirea seciunii n jurul pivotului B (domeniul 2).
Facultatea de Construcii Timioara 2010/2011 Tudor Clipii & Agneta Tudor
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 105
n cazul seciunii din figura 8.7, rotirea seciunii se produce n jurul pivotului A (subdomeniul 1b), caz n care cedarea seciunii se produce prin deformaiile excesive ale armturii inferioare, ceea ce nseamn . Deformaia specific n armtura superioar poate fi de ntindere sau
compresiune. Efortul unitar n fibra cea mai comprimat de beton este , n funcie de mrimea deformaiei specifice
yd1s f=cdc f
c. Dac c c2 distribuia eforturilor unitare se face dup o diagram parabolic, dar dac diagrama este una de tip parabol-dreptunghi. c c > 2
As1
MEdNEd
Fs1 = As1fyd
G h d
s1 = duA
1a
As2 Fs2 = As2s2
d d2
d1
d2 s2
x
yG1
yG2
Fig. 8.6 Seciunea ntins cu axa neutr n afara seciunii
c fcdx
c
s1
NEd
Fs1=As1fydudAs1 A
G
B
1b
As2d2
d
d1
yG1
s2 Fs2 = As1s2 Fc
dc
z = d dc h
cy
MEd
cy y
Fig. 8.7 Axa neutr n seciune subdomeniul 1b
Deoarece rotirea seciunii se produce n jurul pivotului A, celelalte deformaii specifice se determin n funcie de deformaia specific a armturii As1 apelnd la asemnarea triunghiurilor care se formeaz n diagrama deformaiilor specifice. Pentru calculul momentul ncovoietor capabil al seciunii se procedeaz dup cum urmeaz:
- se alege o valoare pentru x; - pentru a obine deformaia specific de compresiune n beton la nivelul y, respectiv la partea
superioar a seciunii, se scrie:
xdy
udcy
= i ; cy cy
xdx
udc
= c i c- rezultanta compresiunilor n beton Fc i poziia acesteia se determin n funcie de tipul seciunii
dup cum urmeaz:
Facultatea de Construcii Timioara 2010/2011 Tudor Clipii & Agneta Tudor
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 106
Tipul seciunii Modul de calcul Monosimetric Se aplic procedura din figura 8.2a
Dreptunghiular Din figura 8.4a, n funcie de c se determin f i x Cu relaiile 8.1a, b se calculeaz Fc i dc T
Dac x hp calculul se face ca pentru o seciune dreptunghiular de lime b; Dac x > hp se aplic procedura din figura 8.5
- pe baza diagramei deformaiilor specifice se poate scrie:
xddx
ud
2
2s
=
din care rezult 2s i yds2s2s fE = - valoarea aleas pentru x este corect dac: 0AFfAN 2s2scyd1sEd =+ - ecuaia de momente n raport cu fora Fs1 este: ( ) ( ) ( ) 0ddAddFdyNM 22s2scc11GEdEd = momentul ncovoietor capabil n conformitate cu metoda strilor limit condiia de verificare este:
( ) ( ) ( )11GEd22s2sccRdEd dyNddAddFMM += m n cazul seciunii din figura 8.8 rotirea seciunii are loc n jurul pivotului B (domeniul 2), cedarea seciunii producndu-se prin zdrobirea betonului comprimat (c = fcd; c = cu2 ). n mod curent armtura inferioar este ntins dar pot apare cazuri cnd aceasta este comprimat. Deformaia specific n armtura superioar este comprimat, n mod uzual ajungnd la curgere.
