X_Fizica (in limba romana).pdf

7/25/2019 X_Fizica (in limba romana).pdf

1/180

tiina, 2012


2/180

CZU 53(075.3)M 39

Elaborat conform curriculumului disciplinar n vigoare i aprobat prin Ordinul ministrului educaiei (nr. 265din 27 aprilie 2012). Editat din sursele nanciare ale Fondului Special pentru Manuale.

Contribuia autorilor la elaborarea manualului:Mihai Marinciuc capitolele 1, 2 (par. 2.12.3, 2.8), 3, 4Spiridon Rusu capitolele 2 (par. 2.42.7), 4 (par. 4.3), 5, lucrri de laboratorComisia de experi:Ion Stratan, doctor n zic, confereniar, Universitatea Tehnic a MoldoveiEleodor Lupacu, doctor n zic, confereniar, Universitatea Agrar, Chiinu

Andrei Petruca, prof. colar, grad did. superior, Liceul Teoretic Principesa Natalia Dadiani, Chiinu

Recenzeni:Oleg Bursuc, doctor n tiine ale educaiei, coordonator, Consiliul pentru Cercetri i Schimburi Internai-onale (IREX), Chiinu

Alexei Colbneac, Maestru n Arte, profesor universitar, Academia de Muzic, Teatru i Arte Plastice, ChiinuMihai leahtichi, doctor n psihologie i pedagogie, confereniar, Universitatea Liber Internaional dinMoldova, Chiinu

Anatolie Cerbu, doctor n tiine zico-matematice, confereniar, Academia de Transporturi, Informatic iComunicaii, ChiinuTatiana Cartaleanu, doctor n lologie, confereniar, Universitatea Pedagogic de Stat Ion Creang, Chiinu

Redactor:Mariana BelenciucCorectori:Maria Cornesco, Tatiana DariiRedactor tehnic:Nina DuduciucMachetare computerizat, copert:Romeo ve, Vitaliu Pogola

ISBN 978-9975-67-823-0 Mihai Marinciuc, Spiridon Rusu. 2007, 2012 .E.P. tiina. 2007, 2012

ntreprinderea Editorial-Poligrac tiina,str. Academiei, nr. 3; MD-2028, Chiinu, Republica Moldova;tel.: (+373 22) 73-96-16, fax: (+373 22) 73-96-27; e-mail: [email protected]

Descrierea CIP a Camerei Naionale a Crii

Marinciuc, MihaiFizic:Man. pentru cl. a 10-a / Mihai Marinciuc, Spiridon Rusu; Min. Educaiei al Rep. Moldova.

Ch.: .E.P. tiina, 2012 (Tipogr. SEREBIA SRL). 180 p.

ISBN 978-9975-67-823-053(075.3)

DIFUZARE:M Societatea de Distribuie a Crii PRO-NOIstr. Alba-Iulia, nr. 23/1 A; MD-2051, Chiinu;tel.: (+37322) 51-68-17; 51-57-49; fax: (+37322) 50-15-81;e-mail: [email protected], www.pronoi.md

Toate drepturile asupra acestei ediii aparin ntreprinderii Editorial-Poligrace tiina.


3/180

Introducere........................................................................................................................................................ 7

Capitolul I. CINEMATICA..................................................................................................................................... 8

1.1. Punctul material i solidul rigid modele utilizate n mecanic ....................................... 8

1.2. Sistem de referin. Spaiu i timp .................................................................................................... 10a. Relativitatea micrii. Sistem de referin ........................................................................................ 10b. Unitile de lungime i de timp .......................................................................................................... 11

c. Spaiul i timpul n mecanica clasic ................................................................................................. 121.3. Traiectoria. Deplasarea i distana parcurs ................................................................................ 13

a. Descrierea micrii unui punct material .......................................................................................... 13b. Traiectoria .................................................................................................................................................. 14c. Deplasarea i distana parcurs .......................................................................................................... 14d.oMicarea de translaie a rigidului ..................................................................................................... 15

1.4. Operaii cu vectori ..................................................................................................................................... 16a. Adunarea vectorilor ................................................................................................................................ 16b. Scderea vectorilor ................................................................................................................................. 17c. Componentele i proieciile unui vector ......................................................................................... 18

1.5. Micarea rectilinie uniform. Viteza ................................................................................................ 20

1.6.o Cinematica micriirelative................................................................................................................ 24

1.7. Micarea rectilinie uniform variat. Acceleraia ......................................................................... 27a. Micarea rectilinie neuniform. Viteza medie. Viteza momentan ....................................... 27b. Micarea rectilinie uniform variat. Acceleraia ............................................................................ 28c. Gracele proieciilor acceleraiei i vitezei ...................................................................................... 29

d. Legea micrii uniform variate a mobilului .................................................................................... 30e. Formula lui Galilei .................................................................................................................................... 31f.oRaportul distanelor parcurse de mobil n intervale de timp egale ......................................... 32g.Micarea corpului pe vertical............................................................................................................. 32

CUPR INS


4/180

1.8. Micarea circular uniform. Acceleraia centripet................................................................ 37a. Micarea circular uniform. Perioada i frecvena de rotaie ................................................. 37b. Acceleraia centripet ........................................................................................................................... 39c. Viteza unghiular ..................................................................................................................................... 40

1.9.oMicarea corpurilor pe traiectorii parabolice .............................................................................. 42

Capitolul II. PRINCIPIILE DINAMICII. FORELE NATURII ................................................................. 45

2.1. Principiul ineriei. Sisteme de referin ineriale ....................................................................... 45

2.2. Masa i fora. Principiul fundamental al dinamicii .................................................................... 47a. Interaciuni fundamentale .................................................................................................................... 47b. Masa ............................................................................................................................................................. 48

c. Fora .............................................................................................................................................................. 50d. Principiul fundamental al dinamicii .................................................................................................. 51e.oPrincipiul suprapunerii forelor ......................................................................................................... 53

2.3. Principiul aciunii i reaciunii ............................................................................................................. 55

2.4.oAtracia universal.................................................................................................................................... 56a. Legea atraciei universale ..................................................................................................................... 56b. Cmpul gravitaional ............................................................................................................................... 59c. Satelii articiali ......................................................................................................................................... 60

2.5. Fora elastic. Micarea sub aciunea forei elastice ............................................................... 63

2.6. Fora de frecare. Micarea n prezena forei de frecare......................................................... 67

2.7.oMicarea corpurilor sub aciunea mai multor fore.................................................................. 72

2.8.oPrincipiul relativitii al lui Galilei..................................................................................................... 77

Capitolul III. ELEMENTE DE STATIC .......................................................................................................... 81

3.1. Echilibrul de translaie al rigidului .................................................................................................... 81

3.2.o Momentul forei. Echilibrul de rotaie al rigidului.................................................................... 85

3.3.o Centrul de greutate al sistemului de puncte materiale. Centrul de mas .................... 87a. Centrul de greutate. Centrul de mas .............................................................................................. 87b. Determinarea poziiei centrului de greutate ................................................................................. 89

Capitolul IV. IMPULSUL MECANIC. LUCRUL I ENERGIA MECANIC ...................................... 92

4.1. Impulsul punctului material.Teorema variaiei i legea conservrii impulsului punctului material............................. 92


5/180

4.2. Impulsul sistemului de puncte materiale.Teorema variaiei i legea conservrii impulsului sistemului de puncte materiale...................... 95

a. Fore interne i externe. Proprietatea forelor interne ............................................................. 95b. Teorema variaiei impulsului sistemului de puncte materiale ................................................ 96c. Legea conservrii impulsului sistemului de puncte materiale. Aplicaii ............................. 97

doMicarea reactiv .................................................................................................................................... 99

4.3.o Momentul cinetic al punctului material. Legea conservrii momentului cinetic ..... 101

4.4. Lucrul mecanic. Puterea ......................................................................................................................... 103a. Lucrul mecanic al forei constante .................................................................................................... 103b. Puterea ........................................................................................................................................................ 106

4.5. Energia cinetic. Teorema variaiei energiei cinetice............................................................... 108

4.6. Lucrul forei de greutate. Energia potenial gravitaional............................................... 112

a. Fora de greutate for conservativ ............................................................................................. 112b. Energia potenial gravitaional ...................................................................................................... 113c. Echilibrul n cmpul gravitaional ....................................................................................................... 114

4.7. Lucrul forei elastice. Energia potenial elastic...................................................................... 116

4.8. Lucrul forei de frecare............................................................................................................................ 118

4.9. Legea conservrii i transformrii energiei mecanice ............................................................. 120

a. Legea conservrii i transformrii energiei mecanice n sisteme izolaten care acioneaz fore conservative ............................................................................................... 120

b.oCiocnirile corpurilor .............................................................................................................................. 122

c.oVariaia energiei mecanice a sistemului n prezena forelor neconservativei a forelor externe ................................................................................................................................. 124

Capitolul V. OSCILAII I UNDE MECANICE .............................................................................................. 127

5.1. Micarea oscilatorie .................................................................................................................................. 127

5.2. Oscilatorul liniar armonic ...................................................................................................................... 130

a. Pendulul elastic ........................................................................................................................................ 130b. Pendulul gravitaional ........................................................................................................................... 131c. Legea micrii oscilatorii armonice ................................................................................................... 133d. Caracteristicile momentane ale oscilaiilor armonice ................................................................ 135e.oReprezentarea micrii oscilatorii prin fazori ............................................................................... 136f. Dependena pulsaiei i perioadei oscilaiilor armonice libere de proprietile sistemului .... 137g. Energia oscilatorului liniar armonic .................................................................................................. 138

5.3.o Compunerea oscilaiilor coliniare ..................................................................................................... 141

5.4.o Oscilaii amortizate i forate. Rezonana ..................................................................................... 143

5.5. Propagarea micrii oscilatorii. Unde transversale i unde longitudinale .................... 145

5.6. Caracteristicile micrii ondulatorii. Viteza de propagare a undelor .............................. 147


6/180

5.7.oEcuaia undei plane .................................................................................................................................. 150

5.8. Principiul lui Huygens .............................................................................................................................. 152

5.9. Reexia i refracia undelor .................................................................................................................. 152a. Legile reexiei i refraciei .................................................................................................................... 152

b.oStudiul reexiei i refraciei cu ajutorul principiului lui Huygens ......................................... 153c.oComportamentul fazei undelor la reexie .................................................................................... 154

5.10. Difracia undelor ........................................................................................................................................ 155

5.11. Interferena undelor ................................................................................................................................ 156a. Studiul calitativ al interferenei undelor .......................................................................................... 156b.oStudiul cantitativ al interferenei undelor...................................................................................... 157

5.12.oUnde sonore ................................................................................................................................................ 159a. Clasicarea undelor sonore .................................................................................................................. 159b.Calitile sunetului ................................................................................................................................... 159

5.13.oUnde seismice ............................................................................................................................................. 161

LUCRRI DE LABORATOR ............................................................................................................................. 165Noiuni elementare despre calculul erorilor ............................................................................................. 165

a. Msurri i erori .............................................................................................................................................. 165b. Erorile msurrilor directe.......................................................................................................................... 166c. Erorile msurrilor indirecte ...................................................................................................................... 167d. Eroarea unei singure msurri.................................................................................................................. 169e. Prelucrarea grac a datelor experimentale ....................................................................................... 170

Lucrarea de laborator nr. 1Studiul micrii rectilinii uniform accelerate a unui corp ....................................................................... 171

Lucrarea de laborator nr. 2oDeterminarea constantei de elasticitate a unui corp cu proprieti elastice .................................... 172

Lucrarea de laborator nr. 3Determinarea coecientului de frecare la alunecare ............................................................................... 173

Lucrarea de laborator nr. 4.Studiul pendulului elastic ..................................................................................................................................... 175

Rspunsuri la probleme..................................................................................................................................... 177

NOT:Temele nemarcate snt obligatorii pentru ambele proluri. Cele marcate convenional (o) snt obligatoriipentru prolul real.


