Vibratiile mediilor continue -...

102
Liviu BERETEU VIBRAŢIILE MEDIILOR CONTINUE 2010

Transcript of Vibratiile mediilor continue -...

Page 1: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

Liviu BERETEU

VIBRAŢIILE MEDIILOR CONTINUE

2010

Page 2: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

2

5. VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE......................... 5.1.Vibraţiile longitudinale ale barelor drepte.................................................................

5.1.1.Deducerea ecuaţiei de mişcare............................................................................... 5.1.2.Condiţii iniţiale şi la limită.................................................................................... 5.1.3.Vibraţii longitudinale libere. Metoda separării variabilelor.................................. 5.1.4.Relaţii de ortogonalitate......................................................................................... 5.1.5.Vibraţii longitudinale amortizate ale barei............................................................ 5.1.6.Vibraţii longitudinale forţate ale barei...................................................................

5.2.Vibraţii de răsucire ale barelor.................................................................................. 5.3.Vibraţii transversale ale barelor.................................................................................

5.3.1.Deducerea ecuaţiei vibraţiilor transversale............................................................. 5.3.2.Condiţii iniţiale şi la limită..................................................................................... 5.3.3.Vibraţii libere transversale ale barelor................................................................... 5.3.4.Relaţii de ortogonalitate.........................................................................................

5.4.Probleme.................................................................................................................... 6. METODE NUMERICE ŞI APROXIMATIVE 6.1.Evaluarea numerică a răspunsului sistemului cu un grad de libertate.......................

6.1.1.Soluţia numerică bazată pe interpolarea forţei perturbatoare................................. 6.1.2.Integrarea numerică pas cu pas...............................................................................

6.2.Evaluarea numerică a răspunsului sistemelor liniare cu mai multe grade de libertate............................................................................................................................

6.2.1.Metoda diferenţelor finite....................................................................................... 6.2.2.Metoda Newmark....................................................................................................

6.3.Metode analitice aproximative................................................................................... 6.3.1.Calculul energiei cinetice şi potenţiale pentru sisteme continue............................ 6.3.2.Aplicarea ecuaţiilor lui Lagrange pentru sistemele continue în metoda modurilor

presupuse....................................................................................................................................... 6.3.3.Metoda Rayleigh..................................................................................................... 6.3.4.Metoda Rayleigh – Ritz.......................................................................................... 6.3.5.Metoda Galerkin.....................................................................................................

6.4.Evaluarea numerică a pulsaţiilor proprii şi a vectorilor proprii................................. 6.4.1.Metoda puterii folosind matricea de eliminare....................................................... 6.4.2.Metoda raportului Rayleigh.................................................................................... 6.4.3.Metoda matricelor de transfer.................................................................................

6.5.Probleme.................................................................................................................... BIBLIOGRAFIE............................................................................................................

Page 3: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

3

1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE În primele patru capitole modelele analitice folosite au fost modele cu parametrii discreţi. Există sisteme mecanice, în care masele elementelor deformabile sunt comparabile cu masele elementelor rigide, pentru care modelul cu parametrii discreţi nu mai este satisfăcător şi pentru care se folosesc modelele sistemului continuu. În aceste modele forţele de inerţie sunt distribuite în tot volumul, iar deplasarea în mişcarea vibratorie este o funcţie continuă de punct (poziţie) şi de timp. Sistemul are un număr infinit de grade de libertate, corespunzător valorilor cu care funcţia deplasare descrie poziţia punctelor corpului.

5.1. Vibraţiile longitudinale ale barelor drepre 5.1.1. Deducerea ecuaţiei de mişcare Se consideră, pentru început, deformaţii longitudinale în lungul unei bare drepte (fig. 5.1.a.). Pentru deducerea ecuaţiei de mişcare a vibraţiei axiale, se separă un element de lungime Δx (fig. 5.1.b.). Fie ( )txu , deplasarea secţiunii transversale în lungul direcţiei axiale, ( )txq , forţa axială aplicată externă pe unitatea de lungime, ( )tuxr ,, forţa axială de frecare internă, iar ( )txN , şi ( )txxN ,Δ+ forţele axiale din cele două secţiuni ale elementului considerat. ( )xA este aria secţiunii transversale, iar ( )xρ este densitatea, adică masa unităţii de volum.

Fig. 5.1

Se consideră ipotezele din rezistanţa materialelor:

a) Secţiunile transversale rămân plane şi rămân perpendiculare pe axa longitudinală.

Page 4: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

4

b) Materialul este din punct de vedere elastic liniar. c) Proprietăţile de material E şi ρ sunt constante într-o secţiune transversală.

Pe baza acestor ipoteze se pot scrie următoarele relaţii:

( ) ( )

xu

xtxutxxu

x ∂∂

−Δ+=

→Δ

,,lim0

ε (5.1)

( )x

txuEE∂

∂==

,εσ (5.2)

E fiind modulul de elasticitate longitudinal şi

( ) ( ) ( )x

txuxEAtxN∂

∂=

,, (5.3)

Scriind ecuaţia de echilibru dinamic pentru elementul considerat se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ) 2

2

,,,,,txxAxtuxrtxNtxxNxtxq

∂∂

Δ=Δ−−Δ++Δ ρ (5.4)

unde, prin împărţire cu Δx şi trecere la limită, se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ) 2

2

0,,,,,lim

tuAtuxrtxq

xtxNtxxN

x ∂∂

=−+Δ

−Δ+→Δ

ρ (5.5)

sau

( ) ( ) 2

2

,,,tuAtuxrtxq

xN

∂∂

=−+∂∂ ρ (5.6)

Înlocuind (5.3) în (5.6) se obţine:

( ) ( ) 2

2

,,,tuAtuxrtxq

xuAE

x ∂∂

=−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ ρ (5.7)

Aceasta este ecuaţia de mişcare pentru vibraţiile axiale ale unei bare liniar elastice. În multe cazuri, bara este omogenă de secţiune constantă, iar forţa de frecare se consideră proporţională cu viteza, obţinându-se ecuaţia:

( )txqAx

uctuh

tu ,12 2

22

2

2

ρ=

∂∂

−∂∂

+∂∂

(5.8)

unde:

ρEc =2

Neglijându-se frecările şi considerând ( ) 0, =txq se obţine ecuaţia vibraţiilor libere:

2

22

2

2

xuc

tu

∂∂

=∂∂

(5.9)

având aceeaşi formă ca ecuaţia coardei vibrante.

Page 5: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

5

5.1.2. Condiţii iniţiale şi la limită În continuare, pentru caracterizarea complet a vibraţiilor longitudinale, sunt necesare precizarea unor condiţii suplimentare. O categorie de condiţii rezidă din faptul că soluţiile se propagă în timp din nişte condiţii iniţiale date. Pentru ecuaţia diferenţială (5.8) acestea sunt de forma:

( ) ( )xtxut

ϕ==0

, , ( ) ( )xt

txu

t

ψ=∂

=0

, (5.10)

unde ( )xϕ şi ( )xψ sunt funcţii cunoscute. Cea de-a doua categorie de condiţii rezidă din faptul că soluţiile trebuie să satisfacă ecuaţia diferenţială (5.8) într-un domeniu închis de câteva condiţii de frontieră (limită) ale domeniului. Condiţiile la limită pot fi împărţite în două clase distincte, fiecare reflectând diferite tipuri de condiţii fizice. Prima clasă reflectă constângerile geometrice (deplasări, unghiuri), iar a doua clasă forţele (şi/sau momentele) de pe frontieră. În cazul vibraţiilor longitudinale, primul tip de condiţii la limită, numite şi condiţii geometrice, sunt de forma: ( ) ( )tstxu

x 10, =

= , ( ) ( )tstxux 21

, == (5.11)

unde ( )ts1 şi ( )ts2 sunt deplasări cunoscute. Pentru cel de-al doilea tip de condiţii, numite şi condiţii naturale, din (5.3) se obţine:

( )tNEAx

u

Lx

1=

∂∂

=

(5.12)

unde ( )tN este forţa ce acţionează la capătul Lx = . Cele mai frecvent întâlnite condiţii la limită, în cazul vibraţiilor longitudinale ale barelor, sunt:

a) Capetele încastrate (I – I) ( ) 0,

0=

=xtxu şi ( ) 0, =

=Lxtxu

(5.13)

b) Un capăt liber şi altul încastrat (L – I) ( ) 0,

0

=∂

=xxtxu

şi ( ) 0, ==Lx

txu

(5.14)

c) Ambele capete libere (L – L) ( ) 0,

0

=∂

=xxtxu

şi ( ) 0,

=∂

=Lxxtxu

(5.15)

Pe lângă aceaste condiţii la limită, se mai întâlnesc şi cele arătate în fig. 5.2.

Page 6: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

6

Fig. 5.2

Ecuaţia de mişcare pentru masa m este:

( )Lxt

umtLN=∂

∂= 2

2

, (5.16)

iar din (5.3)

( )Lxx

uEAtLN=∂

∂=, (5.17)

se obţine pentru capătul Lx = condiţia:

LxLx t

umxuAE

== ∂∂

=∂∂

2

2

(5.18)

Pentru cazul din fig. 5.2.b. se scrie: ( ) ( )tkutN ,0,0 = (5.19) şi folosind din nou relaţia (5.3), se obţine:

( )tkuxuAE

x

,00

=∂∂

=

(5.20)

5.1.3. Vibraţii libere longitudinale ale bazelor. Metoda separării variabilelor Deoarece se neglijează frecările şi nu există forţe exterioare care să acţioneze asupra barei, aceasta este o problemă de vibraţii libere. Se va presupune că soluţia este separabilă în timp şi spaţiu. Din punct de vedere fizic, aceasta înseamnă că sistemul execută mişcări sincrone, adică fiecare punct al sistemului execută acelaşi tip de mişcare în timp. Se va considera soluţia ecuaţiei (5.9) de forma: ( ) ( ) ( )tTxUtxu ⋅=, (5.21) Punând condiţia ca aceasta să verifice ecuaţia (5.9), se obţine: ( ) ( ) ( ) ( ) 0=′′⋅−⋅ xUtEATtTxAUρ (5.22) care se poate separa în două ecuaţii diferenţiale ordinare.

λ===′′

constTT

UUc2 (5.23)

Page 7: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

7

Cele două rapoarte ale unor funcţii de variabile diferite, pot fi egale doar dacă sunt constante, iar constanta λ trebuie să fie negativă ( )2p−=λ , deoarece soluţia trebuie să fie mărginită în timp. Urmează că: 02 =+ TpT (5.24)

02

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+′′ U

cpU (5.25)

Acestea au soluţiile: ( ) ptBptAtT sincos += (5.26)

( )cpxD

cpxCxU sincos += (5.27)

Egalitatea (5.23) poate fi satisfăcută pentru o infinitate de valori λ numite valori

proprii şi cărora le corespund funcţii proprii ( )xU . Valorile proprii se determină pe baza condiţiilor la limită impuse soluţiei ( )txu , , adică funcţiei ( )xU . Această ecuaţie, numită ecuaţie caracteristică, este întotdeauna transcendentă şi are o infinitate de rădăcini.

Fiecărei pulsaţii proprii rp ( )…,2,1=r îi corespunde o funcţie ( )tTr , respectiv o funcţie proprie ( )xU r , iar soluţia generală va fi de forma:

( ) ( ) ( )tTxUtxu rr

r ⋅= ∑∞

=1

,

(5.28) Cele mai frecvente tipuri de legături sunt date în Tabelul 1.

Tabelul 1. Tipuri

de legături

Condiţii limită

Ecuaţia caracteristică

Pulsaţii proprii Funcţii proprii

x=0 x=L I – L U=0 U'=0

0cos =cpL

( )

Lcrpr 2

12 π−= ( ) ( )

LxrCxUr 2

12sin π−=

I – I U=0 U=0 0sin =

cpL

Lcrprπ

= ( )LxrDxUrπsin=

L –L U'=0 U'=0 0sin =

cpL

Lcrprπ

= ( )LxrCxUrπcos=

Se constată că funcţiile proprii sunt determinate până la o constantă şi revenind la

soluţia generală (5.28), ţinând cont şi de (5.26), pentru bare (I – L) se poate scrie:

( ) ( ) ( )L

xrtpBtpAtxur

rrrr 212sinsincos,

1

π−+=∑

= (5.29)

unde constantele rA şi rB se determină din condiţiile iniţiale. Conform condiţiilor iniţiale (5.10) rezultă:

Page 8: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

8

( ) ( )L

xrAxr

r 212sin

1

πϕ −=∑

= (5.30)

şi

( ) ( ) ( )L

xrBL

crx rr 2

12sin2

121

ππψ −−=∑

= (5.31)

ceea ce reprezintă dezvoltări în serii Fourier, având coeficienţii:

( ) ( ) dxL

xrxL

AL

r 212sin2

0

πϕ −= ∫ (5.32)

şi

( ) ( ) ( ) dxL

xrxcr

BL

r 212sin

124

0

πψπ

−−

= ∫ (5.33)

astfel soluţia generală este complet determinată. Pentru celelalte cazuri, bare (I – I) şi bare (L – L) se urmăreşte acelaşi procedeu. 5.1.4. Relaţii de ortogonalitate Pornind de la ecuaţia vibraţiilor libere ale barelor:

2

2

tuA

xuEA

x ∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ ρ

(5.34) pentru cazurile date în Tabelul 1. se poate scrie:

( ) UApUAE 2ρ−=′′ (5.35)

unde, pentru simplificare, U este scris în loc de U(x), iar U' în loc de dxdU

.

Relaţia (5.35) poate fi scrisă pentru oricare dintre valorile proprii. Fie rp şi sp două valori proprii distincte şi respectiv, ( )xU r şi ( )xU s funcţiile proprii corespunzătoare. Se poate scrie:

( ) rrr UApUAE 2ρ−=′′ (5.36) şi

( ) sss UApUAE 2ρ−=′′ (5.37) După înmulţirea relaţiei (5.36) prin ( )xU s , respectiv relaţia (5.37) prin ( )xU r şi prin integrare între limitele 0 şi L, se obţine:

( ) dxUAUpdxUAEU sr

L

rr

L

s ∫∫ −=′0

2

0

ρ (5.38)

şi

Page 9: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

9

( ) dxUAUpdxUAEU sr

L

ss

L

r ∫∫ −=′0

2

0

ρ (5.39)

Integrând relaţiile (5.38) şi (5.39) prin părţi şi ţinând cont de condiţiile la limită din Tabelul 1. rezultă că:

dxUAUpdxUUEA sr

L

r

L

sr ∫∫ =′′0

2

0

ρ (5.40)

şi

dxUAUpdxUUEA sr

L

s

L

sr ∫∫ =′′0

2

0

ρ (5.41)

prin scăderea acestor două relaţii se obţine:

( ) 00

22 =− ∫ dxUAUpp sr

L

sr ρ (5.42)

dar sr pp ≠ , deci:

00

=∫ dxUAU sr

L

ρ (5.43)

şi din (5.40):

00

=′′∫ dxUUEAL

srρ (5.44)

Relaţiile (5.43) şi (5.44) reprezintă condiţiile de ortogonalitate pentru vibraţiile longitudinale ale barelor. Se spune că modurile proprii sunt ortogonale în raport cu distribuţia de masă, respectiv distribuţia de rigiditate. De asemenea, prin înmulţirea relaţiei (5.36) cu ( )xU r şi integrând pe domeniul [0,L] , se obţine:

( ) dxAUpdxUAEU r

L

rr

L

r2

0

2

0∫∫ −=′ ρ (5.45)

din care, prin integrare prin părţi şi folosind condiţiile de frontieră din Tabelul 1., se deduce:

( )

r

r

r

L

r

L

r MK

dxAU

dxUEAp =

=

∫2

0

2

02

ρ (5.46)

unde

( ) dxUAEK r

L

r2

0

′= ∫ , dxAUM r

L

r2

0∫= ρ (5.47)

Page 10: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

10

fiind rigiditatea modală, respectiv masa modală corespunzătoare modului natural r, a cărui formă modală este dată de funcţia proprie ( )xU r şi care este determibată până la o constantă. Tocmai de aceea, se introduce normarea funcţiilor proprii, corespunzând astfel, fiecărei funcţii o amplitudine unică. O astfel de normare poate fi astfel încât în punctul în care ( )xUr este maximă, să

aibe o valoare specificată ( ) 1max =xUr . Cea mai frecventă este însă normarea:

dxAUM r

L

r2

0∫= ρ (5.48)

unde pentru masa modală se ia 1=rM . Funcţiile ( )xφ care satisfac aceleaşi condiţii la limită ca şi setul de funcţii proprii, fără a satisface ecuaţia diferenţială (5.35), se numesc funcţii de comparaţie sau generatoare şi pot fi reprezentate prin serii convergente de forma:

( ) ( )xUx rr

r∑∞

=

=1αφ (5.49)

unde coeficienţii rα se por determina prin înmulţirea relaţiei (5.49) cu ( )dxxAU rρ şi integrarea pe domeniul (0,L). Ţinând cont şi de condiţiile de ortogonalitate, se obţine:

dxAU

dxUA

r

L

L

r

r2

0

0

∫=

ρ

φρα (5.50)

5.1.5. Vibraţii longitudinale amortizate ale barei În prezenţa frecărilor, vibraţiile longitudinale ale barelor se vor stinge în timp, deci se vor amortiza. Presupunând o amortizare de natură vâscoasă, ecuaţia (5.8) se poate scrie:

2

22

2

2

2xuc

tuh

tu

∂∂

=∂∂

+∂∂

(5.51) Aplicând metoda separării variabilelor soluţia va fi de forma (5.21). Introducând-o în ecuaţia (5.51) se obţine, prin separarea variabilelor:

UUc

TThT ′′=

+ 22 (5.52)

Deoarece fiecare raport conţine câte o variabilă, ele pot fi egale numai dacă sunt constante, şi datorită mărginirii soluţiei în timp, această constantă trebuie să fie negativă. Dacă se ia - 2p constanta considerată, din (5.52) se poate scrie: 02 2 =++ TpThT (5.53)

Page 11: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

11

şi 02

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+′′ U

cpU (5.54)

După cum se constată ecuaţia (5.54) este identică cu (5.25), ceea ce arată că valorile proprii şi funcţiile proprii sunt ca şi la vibraţiile libere neamortizate. Considerând

hp > , se obţine pentru funcţia ( )tT expresia: ( ) ( )tBtAetT ht αα sincos += − (5.55) unde

22 hp −=α Soluţia generală va fi de forma:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=∑

=

cxpD

cxpCtBtAetxu r

rr

rrrrrr

ht sincossincos,1

αα (5.56)

unde constantele de integrare se vor determina pe baza condiţiilor iniţiale şi la limită ca şi pentru vibraţiile longitudinale neamortizate. 5.1.6. Vibraţiile longitudinale forţate ale barei Vibraţii forţate longitudinale ale barei pot să apară în cazul în care bara este acţionată printr-o forţă axială distribuită sau are condiţii la limită variabile în timp. În lipsa amortizării (h=0) şi presupunând o forţă axială distribuită ( ) ( ) txqtxq ωcos, 0= , ecuaţia (5.8) devine:

( )

tAxq

xuc

tu ω

ρcos0

2

22

2

2

=∂∂

−∂∂

(5.57)

Soluţia particulară a acestei ecuaţii, numită şi vibraţie forţată va fi de forma: ( ) ( ) txUtxu p ωcos, = (5.58) Punând condiţia să verifice ecuaţia (5.57) se obţine:

( )xqEA

Uc

U pp 02

2 1−=+′′

ω (5.59)

Evident că funcţia ( )xU p trebuie să fie o funcţie de comparaţie sau generatoare, deci se poate dezvolta în serie după funcţiile proprii:

( ) ( )xUxU rr

rp ∑∞

=

=1

α

(5.60) Considerând numai cazul barei ce verifică condiţiile la limită din Tabelul 1., prin înlocuirea relaţiei (5.60) în (5.59), se obţine:

( ) ( ) ( )xqEA

xUc

xU rrr

r 02

2

1

1−=⎥

⎤⎢⎣

⎡+′′∑

=

ωα (5.61)

Se înmulţeşte ecuaţia (5.61) cu ( )dxxAU rρ şi integrând pe domeniul (0,L),

ţinând cont şi de condiţiile de ortogonalitate, se obţine:

Page 12: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

12

dxUqAEA

dxAUcc

pr

L

r

Lr

r 00

2

02

2

2

2 1∫∫ =⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+− ρωα (5.62)

de unde se determină coeficienţii rα :

( ) ( ) ( )dxxUxqpL r

L

rr ∫−=

0022

α (5.63)

unde s-a ţinut cont că pentru funcţiile proprii din Tabelul 1., luând constanta

nedeterminată egală cu unitatea, ( )20

2 LdxxUL

r =∫ . Se constată că apare fenomenul de

rezonanţă pentru cazul în care pulsaţia forţei perturatoare este egală cu una din pulsaţiile proprii.