x
fcd
MEd
Fc NEd
Fs1 =As1s1 As1
G
s1ud
B
yd = fyd/Es A
2
As2 s2
cu2
d
d2
d1
h
Fs2 = As2s2
z = d dc
dc
yG1
ycy cy
Fig. 8.8 Axa neutr n seciune subdomeniul 2
Deoarece rotirea seciunii se produce n jurul pivotului B celelalte deformaii specifice se determin n funcie de deformaia specific a marginii comprimate a seciunii apelnd la asemnarea triunghiurilor care se formeaz n diagrama deformaiilor specifice. Pentru calculul momentul ncovoietor capabil al seciunii se procedeaz dup cum urmeaz:
se alege o valoare pentru x; pe baza diagramei deformaiilor specifice se poate scrie: s1 cu2
d x x = din care rezult i 1s yds1s1s fE = ;
s2 cu22x d x
= din care rezult 2s i yds2s2s fE = ; n continuare, evaluarea rezultantei compresiunilor n beton Fc i poziia acesteia, verificarea poziiei axei neutre, precum i calculul momentului ncovoietor capabil se face ca mai sus.
Facultatea de Construcii Timioara 2010/2011 Tudor Clipii & Agneta Tudor
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 107
8.4.3. Seciune comprimat n ntregime Seciunea din figura 8.9 este comprimat n ntregime, axa neutr fiind plasat n afara seciunii. Aceast situaie corespunde compresiunii excentrice cu mic excentricitate, respectiv, la limit, compresiunii centrice. Rotirea seciunii se produce n jurul pivotului C (domeniul 3), cedarea seciunii se produce prin zdrobirea betonului comprimat la o deformaie specific cuprins n intervalul
. Dac deformaia specific de scurtare 2cu2c 1s a armturii As1 , mai puin comprimat, este mai mare dect limita corespunztoare nceputului curgerii yd atunci yd1s f= , n caz contrar
. Deformaia specific n armtura superioar Ayd1s f hp; se aplic procedura din figura 8.5
Facultatea de Construcii Timioara 2010/2011 Tudor Clipii & Agneta Tudor
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 108
valoarea aleas pentru x este corect dac: 0FAfAN c2s2syd1sEd = ecuaia de momente n raport cu fora Fs1 este: ( ) ( ) ( ) 0ddAddFdyNM 22s2scc11GEdEd =+ momentul ncovoietor capabil n conformitate cu metoda strilor limit condiia de verificare este: ( ) ( ) ( )11GEd22s2sccRdEd dyNddAddFMM +=
8.5 CURBA DE INTERACIUNE M - N Modul de cedare al unei seciuni supuse la ncovoiere cu for axial depinde corelaia care exist ntre cele dou eforturi secionale, corelaie care poate fi transpus grafic prin curba de interaciune MN. Curba de interaciune se obine prin reducerea lui x din ecuaiile de echilibru static (N = 0; M = 0). Pentru o seciune cu armare simetric, cunoscnd calitatea materialelor, se obine o curb de interaciune ca cea din figura 8.10. Dac punctul determinat de M i N se gsete n interiorul curbei sau chiar pe curb seciunea este capabil s preia cele dou eforturi secionale. Din analiza aspectului curbei MN se disting urmtoarele aspecte:
- n raport cu ncovoierea, fora axial de ntindere conduce la scderea momentului ncovoietor capabil al seciunii;
- n raport cu ncovoierea, fora axial de compresiune produce o cretere a capacitii portante, dar dup depirea valorii corespunztoare punctului B capacitatea portanta scade cu creterea forei axiale;
- evidenierea celor trei tipuri mari de solicitare ale seciunii n funcie de poziia axei neutre, respectiv n funcie de cei trei pivoi: ntinderea preponderent (pivotul A), ncovoierea preponderent (pivotul B), respectiv compresiunea preponderent (pivotul C);
- cele cinci moduri de cedare ale seciunii: ntinderea cu mic (eem) i mare excentricitate (EEM), ncovoierea, respectiv compresiunea cu mic (ceem) i mare excentricitate (CEEM);
- n principiu armtura As1 este o armtur ntins; funcie de valoarea i semnul forei axiale, efortul unitar din armtura As1 poate atinge limita de curgere sau nu; n anumite situaii aceast armtur este comprimat;
- n principiu armtura As2 este o armtur comprimat; n funcie de valoarea i semnul forei axiale, efortul unitar din armtura As2 poate atinge limita de curgere sau nu; n anumite situaii aceast armtur este supus la ntindere.