7/180

IntroducereO particularitate general a naturii ce ne nconjoar este schimbarea. Schimbrile,foarte diverse i complicate, se cerceteaz n cadrul tiinelor naturii: zica, biologia,chimia, astronomia, geologia .a.

Mecanica (n limba greac nseamn main sau tiina despre maini i me-canisme) este o ramur a zicii care studiaz cea mai simpl form de micare,numitmicare mecanic.

Micarea mecanic a unui corp este schimbarea n timp a poziiei lui n raport cualte corpuri.

Exemple de micare mecanic observm n jurul nostru la ecare pas: deschidereaochilor, ridicarea din pat, deschiderea uii, a robinetului, deplasarea spre coal etc.

n mecanic se disting dou compartimente care studiaz dou aspecte ale micriimecanice:

Cinematica(n limba greacmicare) cerceteaz formele micrii corpurilori caracteristicile acesteia, fr a evidenia ns factorii ce determin o form sau altade micare. La descrierea micrii se folosesc formule, grace i tabele. Cinematicaeste numit metaforic i geometrie a micrii.

Dinamica(n limba greac for) studiaz formele micrii corpurilor nfuncie de cauzele ce le condiioneaz. Astfel, n dinamic se rspunde la ntrebarea:De ce corpul se mic n modul dat?, ntrebare care nu-i gsete rspunsul ncinematic.

Un compartiment special al dinamicii este statica, ce studiaz doar repausul (echilibrul)corpului n vederea stabilirii condiiilor corespunztoare ale acestuia.

n natur mai exist o micare foarte frecvent ntlnit, care se repet dup anumiteintervale de timp. De exemplu: micarea unui corp suspendat la captul resortului saual unui r, a unei rigle metalice prinse la un capt, a crengilor copacilor sub aciuneavntului, btile inimii, vibraiile plmnilor n procesul respiraiei, vibraiile coardelorvocale i ale timpanelor care ne permit s vorbim i s auzim etc. Aceste micri sntnumite micri oscilatorii. n general, n urma aciunii unei anumite fore, orice corpmaterial poate efectua oscilaii, chiar dac acestea, n unele cazuri, snt de scurt durat.

Propagarea micrii oscilatorii n spaiu i timp reprezint micarea ondulatorie.Undele pot de natur diferit. n funcie de faptul ce oscileaz i n ce medii sepropag, se deosebesc unde: pe suprafaa apei, sonore n medii elastice, seismice nscoara terestr etc.

7


8/180

8

C a p i t o l u l I

CINEMATICA

1.1 PUNCTUL MATERIAL I SOLIDUL RIGID MODELEUTILIZATEN MECANIC

Cunoatei deja c micarea mecanic este cea mai simpl form a micrii.Totui aceast micare nu este de ecare dat foarte simpl. Urmrind atentcderea unei frunze, vei observa c ea se rotete, legnndu-se pe undele aerului(g. 1.1). Rsfoind manualul, l cu l, putei observa c, la nceput, foaia se

ndoaie, se deformeaz (adic i schimb forma), apoi diferite poriuni ale eise mic n mod divers. Aceste dou exemple snt suciente pentru a nelegec micarea mecanic n natur nu este ntotdeauna simpl i c descrierea eiexact poate foarte complicat.

ntrebarea reasc este dac n procesul studierii fenomenelor zice trebuies cunoatem i s analizm, de ecare dat, detaliat i amnunit micareacorpurilor.

S examinm un exemplu concret.Imaginai-v un pasager pe peronul unei gri, care ateapt sosirea trenului ce se a la civa

kilometri de gar. Pentru acest pasager, ca i pentru dispecerul grii (care urmrete mersultrenului pe o schem electronic,g. 1.2),este important s tie distana la care sea trenul, pentru a deduce dac trenulcircul n conformitate cu orarul stabilit.n aceast situaie, determinnd distanadintre tren i gar, putem face abstraciede dimensiunile trenului, care nu neintereseaz (ind cu mult mai mici dect

distana pn la el). Nu are importanpentru pasager i dispecer nici for-ma trenului, determinat de conturulporiunii de cale ferat pe care se a.Fig. 1.2

Fig. 1.1


9/180

9

CINEMATICA

Studiind micarea unei nave cosmice spre Lun sau spre o planet oarecare, vom ne-glija n calculele noastre dimensiunile navei, care snt foarte mici n comparaie cu distanaparcurs. Ajungem, aadar, la concluzia c n unele micri dimensiunile corpurilor conside-rate pot neglijate n raport cu distanele pn la alte corpuri sau cu distanele parcursede aceste corpuri. Astfel, s-a ajuns la un model foarte des utilizat n mecanic, modelulpunctului material.

Corpul ale crui dimensiuni spaiale potfineglijate n comparaie cu distana parcurssau cu distanele pnla alte corpuri este numitpunct material.

Din deniie reiese c punctul material nueste neaprat un corp mic, important ind cadimensiunile lui s poat neglijate n condiiiledate.

Evident, n alte condiii corpul respectiv nu

mai poate considerat punct material. Atuncicnd trenul intr n gar (g. 1.3), dimensiunile luidevin importante pentru pasagerul care ateaptanunul dispecerului privind ordinea numerotriivagoanelor: primele vagoane se a la ieirea pe peron n partea stng sau n cea dreapt aperonului. Rezult c modelul (noiunea) de punct material poate utilizat numai n cazul n caresnt satisfcute anumite condiii. Corpul n micare la care se neglijeaz nu numai dimensiunilespaiale, ci i alte caracteristici ale lui (masa, sarcina electric etc.) este numit mobil.

S examinm i s denim alt model de corp utilizat n mecanic. Cunoatem c forma i di-

mensiunile corpului dat depind, ntr-o anumit msur, i de corpurile cu care el interacioneaz.Astfel, lungimea unui resort poate mai mare sau mai mic, o lam poate mai mult sau maipuin ncovoiat etc. Deci corpurile din jur pot modica dimensiunile i forma corpului dat,adic provoac deformarea acestuia. n natur nu exist corpuri care nu se deformeaz, uneledeformndu-se n aceleai condiii mai puin, altele mai mult.

n anumite cazuri modicrile dimensiunilor i ale formei corpurilor pot neglijate.n aceste situaii se utilizeaz modelul solidului rigid.

Corpul care n condiiile date nu-i modific dimensiunile i forma (adicnu sedeformeaz) se numete solid rigidsau, pur i simplu, rigid.

Cu alte cuvinte, rigid este corpul la care distana dintre orice doupuncte rmneinvariabiln timp.

Pot utilizate i alte modele att pentru corpuri, ct i pentru fenomene zice. Necesitatealor rezult din faptul c proprietile corpurilor i fenomenele zice reale din natur sntfoarte complicate. De aceea se evideniaz unele proprieti (sau factori) ce nu inueneazesenial fenomenul studiat i snt neglijate. Acest procedeu este cunoscut sub denumirea deabstractizare, iar modelele elaborate snt numite abstracii. Veridicitatea modelului elaborateste justicat de corectitudinea prezicerilor obinute pe baza lui. Se ajunge, astfel, la o de-scriere aproximativ, dar mai simpl, a fenomenului studiat, ceea ce permite stabilirea unorrelaii cantitative ntre mrimile ce-l caracterizeaz. Ulterior pot evaluate i modicrilecondiionate de factorii neglijai asupra rezultatelor obinute anterior.

Fig. 1.3


10/180

10

C

A

PITO

LU

L

I

NTREBRI

1. Ce reprezint punctul material? Exemplicai.

2. Care este deosebirea dintre noiunea de punct material i cea de mobil?

3. Care corpuri solide se numesc rigide?

4. Mai multe automobile se a n faa barierei n ateptarea traversrii cii ferate. Poate con-siderat trenul drept un punct material fa de automobile?

5. Analizai situaiile urmtoare: o albin se mic pe petalele unei ori n cutarea nectarului; albinase a n zbor spre stup; albina zboar n faa urdiniului pentru a intra n stup. n ce caz albinapoate considerat punct material i n care nu? Argumentai rspunsul.

1.2 SISTEM DE REFERIN. SPAIU I TIMP

a.Relativitatea micrii. Sistem de referinn definiia micrii mecanice se menioneaz c schim-

barea poziiei corpului dat are loc n raport cu alte corpuri.De exemplu, poziia unui automobil poate fi determinatn raport cu o born kilometric de pe marginea oselei, cupodul de care se apropie, cu autobuzul ce vine din sens opus,cu tractorul ce se deplaseaz n direcie perpendicular fa de drumul pe care se micautomobilul (fig. 1.4) etc. Un pasager din autobuz se a n stare de repaus n raport cu

autobuzul, dar se mic fa de celelalte corpuri. Astfel, micarea automobilului sau a pa-sagerului poate descris n raport cu mai multe corpuri. Aadar, ajungem la concluzia c

micarea oricrui corp, precum i starea lui de repaus, ca un caz particular al micrii,snt relative.

Conchidem c nainte de a cerceta micarea unui corp, trebuie s indicm corpul n raportcu care este descris micarea. Acest corp, considerat x, este numitcorp de referin sau reper.

Pentru a determina poziia corpului, considerat punctmaterial, n raport cu un corp de referin, este necesar s

legm de el (n mod rigid) un sistem de coordonate i s avemun instrument de msurare a distanelor. Alegerea corpuluide referin legat cu originea unui sistem de coordonate, adireciei i sensului axelor acestuia este arbitrar. Descriereamicrii trebuie s e ct mai simpl pentru observatorul care ocerceteaz. De exemplu, studierea micrii unui corp pe puntea unuivas maritim poate realizat att n raport cu puntea vasului, ct i nraport cu Pmntul. La descrierea micrii navei cosmice spre Lun(g. 1.5), pot utilizate diferite corpuri de referin lansarea navei i micarea ei n vecintatea

Pmntului este mai convenabil s e descrise considernd Pmntul drept corp de referin.Micarea navei de la Pmnt spre Lun poate descris inndu-se cont de poziia ei att fade Pmnt, ct i fa de Soare sau de Lun; apropierea de Lun i aselenizarea navei se descriumai simplu dac se consider Luna drept corp de referin.