5.2. Vibraţiile de răsucire ale barelor

În cazul în care bara este supusă unor cupluri variabile de răsucire se produc vibraţii de răsucire sau de torsiune. Barele solicitate la răsucire se numesc arbori. Se va considera bara din fig. 5.3. supusă la răsucire prin intermediul unui cuplu distribuit, aplicat din exterior ( )txm , . Rotirea secţiunii situată la distanţa x va fi ( )tx,θ .

Fig. 5.3

Considerând un element de bară Δx, asupra lui vor acţiona cuplurile forţelor interioare de momente ( )txM , şi ( )txxM ,Δ+ , cuplurile distribuite de frecare ( ) xtxr Δ,,θ şi de perturbare ( ) xtxm Δ, .

Pentru efortul tangenţial se poate scrie legea lui Hooke: γτ G= (5.64) unde G este modulul de elasticitate transversal, iar γ este alunecarea specifică la distanţa r de centrul secţiunii:

Page 13: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

13

( ) ( ) ( )

xtxr

xtxtxxr

x ∂∂

−Δ+=

→Δ

,,,lim0

θθθγ (5.65)

Momentul forţelor interioare reduse în centrul secţiunii este:

( )x

GIdArdxdGdArtxM

∂∂

=== ∫∫∫∫θθτ 0

2, (5.66)

unde ( )xI0 este momentul de inerţie polar al secţiunii (momentul geometric). Dacă se notează cu ( )xJ0 momentul de inerţie axial (momentul mecanic) pentru unitatea de lungime a barei, se poate scrie ecuaţia de momente faţă de axa barei.

( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,,,2

2

0 =Δ+Δ−−Δ++∂∂

Δ− xtxmxtxrtxMtxxMt

xJ θθ

(5.67) Prin împărţire şi trecerea la limită se obţine:

( ) ( )txmtxrx

Mt

J ,,,2

2

0 +−∂∂

=∂∂ θθ

(5.68)

sau ţinând cont şi de relaţiile (5.64) şi (5.65)

( ) ( )txmtxrx

GIxt

J ,,,02

2

0 +−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

=∂∂ θθθ

(5.69)

Considerând frecările neglijabile şi momentele exterioare perturbatoare nule se obţine:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

=∂∂

xGI

xtJ θθ

02

2

0

(5.70) Pentru cazul barei omogene şi de secţiune constantă, ecuaţia vibraţiilor libere de răsucire va fi:

2

2

02

2

0 xGI

tJ

∂∂

=∂∂ θθ

(5.71)

Dacă se notează 2

0

0 cJ

GI= , ecuaţia (5.71) are aceiaşi formă ca şi ecuaţia vibraţiilor

longitudinale ale barei. Şi în acest caz pentru rezolvarea completă a problemei este necesar cunoaşterea condiţiilor iniţiale şi la limită. Condiţiile iniţiale pentru vibraţiile de răsucire vor fi de forma:

( ) ( )xtxt

ϕθ ==0

, ; ( ) ( )xt

tx

t

ψθ=

∂∂

=0

, (5.72)

Condiţiile la limită sunt determinate de legăturile existente la cele două extremităţi. Astfel, pentru un capăt încastrat, celălalt liber (I, L) condiţiile sunt:

( ) 0,0=

=xtxθ şi ( ) 0, 0 =

∂∂

=∂∂

===

=LxLx

Lx xxGItxM θθ

(5.73)

Dacă la un capăt se aplică un cuplu de moment ( )tM L , atunci condiţia la limită este:

Page 14: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

14

( ) ( )tMGI LLx=′

=θ0 (5.74)

Deoarece, ecuaţia diferenţială a vibraţiilor de răsucire este asemenea cu cea a vibraţiilor longitudinale nu vor exista deosebiri în modul de determinare a soluţiilor.

5.3. Vibraţiile transversale ale barelor 5.3.1. Deducerea ecuaţiei vibraţiilor transversale Barele supuse solicitării de încovoiere se numesc grinzi. Se va considera grinda din fig. 5.4.a. a cărei axă nedeformată este axa Ox şi care va lua prin deformare forma din fig. 5.4.b. Deplasarea transversală a axei neutre în punctul de abscisă x la un moment t se notează cu ( )txv , . Pentru stabilirea ecuaţiei vibraţiilor trasversale se separă un element al barei, fig. 5.4.c. Prin separare se înlocuiesc legăturile cu forţele tăietoare ( )txxT ,Δ+ şi ( )txT , , respectiv momentele încovoietoare ( )txxM ,Δ+ şi ( )txM , . Asupra elementului se consideră că acţionează şi forţa perturbatoare pe unitatea de lungime ( )txq , . Se va considera că elementul sub acţiunea forţelor date şi de legătură va avea o mişcare plană. Prin ( )tx,θ s-a notat rotaţia secţiunii transversale, ( )tx,β este unghiul de

alunecare a secţiunii datorită efectului forţelor tăietoare, iar xv∂∂

este unghiul de înclinare

al axei neutre.

Fig. 5.4

Page 15: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

15

Presupunând neglijabilă deplasarea în lungul axei Ox, se pot scrie două ecuaţii de echilibru pentru elementul considerat. Ecuaţia de proiecţii pe direcţia transversală se poate scrie:

( ) ( ) ( ) xtxqtxTtxxTtvxA Δ+−Δ+=

∂∂

Δ ,,,2

2

ρ (5.75)

iar ecuaţia de momente faţă de centrul de masă al elementului va fi:

( ) ( ) ( ) ( )2

,2

,,,2

2 xtxTxtxxTtxMtxxMt

xJ Δ−

ΔΔ+−−Δ+=

∂∂

Δθ

(5.76)

Împărţind cele două ecuaţii (5.75) şi (5.76) prin Δx şi trecând la limită pentru 0→Δx , se obţin ecuaţiile:

( )txqxT

tvA ,2

2

+∂∂

−=∂∂ρ (5.77)

şi

Tx

Mt

J −∂∂

=∂∂

2

2θ (5.78)

Pe de altă parte, din teoria de rezistenţa materialelor, se poate scrie:

EIM

x=

∂∂θ

(5.79)

xv

kAGT

∂∂

−== θβ (5.80)

Termenii 2

2

tJ∂∂ θ

şi kAGT

sunt numiţi în mod uzual, efecte de ordinul doi, unde

coeficientul k are valoarea 65

pentru secţiuni dreptunghiulare şi 109

pentru secţiuni

circulare. Primul termen a fost introdus de Rayleigh şi ţine cont de inerţia de rotaţie, iar al doilea a fost introdus de Timoshenko şi ţine cont de efectul deformaţiei de alunecare a secţiunilor sub acţiunea forţelor tăietoare. Eliminând T, M şi θ între relaţiile (5.77), (5.78), (5.79) şi (5.80) se obţine ecuaţia lui Timoshenko pentru bare omogene de secţiune constantă.

02

2

2

2

2

2

2

2

22

4

2

2

4

4

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+∂∂

∂−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−−∂∂

tvAq

tkGAJ

tvAq

xkGAEI

txvJ

tvAq

xvEI ρρρ

(5.81) În ecuaţia (5.81) se pot identifica termenii de corecţie daţi de inerţia de rotaţie, respectiv de deformaţia de alunecare. Neglijând aceşti termeni, din ecuaţiile (5.77), (5.78), (5.79) şi (5.80) se deduce ecuaţia Euler – Bernoulli:

( )txqtvA

xvEI

x,2

2

2

2

2

2

=∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂ ρ (5.82)

care, în cazul barelor de secţiune constantă devine:

Page 16: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

16

( )txqtvA

xvEI ,2

2

4

4

=∂∂

+∂∂ ρ (5.83)

În cazul particular ( ) 0, =txq se obţine ecuaţia vibraţiilor libere trasnversale ale grinzii:

04

42

2

2

=∂∂

+∂∂

xva

tv

(5.84)

unde

A

EIaρ

= (5.85)

Trebuie remarcat că efectul corecţiei dat de deformaţia de alunecare şi de inerţia de rotaţie creşte odată cu creşterea modului considerat şi descreşte cu lungimea şi inversul razei de giraţie. 5.3.2. Condiţii iniţiale la limită Pentru determinarea vibraţiilor transversale ale grinzii trebuie cunoscute condiţiile iniţiale, adică poziţia şi viteza fiecărui punct în momentul iniţial. Aceasta înseamnă să fie cunoscute funcţiile:

( ) ( )xtxvt

ϕ==0

, şi ( ) ( )xt

txv

t

ψ=∂

=0

, (5.86)

De asemenea, trebuie cunoscute condiţiile limită date de legăturile pe care le are bara. Cele mai frecvente condiţii la limită sunt:

a) Capăt încastrat (I) ( ) 0,

0=

=xtxv şi ( ) 0,

0=′

=xtxv (5.87)

adică deplasarea şi unghiul de înclinare sunt nule.

b) Capăt simplu rezemat sau articulat (R) ( ) 0, =

=Lxtxv şi ( ) 0, =

=LxtxM (5.88)

ceea ce înseamnă că deplasarea şi momentul încovoietor sunt nule în capătul simplu rezemat. Ultima relaţie este echivalentă cu ( ) 0, =′′

=Lxtxv .

c) Capăt liber (L)

( ) 0, ==Lx

txT şi ( ) 0, ==Lx

txM (5.89) ceea ce înseamnă că la capătul liber nu există forţă tăietoare şi nici moment de încovoiere. Aceste relaţii pot fi scrise şi astfel:

03

3

=∂∂

=Lxxv

şi 02

2

=∂∂

=Lxxv

(5.90)

Page 17: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

17

Astfel, în fiecare capăt se obţin două condiţii de frontieră. Condiţii diferite se obţin dacă în capătul barei este ataşată o masă m sau un arc (fig. 5.5.). Pentru fig. 5.5.a. se poate scrie din proiecţii de forţe:

( )Lxt

vmtLT=∂

∂= 2

2

, (5.91)

sau

LxLx t

vmxvEI

== ∂∂

=∂∂

2

2

3

3

(5.92)

iar din ecuaţia de momente: ( ) 0, =tLM sau ( ) 0, =′′

=Lxtxv (5.93)

Pentru cazul din fig. 5.5.b.: ( ) 0, =tLM sau ( ) 0, =′′

=Lxtxv (5.94)

şi

( )Lx

Lx

txTxvEI

==

=∂∂ ,3

3

sau ( )Lx

Lx

txvEIk

xv

==

=∂∂ ,3

3

(5.95)

Fig. 5.5.

5.3.3. Vibraţii libere transversale ale barelor Vibraţiile libere transversale ale barelor lungi şi subţiri, cazul Bernoulli – Euler sunt guvernate de ecuaţia:

( ) 0, =+″′′ vAvEI ρ (5.96) Pentru integrarea ecuaţiei (5.96) se va aplica metoda separării variabilelor, soluţia luându-se de forma:

Page 18: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

18

( ) ( ) ( )tTxVtxv ⋅=, (5.97) unde ( )xV şi ( )tT sunt funcţii ce urmează a fi determinate. Înlocuind (5.97) în ecuaţia (5.96), aceasta, pentru bare omogene şi de secţiune constantă, devine: ( ) ( ) ( ) ( ) 0=⋅+⋅ tTxAVtTxEIV IV ρ (5.98) care poate fi separată în:

2pTT

VV

AEI IV

=−= (5.99)

Şi în acest caz rapoartele (5.99) sunt satisfăcute pentru orice x şi t numai dacă sunt egale cu aceeaşi constantă. Din condiţia de mărginire în timp rezultă că această constantă trebuie să fie pozitivă. Urmează că din ecuaţia (5.99) se poate scrie: 02 =+ TpT (5.100)

02 =− VpEIAV IV ρ

(5.101)

Ecuaţia (5.100) are soluţia de forma: ( ) ptBptAtT cossin += (5.102) iar pentru ecuaţia (5.101) soluţia este de forma rxe , obţinându-se ecuaţia caracteristică:

02

4 =−EIApr ρ

(5.103)

şi are rădăcinile λ=1r , λ−=2r , λir =3 , λir −=4 , unde λ este:

42

EIApρλ = (5.104)

Soluţia generală se va scrie: ( ) xFxExDchxCshxV λλλλ cossin +++= (5.105) Există cinci constante în soluţia generală, C, D, E şi F constante de integrare, iar pulsaţiile proprii p sunt asociate fiecărei valori proprii λ. Pentru determinarea acestor constante se folosesc condiţiile de limită (frontieră). În Tabelul 2. sunt date cazurile cele mai frecvente de legături la care poate fi supusă o bară, în care simbolul R reprezintă rezemarea. Tabelul 2. Tipul legăturii

Ecuaţia caracteristică

21X 2

2X 23X 2

4X 25X

I – L 0cos1 =+ xchx 3,516 22,03 61,69 120,9 199,8 R – R 0sin =x 9,869 39,47 88,82 157,9 246,7 I – I; L – L 0cos1 =− xchx 22,37 61,67 120,9 199,8 298,5 I – R; L – R thxtgx = 15,41 49,96 104,2 178,2 272,0

În acest tabel s-a notat:

Page 19: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

19

LX rr λ= (5.106) de unde pulsaţiile proprii devin:

A

EILXp r

r ρ2

2

= (5.107)

Trebuie remarcat că pulsaţiile proprii nule corespunzătoare celor două moduri de corp rigid pentru bara L – L şi un mod de corp rigid pentru bara L – R nu sunt trecute în Tabelul 2. 5.3.4. Relaţii de ortogonalitate Pornind de la ecuaţia (5.98) şi observând că soluţia ecuaţiei este armonică de forma: ( ) ( ) ( )ϕ+⋅= ptxVxv cos (5.108) Înlocuind-o în ecuaţia (5.98) se obţine: VApEIV IV 2ρ= (5.109) Această ecuaţie poate fi scrisă pentru orice pereche: pulsaţie proprie, funcţie proprie. Fie rp , rV şi sp , sV două astfel de perechi. Se poate scrie:

rrIV

r VApEIV 2ρ= (5.110)

ssIV

s VApEIV 2ρ= (5.111) Se înmulţeşte ecuaţia (5.110) cu sV , iar (5.111) cu rV şi prin integrarea de două ori prin părţi pe domeniul (0, L), se obţine:

( ) dxVAVpdxVVEIVVEIVEIV sr

L

rs

L

rL

rsrs ∫∫ =⋅′′⋅′′+′′⋅′−′′′0

2

00

ρ (5.112)

( ) dxVAVpdxVVEIVVEIVEIV sr

L

ss

L

rL

srsr ∫∫ =⋅′′⋅′′+′′⋅′−′′′0

2

00

ρρ (5.113)

Ţinând cont de condiţiile de limită (5.87), (5.88) şi (5.89) şi prin scăderea ecuaţiilor (5.112) şi (5.113) se obţine pentru sr pp ≠ :

00

=∫ dxVAV sr

L

ρ (5.114)

iar din (5.112):

00

=⋅′′⋅′′∫ dxVVEI s

L

r (5.115)

adică relaţiile de ortogonalitate. În acelaşi mod, dacă se înmulţeşte ecuaţia (5.110) cu rV , prin integrare se obţine:

r

rr M

Kp =2 (5.116)

Page 20: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

20

unde

( )dxxVEIKL

rr ∫ ′′=0

; ( )dxxAVML

rr ∫=0

2ρ (5.117)

reprezintă rigiditatea şi masa modală corespunzătoare modului r.

5.4. Probleme 5.4.1. O bară de lungime L, omogenă şi de secţiune constantă, este încastrată la ambele capete. Bara este adusă înt-o mişcare vibratorie longitudinală dându-li-se tuturor punctelor o viteză constantă 0v în lungul barei. Să se determine mişcarea rezultantă. Rezolvare:

Soluţia generală a vibraţiilor longitudinale pentru a lăsa capetele încastrate se poate scrie, folosind şi Tabelul 1., astfel:

( )Lxrt

LcrBt

LcrAtxu

rrr

πππ sinsincos,1∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Din condiţiile iniţiale ( ) 00,

0=

=txu şi ( ) 00

, vtxut

== , se obţine:

( ) 0sin0,1

==∑∞

= LxrAxu

rr

π

( ) 01

sin0, vLxr

LcrBxu

rr ==∑

=

ππ

din care rezultă:

0=rA şi dxLxrv

crB

L

πsin2

00∫= , adică:

cr

LvBr 22

04π

= , pentru r impar şi 0=rB pentru r par.

Mişcarea rezultantă va fi:

( )L

tcrLxr

rcLv

txur

⋅= ∑

=

πππ

sinsin14,

3,122

0

5.4.2. O bară de lungime L este încastrată la un capăt şi legată printr-un arc de constantă k la celălalt capăt (fig. 5.6.). Să se deducă ecuaţia pulsaţiilor proprii.

Page 21: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

21

Fig. 5.6.

Rezolvare: În cazul vibraţiilor longitudinale funcţiile proprii sunt de forma:

( ) xcpDx

cpCxU ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= sincos

Punând condiţiile de frontieră: ( ) 0

0=

=xxU şi ( ) ( )

LxLxxUAExkU

==′=−

se obţine din prima condiţie: 0=C , iar din a doua:

Lcp

cpAEL

cpk ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− cossin sau

kcpAEL

cptg −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

.