Pe curba MN se disting cteva puncte importante: - intersecia curbei cu ordonata sistemului de axe n zona ntinderii, fora capabil la
ntindere centric fiind ( ) yd2s1stRd fAAN += ; - intersecia curbei cu ordonata sistemului de axe n zona compresiunii, fora capabil la
compresiune centric fiind ( ) yd2s1scdccRd fAAfAN ++= ; - punctul de balans, situaie pentru care nceputul curgerii armturii ntinse As1 are loc n
acelai timp cu zdrobirea betonului comprimat (fig. 8.11); n aceast situaie se obine valoarea maxim a momentul ncovoietor capabil MRlim corespunztor forei axiale de compresiune Nlim.
Facultatea de Construcii Timioara 2010/2011 Tudor Clipii & Agneta Tudor
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 109
)d2/h(N 2Ed
N
M
CEEMncov.
PUNCT DE BALANS B
ntindere centric
Compresiune centriccRdN
cdcfA10,
tRdN
01s = ceem
EEM
eem
Compresiune preponderent
0ci =
nco
voie
re p
repo
nder
ent
(a
xa n
eutr
n se
ciu
ne)
ntindere preponderent
s1 -
ntin
dere
s1
- co
mpr
esiu
ne
s1 =
f yd
s1 <
f yd
s2 -
com
pres
iune
s2 - nt.
As2 = As1
As1
MRlim
Nlim
Fig. 8.10 Curba de interaciune
xli
As1
G
s1 = yd = fyd/Es
cu2
d
d1
h
Fig. 8.11 Situaia de balans
Situaia de balans este caracterizat printr-o mrime bine definit a nlimii relative a zonei comprimate lim = xlim/d, valoare care se obine din asemnarea triunghiurilor din diagrama deformaiilor specifice (fig. 8.11).
ydcu2lim limx d x
= cu2
limcu2 yd
x = + Pentru betoane de clas C50/60 rezult n final:
sydlim Ef10005,3
5,3+=
n tabelul 8.1 sunt date valorile pentru nlimea relativ a zonei comprimate lim pentru dou tipuri de oel romnesc i dou tipuri generice de oel european.
Facultatea de Construcii Timioara 2010/2011 Tudor Clipii & Agneta Tudor
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 110
Tabelul 8.1 Valorile limOel fyd (Mpa) Es (Mpa) yd () lim
Combinaii fundamentale s = 1,15 S400 400/1,15 = 348 1,74 0,668 S500 500/1,15 = 435
200000 2,17 0,617
PC52 345/1,15 = 300 1,43 0,710 PC60 405/1,15 = 352 210000 1,68 0,676
Situaii seismice de proiectare s = 1,0 S400 400 2,00 0,636 S500 500
200000 2,50 0,583
PC52 345 1,64 0,681 PC60 405 210000 1,93 0,645
Situaia de balans separ dou moduri de rupere total diferite:
- dac ruperea are un caracter ductil determinat de curgerea armturii AlimEd NN s1; rupere caracteristic pivotului B;
- dac ruperea nu mai are un caracter ductil n lipsa curgerii armturii AlimEd NN > s1; pe msura creterii forei axiale de compresiune caracterul casant al ruperii devine tot mai pregnant.
8.6 REMARCI FINALE a. Procedura prezentat n paragraful 8.4 nu este un instrument practic n proiectarea curent pentru dimensionarea armturii, dar poate fi folosit pentru calculul momentului ncovoietor capabil prin ncercri succesive. Metoda poate fi utilizat de asemenea pentru scrierea de programe de calcul i pentru ntocmirea de tabele i diagrame de interaciune MN, pentru proiectarea curent. b. n conformitate cu prevederile din EC2 pentru calculul la moment ncovoietor se poate folosi diagrama de eforturi unitare (stress block) din figura 6.9c. c. n procedeul de calcul bazat pe utilizarea diagramei stress block n betonul comprimat, se au n vedere urmtoarele: - clasa betonului este conform tabelului 6.1, adic C50/60; - utilizarea unui oel fr limitarea deformaiilor (fig. 6.11).