Fig. 1.5

Fig. 1.4


11/180

11

CINEMATICA

n deniia micrii mecanice se menioneaz, de asemenea,c schimbarea poziiei corpului are loc n timp. De aceea, pentrua descrie micarea, este necesar i un instrument de msurare atimpului (un ceasornic), imobil fa de corpul de referin.

Toate elementele enumerate mai sus, indispensabile pentru

a descrie micarea mecanic a corpurilor, constituie ceea cenumim sistem de referinsau referenial.

Corpul de referin, sistemul de coordonate (legat rigid cuel), instrumentul de msurare a distanelor i ceasornicul(imobil n raport cu acelai corp) formeazsistemul de referinsau referenial (consi-derat convenional fix, fig.1.6).

b. Unitile de lungime i de timp

Pentru a determina coordonatele punctului material la unmoment anumit de timp, este necesar s msurm lungimii intervale de timp. Pe aceastcale se stabilete cte uniticonine mrimea msurat(ea este egalcu numrul respectivde uniti). Msurarea mrimii fizice constn comparareaei cu o mrime de aceeai natur, consideratca unitate.

n prezent se utilizeazSistemul Internaional(SI), ce areapte uniti fundamentalestabilite, pentru apte mrimifizice.Unitile altor mrimi fizice se exprimprin cele fundamentale

i snt numite uniti derivate.Din gimnaziu cunoatei unitile de lungime i de timp metrul(m) i secunda(s). Metrul, ca unitate fundamental nSI, a fost denit n 1791 ca a 1/40000000 parte din lungimea meridianului terestru pe careeste situat Parisul. S-au realizat apoi msurrile respective i pe baza lor a fost stabilit unetalon al metrului, confecionat din platin (90%) i iridiu (10%), adoptat la 10 decembrie1799. Acesta reprezint o bar de construcie special, avnd la capete cte trei linii subiri.Lungimea de 1 m este egal cu distana dintre liniile de mijloc (g. 1.7). Etalonul se pstreazla Biroul Internaional de Msuri i Greuti de la Svres, lng Paris. Msurrile mai exacte

au artat c lungimea meridianului ales este mai mare dect valoarea obinut anterior, daretalonul metrului nu a fost modicat (el nu mai corespunde deniiei iniiale).Pentru msurarea timpului s-a folosit nc n Antichitate periodicitatea schimbrii zilei

cu noaptea, schimbare condiionat de rotaia Pmntului n jurul axei sale. Durata acestuiinterval numit zi s-a dovedit a mare, de aceea a fost divizat n mai multe pri: o zi conine24 de ore(aceast divizare a fost propus nc n Babilon), 1 or 60 de minute, iar 1 minut 60 de secunde. n SI secundaa fost adoptat ca unitate fundamental pentru timp:

1s = 124 60 60

= dintr-o zi.

Secunda astfel denit este numit secund astronomic.Pe baza acestor deniii ale metrului i secundei au fost construite instrumente ce permit

msurarea lungimilor i a intervalelor de timp cu precizii destul de mari, suciente pentruactivitatea cotidian a omului.

Fig. 1.7

1m

Fig. 1.6


12/180

12

C

A

PITO

LU

L

I

Cercetrile speciale necesit etaloane denite mult mai exact dect cele descrise mai sus,care ar putea realizate n cazul dispariiei etaloanelor existente. S-a stabilit c aciuneaLunii i a Soarelui asupra Pmntului frneaz rotaia acestuia n jurul axei sale, ceea ce ducela mrirea duratei unei zile cu circa 0,001s ntr-un secol. Durata zilei este inuenat i deschimbrile formei i ale dimensiunii Pmntului, de cutremurele de pmnt .a. n urmaunor cutremure de intensitate mare, durata zilei variaz brusc cu valori de pn la 0,004 s.

Se impune utilizarea unui sistem zic cu o periodicitate mult mai stabil. Aceasta esteradiaia emis de atomi, pus la baza denirii unor etaloane noi. n 1972, a fost adoptat onou deniie a secundei ca unitate fundamental n SI:

O secundeste egalcu 9 192 631 770 de perioade ale radiaiei ce corespunde tran-ziiei dintre douniveluri fine ale atomului de cesiu 133.

Tot radiaia atomilor, de aceast dat a atomilor de cripton, a fost pus n 1960 la bazadeniiei unui etalon nou al metrului. n 1983, acesta a fost nlocuit cu un alt etalon, care

este n uz i n prezent.Metrul este egal cu distana parcursde luminn vid n intervalul de timp egalcu 1/299 762 458 dintr-o secund.

Aceste etaloane se utilizeaz numai n cercetri speciale care necesit msurri cu ungrad nalt de precizie.

c. Spaiul i timpul n mecanica clasicCorpurile se mic n spaiu i n timp. Spaiul determin ordinea n care snt situate

(aranjate) corpurile, iar timpul, ordinea n care se succed fenomenele. Aceste noiuni seconsider fundamentale n zic.n mecanica clasic sau newtonian, ale crei principii fundamentale au fost formulate de

ctre Newton, spaiul i timpul snt considerate absolute, independente unul de altul, decorpurile ce se a i se mic n spaiu. De aici rezult concluzii importante: distana dintredou puncte (lungimea segmentului) pentru observatorii din diferite sisteme de referin esteuna i aceeai; aceasta se refer i la durata intervalului de timp dintre dou evenimente ladeterminarea ei observatorii din diferite sisteme de referin obin una i aceeai valoare.

La nceputul secolului al XX-lea, s-a constatat c aceste concepii referitoare la spaiu i

timp snt limitate i necesit modicri eseniale.

NTREBRI

1. Ce reprezint relativitatea micrii? Ilustrai cu exemple care difer de cele din text.

2. Ce este corpul de referin?

3. Ce reprezint sistemul de referin?

4. Care este deosebirea dintre unitile fundamentale i cele derivate?

5. Ce nelegei prin caracterul absolut al spaiului i al timpului?

6. Care este corpul de referin preferat la studiul micrii planetelor? Dar al sateliilor acestora?7. Un pescar traverseaz rul cu o luntre vslind. Ce corpuri pot luate drept corpuri de referin

la descrierea micrii vslei?

8. Poate considerat corp de referin corpul a crui micare se studiaz?


13/180

13

CINEMATICA

1.3 TRAIECTORIA. DEPLASAREA I DISTANA PARCURS

a. Descrierea micrii unui punct materialMicarea unui punct material este considerat cunoscut (descris) dac poate

identicat poziia lui la orice moment de timp.Exist cteva metode de descriere a micrii.

Metoda coordonatelor. S urmrim un punct material carese mic de-a lungul unei linii drepte (de exemplu, micareaautomobilului sau a trenului pe o poriune rectilinie de drum).n acest caz este raional s construim sistemul de coordonateastfel nct o ax a lui, de exemplu, axa Ox, s coincid cu aceast linie (g. 1.8). PoziiamobiluluiMpe ax este determinat de valoarea coordonatei xegal cu distana de la origi-nea Opn la punctulM, luat cu semnul plus, dac pentru a ajunge din OnMtrebuie s

ne micm n sensul pozitiv al axei x, i luat cu semnul minus n sens contrar. La micareamobiluluiMn timp, coordonata lui variaz, adic este o funcie de timp:

x = x (t). (1.1)

Ecuaia dat descrie micarea punctului material de-a lungulunei linii drepte i este numit ecuaie cinematic a micrii.

Pentru descrierea micrii unui punct material pe osuprafaplan(de exemplu: o luntre pe apa stttoare a unui lac sau o bilpe masa de biliard), este convenabil sconstruim un sistem dedoucoordonate situate n acest plan (fig. 1.9). Poziia punctuluimaterialMpe plan este determinatde coordonatelexiy, egalecu distanele lui de la axele de coordonate i luate cu semnele plussau minus n acord cu convenia stabilitn cazul precedent. Deexemplu, coordonatele punctuluiMsnt

x= OM2=MM1 i y= OM1=MM2 ,iar coordonatele punctuluiM:

x = OM2=MM1 iy = OM1= MM2.

La micarea punctului material, coordonatele lui variaz, adicx = x (t), y = y (t). (1.2)

Astfel, micarea punctului material pe o suprafa plan estedescris de dou ecuaii cinematice ale micrii.

n cazul micrii punctului material M n spaiu, se iau trei axe de coordonate, reci-proc perpendiculare (g. 1.10). Poziia punctului materialMeste determinat de cele treicoordonate x, y, z, egale cu distanele punctului de la planele perpendiculare pe axelecorespunztoare. Distanele se iau cu semnele plus sau minus conform regulii stabilite maisus. De exemplu, punctulMare coordonatele:x = M1M2, y = OM2,z = MM1, iar punctul

M

are coordonatele:x

= M

1M

2,y

= OM

2,z

=M

M

1.Cnd punctul material se mic, cele trei coordonate variazn timp, prin urmare: x = x (t), y = y (t), z = z (t). (1.3)

Aceste trei ecuaii cinematice ale micrii descriu complet micarea punctului material n spaiu.

Fig. 1.8

Fig. 1.9

Fig. 1.10


14/180

14

C

A

PITO

LU

L

I

Metoda vectorial. Poziia mobiluluiMn raport cu sistemul decoordonate, legat rigid cu corpul de referin, poate fi determinat,de asemenea, de un vector numit vector de poziie. Amintim cvectorul este un segment de dreapt orientat, caracterizat prinmodl (valoare), punct de aplicaie (origine), direcie i sens.Originea vectorului de poziie r = OM

coincide permanent cuoriginea coordonatelor O, iar extremitatea sa cu punctul materialM(fig. 1.11). Modulul vectorului de poziie este egal cu distanade la originea coordonatelor pn la punctulM.

Cunoaterea vectorului de poziie r presupune cunoatereamodulului su i a unghiurilor formate cu axele de coordonate saucunoaterea coordonatelor extremitii luiM.

Pentru a descrie micarea corpului ntr-un plan, reprezentm vectorul de poziie al unui

punct material ce se mic n acest plan (g. 1.12). Notm cu

unghiul msurat n senstrigonometric, de la axa Oxspre vectorul de poziie. Cunoaterea modulului vectorului depoziie i a unghiului permite calcularea coordonatelor mobilului i invers.

Din gur obinem x = r cos, y = r sin i relaiile inverse .Aceste relaii rmn valabile pentru orice valori ale unghiului .n timpul micrii mobilului M, vectorul lui de poziie variaz n modl i direcie,

originea sa rmne x (n O), iar sensul este mereu orientat de la O spreM. Astfel, vectorulreste o funcie de timp:

r

= r

(t). (1.4)

Aceast ecuaie descrie complet micarea mobilului.

b. TraiectoriaMobilul n timpul micrii sale trece dintr-o poziie n alta.