Aceasta este ecuaţia pulsaţiilor proprii. Dacă rigiditatea arcului este foarte mică în comparaţie cu cea a barei, ecuaţia pulsaţiilor proprii este:

∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ L

cptg , adică:

( )L

crprπ12 −

=

sunt pulsaţiile proprii din cazul barei cu un capăt încastrat şi celălalt liber. 5.4.3. O bară de lungime L este încastrată la un capăt, iar la celălalt capăt este ataşată o masă concentrată m (fig. 5.7.). Să se determine ecuaţia pulsaţiilor proprii.

Fig. 5.7.

Rezolvare:

Page 22: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

22

Condiţiile la limită în acest caz sunt: pentru capătul încastrat ( ) 0,0=

=xtxu , iar

pentru celălalt capăt: LxLx t

umxuAE

== ∂∂

−=∂∂⋅ 2

2

Soluţia generală a vibraţiilor longitudinale libere este de forma:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=∑

=

xcp

Dxcp

CtpBtpAtxu rr

rr

rrrrr sincossincos,

1,

din prima condiţie se obţine: 0=rC , iar din a doua:

LcpmpL

cp

cAEp r

rrr ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sincos 2 sau

r

r

mpcAL

cptg ρ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Aceasta este ecuaţia pulsaţiilor proprii. Dacă masa ataşată m este foarte mică, în comparaţie cu masa barei, ecuaţia

pulsaţiilor proprii devine: ∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ L

cptg r , adică

( )L

crprπ12 −

= .

Dacă masa ataşată m este mult mai mare decât masa barei: r

r

mpcAL

cptg ρ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

,

devine un raport foarte mic, pentru cea mai mică pulsaţie 1p , se poate scrie:

LcpL

cptg ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 11

şi înlocuind în ecuaţia pulsaţiilor proprii:

1

1

mpcAL

cp ρ

=

de unde mLAEp =1 , adică pulsaţia unui sistem cu un grad de libertate, având masa m şi

constanta elastică L

AEk = .

5.4.4. O bară de lungime L este liberă la un capăt, iar celălalt capăt se mişcă după legea

tr sin⋅ (fig. 5.8.). Să se determine vibraţia forţată a barei.

Page 23: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

23

Fig. 5.8.

Rezolvare: Vibraţia forţată a acestei bare se datoreşte condiţiilor de frontieră, care sunt: ( ) trtxu

xωsin,

0=

= şi

( ) 0,=

∂∂

=Lxxtxu

Deoarece interesează vibraţia forţată, aceasta va fi de forma: ( ) ( ) txUtxu pp ωsin, = . Înlocuind-o în ecuaţia diferenţială a vibraţiilor longitudinale

(5.9), se obţine:

( ) ( )xUtctxU pp ′′⋅=− ωωω sinsin 22 sau 02

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+′′ pp U

cU ω

Soluţia acestei ecuaţii este de forma:

( ) xc

Cxc

CxU p ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ωω sincos 21

iar vibraţia forţată este:

( ) txc

Cxc

Ctxu p ωωω sinsincos, 21 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Din condiţiile iniţiale se obţine: ( ) trtCtu ωω sinsin,0 1 == , adică rC =1

şi 0sincossin 2 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∂∂

=

tLc

CLc

rcx

u

Lx

ωωωω

adică cLtgrC ω

⋅=2 , de unde vibraţia forţată va fi:

( ) txc

Lc

tgxc

rtxu ωωωω sinsincos, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Page 24: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

24

Se constată că valorile pentru care pulsaţia mişcării capătului barei este egală cu pulsaţiile proprii ale barei

( )

Lcrpr 2

12 πω −== ,

fac amplitudinea vibraţiei ( )txup , infinit de mare. 5.4.5. Un disc de moment de inerţie J este rigid legat de capătul liber al unui arbore de lungime L (fig. 5.9.). Să se determine ecuaţia pulsaţiilor proprii pentru vibraţiile de torsiune ale arborelui.

Fig. 5.9.

Rezolvare: Ecuaţia diferenţială a vibraţiilor de răsucire este:

2

22

2

2

xc

t ∂∂

=∂∂ θθ

,

unde θ este unghiul de rotaţie al arborelui, iar ρGc =2 .

Soluţia generală a acestei ecuaţii este:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=∑

= axpD

axpCtpBtpAtx rrrr

rrrrr sincossincos,

Condiţiile de frontieră sunt:

( ) 0,0 =tθ şi LxLx t

Jx

GI== ∂

∂=

∂∂

− 2

2

0θθ

din prima condiţie rezultă 0=rC , iar din a doua condiţie:

cLpJp

cLpp

cGI r

rr

r sincos 20 −=−

sau

Page 25: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

25

r

r cJpGI

cLtgp 0=

care reprezintă ecuaţia pulsaţiilor proprii. 5.4.6. Să se determine pulsaţiile proprii şi funcţiile proprii (forma modurilor proprii) pentru vibraţiile transversale ale unei grinzi simplu rezemată (articulată) la ambele capete (fig. 5.10.).

Fig. 5.10.

Rezolvare: Folosind soluţia dată de (5.105) şi condiţiile la limită, care în acest caz sunt: ( ) 0

0=

=xxV , ( ) 0

0=′′

=xxV

şi pentru celălalt capăt: ( ) 0=

=LxxV , ( ) 0=′′

=LxxV ,

se obţine pentru capătul 0=x : 0=+ FD şi ( ) 02 =− FDλ de unde 0== FD . Pentru celălalt capăt, Lx = : 0sin =+ LELCsh λλ ( ) 0sin2 =− LELCsh λλλ Acesta este un sistem liniar şi omogen. Pentru a exista soluţii nebanale trebuie ca:

0sin

sin22

=−

LLshLLsh

λλλλ

λλ

adică 0sin =⋅ LLsh λλ . Deoarece 0=Lshλ , numai dacă 0=Lλ , soluţii nebanale vor fi dacă 0sin =Lλ . Această ecuaţie caracteristică va da pulsaţii proprii:

πλ rLr = , de unde : A

EIL

rpr ρπ 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

iar funcţiile proprii vor fi:

Page 26: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

26

( )LxrExVrπsin=

unde E este o constantă nedeterminată. Funcţiile proprii sunt determinate până la un factor amplitudine arbitrar. Forma primelor trei moduri proprii sunt arătate în fig. 5.11.

Fig. 5.11.

5.4.7. Să se determine pulsaţiile proprii pentru vibraţiile transversale ale unei grinzi încastrată la un capăt şi liberă la celălalt capăt (fig. 5.12.).

Fig. 5.12.

Rezolvare: Folosind soluţia (5.105): ( ) xFxExDchxCshxV λλλλ cossin +++= şi condiţiile la limită: ( ) 0

0=

=xxV ; ( ) 0

0=′

=xxV şi ( ) 0=′′

=LxxV ; ( ) 0=′′′

=LxxV

se obţine sistemul algebric:

Page 27: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

27

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−−0000

sincos

coscos

00

1010

3333

2222

FEDC

LLLshLch

LLLchLsh

λλλλλλλλ

λλλλλλλλ

λλ

Acest sistem are soluţii nebanale dacă 1cos =⋅ Lchx λλ , ceea ce constituie ecuaţia caracteristică, ale cărei rădăcini se obţin prin metode numerice. Primele patru valori sunt: 8751,11 =Lλ , 6941,42 =Lλ 8548,73 =Lλ , 996,104 =Lλ iar din relaţiile (5.106) şi (5.107) rezultă:

A

EIL

pρ21

516,3= ,

AEI

Lp

ρ2203,22

=

A

EIL

pρ23

7,61= ,

AEI

Lp

ρ24121

=

5.5. Vibraţiile membranei plane şi ale unei plăci plane subţiri

5.5.1. Stabilirea ecuaţiilor cu derivate parţiale ale membranei plane O membrană plană este un corp elastic bidimensional, de forma unei suprafeţe plane în stare nedeformată, delimitată de o curbă plană închisă numită contur, care poate prelua numai eforturi de întindere. Se consideră o membrană plană omogenă cu densitatea de suprafaţă de , aflată iniţial în planul Oxy. Sub acţiunea unei forţe perturbatoare q(x,y,t) distribuită pe suprafaţa membranei, orientată după axa Oz perpendiculară pe planul Oxy, aceasta va avea vibraţii forţate după axa Oz, caracterizate de deformaţia w(x,y,t).

Page 28: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

28

Fig. 5.13

Dacă se separă un element de suprafaţă al membranei cu dimensiunile Δx şi Δy în stare nedeformată, la momentul t al mişcării, asupra lui acţionează forţele din figura 5.13. Forţele axiale şi se consideră distribuite pe laturile elementului de suprafaţă, iar

reprezintă acceleraţia acestui element la momentul t al mişcării. Condiţiile de echilibru dinamic ale elementului considerat conduc la ecuaţiile:

(5.118)

Deoarece unghiurile , , şi sunt mici, se pot face aproximările:

(5.119)

În aplicaţii tehnice membrana este fixată pe un contur, astfel că din primele ecuaţii (5.118) rezultă:

(5.120) iar ultima ecuaţie (5.118) devine:

(5.121)

Cu notaţia din (5.121) se obţine:

Page 29: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

29

(5.122) Rezultă că vibraţiile libere ale membranei vor fi descrise de ecuaţia diferenţială cu derivate parţiale

(5.123)

Ecuaţiile (5.122) sau (5.123) se folosesc pentru studiul vibraţiilor forţate, respectiv libere, ale membranei dreptunghiulare. Condiţiile iniţiale şi de limită pentru integrarea acestor ecuaţii vor fi

(5.124)

(5.125) unde a şi b sunt dimensiunile membranei în stare iniţială. În cazul unei membrane circulare este necesar să se exprime ecuaţiile diferenţiale ale mişcării în coordonate polare, faţă de un sistem de coordonate cu originea în centrul membranei. Relaţiile de transformare ale coordonatelor vor fi

(5.126)

din care rezultă

(5.127)

Pe baza relaţiilor (5.127) se pot scrie

Page 30: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

30

(5.128)

de unde ecuaţia de mişcare (5.123) pentru vibraţiile libere ale membranei devine

(5.129)

În acest caz condiţiile iniţiale şi condiţia la limită sunt:

(5.130)

unde R este raza membranei circulare în stare iniţială. 5.2.2. Stabilirea ecuaţiei cu derivate parţiale a plăcii dreptunghiulare subţiri

Fig. 5.14

Se consideră o placă omogenă dreptunghiulară cu densitatea şi dimensiunile a

respectiv b mult mai mari decât grosimea sa h. Se caută să se stabilească ecuaţia diferenţială cu derivate parţiale a vibraţiilor de încovoiere (transversale) ale plăcii, dacă se pot neglija toate forţele şi momentele disipative. Deoarece deformaţiile transversale ale plăcii sunt foarte mici, pentru aceasta se poate separa un element de suprafaţă al plăcii cu dimensiunile infinitesimale dx şi dy, care în stare deformată a plăcii rămâne paralel cu planul Oxy. Asupra feţelor laterale ale acestui element de suprafaţă acţionează eforturile distribuite pe laturile elementului ca în figura 5.14, unde Tzx şi Tzy sunt forţe tăietoare. Mx şi My sunt momente încovoietoare, iar Mxy este moment de răsucire. Din condiţiile sale de echilibru dinamic rezultă:

Page 31: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

31

(5.131)

Pe baza relaţiilor cunoscute din rezistenţa materialelor:

(5.132)

unde D este rigiditatea la încovoiere a plăcii, iar este coeficientul lui Poisson, se obţine:

(5.133)

Înlocuind (5.133) în prima ecuaţie (5.131), rezultă:

(5.134)

unde s-a notat . Vibraţiile libere ale plăcii se vor studia, astfel, cu ecuaţia:

(5.135)

Pentru integrarea ecuaţiilor (5.134) sau (5.135) se folosesc condiţiile iniţiale (5.124), iar condiţiile limită se exprimă în funcţie de modul de fixare al plăcii pe contur. Astfel, pe o latură încastrată săgeata w şi panta sau sunt nule. Dacă placa este încastrată pe contur, condiţiile limită devin:

(5.136)

Pe o latură rezemată bilateral săgeata şi momentul încovoietor sunt nule, deci pentru o placă dreptunghiulară rezemată pe contur sunt valabile următoarele condiţii limită:

Page 32: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

32

(5.137) 5.5.3. Vibraţiile libere ale membranei dreptunghiulare

Folosind metoda separării variabilelor, soluţia ecuaţiei (5.123) se exprimă sub forma:

(5.138)

Cu notaţiile obiţnuite ale derivatelor, se poate scrie

(5.139)

Din (5.139) se obţin trei ecuaţii diferenţiale obişnuite

(5.140)

care au soluţiile generale

(5.141)

Valorile proprii d, s şi se determină din condiţiile la limită (5.125), care conduc la ecuaţiile

(5.142)

Din (5.142) rezultă

(5.143)

Pulsaţiile proprii ale membranei devin

(5.144)

Page 33: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

33

Dacă se consideră , soluţia generală a ecuaţiei (5.123) se poate exprima sub forma

(5.145)

în care , şi produsul lor se numesc funcţii proprii. Constantele de integrare şi din (5.145) se determină din condiţiile iniţiale (5.124), care conduc la

(5.146)

Pe baza dezvoltării în serie dublă Fourier a funcţiilor şi din (5.146) rezultă

(5.147)

5.5.4. Vibraţiile libere ale plăcii dreptunghiulare subţiri

Din condiţia că soluţia (5.138) se obţine

(5.148)

Page 34: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

34

Pentru cea de a doua ecuaţie (5.148) se caută soluţii de forma

(5.149)

care conduc la ecuaţia caracteristică

(5.150)

Se observă că soluţiile generale ale ecuaţiilor (5.148) se pot exprima sub forma

(5.151)

în care, pe baza ecuaţiei (5.150), trebuie să fie verificată relaţia

(5.152)

Valorile proprii d şi s se determină din condiţiile limită, iar rezultă din (5.152). Pentru placa rezemată bilateral pe contur, din (5.137) rezultă

(5.153)

Condițiile (5.153) conduc la ecuaţiile:

(5.154)

(5.155)

Page 35: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

35

(5.156)

unde s-a ţinut seama că din (5.154) rezultă . Pentru că sistemele liniare şi omogene (5.155) şi (5.156) să admită soluţii diferite de soluţia banală, este necesar ca determinanţii acestora să fie nuli, deci se obţin ecuaţiile caracteristice:

(5.157)

care sunt aceleaşi ca şi la membrana dreptunghiulară. Rezultă că valorile proprii, funcţiile proprii, soluţia generală şi constantele de integrare şi vor fi aceleaşi, dar aici pulsaţiile proprii sunt:

(5.158)

În cazul în care placa este încastrată pe contur, condiţiile limită (5.136) se exprimă prin:

(1.159)

care conduc la ecuaţiile:

(1.160)

(1.161)

Page 36: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

36

(1.162)

în care s-a ţinut seama de (5.160). Pentru ca sistemele liniare şi omogene (5.161) şi (5.162) să admită soluţii diferite de soluţia banală, este necesar ca determinanţii acestora să fie nuli. Din această condiţie se obţin ecuaţiile caracteristice:

(5.163)

Fig. 5.15

ale căror soluţii se determină grafic, din intersecţia graficelor funcţiilor şi , dacă se notează sau cu (Fig. 5.15). Astfel, se obţine şi

, iar pentru se poate lua . În acest mod se determină următoarele valori proprii:

(5.164)

iar valorile proprii şi pulsaţiile proprii rezultă:

(5.165)

Deoarece ca funcţii proprii se pot lua funcţiile

Page 37: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

37

(5.166)

soluţia generală a ecuaţiei (5.135) în acest caz devine:

(5.167)

în care constantele de integrare, pe baza condiţiilor iniţiale (5.124), se determină cu integralele:

(5.168)

5.5.5. Vibraţii forţate cu forţă perturbatoare armonică ale unei plăci dreptunghiulare subţiri

Se consideră forţa perturbatoare armonică distribuită pe suprafaţă

(5.169)

care acţionează asupra unei plăci dreptunghiulare subţiri. Amplitudinea a acestei forţe perturbatoare este o funcţie dată, definită pe suprafaţa dreptunghiulară a plăcii. Vibraţiile forţate corespunzătoare ale plăcii sunt date de o soluţie particulară a ecuaţiei (5.134) care, de asemenea, se poate exprima sub forma:

Page 38: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

38

(5.170)

Din condiţia ca această soluţie să verifice ecuaţia (5.134), rezultă:

(5.171)

Deoarece soluţia a ecuaţiei (5.171) trebuie să verifice condiţiile de margine ale plăcii, aceasta se descompune după funcţiile proprii:

(5.172)

în care, pe baza celei de a doua ecuaţii (5.148), trebuie să fie îndeplinite condiţiile:

(5.173)

pentru orice valori naturale ale lui i şi j. Înlocuind (5.172) în (5.171) şi ţinând seama de (5.173), se obţine:

(5.174)

de unde coeficienţii rezultă:

(5.175)

Se observă că pentru amplitudinea corespunzătoare din (5.175) poate să tindă spre infinit, dacă integrala din membrul drept este diferită de zero, deci şi în acest caz poate să apară fenomenul de rezonanţă.

5.5.6. Vibraţiile libere ale membranei circulare

Page 39: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

39

În cazul vibraţiilor libere ale membranei circulare este avantajos să se considere ecuaţia (5.129), cu condiţiile iniţiale şi limită (5.130). Folosind metoda separării variabilelor, se consideră soluţia ecuaţiei (5.129) de forma

(5.176)

pentru care se obţine:

(5.177)

A doua ecuaţie (5.177) se poate exprima sub forma:

(5.178)

deci din prima ecuaţie (5.177) şi din (5.178) rezultă:

(5.179)

Soluţia celei de a doua ecuaţii (5.179) este funcţia Bessel de speţa întâi şi de ordin . Această soluţie nu poate să depindă şi de funcţia Bessel de speţa a doua, deoarece pentru r=0 trebuie să fie mărginită. Din condiţia limită (5.130) se obţine ecuaţia caracteristică:

(5.180)

care are un şir infinit de soluţii discrete pentru fiecare valoare a lui s. Deoarece din condiţiile limită pentru funcţia , care sunt:

(5.181)

Page 40: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

40

se obţine ecuaţia caracteristică , deci valorile proprii adimensionale sunt , din ecuaţia caracteristică (5.180) rezultă un şir dublu de valori proprii şi

respectiv un şir dublu de pulsaţii proprii . Ca urmare, soluţia generală a ecuaţiei (5.129) se exprimă sub forma:

(5.182)

Pentru determinarea constantelor de integrare şi pe baza condiţiilor iniţiale (5.130), se foloseşte proprietatea de ortogonalitate a funcţiilor Bessel de speţa întâi, care este

(5.183)

În acest mod se obţine:

(5.184) 6. METODE NUMERICE ŞI APROXIMATIVE

Din problemele de vibraţii prezentate în capitolele precedente se poate constata că, de cele mai multe ori, găsirea soluţiilor exacte ale ecuaţiilor diferenţiale este foarte dificilă, dacă nu chiar imposibilă, iar volumul de calcul pentru determinarea pulsaţiilor proprii şi a vectorilor proprii este mare. Din aceste motive s-au fundamentat numeroase metode aproximative. În concordanţă cu forma în care aceste soluţii sunt reprezentate, metodele aproximative se împart în două grupe:

1. Metode numerice, în care soluţiile aproximative sunt date sub forma unor tabele. 2. Metode analitice, care dau soluţiile aproximative ale ecuaţiilor diferenţiale sub

Page 41: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

41

forma unor expresii analitice. Din acest motiv, aceste metode sunt cunoscute frecvent sub numele de metode aproximative.