Ansamblul poziiilor ocupate succesiv de mobil constituie o linie numittraiectorie.

Traiectoria permite vizualizarea simultan a tabloului integral al micrii, al tuturorpunctelor prin care a trecut sau va trece mobilul n timpul micrii.

Traiectoria reprezint, n genere, o linie imaginar i doar uneori este materializat de

corpuri. De exemplu, linia de cale ferat determin traiectoria trenului, srma care treceprintr-o bil determin traiectoria acesteia n timpul alunecrii pe srm etc.Forma traiectoriei este pus la baza primei clasicri a micrilor mecanice ale mobilului:

n micri rectilinii(traiectoriile snt linii drepte) i n micri curbilinii (traiectoriile sntlinii curbe, n plan sau n spaiu).

c. Deplasarea i distana parcursConsiderm traiectoria unui mobil (g. 1.13) i dou poziii ocu-

pate de el pe traiectorie: poziiaMla momentul de timp ti poziia

M

la momentul ulterior de timp t

= t+t.Vectoruls=MMcare unete poziia iniialMi cea finalMse numete vector deplasare sau deplasare sa mobiluluin intervalul de timp t = t t.

Fig. 1.11

Fig. 1.12

l

Fig. 1.13


15/180

15

CINEMATICA

Modulul deplasrii (lungimea vectorului deplasare) este distana minim dintre acestepoziii i nu depinde de forma traiectoriei dintre ele.

Lungimea traiectoriei ldintre poziiileMiMse numete distanparcursde mobiln intervalul de timpt.

Deplasarea mobilului este o mrime vectorial i nu poate comparat cu distanaparcurs, care reprezint o mrime scalar. Ultima poate comparat doar cu modululdeplasrii ce nu poate depi distana parcurs: sl.

d.oMicarea de translaie a rigidului

Micarea de translaie a rigidului este micarea n care segmentulde dreaptce unete doupuncte arbitrare ale rigidului rmneparalel cu sine nsui (fig. 1.14).

n jur observm deseori corpuri n micare de translaie: valiza curotile ce coboarpe o suprafanclinat(fig. 1.15), telefericul ce urcsau coboar, dar a crui podea rmne permanent orizontal(fig. 1.16), scaunele roii decontemplare (roata dracului) ale cror speteze snt permanent verticale (fig. 1.17) etc.

Cercetnd detaliat micarea de translaie a corpuluidin figura 1.14, observm csegmentul ABce unetepunctele arbitrareA i B ocup ulterior poziia AB.n conformitate cu definiia rigidului, segmenteleABiABau lungimi egale, iar potrivit definiiei micrii detranslaie, aceste segmente snt paralele. Prin urmare, pa-

trulaterulABB

A

este un paralelogram. Deci n intervalulde timp ct a durat aceastmicare, deplasrile punctelorarbitrareAiBsnt egale: . Punctelefiind arbi-trare, rezultcdeplasrile tuturor punctelor rigidului n micare de translaie snt egale ntreele, adictoate punctele au traiectorii identice. Acest fapt permite sconsiderm rigidul nmicare de translaie drept punct material, chiar dacdimensiunile corpului nu snt neglijabile.

NTREBRI I PROBLEME

01. Ce metode de descriere a micrii mobilului cunoatei?

02. Care este deniia vectorului de poziie?

03. Ce numim traiectorie a unui punct material?

04. Cum se denete vectorul deplasare? Dar distana parcurs?

Fig. 1.14

Fig. 1.15 Fig. 1.16

Fig. 1.17


16/180

16

C

A

PITO

LU

L

I

05. n ce const micarea de translaie? Cum se mic punctele corpului n cazul micrii de translaie?

06. Poate oare modulul deplasrii unui corp s e egal cu distana parcurs? Dar mai mare? Maimic? Argumentai rspunsul.

07. Deplasarea mobilului ntr-un interval de timp este egal cu zero. Se poate oare arma c nacest interval mobilul s-a aat n repaus? Justicai rspunsul.

08. Ce indic contorul vitezometrului automobilului: modulul deplasrii sau distana parcurs?09. Coordonatele punctului material la un moment de timp snt: x= 8 m,y= 6 m. Trasai pe caiet

axele unui sistem plan al coordonatelor i reprezentai n el poziia punctului i vectorul lui depoziie. Determinai n baza gurii obinute modulul vectorului de poziie i unghiul formatde el pe axa Ox. Vericai rezultatele efectund calculele respective (vezi p. 14).

10. Un corp aruncat vertical n sus de la nlimea h= 3m deasupra pmntului se ridic n suscu H= 7 mdeasupra locului lansrii, apoi cade pe pmnt. Determinai modulul deplasrii idistana parcurs de corp n aceast micare.

11.Un grup de turiti parcurge distana l1= 1,6 kmn direcia Nord, apoi nc l2= 1,2 kmndirecia Vest. Determinai modulul deplasrii grupului de turiti i cu ct el este mai mic dectdistana parcurs.

12. O bil se mic de la un capt pn la altul al unui jgheab de forma unui semiinel de razR= 0,5 m. Determinai modulul deplasrii bilei i distana parcurs de ea.

13. Un sportiv alearg pe un stadion distana L= 200 m. Pista de alergri prezint un semicercurmat de o poriune rectilinie cu lungimea l= 100 m. Care este modulul deplasrii sportivului?

1.4 OPERAII CU VECTORI

a.Adunarea vectorilorn zic se utilizeaz pe larg mrimile vectoriale, dou dintre ele ind deja denite:

vectorul de poziie i deplasarea. Din cursul deMatematic, clasa a VIII-a, cunoatei uneleelemente de algebr vectorial.

Regula adunrii (compunerii) vectorilor poate stabilit relativ simplu, analiznd unexemplu de micare. Imaginai-v intersecia a dou strzi i un pieton care se a n poziiaAi trebuie s ajung n poziia B(g. 1.18). Trecerea direct de laAla B, n linie dreapt,este interzis de regulile de circulaie. De aceea pietonul traverseaz mai nti una din strzi

ca s ajung n poziia C, apoi strada a doua i ajunge n poziia B.n conformitate cu deniia, vectorul s=AB este deplasarea pietonului n tot intervalul de

timp. Aceast deplasare se compune din dou etape,s1=AC

is2= CB

, efectuate succesiv. Deci

s= s1 + s

2. (1.5)

Acest exemplu ilustreaz regula adunrii vectorilor. Considerm doi vectori: aib

(g. 1.19, a) i notm suma lor cu c= a+b

. Reprezentm ngura1.19, bvectorul a, apoi

translm paralel vectorulb

cu originea sa n extremitatea vectorului a. Vectorul sum c,numit i rezultant, i are originea n cea a primului vector ai extremitatea n cea a vec-torului al doilea b

. Acelai rezultat cse obine dac efectum operaia menionat mai sus n

ordine invers, adic reprezentm mai nti vectorul b

, iar pe urm vectorul a(g. 1.19, c).Aceast regul de adunare a vectorilor este cunoscut ca regula triunghiului.

Rezultatul adunrii vectorilor rmne acelai dac realizm o alt gur: reprezentmvectorii ce se adun, aib

, cu originea comun, construim pe ei un paralelogram, apoi


17/180

17

CINEMATICA

diagonala lui, care pornete din originea comun a acestor vectori. Vectorul sum c pornetedin aceast origine i are ca extremitate vrful opus al paralelogramului (g. 1.19, d). Aceastregul a fost denumit regula paralelogramului.

Avem dou reguli echivalente de adunare a vectorilor. n cazul folosirii regulii triun-ghiului se construiesc doar dou laturi ale paralelogramului i diagonala lui.

La adunarea mai multor vectori una dintre regulile expuse mai sus se aplic de mai multeori, rezultatul ind independent de ordinea n care acetia se adun (g. 1.20).

Modulul vectorului sum poate fi determinat att grafic, prin construirea figuriicorespunztoare la o scal aleas, ct i analitic. De exemplu, dac vectorii aib

au suport

comun i acelai sens (g. 1.21, a), atunci modulul sumei este egal cu suma modulelor; dacns vectorii au suport comun, dar sensuri contrare (g. 1.21, b), vectorul sum este orientatn sensul vectorului cu modulul mai mare i are modulul egal cu diferena modulelor vecto-rilor ce se adun; n cazul n care vectorii aibformeaz ntre ei un unghi drept (g. 1.21, c),modulul vectorului sum se determin pe baza teoremei lui Pitagora: c = . n altecazuri se utilizeaz aparatul matematic adecvat, de exemplu, teorema cosinusului.

b.Scderea vectorilorConsiderm doi vectori aib

. Diferena lor d

=a b

poate determinat prin cteva

metode.Observm c a=b

+ d

, adic vectorul aeste vector sum. Construim vectorii aib

cuorigine comun. Evident, vectorul d

este segmentul orientat din extremitatea vectorului

b

spre extremitatea lui a(g. 1.22, a).

S2

S1

S

Fig. 1.19Fig. 1.18

Fig. 1.20

Fig. 1.21


18/180

18

C

A

PITO

LU

L

I

Transformm relaia d= ab

= a+ (b

). Astfel, vectorul diferend

se obine prinadunarea vectorilor ai (b

), ultimul avnd acelai modl i aceeai linie de suport ca i

vectorulb

, dar sens contrar (g. 1.22, b). Din gurile de mai jos observai c prin ambelemetode se obine unul i acelai rezultat.

Cunoaterea operaiei de scdere a vectorilor permite s exprimm vectorul deplasaresal mobilului prin vectorii de poziie rir ai locurilor ocupate de acesta la nceputuli la sfritul intervalului de timp. Dingura1.23observm c s= rr= r, unde cur= rrs-a notat variaia vectorului de poziie al mobilului.

Vectorul deplasare al mobilului ntr-un interval oarecare de timp este egal cu variaiavectorului de poziie al mobilului n acest timp.

c. Componentele i proieciile unui vector

Din cele expuse mai sus rezult c este relativsimplu a determina modulul vectorului sum sau alvectorului diferen a doi vectori dac aceti vectorisnt coliniari sau reciproc perpendiculari. Dac nsunghiul dintre vectori este arbitrar i se opereazcu mai muli vectori, procedura adunrii (scderii)se complic considerabil. Pentru a o simplica, seintroduc noiunile de componente i de proiecii alevectorilor.

Orice vector situat n planul de coordonate xOypoate prezentat ca suma a doi vectori paraleli laaxele de coordonate (g. 1.24). Aceti vectori senumesc componente ale vectorului. Astfel, compo-nentele unui vector snt tot vectori. Componenta se noteaz ca i vectorul corespunztor,dar cu indice care arat axa creia i este paralel. Astfel, cx

este componenta vectoruluicparalel la axa Ox, iarcy

este componenta aceluiai vector paralel la axa Oy. Conformdeniiei, cx+ cy

= c.Folosind componentele vectorilor, sistemul iniial de vectori orientai arbitrar n plan se

nlocuiete cu un sistem de vectori n numr de dou ori mai mare, dintre care o jumtatesnt paraleli la axa Ox, iar alt jumtate paraleli la axa Oy. Dup adunarea vectorilor dinecare jumtate, se obin doi vectori reciproc perpendiculari. Procedura adunrii vectorilors-a simplicat.

Fig. 1.22 Fig. 1.23

Fig. 1.24


19/180

19

CINEMATICA

Pentru a efectua calculele prin metoda analitic, introducem nc o noiune proieciavectorului pe o ax, n particular, pe axa de coordonate. Conform deniiei, proieciaunui vector pe o ax reprezint o mrime scalar algebricegal cu modulul com-ponentei vectorului n direcia acestei axe, luat cu semnul plus dac componenta i axarespectiv au acelai sens sau cu semnul minus n cazul n care sensul componentei estecontrar sensului axei.

Proiecia vectorului ape axa Oxse noteaz cu ax , proiecia vectoruluib

pe axa Oy cubyetc. Conformgurii1.24, proieciile vectorilor snt:

ax=ax,ay= ay

,bx= bx,by= by

,cx= cx

,cy=cy.

Exist i o alt deniie, echivalent, a proieciei vectorului pe o ax. S examinm vec-torul adingura1.25. Coborm perpendiculare din originea i extremitatea lui pe axele decoordonate. Astfel, se obin proieciile punctelor respective pe axe. Proiecia vectorului pe oax este egal cu diferena dintre coordonatele proieciei extremitii i proieciei vectorului

originii. Adic ax= x2 x1i ay= y2 y1. Observm c ax> 0 i ay< 0, ceea ce rezult i dindeniia precedent.Proieciile vectorului se pot calcula ca lungimile catetelor triunghiurilor dreptunghice.

Cunoscnd un unghi (g. 1.25), pentru proiecii avem ax= a sin i ay= a cos .Din aceeai gur se obine i relaia dintre modulul vectorului i proieciile lui pe axele

de coordonate:. (1.6)

S ilustrm aplicarea noiunii de proiecie a vectorului la calcularea sumei a trei vectoris= a+b

+ c(g. 1.26). Din gur observm c proiecia vectorului sum pe axa Oxeste

sx= x4 x1= (x4 x3 )+ (x3 x2 )+ (x2 x1 )= cx+ bx+ ax.n mod similar se obine:sy=ay+ by+ cy.

Proiecia vectorului suma unui sistem de vectori este egalcu suma proieciiloracestor vectori pe axa corespunztoare.

innd seama de relaia (1.6), pentru modulul vectorului sum avem

s= s2x + s2y= (ax+ bx+ cx)

2+(ay+ by+ cy)2. (1.7)n cazul diferenei vectorilor, proieciile respective se iau cu semnul minus.

Fig. 1.26Fig. 1.25


20/180

20

C

A

PITO

LU

L

I

NTREBRI I PROBLEME

01. Cum se adun doi vectori dup regula triunghiului? Dar dup regula paralelogramului?

02. Ce reprezint componentele unui vector?

03. Cum se determin proiecia unui vector pe o ax?

04. Cu ce este egal proiecia pe o ax a vectorului perpendicular pe ea?

05. Suma a cror doi vectori este egal cu zero?

06. n ce caz modulul sumei a doi vectori este egal cu diferena modulelor vectorilor ce se adun?

07. Modulul vectorului sum a doi vectori de module identice este egal cu modulul unuia dintreei. Care este unghiul dintre vectorii ce se adun?

08. Trei vectori de module egale, situai n acelai plan, formeaz ntre ei unghiuri de 120o. Careeste modulul sumei acestor vectori?

09.Proieciile vectoruluiape axele de coordonate sntax=2 uniti i ay = 2uniti. Determinaimodulul acestui vector i unghiurile formate de el cu axele de coordonate.

10. Vectorul aare proieciile pe axele de coordonate ax= 6 uniti i ay= 4 uniti, iar vectorulb proieciile egale cu bx=2uniti i by= 2uniti. Determinai modulul vectorului sums = a + b i modulul vectorului diferen d = ab.

11. Un punct material s-a deplasat din poziiaM1determinat de coordonatelex1= 6m,y1= 2 mn poziiaM2cu coordonatele x2= 2m,y2= 1m. Alegei un sistem plan de coordonate Oxyiscala respectiv pentru lungime. Indicai poziiileM1iM2, trasai vectorii respectivi de poziier1ir2, precum i vectorul deplasare s = r2 r1. Determinai, n baza gurii obinute, modululvectorului deplasare. Vericai rezultatul prin calculele respective.

1.5 MICAREA RECTILINIE UNIFORM. VITEZA

Micarea rectilinie a punctului material care parcurge deplasri egale n intervalede timp egale se numete micare rectilinie uniform.

Fie s1, s

2, s

3, snt deplasrile mobilului n intervalele de timp t1, t2, t3, corespunztoare. n conformitate cu deniia de mai sus, s1= s

2= s

3=, pentru orice

intervale t1= t2= t3= . Dac unul dintre aceste intervale este divizat n dou priegale, atunci i deplasarea ce corespunde unei jumti de interval va egal cu o jumtatedin deplasarea efectuat n intervalul ntreg de timp. Aceast armaie rmne just i ncazul divizrii intervalului de timp n mai multe pri egale.

Egalitatea vectorilor deplasare ai punctului material este posibil numai dac acetiasnt orientai de-a lungul aceleiai drepte. Astfel, conchidem c n condiiile prevzute dedeniia de mai sus traiectoria mobilului constituie o linie dreapt, adic micarea esterectilinie, iar din egalitatea deplasrilor i, respectiv, a intervalelor de timp rezult egali-tatea rapoartelor:

= = ... = = ... = const.

Deci n micarea rectilinie uniform raportul dintre deplasarea punctului material iintervalul de timp corespunztor este o mrime constant.


21/180

21

CINEMATICA

Viteza mobilului n micarea rectilinie uniformeste numit raportul dintre depla-sarea mobilului i intervalul de timp respectiv:

= = const. (1.8)

Intervalul de timpt

> 0; prin urmare, viteza are aceeai direcie i sens ca i vectoruldeplasare. Putem formula o alt deniie pentru aceeai micare:

Micarea mobilului cu vitezconstant este o micare rectilinie uniform.

S-a convenit a nota unitile mrimilor zice cu simbolurile respective luate n paran-teze ptrate. De exemplu, unitatea deplasrii [s] = m, a intervalului de timp [t] = s. Lastabilirea unitii de vitez n SI, obinem

[ v]= .

Unitatea de vitez este o unitate derivat, deoarece se exprim prin unitile fundamentale.Pentru a descrie mai simplu micarea mobi-

lului de-a lungul traiectoriei sale rectilinii, esteconvenabil s lum o ax de coordonate, Ox,de-a lungul traiectoriei (fig. 1.27). Indicm peax poziia iniial a mobilului M0(la momentult0= 0) i poziia nalM

(la momentul t). Deplasarea mobilului n intervalul t= t 0= t

este egal cu vectorul =s, iar viteza lui v= . De aici exprimm deplasarea mobilului

n intervalul t = t:s

=

t. (1.9)

Legea micrii rectilinii uniforme este urmtoarea:

Deplasarea mobilului ce se micrectiliniu uniform este direct proporional cudurata micrii.

n proiecii pe axa Oxavemsx= xt. (1.10)

Dingura1.27observm c proiecia deplasriisx= x x0, deci x x0= vxt. Astfel, co-ordonata mobilului ce se mic rectiliniu uniform este dat de expresia

x = x0+ x t, (1.11)care constituieecuaia cinematica micrii rectilinii uniforme.

Din (1.11) observm c pentru vx> 0, cnd viteza esteorientat n sensul pozitiv al axei Ox, coordonata xcrete cutimpul, iar pentru vx< 0 ea descrete.

Ecuaia micrii (1.11) permite a determina coordonatamobilului la orice moment de timp, adic descrie micareadat.

Construim gracele pentru proieciile vitezei i pentrucoordonata mobilului n micarea rectilinie uniform.Proiecia vitezei rmne constant n timp, gracul ei

este o dreapt paralel la axa timpului (g.1.28). Dreapta 2

Fig. 1.27

2

3

1

Fig. 1.28


22/180

22

C

A

PITO

LU

L

I

corespunde micrii cu o vitez v2xmai mare dect viteza v1x ,iar dreapta 3 corespunde micrii n sensul negativ al axei Ox(proiecia v3x< 0).

Cunoaterea gracului pentru proiecia vitezei mobilu-lui permite calcularea proieciei deplasrii lui. Din graculreprezentat n gura 1.29 i lund n considerare formula(1.10), constatm c proiecia deplasrii s1x = v1x . t1 estenumeric egal cu aria dreptunghiului haurat dintre grac iaxa timpului. Dac proiecia vitezeiv2x< 0, atunci i proieciadeplasrii este negativ.

Se tie c laturile gurilor se exprim n metri (m), iar ariile lor n metri ptrai (m2).Dreptunghiul de sub gracul proieciei vitezei are o latur (pe axa absciselor) care seexprim n s, a doua n m/s, iar aria lui se exprim n metri. Analogia cu geometria nueste complet, de aceea se menioneaz c egalitatea proieciei deplasrii cu aria de subgrac reprezint doar o egalitate numeric, unitatea de msur ind diferit de unitateade msur a ariei (m2).

n conformitate cu ecuaia micrii (1.11), la momentuliniial (t0 = 0) coordonata mobilului este egal cu x0, apoicrete liniar pentru vx> 0 (gracul 1 din g. 1.30). Gracul2 corespunde micrii cu o vitez mai mare, ambele mobilepornind din aceeai poziie. Gracul 3, paralel cu gracul 1,corespunde micrii ce are ca poziie iniial originea coor-donatelor i viteza v3x= v1x. Gracul 4 corespunde micriimobilului care ncepe din poziia cu coordonata x0 i areproiecia vitezei v4x< 0, adic mobilul se mic n sensulnegativ al axei Ox.

Distana parcurs de punctul material n micarea rectilinieuniform este egal cu modulul deplasrii, deoarece sensulmicrii rmne permanent acelai. Avem l= |sx|= |vx|t.

Dac cunoaterea gracului proieciei vitezei permite de-terminarea deplasrii, deci i a coordonatei, atunci cunoatereagracului coordonatei permite calcularea proieciei vitezei. nacest scop, determinm din grac variaia coordonatei (egalcu proiecia deplasrii) ntr-un interval oarecare de timp t(g. 1.31), apoi calculm:

x= . (1.12)

Din aceeai gur observm c aceast mrime este raportul catetei opuse la catetaalturat unghiului , adic un raport asemntor celui care denete tangenta unghiului.Aceasta ns este o mrime adimensional, n timp ce raportul catetelor triunghiului dingura 1.31reprezint o mrime dimensional i se msoar n uniti de vitez (m/s). Deaceea trebuie s m ateni la utilizarea n asemenea cazuri a noiunii de tangent, subliniindc egalitatea mrimilor n cauz este doar numeric.