6.1. Evaluarea numerică a răspunsului sistemului cu un grad de libertate

6.1.1. Soluţia numerică bazată pe interpolarea forţei perturbatoare În multe probleme practice de vibraţii mecanice forţa perturbatoare ( )tF nu este cunoscută sub forma unei expresii analitice, ci este dată sub forma unui set de valori discrete ( )ii tFF = , Ni ,1= . În mod frecvent intervalul de timp iii ttt −=Δ +1 este luat constant. Pentru calculul numeric al integralelor ce apar în formulele lui Duhamel (1.123) şi (1.133) se poate folosi metoda Simpson sau metoda trapezelor, dar o metodă mult mai directă şi mai eficientă se obţine prin interpolarea forţei perturbatoare ( )tF . Această metodă se bazează pe o soluţie exactă, folosind rezultatele din problema 1.3.28. În fig. 6.1. se arată interpolarea constantă şi interpolarea liniară a forţei ( )tF . În cazul

interpolării constante, valoarea forţei în intervalul itΔ se consideră iF~ şi se calculează ca

fiind media valorilor de la capetele intervalului itΔ ; ( )15,0~++= iii FFF .

Fig. 6.1.

În cazul interpolării liniare a forţei perturbatoare, forţa în intervalul considerat va fi:

( ) ττ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

+=i

ii t

FFF (6.1)

unde iii FFF −=Δ +1 Se va considera în continuare răspunsul unui sistem neamortizat. Pentru o interpolare constantă, răspunsul poate fi obţinut pe baza soluţiei (1.123) şi răspunsului dat de condiţii iniţiale nenule (1.65).

Page 42: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

42

( ) ( )τωτωω

τωτ ni

nn

ini k

Fxxx cos1

~sincos −⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++= (6.2)

( ) τωτω

ωτω

ωτ

ni

nn

ini

n kFx

xx sincossin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= (6.3)

Calculând aceste expresii la timpul 1+it , adică pentru itΔ=τ , se obţine:

( ) ( ) ( )[ ]ini

inn

iinii t

kF

tx

txx Δ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+Δ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+Δ=+ ωω

ωω cos1

~sincos1 (6.4)

( ) ( ) ( )ini

inn

iini

n

i tkF

tx

txx

Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+Δ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+Δ−=+ ωω

ωω

ωsin

~cossin1 (6.5)

Ecuaţiile (6.4) şi (6.5) sunt formule de recurenţă pentru calculul stării dinamice ( )11, ++ ii xx la momentul 1+it , fiind dată starea ( )ii xx , la momentul it . Pentru cazul în care interpolarea forţei perturbatoare se face liniar, aproximaţia este mai bună. Folosind ecuaţia (6.1) pentru un sistem vibrant neamortizat cu un singur grad de libertate se obţin formulele de recurenţă:

( ) ( ) ( )[ ]

( )[ ]ininin

i

ini

inn

iinii

ttt

F

tkF

tx

txx

Δ−Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

Δ+

+Δ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+Δ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+Δ=+

ωωω

ωωω

ω

sin

cos1sincos1

(6.6)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]inin

iin

iin

n

iini

n

i ttk

Ft

kF

tx

txx

Δ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

Δ+Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+Δ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+Δ−=+ ω

ωωω

ωω

ωcos1sincossin1

(6.7) Formulele de recurenţă (6.4) şi (6.5), respectiv (6.6.) şi (6.7), pot fi convenabil scrise sub forma: iiiii xDxCFBFAx ⋅+⋅+⋅+⋅= ++ 11 (6.8) iiiii xDxCFBFAx ⋅′+⋅′+⋅′+⋅′= ++ 11 (6.9) Dacă intervalul itΔ este constant, coeficienţii de la A până la D' trebuie calculaţi o singură dată, ceea ce măreşte viteza de calcul a răspunsului. Deoarece, formulele de recurenţă se bazează pe soluţii parţiale exacte, într-un interval de timp itΔ , este necesar ca mărimea pasului itΔ să fie ales astfel încât să se facă apropiere strânsă a răspunsului aproximativ de soluţia totală exactă. Pentru aceasta este recomandabil să se ia un pas

10n

iT

t ≤Δ , nT fiind perioada naturală a sistemului.

Page 43: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

43

6.1.2. Integrarea numerică pas cu pas Metoda aplicată în paragraful precedent permite determinarea răspunsului unui sistem vibrant liniar la un timp discret it . O altă metodă, care poate fi folosită, atât pentru sisteme liniare, cât şi pentru sisteme neliniare, se bazează pe aproximarea derivatelor ce apar în ecuaţia diferenţială a mişcării şi pe generarea soluţiei pas cu pas, folosind paşii itΔ . Există foarte multe variante ale acestei metode, una dintre cele mai frecvent folosite fiind metoda de mediere a acceleraţiei (Newmark 41=β ) . În continuare se va considera sistemul mecanic a cărui ecuaţie de mişcare este: ( )tFkxxcxm =++ (6.10) cu condiţiile iniţiale: ( ) 00 xx = şi ( ) 00 vx = date. Acceleraţia în intervalul de timp it şi 1+it este luată ca medie a valorilor de la capetele intervalului de timp (fig. 6.2.) ( ) ( )15,0 ++= ii xxx τ (6.11)

Fig. 6.2.

Integrând ecuaţia (6.11) de două ori se obţine:

( )11 2 ++ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ+= ii

iii xx

txx (6.12)

( )1

2

1 4 ++ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ+Δ+= ii

iiiii xx

ttxxx (6.13)

Pentru determinarea unui algoritm, pentru integrarea numerică, este convenabil a se folosi variaţiile iFΔ , ixΔ , ixΔ şi ixΔ , unde iii FFF −=Δ +1 , şi aşa mai departe. Atunci din (6.12) şi (6.13) se obţin:

( ) iiiii

i xtxxt

x 242 −Δ−Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

=Δ (6.14)

iii

i xxt

x 22−Δ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

=Δ (6.15)

Din ecuaţia de mişcare (6.10) care se scrie pentru it şi 1+it , se obţine:

Page 44: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

44

iiii Fxkxcxm Δ=Δ+Δ+Δ (6.16) Ecuaţiile (6.14) şi (6.16) prin substituţie conduc la: χχ

iii Fxk Δ=Δ (6.17) unde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

+= 2

42

iii t

mtckk χ (6.18)

şi

iii

ii xmxctmFF 224

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ+Δ=Δ χ (6.19)

Se determină ixΔ din (6.17), apoi se obţine ixΔ şi ixΔ din (6.14) şi (6.15), respectiv iii xxx Δ+=+1 iii xxx Δ+=+1 iii xxx Δ+=+1 (6.20) Acceleraţia poate fi determinată, de asemenea, din ecuaţia de mişcare:

m

kxxcFx iii

i−−

= (6.21)

Această ecuaţie este folosită pentru obţinerea acceleraţie 0x . În concluzie, algoritmul pentru integrarea numerică prezentată are următorii paşi:

1. Se introduc k, c, m, 0x , ( )itF , Ni ,,1,0 …= ; 2. Se determină 0x din (6.21); 3. Se introduce itΔ ;

4. Se determină χik din (6.18);

5. Se determină χiFΔ din (6.19);

6. Se determină ixΔ din (6.17); 7. Se determină ixΔ şi ixΔ din (6.14) şi (6.15); 8. Se determină 1+ix , 1+ix , 1+ix din (6.20).

Dacă itΔ este constant, ciclul se reia de la pasul 5, altfel de la pasul 3. 6.2. Evaluarea numerică a răspunsului sistemelor liniare cu mai multe

grade de libertate

Page 45: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

45

6.2.1. Metoda diferenţelor finite Pentru integrarea numerică a ecuaţiei diferenţiale: [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }Qqkqcqm =++ (6.22) cu condiţiile iniţiale { }0q şi { }0q date, sunt cunoscute mai multe metode. Metoda diferenţelor finite este folosită pentru a aproxima derivatele de diferite ordine şi are la bază dezvoltările în serie Taylor ale unei funcţii ( )xf în jurul unui punct oarecare x astfel:

( ) ( ) ( )+

Δ+Δ+=Δ+

2

2

2

2 xdx

fdxdxdfxfxxf

xx (6.23)

( ) ( ) ( )+

Δ+Δ−=Δ−

2

2

2

2 xdx

fdxdxdfxfxxf

xx (6.24)

Luând numai primii doi termeni ai dezvoltărilor, se obţine:

( ) ( )

xxxfxxf

dxdf

x ΔΔ−−Δ+

=2

(6.25)

Dacă se iau şi termenii ce conţin derivatele de ordinul doi din (6.23) şi (6.24) se obţine:

( ) ( ) ( )

( )22

2 2x

xxfxfxxfdx

fd

x ΔΔ−+−Δ+

= (6.26)

În mod similar, pentru a obţine relaţii pentru derivate de ordin superior, se dezvoltă ( )xxf Δ+ 2 şi ( )xxf Δ− 2 .

Folosind formulele (6.25) şi (6.26), vectorii viteză şi acceleraţie la orice moment it , păstrând un pas constant tΔ , por fi exprimaţi astfel:

( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]ttqttqt

tq iii Δ−−Δ+Δ

=21

(6.27)

( ){ }( )

( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]ttqtqttqt

tq iiii Δ++−Δ−Δ

= 212 (6.28)

Înlocuind (6.27) şi (6.28) în (6.22) se obţine:

( )

[ ] [ ] ( ){ } ( ){ } [ ]( )

[ ] ( ){ }

( )[ ] [ ] ( ){ }ttqc

tm

t

tqmt

ktQttqct

mt

i

iii

Δ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

−Δ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

Δ−−=Δ+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

211

2211

2

22

(6.29)

Page 46: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

46

Din ecuaţia (6.29) se poate calcula ( ){ }ttq i Δ+ , dar pentru iniţializarea ciclului este nevoie a se cunoaşte ( ){ }tq Δ− pentru a se putea determina ( ){ }tq Δ . Presupunând date condiţiile iniţiale ( ){ }0q şi ( ){ }0q din (6.22) pentru t=0 se determină ( ){ }0q . Pentru a obţine ( ){ }tq Δ− se scad ecuaţiile (6.28) şi (6.27):

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ }02

002

qtqtqtq ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ+Δ−=Δ− (6.30)

Un dezavantaj al acestei metode este că pasul de timp tΔ trebuie să fie mai mic decât pasul critic ( )crtΔ pentru ca operatorul să fie stabil. 6.2.2. Metoda Newmark Ecuaţiile de bază ale acestei metode sunt: ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }ttqttqttqttq iii Δ+Δ+Δ−+=Δ+ γγ 11 (6.31)

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }ttqttqttqttqttq iiii Δ+Δ+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+Δ+=Δ+ 22

1 21 ββ (6.32)

unde γ şi β sunt parametrii ce pot fi determinaţi impunându-se o acurateţe şi o stabilitate dorită. Pentru γ se ia de obicei valoarea 21 , iar pentru β se iau valori ce depind de modul în care se presupune că variază acceleraţia în intervalul it şi tti Δ+ (fig. 6.3.).

Fig. 6.3.

În plus, la ecuaţiile (6.31) şi (6.32) se consideră ecuaţia (6.22) satisfăcută la timpul tti Δ+ [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } ( ){ }ttQttqkttqcttqm iiii Δ+=Δ++Δ++Δ+ (6.33)

Page 47: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

47

Pentru a obţine soluţia numerică, în primul rând se rezolvă (6.32), de unde se obţine ( ){ }ttq i Δ+ , apoi se înlocuieşte în (6.31), de unde se obţine ( ){ }ttq i Δ+ şi, în sfârşit, se foloseşte (6.33) pentru a se obţine ( ){ }ttq i Δ+ .

6.3. Metode analitice aproximative 6.3.1. Calculul energiei cinetice şi potenţiale pentru sisteme continue Relaţiile (2.10) şi (2.17) dau energia cinetică şi potenţială pentru sisteme discrete. Expresii similare se pot deduce şi pentru sistemele continue, cu observaţia că, diferite sisteme continue au expresii diferite pentru aceste energii. Pentru a scoate în evidenţă legătura dintre sistemele discrete şi continue se vor deduce expresiile energiilor cinetică şi potenţială pentru o bară, care vibrează longitudinal, privind-o ca un caz limită a unui sistem discret. Se consideră sistemul de mase iM ( )ni ,,2,1 …= (fig. 6.4.). Masele sunt legate prin arcurile ik . Energia cinetică este:

( ) 2

121

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= ∑

= dttdu

ME in

iic

(6.34)

unde ( )

dttdui este viteza masei iM .

Fig. 6.4.

În configuraţia de echilibru masa iM ocupă poziţia ix . Notând iii xmM Δ= , unde im poate fi considerată masa unităţii de lungime, când ∞→n , trecând la limită 0→Δ ix şi energia cinetică se poate scrie:

( ) ( ) ( ) dx

ttxuxmx

dttdu

mEL

ii

n

iixc

i

2

0

2

10

,21

21lim ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

=Δ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= ∫∑

=→Δ

(6.35)

unde variabila x este în locul poziţiei indexate ix , iar L reprezintă lungimea barei. În cazul barei omogene ( ) ( )xAxm ρ= . Pentru calculul energiei potenţiale se presupune sistemul liniar. Notând cu ( )tFi forţa din arcul ik şi cu 1−− ii uu deformaţia acestuia, expresia energiei potenţiale este:

Page 48: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

48

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]211

11 2

121 tutuktututFE ii

n

iiii

n

iip −

=−

=

−=−= ∑∑ (6.36)

Introducând notaţiile i

ii x

EAk

Δ= şi ( ) ( ) ( )tututu iii Δ=− −1 , expresia (6.36), trecând la

limită se poate scrie:

( ) ( ) ( ) dx

xtxuxEAx

xtu

EAEL

ii

in

iixp

i

2

0

2

10

,21

21lim ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

=Δ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

= ∫∑=

→Δ (6.37)

Într-un mod analog, se exprimă aceste energii pentru o bară aflată în vibraţii de răsucire:

( ) ( ) dxt

txxJEL

c

2

0

,21

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

= ∫θ

(6.38)

( ) ( ) dxx

txxGIEL

p

2

0

,21

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

= ∫θ

(6.39)

precum şi pentru o bară aflată în vibraţii de încovoiere:

( ) ( ) dxt

txvxAEL

c

2

0

,21

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

= ∫ ρ

(6.40)

( ) ( ) dxx

txvxEIEL

p

2

2

2

0

,21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂= ∫

(6.41) 6.3.2. Aplicarea ecuaţiilor lui Lagrange pentru sistemele continue în metoda modurilor presupuse Pentru a genera un model cu N grade de libertate pentru un sistem continuu soluţia aproximativă ( )txu , ( ( )tx,θ sau ( )txv , ) se ia de forma:

( ) ( ) ( )tqxtxu r

N

rr ⋅=∑

=1, φ (6.42)

unde ( )xrφ sunt funcţii acceptabile (funcţiile generatoare sau de comparaţie pot fi privite întotdeauna ca funcţii acceptabile). Funcţiilor acceptabile li se impun numai verificarea condiţiilor de frontieră geometrice, constituind astfel o clasă mai largă decât cea a funcţiilor generatoare. Funcţiile de timp ( )tqr corespund coordonatelor generalizate. Se ca considera cazul vibraţiilor longitudinale, caz în care, înlocuind (6.42) în expresiile energiilor cinetică şi potenţială, se obţine:

Page 49: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

49

( ) ( ) ( ) ∑∑∑∑∫= == =

==N

rsr

N

srssr

N

rs

N

sr

L

c qqmdxqqxxxAE1 11 10 2

121 φφρ (6.43)

( ) ( ) ( ) ∑∑∑∑∫= == =

=′′=N

rsr

N

srssr

N

rs

N

sr

L

p qqkdxqqxxxEAE1 11 10 2

121 φφ (6.44)

unde

( ) dxxAm sr

L

rs φφρ∫=0

; ( ) dxxEAk sr

L

rs φφ ′′= ∫0

(6.45)

Cu alte cuvinte, pE şi cE sunt funcţii pătratice de coordonatele generalizate, respectiv vitezele generalizate. Coeficienţii formelor pătratice sunt elementele matricelor [ ]k şi [ ]m din forma matriceală:

{ } [ ]{ }qmqE Tc 2

1= ; { } [ ]{ }qkqE T

p 21

= (6.46)

Dacă bara este supusă unor forţe externe distribuite pe unitatea de lungime ( )txf , , atunci lucrul mecanic virtual este:

( ) ( ) r

N

rr

L

qQtxudxtxfL δδδ ∑∫=

=⋅=10

,, (6.47)

Din (6.42) deplasarea virtuală ( )txu ,δ se scrie:

( ) ( ) r

N

rr qxtxu δφδ ∑

=

=1

, (6.48)

care înlocuită în relaţia (6.47) dă forţele generalizate:

( ) ( ) ( )dxxtxftQ r

L

r φ⋅= ∫0

, (6.49)

Pentru determinarea ecuaţiilor de mişcare se folosesc ecuaţiile lui Lagrange (2.1), obţinându-se:

( )∑∑==

=+N

sjsjs

N

ssjs tQqkqm

11, Nj ,1= (6.50)

sau sub forma matriceală: [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tQqkqm =+ (6.51) În concluzie, alegând un număr de N funcţii acceptabile, calculând coeficienţii din (6.45) şi forţele generalizate, se ajunge la ecuaţia de mişcare (6.51), a cărei rezolvare a fost discutată la vibraţiile sistemelor discrete. Dacă se presupune şi efectul forţelor rezistente, ca fiind forţe de amortizare vâscoasă, pe unitatea de lungime acţionează o forţă ( ) ( ) ( )dxtxuxcdxtxr ,, −= (6.52) c(x) fiind un coeficient de distribuţie a amortizării. Forţele generalizate de amortizare vor fi:

Page 50: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

50

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxqxxcdxxtxrQ r

L N

sssr

Lar φφφ ∫ ∑∫ ⎥

⎤⎢⎣

⎡−=⋅=

=0 10

, (6.53)

sau

s

N

jjs

ar qcQ ∑

=

−=1

, Nj ,1= (6.54)

unde coeficienţii matricei de amortizare [c] sunt:

( ) dxxcc sr

L

rs φφ∫=0

(6.55)

6.3.3. Metoda Rayleigh Pentru obţinerea unei soluţii aproximative, corespunzătoare modului fundamental, se poate folosi metoda lui Rayleigh. Această metodă se bazează pe teorema de conservare a energiei mecanice totale a sistemelor conservative, adică: max.max. pc EE = (6.56) Energia cinetică a unei bare ce vibrează longitudinal din (6.35) este:

( ) dxtuxAE

L

c

2

021

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= ∫ ρ (6.57)

iar energia potenţială este:

( ) dxxuxEAE

L

p

2

021

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= ∫ (6.58)

Presupunând o lege armonică de variaţie a deplasării ( )txu , , de forma: ( ) ( ) ptxUtxu cos, = (6.59) energia cinetică maximă, respectiv energia potenţială maximă, sunt date de:

( ) dxUxApEL

c2

0

2max. 2

1∫= ρ (6.60)

( ) dxxUxEAE

L

p

2

0max. 2

1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= ∫ (6.61)

Din ecuaţia (6.56) se obţine:

( )URdxUA

dxdxdUEA

p L

L

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

∫2

0

2

02 (6.62)

Pentru a determina pulsaţia fundamentală din (6.62) se presupune o deformaţie sau o funcţie ( )xU , care satisface condiţiile geometrice de frontieră, adică o funcţie

Page 51: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

51

acceptabilă. Expresia (6.62) se numeşte raportul lui Rayleigh şi depinde de funcţia aleasă ( )xU .