Fig. 1.29

Fig. 1.30

Fig. 1.31


23/180

23

CINEMATICA

PROBLEM REZOLVAT

n gura 1.32snt reprezentate gracele micrii pentru dou mo-bile. Utiliznd gracele:

a) determinai intervalele de timp i distanele parcurse de mobile

pn la ntlnirea lor;b) determinai vitezele mobilelor;c) scriei ecuaiile micrii mobilelor;d) determinai distana dintre mobile la t= 4 sdup ntlnire.

REZOLVARE

a) Punctul de intersecie al gracelor corespunde ntlnirii mobilelor,adic aceasta are loc la momentul de timp tnt= 6 sn punctul cucoordonata xnt= 8 m. Mobilul 1 ncepe micarea sa din punctulcu coordonata x01= 5 mla momentul t01= 0, deci pn la ntlnire

parcurge distana l1= xnt x01= 3 mn timpult1= tnt t01= 6 s. Mobilul 2ncepe s se deplasezela momentul t02= 2 sdin origine: x02= 0. Pn la ntlnire el parcurge distana l2= xnt x02= 8 m

n timpul t2= tnt t02= 4 s.b) Vitezele ambelor mobile snt orientate n sensul pozitiv al axei Ox:

v1= = 0,5 m/s i v2= =2 m/s.

c) Ecuaia micrii mobilului 1 se obine din expresia general x= x0+vxt, n care se sub-stituie valorile obinute mai sus: x1= x01+v1t= 5 + 0,5t. Cel de-al doilea mobil ncepe sse deplaseze din origine (x02= 0)cu t02= 2 s mai trziu dect primul, ecuaia micrii luifiind x2= v2(t t02) = 2(t2). n aceast expresie se pot substitui doar valorile t>_2 s .

d) Distana dintre mobile d= |x1 x2| = |5 + 0,5 t 2 (t 2)| = |9 1,5 t|. Intervalul de timpt = 4 sdup ntlnire corespunde momentului de timp t1= tnt + t= 10 s. Distana dlaacest moment: d= 6 m.

NTREBRI I PROBLEME

1. Care micare a mobilului este numit rectilinie uniform?

2. Ce se numete vitez a mobilului n micare rectilinie uniform?

3. Cum se denete micarea rectilinie uniform prin noiunea de vitez?

4. Cum poate determinat proiecia deplasrii mobilului n micare rectilinie uniform cndeste cunoscut gracul vitezei?

5. Ce indic vitezometrul automobilului: proiecia vitezei sau modulul ei?

6. Un automobil care se mic rectiliniu uniform cu viteza v1= 54 km/ha parcurs n t1= 10 sodistan egal cu cea parcurs de un motociclist n t2= 12 s. Care este viteza motociclistului,considernd micarea lui, de asemenea, rectilinie uniform?

7. Un tren cu lungimea l= 160 mtraverseaz un ru pe un pod cu lungimea L= 290 m. Ct timpdureaz micarea trenului pe pod cu viteza constant v= 18 km/h?

8. Un mobil se mic rectiliniu uniform. La momentul t1= 2 scoordonata lui x1= 5 m, iar lamomentul

t2

= 4 scoordonata devine egal cu

x2

= 2 m. Scriei ecuaia micrii mobilului.

9. Dou mobile se mic de-a lungul axei de coordonate Oxconform ecuaiilor x1= 3 + 2t ix2= 17 3 t, n care timpul teste exprimat n s, iar coordonata x n m. Construii gracelepentru coordonatele i proieciile vitezelor mobilelor; determinai momentul ntlnirii lor idistanele parcurse de ele pn la ntlnire.

Fig. 1.32


24/180

24

C

A

PITO

LU

L

I

1.6 CINEMATICA MICRII RELATIVE

Mai sus (par. 1.2, a) s-a menionat c micarea este relativ, adic poate descris simul-tan fa de mai multe sisteme de referin. n acest caz este important s stabilim ce relaiiexist ntre caracteristicile micrii unuia i aceluiai corp n sisteme de referin diferite.

De exemplu, un elev se deplaseaz cu autobuzul. Admitem c el s-a aezat pe un scaun(g. 1.33, a). Fa de autobuz elevul se a n repaus, dar fa de staia de autobuze (dePmnt) el se mic mpreun cu autobuzul. Astfel, acest elev fa de un referenial se an repaus, iar fa de altul se mic. De aceea se spune c starea de repaus este relativi depinde de alegerea referenialului. Deplasarea elevului fa de referenialul legat deautobuz (referenialul mobil) este nul s1 = 0, iar deplasarea sa s fa de referenialullegat de Pmnt (referenial considerat convenional x) devine egal cu deplasareas2 aautobuzului, adic

s

=s

2pentrus

1

=0. (1.13)O alt situaie: elevul intr n autobuz prin ua din spate i trece pn la ua din fa

n timp ce autobuzul se mic. Dup cum se observ din gura 1.33, b, deplasareas aelevului fa de Pmnt este egal cu deplasarea sas1 fa de autobuz plus deplasarea s

2

a acestuia:s= s1

+s2 . (1.14)Deplasrile elevului n raport cu cele dou

refereniale snt diferite, deci ele snt relative,

adic dependente de referenialul ales.Dac ns elevul intr n autobuz prin uadin fa i se deplaseaz spre partea din spate alui, relativitatea micrii este i mai evident: nraport cu autobuzul elevul se deplaseaz ntr-unsens (n sensul deplasrii sale s1), iar n raport cuPmntul n sens contrar (i cu spatele nainte!).Din gura 1.33, cobservm c i n acest cazdeplasrile corpurilor satisfac relaia (1.14).

Corpurile din exemplele de mai sus se micaun aceeai direcie. S examinm acum un cazcnd ele se mic n direcii diferite: pe suprafaaapei unui ru se deplaseaz simultan, porninddin acelai loc, o plut i o luntre cu vsle, aceastainnd cursul su perpendicular pe direciacurentului de ap (g. 1.34). Pluta i luntrea sntantrenate n micare de curentul de ap la fel,rmnnd permanent pe o direcie perpendicular fa de curentul de ap. n timpul n care

luntrea ajunge la malul opus al rului, aceasta, ca i pluta, s-a deplasat n direcia curentuluide ap cu s2 . Deplasarea luntrii n raport cu pluta, deci i n raport cu curentul de ap, esteegal cus1 . Din gur observm c deplasareas

a luntrii n raport cu malul satisface relaias

=s

1 +s

2 , obinndu-se din nou relaia (1.14).

Fig. 1.33

Fig. 1.34

S2

S1

S


25/180

25

CINEMATICA

Micarea corpului fade sistemul mobil i caracteristicile acesteia snt numite rela-tive: deplasare relativ, vitezrelativ.Micarea corpului i caracteristicile ei n raport cu sistemul de referinconsideratfix snt numite absolute: deplasare absolut, vitezabsolut.

Micarea corpului cauzatnumai de micarea sistemului mobil este numitmicarede transport i, respectiv, caracteristicile ei: deplasare de transport, vitezde transport.

Din aceste deniii reiese c pentru a evidenia micarea de transport i a determina carac-teristicile ei, este necesar s ne imaginm corpul n repaus fa de referenialul mobil.

n aceti termeni relaia (1.14) se enun astfel:

Deplasarea absoluta corpului este egalcu suma deplasrii relativei a celei de transport.

Aceasta este legea compunerii deplasrilor.La prima vedere, relaia (1.14) este identic cu relaia (1.5). n ambele cazuri se adun

vectorii deplasare. Dar n relaia (1.5) se adun vectorii deplasare ai corpului pentru in-tervale succesive de timp t1i t2, obinndu-se deplasarea corpului n ntreg intervalulde timp ( t= t1+ t2). n relaia (1.14) ns gureaz deplasri ale corpului n unul iacelai interval de timp, dar fa de refereniale diferite, i deplasarea corpului condiionatde micarea referenialului mobil.

Considerm c micarea relativ a corpului i cea a referenialului mobil snt rectilinii iuniforme. Atunci i micarea n raport cu referenialul x este rectilinie i uniform.

Notm cu tdurata micrii (timpul este absolut, deci durata teste aceeai n ambelesisteme de referin). mprind termenii relaiei (1.14) la t, obinem

. (1.15)

Mrimea v= constituie viteza absolut (n raport cu referenialul x), v1= este

viteza relativ (n raport cu referenialul mobil) i v2= viteza de transport, adic viteza

pe care o are corpul datorit micrii referenialului mobil.Relaia (1.15) ia forma

= 1+ 2

. (1.16)

Viteza absoluta mobilului este egalcu suma vitezei relative i a celei de transport.

Aceasta este legeacompunerii vitezelor.Astfel, nu numai deplasarea mobilului, ci i viteza lui este o caracteristic relativ,

dependent de sistemul de referin ales.Legea exprimat de relaia (1.16) este cunoscut, de asemenea, ca legea compunerii

vitezelor n mecanica clasic. Ulterior vei aa c ea rmne valabil la viteze mult mai micidect viteza luminii n vid ci c la viteze comparabile cu ceste nlocuit cu o lege generalde compunere a vitezelor, care la viteze mici n comparaie cu ctrece n legea (1.16).

PROBLEM REZOLVATUn sportiv traverseaz un ru cu limea Ln direcie perpendicular pe mal. El ajunge n punctulB de pe malul opus, situat vizavi de locul de plecare, apoi se rentoarce la acesta. A doua oarsportivul noat n sens opus curentului de ap (n amonte) la o distan egal, de asemenea,


26/180

26

C

A

PITO

LU

L

I

cu L, dup care se ntoarce la locul iniial. n ce caz sportivul a consumat un timp mai mare i de cteori? Viteza sportivului n ap stttoare v1= 0,90 m/s, viteza de curgere a apei din ru v2= 0,54 m/s.

REZOLVARE

Reprezentm n gura 1.35poziia iniialA, poziia Bde pe malul opus al rului i

poziia Cn amonte. DistaneleAB = AC = L. La traversarea rului dinAnBi napoi,vitezav

1a sportivului n raport cu apa trebuie s e orientat sub un anumit unghifa de aceast direcie, astfel nct vitezav

a lui fa de mal s e perpendicular

pe acesta. Din gur observm c v= . Deci timpul deplasrii dinAn B

i napoi este egal cu t1= . Viteza sportivului fa de mal la deplasarea lui dinAn C

este egal cu (v1v2), iar la deplasarea din C nA cu (vv1+vv2).

Timpul total n acest caz: t2 = . Calculm

raportul timpilor: = 0,8, de unde

obinem t2= 1,25 t1.Astfel, n cel de-al doilea caz sportivul are nevoie de un intervalde timp de 1,25 ori mai mare dect n primul caz.

NTREBRI I PROBLEME

1. Cnd caracteristicile micrii snt numite absolute? Dar de transport?

2. Cum se formuleaz legea compunerii vitezelor?

3. Cum se explic faptul c n majoritatea cazurilor sateliii snt lansai dinspre vest spre est (vezig. 1.5)?

4. Viteza unui biciclist v1= 12 m/s, iar viteza vntului ce-i su n fa este v2= 4 m/s, ambeleviteze ind considerate n raport cu pmntul. Determinai viteza vntului n raport cu biciclistul.

5. Viteza de curgere a apei din ru v1= 1,2 m/s. O luntre cu motor se deplaseaz n amonte (nsens contrar curentului de ap) cu viteza v2= 3 m/sfa de mal. Cu ce vitez se mic luntrea

n aval (n sensul curgerii apei)? Regimul de funcionare a motorului luntrii n ambele cazurieste acelai.

6. Pe dou linii paralele de cale ferat se deplaseaz n acelai sens dou trenuri: un marfar cu

lungimea L= 640 m,cu vitezav

1= 36 km/hi un tren de pasageri cu vitezav

2= 64,8 km/h.Determinai intervalul de timp n care pasagerul vede marfarul atunci cnd acesta este depitde trenul de pasageri.

7. O scar rulant urc o persoan aat n repaus n timpul t1= 1 min. Pe scara imobil persoanaurc n t2= 3 min. n ct timp ea va urca micndu-se pe scara cu trepte mobile?

8. Un sportiv trece not un ru n direcie perpendicular pe mal cu viteza v= 0,5 m/sfa deacesta. Determinai viteza de curgere a apei din ru dac se tie c ea este de ori mai micdect viteza sportivului n raport cu apa.

9. O luntre traverseaz un ru cu limea L = 60 m , viteza ei fa de ap ind perpendicular pedirecia curentului de ap. tiind c viteza luntrii n ap stttoare este egal cu v1= 3 m/s,

iar viteza curentului de ap cu v2= 1 m/s, s se determine:a)viteza luntrii fa de mal;b)distana cu care a fost deplasat luntrea de curentul de ap;c)modulul deplasrii luntrii fa de malul rului.

Se d:

v1 = 0,90 m/s,v2 = 0,54 m/s

?

Fig. 1.35


27/180

27

CINEMATICA

1.7 MICAREA RECTILINIE UNIFORM VARIAT. ACCELERAIA

a. Micarea rectilinie neuniform. Viteza medie. Viteza momentann viaa cotidian ntlnim rar corpuri ce se mic rectiliniu uniform. n majoritatea cazurilor

ele efectueaz deplasri diferite n intervale de timp egale, adic micrile lor snt neuniforme.De exemplu, autobuzul care pornete din staie efectueaz n prima secund o deplasare maimic dect n secunda a doua, iar n a doua o deplasare mai mic dect n a treia. Un auto-mobil care frneaz efectueaz n ultima secund o deplasare mai mic dect n penultima etc.

Pentru a caracteriza micarea rectilinie neuniforma mobilului i pentru a comparamicrile neuniforme ale diferitor mobile, se introduce noiunea devitez medie. Admitemc deplasarea mobilului ntr-un interval de timp t = t2 t1este egal cu s

.

Mrimeafizicegalcu raportul dintre deplasare i intervalul de timp corespunztorse numete vitezmedie a corpului n acest interval de timp.

v

med= . (1.17)

Vectorul vitez medie are direcie i sens comune cu deplasarea corpului, adic esteorientat de-a lungul dreptei ce prezint traiectoria sa.

Viteza medie caracterizeaz micarea mobilului n ntreg intervalul de timp (t2t1).Cunoaterea ei nu permite determinarea deplasrii mobilului ntr-o anumit poriune aacestui interval, de exemplu, n prima treime a lui. Mrimea care permite o descriere maidetaliat a micrii neuniforme este viteza mobilului la un moment dat, numit vitezmomentansau instantanee.

Considerm un exemplu concret: un motociclist se deplaseaz pe o poriune rectiliniede osea. Se cere s se determine viteza instantanee a lui la momentul trecerii pe lng bornakilometric, mai exact a unui punct, de exemplu, al axului roii din fa, la momentul cndtrece prin planul din fa Pal bornei (g. 1.36).

Admitem c n intervalul de timp t1motociclistul a ajuns din poziiaA1n B1efectund

deplasarea s1. Viteza medie a lui n acest interval v

med 1= . Lum un interval mai mic t2,

deplasarea mobilului este mai mic i egal cus2 , iar viteza medie n acest interval: v

med 2= .v

med 2difer de viteza v

med 1. Unor intervale de timp din

ce n ce mai micit3>t4>t5 le corespund deplasridin ce n ce mai mici s3, s

4, s

5... i viteze medii:

v

med 3= , v

med 4= , v

med 5=s

5

t5... .

Calculnd viteza medie la intervale tot mai mici,vom obine valoarea vitezei momentane.

Notnd cu so deplasare destul de mic a mobi-lului i cu tintervalul de timp corespunztor, amviteza momentan a mobilului:

= . (1.18)Cu ct intervalul de timp teste mai mic, cu att acesta se apropie tot mai mult de un

moment de timp, iar viteza medie pe acest interval se apropie de viteza momentan.

S2

S4

S1

S5

S3

Fig. 1.36


28/180

28

C

A

PITO

LU

L

I

n cazul micrii rectilinii neuniforme, viteza momentan, care ulterior va numit vitez,ia valori diferite pentru momente de timp diferite, adic este o funcie de timp:

=

(t). (1.19)

Ea crete n modl atunci cnd mobilul ncepe micarea sa i scade cnd acesta frneaz.

n situaia unei traiectorii arbitrare a micrii mobilului (g. 1.23), viteza lui momentanreprezint raportul dintre variaia n timp ra vectorului de poziie i intervalul respectiv

de timp t, adic v= (se consider c intervalul de timp tinde ctre zero).

Observaie.n cazul n care mobilul se mic n unul i acelai sens, modulul deplasriilui este egal cu distana parcurs s= l, astfel pentru modulul vitezei medii avem

med= . (1.20)

Dac ns mobilul se mic ntr-un sens, apoi n sens contrar, atunci modulul deplasriidevine mai mic dect distana parcurs. Dac mobilul se ntoarce n poziia iniial, modulul

deplasrii devine nul, deci viteza medie calculat dup formula (1.17) este egal cu zero, deparc mobilul nu s-ar micat pe parcursul acestui interval de timp.

De aceea, atunci cnd mobilul i schimb sensul micrii, ca n cazul micrii pe traiec-torii curbilinii, este mai ecient a utilizaviteza medie de distan. Ea este o mrime scalaregal cu raportul dintre lungimea distanei parcurse i intervalul de timp corespunztor.Expresia respectiv coincide cu relaia (1.20). Cnd se arm c un autobuz a parcurs traseulChiinuOrhei cu viteza de 45 km/h, se constat c acesta a parcurs lungimea de 45 km aoselei (traiectoriei) de la Chiinu pn la Orhei n timp de o or.

b.Micarea rectilinie uniform variat. AcceleraiaCorpul ce se mic rectiliniu uniform are vitez constant, aceasta ind cea mai simpl

form de micare. Exist ns o micare rectilinie a corpului, n care viteza lui variaz ntr-unanumit mod.

Micarea rectilinie a corpului este uniform variat, dacn orice intervale egale detimp variaia vitezei lui momentane este una i aceeai.

Conform deniiei, variaiile vitezei corpului v1, v

2, v

3, ... n intervalele de timp egale t1= t2= t3= ... satisfac condiia v

1= v

2= v

3= ... . De asemenea, dac divizm unul

dintre intervaleletin mai multe intervale mai mici egale, atunci ecrui interval mai mic icorespunde o variaie a vitezei tot de attea ori mai mic fa de variaia vitezei n intervalulti.

Din cele expuse mai sus rezult egalitatea raporturilor ... = const.

Acest raport, constantpentru micarea dat, este numit acceleraie(n latin acceleratioa grbi):

a

= . (1.21)

Unitatea pentru acceleraie n SI este [a] = = = .

Acceleraia este mrimea fizicce caracterizeazrapiditatea variaiei vitezei mobi-lului. Acceleraia mobilului n micare rectilinie uniform variat este o mrimeconstant: a= const.


29/180

29

CINEMATICA

Viteza mobilului n micarea rectilinie uniformrmne constant, deci variaia ei, ca i acceleraia mo-bilului, este nul. Astfel, micarea rectilinie uniformeste micarea cu acceleraie nul. Considerm micarearectilinie uniform variat a unui mobil. Orientm axa decoordonate Oxn direcia micrii (g. 1.37). Admitem cla momentul iniial t0= 0 mobilul ocupa poziiaM0cu coordonata x0i avea viteza iniialv0, iar la momentul tocup poziiaMcu coordonata xi are viteza v

. Deci n intervalulde timp t= t t0= t, viteza mobilului s-a modicat cu v

= v v0. Acceleraia lui este

a

= = , (1.22)

de unde exprimm viteza mobilului la momentul t:

=0+ a

t. (1.23)

Pentru proiecia vitezei pe axa Ox(g. 1.37) avem x= 0x+ axt. (1.24)

Aceasta este ecuaia vitezein micarea rectilinie uniform variat.Din aceste relaii observm c viteza mobilului n micare rectilinie uniform variat este o

funcie liniar de timp. n cazul n care proieciile vitezei v0xi ale acceleraiei axau acelai semn,proiecia vxcrete n modl cu timpul, dac ns ele au semne opuse, proiecia vxdescrete. nprimul caz micarea este numit accelerat, n cazul al doilea ncetinit.

c. Gracele proieciilor acceleraiei i vitezei

Proiecia acceleraiei mobilului n micare rectilinie uni-form variat este constant ax = const. Gracul ei reprezinto dreapt paralel cu axa timpului (g. 1.38). Din gurobservm c gracul 2 corespunde micrii cu o acceleraiemai mare dect cea din micarea reprezentat de gracul 1:a2x > a1x. Gracul 3 corespunde micrii uniform variate cuproiecia negativ a acceleraiei (a3x< 0), adic orientate nsens contrar sensului pozitiv al axei Ox.

Gracul proieciei vitezeivxca funcie liniar de timp (1.24)

este o linie dreapt. ngura 1.39snt reprezentate diferitegrace posibile. Gracul 1 reprezint micarea rectilinieuniform variat cu viteza iniial v0xi acceleraia a1x, am-bele proiecii ind pozitive, adic vectorii corespunztorisnt orientai n sensul pozitiv al axei Ox. Gracul 2 redmicarea cu aceeai vitez iniial ca n micarea 1, dar cuacceleraie mai mare: a2x > a1x, deoarece viteza crete mairepede. Gracul 3, paralel cu gracul 1, reprezint o micarecu viteza iniial nul i acceleraia a3x= a1x. Viteza corpului

n micrile reprezentate de gracele 1, 2 i 3 crete cu timpul,adic micrile snt uniform accelerate.