6.3.4. Metoda Rayleigh – Ritz Dacă se doreşte determinarea mai multor pulsaţii naturale, se va înlocui funcţia ( )xU printr-o combinaţie liniară de N funcţii acceptabile

( ) NNxU φαφαφα +++= …2211 (6.63) unde Nααα ,,, 21 … sunt constante , iar Nφφφ ,,, 21 … sunt funcţii acceptabile. Dacă se înlocuieşte (6.63) în raportul lui Rayleigh, se obţine acest raport ca o funcţie de cele N constante. Se demonstrează (6.4.2.) că raportul lui Rayleigh are o valoare staţionară în vecinătatea unui mod propriu. Deci, se poate scrie setul de condiţii:

0321

=∂∂

==∂∂

=∂∂

=∂∂

N

RRRRαααα

… (6.64)

Acestea vor reprezenta un sistem liniar algebric omogen în necunoscutele Nααα ,,, 21 … . Impunând condiţia de soluţie nebanală sistemului (6.64) se obţin pulsaţiile proprii şi constantele Nααα ,,, 21 … . Dacă funcţia ( )xU se dezvoltă în serie de funcţii modale ortogonale, astfel ca

1=rM , atunci:

( ) ( )xUxU r

N

rr∑

=

=1α (6.65)

iar raportul lui Rayleigh, ţinând cont şi de relaţiile de ortogonalitate (5.43) şi (5.44), cât şi de relaţiile (5.46) şi (5.48), devine:

( ) 222

21

2222

22

21

21

N

NNpppUR

αααααα

++++++

=……

(6.66)

Dacă 01 ≠p , relaţia (6.66) se poate scrie:

( ) 2

1

2

1

32

1

2

2

1

2

1

2

1

32

1

32

1

2

2

1

2

21

1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

αα

αα

αα

αα

αα

αα

N

NN

pp

pp

pp

pUR

(6.67)

Deoarece Npppp ≤≤≤≤ 321 , fiecare termen al numărătorului este mai mare sau egal cu termenul corespunzător numitorului. Deci, ( ) 2

1pUR ≥ (6.68)

Un procedeu similar se foloseşte pentru a arăta că ( ) 2NpUR ≤ .

6.3.5. Metoda Galerkin

Page 52: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

52

Pentru a da o soluţie aproximativă ecuaţiei (5.25) sau (5.101), folosind metoda Galerkin, se presupune că soluţia se scrie sub forma unei combinaţii liniare de funcţii de punct ( )xiφ , care satisfac, fiecare în parte, toate condiţiile la limită, atât cele geometrice, cât şi cele naturale: ( ) NNxU φαφαφα +++= …2211 (6.69) Deoarece ( )xU nu este o soluţie exactă, după introducerea în ecuaţia (5.25) se obţine o cantitate, în membrul drept, diferită de zero, numită reziduu şi notată cu ( )pUR , . Această notaţie nu trebuie confundată cu raportul Rayleigh.

Valorile constantelor Nααα ,,, 21 … se obţin punând condiţiile ca integrala reziduului înmulţită cu fiecare funcţie, pe toată lungimea barei, să fie nulă:

( ) 0,0

=∫ dxpUR i

L

φ Ni ,,2,1 …= (6.70)

Ecuaţiile (6.70) reprezintă, de asemenea, un sistem omogen. Din condiţia de soluţie nebanală se obţine ecuaţia caracteristică. Cantitatea ( )pUR , poate fi privită şi ca o măsură a erorii de aproximare. Constantele Nααα ,,, 21 … se pot determina şi pe baza metodei celor mai mici pătrate:

( )[ ] imdxpURL

min,0

2 =∫ (6.71)

Din condiţia de minim, rezultă tot un sistem algebric liniar şi omogen.

6.4. Evaluarea numerică a pulsaţiilor proprii şi a vectorilor proprii

6.4.1. Metoda puterii folosind matricea de eliminare Metoda puterii este o metodă iterativă, pentru determinarea vectorilor proprii şi a valorilor proprii, bazată pe dezvoltarea (2.85). Implicaţia acestei dezvoltări este că problema de valori proprii (2.63) sau (2.67) conduce la un set de vectori proprii { }rμ ,

nr ,1= liniar independenţi. Ecuaţia (2.67) poate fi pusă şi sub forma: [ ]{ } { }rrrD μλμ = nr ,,2,1 …= (6.72)

unde [ ] [ ] [ ]mkD 1−= este matricea dinamică a sistemului, iar 2

1

rr p=λ .

În baza relaţiei (2.85) un vector, cu care se începe iteraţia, poate fi scris astfel:

( ){ } { } { } { } { }r

n

rrnn μαμαμαμαμ ∑

=

=+++=1

22111 … (6.73)

Page 53: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

53

Prin înmulţirea vectorului ( ){ }1μ cu matricea [ ]D , ţinând cont şi de ecuaţia (6.72), se obţine un alt vector ( ){ }2μ , de forma:

( ){ } [ ] ( ){ } [ ]{ } { }rr

n

rrr

n

rr DD μ

λλ

αλμαμμ11

11

12 ∑∑==

=== (6.74)

Spre deosebire de (6.73), unde fiecare vector propriu { }rμ este înmulţit cu constantele

rα , în vectorul ( ){ }2μ are componentele înmulţite cu 1λ

λα r

r . Deoarece valorile proprii

sunt presupuse ordonate astfel ca nλλλλ ≥≥≥≥ 321 raportul 1λλr , arată nivelul de

participare a vectorului propriu { }rμ în componenţa vectorului ( ){ }2μ . Desigur procedeul

poate fi continuat, astfel încât, dacă ( ){ }2μ se împarte cu 1λ şi se înmulţeşte cu [ ]D , se obţine:

( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ]{ } { }rr

n

rrr

rn

rr DDD μ

λλ

αλμλλ

αμλ

μλ

μ2

111

11

12

1

2

1

3 11⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==== ∑∑

== (6.75)

Şi, în general, după k paşi:

( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } { }r

k

rn

rr

kk

kk DD μλλ

αλμλ

μλ

μ1

111

112

1

1

1

11−

=

−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== ∑ (6.76)

Pentru un număr suficient de mare de paşi:

( ){ } [ ] ( ){ } { }1111

111

1lim1lim μαμλ

μλ

== −−∞→∞→

kkk

k

kD (6.77)

Deci, procedeul este convergent spre primul vector propriu şi prima valoare proprie. Mai mult, când convergenţa este îndeplinită, vectorii ( ){ }kμ şi ( ){ }1−kμ satisfac ecuaţia (6.72), deoarece ei, amândoi pot fi priviţi ca { }1μ , iar pulsaţia fundamentală va fi

121 1 λ=p .

Numărul paşilor iterativi depinde de doi factori. Primul factor de care depinde acest număr de paşi este sistemul însuşi şi anume, dacă valorile 1λ şi 2λ sunt comparabile, separarea vectorilor { }1μ şi { }2μ este mai înceată şi numărul paşilor mai mare. Al doilea factor depinde de experienţa analistului, deoarece alegerea vectorului de iteraţie ( ){ }1μ cât mai apropiată de primul mod va reduce numărul paşilor iterativi. Un lucru este sigur, indiferent de numărul paşilor iterativi, procesul converge către primul mod, exceptând cazul în care vectorul ales pentru iteraţie coincide perfect cu un mod superior. Dacă este aşa, problema se pune cum se determină modurile superioare. O modalitate ar fi găsirea unui vector de iteraţie care să nu-l conţină pe { }1μ . Acest procedeu este, în general, mai dificil. O altă metodă este aşa numita metoda matricei de eliminare.

Page 54: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

54

Dacă 1λ şi { }1μ reprezintă primul mod al matricei [ ]D , iar normalizarea este

făcută astfel ca { } [ ]{ } 111 =μμ mT , atunci matricea:

( )[ ] [ ] { } { } [ ]mDD T111

2 μμλ−= (6.78) va avea aceleaşi valori proprii ca şi [ ]D , exceptând 1λ . Înmulţind cu ( ){ }1μ relaţia (6.78) se obţine:

( )[ ] ( ){ } ( )[ ]{ } [ ]{ } { } { } [ ]{ }rT

n

rrr

n

rrr

n

rr mDDD μμαμλμαμαμ 1

111

1

2

1

12 ∑∑∑===

−== (6.79)

Ţinând cont de condiţiile de ortogonalitate şi ecuaţia (6.72), relaţia (6.79) se reduce la:

( )[ ] ( ){ } ( )[ ]{ } { }rr

n

rrr

n

rr DD μλαμαμ ∑∑

==

==2

2

1

12 (6.80)

deci matricea ( )[ ]2D este liberă de vectorul propriu { }1μ . Deci, folosind pentru iteraţie

orice vector arbitrar, împreună cu matricea ( )[ ]2D , procesul iterativ va converge către 2λ şi { }2μ .

Deoarece valoarea proprie dominantă pentru ( )[ ]2D este 2λ , procesul de eliminare poate continua folosind: ( )[ ] ( )[ ] { } { } [ ]mDD T

22223 μμλ−= (6.81)

de unde se va obţine 3λ şi { }3μ . Procesul de eliminare poate fi scris pentru cazul general:

( )[ ] ( )[ ] { } { } [ ]mDD Tsss

ss111

1−−−

− −= μμλ , ns ,,3,2 …= (6.82) Pentru determinarea ultimului mod nλ , { }nμ se poate folosi pentru iteraţie matricea

[ ] [ ] [ ] 11 −− = Dkm . 6.4.2. Metoda raportului Rayleigh După cum s-a văzut la paragraful 6.3.3. raportul Rayleigh se deduce pe baza teoremei de conservare a energiei mecanice. Dacă un sistem discret se află în mişcare după unul din modurile proprii, deplasările punctelor din sistem se obţin din (2.95) ( ){ } { } ( )rrrr tpCtq ϕμ += cos (6.83) Energia cinetică şi potenţială a sistemului va fi:

Page 55: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

55

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } ( )rrrT

rrrT

c tpmpCqmqE ϕμμ +== 222 cos21

21

(6.84)

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } ( )rrsTrr

Tp tpkCqkqE ϕμμ +== 22 sin

21

21

(6.85)

În cazul mişcării după un mod propriu de vibraţie r se poate scrie teorema de conservare a energiei mecanice (6.56) sub forma:

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }rTrrr

Trrr kCmpC μμμμ 222

21

21

= (6.86)

de unde se obţine mărimea scalară:

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }r

Tr

rT

rr m

kp

μμμμ

=2 (6.87)

Dacă se consideră un vector arbitrar { }μ , atunci raportul Rayleigh (6.87) devine:

( ) { } [ ]{ }{ } [ ]{ }μμ

μμμmkRp T

T

==2 (6.88)

Acest raport, pentru un sistem dat, depinde numai de vectorul arbitrar { }μ şi se bucură de câteva proprietăţi. Prima, ar fi cea care rezultă imediat, dacă vectorul arbitrar { }μ coincide cu un vector propriu, atunci valoarea scalară a raportului este pătratul pulsaţiei proprii asociate. A doua, raportul are o valoare staţionară în vecinătatea unui vector propriu. Într-adevăr, dacă vectorii proprii sunt normalizaţi după regula: { } [ ]{ } 1=r

Tr m μμ , nr ,,2,1 …= (6.89)

atunci se pot scrie şi relaţiile: [ ] [ ][ ] [ ]ImT =μμ ; [ ] [ ][ ] [ ]\

\λμμ =kT (6.90)

unde [ ]μ este matricea modală, [ ]I este matricea unitate, iar [ ]\\λ este o matrice diagonală, având pe diagonală valorile proprii. Un vector arbitrar { }μ se poate scrie şi în forma:

{ } { } [ ]{ }αμμαμ ==∑=

r

n

rr

1 (6.91)

unde{ }α este un vector, având componentele date de coeficienţii rα . Înlocuind în raportul Rayleigh relaţia (6.91) şi, ţinând cont şi de (6.90) se obţine:

( ) { } [ ] [ ][ ]{ }{ } [ ] [ ][ ]{ }

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } ∑

=

==== n

ii

i

n

ii

T

T

TT

TT

ImkR

1

2

1

2

\\

α

λα

αααλα

αμμααμμαμ (6.92)

Page 56: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

56

Dacă se presupune că vectorul arbitrar { }μ diferă foarte puţin de un vector propriu { }rμ , aceasta implică faptul că toţi coeficienţii iα pentru ri ≠ , sunt foarte mici comparativ cu rα , adică: rii αεα = , nr ,,2,1 …= , ri ≠ (6.93) unde iε este un număr foarte mic 1<<iε .

Împărţind raportul (6.92) prin 2rα , se obţine:

( )( )

( )( ) 2

1

1

2

2

1

11

1i

n

irirn

iiir

ii

n

iirr

R ελλλεδ

ελδλμ ∑

∑=

=

= −+≈−+

−+= (6.94)

unde irδ este simbolul lui Kronecker, iar factorul ( )irδ−1 , exclude automat termenul corespunzător pentru ri = . Cum iε este un număr foarte mic, relaţia (6.94) arată că raportul Rayleigh are o valoare staţionară în vecinătatea vectorilor proprii. În particular, dacă 1=r , se obţine proprietatea cea mai importantă şi cea mai folosită.

( ) ( )∑=

−+=n

iiR

111 λλλμ 1

2 λε ≥i (6.95)

deoarece 1λλ ≥i . Raportul lui Rayleigh se modifică şi odată cu modificarea matricelor [ ]m şi [ ]k , ale sistemului. Din punct de vedere fizic, acest raport arată că dacă sistemul devine mai rigid, adică dacă [ ]k creşte, pulsaţia fundamentală creşte şi ea, iar dacă sistemul devine mai masiv, aceasta descreşte. 6.4.3. Metoda matricelor de transfer Conform cu metoda matricelor de transfer (Holzer), în cazul vibraţiilor de torsiune, sistemul este privit ca fiind constituit dintr-un număr de n+1 volanţi, iar arborii dintre masele concentrate ale volanţilor au numai rigiditate uniform distribuită (fig. 6.5.). Dacă se izolează volantul i (fig. 6.5.b.), ecuaţia de echilibru dinamic se scrie: S

iDiii MMJ −=ϕ (6.96)

Page 57: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

57

Fig. 6.5

Presupunând că sistemul execută vibraţii armonice cu pulsaţia p, atunci

ii p ϕϕ 2−= , iar (6.96) devine:

iiSi

Di JpMM ϕ2−= (6.97)

Volantul fiind rigid, deplasările unghiulare la stânga şi la dreapta sunt egale: S

iDi ϕϕ =

(6.98) Sub forma matriceală, ecuaţiile (6.97) şi (6.98) se scriu:

S

i

D

i MJpM ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ϕϕ

1

012 (6.99)

Deoarece arborii nu au masă, se poate scrie: D

iSi MM =+1 (6.100)

iar deplasarea relativă a capetelor are expresia:

i

DiD

iSi k

M=−+ ϕϕ 1 (6.101)

unde i

ii l

GIk = , iI fiind moment de inerţie geometric polar.

Sub formă matriceală relaţiile (6.100) şi (6.101) se scriu:

Page 58: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

58

D

i

S

i Mk

M ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

ϕϕ

10

11

1

(6.102)

Produsul [ ]iT al matricelor

[ ]i

iV kT⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

10

11, [ ]

i

iA JpT

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

−=

1

012 (6.103)

care stabilesc legătura dintre doi vectori de stare adiacenţi, se numeşte matrice de transfer. Înlocuind (6.99) în (6.102) se obţine:

[ ]S

ii

S

i MT

M ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

ϕϕ

1

(6.104)

unde [ ] [ ] [ ]iAiVi TTT ⋅= (6.105) Începând cu primul volant (i=1), rezultă uşor că:

[ ] [ ] [ ] [ ]1

1211 ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+

MTTTT

M ii

S

i

ϕϕ… (6.106)

Mai mult, din fig. 6.5.a., se poate deduce că:

[ ]12221

1211

11 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+MTT

TT

MT

M

SD

n

ϕϕϕ

(6.107) unde [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1211 TTTTTT nnnV …−+= (6.108) care este cunoscută ca matrice de transfer globală şi dă legătura dintre vectorul de stare din partea stângă a primului volant şi vectorul de stare din partea dreaptă a ultimului volant. Ecuaţia pulsaţiilor proprii se deduce din (6.107) pentru diferite tipuri de condiţii la limită. Următoarele cazuri sunt frecvent întâlnite:

1. Arbore cu capetele libere. În absenţa cuplurilor la capete, condiţiile la limită sunt: 011 == +

Dn

S MM (6.109)

care, înlocuite în (6.107), deoarece 01 ≠Sϕ , trebuie să verifice: 021 =T (6.110) ceea ce reprezintă ecuaţia pulsaţiilor proprii, o ecuaţie algebrică de gradul n+1 în 2p . Se poate da factor comun 2p astfel ca să se obţină rădăcina 02 =p . Acest lucru era de aşteptat, deoarece arborele, având capetele libere, are un mod de vibraţie de corp rigid.

Page 59: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

59

2. Arbore cu un capăt încastrat, celălalt liber. Presupunând capătul din stânga

încastrat, deplasarea acestuia este nulă, iar în capătul liber momentul de răsucire este nul. Deci condiţiile de forntieră sunt: 01 =Sϕ ; 01 =+

DnM (6.111)

Din (6.107), deoarece 01 ≠SM , trebuie ca: 022 =T (6.112) ecuaţia ce dă pulsaţiile proprii şi este de gradul n în 2p .