Gracul 4 red o micare uniform variat cu proieciavitezei iniiale v0x > 0 i cea a acceleraiei a4x< 0. Cu timpul

2

3

1

Fig. 1.38

Fig. 1.37

Fig. 1.39

3

4

1

5


30/180

30

C

A

PITO

LU

L

I

viteza mobilului se micoreaz, deci micarea lui este uniform ncetinit. La momentul t4,care corespunde punctului de intersecie a gracului 4 cu axa timpului, viteza mobilului adevenit nul, deci el s-a oprit. Dup aceasta (la t> t4), proiecia vitezei a devenit negativ,corpul se mic n sens contrar micrii iniiale cu vitez crescnd n modl. Astfel, micareadescris de gracul 4 este iniial uniform ncetinit, pn la momentul t4, cnd trece n

micare uniform accelerat.Gracul 5 corespunde micrii uniform ncetinite n sensul negativ al axei Oxpn la

momentul t5, n care viteza mobilului devine nul, dup ce micarea lui devine uniformaccelerat n sensul pozitiv al axei Ox.

Punctele de intersecie a gracelor vitezelor pentru diferitemobile corespund momentelor de timp la care mobilele auviteze egale. De exemplu, mobilele 3 i 5 au viteze egale lamomentul t3, 5.

Cunoscnd gracul proieciei vitezei, se poate determina

proiecia acceleraiei mobilului (g. 1.40). Considerm uninterval de timp ti determinm din grac variaia vx a

proieciei vitezei n acest interval. Pentru proiecia acceleraiei avem ax= .

Procedeul determinrii proieciei acceleraiei pe baza gracului vitezei mobilului nmicare uniform accelerat este asemntor cu cel al determinrii proieciei vitezei mobiluluin micare uniform conform gracului pentru coordonata lui.

d.Legea micrii uniform variate a mobilului

Pentru a deduce expresia coordonatei mobilului nmicare uniform variat, s examinm graficul pentruproiecia vitezei (fig. 1.41), amintindu-ne c proieciadeplasrii mobilului n aceast micare este numeric egal cuaria dreptunghiului format de gracul proieciei vitezei, axatimpului i ordonatele ce corespund nceputului i sfrituluiintervalului de timp corespunztor (vezig. 1.29).

Spre deosebire de micarea rectilinie uniform, cndproiecia vitezei rmne constant, n micarea uniform accelerat proiecia vitezei mobi-

lului variaz pe parcursul intervalului 0 tde la valoarea v0xpn la valoarea vx=v0x+axt.Pentru a calcula proiecia deplasrii n acest caz, mprim imaginar intervalul de timpntr-un numr mare de poriuni (intervale) mici t1, t2 ti , ..., tj . Deplasarea mo-bilului n ntreg intervalul de timp se egaleaz cu suma deplasrilor lui n toate poriunilemici n care a fost mprit acest interval (micarea este rectilinie n unul i acelai sens!). Lacalcularea proieciei deplasrii mobilului pe parcursul unui interval destul de mic de timpti inem seama de faptul c n acest interval variaia vitezei este mult mai mic dect valoa-rea ei, ceea ce se vede i din gura 1.41. Dac neglijm aceast variaie a proieciei vitezei,atunci micarea mobilului pe parcursul intervalului tipoate considerat uniform cu

viteza vix. Prin urmare, proiecia deplasrii respective, six, este numeric egal cu aria desub grac cu aria fiei haurate de lime tii nlime vix. Proiecia deplasrii mobiluluintr-un alt interval mic tjeste numeric egal cu aria fiei respective, de alt lime tjide alt nlime vjx.

Fig. 1.40

Fig. 1.41


31/180

31

CINEMATICA

nsumarea proieciilor deplasrilor n toate intervalele mici de timp se reduce la adunareaariilor tuturor fiilor, obinndu-se, astfel, aria gurii de sub grac. Figura respectiv este untrapez cu bazele egale cuv0xi (v0x+ axt) i nlimea egal cu t. Pentru proiecia deplasrii obinem

sx= .t= v0xt+ .

Aceasta este legea micrii rectilinii uniform variate.innd seama de faptul c proiecia deplasriisx= x x0(g. 1.37), pentru coordonata

mobilului avemx = x0+ 0xt + . (1.25)

Aceasta este ecuaia micrii rectilinii uniform variate. n funcie de semnele proieciilorv0xi axcoordonata xi proiecia vitezei vx se pot mri sau micora.

e. Formula lui Galilei

Rezumnd rezultatele privitor la micarea rectilinie uniform variat, pentru proieciadeplasrii i a vitezei mobilului n aceast micare avem relaiile

(1.26)

Ecuaiile de mai sus conin cinci mrimi:sx, vx, v0x, axi t, permind a determina doudintre aceste mrimi cnd snt cunoscute celelalte trei. n acest mod se rezolv toate pro-blemele ce se refer la forma dat de micare.

n unele probleme timpul tnu este cunoscut i nici nu se cere determinarea lui. n

astfel de cazuri este util folosirea unei relaii ce se obine din cele dou relaii (1.26) dupexcluderea din ele a timpului t. Exprimm din cea de-a doua formul timpul t= i lsubstituim n prima formul din (1.26):

sx= voxsau

2x 20x= 2axsx. (1.27)

Relaia respectiv este cunoscut ca formula lui Galilei. Ea nu conine timpul i permite

a determina una dintre mrimi cnd snt cunoscute celelalte trei.

Galileo GALILEI(15641642), zician i astronom italian

A descoperit principiul ineriei, a stabilit caracterul relativ al micriimecanice, a formulat principiul clasic al relativitii i legea compuneriivitezelor. A stabilit legitile cderii libere, ale micrii corpului pe planul

nclinat i ale oscilaiilor pendulului.Cu ajutorul unei lunete confecionate de el, a descoperit munii pe

Lun, patru satelii ai planetei Jupiter; a stabilit natura stelar a Cii-

Lactee. A construit un telescop care i-a permis s descopere fazeleplanetei Venus, petele pe Soare.Galilei a fost adept al sistemului heliocentric al lui Copernic, pentru

aceasta ind persecutat de inchiziie.


32/180

32

C

A

PITO

LU

L

I

f .oRaportul distanelor parcurse de mobil n intervale de timp egaleS analizm o proprietate deosebit a micrii uniform accelerate cu vitez iniial nul

(v0x= 0). Presupunem c axa Oxeste orientat n sensul vitezei, care n cazul de fa nu se

modic. Prin urmare, distana parcurs este egal cu proiecia deplasrii: l =sx= .

Considerm intervale de timp, egale ecare cu , care se succed. Distana parcurs decorp n primul interval este l1= .

Distana parcurs n cel de-al doilea interval este egal cu distana parcurs n intervalul(2) de la nceputul micrii minus cea parcurs n primul interval , adic

l2 = .

Distana parcurs n cel de-al treilea interval succesiv de timp egal cu coincide cudistana parcurs n timpul (3) minus cea parcurs n timpul (2):

l3 = .

n mod analog, obinem l4 = 7 , l5 = 9 .

Din aceste expresii rezult legitatea

l1 :l2 :l3 :l4 : = 1: 3: 5: 7: . (1.28)

n micarea rectilinie uniform acceleratcu viteziniialnul, distanele parcurse demobil n intervale succesive de timp egale se raportca numerele impare succesive.

Acest raport al distanelor poate utilizat la cercetarea micrii uniform accelerate, nparticular, folosind cronofotograerea. Pe aceeai fotograe se obin imagini ale corpului dupintervale de timp egale. Practic ea se realizeaz prin fotograerea n ntuneric a corpului ce semic. Obiectivul aparatului de fotograat rmne deschis, iar corpul este iluminat cu impul-suri de lumin de scurt durat, care snt orientate asupra lui dup intervale de timp egale.

g.Micarea corpului pe verticalUn exemplu de micare rectilinie uniform variat este micarea

corpului pe vertical la nlimi mult mai mici dect raza Pmntului.

Micarea pe vertical este micarea corpului liber lansat vertical n sus,micarea unui corp n cdere liber (cu sau fr vitez iniial, orientatvertical n jos ori n sus).

Primul care a cercetat cderea liber a corpurilor a fost Galileo Gali-lei. El lsa corpuri diferite s cad de pe vestitul turn nclinat de la Pisa(g. 1.42), comparnd timpii de cdere a acestora (timpul era evaluatnumrnd btile inimii sau dup volumul de ap ce se scurgea printr-unoriciu al unui vas). n urma unor multiple experimente, Galilei a ajunsla concluzia c toate corpurile cad la fel.

La prima vedere pare c aceast concluzie contravine realitii. Sne amintim de cderea frunzei (g. 1.1), analizat la nceputul aces-tui capitol. Ea nu cade pe vertical, aa cum cade, de exemplu, o bilmetalic, pentru c micarea frunzei este inuenat puternic de aer, Fig. 1.42


33/180

33

CINEMATICA

de curenii de aer care o pot ridica. Este deci necesar realizarea unui experiment n carear exclus inuena aerului.

Lum tubul Newton un tub de sticl lung de circa 1 m avnd n interiorul su o pan,o bucic de plut i o alice de plumb. La un capt al su se a un tubuor cu robinet, carepermite evacuarea aerului din tub, apoi nchiderea etan a acestuia.

n poziia vertical a tubului corpurile se a la fundul lui. ntoar-cem tubul cu fundul n sus. Ce observm? Corpurile cad diferit: primacade alicea, ultima pana (g. 1.43, a). Repetm experimentul dupce aerul este evacuat parial din tub. Ce se observ la rsturnarea lui?Corpurile au czut n aceeai ordine, dar diferena dintre timpii decdere a devenit mai mic. La evacuarea aproape total a aerului seobserv cderea aproape simultan a corpurilor (g. 1.43, b). Astfel,presupunerea ce se refer la inuena aerului asupra cderii diferitea corpurilor prin el este justicat.

Concluzia privind cderea identic a corpurilor pe Pmnt serefer nu numai la cderea acestora n vid, dar i la cderea corpurilordin substane de densitate mare cu viteze nu prea mari (experimentula conrmat inuena mult mai slab a aerului asupra cderii aliceide plumb).

Experimental s-a constatat faptul c un corp, ind lsat s cad liber, se mic uniformaccelerat. Aceast acceleraie, unic pentru toate corpurile, numit acceleraie gravitaional,este orientat vertical n jos. Pentru a o evidenia, ea se noteaz cug. Val

X_Fizica (in limba romana).pdf

Documents

Transcript of X_Fizica (in limba romana).pdf