3. Arborele are ambele capete încastrate. În acest caz, condiţiile de frontieră sunt: 01 == +

Dn

Si ϕϕ (6.113)

iar din ecuaţia (6.107), deoarece 01 ≠SM , trebuie ca: 012 =T (6.114) ceea ce reprezintă ecuaţia caracterisitică, ecuaţie de gradul n-1 în 2p . Pentru modelul de translaţie (fig. 6.6.) se stabilesc relaţii asemănătoare.

Fig. 6.6.

Metoda lui Holzer dă în acest caz următoarele relaţii recurente:

1. Pentru un sistem cu capete libere:

j

i

jj

iii am

kpaa ∑

=++ ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

11

2

1 (6.115)

unde ia , ik , im sunt amplitudinile, constantele elastice şi masele elementelor sistemului, iar p este pulsaţia unui mod propriu în care se presupune că vibrează sistemul.

2. Pentru un capăt fixat, celălalt liber:

j

i

jj

ii am

kpaa ∑

=++ ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

11

2

11 (6.116)

3. Pentru sistemul cu ambele capete fixate:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∑

=++ j

i

jj

iii ampak

kaa

1

211

11

1 (6.117)

Page 60: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

60

Pentru o valoare dată a pulsaţiei p, se începe procesul iterativ presupunând amplitudinea primei mase 11 =a . Amplitudinile şi forţele de inerţie pentru toate celelalte mase sunt calculate pe baza formulelor precedente. Pentru ultima masă din sistem amplitudinea trebuie să fie zero pentru capete fixate, şi pentru capete libere forţa de inerţie totală este zero. Reprezentând grafic (sau prin calcule numerice) valorile rămase pentru amplitudine sau forţa de inerţie, se obţin adevăratele pulsaţii proprii ale sistemului.

6.5. Probleme

6.5.1. Folosind metoda modurilor presupuse să se obţină un model cu două grade de libertate pentru vibraţiile longitudinale ale unei bare încastrate la un capăt şi supusă unei forţe ( )tN la celălalt capăt. Să se aleagă funcţii acceptabile, funcţii polinomiale. Să se determine pulsaţiile proprii şi forma modurilor proprii şi să se compare cu cele exacte.

Fig. 6.7.

Rezolvare: Se aleg funcţiile acceptabile ( )xiφ , cărora li se impune o singură condiţie de frontieră, condiţia geometrică: ( ) 0,0 =tu , unde ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tqxtqxtxu 2211, φφ += Astfel, funcţiile ( )xiφ , 2,1=i , trebuie să satisfacă condiţia: ( ) ( ) 000 21 == φφ

Se aleg fucţiile polinomiale ( )Lxx =1φ şi ( )

2

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Lxxφ .

Este convenabil ca funcţiile alese să fie adimensionale, dar nu este o condiţie esenţială. Pe baza relaţiilor (6.45) se pot calcula coeficienţii

srm şi

srk .

Astfel se obţin:

Page 61: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

61

3

21

011

ALdxAmL ρφρ == ∫

421

02112

ALdxAmmL

=== ∫ φφρ

5

22

022

ALdxAmL ρφρ == ∫

( )L

EAdxEAkL

=′= ∫0

2111 φ

21210

12 kL

EAdxEAkL

==′′= ∫ φφ

( )L

EAdxEAkL

34

0

2222 =′= ∫ φ

Forţele generalizate se calculează pe baza lucrului mecanic virtual: ( ) 2211, qQqQtLuNL δδδδ +== unde ( ) ( ) ( ) 2211, qLqLtLu δφδφδ += De unde va rezulta că: ( ) NLNQ == 11 φ şi ( ) NLNQ == 22 φ Ecuaţiile de mişcare în formă matriceală sunt:

( )( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

tNtN

qq

LEA

qqAL

2

1

2

1

43

33

31215

1520

60ρ

Pentru determinarea pulsaţiilor proprii se consideră cazul vibraţiilor libere

( )( )0=tN . Luând soluţia de formă armonică { } { } ( )ϕ+= ptaq cos se ajunge la problema de vectori proprii şi valori proprii:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⋅−

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

00

1215

1520

43

33

2

12

aa

λ

unde

22

2

20p

ELρλ =

Din condiţia ca sistemul să aibă soluţie nebanală se obţine ecuaţia caracteristică:

( ) 032615 222 =+− λλ cu rădăcinile:

30

4962622,1

±=λ ; 124,02

1 =λ ; 609,122 =λ

Page 62: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

62

respectiv, cu pulsaţiile proprii:

ρE

Lp 57,1

1 = ; ρE

Lp 66,5

2 =

Vectorii proprii corespunzători se determină din ecuaţia:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

−−

−−

001

124153

153203

222

22

rrr

rr

μλλ

λλ

de unde se obţine:

2

2

2

2

2 124153

153203

r

r

r

rr λ

λλλ

μ−−

−=−−

−=

adică 45,021 −=μ ; 381,122 −=μ Soluţia aproximativă este:

( ) ( ) ( ) { } { } { } { } ( ) ( ) ( )rrr

rrrrr

TTr

rr tpxUtpqtqxtxu ϕϕμφφφ +=+=== ∑∑∑

===

coscos,2

1

2

1

2

1

Funcţiile care dau forma aproximativă a modurilor proprii vor fi: ( ) { } { }r

Tr xU μφ= , 2,1=r

adică

( )2

1 45,0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Lx

LxxU

( )2

2 381,1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Lx

LxxU

care sunt reprezentate în fig. 6.8.

Fig. 6.8.

Pentru a face comparaţie cu rezultatele exacte, din Tabelul 1., pentru legătura (I – L ), se scot pulsaţiile proprii şi funcţiile proprii:

( )

ρπ E

Lrpr 2

12 −=

Page 63: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

63

( ) ( )LxrCxUr ⋅

−=

212sin π

adică

ρE

Lp 57,1

1 = ; ρE

Lp 71,5

2 =

Formele corespunzătoare acestor moduri sunt reprezentate în fig. 6.9.

Fig. 6.9.

Acest exemplu arată o bună estimare a pulsaţiilor naturale şi care sunt accesibile prin folosirea metodei modurilor presupuse. 6.5.2. O platformă de foraj este modelată ca o bară flexibilă, având lungimea L şi o masă M concentrată în capătul superior. La capătul inferior legătura este modelată printr-un arc spiral de constantă K. Folosind metoda modurilor presupuse, să se determine ecuaţiile mişcării unui model cu două grade de libertate. Se vor presupune mici rotaţii la capătul

0=x .

Page 64: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

64

Fig. 6.10. Rezolvare: Se pune o singură condiţie geometrică de frontieră: ( ) 0,0 =tv , unde ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tqxtqxtxv 2211, φφ += Astfel, pentru funcţiile acceptabile ( )x1φ şi ( )x2φ se impune condiţia: ( ) ( ) 000 21 == φφ Se vor lua cele mai simple funcţii care să satisfacă această condiţie, funcţii polinomiale.

( )Lxx =1φ şi ( )

2

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Lxxφ

Pentru calculul coeficienţilor matricei de rigiditate şi de inerţie se scriu expresiile energiilor potenţiale şi cinetice pentru o bară aflată în vibraţii de încovoiere.

( ) 20

0

2

21

21 θKdxvEIE

L

p +′′= ∫

( )tLvMdxvAEL

c ,21

21 2

0

2 += ∫ ρ

unde

( ) ( ) ( )tqxtxv rr

r ⋅= ∑=

2

1, φ

( ) ( ) ( )∑=

⋅′=′=2

10 0,0

rrr tqtv φθ

Dacă se înlocuiesc aceste relaţii în expresiile energiilor potenţiale şi cinetice, ţinând cont că acestea sunt forme pătratice în coordonatele generalizate, respectiv în vitezele generalizate, se obţin:

( )( ) ( )( ) 22

10

2111 0

LKKdxxEIk

L

=′+′′= ∫ φφ

( ) ( ) 0210

2112 =′′′′== ∫ dxxxEIkkL

φφ

( )( ) ( )( ) 32

20

2222

40LEIKdxxEIk

L

=′+′′= ∫ φφ

( ) ( ) MALLMdxxAmL

+=+= ∫ 32

12

10

11ρφφρ

( ) ( ) ( ) ( ) MALLLMdxxxAmmL

+=+== ∫ 421210

2112ρφφφφρ

Page 65: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

65

( ) ( ) MALLMdxxAmL

+=+= ∫ 522

22

022

ρφφρ

Punând ecuaţiile mişcării sub formă matriceală, se obţine:

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

+⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

++

++

0

0

40

0

54

43

2

1

2

2

2

1

q

q

LEI

LK

q

q

ALMALM

ALMALM

ρρ

ρρ

6.5.3. Se consideră sistemul din fig. 6.11. Folosind metoda modurilor presupuse, să se

calculeze primele două pulsaţii proprii şi modurile corespunzătoare pentru L

EAk = .

Fig. 6.11.

Rezolvare: Pentru alegerea funcţiilor acceptabile se pune o singură condiţie geometrică de frontieră: ( ) 0,0 =tu . Se pot lua ca funcţii acceptabile, funcţiile proprii pentru vibraţiile longitudinale

ale barei I – L , adică: ( ) ( )LxrCxr ⋅

−=

212sin πφ , 2,1=r

Deplasarea în modurile presupuse va fi:

( ) ( ) ( )tqLxtq

Lxtxu 21 2

3sin2

sin, ππ+=

Energia cinetică este:

{ } [ ]{ }qmqqALqALdxtuAE T

L

c 21

4421 2

221

2

0

=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= ∫ρρρ

iar energia potenţială:

( ) ( )

{ } [ ]{ }qkq

qqL

EAqLEAq

LEAtLkudx

xuEAE

T

L

p

21

2169

16,

21

21 2

2122

221

22

2

0

=

−++=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= ∫ππ

Ecuaţia sub formă matriceală este:

Page 66: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

66

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

+−

−++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

00

898

88

810

01

2 2

12

2

2

1

qq

LEA

qqAL

π

πρ

din care se obţin pulsaţiile proprii şi vectorii proprii:

ρE

Lp 06,2

1 = ; { } { }1,011 =Tμ

ρE

Lp 94,4

2 = ; { } { }97,912 −=Tμ

şi funcţiile care dau forma modurilor proprii:

( )Lx

LxxU

23sin1,0

2sin1

ππ⋅+=

( )Lx

LxxU

23sin97,9

2sin2

ππ⋅−=

6.5.4. Se consideră o bară I – L în vibraţii longitudinale şi care are la capătul liber o

masă concentrată 10ALM ρ

= .

Să se determine primele două pulsaţii proprii şi funcţiile modale corespunzătoare.

Fig. 6.12.

Rezolvare: Considerând aceleaşi funcţii acceptabile ca şi la problema precedentă, deplasarea în modurile presupuse este:

( ) ( ) ( )tqLxtq

Lxtxu 21 2

3sin2

sin, ππ+=

Energia cinetică este:

( ) ( ) ( ) { } [ ]{ }qmqqqALqqALtLuMdxtuAE T

L

c 21

204,

21

21 2

2122

21

22

0

=−++=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= ∫ρρρ

iar energia potenţială este:

{ } [ ]{ }qkqqL

qL

EAdxxuEAE T

L

p 21

89

8221 2

2

221

22

0

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= ∫ππ

Ecuaţiile de mişcare sub formă matriceală sunt:

Page 67: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

67

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

0

0

890

08

61

16

102

1

2

2

2

1

q

q

LEA

qqAL

π

πρ

de unde se obţin pulsaţiile proprii şi vectorii proprii:

ρE

Lp 43,1

1 = ; { } { }021,011 −=Tμ

ρE

Lp 37,4

2 = ; { } { }35,512 =Tμ

Funcţiile care dau forma aproximativă a modurilor proprii vor fi: ( ) { } { }r

Tr xU μφ= , 2,1=r

adică

( )Lx

LxxU

23sin021,0

2sin1

ππ⋅−=

( )Lx

LxxU

23sin35,5

2sin2

ππ⋅+=

6.5.5. Sistemul din fig. 6.13. este constituit dintr-o bară încastrată liberă (I – L) cu un arc şi o masă M suspendată la un capăt liber. Să se folosească metoda modurilor presupuse pentru a determina primele trei pulsaţii proprii ale sistemului şi modurile proprii corespunzătoare vibraţiilor de încovoiere. Pentru bară se vor lua funcţiile acceptabile

( )2

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Lxxφ şi ( )

3

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Lxxφ . Se va lua 3L

EIk = , 7ALM ρ

= .

Fig. 6.13.

Rezolvare: Deplasarea unui punct al barei în metoda modurilor presupuse va fi:

Page 68: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

68

( ) ( ) ( )tqLxtq

Lxtxv 2

3

1

2

, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Energia cinetică a barei este:

( )

2221

21

2

2

3

1

2

0

2

01

14610

21,

21

qALqqALqAL

dxqLxq

LxAdx

ttxvAE

LL

c

ρρρ

ρρ

++=

=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

= ∫∫

iar energia potenţială:

( )

223213

213

2

23120

2

2

2

01

662

6221,

21

qLEIqq

LEIq

LEI

dxqLxq

LEIdx

xtxvEIE

LL

p

++=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎥

⎤⎢⎣

⎡∂

∂= ∫∫

Energia cinetică a masei M este:

23

232 142

1 qALqMEcρ

==

iar energia potenţială a arcului:

( )[ ] ( )23213

232 2

,21 qqq

LEIqtLvkEp −+=−=

Scriind energia cinetică a sistemului, respectiv energia potenţială a sistemului sub forma matriceală:

{ } [ ]{ }qmqE Tc 2

1= ; { } [ ]{ }qkqE T

p 21

=

şi, înlociund în ecuaţia matriceală de mişcare: [ ]{ } [ ]{ } { }0=+ qkqm se obţine:

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

+⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

000

111

1137

175

3000

03035

03542

2103

2

1

3

3

2

1

qqq

LEI

qqq

ALρ

Rezolvând problema de valori proprii şi vectori proprii, se obţin:

A

EIL

pρ21

14,2= ; { } { }118,053,01 −=Tμ

Page 69: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

69

A

EIL

pρ22

34,4= ; { } { }35,041,012 −−=Tμ

A

EIL

pρ23

92,34= ; { } { }001,0182,03 −−=Tμ

6.5.6. O bară simplu rezemată la fiecare capăt, are fixat un arc de constantă 340LEIk =

la 4L de un capăt (fig. 6.14.). Folosind metoda Rayleigh, să se calculeze pulsaţia fundamentală a vibraţiilor de înconvoiere.

Fig. 6.14.

Rezolvare: Pentru determinarea pulsaţiei fundamentale se alege funcţia acceptabilă

( )LxxV πsin= , funcţie ce verifică condiţiile geometrice de frontieră:

( ) ( ) 0,,0 == tLvtv , unde ( ) ( ) ( )tqxVtxv ⋅=, , reprezintă deplasarea unui punct al barei. Presupunând o lege armonică de deplasare a fiecărui punct al barei, se poate scrie: ( ) ( ) ptxVtxv cos, ⋅= Acum se pot calcula energia cinetică maximă a barei şi energia potenţială maximă a sistemului:

( )dxvAVpEL

c ∫=0

22max. 2

1 ρ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= ∫ 421

21 2

2

2

2

0max.

LkVdxxVEIE

L

p

de unde, pe baza conservării energiei mecanice se obţine raportul Rayleigh:

AEI

Ldx

LxA

kdxLxEI

L

dxVA

LkVdxxVEI

p L

L

L

L

ρπ

πρ

πππ

ρ4

4

0

2

22

04

4

2

0

2

0

2

2

2

2 40

sin

4sinsin

4 +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎥

⎤⎢⎣

⎡∂∂

=

sau

Page 70: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

70

A

EIL

π2

440+=

6.5.7. Să se determine pulsaţia fundamentală a vibraţiei de încovoiere a unei bare omogene de lungime L şi încastrată la ambele capete, folosind metoda Rayleigh. Rezolvare: Energia cinetică a unei bare aflată într-o mişcare vibratorie de încovoiere este:

( ) dxt

txvAEL

c

2

0

,21∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

= ρ

iar energia potenţială este:

( ) dxx

txvEIEL

p

2

02

2 ,21∫ ⎥

⎤⎢⎣

⎡∂

∂=

unde ( ) ( ) ( ) ( ) ptxVtqxVtxv cos, ⋅=⋅= , presupunând o deplasare armonică pentru fiecare punct al barei. ( )xV este o funcţie acceptabilă care să îndeplinească condiţiile geometrice de frontieră:

( ) ( ) 0,,0 == tLvtv şi ( ) ( ) 0,,0 =′=′ tLvtv

Luând ( )L

xxV π2cos1−= , se constată că sunt verificate aceste condiţii. Raportul lui

Rayleigh va da:

23

8 34

2

0

2

02

2

2

ALLEI

dxVA

dxxVEI

p L

L

ρ

π

ρ=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

=

adică

A

EIL

pρ2

79,22=

6.5.8. Folosind metoda Rayleigh – Ritz, să se determine primele două pulsaţii proprii şi formele modale corespunzătoare, pentru vibraţiile de încovoiere ale unei bare omogene încastrată la ambele capete (fig. 6.15.).

Page 71: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

71

Fig. 6.15.

Rezolvare: În cazul în care se doreşte mai multe pulsaţii proprii, funcţia ( )xV se ia ca o serie de funcţii acceptabile, adică, care verifică condiţiile geometrice de frontieră. Pentru acest caz se consideră: ( ) 2211 φαφα +=xV , unde

Lxπφ 2cos11 −= ;

Lxπφ 4cos12 −=

verifică condiţiile impuse: ( ) ( ) 00 11 == Lφφ şi ( ) ( ) 00 22 == Lφφ ( ) ( ) 00 11 =′=′ Lφφ şi ( ) ( ) 00 22 =′=′ Lφφ Înlocuind în raportul lui Rayleigh, se obţine:

( )( )

( )2

433

168

2122

21

3

22

214

2

0

2

02

2

ααααρ

ααπ

ρ++

+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

=

∫A

LEI

dxVA

dxxVEI

VR L

L

Ţinând cont că în jurul unui mod propriu, raportul ( )VR are valoare staţionară, din condiţiile:

( ) ( ) 0

21

=∂∂

=∂∂

ααVRVR

se obţine următoarea problemă algebrică de valori proprii:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

2

12

2

13

4

32

23

160

0116αα

ρααπ ALp

LEI

cu soluţia:

A

EIL

pρ21

35,22= ; { } { }57,011 =Tμ

şi A

EIL

pρ22

124= ; { } { }45,112 −=Tμ

Page 72: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

72

Formele modale sunt date de funcţiile: ( ) { } { }r

Tr xV μφ= , 2,1=r

adică

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Lx

LxxV ππ 4cos157,02cos11

şi ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Lx

LxxV ππ 4cos145,12cos12

6.5.9. Se consideră bara omogenă încastrată la un capăt, liberă la celălalt capăt (I – L) din fig. 6.16. Folosind metoda Rayleigh – Ritz, să se determine primele două pulsaţii proprii şi formele modale corespunzătoare vibraţiilor de încovoiere.

Fig. 6.16.

Rezolvare: Funcţia ( )xV se va lua de forma: ( ) ( ) ( )xxxV 2211 φαφα += unde ( )x1φ şi ( )x2φ sunt două funcţii acceptabile, verificând numai condiţiile geometrice de frontieră.

Dacă se iau ( )2

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Lxxφ şi ( )

3

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Lxxφ , se constată că, condiţiile geometrice

de frontieră sunt îndeplinite. ( ) ( ) 000 21 == φφ şi ( ) ( ) 000 21 =′=′ φφ Înlocuind în raportul Rayleigh, se obţine:

( )( )

( )210

427042

6622

2221

21

3

2221

21

2

0

2

02

2

ααααρ

αααα

ρ++

++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

=

∫AL

LEI

dxVA

dxxVEI

VR L

L

Condiţiile de staţionare pentru raportul lui Rayleigh conduc la sistemul algebric de valori proprii:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

2

12

2

13 3035

3542

21063

322ααρ

αα ALp

LEI

pentru care se obţine:

Page 73: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

73

A

EIL

pρ21

53,3= ; { } { }38,011 −=Tμ

şi A

EIL

pρ22

81,34= ; { } { }182,02 −=Tμ

Cele două funcţii modale sunt:

( )32

1 38,0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Lx

LxxV

( )32

2 82,0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Lx

LxxV

6.5.10. O grindă uniformă simplu rezemată, având masa LAm ρ= , susţine la mijlocul său o maşină, având masa mM ⋅= 5 (fig. 6.17.). Folosind funcţiile acceptabile

( )Lxx πφ sin1 = şi ( )

Lxx πφ 2sin2 = , să se determine cu metoda Rayleigh – Ritz primele

două pulsaţii proprii şi funcţiile modale corespunzătoare vibraţiilor de încovoiere.

Fig. 6.17.

Rezolvare: Funcţia ( )xV se ia de forma:

( )L

xLxxV παπα 2sinsin 21 +=

Funcţiile alese ca funcţii acceptabile verifică condiţiile geometrice de frontieră: ( ) ( ) 00 11 == Lφφ şi ( ) ( ) 00 22 == Lφφ Înlocuind în raportul lui Rayleigh, se obţine:

( )( )

( ) 21

22

21

3

22

21

4

22

0

2

02

2

2

216

2αααρ

ααπ

ρ MALL

EI

LMVdxVA

dxxVEI

VR L

L

++

+

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

=

Page 74: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

74

Punând condiţia de staţionaritate pentru acest raport, se obţine problema de valori proprii:

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡ +=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

2

12

2

13

4

10

021

160

01

α

αρρ

ααπ AL

MALp

LEI

pentru care se obţin:

A

EIpρ

π11

2

1 = ; { } { }011 =Tμ

A

EIpρ

π 22 4= ; { } { }102 =Tμ

6.5.11. Un agregat aeroelectric este constituit dintr-o coloană uniformă ce susţine o platformă cu echipament. Considerând platforma ca o masă concentrată, având masa

LAM μρ= ( LAρ este masa coloanei), să se deducă pulsaţiile proprii şi funcţiile modale corespunzătoare primelor două pulsaţii. Se va folosi metoda Rayleigh – Ritz, luând ca

funcţii acceptabile ( )2

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Lxxφ şi ( )

3

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Lxxφ , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ =

21μ .

Fig. 6.18.

Rezolvare:

( )3

2

2

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Lx

LxxV αα

Page 75: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

75

( )( )

( )

( ) ( )221

2221

21

3

2221

21

22

0

2

02

2

210307042

6622

ααμραααα

αααα

ρ ++++

++

=+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

ALALL

EI

LMVdxVA

dxxVEI

VR L

L

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

++

++=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

2

12

2

13 2103021035

2103521042

21063

322αα

μμ

μμραα ALp

LEI

A

EIL

pρ21

0172,2= ;

AEI

Lp

ρ22038,23

=

( )32

1 35,0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Lx

LxxV

( )32

2 95,0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Lx

LxxV

6.5.12. Folosind metoda Galerkin, să se determine primele două pulsaţii proprii şi formele modale corespunzătoare pentru vibraţiile de încovoiere ale unei bare omogene încastrată la ambele capete (fig. 6.15. de la problema 6.5.8.). Rezolvare: Ecuaţia vibraţiilor libere transversale (de încovoiere) ale unei bare omogene este:

02

2

4

4

=∂∂

+∂∂

tvA

xvEI ρ

Fiecare punct al barei are o mişcare armonică ( ) ( ) ptxVtxv cos, ⋅= , pentru care ecuaţia diferenţială de mai sus devine:

04

4

=− Vdx

Vd λ

unde 42

βρλ ==EIAp

.

Pentru a găsi o soluţie aproximativă ( )xV se vor lua doi termeni ai combinaţiei liniare de funcţii de comparaţie (generatoare) în care se poate aceasta dezvolta ( ) ( ) ( )xxxV 2211 φαφα +=

unde ( ) 12cos1 −=L

xx πφ ; ( ) 14cos2 −=L

xx πφ . Funcţiile de comparaţie trebuie să

satisfacă toate condiţiile de frontieră. La acest tip de legături (I –I), condiţiile de frontieră

Page 76: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

76

sunt de fapt condiţiile geometrice: deplasările şi unghiurile de înclinare în cele două capete sunt nule, fapt ce se verifică imediat. Înlocuind soluţia aproximativă:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 14cos12cos 21 L

xL

xxV παπα

în ecuaţia diferenţială, se obţine reziduul:

( ) 42

44

24

14

4

14cos42cos2 βαπβπαβαπβπα +

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Lx

LLx

LVR

Înlocuind în condiţiile:

( ) ( ) 0,0

=⋅∫ dxVRxL

i βφ , 2,1=i

se obţine:

04cos

42cos212cos

42

44

24

14

4

10

=⎭⎬⎫+

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∫

dxL

x

LLx

LLxL

βαπ

βπαβαπβπαπ

şi

04cos

42cos214cos

42

44

24

14

4

10

=⎭⎬⎫+

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∫

dxL

x

LLx

LLxL

βαπ

βπαβαπβπαπ

de unde se obţine sistemul omogen:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

−−⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

0

0

421

221

2

1

444

4

4444

α

α

ββπβ

βββπ

L

L

Pentru soluţia nebanală, se obţine ecuaţia: ( ) ( ) 010777115900 348 =⋅+− LL ββ a cărei rădăcini dau pulsaţiile proprii:

A

EIL

pρ21

48,22= şi

AEI

Lp

ρ221,124

=

cărora le corespund vectorii proprii:

Page 77: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

77

{ } { }43,011 =Tμ ; { } { }45,112 −=Tμ Forma modurilor aproximateve este dată de funcţiile:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 14cos43,012cos1 L

xL

xxV ππ

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 14cos45,112cos2 L

xL

xxV ππ

6.5.13. Să se determine primele două pulsaţii proprii şi formele modale corespunzătoare, folosind metoda Galerkin pentru vibraţiile transvervale ale unei bare omogene simplu rezemată (fig. 6.19.).

Fig. 6.19.

Rezolvare: Se va alege funcţia ( )xV ca o combinaţie liniară de două funcţii de comparaţie:

( )Lxx πφ sin1 = şi ( )

Lxx πφ 3sin2 =

Deci:

( )Lx

LxxV παπα 3sinsin 21 +=

şi verifică toate condiţiile de frontieră. Într-adevăr: ( ) ( ) 00 == LVV (deplasarea nulă la capete) ( ) ( ) 00 =′′=′′ LVEIVEI (momente nule la capete) 6.5.14. Folosind metoda diferenţelor finite, să se determine primele două pulsaţii proprii şi modurile proprii corespunzătoare pentru vibraţiile de înconvoiere ale unei bare omogene încastrată la ambele capete (vezi 6.5.8. şi 6.5.12.). Rezolvare: Pentru găsirea unei soluţii numerice pentru rezolvarea ecuaţiei:

044

4

=− Vdx

Vd β

funcţia ( )xV se dezvoltă în serie Taylor în jurul unui punct x, astfel:

Page 78: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

78

( ) ( ) ( ) ( ) ( )!4!3!2

4

4

43

3

32

2

2 xdx

Vdxdx

Vdxdx

VdxdxdVxVxxV

xxxx

Δ+

Δ+

Δ+Δ+=Δ+

şi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )!4!3!2

4

4

43

3

32

2

2 xdx

Vdxdx

Vdxdx

VdxdxdVxVxxV

xxxx

Δ+

Δ−

Δ+Δ−=Δ−

Luând numai primii doi termeni ai dezvoltărilor, prin scădere se obţine:

( ) ( )

xxxVxxV

dxdV

x ΔΔ−−Δ+

=2

iar prin adunare, se obţine:

( ) ( ) ( )

( )22

2 2x

xxVxVxxVdx

Vd

x ΔΔ++−Δ+

=

În mod similar se poate scrie.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!4

2!3

2!2

2224

4

43

3

32

2

2 xdx

Vdxdx

Vdxdx

VdxdxdVxVxxV

xxxx

Δ+

Δ+

Δ+Δ+=Δ+

şi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!4

2!3

2!2

2224

4

43

3

32

2

2 xdx

Vdxdx

Vdxdx

VdxdxdVxVxxV

xxxx

Δ+

Δ−

Δ+Δ−=Δ−

Prin adunare, ţinând cont şi de expresiile de mai sus, se obţine:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxVxxVxVxxVxxV

xdxVd

x

Δ−−Δ+−−Δ−+Δ+Δ

= 446224

344

4

Fig. 6.20.

Se aproximează ecuaţia diferenţială în punctele 1 şi 2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =Δ

3Lx .

( ) 0464 14132101 =−+−+−− VVVVVV λ

( ) 0464 24143210 =−+−+− VVVVVV λ

unde

Page 79: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

79

44

41 33

4 βλ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

L.

Condiţiile de frontieră dau: 030 ==VV (deplasări nule)

0=dxdV

, pentru nodurile 0 şi 3 (unghiurile de înclinare nule)

Din această relaţie se obţine: 11 VV =− şi 24 VV = Ţinând cont şi de aceste relaţii, seobţine sistemul:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

2

141

2

1

10

01

74

47

VV

VV

λ

Rezolvând această problemă de valori proprii, se obţine:

A

EIL

pρ21

5,13= ; { } { }111 =Tμ

şi A

EIL

pρ22

8,25= ; { } { }112 −=Tμ

Observaţie: Pentru a obţine, prin această metodă, rezultate mai apropiate de cele exacte trebuie mărit numărul de puncte modale de pe bară. 6.5.15. Să se determine pulsaţiile proprii şi vectorii proprii pentru sistemul vibrant din fig. 6.21. prin metoda puterii, folosind matricea de eliminare. Se va lua mmm == 21 ,

mm 23 = , kkk == 21 , kk 23 = . Fig. 6.21. Rezolvare: Ecuaţia diferenţială a mişcării sub formă matriceală este:

Page 80: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

80

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

+⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

000

220

23

02

200

00

00

3

2

1

3

2

1

qqq

kk

kkk

kk

qqq

m

m

m

Problema de valori proprii poate fi pusă sub forma.

[ ]{ } { }μμ 2

1p

D =

unde

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

== −

521

421

2111

kmmkD

sau introducând notaţia 2mpk

=λ , aceasta devine:

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

3

2

1

3

2

1

521

421

211

μμμ

μμμ

Luând pentru prima iteraţie vectorul ( ){ } { }3211 =

Tμ , se obţine:

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

185,045,0

2020179

321

521

421

211

Folosind vectorul ( ){ } { }185,045,02 =

Tμ pentru iteraţia a doua, se obţine:

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

0000,18601,04615,0

15,715,715,63,3

185,045,0

521

421

211

Pentru a treia iteraţie ( ){ } { }18601,04615,03 =

Tμ :

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

0000,18607,04625,0

1817,71817,71817,63416,3

0000,18601,04615,0

521

421

211

Page 81: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

81

Pentru a patra iteraţie ( ){ } { }18607,04625,04 =

Tμ :

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

0000,18607,04625,0

1839,71839,71839,63232,3

0000,18607,04625,0

521

421

211

Rezultă că { } { }18607,04625,01 =Tμ şi 1839,71 =λ .

Normalizând vectorul propriu { }1μ după regula { } [ ]{ } 111 =μμ mT , se obţine:

10000,18607,04625,0

200

00

00

0000,18607,04625,0

=⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

m

m

mT

sau 19547,2 21 =αm ;

m5817,0

1 =α , iar vectorul { }1μ normalizat va fi:

{ } { }5817,05006,02690,011 mT =μ şi

mkp 373,01 =

Pentru a obţine cel de-al doilea mod se construieşte matricea:

( )[ ] [ ] { } { } [ ]

( )[ ]⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

==

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=−=

1383,00918,01240,0

1838,01997,00326,0

2482,00326,04801,0

200

010

001

5817,05006,02690,0

5817,05006,02690,0

1839,7

521

421

211

2

1112

kmD

km

kmmDD

T

Tμμλ

Deoarece, în modul al doilea există un nod, se alege vectorul de iteraţie de forma: ( ){ } { }1111 −=

Se putea alege ca vector de pornire a iteraţiei un vector arbitrar. Această observaţie va face ca să se reducă numărul iteraţiilor. Prima iteraţie pentru cel de-al doilea mod este:

Page 82: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

82

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

−⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

4653,05468,00000,1

7609,01

11

1383,00918,01240,0

1838,01997,00326,0

2482,00326,04801,0

A doua iteraţie este:

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

−⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

3888,03705,00000,1

6134,04653,0

5468,00000,1

1383,00918,01240,0

1838,01997,00326,0

2482,00326,04801,0

A treia iteraţie:

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

−⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

3598,03024,00000,1

5886,03883,0

3705,00000,1

1383,00918,01240,0

1838,01997,00326,0

2482,00326,04801,0

După şapte iteraţii, pentru o convergenţă 310−=ε , se obţine: 5731,02 =λ ; { } { }3399,02561,012 −=Tμ Pentru normalizare se ia: { } { }3399,02561,0122 −=αμ T

13399,0

2561,00000,1

200

00

00

3399,02561,00000,1

22 =

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

−⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

− m

m

mT

α

sau

m

8781,02 =α , iar vectorul { }2μ normalizat

{ } { }2984,02249,08781,012 −=

mTμ şi pulsaţia corespunzătoare

mkp 320,12 = .

Pentru cel de-al treilea mod se construieşte matricea:

Page 83: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

83

( )[ ] ( )[ ] { } { } [ ]

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

−−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

=−=

0362,00533,00261,0

1068,01707,00805,0

0154,00805,00382,0

200

010

001

2984,02249,08781,0

2984,02249,08781,0

5731,0

1383,00918,01240,0

1838,01997,00326,0

2482,00326,04801,0

22223

km

km

kmmDD

T

Tμμλ

În cel de-al doilea mod există două moduri. Se va alege ( ){ } { }1211 −=T

μ . Prima iteraţie va da:

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

7870,04636,2

0000,12146,0

12

1

0362,00533,00261,0

1068,01707,00805,0

0154,00805,00382,0

A doua iteraţie:

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

7477,03533,2

0000,12486,0

7870,04634,2

0000,1

0362,00533,00261,0

1068,01707,00805,0

0154,00805,00382,0

A treia iteraţie:

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

7469,03507,2

0000,12391,0

7477,03533,2

0000,1

0362,00533,00261,0

1068,01707,00805,0

0154,00805,00382,0

A patra iteraţie:

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

7468,03504,2

0000,12389,0

7469,03507,2

0000,1

0362,00533,00261,0

1068,01707,00805,0

0154,00805,00382,0

A cincea iteraţie:

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

7468,03504,2

0000,12389,0

7468,03504,2

0000,1

0362,00533,00261,0

1068,01707,00805,0

0154,00805,00382,0

Page 84: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

84

Deci, s-a obţinut cel de-al treilea mod propriu:

{ } { }7468,03504,213 −=Tμ ; mkp 0459,23 =

Pentru normare se foloseşte procedeul:

17468,0

3504,20000,1

200

00

00

7468,03504,2

0000,123 =

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

m

m

mT

α

de unde m

3617,03 =α şi vectorul { }3μ normat

{ } { }2701,08502,03617,013 −=

mTμ

6.5.16. Să se determine pulsaţiile proprii şi vectorii proprii pentru sistemul vibrant din fig. 6.22. prin metoda puterii, folosind matricea de eliminare. Să se compare pulsaţiile proprii cu valorile obţinute prin metoda raportului Rayleigh. Se va lua

mmmm === 321 ; kkkkk ==== 4321 . Fig. 6.22. Rezolvare: Pentru acest sistem:

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

m

m

m

m

00

00

00

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

=

kk

kkk

kk

k

20

2

02

matricea dinamică este:

Page 85: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

85

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

== −

75,05,025,0

5,015,0

25,05,075,01

kmmkD

Pentru determinarea primului mod se alege ca vector de începere a iteraţiei

( ){ } { }1111 =T

μ , şi se obţine:

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

000,1333,1000,1

5,1111

75,05,025,0

5,015,0

25,05,075,0

Pentru o convergenţă 210−=ε , după cinci iteraţii, se obţine:

{ } { }14141,111 =Tμ şi mkp 7653,01 =

În normalizarea vectorului { }1μ după regula { } [ ]{ } 111 =μμ mT , se va lua

{ } { }14141,1111 αμ =T , care va conduce la:

m5,0

1 =α şi { } { }5,0707,05,011 mT =μ

Pentru cel de-al doilea mod, se construieşte matricea:

( )[ ] [ ] { } { } [ ]

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=−=

3232,01034,01767,0

1034,01465,01034,0

1767,01034,03232,0

100

010

001

5,0707,05,0

5,0707,05,0

707,1

75,05,025,0

5,015,0

25,05,075,0

1112

km

km

kmmDD

T

Tμμλ

Procesul de iteraţie se va începe cu ( ){ } { }1101 31 −= −T

μ . Prima iteraţie:

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

−⋅=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

−⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

−−

−−−−

1109,2

14997,0

1101

3232,01034,01767,0

1034,01465,01034,0

1767,01034,03232,043

Page 86: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

86

După a doua iteraţie se obţine: 4999,02 =λ şi { } { }11081 5

2 −⋅= −Tμ

Practic, în modul al doilea, corpul 2m rămâne în repaus. După normalizare, se obţine:

m

707,02 =α

{ } { }707,00707,012 −=

mTμ ;

mkp 414,12 =

Pentru modul al treilea, se obţine:

mkp 847,13 = ; { } { }1414,113 −=Tμ .

6.5.17. Se consideră construcţia cu trei nivele din fig. 6.23. Să se determine modurile naturale de vibraţie. Se va lua mm =1 , mm 42 = , mm 43 = , kkk == 21 , kk 33 = . Fig. 6.23. Răspuns: Ecuaţiile de mişcare în formă matriceală sunt:

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

+⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

000

410

121

011

400

020

001

3

2

1

3

2

1

qqq

kqqq

m

Cele trei moduri naturale de vibraţie sunt:

mkp 457,01 = ; { } { }25,079,011 =Tμ

mkp =2 ; { } { }1012 −=Tμ

Page 87: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

87

mkp 34,13 = ; { } { }25,079,013 −=Tμ

6.5.18. Se consideră construcţia cu patru nivele din fig. 6.24. Să se determine modurile naturale de vibraţie. Se va lua: mm =1 , mmm 232 == , mm 34 = , kk =1 , kk 22 = , kk 33 = , kk 44 = . Fig. 6.24. Răspuns: Matricele de inerţie şi rigiditate ale sistemului sunt:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

=

3000

0200

0020

0001

mm ; [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−−

−−

=

7300

3520

0231

0011

kk

Cele patru moduri de vibraţie sunt:

{ }mkp

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

88.5507,4166,2929,13

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−−−

−−

−−

=

63,070,043,023,0

00,115,053,049,0

44,000,109,077,0

15,090,000,100,1

μ

Page 88: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

88

Metoda elementelor finite (MEF) aplicata in studiul vibratiilor barelor

In cele mai multe cazuri, forma geometrica complexa si conditiile de frontieră neclasice ale structurilor reale cer folosirea metodelor numerice pentru determinarea comportarii statice si dinamice ale acestora. Pentru asemenea cazuri, metoda elementelor finite (MEF) este larg utilizata si in cele ce urmeaza se prezinta cateva aspecte relative la aceasta metoda. Se vor urmari urmatoarele probleme:

- Obtinerea ecuatiilor diferentiale ale miscarii - Determinarea pulsatiilor si modurilor proprii si obtinerea raspunsului structurii la

un tip de excitatie

Deducerea ecuatiilor diferentiale ale miscarii

Metoda elementelor finite (MET) poate fi prezentată, in termini foarte simpli, parcurgand urmatorii pasi:

a) Structura este impartita intr-un numar finit de parti numite elemente finite, care sunt conectate intre ele prin cateva puncte numite noduri sau puncte nodale, situate la frontiera fiecarui element.

b) Se fac ipoteze rezonabile asupra campului de deplasari ale elementului i, iar apoi se determina energia cinetica Eci, energia potential Epi si energia de disipare Edi in functie de deplasarile nodale si vitezele acestora.

c) Daca structura este impartita in N elemente, atunci:

(1)

Fortele generalizate se determina prin scrierea lucrului mechanic virtual al fortelor perturbatoare exterioare. Se aplica ecuatiile lui Lagrange pentru obtinerea ecuatiilor diferentiale ale miscarii pentru intreaga structura.

(2)

unde n reprezinta numarul deplasarilor nodale, sunt fortele perturbatoare generalizate,

sunt deplasarile nodale.

Page 89: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

89

In alegerea tipului de elemente finite folosite se va tine cont in primul rand de geometria si comportarea structurii. O discretizare efectiva si eficienta depinde de experienta utilizatorului. In particular, discretizarea va tine cont de discontinuitatile geometrice, discontinuitatile de material, conditiile de frontier cat si de fortele aplicate structurii.

Pentru calculul, cu destula acuratete, a pulsatiilor proprii si modurilor proprii ale raspunsului dinamic, distributia elementelor finite, asa numita retea, poate fi relativ grosiera, dar regulata. Reteaua poate fi mai fina pentru calcularea cu acuratete a eforturilor si poate fi chiar foarte fina in regiunile de concentrare a eforturilor.

Calculul energiei potentiale. Matricea de rigiditate

In scopul simplificarii notatiilor, indicele i destinat cantitatilor associate

elementului i va fi omis in cele ce urmeaza, subântelegandu-se ca este vorba de elemental i. Energia potential (de deformatie) a elementului de volum dV este:

(3)

unde este vectorul deformatiilor, este vectorul eforturilor, iar V domeniul elementului. Vectorul deplasarilor { }d dintr-un punct arbitrar al unui element este legat de vectorul deplasarilor nodale , ale elementului printr-o matrice [N]. Aceasta matrice [N] este generata prin ipotezele care se fac asupra campului deplasarilor din interiorul elementului. Relatia dintre vectorul deplasarilor { }d si vectorul deplasarilor nodale este:

(4)

Prin derivarea relatiei (4), se obtine relatia dintre deformatiile din interiorul elementului si deplasarile nodale:

(5)

Presupunad ca nu exista solicitari initiale, relatia dintre eforturi si deformatii este:

(6) unde [D] este o matrice simetrica a carei elemente depind de caracteristicile mecanice ale materialului, date in mod usual prin modulul de elasticitate E si prin coeficientul Poisson

. Folosind relatiile (5) si (6) ecuatia energiei de deformatie devine:

(7)

care poate fi scrisa sub forma :

Page 90: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

90

(8)

unde:

(9)

Matricea [k] se numeste matrice de rigiditate a elementului i. Ea este o matrice simetrica deoarec si matricea [D] este simetrica. In cele ce urmeaza se va arata modalitatea de calcul a matricei de rigiditate pentru cazurile unei bare aflate in miscare vibratorie longitudinala si a unei bare aflata in miscare vibratorie de incovoiere.

Bara in miscare longitudinala. Un element al barei este aratat in Figura. 1. El are doua noduri cu un grad de libertate la fiecare nod si notat cu u, reprezentand deplasarea longitudinala.

Figura 1 Bara in miscare longitudinala

Vectorul deplasarilor nodale este:

(10)

Deoarece sunt doua deplasari nodale, legea deplasarii intr-o sectiune x se alege avand doua constante:

(11)

Constantele a1 si a2 se determina din conditiile puse pe frontiera elementului. Acestea sunt:

La capatu x=0, u1=a1 La capatul x=L,

u1=a1+a2L (12) Inlocuind valorile determinate din (12) pentru a1 si a2 in ecuatia (11) se obtine:

(13)

Aceasta ecuatie este cea corespunzatoare ecuatiei (4). Polinoamele din matricea [N], in acest caz si sunt numite functii de forma. Deoarece

(14)

Si

Page 91: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

91

(15)

Matricea [D] se reduce la constanta E, iar din (13) si (15) se obtine:

(16)

de unde in corespondenta cu ecuatia (4) se obtine matricea [B], astfel:

(17)

Prin inlocuirea matricei [B] in (7) se obtine:

(18)

unde s-a tinut cont ca dV=Sdx sau

(19)

de unde matricea de rigiditate

(20)

Aceasta matrice este singulara, adica are determinantul nul, ceea ce arata ca elemental finit considerat are o deplasare de corp rigid de translatie.

Bara in miscare de incovoiere. Un element al unei bare este aratat in Figura 2. El are doua noduri cu doua grade de libertate in fiecare nod. Pentru deplasarea transversala s-a folosit notatia v, iar pentru deformatia unghiulara notatia ψ. In ceea ce urmeaza se va considera numai bara de tip Euler-Bernaulle. Aceasta insamna ca efectele secundare date de forfecarea transversala si inertia de rotatie sunt neglijate.

Figura 2 Bara in miscarea de incovoiere

Vectorul deplasarilor nodale este:

(21)

Page 92: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

92

Unde

(22)

Deoarece sunt patru deplasari nodale, ipotezelor deplasarilor sunt alese astfel incat sa existe patru constante, adica de forma unui polinom de gradul trei:

(23)

iar pentru unghiul de inclinare se obtine din (22) si este:

(24) Constantele se obtin din valorile deplasarilor v si unghiului in cele

doua noduri. Pentru capatul x=0

v1=a1, 1=a2 (25) iar pentru x=L

(26) Din ecuatiile (25) si (26) se pot determina cele patru constante in functie de

. Substituind aceste constante in (23) se obtine:

(27)

Aceasta ecuatie corespunde ecuatiei (3).Pentru acest caz matricea [D] corespunde de asemenea scalarului E. Tensiunea de incovoiere si deformatia sunt legate prin ecuatia (14) unde:

(28)

Folosind ecuatia (27) deformatia devine:

(29)

y este distanta in sectiune transversala masurata din axa neutra. Aceasta ecuatie este similara cu cea data de (4) si se poate identifica matricea [B].

Dupa efectuarea calculelor folosind expresia lui B in (7), se obtine:

Page 93: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

93

(30) respectiv matricea de rigiditate:

(31)

Aceasta matrice este singulara de ordinul doi pentru ca elementul finit are doua miscari de corp rigid: una de translatie si una de rotatie. Prin urmare nu numai determinantul matricei este nul ci si toti determinantii minori de ordinul trei.

Calculul energiei cinetice. Matricea de inertie

In general expresia energiei cinetice pentru un element este de forma:

(32)

unde . Folosind relatia (4) viteza elementului finit se poate scrie sub forma:

(33)

Energia cinetica devine:

(34)

sau

(35)

unde matricea de inertie este:

(36)

Matricea de inertie este o matrice simetrica. Pentru bara in miscare longitudinala Daca se foloseste relatia (13) se obtine matricea [N]:

(37)

si combinand cu (34) se obtine energia cinetica a elementului finit in miscare longitudinala :

Page 94: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

94

(38) adica:

(39)

De unde se obtine matricea de inertie:

(40)

Bara in miscare de incovoiere.Folosind functia de forma data prin relatia (27) in expresia (34) si facand calculele se obtine energia cinetica a alementului finit in miscare transversala (incovoiere) :

(41)

si matricea de inertie corespunzatoare

(42)

Metoda energetica de calcul a matricelor de inertie si de rigiditate O modalitate simpla pentru obtinerea matricelor de rigiditate si de inertie a unui

element finit, este metoda energetica. Aceasta metoda consta in scrierea expresiilor energiei cinetice si a energiei

potentiale a unui element finit pe baza formulelor de calcul ale energiilor corespunzatoare tipului de vibratii la care este supusa bara.

In cazul barei aflate in miscare vibratorie longitudinala se poat scrie:

(43)

(44)

unde pentru elementul din Figura 1 deplasarea logitudinala are expresia:

(45)

Avand in vedere expresiile energiei potentiale si cinetice sub forma matriciala:

(46)

Page 95: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

95

(47)

in urma efectuarii calculelor se obtine:

(48)

(49)

In cazul barei aflata in miscare transversala expresiile celor doua energi sant:

(50)

(51)

iar expresiile deformatiei intr-o sectiune la distanta x de capat a elementului finit este:

(52)

Se calculeaza derivatele partiale din formulele:

(53)

(54)

inlocuind aceste expresii in formulelel de calcul ale energiei cinetice si potentiale, se obtin matricele de rigiditate si de inertie a elementului finit.

(55)

(56)

asamblarea matricelor de rigiditate si de inertie a elementrlor finite.

Page 96: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

96

Pentru obtinerea matricii de rigiditate si a matricii de inertie corespunzatoare, intregii structuri este necesar sa se scrie ca energia potentiala si energia cinetica a intregii structuri, este suma energiilor potentiale si energiilor cinetice ale elementelor finite. Pentru obtinerea centrului deformatiilor ale miscarii structurii intregi, se folosesc ecuatiile lui Lagrange.

(57)

unde:

(58)

(59)

(60)

sunt energiile cinetice potentiale si de disipare ale intregii structuri. Energia de disipare intra in calcul cand exista elemente de disipare a energiei cinetice sau se ia in calcul energia pierduta prin frecari interne. Vectorul Q reprezinta fortele generalizate perturbatoare. Se obtine forma matriceala a ecuatiilor diferentiale astfel:

(61)

unde matricea de inertie [M] este simetrica si pozitiv definita, [K] ,matricea de rigidiatate este simetrica si semipozitiv definita.Vectorul deplasarilor contine toate deplasarile nodale, iar vectorul {Q} este vectorul fortelor generalizate perturabtoare. Pentru a ilustra procesul de asamblare a matricelor, se considera o bara logitudinala de lungime L fixata la un capat si libera la celalalt capat.

Figura 3

Se presupune ca bara este impartita in 3 elemente functie de lungime L/3 are astfel 4 noduri iar in nodul 3 actioneaza o forta perturbatoare F.

Energia potentiala pentru fiecare elementeste de forma(46) si tinand cont de conditia de frontiera u1 =0 se obtine energia de deformatie a intregii bare prin insumare, deci:

Page 97: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

97

(62) de unde matricea de rigiditate a barei este:

(63)

In mod asemanator, folosind expresia energiei cinetice a unui elemnt (47) in miscarea longitudinala se obtine, prin insumare, energia cinetica a intregii bare de unde se obtine matricea de inertie a barei.

(64)

(65)

Pentru fortele generalizate se calculeaza lucrul mecanic virtual in deplasarea unei coordonate nodale, titnand cont ca u1=0

(66)

deci:

(67) Frecventele si modurile proprii se obtin din ecuatia omogena obtinuta din:

(68)

Daca se ia solutia de forma:

(69) atunci ecuatia devine:

(70)

Pentru solutii nebanale trebuie ca determinatul sistemului (70) sa fie nul, 2( p [M] [K]) 0− + =

(71)

de unde se obtin pulsatiile proprii. Ecuatia de mai sus se numeste si ecuatie caracteristica. Daca ecuatia (70) se pune sub forma

(72) s-a ajuns la cunoscuta problema de valori proprii si vectori proprii. In cadrul programelor utilitarer Mathcad sau Mathlab se gasesc subrutine pentru calculul acestor elemente.

Page 98: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

98

Probleme. 1. Se considera o bara simplu rezemata la ambele capete, ca in Figura 4. Folosind un

singur element finit sa se calculeze prima frecventa propie (cea mai joasa) si sa se compare cu frecventa obtinuta prin metoda exacta. Sa se repete folosind doua elemente finite.

Figura 4

2. Se considera o bara incastrata la un capat si libera la celalat capat.(Figura 5) Folosind un singur element finit sa se calculeze cea mai joasa frecventa a vibratiilor longitudinale a barei. Sa se compare cu frecventa obtinuta prin metoda exacta. Sa se repete folosind 2, respective 3 elemente finite.

Figura 5

3. Se considera o bara incastrata la un capat si legata printr-un arc de constanta

elastica data aflata in miscare longitudinal. Considerand un singur element fint sa se determine cea mai joasa frecventa a sistemului, apoi sa se modeleze bara prin trei elemente finite sis a se calculeze primele doua frecvente proprii si modurile corespunzatoare..

Figura 6

4. O bara incastrata la un capat si libera la celalat capat are o lungime 3L (Figura7) si se afla in miscare transversal(incovoiere) Sa se modeleze prin trei elemente finite , sa se calculeze primele doua frecvente si modurile proprii corespunzatoare.

Figura 7

Page 99: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

99

5. Sistemul din Figura 8 este format dintr.o bara incastrata la un capat, iar la celalalt capat are suspendat un system masa – arc. Folosind un singur element finit sa se calculeze cele trei frecvente si modurile corespunzatoare. Sa se compare cu valorile obtinute prin metoda Razleigh - Ritz..

Figura8

6. Sa se repete aceiasi problema din figura 8, luând in considerare modelarea barei prin doua elemente finite ca in Figura 9.

Figura 9

7. Se considera o bara incastrata la un capat, iar la celalalt capat are o masa M = ρSL/10. Bara se afla intr-o miscare de incovoiere. Considerându-se modelata prin trei elemente finite sa se determine primele doua frecvente proprii si modurile corespunzatoare. Sa se compare cu valorile obtinute folosind metoda Razleigh Ritz.

Figura 10

8. Se considera o bara incastrata la ambele capete (Figura 11) Sa se modeleze prin patru elemente finite sis a se determine primele 6 frecvente si modurile corespunzatoare. Sa se compare cu cele obtinute prin metoda exacta. Se vor lua ca date cunoscute L= 1m , E= 2x1011 N/m2, ρ = 7800 kg/m3, I = 10-6m4, S = 10-2m2.

Page 100: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

100

Figura 11

9. Cadrul plan din Figura 12 este incastrat la capatul A si capatul C , iar cele doua bare sunt rigid conectate in B. Cu notatiile din figura sa se exprime deplasarile din punctual B. Considerand cele trei deplasari din punctual B sa se calculeye energia cinetica si de deformatie in functie de acestea sis a se calculeye frecventele proprii corespunzatoare.

Fig12

Figura 13

Figura 14

Figura 15

Page 101: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

101

Fig16

Fig16

BIBLIOGRAFIE

1. L. BERETEU, I. SMICALĂ, Mecanică – Dinamica şi aplicaţii, Editura Mirton, Timişoara, 1992.

2. L. BRINDEU, Vibraţii, Lit. Inst. Politehnica "Traian Vuia", Timişoara, 1979. 3. GH. BUZDUGAN, L. FETCU, M. RADES, Vibraţiile sistemelor mecanice,

Editura Academiei, 1975. 4. R. R. CRAIG, Structural dynamics; John Wiley and Sons, 1981. 5. R.R.CRAIG , A. Kurdila, Fundamentals of structural dynamics, John Wiley and

Sons, 2006 6. B. P. DEMIDOVICH, I. A. MARON, Computational Mathematics, Mir

Publishers, 1981. 7. P. HAGEDORN, Non – Linear Oscillations – clarendon Press – Oxford, 1988. 8. M. HUSSEY, Fundamentals of Mechanical Vibrations, Mac Millan Press Ltd.,

1983. 9. M. LALANNE şi alţii, Mechanical Vibrations for Engineers, John Wiley and

Sons Ltd.,1984. 10. N. LEVITSKII, Kolebania v mehanizmah, Nauka Moskva, 1988. 11. L. MEIROVITCH, Elaments of Vibration Analysis, Mc. Graw – Hill, New York,

1975. 12. L. MEIROVITCH, Computational Methods in Structural Dynamics, Syhoff –

Noordhoff, The Netherlands, 1980. 13. L. MEIROVITCH, Introduction to Dynamics and Control, John Wiley and Sons,

New York, 1988. 14. L. MEIROVITCH, Fundamentals of Vibration, McGraw-Hill, New York, 2001 15. S. RAO, The Finite Element Method in Engineering, Pergamon Press, 1982.

Page 102: Vibratiile mediilor continue - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/vibratiile_mediilor_continue.pdf · 6.5.Probleme..... BIBLIOGRAFIE..... 3 1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE

102

16. W. SATO, Theory and Problems of Mechanical Vibrations, Schaum, Publishing, New York, 1964.

17. GH. SILAS, Mecanică. Vibraţii mecanice, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1968. 18. GH. SILAS, L. BRINDEU, A. HEGEDUS, Culegere de probleme de Vibraţii

mecanice, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1967. 19. I. SMICALĂ, L. BERETEU, A. TOCARCIUC Exercitii si probleme de

mecanică si vibratii, Editie electronica, 2010. 20. W. T. THOMSON, Theory of Vibration, Uhwin Hyman Ltd. London, 1989. 21. W.T. THOMSON The Theory of Vibration with Applications, Taylor&Francis

Ltd., 1996 22. A. C. WALSHAW, Mechanical Vibrations with Applications, Ellis Horwood

Ltd., 1984.